Об устойчивости параметрических колебаний оболочки в виде гиперболического параболоида
Представлена численная методика построения редуцированной модели устойчивости параметрических колебаний пологой оболочки отрицательной гауссовой кривизны типа гиперболического параболоида. Формирование редуцированных матриц масс, демпфирования, жесткости и геометрической жесткости выполнено с помощь...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174180 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об устойчивости параметрических колебаний оболочки в виде гиперболического параболоида / В.А. Баженов, О.А. Лукьянченко, Ю.В. Ворона, Е.В. Костина // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 36-49. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174180 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1741802025-02-09T17:01:53Z Об устойчивости параметрических колебаний оболочки в виде гиперболического параболоида On Stability of Parametric Oscillations of a Shell in the Form of Hyperbolic Paraboloid Баженов, В.А. Лукьянченко, О.А. Ворона, Ю.В. Костина, Е.В. Представлена численная методика построения редуцированной модели устойчивости параметрических колебаний пологой оболочки отрицательной гауссовой кривизны типа гиперболического параболоида. Формирование редуцированных матриц масс, демпфирования, жесткости и геометрической жесткости выполнено с помощью процедур программного комплекса конечноэлементного анализа. В нелинейной постановке исследовано статическое и динамическое поведение гиперболического параболоида при действии постоянной составляющей параметрической нагрузки. Представлено чисельну методику побудови редукованої моделі стійкості параметричних коливань пологої оболонки від’ємної гаусової кривини типу гіперболічного параболоїда. Для формування редукованих матриць мас, демпфування, жорсткості та геометричної жорсткості застосовано процедури програмного комплексу скінченноелементного аналізу. Дослідження статичної і динамічної поведінки гіперболічного параболоїда в нелінійній постановці дозволило виявити відмінність його поведінки від поведінки пологих оболонок позитивної гаусової кривини. А саме, в результаті аналізу впливу постійної складової параметричного навантаження на власні частоти коливань виявлена втрата стійкості оболонки в деякому діапазоні навантаження з подальшим виходом в зону стійкості. Дослідження цієї особливості авторами пропонується виконати за допомогою побудови додаткової редукованої моделі стійкості параметричних коливань гіперболічного параболоїда, яку подано в роботі. A numerical technique is presented for constructing the reduced model for parametric oscillations stability of a shallow shell with negative Gaussian curvature of the hyperbolic paraboloid type. To form the reduced mass matrix, damping matrix, stiffness matrix and geometric stiffness matrix the procedures of finite element software is used. An analysis of the static and dynamic nonlinear behavior of a hyperbolic paraboloid permits to reveal its difference from the shallow shells of positive Gaussian curvature. Namely, an effect of the constant component of the parametric load on the eigenfrequencies of oscillations with a subsequent exit into the stability zone is revealed. The authors propose to study this peculiarity by constructing the additional reduced stability model for the parametric oscillations of hyperbolic paraboloid just in the way stated in this study. 2018 Article Об устойчивости параметрических колебаний оболочки в виде гиперболического параболоида / В.А. Баженов, О.А. Лукьянченко, Ю.В. Ворона, Е.В. Костина // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 36-49. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174180 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Представлена численная методика построения редуцированной модели устойчивости параметрических колебаний пологой оболочки отрицательной гауссовой кривизны типа гиперболического параболоида. Формирование редуцированных матриц масс, демпфирования, жесткости и геометрической жесткости выполнено с помощью процедур программного комплекса конечноэлементного анализа. В нелинейной постановке исследовано статическое и динамическое поведение гиперболического параболоида при действии постоянной составляющей параметрической нагрузки. |
| format |
Article |
| author |
Баженов, В.А. Лукьянченко, О.А. Ворона, Ю.В. Костина, Е.В. |
| spellingShingle |
Баженов, В.А. Лукьянченко, О.А. Ворона, Ю.В. Костина, Е.В. Об устойчивости параметрических колебаний оболочки в виде гиперболического параболоида Прикладная механика |
| author_facet |
Баженов, В.А. Лукьянченко, О.А. Ворона, Ю.В. Костина, Е.В. |
| author_sort |
Баженов, В.А. |
| title |
Об устойчивости параметрических колебаний оболочки в виде гиперболического параболоида |
| title_short |
Об устойчивости параметрических колебаний оболочки в виде гиперболического параболоида |
| title_full |
Об устойчивости параметрических колебаний оболочки в виде гиперболического параболоида |
| title_fullStr |
Об устойчивости параметрических колебаний оболочки в виде гиперболического параболоида |
| title_full_unstemmed |
Об устойчивости параметрических колебаний оболочки в виде гиперболического параболоида |
| title_sort |
об устойчивости параметрических колебаний оболочки в виде гиперболического параболоида |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174180 |
| citation_txt |
Об устойчивости параметрических колебаний оболочки в виде гиперболического параболоида / В.А. Баженов, О.А. Лукьянченко, Ю.В. Ворона, Е.В. Костина // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 36-49. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT baženovva obustojčivostiparametričeskihkolebanijoboločkivvidegiperboličeskogoparaboloida AT lukʹânčenkooa obustojčivostiparametričeskihkolebanijoboločkivvidegiperboličeskogoparaboloida AT voronaûv obustojčivostiparametričeskihkolebanijoboločkivvidegiperboličeskogoparaboloida AT kostinaev obustojčivostiparametričeskihkolebanijoboločkivvidegiperboličeskogoparaboloida AT baženovva onstabilityofparametricoscillationsofashellintheformofhyperbolicparaboloid AT lukʹânčenkooa onstabilityofparametricoscillationsofashellintheformofhyperbolicparaboloid AT voronaûv onstabilityofparametricoscillationsofashellintheformofhyperbolicparaboloid AT kostinaev onstabilityofparametricoscillationsofashellintheformofhyperbolicparaboloid |
| first_indexed |
2025-11-28T08:03:45Z |
| last_indexed |
2025-11-28T08:03:45Z |
| _version_ |
1850020504518262784 |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 3
36 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 3
В . А . Б а ж е н о в , О . А . Л у к ь я н ч е н к о ,
Ю . В . В о р о н а , Е . В . К о с т и н а
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧКИ
В ВИДЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА
Киевский национальный университет строительства и архитектуры (КНУСА),
пр-т Воздухофлотский, 31, 03037 г. Киев, Украина; e-mail: lukianch0907@meta.ua
Abstract. A numerical technique is presented for constructing the reduced model for
parametric oscillations stability of a shallow shell with negative Gaussian curvature of the
hyperbolic paraboloid type. To form the reduced mass matrix, damping matrix, stiffness
matrix and geometric stiffness matrix the procedures of finite element software is used. An
analysis of the static and dynamic nonlinear behavior of a hyperbolic paraboloid permits to
reveal its difference from the shallow shells of positive Gaussian curvature. Namely, an ef-
fect of the constant component of the parametric load on the eigenfrequencies of oscillations
with a subsequent exit into the stability zone is revealed. The authors propose to study this
peculiarity by constructing the additional reduced stability model for the parametric osci-
llations of hyperbolic paraboloid just in the way stated in this study.
Key words: dynamic stability, parametric oscillations, finite element method, shallow
shell, hyperbolic paraboloid.
Введение.
Гиперболические параболоиды являются пологими оболочками отрицательной
гауссовой кривизны, которые используются во многих областях техники и строитель-
ства. Достаточно детально разработаны методы расчета таких оболочек при статиче-
ском действии внешних нагрузок [1, 2, 5 – 7, 10, 12, – 16, 18 – 20, 23, 28, 31]. Количе-
ство работ, посвященных исследованию динамического поведения гиперболических
параболоидов, сравнительно мало. Важной остается задача создания редуцированных
моделей устойчивости параметрических колебаний пологих оболочек, в том числе от-
рицательной гауссовой кривизны [3, 4, 6, 9, 11, 21, 22, 24 – 27, 29, 30, 32]. Ее решение с
помощью аналитических методов является сложным и содержит некоторые предполо-
жения, поэтому все чаще применяются численные методы. При построении дискретных
моделей пологих оболочек широкое применение получил метод конечных элементов,
который реализован в современных вычислительных комплексах ANSYS, NASTRAN,
SCAD и других [17]. Построение редуцированных дискретных моделей устойчивости
параметрических колебаний упругих систем, в том числе пологих оболочек положи-
тельной гауссовой кривизны, выполнено авторами и освещено в работах [3, 4]. Акту-
альной остается задача моделирования устойчивости параметрических колебаний поло-
гих оболочек отрицательной гауссовой кривизны типа гиперболического параболоида.
Ниже выполнено построение редуцированной дискретной модели устойчивости па-
раметрических колебаний латунной квадратной жестко закрепленной пологой тонко-
стенной оболочки типа гиперболического параболоида при действии поверхностного
давления с применением процедур программного комплекса конечноэлементного
анализа NASTRAN [17]. Для определения редуцированных матриц масс, демпфиро-
вания, жесткости и геометрической жесткости решены линейная и нелинейная задачи
статики оболочки (Linear Static, Nonlinear Static), линейная задача устойчивости
(Buckling) при действии постоянной составляющей параметрической нагрузки. Вы-
37
полнен модальный анализ гиперболического параболоида в линейной постановке
(Normal Modes). В нелинейной постановке определены собственные частоты колеба-
ний оболочки, нагруженной постоянной составляющей параметрической нагрузки
(Nonlinear Static, Modes_Param). Выявлены особенности статического и динамическо-
го поведений гиперболического параболоида, которые были учтены при формирова-
нии редуцированной модели устойчивости параметрических колебаний оболочки.
§1. Формирование редуцированных моделей динамической устойчивости па-
раметрических колебаний пологих оболочек.
За основу построения редуцированных моделей динамической устойчивости па-
раметрических колебаний пологих оболочек авторами принята численная методика
редуцирования в задачах параметрических колебаний упругих систем, представлен-
ная в статьях [3, 4, 11]. Известно, что уравнение динамической устойчивости упругой
системы может быть записано в виде уравнения ее статического равновесия с добав-
лением даламберовых сил инерции, диссипативных сил и некоторых составляющих
невозбуждённого напряженно-деформированного состояния системы, зависящих от
времени. Зададим параметрические силы с точностью до двух множителей, один из
которых характеризует постоянную составляющую параметрического воздействия,
а второй – составляющую, изменяющуюся во времени по закону ( )f t [21].
Тогда уравнение устойчивости параметрических колебаний упругой системы за-
пишется в виде дифференциальных уравнений в частных производных, которые удо-
влетворяют соответствующим граничным условиям
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,G GΜυ t Cυ t Kυ t αK υ t βf t K υ t
(1.1)
где Μ и K – инерционный и упругий операторы;
1GK и
2GK – составляющие опера-
тора параметрических сил в уравнении квазистатического равновесия; С – оператор,
учитывающий диссипативные силы. Область определения решений ( )υ t
уравнения
(1.1) совпадает с областью определения оператора K . Операторы М , K ,
1GK и
2GK – положительно определены.
Выполнение прикладных расчетов требует перехода от операторного уравнения
(1.1) к дискретной динамической модели. Задачу динамической устойчивости для
систем с конечным числом степеней свободы на основе метода конечных элементов
запишем в виде обыкновенных дифференциальных уравнений
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,G GM u t C u t K u t K u t f t K u t
(1.2)
где 1 2( ) ( ( ), ( ), . . . , ( ))T
nu t u t u t u t
– вектор узловых перемещений; ,М ,K
1GK и
2GK –
положительно определенные матрицы масс, жесткости и геометрической жесткости
соответственно, С – матрица демпфирования.
В настоящее время существует много подходов для решения этой классической
задачи, когда ( )f t является детерминистической периодической функцией или слу-
чайным стационарным процессом [3, 4, 24 – 28, 30]. При рассмотрении реальных объ-
ектов дискретные модели могут быть большого размера, что влечет за собой вычис-
лительные трудности. Поэтому необходимо выполнить редукцию исходной дискрет-
ной модели, при этом существенно учитывать характеристики параметрического воз-
действия.
Для построения редуцированных моделей можно применить метод обобщенных
координат. Пусть 1 2, , . . . , mv v v
– система линейно-независимых векторов, достаточ-
ная для представления в пространстве nE . Нетривиальное решение системы (1.2)
можно аппроксимировать выражением
( ) ( ),u t V y t
(1.3)
где V матрица размерностью n m определяется системой базисных векторов 1
m
i i
v
:
38
1 2( , , . . . , ),mV v v v
(1.4)
1 2( ) ( ( ), ( ), . . . , ( ), . . . , ( ))T
i my t y t y t y t y t
– вектор обобщенных координат. Исходя из
(1.2) и (1.3) относительно компонент вектора ( )y t
записывается система m обыкно-
венных дифференциальных уравнений
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.T T T T T
G GV MV y t V CV y t V KV y t V K V y t f t V K V y t
(1.5)
Систему (1.5) представим в виде
1 2
* * * * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,G GM y t C y t K y t K y t f t K y t
(1.6)
где редуцированные матрицы масс *,M демпфирования *,C жесткости *,K геомет-
рической жесткости
1
*
GK и
2
*
GK размерностью m m представляются, соответственно,
выражениями:
* ;TM V MV (1.7)
* ;TC V CV (1.8)
* ;TK V KV (1.9)
1 1
* ;T
G GK V K V (1.10)
2 2
* .T
G GK V K V (1.11)
Для сложных объектов исследование динамической устойчивости может быть вы-
полнено при построении редуцированных моделей с размерностью m , которое выбира-
ется значительно меньше ( ).n m n Вопрос об адекватности модели (1.6) решается,
с одной стороны, исследованием внутренней сходимости результатов при увеличении
m , а с другой стороны – применением при редукции других базисных векторов.
Главные вычислительные проблемы связаны с определением редуцированных мат-
риц. Для этого необходимо вычислительными процедурами соответствующего вы-
числительного комплекса формировать матрицы
1 2
, , , , ,G GMV CV KV K V K V столбцы
которых представляют собой, соответственно, векторы
1 2
, , , , ,j j j G j G jMv Cv Kv K v K v
( 1 2 )j , , . . . ,m . Однако, в стандартных вычислительных комплексах процедуры для
определения всех этих векторов, как правило, отсутствуют. Есть процедура для опре-
деления реакции системы на заданное поле перемещений v
, т. е. для вычисления век-
тора Kv
, где K – матрица жесткости системы, которая рассматривается. Применяя
такую процедуру, можно определить векторы
1 2
, ,G GMv K v K v
. Также при некоторых
условиях можно определить структуру матрицы C и вектора .C v
Для этого, кроме
указанной выше процедуры, используются процедуры анализа свободных колебаний
и процедуры решения задачи устойчивости.
Сначала представляется алгоритм вычисления вектора M v
для любого поля пе-
ремещений .v
Для системы формулируется задача об определении частот и форм
собственных колебаний
2( ) 0.K M (1.12)
Пусть 1( 1 2 )i i , , . . . ,m – вектор частот собственных колебаний дискретной моде-
ли, 1 2 1( ) ( 1 2 )T
i i i ni, , . . . , i , , . . . ,m
– система векторов собственных форм коле-
баний. Система векторов 1
1
m
i i
– ортогональна, т. е. 0, 0 ( ).T T
j i j iM K i j
39
С помощью подмножества собственных форм колебаний 1
1
m
i i
можно прибли-
женно представить поле перемещений v
в виде
1
1
.
m
i i
i
v a
(1.13)
В силу ортогональности векторов 1
1
m
i i
имеем
.
T
i
i T
i i
Kv
a
K
(1.14)
Вследствие (1.12) имеем равенство
2
1
.i i
i
M K
(1.15)
Тогда, учитывая (1.14), можно записать
1 1
2
1 1
.
m m
i
i i i
i i i
a
M v a M K
(1.16)
Таким образом, исходя из процедуры вычисления 1( 1 2 ),iK i , , . . . ,m
можно опреде-
лить вектор .M v
Аналогично строится алгоритм вычисления векторов
1GK v
и
2GK v
, только вместо
процедуры анализа собственных колебаний применяется процедура решения задачи
статической устойчивости. Сначала рассматривается алгоритм вычисления вектора
1GK v
. Для системы формулируется задача устойчивости
1
( ) 0.GK K
(1.17)
Пусть
21 2, , . . . , m – совокупность критических значений задачи (1.17),
21 2, , . . . , m
– соответствующие формы потери устойчивости. Вследствие выполненных выше пред-
положений относительно свойств матриц K и
1GK эти векторы ортогональны в мет-
рике, которая определяется матрицей
1GK и, соответственно, матрицей ,K т.е.
1
0
0
T
j G i
T
j i
K
K
( ).i j (1.18)
С помощью подмножества форм потери устойчивости 2
1
m
i i
приближенно поле пе-
ремещений v
представляется в виде
2
1
.
m
i i
i
v b
(1.19)
Аналогично (1.16) можно записать, что вектор
2
1
1
,
m
i
G i
i i
b
K v K
(1.20)
где
.
T
i
i T
i i
Kv
b
K
(1.21)
Таким образом, задача определения вектора
1GK v
решена.
40
Аналогично определяется вектор
2GK v
. Рассматривается задача устойчивости
2
( ) 0GK K
. (1.22)
Пусть
31 2 mμ , μ , . . . , μ – совокупность критических значений задачи (1.22);
31 2, , . . . , m
– соответствующие ортогональные в метрике матрицы жесткости K формы потери
устойчивости.
Совокупность векторов 3
1
m
i i
является базисом в пространстве nE , которое так
удовлетворяет условиям:
2
0
0
T
j G i
T
j i
K
K
( ).i j (1.23)
С помощью подмножества векторов 3( 1, 2, . . . , )i i m
аналогично (1.13) поле пе-
ремещений v
можно приближенно представить в виде
3
1
,
m
i i
i
v c
(1.24)
где
.
T
i
i T
i i
Kv
c
K
(1.25)
Аналогично (1.20) вектор
2GK v
можно приближенно представить в виде
3 3
2 2
1 1
.
m m
i
G i G i i
i i i
c
K v c K K
(1.26)
Таким образом, для произвольного поля перемещений v
с помощью процедуры вычис-
ления реакции K v
и процедуры решения соответствующих обобщенных задач на соб-
ственные значения построены алгоритмы аппроксимации векторов
1
, GM v K v
и
2GK v
.
Для определения вектора C v
необходимо принять дополнительные предположе-
ния о структуре матрицы демпфирования .C Если матрицу демпфирования предста-
вить в форме Рэлея
0 1С d M d K , (1.27)
где 0d и 1d – произвольные коэффициенты пропорциональности, тогда в силу (1.16)
1
0 12
1
.
m
i
i
i i
a
C v d K d K v
(1.28)
Теперь можно записать матрицы
1 2
, , , , ,G GMV CV KV K V K V входящие в формулы (1.7),
(1.8), (1.10), (1.11) с учетом выражений (1.16), (1.20), (1.26), (1.28) и подсчитать
аппроксимации редуцированных матриц масс *,M демпфирования *,C жесткости
*,K геометрических жесткостей
1
*
GK и
2
*
GK . Подмножество векторов 1
1
,
m
i i
2
1
m
i i
и
3
1
m
i i
принимается с одинаковой размерностью 1 2 3( ).m m m m m Используя
(1.16), (1.20), (1.26), (1.28) и в силу (1.14), (1.21), (1.25), можно записать
1 ;TMV K KV (1.29)
1
0 1 ;TCV d K KV d KV (1.30)
1
1 ;T
GK V K KV (1.31)
41
2
1 .T
GK V K KV (1.32)
Здесь матрицы , и размерностью n m определяются соотношениями
1 2( );m, , . . . ,
(1.33)
1 2( , , . . . , );m
(1.34)
1 2( , , . . . , ),m
(1.35)
а диагональные матрицы 1 1 1, , – соотношениями
1 2 2 2
1 2diag( , , . . . , );m (1.36)
1 1 1 1
1 2diag( , , . . . , );m (1.37)
1 1 1 1
1 2diag( , , . . . , ).m (1.38)
С учетом выполненных процедур редуцированные матрицы масс *,M демпфиро-
вания *,C жесткости *,K геометрической жесткости
1
*
GK и
2
*
GK вычисляются по
формулам
* 1 ;T TM V K KV (1.39)
1 * *
0 1 0 1 ;T T TCV d V K KV d V KV d M d K (1.40)
1
* 1 ;T T
GK V K KV (1.41)
2
* 1 .T T
GK V K KV (1.42)
Таким образом, соотношения (1.9), (1.39) – (1.42) позволяют определить все коэффи-
циенты редуцированной модели (1.6). Представленная численная методика редуциро-
вания в задачах параметрических колебаний упругих конструкций использована авто-
рами при исследовании динамической устойчивости параметрических колебаний упру-
гих систем, в том числе пологих оболочек положительной гауссовой кривизны [3, 4].
§2. Исследование нелинейного поведения гиперболического параболоида при
действии постоянной составляющей параметрической нагрузки.
Физические и геометрические параметры квадратного жестко закрепленного тон-
костенного гиперболического параболоида приняты равными: сторона 0,2 м,a b
толщина 0,5 ммh , модуль упругости 98,1 ГПаE , коэффициент Пуассона 0,25,
прогиб 0,06 мf . Поверхность параболоида смоделирована в виде совокупности
плоских прямоугольных конечных элементов с шестью степенями свободы в узлах
(конечноэлементная модель гиперболического параболоида – см. рис. 1). Вдоль кон-
тура ограничены все линейные и угловые перемещения узлов модели оболочки.
На верхнюю поверхность оболочки приложена распределенная параметрическая
нагрузка 0( ) ( )z t z z t , где 0z , ( )z t – постоянная и динамическая составляющие па-
раметрической нагрузки, соответственно.
Рис. 1
42
Исследовано влияние постоянной со-
ставляющей параметрической нагрузки
( 0 0 98100 Паz q ) на напряженно-де-
формированное состояние оболочки в ли-
нейной и нелинейной постановках.
Результаты решения задачи линей-
ной статики (Linear Static) представлены
на рис. 2. Напряженно-деформированное
состояние оболочки показано при дей-
ствии поверхностного давления (Linear
Static): а, б – деформации; в – эквива-
лентные напряжения.
Максимальные деформации 0,915 мм
симметрично распределены на выпуклой
и вогнутой параболах оболочки (рис. 2, б).
Максимальные эквивалентные напряже-
ния 136,84 МПа наблюдаются возле вы-
пуклой параболы на противоположных
кромках оболочки (рис. 2, в). Нелинейное
поведение гиперболического параболои-
да исследовано с помощью модифициро-
ванного метода Ньютона – Рафсона. На
рис. 3 показаны кривые зависимости мак-
симальных перемещений узлов выпуклой
и вогнутой парабол оболочки при дей-
ствии статической составляющей поверх-
ностной нагрузки 0 00 1 .z q q По-
ведение выпуклой и вогнутой парабол
отличаются при нагрузке 00,62q q .
Оболочка сжата вдоль выпуклой парабо-
лы и растянута вдоль вогнутой параболы.
Кривые нагружения гиперболического
параболоида (Nonlinear Static): 1 – вы-
пуклая парабола; 2 – вогнутая парабола.
Эти результаты совпадают с исследова-
ниями статического поведения гипербо-
лического параболоида [1, 18].
Рис. 3
а
б
в
Рис. 2
43
На рис. 4 представлены изополя перемещений и эквивалентных напряжений в
элементах оболочки на разных шагах ее нагружения.
00,05q q 00,5q q 00,7q q
00,85q q 0q q
а
00,05q q 00,5q q 00,7q q
00,85q q 0q q
б
00,05q q 00,5q q 00,7q q
00,85q q 0q q
в
Рис. 4
44
Поведение гиперболического параболоида на разных шагах статического нагру-
жения (Nonlinea Static) показано на рис. 4: а, б – деформации; в – эквивалентные
напряжения.
В работе исследована устойчивость гиперболического параболоида при действии
постоянной составляющей параметрической нагрузки 0 0 98100 Паz q на основе
решения задачи на собственные значения (Bucling) методом Ланцоша. На рис. 5 при-
ведены первые десять форм потери устойчивости и соответствующие критические
значения нагрузки.
1 0 0,6992crq q 2 00,6992crq q 3 00,6998crq q 4 00,6998crq q 5 00,7812crq q
6 00,7812crq q 7 00,7847crq q 8 00,7847crq q 9 00,7877crq q 10 00,7877crq q
Рис. 5
Потеря устойчивости гиперболического параболоида происходит при 1crq
00,6992q . Спектр критических значений статической составляющей параметричес-
кой нагрузки 0,6992; 0,6992; 0,6998; 0,6998; 0,7812; 0,7812; 0,7847; 0,7877;crq
00,7877 Паq плотный. Видно, что оболочка поочередно растягивается и сжимается
вдоль выпуклой и вогнутой парабол. При решении нелинейной задачи статики (рис. 4, а)
наблюдается только сжатие оболочки вдоль выпуклой параболы и растяжение вдоль
вогнутой параболы.
§3. Определение динамических характеристик гиперболического параболоида.
В работе выполнен модальный анализ ненагруженного гиперболического парабо-
лоида. Решена задача на собственные значения (Normal Modes) методом Ланцоша. На
рис. 6 представлены первые десять форм и частот собственных колебаний оболочки.
1 570,58 Гц 2 570,59 Гц 3 576,92 Гц 4 583,60 Гц 5 728,33 Гц
6 751,85 Гц 7 769,17 Гц 8 769,17 Гц 9 789,53 Гц 10 799,47 Гц
Рис. 6
45
На рис. 6 наблюдаются симметричные и кососимметричные формы колебаний как
относительно парабол, так и осей симметрии. Спектр собственных частот оболочки плот-
ный 570,58;570,59;576,92;583,60;728,33;751,85;769,17;769,17;789,53;799,47 Гц.i
Формы собственных колебаний гиперболического параболоида отличаются от форм
деформаций, полученных при решении нелинейной задачи статики (рис. 4) и от форм
потери устойчивости при действии на оболочку постоянной составляющей парамет-
рической нагрузки (рис. 5).
В нелинейной постановке с помощью процедур Nonlinear Static и Modes_Param иссле-
дованы частоты и формы собственных колебаний гиперболического параболоида, нагру-
женного постоянной составляющей параметрической нагрузки 0 100 98100 Паz
00,001 1 .q В таблице представлены значения первых пяти собственных частот
нагруженной оболочки ( ).i
0 Паz ,
Частоты собственных колебаний нагруженной оболочки i , Гц
1 2 3 4 5
100 590,258 590,2665 594,195 601,0739 758,565
1000 590,1886 590,2743 594,1646 601,0476 758,5126
10000 586,6749 587,5751 591,0912 598,3885 753,1955
20000 576,3847 578,4214 581,4108 589,8676 736,0726
30000 558,885 561,5569 564,7944 573,6301 701,1866
40000 531,6699 533,7711 538,5317 544,9197 644,3833
50000 484,18 490,18 490,3385 497,4305 554,6142
60000 358,7183 361,4407 424,8568 431,195 450,1801
70000 276,0074 286,2772 316,4006 323,4406 486,5696
72500 195,6378 214,9427 274,3147 281,2457 456,5276
73500 149,7651 175,9225 254,6887 261,6312 443,5983
74000 119,8988 152,0462 244,0816 251,0526 436,8146
74500 78,9782 123,0894 232,8475 239,8691 429,7664
75000 0 (– 44,55) 83,9534 220,8593 227,9896 422,4205
80000 0 (– 86,41) 0 (– 85,95) 331,8887 349,6658 505,2092
85000 195,8188 223,2068 458,4897 461,6251 524,6245
90000 402,9578 408,8756 474,9057 494,5833 517,641
95000 333,8849 342,9061 415,1306 440,275 460,7677
98100 279,4819 290,9796 371,2992 392,6741 425,641
При нагрузке 0 00,2039 20000 Паz q частоты собственных колебаний гипербо-
лического параболоида i выше собственных частот ненагруженной оболочки i
(рис. 6). Это свидетельствует о том, что при действии постоянной составляющей па-
раметрической нагрузки гиперболический параболоид становиться жестче. При по-
следующем увеличении нагрузки соб-
ственные частоты колебаний нагружен-
ной оболочки уменьшаются. При дейст-
вии нагрузки 0 75000 Паz первая час-
тота собственных колебаний обнуляется,
что соответствует потере устойчивости
гиперболического параболоида. Когда
постоянная составляющая параметри-
ческой нагрузки принимает значение
0 80000 Паz , обнуляются первая и вто-
рая частоты колебаний. Уточненные зна-
чения критических нагрузок составляют
1 00,7645crq q , 2 00,8155crq q . Эти
Рис. 7
46
значения выше критических значений нагрузки при потере устойчивости оболочки,
полученных методом Ланцоша в линейной постановке (рис. 5). Важно отметить, что
при последующем увеличении нагрузки гиперболический параболоид не теряет
устойчивость. На рис. 7 представлена зависимость первых пяти собственных частот
колебаний оболочки от значения постоянной составляющей параметрической нагруз-
ки. Там же показано влияние постоянной составляющей параметрической нагрузки на
частоту собственных колебаний оболочки: 1 – первую, 2 – вторую, 3 – третью, 4 –
четвертую, 5 – пятую.
Видно, что динамическое поведение гиперболического параболоида при действии
постоянной составляющей параметрической нагрузки является нелинейным. Имеет
место потеря устойчивости по первой и второй частотах собственных колебаний обо-
лочки в некотором диапазоне значений постоянной составляющей параметрической
нагрузки. Такое поведение не наблюдается в исследованных авторами пологих обо-
лочках положительной кривизны [3, 4].
§4. Построение редуцированной модели параметрических колебаний гипер-
болического параболоида.
Если за базисные векторы принять формы собственных колебаний 1
,
m
i i
кото-
рые в программе NASTRAN [17] нормированы по матрице масс M , тогда редуциро-
ванные матрицы масс *M , демпфирования *C и жесткости *K принимают вид
* diag(1,1, . . . , 1);TM M E
*
1 1 2 2diag(2 , 2 , . . . , 2 , . . . , 2 );T
i i m mC C
* 2 2 2 2
1 2diag( , , . . . , , . . . , ),T
i mK K (4.1)
где 1
m
i i
− матрица форм собственных колебаний; 2i i − круговая частота
собственных колебаний (с-1); i − коэффициент демпфирования оболочки по і-той
частоте собственных колебаний; m − число учтенных форм собственных колебаний.
Редуцированная матрица геометрической жесткости *
GK гиперболического пара-
болоида, согласно представленной в §1 численной методики, принимает вид
* 1 .T T
GK K K (4.2)
Здесь 1 21
, , . . . ,
m T
i cr cr cr mi
q q q
− матрица критических значений нагрузки (§2);
векторы матриц K и K вычисляются с помощью процедуры определения реак-
ции системы на заданное поле перемещений в виде векторов форм собственных коле-
баний 1
m
i i
и форм потери устойчивости оболочки 1
m
i i
[3].
Редуцированную модель динамической устойчивости параметрических колебаний
гиперболического параболоида с учетом формул (1.6), (4.1) и (4.2) представим в виде
системы связанных уравнений
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,T T T T TM y t C y t K y t z t K K y t
(4.3)
или
2 2
1
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0
m
i i i i i i ij ij
j
y t y t y t z t g y t
, 1,2,..., ,i j m (4.4)
где ijg – члены матрицы геометрической жесткости *
GK .
Особенность поведения гиперболического параболоида, нагруженного поверхност-
ным давлением (таблица и рис. 7), а именно, потеря устойчивости оболочки по первой и
второй формам собственных колебаний в диапазоне нагрузки 0 75000 80000 Паz с
47
последующим переходом в зону устойчивости, с помощью уравнений (4.4) не будет
учтена. Авторами предлагается в первом приближении построить редуцированную
матрицу геометрической жесткости гиперболического параболоида для конкретных
значений статической составляющей параметрической нагрузки
0
*
( ,)G zK представлен-
ных в таблице. Например, если при формировании расчетной редуцированной модели
параметрических колебаний гиперболического параболоида учесть первые пять ча-
стот собственных колебаний, тогда редуцированная матрица жесткости ненагружен-
ной оболочки примет вид
* diag (12851896,12852347,13139091,13445120, 20940667).K (4.5)
Редуцированная матрица жесткости нагруженной оболочки
0
**
( )zK , например, при
действии постоянной составляющей параметрической нагрузки 0 100 Паz и
0 50000 Паz (таблица) примет вид
0
**
100 diag (13753647,13754043,13937732,14262310, 22715365);zK
0
**
50000 diag (9254390, 9485174, 9491309, 9767849,12142723).zK (4.6)
Редуцированная матрица жесткости нагруженного гиперболического параболои-
да, может быть представлена в виде
0 0
** * *
( .( ) )z G zK K K (4.7)
Тогда из выражения (4.7) редуцированная матрица геометрической жесткости
0 0
* * **
( ( .) )G z zK K K (4.8)
Например, для значений постоянной составляющей параметрической нагрузки
0 100 Паz и 0 50000 Паz имеем:
0
*
( 100) diag ( 901751, 901696, 798641, 817190, 1774698);G zK
0
*
( 50000) diag (3597506, 3367173, 3647782, 3677271, 8797944).G zK (4.9)
Тогда редуцированная модель устойчивости параметрических колебаний гипер-
болического параболоида примет вид системы несвязанных уравнений вида
0
0
2 2
0
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0
ii z
i i i i i ii z
g
y t y t y t z t y t
z
( 1, 2, . . . , ),i m (4.10)
где 2i i − круговая частота собственных колебаний оболочки, нагруженной по-
стоянной составляющей параметрической нагрузки (с-1); 0ii zg − члены редуцированной
матрицы геометрической жесткости 0
*
G zK , соответствующие i - той частоте собствен-
ных колебаний оболочки и статической составляющей параметрической нагрузки 0z .
Редуцированные модели (4.4) и (4.10) дадут возможность исследовать устойчи-
вость параметрических колебаний гиперболического параболоида во всем диапазоне
параметрического нагружения и учесть особенность его динамического поведения,
обнаруженного в данной работе.
Заключение.
Представлена численная методика построения редуцированной модели устойчиво-
сти параметрических колебаний пологой оболочки отрицательной гауссовой кривизны
типа гиперболического параболоида. Формирование редуцированных матриц масс,
демпфирования, жесткости и геометрической жесткости выполнено с помощью проце-
48
дур программного комплекса конечноэлементного анализа. В нелинейной постановке
исследовано статическое и динамическое поведение гиперболического параболоида при
действии постоянной составляющей параметрической нагрузки. Обнаружено отличие
его поведения от поведения пологих оболочек положительной гауссовой кривизны. А
именно, в результате анализа влияния постоянной составляющей параметрической
нагрузки на собственные частоты колебаний обнаружена потеря устойчивости оболоч-
ки в некотором диапазоне нагрузки с последующим выходом в зону устойчивости. Ис-
следование этой особенности авторами предлагается выполнить с помощью дополни-
тельной редуцированной модели, построенной с учетом собственных частот гипербо-
лического параболоида, нагруженного постоянной составляющей параметрической
нагрузки.
РЕЗЮМЕ. Представлено чисельну методику побудови редукованої моделі стійкості парамет-
ричних коливань пологої оболонки від’ємної гаусової кривини типу гіперболічного параболоїда. Для
формування редукованих матриць мас, демпфування, жорсткості та геометричної жорсткості засто-
совано процедури програмного комплексу скінченноелементного аналізу. Дослідження статичної і
динамічної поведінки гіперболічного параболоїда в нелінійній постановці дозволило виявити відмін-
ність його поведінки від поведінки пологих оболонок позитивної гаусової кривини. А саме, в резуль-
таті аналізу впливу постійної складової параметричного навантаження на власні частоти коливань
виявлена втрата стійкості оболонки в деякому діапазоні навантаження з подальшим виходом в зону
стійкості. Дослідження цієї особливості авторами пропонується виконати за допомогою побудови
додаткової редукованої моделі стійкості параметричних коливань гіперболічного параболоїда, яку
подано в роботі.
1. Абовский Н.П., Самольянов И. И. К расчету пологой оболочки типа гиперболического параболоида
// Строит. механика и расчет сооружений. – 1969, № 6. – С. 7 – 12.
2. Баженов В.А., Гуляев В.И., Гоцуляк Е.О. Устойчивость нелинейных механических систем. – Львов:
Вища шк., 1982. – 255 с.
3. Баженов В.А., Дехтярюк Є.С., Лук’янченко О.О., Костіна О.В. Чисельна побудова редукованих
моделей стохастичних параметричних коливань пологих оболонок // Опір матеріалів і теорія
споруд. – К.: КНУБА, 2011. Вип. 87. − С. 73 – 87.
4. Баженов В.А., Лук’янченко О.О., Ворона Ю.В., Костіна О.В. Динамічна стійкість параметричних
коливань пружних систем // Опір матеріалів і теорія споруд. К.: КНУБА, 2015. Вип. 95. −
С. 145 – 185.
5. Берман Ф.И. К расчету гиперболической оболочки при действии несимметричной гидростатиче-
ской нагрузки / Сб. трудов ЦНИИЭПсельстрой, 1973, № 5. – С. 106 – 123.
6. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. − 600 с.
7. Виноградов Г.Г. Расчет строительных пространственных конструкций. – Л.: Стройиздат, Ленингр.
отделение, 1990. – 264 с.
8. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. – М.: Гостехтеориздат, 1956. – 419 с.
9. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. – М.: Наука, 1982. − 432 с.
10. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. – М.: Физматгиз, 1967. – 784 с.
11. Гоцуляк Є.О., Дехтярюк Є.С., Лук’янченко О.О. Побудова редукованої моделі параметричних ко-
ливань циліндричної оболонки при чистому згині // Опір матеріалів та теорія споруд. – К.: КНУ-
БА, 2009. Вип. 84. − С. 11 – 19.
12. Дехтярь А.С., Рассказов А.О. Экспериментальное исследование несущей способности оболочек
типа гиперболического параболоида // Пространственные конструкции в Красноярском крае»,
– Красноярск, 1969. – Вып. IV. – С. 311 – 321.
13. Журавлев А.А., Ёрж Е.Ю., Журавлев Д.А. Деревянные конструкции гиперболических оболочек / В сб.:
«Легкие строительные конструкции». – Ростов-на-Дону: Рост. гос. строит, ун-т, 2000. – С. 4 – 56.
14. Като В., Нишимура Т. Покрытие, образуемое сочетанием гиперболических параболоидов // Боль-
шепролетные оболочки. – М.: Стройиздат, 1969. – С. 167 – 195.
15. Рассказов А.О. Расчет оболочек типа гиперболических параболоидов. – К.: КГУ, 1972. – 175 с.
16. Ржаницын А.Р., Эм В.В. О расчете упругих тонких оболочек произвольной формы на основе мо-
ментной теории оболочек в прямоугольных координатах // Статика сооружений. – К., 1978. –
С. 88 – 91.
17. Рычков С.П. MSC.visualNASTRAN для Windows. – М.: НТ Пресс, 2004. – 552 с.
49
18. Самольянов И.И. Прочность, устойчивость и колебания гиперболического параболоида. – Луцк.:
Луцкий индустриальный институт, 1993. – 316 с.
19. Сунак О.П., Ужегов С.О., Пахолюк О.А. До визначення внутрішніх зусиль у пологій оболонці
від’ємної гаусової кривини при дії вертикального навантаження // Ресурсоекономні матеріали,
конструкції, будівлі та споруди. – 2012. – Вип. 23. − С. 411 – 16.
20. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. – М.: Наука, 1963. – 636 с.
21. Шмидт Г. Параметрические колебания. – М.: Изд-во «Мир», 1978. – 336 с.
22. Avramov K.V., Mikhlin Yu.V. Review of Applications of Nonlinear Normal Modes for Vibrating Me-
chanical Systems // Applied Mechanics Review. – 2013. – 65(2). – P. 1 – 20.
23. Beckh M. Hyperbolic Structures: Shukhov's Lattice Towers – Forerunners of Modern Lightweight Con-
struction. – John Wiley & Sons, 2015. – 152 p.
24. Bespalova E.I., Urusova G.P. Dynamic Instability of Shells of Revolution with Alternating Curvature
under Periodic Loading // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 5. – P. 521 – 527.
25. Konstantinov A.V., Limarchenko O.S., Melnik V.N., Semenova I.Yu. Problem of the Parametric Oscilla-
tions of a Noncylindrical Tank Partially Filled with a Fluid // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 6. – P.
599 – 605.
26. Kurpa L.V., Mazur O.S. Parametric Vibrations of Orthotropic Plates with Complex Shape // Int. Appl.
Mech. – 2010. – 46, N 4. – P. 438 – 449.
27. Labou M. Numerical Schemes for Stability in Probability of Perturbed Dynamical Systems // Int. Appl.
Mech. – 2012. – 48, N 4. – P. 465 – 484.
28. Mars J., Koubaa S., Wali M., Dammak F. Numerical Analysis of Geometrically Non-Linear Behavior of
Functionally Graded Shells // Lat. Am. J. Solids Struct. Rio de Janeiro, 14(11), 2017. http: // dx.doi.org
/10.1590/1679-78253914.
29. Nayfeh A.H. The response of two-degree-of-freedom systems with quadratic nonlinearities to a paramet-
ric excitation // J. of Sound and Vibr. – 1983. − 88, N 4. − Р. 547 – 557.
30. Panda S.K., Singh B.N. Non-linear free vibration analysis of laminated composite cylindrical / hyperbo-
loid shell panels based on higher-order shear deformation theory using non-linear finite-element meth-
od // Proc. of the Institution of Mechanical Engineers, Part G: J. of Aerospace Engineering. – 2008. –
222(7). – P. 993 – 1006.
31. «Soviet Applied Mechanics (Contents, 1966 – 1991), International Applied Mechanics (Contents, 1992 –
2005)» – Kyiv: ASK, 2006. – 432 p.
32. Towne B.G. Dynamic Characteristics of a Hyperboloid Shell of Revolution with Application to Flexible
Couplings // Thesis. Rochester Institute of Technology. – 2005. – 152 p. http://scholarworks.
rit.edu/theses.
Поступила 22.10.2017 Утверждена в печать 30.01.2018
|