О нелинейной теории магнитоупругости оболочек вращения с учетом джоулева тепла
Предложены теория и методика решения нелинейной краевой задачи магнитоупругости для оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулева нагрева. Проведена оценка членов, входящих в известное уравнение теплопроводности с источником джоулева тепла. Построена разрешающая система нелинейных уравнен...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2018 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174182 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О нелинейной теории магнитоупругости оболочек вращения с учетом джоулева тепла / Л.В. Мольченко, Л.Н. Федорченко, Л.Я. Васильева // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 71-80. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860118470658621440 |
|---|---|
| author | Мольченко, Л.В. Федорченко, Л.Н. Васильева, Л.Я. |
| author_facet | Мольченко, Л.В. Федорченко, Л.Н. Васильева, Л.Я. |
| citation_txt | О нелинейной теории магнитоупругости оболочек вращения с учетом джоулева тепла / Л.В. Мольченко, Л.Н. Федорченко, Л.Я. Васильева // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 71-80. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Предложены теория и методика решения нелинейной краевой задачи магнитоупругости для оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулева нагрева. Проведена оценка членов, входящих в известное уравнение теплопроводности с источником джоулева тепла. Построена разрешающая система нелинейных уравнений магнитоупругости осесимметричной краевой задачи для кольцевой пластины переменной жесткости. Числовой результаты представлены для гибкой кольцевой пластины.
Запропоновано теорію та методику розв’язання нелінійних задач магнітопружності оболонок обертання з урахуванням джоулевого тепла в мікросекундному діапазоні. Наведено числовий приклад.
A theory and technique of solving the nonlinear problems magnetoelasticity of shells of revolution with taking into account the Joule heat in the microsecond range is offered. A numerical example is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:38:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 3
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54 № 3 71
Л . В . М о л ь ч е н к о 1 , Л . Н . Ф е д о р ч е н к о 2 , Л . Я . В а с и л ь е в а 1
О НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ МАГНИТОУПРУГОСТИ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯ С УЧЕТОМ ДЖОУЛЕВА ТЕПЛА
1Николаевский национальный университет им. В.А.Сухомлинского,
ул. Никольская, 24, 54030, Николаев, Украина; e-mail: l.molchenko@gmail.com
2Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко,
пр. Академика Глушкова, 4-е, 03127, Киев, Украина;
e-mail: fedorchenko555@gmail.com
Abstract. A theory and technique of solving the nonlinear problems magnetoelasticity
of shells of revolution with taking into account the Joule heat in the microsecond range is
offered. A numerical example is given.
Key words. magnetoelasticity, shell, Joule heat, magnetic field.
Введение.
Исследования взаимосвязанности полей различной физической природы являются
актуальными в механике сплошных сред и имеют большое научное и прикладное зна-
чение. Проблемы взаимодействия также есть основополагающими и в задачах магни-
тоупругости, т. е. в задачах движения упругих деформируемых электропроводящих
тел в магнитном поле [8 – 10, 14].
Результаты исследований по механике связанных полей в деформируемых телах
имеют как фундаментальный, так и прикладной характер, что придает им особую ак-
туальность. В последние годы значительный интерес получили исследования процес-
сов деформации электропроводящих тел под действием силовых и электромагнитных
нагрузок [6, 11 – 13].
В данной работе рассмотрены связанные нестационарные задачи при воздействии
магнитных и механических полей на проводящие тела, в которых нелинейные эффек-
ты (конечные деформации) и учет джоулева тепла являются определяющими. Реше-
ние таких, столь сложных задач в настоящее время можно получить лишь численно.
Именно с этих позиций ниже дается формулировка основных геометрически нели-
нейных уравнений теории гибких оболочек вращения с учетом джоулева тепла.
1. Постановка задачи. Двумерные нелинейные уравнения магнитоупругости
оболочек вращения.
Рассмотрим нелинейную задачу магнитоупругости о напряженно-деформируемом
состоянии ((НДС) проводящих гибких оболочек вращения переменной жесткости,
находящихся под действием нестационарного магнитного поля и произвольной меха-
нической нагрузки. Примем, что изотропная упругая оболочка изготовлена из мате-
риала с конечной проводимостью и находится во внешнем магнитном поле 0H
.
Кроме того, оболочка является проводником равномерно распределенного электриче-
ского тока плотности cmJ
.
Пространственные уравнения магнитоупругости в дифференциальной форме в ла-
гранжевых переменных имеют вид [1, 14]
72
rot ;
B
E
t
rot ;H J
div 0;B
(1)
^ ˆdiv ;
V
F F
t
(2)
где E
– напряженность электрического поля; H
– напряженность магнитного поля;
B
– магнитная индукция; J
– плотность электрического тока; – плотность матери-
ала; F
– объемная механическая сила; ^F
– объемная сила Лоренца; ̂ – тензор
внутренних напряжений.
Закон Ома и сила Лоренца, с учетом стороннего тока cmJ
, соответственно имеют вид
;cmJ J E V B
(3)
^ .cmF J B E V B B
(4)
При построении приближенных двумерных (за материальными переменными)
уравнений движения и уравнений электродинамики теории тонких оболочек враще-
ния в геометрически нелинейной постановке используются гипотезы Кирхгофа – Лява
и гипотезы о характере распределения электромагнитного поля [1, 5].
Таким образом, при построении приближенных уравнений магнитоупругости
гибких оболочек, которые находятся в магнитном поле, используем следующую
группу электромагнитных гипотез:
, , ;E E t , , ;E E t ;
u u
E B B
t t
, , ;J J t , , ;J J t 0;J (5)
2
H H
H H H
h
;
2
H H
H H H
h
; , , .H H t
Рассмотрим гибкие изотропные оболочки вращения переменной толщины, коор-
динатная поверхность которой замкнута в окружном направлении поверхности вра-
щения. За координатную поверхность выбираем срединную поверхность оболочки и
отнесем ее в недеформированном состоянии к криволинейной ортогональной системе
координат s , , где s – длина меридиана; – центральный угол в параллельном
круге. Отсчитывая координату по нормали к срединной поверхности вращения,
отнесем оболочку к ортогональной пространственной системе координат , ,s .
Используя вариационный принцип, учитывая гипотезы Кирхгофа – Лява и элек-
тродинамические гипотезы (5), уравнения магнитоупругости гибких оболочек враще-
ния принимают вид [5]:
уравнения магнитоупругости –
2
2
1
coss
s s s
s s
rN S H r u
N Q r p F r h
s R R t
;
2
2
2
1 cos
( ) (sin ) sin ;
s
N v
r S H H Q r p F r h
r s s R t
(6)
2
2
sin ;s s
s
rQ Q N w
r N r p F r h
s R t
73
sin
cos 0s
s s s
rMH
M rQ r N M rS
s r
;
21 1
( ) 0s s
s
M
r H rQ r N M rS
r s R
;
( )1 1
;s
B rE E
t r s r
1
0,5s
H H Hw v
E B B B
t t r h
;
0,5 s s
s s
H H Hw u
E B B B
t t s h
;
выражения деформаций через перемещения –
21
;
2ss s
s
u w
s R
21 cos sin 1
2
v
u w
r r r
;
1
s s
u v
r
r s r
; s
ss s
;
1 cos
;sr r
(7)
1 cos 1 1 cos sins
s
s
u v
v
s r r R r r r s
,
где приняты такие обозначения: s
s
w u
s R
;
1 sinw
v
r r
;
соотношения упругости –
1s N ss TN D ; 1N ss TN D ;
1
2N sS D
;
(8)
(1 )M sH D ; 1s M ss TM D ; 1M ss TM D ,
где
2
2
1
, , ,
h
T
h
T s t d
h
;
2
3
2
12
, , ,
h
T
h
T s t d
h
;
2
( , )
1N
Eh s
D
;
3
2
( , )
12 1
M
Eh s
D
.
Составляющие силы Лоренца F имеют вид:
^
scm
Bh
F hJ B B
r
1
0, 25
12s s s s
u
h B B B B B B B B
t
2 21
0,25 ;
12
B Bv
B B B B B
t
74
^
2 22
0,5
1
0, 25
12
1
0, 25 ;
12
s ст s s
s s s s
w
F hJ B hE B h B B B
t
u u
B B B B B
t t
v
B B B B B B B B
t
(9)
^
2 2
2 2 2
0,5
2
0,5 0,5
1 1
0,25 .
12 12
ст ст s s
s s s s
s s s s
Bh
F h J B B J B B B B
r
u
hE B B h B B B
t
B Bw
B B B B B B
t
Отметим, что в случае использования канонических координат в теории оболочек вра-
щения коэффициенты Ламе срединной поверхности 1,A B r , а также / cosdr ds ,
где – угол между осью вращения и нормалью к оболочке; ( )r s – радиус парал-
лельного круга; ( , )h h s – толщина оболочки.
В соотношениях (6) – (9) введены следующие обозначения: ,sN N – нормальное
и тангенциальное усилия; S – сдвигающее усилие; ,sQ Q – поперечные усилия;
, ,sM M H – изгибные и крутящий моменты, соответственно; , ,u v w – компоненты
вектора перемещения; ,sE E – составляющие напряженности электрического поля;
B – нормальная составляющая магнитной индукции; sB , B
– известные составля-
ющие магнитной индукции на поверхностях оболочки; s , – углы поворота норма-
ли; E – модуль Юнга; – коэффициент Пуассона; sR – главный радиус кривизны
оболочки; – коэффициент магнитной проницаемости; – коэффициент линейно-
го температурного расширения, , , ,T s t – температура тела.
К полученным уравнениям необходимо присоединить начальные и граничные
условия.
2. Термодинамические соотношения для определения джоулева нагрева.
Ниже представлены результата вычисления джоулевой температуры, которая воз-
никает в гибкой оболочке при действии на нее магнитного поля в микросекундном
диапазоне (переходной процесс) [3, 6, 7].
При расчете температуры , , ,T s t используем уравнение баланса тепла.
Представим магнитное давление P в виде суммы двух составляющих
( , ) ( ) ( , )TP T P P T , (10)
где ( )P – составляющая давления, зависящая только от плотности ; ( , )TP T –
тепловая составляющая (зависящая от температуры и плотности). Также представим
приращение внутренней энергии в виде энергии без учета температуры и тепловой
составляющих, т.е.
TdU dU dU ,
где
75
3ik
ikdU d P de ; (11)
3 div( grad )T T дж TdU P de dQ T dt (12)
(здесь T – коэффициент теплопроводности).
Примем далее, что приращение тепловой энергии пропорционально приращению
температуры, т.е.
( )TdU C T dT ,
0
( )
T
TU C T dT , (13)
где C – удельная теплоемкость при постоянной деформации. Тогда уравнение (12)
можно использовать для определения температуры, т.е.
div( grad )дж T
T
C Q T
t
. (14)
Учитывая, что удельная теплоемкость металлов для температур выше 0T вплоть
до точки плавления изменяется незначительно (не более, чем на 5 – 10 % от среднего
значения), тепловую энергию можно представить в виде
0 0
0
( ) ( )
T
cep
T TU C T dT C T T U ;
0
0
0
( )
T
TU C T dT , (15)
где cepC – среднее значение теплоемкости на интервале 0[ , ]T T .
Следуя [6], уравнение (14) преобразуется в известное уравнение теплопроводнос-
ти с источником джоулева тепла
1
дж Tcep
T
Q T
t C
; T
T cepC
, constT , (16)
где T – коэффициент тепловой диффузии.
Используя выражение для расчета джоулева тепла, оценим величину температу-
ры, возникающую в результате джоулева нагрева в зависимости от величины магнит-
ной индукции B
. Используя (10) и уравнение Максвелла rot H E
, из соображений
теории размерности и на основании (16) имеем
0
2 T
cep
D
T T W T
C
;
2
0,5
B
W
, (17)
где 1/D – коэффициент магнитной диффузии. В качестве характерного време-
ни принято время диффузии магнитного поля на расстояние L , т.е. / Dt L . Так как
/ 1T D для металлов (например, для алюминия при 0 20 CT 3/ 4,3 10T D ,
для нержавеющей стали – 5/ 0,8 10T D ), то из символического уравнения (17)
следует, что процессом теплопроводности в переходном режиме можно пренебречь.
Таким образом, учитывая оценку членов уравнения (16), окончательно определя-
ем величину температуры, возникающую в результате джоулева нагрева, в виде
0
1
cep
T T J J
C
. (18)
Как известно, при действии на оболочку магнитного поля в ней возникают объем-
ные силы Лоренца F J B
.
76
Исходя из уравнений для магнитной энергии оболочки и используя тождество
0,5 ( )A rotA A A AA
,
выражение для пондеромоторных сил запишем в виде
,k
k
W
F J B rotH B B H G
(19)
где ( / )k kW G
– член силы Лоренца, соответствующий джоулеву нагреву оболоч-
ки; kG
– базовый вектор; – оператор в лагранжевой метрике; k – лагранжевые
переменные ( 1, 2, 3)k .
Таким образом, влияние джоулева тепла учитывается как в уравнениях магнито-
упругости, так и в формуле для силы Лоренца.
Ниже рассмотрена задача магнитоупругости для кольцевой пластины.
3. Разрешающая система уравнений магнитоупругости гибкой кольцевой
пластины.
Итак, рассмотрим нелинейную краевую задачу магнитоупругости о НДС кольце-
вой пластины переменной толщины вдоль радиуса с учетом джоулева тепла. Пласти-
на – упругая изотропная, изготовленная из материала с конечной проводимостью.
Пластина является проводником равномерно распределенного электрического тока
плотности cmJ
.
Пусть задача магнитостатики для возмущенного состояния решена, т.е. известны
вектора магнитной индукции начального состояния для внешней и внутренней обла-
стей. За координатную плоскость принимаем срединную поверхность пластины, от-
несенную к полярной системе ,r ; координата отсчитывается по нормали к сре-
динной плоскости.
Принимая, что все компоненты возбужденного электромагнитного поля и поля
перемещений не зависят от координаты , положим [5]
0
; 0v ; 0rE ; 0B ; 0f ; ^ 0f ; 1A ; B r . (20)
Учитывая (20) и уравнения (6) – (9), имеем основные уравнения:
уравнение движения –
2
^
2
r
r r
rN u
N r f f r h
r t
;
2
^
2
r
r r
rQ w
r f f r h
r t
; (21)
0r
r r r
rM
M rQ rN
r
;
уравнения электродинамики –
1B rE
t r r
: 1
0,5 r r
r r
B B Bw u
E B B B
t t r h
; (22)
выражения для деформаций –
20,5r r
u
r
;
u
r ;
1 r
r r r
; r
r
; r
w
r
; (23)
соотношения упругости –
2
1
1r r T
Eh
N
; 2
1
1 r T
Eh
N
;
77
3
2
1
12 1
r r T
Eh
M
;
3
2
1
12 1
r T
Eh
M
; (24)
2
2
1
,
h
T
h
T r t d
h
;
2
3
2
12
,
h
T
h
T r t d
h
;
компоненты объемной силы Лоренца –
^ 2 0,5r cm r r
u w
f hJ rB h E B B B B B
t t
;
2^ 0,5 0,5 0,5cm r r r r r r
u w
f hJ B B h E B B B B
t t
.
(25)
Здесь T , T – интегральные характеристики температурного поля ,T r t ; –
коэффициент линейного температурного расширения.
При построении разрешающей системы магнитоупругости кольцевой пластины
выберем в качестве искомых функций следующие [3, 5]: , , , , , , ,r r r ru w N Q M B E .
Используя уравнения и соотношения (21) – (25), после соответствующих преобра-
зований получаем полную систему нелинейных дифференциальных уравнений магни-
тоупругости, которая описывает НДС кольцевой пластины с учетом джоулева тепла:
2
21
0,5 1r r T
u
N u
r Eh r
; r
w
r
;
2
3
12 1
1r
r r TM
r rEh
;
2
1r
cm r r
N Eh
hJ B N u F
r r r
2
2
2
0,5 r r T
u w Eh u
h E B B B B B h
t t r t
;
2
2 3
1 12(1 )r
r r r r
Q Eh
Q u M N
r r r Eh
2
2
0,5 0,33 0,5 r r cm r r
w u w
h E B B B F hJ B B h
t t t
; (26)
3
2
1
12
r
r r r T
M Eh Eh
M Q
r r rr
;
1BE
E
r dt r
;
0,5
r r
r r
B BB w u
E B B B
r t t h
.
Здесь, учитывая (18), получаем
2
22 2 2
0 0,25T cm r rcep
w
T J E B B
tC
78
2
2
r r
u w
B E B B
t t
2 r rcep
u w u
E B B B B
t t tC
(27)
2 0,5cm r r
w u
J E B B B
t t
; 0T .
Разрешающая система уравнений (26) является нелинейной смешанной гипербо-
ло-параболической системой восьмого порядка с переменными коэффициентами. При
решении конкретных краевых задач её следует дополнить соответствующими гранич-
ными условиями для механических и электромагнитных величин.
4. Методика решения задач для гибких оболочек вращения с учетом джоуле-
ва тепла.
Методика решения задач магнитоупругости гибких оболочек вращения перемен-
ной толщины с учетом джоулева тепла заключается в последовательном использова-
нии метода квазилинеаризации и метода дискретной ортогонализации [2, 4]. Для раз-
деления переменных по временной координате применяем неявную схему Ньюмарка.
Согласно методу квазилинеаризации нелинейная краевая задача сведена к после-
довательности линейных краевых задач на каждом временном шаге. Далее каждую из
линейных краевых задач последовательности на соответствующем временном интер-
вале решаем численно с помощью устойчивого метода дискретной ортогонализации.
5. Магнитоупругое деформирование изотропной кольцевой пластины с уче-
том джоулева тепла.
Пример 1. Исследуем НДС алюминиевой изотропной кольцевой пластины посто-
янной толщины h , внутреннего радиуса 0r , внешнего 1r под воздействием нормаль-
ной составляющей механической нагрузки P и внешнего магнитного поля с задан-
ным вектором магнитной индукции ( )eB
. Разрешающая система нелинейных уравне-
ний пластины имеет вид (26).
Контуры пластины закреплены следующим образом:
0; 0; 0; 0,1sinr ru Q M B t при 0r r ( – круговая частота);
0; 0; 0; 0ru w M B при 1.r r
Геометрические параметры пластины и характеристики ее материала следующие:
0 0, 49мr ; 1 0,86мr ; 22 10 м;h 2 23 10 Н/мP
; 10 27,1 10 Н/мE ;
1314,16c ; 0,3 ; 32670кг/м ; 61, 256 10 Гн/м ;
173,13 10 Ом м ; 0 20 C;T 5 12,36 10 C ; 6 32, 46 10 Дж/м .cepC C
Решение задачи получено на интервале времени 210t c , временной шаг интегриро-
вания – 310 ct .
В данном примере исследовано влия-
ние поверхностных тангенциальных со-
ставляющих магнитной индукции на
НДС кольцевой пластины при следую-
щих значениях составляющей магнитной
индукции: 0,15 ;rB T 0,25 ;rB T
0,5 .rB T
На рис. 1 представлены значения
прогиба ( )w t на внутреннем контуре
пластины. Линии 1 – 3 соответствуют
Рис. 1
79
отрицательным значениям магнитной индукции, линии 4 – 6 – положительным. Мак-
симальное значение прогиба – линии 2 ( 0,25rB T ), минимальное – линии 1
( 0,5rB T ) для положительных значений прогиба. Для отрицательных значений про-
гиба максимальное значение по абсолютной величине достигается при 0,5rB T
(линия 6), минимальное – при 0,25rB T (линия 5).
Как видно из рисунка, при 0, 25rB T значение прогиба увеличивается, что
можно объяснить действием граничного условия 0,1sinB t T . При 0,5rB T –
прогиб уменьшается. Это в принципе отвечает общей нелинейной теории пластин – с
увеличением тангенциальных усилий пластина становится более жесткой. Однако,
установить прямую закономерность между величиной прогиба и изменением танген-
циальной составляющей магнитного поля, как это происходит с тангенциальными
силами в геометрически нелинейной теории пластин без магнитного поля, не удается.
Определим максимальную температуру на внутреннем контуре пластины при
действии максимальной магнитной индукции 0,5rB T при 35 10 ct . Выбирая
из решения задачи максимальное значение 0,8B T , по формуле раздела 2, получа-
ем 20,17 C.T
Отсюда следует, что при рассмотренных значениях магнитной индукции джоуле-
вым теплом можно пренебречь.
Как следует из литературы, значительные величины джоулевого тепла возникают
при действии на металлические тела мегагаусного диапазона магнитной индукции.
Пример 2. Исследуем НДС изотропной кольцевой пластины из алюминия внут-
реннего радиуса 0 0,5мr , внешнего 1 0,9мr , постоянной толщины 43 10 мh
под воздействием нормальной составляющей механической нагрузки P
2500sin Н/мt ( – круговая частота). Напряженное состояние пластины исследо-
вано в зависимости от воздействия тангенциальной составляющей тока
2
0 sin /стJ J t A м с учетом джоулевого нагрева.
Граничные условия примем в таком виде:
0; 150; 0; 0,1sinr ru Q M B t при 0 ;r r
0; 0; 0; 0ru w M B при 1.r r
Остальные параметры пластины и материала – аналогичны примеру 1.
Величина стороннего тока и его направление выбраны следующие:
1) 0 0;J 2) 5
0 5 10 ;J 3) 6
0 1 10 ;J 4) 5
0 5 10 ;J 5) 6
0 1 10J .
На рис. 2 приведено распределение
( )w t на внутреннем контуре пластины.
Линии 1 – 5 соответствуют вариантам
стороннего тока 1 – 5.
Как видно из представленных ре-
зультатов, прогиб зависит как от величи-
ны, так и от направления стороннего
тока. При отрицательном значении сто-
роннего тока прогиб возрастает по срав-
нению с его отсутствием. При положи-
тельном значении – прогиб уменьшается.
Это объясняется тем, что сила Лоренца,
при наличии стороннего тока, состоит из
Рис. 2
80
суммы двух частей, зависящих от индуцированного внешним магнитным полем и
сторонним током электромагнитного поля пластины. В одном случае эти части дей-
ствуют в одном направлении, в другом – в противоположном.
Определим максимальную температуру, возникающую в процессе действия джо-
улева тепла, на внутреннем контуре пластины при наличии стороннего тока J
6 21 10 A/м при -35 10 ct .
Определив из полученного решения задачи максимальное значение E (или J ),
по формуле раздела 2 определяем максимальное значение температуры 367,61 CT .
Полученный результат указывает на существенное влияние стороннего тока на
величину джоулева тепла. Кроме того, также убеждаемся, что сторонний ток не дол-
жен превышать величину 6 21 10 A/м из-за температурного ограничения свойств мате-
риала пластины.
Заключение.
Предложены теория и методика решения нелинейной краевой задачи магнито-
упругости для оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулева нагрева.
Проведена оценка членов, входящих в известное уравнение теплопроводности с ис-
точником джоулева тепла. Построена разрешающая система нелинейных уравнений
магнитоупругости осесимметричной краевой задачи для кольцевой пластины перемен-
ной жесткости. Числовой результаты представлены для гибкой кольцевой пластины.
Р Е З Ю М Е . Запропоновано теорію та методику розв’язання нелінійних задач магнітопруж-
ності оболонок обертання з урахуванням джоулевого тепла в мікросекундному діапазоні. Наведено
числовий приклад.
1. Амбарцумян С.А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин.
– М.: Наука, 1977. – 272 с.
2. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. – М.: Мир, 1968. – 184 с.
3. Будак В. Д., Мольченко Л.В., Овчаренко А.В. Нелинейные магнитоупругие оболочки. – Николаев:
Илион, 2016. –136 с.
4. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных диффе-
ренциальных уравнений // Успехи матем. наук. – 1963. – 16, вып. 5(99). – С. 171 – 174.
5. Григоренко Я.М., Мольченко Л.В. Основы теории пластин и оболочек с элементами магнитоупру-
гости. – К.: ИПЦ «Киевский университет», 2010. – 403 с. (укр).
6. Дресвянников В.И. О нестационарных задачах механики упруго-пластических проводящих тел при
действии сильных импульсных магнитных полей // Прикл. проблемы прочности и пластичности.
– 1979. – Вып. 19. – С. 32 – 47.
7. Тамм И.Е. Теория электромагнетизма. – М.: Наука, 1976. – 613 с.
8. Bian Y. H. Analysis of Nonlinear Stresses and Strains in a Thin Current-Carrying Elastic Plate // Int. Appl.
Mech. – 2015. – 51, N 1. – P. 108 – 120.
9. Elhajjar R., Saponara V., Muliana A. Smart composites. Mechanics and Design. – New York: CRC Press.,
2013. – 430 p.
10. Green A.E., Naghdi P.M. On electromagnetic effects in the theory of shells and plates // Phil. Trans. Roy.
Soc. London. – 1983. – A309. – P. 559 – 610.
11. Hutter K., Van de Ven A.A.F., Ursescu A. Electromagnetic Field Matter Interactios in Thermoelastic
Solids and Viscous Fluids. – Berlin: Springer, 2006. – 382 p.
12. Mol'chenko L.V., Loos I.I. The Stress State of a Flexible Orthotropic Spherical Shell Subject to External
Current and Mechanical Force in a Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 5. – P. 528 – 533.
13. Mol'chenko L.V., Loos I.I., Fedorchenko L.M. Deformation of a Flexible Orthotropic Spherical Shell of
Variables Stiffness in a Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 1. – P. 56 – 61.
14. Moon F.C. Magneto-solid mechanics. – New York: Wiley, 1984. – 437 p.
Поступила 07.07.2017 Утверждена в печать 30.01.2018
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174182 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:38:08Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мольченко, Л.В. Федорченко, Л.Н. Васильева, Л.Я. 2021-01-07T15:44:16Z 2021-01-07T15:44:16Z 2018 О нелинейной теории магнитоупругости оболочек вращения с учетом джоулева тепла / Л.В. Мольченко, Л.Н. Федорченко, Л.Я. Васильева // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 71-80. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174182 Предложены теория и методика решения нелинейной краевой задачи магнитоупругости для оболочек вращения переменной жесткости с учетом джоулева нагрева. Проведена оценка членов, входящих в известное уравнение теплопроводности с источником джоулева тепла. Построена разрешающая система нелинейных уравнений магнитоупругости осесимметричной краевой задачи для кольцевой пластины переменной жесткости. Числовой результаты представлены для гибкой кольцевой пластины. Запропоновано теорію та методику розв’язання нелінійних задач магнітопружності оболонок обертання з урахуванням джоулевого тепла в мікросекундному діапазоні. Наведено числовий приклад. A theory and technique of solving the nonlinear problems magnetoelasticity of shells of revolution with taking into account the Joule heat in the microsecond range is offered. A numerical example is given. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О нелинейной теории магнитоупругости оболочек вращения с учетом джоулева тепла On the Nonlinear Theory of Magnetoelasticity of Shells of Revolution with Allowance for the Joule Heat Article published earlier |
| spellingShingle | О нелинейной теории магнитоупругости оболочек вращения с учетом джоулева тепла Мольченко, Л.В. Федорченко, Л.Н. Васильева, Л.Я. |
| title | О нелинейной теории магнитоупругости оболочек вращения с учетом джоулева тепла |
| title_alt | On the Nonlinear Theory of Magnetoelasticity of Shells of Revolution with Allowance for the Joule Heat |
| title_full | О нелинейной теории магнитоупругости оболочек вращения с учетом джоулева тепла |
| title_fullStr | О нелинейной теории магнитоупругости оболочек вращения с учетом джоулева тепла |
| title_full_unstemmed | О нелинейной теории магнитоупругости оболочек вращения с учетом джоулева тепла |
| title_short | О нелинейной теории магнитоупругости оболочек вращения с учетом джоулева тепла |
| title_sort | о нелинейной теории магнитоупругости оболочек вращения с учетом джоулева тепла |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174182 |
| work_keys_str_mv | AT molʹčenkolv onelineinoiteoriimagnitouprugostioboločekvraŝeniâsučetomdžoulevatepla AT fedorčenkoln onelineinoiteoriimagnitouprugostioboločekvraŝeniâsučetomdžoulevatepla AT vasilʹevalâ onelineinoiteoriimagnitouprugostioboločekvraŝeniâsučetomdžoulevatepla AT molʹčenkolv onthenonlineartheoryofmagnetoelasticityofshellsofrevolutionwithallowanceforthejouleheat AT fedorčenkoln onthenonlineartheoryofmagnetoelasticityofshellsofrevolutionwithallowanceforthejouleheat AT vasilʹevalâ onthenonlineartheoryofmagnetoelasticityofshellsofrevolutionwithallowanceforthejouleheat |