Влияние анизотропии и деформаций поперечного сдвига на эффективность работы пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов
Для моделирования вынужденных резонансных колебаний неупругих прямоугольных пластин с сенсорами и актуаторами использованы модель С.П.Тимошенко и дополнительные гипотезы о распределении индукции и напряженности электрического поля по толщине пластины. Неупругое поведение материалов учитывается конце...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174184 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Влияние анизотропии и деформаций поперечного сдвига на эффективность работы пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 97-105. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174184 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. 2021-01-07T15:49:45Z 2021-01-07T15:49:45Z 2018 Влияние анизотропии и деформаций поперечного сдвига на эффективность работы пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 97-105. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174184 Для моделирования вынужденных резонансных колебаний неупругих прямоугольных пластин с сенсорами и актуаторами использованы модель С.П.Тимошенко и дополнительные гипотезы о распределении индукции и напряженности электрического поля по толщине пластины. Неупругое поведение материалов учитывается концепцией комплексных характеристик. С использованием указанной модели получено решение задачи о резонансных колебаниях шарнирно опертой неупругой прямоугольной пластины с сенсорами и актуаторами. Досліджено вплив анізотропії і деформацій зсуву на ефективність роботи п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів при активному демпфуванні резонансних коливань шарнірно обпертих прямокутних пластин. Для моделювання коливань пластин використано гіпотези С.П.Тимошенка. Методом Фур’є одержано аналітичний розв’язок вказаної задачі. Одержано формули для різниці потенціалів, яку необхідно підвести до актуатора для компенсації механічного навантаження. Аналогічні формули одержано для показників сенсора. Наведено формули для коефіцієнтів демпфування у випадку сумісного використання сенсорів та актуаторів для активного демпфування резонансних коливань пластин. An effect of anisotropy and shear strains on operating efficiency of piezoelectric sensors and actuators under active damping of resonance vibrations of rectangular hinged plate is studied. To simulate the vibrations of plate the Timoshenko’s hypothesis is used. The analytical solution of the problem is obtained by the Fourier’s method. The formulas are obtained for the potential difference, which must to be supplied to actuators to compensate the mechanical load. The analogical formulas are obtained for the sensor’s indications. The formulas are given for the damping coefficient in the case of common using the sensors and actuators for the active damping of plate resonant vibrations. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Влияние анизотропии и деформаций поперечного сдвига на эффективность работы пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов Effect of Anisotropy and Deformations of Transverse Shear on Operating Efficiency of Piezoelectric Sensors and Actuators Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Влияние анизотропии и деформаций поперечного сдвига на эффективность работы пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов |
| spellingShingle |
Влияние анизотропии и деформаций поперечного сдвига на эффективность работы пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. |
| title_short |
Влияние анизотропии и деформаций поперечного сдвига на эффективность работы пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов |
| title_full |
Влияние анизотропии и деформаций поперечного сдвига на эффективность работы пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов |
| title_fullStr |
Влияние анизотропии и деформаций поперечного сдвига на эффективность работы пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов |
| title_full_unstemmed |
Влияние анизотропии и деформаций поперечного сдвига на эффективность работы пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов |
| title_sort |
влияние анизотропии и деформаций поперечного сдвига на эффективность работы пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов |
| author |
Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. |
| author_facet |
Карнаухов, В.Г. Козлов, В.И. Карнаухова, Т.В. |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Effect of Anisotropy and Deformations of Transverse Shear on Operating Efficiency of Piezoelectric Sensors and Actuators |
| description |
Для моделирования вынужденных резонансных колебаний неупругих прямоугольных пластин с сенсорами и актуаторами использованы модель С.П.Тимошенко и дополнительные гипотезы о распределении индукции и напряженности электрического поля по толщине пластины. Неупругое поведение материалов учитывается концепцией комплексных характеристик. С использованием указанной модели получено решение задачи о резонансных колебаниях шарнирно опертой неупругой прямоугольной пластины с сенсорами и актуаторами.
Досліджено вплив анізотропії і деформацій зсуву на ефективність роботи п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів при активному демпфуванні резонансних коливань шарнірно обпертих прямокутних пластин. Для моделювання коливань пластин використано гіпотези С.П.Тимошенка. Методом Фур’є одержано аналітичний розв’язок вказаної задачі. Одержано формули для різниці потенціалів, яку необхідно підвести до актуатора для компенсації механічного навантаження. Аналогічні формули одержано для показників сенсора. Наведено формули для коефіцієнтів демпфування у випадку сумісного використання сенсорів та актуаторів для активного демпфування резонансних коливань пластин.
An effect of anisotropy and shear strains on operating efficiency of piezoelectric sensors and actuators under active damping of resonance vibrations of rectangular hinged plate is studied. To simulate the vibrations of plate the Timoshenko’s hypothesis is used. The analytical solution of the problem is obtained by the Fourier’s method. The formulas are obtained for the potential difference, which must to be supplied to actuators to compensate the mechanical load. The analogical formulas are obtained for the sensor’s indications. The formulas are given for the damping coefficient in the case of common using the sensors and actuators for the active damping of plate resonant vibrations.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174184 |
| citation_txt |
Влияние анизотропии и деформаций поперечного сдвига на эффективность работы пьезоэлектрических сенсоров и актуаторов / В.Г. Карнаухов, В.И. Козлов, Т.В. Карнаухова // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 3. — С. 97-105. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT karnauhovvg vliânieanizotropiiideformaciipoperečnogosdviganaéffektivnostʹrabotypʹezoélektričeskihsensoroviaktuatorov AT kozlovvi vliânieanizotropiiideformaciipoperečnogosdviganaéffektivnostʹrabotypʹezoélektričeskihsensoroviaktuatorov AT karnauhovatv vliânieanizotropiiideformaciipoperečnogosdviganaéffektivnostʹrabotypʹezoélektričeskihsensoroviaktuatorov AT karnauhovvg effectofanisotropyanddeformationsoftransverseshearonoperatingefficiencyofpiezoelectricsensorsandactuators AT kozlovvi effectofanisotropyanddeformationsoftransverseshearonoperatingefficiencyofpiezoelectricsensorsandactuators AT karnauhovatv effectofanisotropyanddeformationsoftransverseshearonoperatingefficiencyofpiezoelectricsensorsandactuators |
| first_indexed |
2025-11-26T18:06:02Z |
| last_indexed |
2025-11-26T18:06:02Z |
| _version_ |
1850766965083209728 |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 3
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54 № 3 97
В . Г . К а р н а у х о в 1 , В . И . К о з л о в 1 , Т . В . К а р н а у х о в а 2
ВЛИЯНИЕ АНИЗОТРОПИИ И ДЕФОРМАЦИЙ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА
НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАБОТЫ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕНСОРОВ
И АКТУАТОРОВ
1Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mali: karn@inmech.kiev.ua.
2 Национальный технический университет «КПИ»,
пр. Победы, 37, 03056, Киев, Украина; e-mail: karn@inmech.kiev.ua.
Abstract. An effect of anisotropy and shear strains on operating efficiency of piezoelec-
tric sensors and actuators under active damping of resonance vibrations of rectangular
hinged plate is studied. To simulate the vibrations of plate the Timoshenko’s hypothesis is
used. The analytical solution of the problem is obtained by the Fourier’s method. The for-
mulas are obtained for the potential difference, which must to be supplied to actuators to
compensate the mechanical load. The analogical formulas are obtained for the sensor’s indi-
cations. The formulas are given for the damping coefficient in the case of common using the
sensors and actuators for the active damping of plate resonant vibrations.
Key words: resonant vibrations, active damping, sensors and actuators, orthotropic rec-
tangular plate.
Введение.
Одним из основных методов демпфирования колебаний тонкостенных элементов
является пассивный метод с использованием включения в конструкцию компонент с
высокими характеристиками демпфирования. Этим вопросам посвящена обширная
отечественная и зарубежная литература [2, 3, 6, 14]. В последние годы для этой цели
широко используют активные методы, основанные на применении пьезоэлектриче-
ских сенсоров и актуаторов [8, 9, 15 – 18].
Существуют два основных метода активного демпфирования колебаний. Первый
из них основан на применении пьезоэлектрических слоев, выполняющих функции
актуаторов, к которым подводится разность потенциалов, компенсирующая действие
механической нагрузки, в результате чего амплитуда колебаний существенно умень-
шается. Основной теоретической задачей при этом является расчет указанной разно-
сти потенциалов с учетом размеров актуатора, его размещения и др. Эффективность
работы актуатора оценивается по такому критерию: тот актуатор более эффективен, к
которому подводится меньшая разность потенциалов для компенсации фиксирован-
ной нагрузки.
Второй метод состоит в совместном использовании сенсоров и актуаторов. При
этом к актуатору подводится разность потенциалов, пропорциональная снимаемой с
сенсора разности потенциалов, его первой или второй производной. При этом изме-
няются, соответственно, жесткостные характеристики, коэффициент демпфирования
и инерционные характеристики элемента. Эффективность работы сенсора оценивает-
ся по следующему критерию: тот сенсор более эффективен, с которого снимается бо-
98
льшая разность потенциалов при фиксированной нагрузке. На эффективность работы
сенсором и актуаторов влияет много факторов: механические граничные условия,
расположение на поверхности элементов, их размеры, температура, характеристики
пьезоматериала и др. Существенное влияние на эффективность работы сенсоров и
актуаторов оказывают анизотропия пассивного материала, толщина пластины и де-
формации поперечного сдвига. В работе [9] эти вопросы исследованы для цилиндри-
ческой панели при предположении о малости толщины пьезослоев по сравнению с
толщиной пассивной слоя.
В данной статье исследуем влияние анизотропии материала пассивного слоя и
деформаций поперечного сдвига для прямоугольной пластины без указанного выше
предположения. Рассмотрены ортотропные и трансверсально-изотропные вязкоупру-
гие пассивные слои, а пьезоактивные слои являются трансверсально-изотропными и
упругими. Для моделивания колебаний слоистой пластины используем гипотезы
С.П.Тимошенко [7, 10, 13], дополненные гипотезами о распределении электрических
полевых величин по толщине активных слоев. Для случая шарнирного опирания тор-
цов пластины получены: 1) формулы для разности потенциалов, необходимой для
компенсации механической гармонической загрузки; 2) формулы для показаний сен-
сора; 3) формулы для коэффициента демпфирования при совместном использовании
сенсоров и актуаторов.
§1. Постановка задачи.
Рассмотрим трехслойную шарнирно опертую прямоугольную пластину длиной a
шириной b , составленную из среднего ортотропного вязкоупругого пассивного (без
пьезоэффекта) слоя и двух упругих трансверсально изотропных пьезоактивных слоев.
На пластину действует гармоническое во времени равномерное поверхностное давле-
ние 0 .i tp p e Для моделирования механического поведения пассивного материала
используем концепцию комплексных характеристик [4 – 6, 19], согласно которой
уравнения состояния вязкоупругого материала имеют формально такой же вид, как и
уравнения состояния упругого материала с тем лишь отличием, что они являются
комплексными. Для описания механического поведения указанной пластины исполь-
зуем гипотезы С.П.Тимошенко, дополненные предположениями о малости тангенци-
альных составляющих вектора индукции ,x yD D по сравнению с нормальной состав-
ляющей : , .z x y zD D D D [1, 5]. Тогда из уравнения электростатики div 0D
следу-
ет, что компонента zD постоянна по толщине пьезослоя. Все компоненты вектора
напряженности электрического поля E
примем отличными от нуля. Пьезослои име-
ют одинаковые электромеханические характеристики, но противоположную поляри-
зацию, так что пьезоконстанты слоев имеют противоположные знаки. В результате
принятия этих гипотез получим следующие определяющие уравнения для моментов
11 22, ,M M H и усилий 13 23,T T :
11 11 11 21 22 0 22 22 12 11 22 0( ) ; ( ) ;M D M M D M
12 12 13 13 13 23 23 23; ; .H D T B T B
(1.1)
Здесь все жесткостные характеристики являются комплексными, их получаем путем
суммирования жесткостных характеристик ,...ijD пассивного и пьезоактивных слоев;
так, например, имеем
2 2
31 11
11 11 2 2
33
22
,... .
1 (1 )
E d mEm
D D
(1.2)
Жесткостные характеристики пасcивного ортотропного слоя определяем по
известным формулам механики анизотропных пластин [5, 20 ]:
99
3 3 3
1 2 2 2 12 2 2
11 22 12
12 21 12 21 12 21
3
12 2
66 13 13 2 23 23 2
; ; ;
12(1 ) 12(1 ) 12(1 )
; , ,
12
E h E h E h
D D D
G h
D B G h B G h
а характеристики пьезоактивных слоев определяем из соотношений:
2 2
( ) 2 2 331 11
11 22 11 22 0 1 0 1 0 1 12 2
33
2 2
( ) ( )31 11 1
11 22 11 22 0 12 0 0 02 2
33
( ) ( )
44 1 13 44 1 23
22 1 1
( ) ( ) ; ;
2 31 (1 )
22
( ) ( ) ; ; ;
2(1 )1 (1 )
2 ; 2 ;
п
xx
п п
yy xy
п п
x y
E d mEm
M M m h h h h h
E d mEm Em
M M M M m V
Q E h Q E h E
2
44 44 15 33 0 31 0 11/ ( / ); ( ).
1
T E
S d m d h h
(1.3)
Здесь использованы обозначения, принятые в [5].
Кинематические соотношения имеют вид [5]:
1 2 2 1
11 22 12 13 1 23 2; ; ; ; ,
w w
x y x y x y
(1.4)
где w – поперечный прогиб, а 1 2, характеризуют сдвиг.
При учете сил инерции только в нормальном к поверхности пластины направле-
нии уравнения движения имеют вид [5, 20]:
2
13 23 11 22
13 23
2
; 0; 0.
T T М МН Н
р р Т T
x y z x y x y
(1.5)
Используя (1.1), (1.4), (1.5), получим три уравнения движения относительно
1 2, , :w
2 22 2 2
0 01 2
13 232 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 2 1
11 21 12 13 12 2
2 2 2 2
2 1 1 2
22 12 122 2
;
0;
M Mw w w
В В p
х yх y x y t
w
D D В
х y х y хх y
D D
х y х yy х
23 2 0.
w
В
y
(1.6)
Уравнения (1.6) следует дополнить граничными условиями, которые для шарнир-
ного опирания принимают вид:
11 20, 0, 0w M при 0; ;x a 22 10, 0, 0w M при 0; .y b (1.7)
§2. Решение задачи для ортотропного пассивного материала.
Для шарнирного опирания торцов пластины при колебаниях по моде ( , )m n , когда
0
0 0 0
sin( )sin(p ); sin( )sin(p )
16 1616
; ; ; ,
mn m n mn m n
m п mп mп
m п m п m п
p p k х y M M k х y
M m Vm n p
k p p M
a b abk p abk p abk p
(2.1)
решение системы (1.6) может быть представлено в виде:
100
1 1 2 2sin sinp ; cos sinp ; sin sinp .mп m n mп m n mп m nw w k х y k х y k х y (2.2)
В результате подстановки (2.1), (2.2) в систему (1.6) получим уравнение движения
относительно поперечного прогиба :mnw
(1) (2) .mn mn mn mn mn mnw A w A M p (2.3)
Для гармонических колебаний уравнение (2.3) имеет решение :mn mn mnw w iw
(2)
(1) 2
( )
mn mn mn
mn mn mn
mn
p A M
w w iw
A
(2.4)
1 2 213 22 23 12 23 11 13 21
13 13 13 23
2 01 22 02 12 02 11 01 21
13 23
( );
,
mn m n m n
mn m n
А B k B p k B p B
А B k B p
(2.5)
где для ортотропного материала имеем:
2 2 2 2
11 11 12 13 22 12 22 23
12 11 12 12 21 13 01 13 01
2
23 02 23 02 11 22 12
, ;
; , ;
; ; .
m n m n
m n m
n
k D p D B k D p D B
D D k p B k
B p
(2.6)
Из (2.4) видно, что резонансная частота колебаний пластины равна 2 (1)Re ,mnA
а для компенсации механической нагрузки к актуатору необходимо подвести разность
потенциалов 0V , определяемую соотношением
(2)0 016
/mn mn mn
m п
m V
M p A
abk p
. (2.7)
Для короткозамкнутых электродов снимаемый с них заряд Q рассчитываем с ис-
пользованием формулы [1, 4, 5]:
31 0 1 1 2 .
s
Q h h dxdy
(2.8)
Для шарнирного опирания имеем
1 2
0 1 314 mn mn
mn
n m
Q h h
p k
(2.9)
13 22 23 12 23 11 13 21
1 1 2 2 1 22 2
11 22 12 11 22 12
; ; ; .mn mn mn mn mn mn mn mnw w
(2.10)
При совместном использовании сенсоров и актуаторов для активного демпфиро-
вания колебаний пластины к актуатору подводится разность потенциалов, пропорци-
ональная, например, току: 0 .mn mnV GQ С использованием (2.9), (2.10) определяем
1 2 1 2
0 0 1 31 0 1 314( ) ; 4( ) .mn mn mn mn
mn mn mn mn mn
n m n m
V h h w w h h
p k p k
(2.11)
101
Подставляя (2.11) в уравнение (2.3) и используя (2.1), получим:
(1) (2)016
2 [ / ] / ; 2 .mn mn mn mn mn mn mn mn mn
m n
m
w w A w p A
abk p
(2.12)
Как видно из (2.12), при совместном использовании сенсоров и актуаторов для
демпфирования колебаний даже для упругого материала в колеблющейся пластине
появляется затухание, характеризующееся коэффициентом демпфирования .mn Для
вязкоупругих материалов демпфирование порождается вязкостью материалов и при
использовании сенсоров и актуаторов оно увеличивается за счет коэффициента .mn
Для гармонических колебаний вязкоупругой пластины коэффициент демпфирования
может быть определен следующим образом: из уравнения (2.12) определим ком-
плексную собственную частоту .p Ее получим из квадратного уравнения с ком-
плексными коэффициентами
(1)
2 2 0; .mn
р mn р mn mn
A
i B B
(2.13)
(здесь для вязкоупругого материала – ,mn mn mni .mn mn mnB B iB В дальнейшем
нижние индексы опустим).
Решение уравнения (2.13) имеет вид
2( ) ( ) ( ) .р р рi i i i B iB i (2.14)
Величина р равна коэффициенту демпфирования, а р – собственной частоте
колебаний пластины с учетом вязкоупругих свойств материала.
§3. Решение задачи для трансверсально-изотропного пассивного материала.
Для трансверсально-изотропного материала в полученных выше формулах следу-
ет положить: 11 22 12 21 13 23; ; .D D D B B B
При этом имеем формулы:
2 2 2 2
11 22
1 1
; ;
2 2m n m nk p D B k p D B
12 21 13 01 01
1
; ; ;
2 m n mDk p B k
2
23 02 02 11 22 12; ; .nB p
В этом случае также имеем такие уравнения:
1
2 2 2 2
;mn mn mn mn
mn
mn mn mn mn
k w M kB
B BD Dk p k p
D D
2
2 2 2 2
mn mn mn mn
mn
mn mn mn mn
p w M pB
B BD Dk p k p
D D
.
(3.1)
Используя (3.1), из первого уравнения (1.6) получим уравнение движения пласти-
ны для учета поперечного прогиба
102
2 2 2 2 2
2
2 2
( ) ( )
0.
1 1 ( )
mn mn mn mn mn
mn mn
mn mn
D k p M k p
w p
D D
k p
B B
(3.2)
Из (3.2) следует, что для компенсации механической нагрузки к актуатору необ-
ходимо подвести разность потенциалов, определяемую соотношением
2 2
2 2
1 ( )
.
( )
mn mn
mn mn
mn mn
D
k p
BM P
k p
(3.3)
Используя обозначение (2.7), получим
2 21T K
a a m nV V c k p , (3.4)
где ,T K
a aV V – разность потенциалов, рассчитанная согласно гипотезам С.П. Тимо-
шенко и Кирхгофа – Лява, соответственно. Как видно из (3.4), для компенсации меха-
нической нагрузки учет сдвига приводит к увеличению разности потенциалов, кото-
рую необходимо подвести к актуатору для компенсации заданной механической
нагрузки.
Если выбрать поправочный коэффициент, равным 2 2 /12k , то в формуле (3.4) –
2 2
2 22
1
D G h a
c m n
B G a b
.
В этом случае имеем равенство
2 2
2 22
1
1
yt kl
a a
G h a
V V m n
G a b
. (3.5)
Для основной моды m = n =1 и из формулы (3.5) следует
2 2
2
1 1
1
yt kl
a a
G h a
V V
G a b
. (3.6)
При этом поправка к классическому результату зависит от отношения модулей сдви-
гов /G G и отношения толщины пластины к размеру a . В зависимости от их значе-
ний величина поправки может быть достаточно большой.
Снимаемый с сенсора заряд определяем формулой
2 2
1 2
0 1 31 0 1 31
2 2
1
4 4 .
1 ( )
mn mn mn mn
mn
n m mn mn
mn mn
k p
Q h h h h
Dp k k p k p
B
(3.7)
При B получаем заряд, определяемый с использованием классической ги-
потезы Кирхгофа – Лява.
Из (3.2) имеем уравнение движения трансверсально-изотропной пластины вида
(2.12), в котором
2 2 2 2 2 2
(1)0 0 1 31
2 2 2 2
64 ( ) ( ) ( )
2 ; [ / ] .
1 /[1 ( ) / ]
m h h k p D k p
B A
D Babk p D k p B
Коэффициент демпфирования для вязкоупругого трансверсально-изотропного ма-
териала определяется по формулам (2.13), (2.14).
103
§4. Числовой пример.
Используя представленные выше формулы, рассчитаны собственная частота 11 ,
модуль поперечного прогиба w и электрический потенциал aV , который необходимо
подвести к актуатору для компенсации механического давления 3
0 10 Pap , действу-
ющего на квадратную со стороной a = b = 0,1м и разными толщинами. Внутренний
слой пластины изготовлен из алюминиевого сплава со следующими механическими
характеристиками: 10 2; 7,3 10 Н/м ; 0,01 ; 0,34.E E iE E E E
Пьезоэлектрические слои имеют такие комплексные электромеханические свой-
ства [5]:
10 2 11 2 11 2
11 12 130,171 10 м / ; 0,58 10 м / ; 0,91 10 м /Н;S N S N S
10 2 10 2 12 2
33 55 310,184 10 м /Н; 0,460 10 м /Н; 189,7 10 м /Н;S S d
12 2 12 2 7
33 15 11357 10 м /Н; 609 10 м /Н; 0, 20541 10 Ф/м;Td d
7
33 0,14803 10 Ф/м;T
12 2 12 2 12 2
11 12 130, 2 10 м /N; 0,1 10 м /N; 0,2 10 м /Н;S S S
12 2 12 2 12
33 55 310,4 10 м /Н; 5,6 10 м /Н; 4,8 10 К/Н;S S d
12 12 12
33 15 1114,7 10 К/Н; 253,6 10 К/Н; 11270 10 Ф/м;Td d
12
33 342 10 Ф/м. T
В табл. 1 для разных значений отношения /h a представлены результаты расчета
указанных характеристик при использовании теорий, основанных на классических
гипотезах Кирхгофа – Лява и на представленной выше теории С.П.Тимошенко. При
расчетах принято, что 2 1 3 12h h h h (толщина среднего слоя равна сумме толщин
внешних слоев). Как видно из этой таблицы, при малых отношениях /h a обе теории
дают одинаковые результаты. С увеличением отношения /h a имеет место заметное
отклонение результатов расчетов по классической теории и теорий с учетом сдвиго-
вых деформаций.
Таблица 1
/h a 410 , гц 510 ,w м 210 ,aV 410 , гц 410 ,w м aV
1/100 0,3930 98,74 1,171 0,3929 98,74 1,172
1/50 0,1960 0,7911 0,234 0,1947 0,7911 0,2366
1/10 0,39195 0,09871 0,1171 0,3822 0,09871 0,1218
1/5 0,7839 0,012364 0,05861 0,7141 0,012364 0,067861
В табл. 2 представлены результаты расчетов тех же характеристик для пластины
толщиной 2 12 0,01мh h h в зависимости от толщины среднего слоя 2h при ис-
пользовании указанных выше теорий (использованы те же обозначения, что и в табл. 1).
Из табл. 2 следует, что с уменьшением толщины активного слоя результаты расчетов
изменяются незначительно. Таким образом, при малой толщине пьезослоя можно не
учитывать влияния его жесткостных характеристик при расчете собственной частоты
и подводимой к актуатору разности потенциалов.
104
Таблица 2
210 h 410 , гц 510 ,w м ,aV 410 , гц 410 ,w м aV
0,99 0,4728 2,596 8,828 0,4619 2,824 9,156
0,98 0,47094 1,389 8,8727 0,45999 0,5158 9,2014
0,90 0,45624 0,31633 9,2463 0,44529 0,34699 9,6033
0,80 0,4389 0,17675 9,760 0,4281 0,19425 10,146
0,50 0,39195 0,09891 11,712 0,3822 0,1085 12,177
0,20 0,3519 0,08697 14,6401 0,3436 0,095512 15,189
0,10 0,34024 0,8668 15,97 0,3324 0,09268 16,556
Заключение.
Для моделирования вынужденных резонансных колебаний неупругих прямо-
угольных пластин с сенсорами и актуаторами использованы модель С.П.Тимошенко и
дополнительные гипотезы о распределении индукции и напряженности электрическо-
го поля по толщине пластины. Неупругое поведение материалов учитывается концеп-
цией комплексных характеристик. С использованием указанной модели получено ре-
шение задачи о резонансных колебаниях шарнирно опертой неупругой прямоуголь-
ной пластины с сенсорами и актуаторами. Из этого решения получены формулы для
разности потенциалов, которую необходимо подвести к актуатору для компенсации
изменяющегося по гармоническому закону равномерного давления. Получены также
формулы для заряда, снимаемого с сенсора при резонансных колебаниях пластины и
выражение для коэффициента демпфирования, возникающего в результате совмест-
ного использования сенсоров и актуаторов для уменьшения амплитуды резонансных
колебаний пластины. Приведенные результаты расчетов иллюстрируют влияние де-
формаций сдвига на эффективность работы сенсоров и актуаторов.
Р Е З Ю М Е . Досліджено вплив анізотропії і деформацій зсуву на ефективність роботи
п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів при активному демпфуванні резонансних коливань шарнір-
но обпертих прямокутних пластин. Для моделювання коливань пластин використано гіпотези
С.П.Тимошенка. Методом Фур’є одержано аналітичний розв’язок вказаної задачі. Одержано форму-
ли для різниці потенціалів, яку необхідно підвести до актуатора для компенсації механічного наван-
таження. Аналогічні формули одержано для показників сенсора. Наведено формули для коефіцієнтів
демпфування у випадку сумісного використання сенсорів та актуаторів для активного демпфування
резонансних коливань пластин.
1. Гринченко В. Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. (Механика связанных полей в эле-
ментах конструкций: в 5-ти томах. Т.5). – К.: Наук. думка, 1989. – 290 с.
2. Гузь А.Н., Кабелка И., Маркуш Ш. и др. Динамика и устойчивость слоистых композитных матери-
алов / Под ред. Гузя А.Н. – К.: Наук. думка, 1991. – 368 с.
3. Дубенец В.Г., Хильчевский В.В. Колебания демпфируемых композитных конструкций. Т.1. – К.:
Вища школа, 1995. – 226 с.
4. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Электротермовязкоупругость. (Механика связанных полей в элемен-
тах конструкций: в 5-ти томах. Т.4).– К.: Наук. думка, 1988. – 328 c.
5. Карнаухов В.Г., Козлов В.И., Карнаухова Т.В. Вплив деформацій зсуву на ефективність роботи
п’єзоелектричних сенсорів та актуаторів при активному демпфуванні резонансних коливань не-
пружних пластин і оболонок // Опір матеріалів і теорія споруд. – 2015. – № 95. – С. 75 – 95.
6. Матвеев В.В. Демпфирование колебаний деформируемых тел. – К.: Наук. думка, 1985. – 264 с.
7. Budak V.D., Grigorenko A.Ya., Borisenko M.Yu. Natural Frequencies and Modes of Noncircular Cylindri-
cal Shells with Variable Thickness // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 2. – P.164 – 172.
105
8. Encyclopedia of Smart Materials, (ed. Schwartz, Mal). – New York: Wiley & Sons, 2002. – 1176 p.
9. Gabbert U., Tzou H.S. Smart Structures and Structronic Systems. – Dordrecht: Kluver Academic Pub,
2001. – 384 p.
10. Grigorenko A.Ya., S. Pankrat’ev S.A., Yaremchenko S.N. Solution of Stress-Strain Problems for Com-
plex-Shaped Plates in Refined Formulation // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 3. – P. 326 – 332.
11. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Axisymmetric Acoustoelectric Waves in a Hollow Cylinder Made of a Con-
tinuously Inhomogeneous Piezoelectric Material // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 4. – P. 374 – 390.
12. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L., Korotkikh Yu.A. Free Vibrations of Nonthin Elliptic Cylindrical Shells
of Variable Thickness // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 6. – P. 668 – 679.
13. Grigorenko A.Ya., Loza I.A. Propagation of Axisymmetric Electroelastic Waves in a Hollow Layered
Cylinder Under Mechanical Excitation // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 5. – P. 562 – 567.
14. Jones D.I. Handbook of Viscoelastic Vibration Damping. – New York: John Wiley & Sons, 2001. – 412 p.
15. Karlash V.L. Influence of Electric Loading Conditions on the Vibrations of Piezoceramic Resonators
// Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 2. – P. 64 – 172.
16. Karlash V.L. Conductance- and Susceptance-Frequency Responses of Piezoceramic Vibrators // Int.
Appl. Mech. – 2017. – 53, N 4. – P. 464 – 471.
17. Karlash V.L. Using Passive Two-Port Networks to Study the Forced Vibrations of Piezoceramic Trans-
ducers // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 5. – P. 595 – 602.
18. Karlash V.L. Phase-Frequency Characteristics of the Longitudinal and Transverse Vibrations of Planar
Piezoceramic Transformers // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 3. – P. 349 – 353.
19. Karnaukhov V.G., Kirichok I.F., Kozlov V.I. Thermomechanics of Inelastic Thin-Walled Structural
Members with Piezoelectric Sensors and Actuators Under Harmonic Loading (Review) // Int. Appl.
Mech.– 2017. – 53, N1. – P. 6 – 58.
20. Reddy J.N. Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells. – Boca Raton: CRC Press, 2007. – 547 p.
Поступила 30.03.2017 Утверждена в печать 30.01.2018
|