О повышении надежности систем управления квадрокоптером
Рассмотрена задача повышения надежности функционирования системы управления квадрокоптером (путем введения в систему динамического наблюдателя). Эта задача подробно исследуется применительно к алгоритму управления движением по координате y . Очевидно, что аналогичный подход может быть использован пр...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Datum: | 2018 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174199 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О повышении надежности систем управления квадрокоптером / В.Б. Ларин // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 95-104. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174199 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ларин, В.Б. 2021-01-07T19:35:43Z 2021-01-07T19:35:43Z 2018 О повышении надежности систем управления квадрокоптером / В.Б. Ларин // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 95-104. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174199 Рассмотрена задача повышения надежности функционирования системы управления квадрокоптером (путем введения в систему динамического наблюдателя). Эта задача подробно исследуется применительно к алгоритму управления движением по координате y . Очевидно, что аналогичный подход может быть использован применительно к управлению движением по оси X . В такой постановке задачи описанная процедура выбора коэффициентов цепи обратной связи не является традиционной. В этой связи рассмотрена обратная задача синтеза оптимального регулятора. На примере показано, что динамические характеристики замкнутой системы с динамическими наблюдателями практически не уступают характеристикам системы без динамического наблюдателя. Розглянуто задачу підвищення надійності функціонування системи управління квадрокоптером на основі введення в систему динамічного спостерігача. Ця задача докладно досліджена стосовно алгоритму управління рухом по координаті y. Очевидно, що аналогічний підхід може бути використаний щодо керування рухом по осі x У такій постановці задачі описана процедура вибору коефіцієнтів ланцюга зворотного зв'язку не є традиційною. У цьому зв'язку розглянуто зворотну задачу синтезу оптимального регулятора. На прикладі показано, що динамічні характеристики замкнутої системи з динамічними спостерігачами практично не відрізняються від характеристик системи без динамічного спостерігача. A problem of increasing the reliability of functioning of a control system of quadrocopter is considered basing on introduction into the system the dynamic observer. This problem is thoroughly studied relative to the algorithm of motion control on coordinate y . It is obvious that the similar approach can be used to motion control on the x axis. In such statement of the problem, the used procedure of selection of the feedback chain coefficients is not traditional. Thereupon, the inverse problem of synthesis of the optimum controller is considered. It is shown on an example that the dynamic characteristics of the closed system with dynamic observers does not differ practically from the dynamic characteristics of system without the dynamic observer. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О повышении надежности систем управления квадрокоптером On Increasing the Reliability of Quadrocopter Control Systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О повышении надежности систем управления квадрокоптером |
| spellingShingle |
О повышении надежности систем управления квадрокоптером Ларин, В.Б. |
| title_short |
О повышении надежности систем управления квадрокоптером |
| title_full |
О повышении надежности систем управления квадрокоптером |
| title_fullStr |
О повышении надежности систем управления квадрокоптером |
| title_full_unstemmed |
О повышении надежности систем управления квадрокоптером |
| title_sort |
о повышении надежности систем управления квадрокоптером |
| author |
Ларин, В.Б. |
| author_facet |
Ларин, В.Б. |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On Increasing the Reliability of Quadrocopter Control Systems |
| description |
Рассмотрена задача повышения надежности функционирования системы управления квадрокоптером (путем введения в систему динамического наблюдателя). Эта задача подробно исследуется применительно к алгоритму управления движением по координате y . Очевидно, что аналогичный подход может быть использован применительно к управлению движением по оси X . В такой постановке задачи описанная процедура выбора коэффициентов цепи обратной связи не является традиционной. В этой связи рассмотрена обратная задача синтеза оптимального регулятора. На примере показано, что динамические характеристики замкнутой системы с динамическими наблюдателями практически не уступают характеристикам системы без динамического наблюдателя.
Розглянуто задачу підвищення надійності функціонування системи управління квадрокоптером на основі введення в систему динамічного спостерігача. Ця задача докладно досліджена стосовно алгоритму управління рухом по координаті y. Очевидно, що аналогічний підхід може бути використаний щодо керування рухом по осі x У такій постановці задачі описана процедура вибору коефіцієнтів ланцюга зворотного зв'язку не є традиційною. У цьому зв'язку розглянуто зворотну задачу синтезу оптимального регулятора. На прикладі показано, що динамічні характеристики замкнутої системи з динамічними спостерігачами практично не відрізняються від характеристик системи без динамічного спостерігача.
A problem of increasing the reliability of functioning of a control system of quadrocopter is considered basing on introduction into the system the dynamic observer. This problem is thoroughly studied relative to the algorithm of motion control on coordinate y . It is obvious that the similar approach can be used to motion control on the x axis. In such statement of the problem, the used procedure of selection of the feedback chain coefficients is not traditional. Thereupon, the inverse problem of synthesis of the optimum controller is considered. It is shown on an example that the dynamic characteristics of the closed system with dynamic observers does not differ practically from the dynamic characteristics of system without the dynamic observer.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174199 |
| citation_txt |
О повышении надежности систем управления квадрокоптером / В.Б. Ларин // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 95-104. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT larinvb opovyšeniinadežnostisistemupravleniâkvadrokopterom AT larinvb onincreasingthereliabilityofquadrocoptercontrolsystems |
| first_indexed |
2025-11-25T21:04:18Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:04:18Z |
| _version_ |
1850546168541478912 |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 4
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 4 95
В . Б . Л а р и н
О ПОВЫШЕНИИ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
КВАДРОКОПТЕРОМ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: model@inmech.kiev.ua
Abstract. A problem of increasing the reliability of functioning of a control system of
quadrocopter is considered basing on introduction into the system the dynamic observer.
This problem is thoroughly studied relative to the algorithm of motion control on co-
ordinate y . It is obvious that the similar approach can be used to motion control on the x
axis. In such statement of the problem, the used procedure of selection of the feedback chain
coefficients is not traditional. Thereupon, the inverse problem of synthesis of the optimum
controller is considered. It is shown on an example that the dynamic characteristics of the
closed system with dynamic observers does not differ practically from the dynamic charac-
teristics of system without the dynamic observer.
Key words: quadrocopter, dynamic observer, fault isolation.
Введение.
Различные задачи управления движением [2, 8], в том числе задача управления
квадрокоптером продолжают привлекать внимание исследователей (см., например
[13], где есть дальнейшие ссылки). В [10, 11], базируясь на математической модели
квадрокоптера [4], показано, что линейный регулятор, при использовании соответ-
ствующих оптимизационных процедур, может быть конкурентноспособным по отно-
шению к нелинейному регулятору (характеристики замкнутой системы с линейным
регулятором могут быть качественно не ниже характеристик замкнутой системы с
нелинейным регулятором). Этот результат позволил рассматривать в линейной поста-
новке различные задачи управления квадрокоптером [10, 11], в том числе задачу де-
тектирования отказов в системе, используя критерий 2 [7]. Отметим, что значитель-
ное внимание уделяется задачам ликвидации отказов датчиков [5, 12].
§1. Постановка задачи.
Используя для управления квадрокоптером линейную цепь обратной связи, рас-
смотрим задачу ликвидации отказа датчика, определяющего угол наклона квадроко-
птера. Существенно, что в отличие от традиционного подхода, ниже показана воз-
можность замены «отказавшего» датчика динамическим наблюдателем. В этой связи,
применительно к модели квадрокоптера [4], рассмотрена задача построения наблюда-
теля, который может быть использован, когда «отказал» датчик угла наклона. Отме-
тим, что изложенная ниже процедура синтеза системы обратной связи с таким дина-
мическим наблюдателем отличается от традиционной [1]. В этой связи рассмотрена
обратная задача синтеза оптимального регулятора [1, 9].
Изложенные в статье процедуры иллюстрируются примером.
§2. Общее соотношение [4].
Пусть x y z – радиус-вектор центра квадрокоптера, , , – углы рыска-
ния, тангажа и крена, соответственно; 1f – подъемная сила i -го двигателя iM
( 1, 4)i . Штрих ( ) здесь и далее обозначает транспонирование. Согласно [4], урав-
нения движения данной системы имеют такой вид:
96
sinmx u ; (2.1)
cos sinmy u ; (2.2)
cos cosmz u mg ; (2.3)
; (2.4)
; (2.5)
. (2.6)
В уравнениях (2.1) – (2.6) принято: m – масса аппарата; 9,8g м/с – ускорение
силы тяжести; ,u , , – управляющие воздействия, которые являются функция-
ми 1f . В [4] воздействие u используется для управления высотой положения аппара-
та, управление позволяет стабилизировать угол рыскания. Воздействия и
используются для управления углами и , и перемещением аппарата по осям x и
y , соответственно.
Согласно [4], управление высотой полета аппарата определяется следующим со-
отношением (предполагается, что cos cos 0 ):
1
1
cos cos
u r mg
. (2.7)
В (2.7) принято
1 1 2
( )z z dr a z a z z . (2.8)
В (2.8)
1 2
,z za a – положительные константы, а dz является заданной высотой полета.
Аналогичным является алгоритм управления углом рыскания:
1 2
ˆ ( )da a . (2.9)
Предполагая, что cos cos 0 , согласно (2.7) – (2.9), имеем:
1
tan
cos
mx r mg
; (2.10)
1 tanmy r mg ; (2.11)
1 2
1
( )z z dz a z a z z
m
; (2.12)
1 2
( )da a . (2.13)
В (2.12), (2.13) коэффициенты
1 2
,a a ,
1 2
,z za a должны быть выбраны из условия
асимптотической устойчивости этих систем, что, в свою очередь, обеспечит выполне-
ние условия ,d dz z .
В [4] отмечается, что после окончания переходных процессов в системах (2.12),
(2.13) можно соотношения (2.10), (2.11) заменить следующими:
97
tan
cos
x g
; (2.14)
tany g . (2.15)
Предполагая углы , малыми и приняв во внимание уравнения (2.5), (2.6), в [4]
приведены следующие соотношения, определяющие изменения этих координат:
y g ; (2.16)
; (2.17)
x g ; (2.18)
. (2.19)
В [4] на примерах проведено сравнение линейных и нелинейных алгоритмов ста-
билизации аппарата. Так, в качестве примера рассмотрена система (2.16), (2.17), кото-
рую можно представить в следующем виде:
p Ap Bu ; , , ,p y y ; (2.20)
0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
g
A
; 0 0 0 1B
; u .
Для системы (2.20) авторы [4] синтезируют оптимальный линейный регулятор в
соответствии со следующим критерием качества:
0
J p Qp u Ru dt
. (2.21)
Отметим, что синтезируя регулятор в соответствии с (2.21), целесообразно
уменьшить во время переходного процесса величину фазовых координат , и
управления . Руководствуясь этими соображениями, можно выбрать следующие
значения для матриц ,R Q :
410R , 4
4
1 2 4 6
2 4 8 12
4 8 16 10 24
6 12 24 36 10
Q
. (2.22)
Оптимизируя (2.20) при значениях ,R Q (2.22), получаем следующие значения
коэффициентов регулятора ( )K и корни замкнутой системы ( )A BK :
0,01 0,1083 5,5123 6,8574K ;
(2.23)
5,9623, 0,6702, 0,1125 0,1090i .
В [11] при исходных данных (приведенных на Fig. 5 [4]): (0) 200мy , (0) 0,y
0(0) 40 , (0) 0 проведено сравнение переходных процессов в случае линейного
98
регулятора (2.23) и нелинейного регулятора Fig. 5 [4]. В [11] отмечено, что сравнение
переходных процессов свидетельствует о том, что линейный регулятор (2.23) обеспечи-
вает лучшие параметры этих процессов, чем нелинейный регулятор [4].
§3. Динамический наблюдатель.
Предположим, что в системе (2.20) не наблюдается угол («отказ» соответству-
ющего датчика). Другими словами, предлагается, что наблюдается вектор Y :
Y Cp ;
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
C
. (3.1)
В этой связи возникает задача синтеза динамического наблюдателя, выход кото-
рого можно было бы использовать в алгоритме формирования управляющего воздей-
ствия.
Итак, пусть движение объекта описывается уравнениями (2.20), (3.1), в которых
матрицы , ,A B C имеют размеры n n , n q , m n , соответственно. Известно (см.
[1], где есть дальнейшие ссылки), что если эта система идентифицируема, то можно
построить ( )n m - мерный идентификатор состояния:
cz Dz Q Y TBu , (3.2)
в котором матрицы T и cQ удовлетворяют уравнению Сильвестра
cTA DT Q C (3.3)
и матрица
T
C
C
, обратима. В этом случае оценку p
фазового вектора p можно
принять в виде
z
p G H
Y
; 1G H C .
Качество этой оценки характеризует следующее соотношение:
( ) ( ) ( (0) (0))Dtp t p t Ge z Tp
. (3.4)
Таким образом, задача синтеза наблюдателя при заданной матрице D , которая
согласно (3.4) обеспечивает его динамические свойства, сводится к определению мат-
риц T и cQ , которые удовлетворяют (3.3). Отметим, что выбор матрицы T влияет на
число обусловленности (отношение максимального сингулярного числа к минималь-
ному) матрицы C . Увеличение числа обусловленности матрицы C может увеличить
норму матрицы G в (3.4) и, как следствие, ухудшить качество оценки p
. Поэтому
обычно выбор матриц T и cQ подчиняют условию минимизации числа обусловлен-
ности матрицы C . В такой постановке для решения задачи синтеза наблюдателя сле-
дует определить множество решений уравнения (3.3) и выбрать из них то, которое
минимизирует число обусловленности матрицы C .
Итак, введем следующие обозначения. Пусть 1 2, ,..., nX X X – строки матрицы
X . По определению имеем:
1
vec( )
n
X
X
X
. (3.5)
99
Известно, что используя обозначение (3.5), матричное уравнение (3.3) можно записать
в виде следующей системы уравнений:
0Wv ; TW I A D I I C ;
c
v
q
; vec( )T ; vec( )c cq Q . (3.6)
Здесь – знак прямого (тензорного) произведения матриц (это произведение реали-
зуется процедурой kron.m пакета MATLAB).
Отметим, что структура системы (2.20), (3.1) позволяет, в соответствии с (3.6),
выбрать матрицы T , cQ таким образом, что уравнение (3.2) будет выглядеть так (см.
пример):
z Dz ; 0TB . (3.7)
Таким образом, уравнение движения системы (2.20), дополненное уравнением наблю-
дателя (3.7) с учетом (3.1) имеет вид:
zp A p Bu ; 1Y C p ; 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
C
;
p y y z ; 0 0 0 1 0B
; (3.8)
0
1
z
A A
A
A D
; 0 0 0 0 0A
; 1 0 0 0 1A ,
матрица A определяется (2.20).
§4. Процедура оптимизации.
Для оптимизации системы (3.8) можно использовать различные численные про-
цедуры выбора регулятора, стабилизирующего систему по выходной переменной [1].
Однако, используя специфику структуры системы (3.8), можно указать «нетрадици-
онный» алгоритм оптимизации.
Итак, пусть в оптимизируемом функционале (2.21) матрица Q имеет следующую
структуру:
0
0 0
Q
Q
. (4.1)
Размер матрицы Q равен 5 5 , ненулевой блок Q имеет размер 4 4 . В случае, ко-
гда наблюдаются все координаты, оптимизируя систему (3.8) в соответствии с крите-
рием оптимальности (2.21), (4.1), получаем уравнения оптимального регулятора, ко-
торый, как следствие структуры системы (3.8), будет иметь следующий вид:
1 2 3 4 0K k k k k . (4.2)
В случае, когда не наблюдается координата , уравнение регулятора (4.2) можно
заменить следующим:
1 2 4 30K k k k k . (4.3)
Однако, в общем случае, такая замена стратегии управления (замена (4.2) на (4.3))
может привести к потере устойчивости замкнутой системы. В этой связи, можно (см.
пример) подобрать так константу D в (3.2), (3.8), чтобы, с одной стороны, (согласно
(3.4)) оценка достаточно быстро бы стремилась к истинному значению , а, с дру-
100
гой стороны, динамические параметры системы с регулятором (4.3) мало бы отлича-
лись от параметров, которые соответствуют регулятору (4.2). Другими словами, алго-
ритм оптимизации включает следующие шаги. Первый шаг состоит в решении ли-
нейно-квадратичной задачи, определяемой (2.21), (3.8), (4.1) (процедура are.m пакета
MATLAB), т.е. в получении регулятора (4.2). Далее, на втором шаге, подбирается ве-
личина константы D таким образом, что для управления системой (3.8) можно ис-
пользовать регулятор (4.3).
Отметим, что регулятор (4.2) получен в результате минимизации квадратичного
функционала (2.21) при заданных значениях Q и R . Естественно возникает вопрос,
каким значениям матриц Q и R в (2.21) соответствует регулятор (4.3).
§5. Алгоритм решения обратной задачи синтеза оптимального регулятора [1, 9].
Сформулируем прямую и обратную задачи аналитического конструирования ре-
гуляторов. Задачи аналитического конструирования регуляторов для линейной стаци-
онарной системы, оптимизируемой по квадратичному функционалу или линейная
квадратичная (ЛК) задача формулируется так: движение объекта описывается стацио-
нарной системой дифференциальных уравнений
; (0) 0,x Ax Bu x (5.1)
где x – вектор состояния системы; u – вектор управляющих воздействий; А, В – не
зависящие от времени матрицы соответствующих размеров. Необходимо определить
регулятор (матрицу K )
u Kx , (5.2)
который, обеспечивая устойчивость замкнутой системы
Re ( ) 0A BK , (5.3)
минимизировал бы функционал (2.21). В (2.21) принято: 0, = 0.T TQ Q R R Извест-
но, что решение этой (прямой) задачи, определяемой (2.21), (5.1) – (5.3), имеет вид
1 TK R B P , (5.4)
где симметричная матрица P является, так называемым, стабилизирующим решени-
ем матричного алгебраического уравнения Риккати
1 0.T TA P PA PBR B P Q (5.5)
Обращение проблемы аналитического конструирования регуляторов или обратная
ЛК задача формулируется так. Заданы матрицы А, В, К, удовлетворяющие условию
(5.3); требуется найти (если существуют) матрицы Q, R такие, что регулятор (5.2) яв-
ляется решением задачи (2.21), (5.1) – (5.3).
Итак, пусть заданы матрицы , ,A B K , удовлетворяющие (5.3). Необходимо опре-
делить матрицы Q и R таким образом, что в результате решения ЛК задачи, опреде-
ляемой (2.21), (5.1) – (5.3) получается (согласно (5.4)) матрица K , совпадающая с
исходной. Для решения этой задачи в [9] был использован подход, базирующийся на
аппарате линейных матричных неравенств (ЛМН). Согласно [9], для решения обрат-
ной ЛК задачи необходимо определить симметричные матрицы
0; > 0; 0,Q R P (5.6)
удовлетворяющие следующим уравнениям:
( ) ( ) 0;A BK P P A BK K RK Q (5.7)
0,B P RK (5.8)
которые следуют из (5.4), (5.5).
101
Отметим, что такая постановка задачи, кроме матричных неравенств (5.6), содер-
жит уравнения (5.7), (5.8). Это затрудняет непосредственное использование стандарт-
ных процедур метода ЛМН [6]. Действительно, если (5.7) и условие 0Q можно за-
писать в виде неравенства
( ) ( ) 0,A BK P P A BK K RK (5.9)
то сведение процедуры решения уравнения (5.8) к некоторой стандартной проблеме,
формулируемой в терминах ЛМН, требует дополнительных рассуждений. В этой свя-
зи рассмотрим следующие матричные неравенства:
0; ;
F S
F I S B P RK
S I
, (5.10)
где F – симметричная матрица; – скаляр. Здесь и далее I – единичная матрица
соответствующего размера. Согласно [3], неравенство 0
F S
S I
эквивалентно не-
равенству 0,F SS которое, с учетом второго неравенства в (5.10), можно записать
в виде
I SS . (5.11)
Из (5.11) следует, что если определить матрицы P и R , удовлетворяющие (5.6),
(5.10) при достаточно малой величине , то эти матрицы ( P и R ) могут служить
достаточно хорошей аппроксимацией решения уравнения (5.8). Руководствуясь этими
соображениями, обратную ЛК задачу с учетом (5.6), (5.9), (5.10) можно сформулиро-
вать в терминах ЛМН следующим образом. Пусть заданы матрицы , ,A B K ; необхо-
димо минимизировать при выполнении следующих ЛМН:
0, 0P R ; ( ) ( ) 0;A BK P P A BK K RK
0; ;
F S
F I S B P RK
S I
. (5.12)
Это стандартная задача ЛМН (задача ЛМН на собственные значения [3]). Для ее
решения используется процедура gevp.m пакета MATLAB [6]. В результате использо-
вания упомянутой процедуры, определяются матрицы P, R, F и соответствующие зна-
чения скаляра . Искомое значение матрицы Q определяется (5.7). Таким образом,
алгоритм решения обратной ЛК задачи (определение матриц Q , R ) сводится к ис-
пользованию стандартной процедуры пакета MATLAB.
Отметим, что для эффективности описанного выше алгоритма решения обратной за-
дачи для системы с непрерывным временем существенным является условие 0R , так
как это условие исключает тривиальное решение задачи (5.12), а именно 0R , 0P .
§6. Пример.
Проиллюстрируем процедуру синтеза динамического наблюдателя в системе
управления координатой y , когда не наблюдается угол (структура регулятора
определяется соотношением (4.3)).
Используя (3.6), получаем следующие значения векторов , cT Q :
0,0003 0,0051 1 0T ; 0 0 1cQ .
Эти значения T и cQ удовлетворяют (3.3) с точностью порядка 1410 . Значение
вектора 1 1cA Q C совпадает с принятым в (3.8). Таким образом, объект, движение
которого описывается системой (3.8), оптимизируется в соответствии с критерием
102
(2.21), в котором 410R , а матрица Q имеет структуру (4.1). Блок Q аналогичен
матрице Q , фигурирующей в (2.22):
4
4
30 2 4 6
2 4 8 12
4 8 16 10 24
6 12 24 36 10
Q
.
Как результат такой оптимизации, определим регулятор (4.2). Собственные зна-
чения системы с таким регулятором (при разных значениях D ) приведены в верхнем
блоке таблицы.
K
D
0,005 0,05 0,5
(4.2)
-5,9623
-0,6951
-0,2380 + 0,2700i
-0,2380 – 0,2700i
-0,0050
-5,9623
-0,6951
-0,2380 + 0,2700i
-0,2380 – 0,2700i
-0,0500
-5,9623
-0,2380 + 0,2700i
-0,2380 – 0,2700i
-0,6951
-0,5000
(4.3)
-5,9610
-0,7122
-0,2301 + 0,2712i
-0,2301 – 0,2712i
-0,0050
-5,9493
-0,8430
-0,1705 + 0,2857i
-0,1705 – 0,2857i
-0,048
-5,8178
-1,5874
-0,5000
0,1359 + 0,4481i
0,1359 – 0,4481i
Собственные значения замкнутой системы при использовании регулятора (4.3)
приведены в нижнем блоке этой таблицы.
Как следует из этих данных, при 0,5D система с регулятором (4.3), неустой-
чива т.к. имеет собственные значения в правой полуплоскости. При 0,005D соб-
ственные значения системы с регуляторами (4.2), (4.3) близки, но это значение D ,
как следует из (3.4), не обеспечивает достаточно быструю сходимость оценки z к
значению . В этой связи принимаем значение 0,05D , при котором собственные
значения системы с регуляторами (4.2), (4.3) достаточно близки. При таком значении
D вектор K в (4.2) имеет вид:
0,0548 0,2893 7, 4427 7,1334 0K
и, соответственно, в (4.3) –
0,0548 0,2893 0 7,1334 7, 4427K . (6.1)
Используя результаты §5 (решая обратную задачу) определим, фигурирующие в
(2.21) значения матрицы ( 1)Q R , соответствующее системе (3.8) и регулятору (6.1):
0,0030 0,0141 0,0548 0, 2544 0, 4165
0,0141 0,0725 0,3394 1,4007 2,0065
0,0548 0,3394 2,8961 8, 2240 8,1173
0,2544 1,4007 8,2240 36,0 36,6766
0, 4165 2,0065 8,1173 36,6766 58, 4951
Q
. (6.2)
103
Матрица Q , определяемая (6.2), положительно определима, т.к. ее минимальное
собственное значение 5
min 2, 2514 10 . Отметим, что уравнение регулятора, полу-
ченное при оптимизации системы (3.8) в соответствии с (2.21), в котором 1,R Q
определяется (6.2), совпадают с (6.1) с точностью порядка 1410 .
Представим результаты моделирования переходного процесса в системе (3.8), (5.1)
при следующих начальных условиях: (0) 200м,y (0) 0,y (0) 40 , (0) 0,
(0) 0z . Кроме условия (0) 0z , эти условия совпадают с принятыми в примере [11]
и приведенными на Fig. 5 [4]. Эти результаты приведены на рис. 1 – 4 сплошными
линиями.
Пунктирными линиями на этих рисунках приведены результаты моделирования,
когда движение объекта описывается нелинейными уравнениями (2.15), (2.17).
На рис. 5 показаны графики переходных
процессов координат (сплошная линия) и
z (пунктирная линия).
Результаты, приведенные на этом рисун-
ке, получены в случае, когда движение объек-
та описывается уравнениями (2.15), (2.17).
Сравнивая результаты, приведенные на
рис. 1 – 4, с аналогичными, приведенными на
рис. 2 – 5 [11], можно констатировать, что
характеристики переходных процессов си-
стемы с динамическими наблюдателями не-
сколько (но не существенно) уступают си-
стеме [11].
Рис. 1
Рис. 3
Рис. 2
Рис. 4
Рис. 5
104
Результаты, приведенные на рис. 5, свидетельствуют о том, что оценка угла
(координата z ) достаточно быстро сходится к значению угла .
Таким образом, можно утверждать, что рассмотренный динамический наблюда-
тель может заменить отказавший датчик угла .
Заключение.
Рассмотрена задача повышения надежности функционирования системы управле-
ния квадрокоптером (путем введения в систему динамического наблюдателя). Эта
задача подробно исследуется применительно к алгоритму управления движением по
координате y . Очевидно, что аналогичный подход может быть использован приме-
нительно к управлению движением по оси X . В такой постановке задачи описанная
процедура выбора коэффициентов цепи обратной связи не является традиционной. В
этой связи рассмотрена обратная задача синтеза оптимального регулятора.
На примере показано, что динамические характеристики замкнутой системы с ди-
намическими наблюдателями практически не уступают характеристикам системы без
динамического наблюдателя.
Р Е З Ю М Е . Розглянуто задачу підвищення надійності функціонування системи управління
квадрокоптером на основі введення в систему динамічного спостерігача. Ця задача докладно до-
сліджена стосовно алгоритму управління рухом по координаті .y Очевидно, що аналогічний підхід
може бути використаний щодо керування рухом по осі x У такій постановці задачі описана проце-
дура вибору коефіцієнтів ланцюга зворотного зв'язку не є традиційною. У цьому зв'язку розглянуто
зворотну задачу синтезу оптимального регулятора. На прикладі показано, що динамічні характери-
стики замкнутої системи з динамічними спостерігачами практично не відрізняються від характери-
стик системи без динамічного спостерігача.
1. Aliev F. A., Larin V. B Stabilization Problems for a System with Output Feedback // Int. Appl. Mech.
– 2011. – 47, N 3. – P. 3 – 49.
2. Babenko E.A., Martynyuk A.A. Stabilization of the Motion of Affine Systems // Int. Appl. Mech. – 2016.
– 52, N 4. – P. 100 – 108.
3. Boyd S., Ghaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theo-
ry. – Philadelphia: SIAM, 1994. – 193 p.
4. Castillo P., Lozano R., Dzul A. Stabilization of a Mini Rotorcraft with Four Rotors // IEEE Control Sys-
tems Magazine. December. – 2005. – P. 45 – 55.
5. Deyst J.J., Harrison J.V., Gai E., Daly K.C. Fault Detection, Identification and Reconfiguration for
Spacecraft Systems // J. of the Astronautical Sciences. – 1981. – XXIX, N 2. – P. 113 – 126.
6. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J., Chilali M. LMI control toolbox users guide. – The MathWorks Inc.,
– 1995. – 321 p.
7. Grewal M.S., Weill L.R., Andrews A.P. Global Positioning Systems, Inertial Navigation and Integration
// NY: John Wiley & Sons, 2001. – 392 p.
8. Khoroshun A.S. On Stability of Horizontal Motion of an Airplane // Int. Appl. Mech., – 2016, – 52, N 1.
– P. 134 – 144.
9. Larin V.B. LMI Approach to the Inverse Problem of Optimal Control // System Science. – 2000. – 26,
N 3. – P. 61 – 68.
10. Larin V.B., Tunik A.A. Synthesis of the Quad-rotor Control Algorithms in the Basic Flight Modes
// TWMS Journal of Pure and Appl. Math. –2018. – 9, N2. – P. 131 – 136.
11. Larin V.B., Tunik A.A. On Problem of Synthesis of Control System for Quadrocopter // Int. Appl. Mech.,
– 2017. – 53, N 3. – P. 342 – 348.
12. Tanaka S., Muller J.С. Fault detection in linear discrete dynamic systems by a pattern recognation of
generalized-likelihood-ratio // Transactions of the ASME, J: of Dynamic Systems. Measurement and
Control. – 1990. – 112.– P. 276 – 292.
13. Tsay T.S. Guaidance and Control Laws for Quadrotor UAV // WSEAS Trans. On System and Control –
2014. – 9. – P. 606 – 613.
Поступила 26.06.2016 Утверждена в печать 30.01.2018
|