Інтерполювання диференціальних операторів з частинними похідними
Some basic statements of the theory of the approximation of differential operators with partial derivatives by other differential operators with partial derivatives are given. The approximated and approximating operators are equal on the given system of functions (functional knots). The example is g...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1742 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Інтерполювання диференціальних операторів з частинними похідними / О.М. Литвин // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 7–11. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859627090975916032 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. |
| author_facet | Литвин, О.М. |
| citation_txt | Інтерполювання диференціальних операторів з частинними похідними / О.М. Литвин // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 7–11. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Some basic statements of the theory of the approximation of differential operators with partial derivatives by other differential operators with partial derivatives are given. The approximated and approximating operators are equal on the given system of functions (functional knots). The example is given.
|
| first_indexed | 2025-11-29T12:19:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2007
МАТЕМАТИКА
УДК 519.6
© 2007
О.М. Литвин
Iнтерполювання диференцiальних операторiв
з частинними похiдними
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Some basic statements of the theory of the approximation of differential operators with partial
derivatives by other differential operators with partial derivatives are given. The approximated
and approximating operators are equal on the given system of functions (functional knots).
The example is given.
Постановка проблеми. У данiй роботi теорiя iнтерполювання звичайних диференцiаль-
них операторiв, запропонована у роботi [1], узагальнюється на випадок iнтерполювання
диференцiальних операторiв з частинними похiдними. Для функцiй двох i бiльше змiнних
поняття iнтерполяцiї знайшло своє узагальнення у виглядi операторiв iнтерлiнацiї та iн-
терфлетацiї, у яких iнформацiя про наближувану функцiю задається на системi лiнiй або
поверхонь (якщо змiнних бiльше двох) [2, 3].
Для диференцiальних операторiв з частинними похiдними задачу iнтерполювання сфор-
мулюємо таким чином. Деякий диференцiальний оператор A : U → Γ з частинними похi-
дними (взагалi кажучи, невiдомий) задається iнтерполяцiйними даними
Auβ(x, y) = γβ(x, y), 0 6 β 6 n, (1)
де функцiональнi вузли uβ(x, y) ∈ U , 0 6 β 6 n, i функцiї γβ(x, y) ∈ Γ, 0 6 β 6 n,
вважаються заданими елементами деяких функцiональних просторiв U , Γ вiдповiдно. Тре-
ба побудувати за допомогою цiєї iнформацiї диференцiальний оператор Ln з частинними
похiдними заданого вигляду (лiнiйний або нелiнiйний), який мав би тi ж iнтерполяцiйнi
властивостi.
Деякi важливi результати з побудови полiномiальних наближуючих операторiв у виглядi
операторних полiномiв Pn степеня n, визначених на множинi функцiй u ∈ X iз значеннями
у просторi Y (X та Y — деякi лiнiйнi простори, наприклад гiльбертовi), наведенi в працях
[4–7]. Пiд Pn у цих працях розумiється оператор
Pnu =
n
∑
k=0
Lku
k,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 7
де L0u
0 = L0 ∈ Y , Lku
k, k = 1, n, — k-й операторний степiнь, отриманий з полiлiнiйного
симетричного оператора Lk(v1, v2, . . . , vk) : Xk → Y , при v1 = · · · = vk = u, vi ∈ X, i =
= 1, n. Розв’язувана у цитованих працях задача формулюється таким чином: для деякого
оператора A треба знайти такий операторний полiном Pn, який задовольняє iнтерполяцiйнi
умови
Pn(uβ(x)) = A(uβ(x)), 1 6 β 6 m,
де {uβ(x)}m
β=1 — задана система вузлiв uβ(x) ∈ X. У роботах [4–7] найбiльше уваги придi-
лено випадку, коли операторний полiном є iнтегральним оператором спецiального вигляду.
Вiдмiтимо також роботу [8], у якiй класичнi полiноми Лагранжа i Ермiта узагальнюються на
випадок операторного iнтерполювання. Тобто у цитованих роботах наближуючий оператор
є операторним полiномом, а не диференцiальним оператором, навiть якщо наближуваний
оператор A є диференцiальним оператором з частинними похiдними.
У роботi автора [1] вперше дослiджено важливий з практичної точки зору випадок, коли
наближуваний i наближуючий оператори є звичайними диференцiальними операторами.
Автору невiдомi аналогiчнi результати для випадку, коли наближуваний i наближуючий
оператори є диференцiальними операторами з частинними похiдними. У той же час теорiя
наближення функцiй однiєї та багатьох змiнних свiдчить про те, що врахування класу на-
ближуваних функцiй дозволяє отримати бiльш точне наближення до них. Зокрема, теорiя
наближення в якiй на множинi наближуваних елементiв знайдеться такий, що точно мо-
же бути наближений, повинна розглядатись як бiльш якiсна теорiя наближення порiвняно
з теорiєю, що не має цiєї властивостi. Яскравим прикладом цього є теорiя iнтерлiнацiї та
iнтерфлетацiї функцiй багатьох змiнних [2, 3], у якiй досягається висока точнiсть набли-
ження функцiй багатьох змiнних завдяки тому, що для побудови наближуючих операторiв
використовуються не тiльки значення наближуваної функцiї в окремих точках, але її слiди
на заданiй системi лiнiй або поверхонь. Сказане повнiстю стосується наближення диферен-
цiальних операторiв з частинними похiдними. Крiм того, iснують практичнi задачi, у яких
наближуваний нелiнiйний диференцiальний оператор доцiльно замiнити iншим диференцi-
альним оператором бiльш простої конструкцiї (наприклад, лiнiйним чи полiномiальним).
Вiдзначимо, що у виразi
A(x, y,Dx,Dy)u(x, y), Dx =
∂
∂x
, Dy =
∂
∂y
для наближення оператора A(x, y,Dx,Dy) можна використовувати або не використо-
вувати функцiю u(x, y). Перший випадок полягає у наближеному вiдновленнi опера-
тора A(x, y,Dx,Dy) з умов (1). Другий випадок пов’язаний з наближенням формули
A(x, y,Dx,Dy) якою-небудь iншою формулою, яку можна розглядати як функцiю змiнних
x, y, що залежить вiд параметрiв Dx, Dy. Метою даної роботи є започаткування побудови
теорiї iнтерполювання диференцiальних операторiв з частинними похiдними A(x, y,Dx,Dy)
на основi умов (1), вiдмiнної вiд теорiї наближення операторiв, дослiдженої в [4–8]. Вiдмiн-
нiсть полягає в тому, що в запропонованiй теорiї наближуваний i наближуючий оператори
є диференцiальними операторами з частинними похiдними вiд двох змiнних.
Iнтерполювання диференцiальних операторiв з частинними похiдними
(ДОЗЧП) за допомогою ДОЗЧП i з використанням функцiональних вуз-
лiв. Наближення лiнiйними диференцiальними операторами. Припустимо, що n ∈ N,
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
A(x, y,Dx,Dy) — деякий диференцiальний оператор з частинними похiдними, який дiє на
функцiї вiд двох змiнних u(x, y). Iнформацiя про нього задана так (N ∈ N — задане на-
туральне число):
A(x, y,Dx,Dy)uβ(x, y) = γβ(x, y), 0 6 β 6 N ;
n
∑
β=0
|γβ(x, y)| 6= 0, (x, y) ∈ G ⊆ R
2.
(2)
Для практики iнколи зручно використовувати два iндекси при нумерацiї функцiй
uα,β(x, y), γα,β(x, y). У цьому випадку треба побудувати лiнiйний диференцiальний опе-
ратор L з частинними похiдними (Dα
xDβ
y u(x, y) = (∂α+βu(x, y))/(∂xα∂yβ)); G1 =
= {0 6 α + β 6 n} або G2 = {0 6 α, β 6 n}, γ = 1, 2):
Ln(x, y,Dx,Dy)u(x, y) =
∑
(µ,ν)∈Gγ
aµ,ν(x, y)Dµ
xDν
yu(x, y), (3)
невiдомi коефiцiєнти aµ,ν(x, y), µ, ν ∈ Gγ , якого знаходяться з умов
Ln(x, y,Dx,Dy)uα,β(x, y) = γα,β(x, y), (α, β) ∈ Gγ . (4)
При такiй нумерацiї N = (n + 1)(n + 2)/2. Нижче сформулюємо умови, якi повинна за-
довольняти система функцiй (функцiональних вузлiв) uα,β(x, y), (α, β) ∈ Gγ для того,
щоб задача (4)–(3) мала єдиний розв’язок, i дамо два явних аналiтичних вирази для та-
кого оператора Ln(x, y,Dx,Dy)u(x, y). Наведено також аналiтичний вираз для iнтерполя-
цiйних операторiв Ln(x, y,Dx,Dy)u(x, y) =
n
∑
α=0
aα(x, y)(Dp
xDq
yu(x, y))α, а також iнтеграль-
не зображення залишку наближення операторiв A(x, y,Dx,Dy), що задовольняють умову
A(x, y,Dx,Dy)u(x, y) = A(x,Dxu(x, y),Dyu(x, y)) за допомогою нелiнiйних диференцiаль-
них операторiв першого порядку
Ln(x, y,Dx,Dy)u(x, y) =
n
∑
(µ,ν)∈Gγ
aµ,ν(x, y)(Dxu(x, y))µ(Dyu(x, y))ν .
Теорема 1. Для того щоб у деякiй областi (x, y) ∈ G ⊆ R
2 задача (4)–(3) мала єдиний
розв’язок ai,j(x, y), (i, j) ∈ Gγ , необхiдно i достатньо, щоб система функцiй uα,β(x, y),
(α, β) ∈ Gγ задовольняла умову
∆ = detW (x, y) 6= 0, (x, y) ∈ G; W (x, y) = [Dµ,νuα,β(x, y)]
(µ,ν)∈Gγ
(α,β)∈Gγ
. (5)
Оператор Ln(x, y,Dx,Dy)u(x, y) можна зобразити у виглядi (γ = 1)
Ln(x, y,Dx,Dy)u(x, y) =
= Γ(x, y)W (x, y)−1[IDxDy · · ·D
n
x(Dn−1
x D1
y) · · · (D
1
xDn−1
y )Dn
y ]T u(x, y), (6)
де I — тотожний оператор, Γ(x, y) = [γα,β(x, y)](α,β)∈Gγ .
Нижче дамо також iншу формулу для операторiв Ln(x, y,Dx,Dy)u(x, y).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 9
Теорема 2. Оператор Ln(x, y,Dx,Dy)u(x, y) можна зобразити також у виглядi (для
γ = 1)
Ln(x, y,Dx,Dy)u(x, y) =
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
u0,0Dxu0,0Dyu0,0 . . . Dn
xu0,0(D
n−1
x D1
yu0,0) . . . Dn
y u0,0 γ0,0(x, y)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
un,0Dxun,0Dyun,0 . . . Dn
xun,0(D
n−1
x D1
yun,0) . . . Dn
y un,0 γn,0(x, y)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u0,nDxu0,nDyu0,n . . . Dn
xu0,n(Dn−1
x D1
yu0,n) . . . Dn
y u0,n γ0,n(x, y)
uDxuDyu . . . Dn
xu(Dn−1
x D1
yu) . . . Dn
y u 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∆
. (7)
Iнтерполювання диференцiальних операторiв спецiального виду. Теореми 1 i 2 повнi-
стю розв’язують задачу побудови шуканого лiнiйного диференцiального оператора з час-
тинними похiдними з властивостями (4). Але задача операторного iнтерполювання має не-
єдинний розв’язок. Нижче для операторiв A(x, y,Dx,Dy)u(x, y) з властивiстю
A(x, y,Dx,Dy)u(x, y) = A(x, y,Dp
xDq
xu(x, y)), p, q ∈ N (8)
дано аналiтичний вираз нелiнiйного оператора порядку p + q
Ln(x, y,Dp
xDq
yu)u(x, y) =
n
∑
α=0
wα(x, y)(Dp
xDq
yu(x, y))α,
що задовольняє умови (4).
Теорема 3. Оператор
Ln(x, y,Dp
xDq
yu(x, y)) =
n
∑
r+s=0
γr,s(x, y)
n
∏
µ+ν=0,
µ6=α, µ6=β
Dp
xDq
yuµ,ν(x, y) − Dp
xDq
yu(x, y)
Dp
xDq
yuµ,ν(x, y) − Dp
xDq
yur,s(x, y)
, (9)
задовольняє iнтерполяцiйнi умови (4), якщо система функцiй uα,β(x, y), 0 6 α + β 6 n,
задовольняє такi умови (0 6 µ + ν, r + s 6 n):
Dp
xDq
yuµ,ν(x, y) − Dp
xDq
yur,s(x, y) 6= 0 ∀(x, y) ∈ G, µ 6= r, ν 6= s. (10)
У теоремi 4 наведено iнтегральне зображення для залишку
RnAu(x, y) = (A(x, y,Dp
xDq
y) − Ln(x, y,Dp
xDq
y))u(x, y). (11)
Теорема 4. Хай 1 6 t 6 n + 1 i функцiя A(x, y, z) змiнної z ∈ R належить до класу
A(x, y, z) ∈ Ct(G × R) i для оператора A(x, y,Dp
xDq
y) виконується умова (8). Тодi
Rn,rAu(x, y) =
n
∑
r+s=0
n
∏
µ=0, ν=0,
µ6=r, ν 6=s
Dp
xDq
yuµ,ν(x, y) − Dp
xDq
yu(x, y)
Dp
xDq
yuµ,ν(x, y) − Dp
xDq
yur,s(x, y)
×
×
D
p
xD
q
yu(x,y)
∫
D
p
xD
q
yur,s(x,y)
∂tA(x, y, z)
∂zt
(Dp
xDq
yur,s(x, y) − z)t−1
(t − 1)!
dz. (12)
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
Припустимо, що оператор A(x, y,Dx,Dy) має таку властивiсть:
A(x, y,Dx,Dy)u(x, y) = A(x, y,Dxu(x, y),Dyu(x, y)). (13)
Крiм того, припустимо, що uα,β(x, y) = U1,α(x)U2,β(y), 0 6 α, β 6 n. Будемо наближувати
A(x, y,Dx,Dy) за допомогою оператора
An(x, y,Dxu,Dyu) =
n
∑
α=0
n
∑
β=0
aα,β(x, y)(Dxu)α(Dyu)β .
Теорема 5. Хай u = u(x, y). Оператор
An(x, y,Dxu,Dyu) =
=
n
∑
α=0
n
∑
β=0
γα,β(x, y)
n
∏
µ=0,
µ6=α
Dxu − DxU1,α(x)
DxU1,µ(x) − DxU1,α(x)
n
∏
ν=0,
ν 6=β
Dyu − DyU2,β(y)
DyU2,ν(y) − DyU2,β(y)
має такi iнтерполяцiйнi властивостi:
An(x, y,Dx,Dy)U1,r(x)U2,s(y) = γr,s(x, y), 0 6 r, s 6 n.
П р и к л ад . Хай A(x, y, Dx, Dy) = D2
x
D2
y
= ∂4/(∂x2∂y2); n = 1; L1,1(x, y, Dx, Dy)u = a0,0u(x, y)+
+a1,0(x, y)Dxu(x, y)+a0,1(x, y)Dyu(x, y)+a1,1(x, y)DxDyu(x, y). У випадку u0,0(x, y) = 1; u1,0(x, y) =
= x2/2, u0,1(x, y) = y2/2, u1,1(x, y) = x2y2/4; γ0,0(x, y) = 0; γ1,0(x, y) = 0, γ0,1(x, y) = 0,
γ1,1(x, y) = 1 система (4) має розв’язок a0,0(x, y) = 0; a1,0(x, y) = 0, a0,1(x, y) = 0, a1,1(x, y) =
= x−1y−1. Тому L1,1(x, y, Dx, Dy)u = x−1y−1DxDyu(x, y). У цьому випадку оператор L1u(x, y) =
= L1(x, y, Dx, Dy)u(x, y) має вигляд
L1u(x, y) = 4x−3y−3(Dxu(x, y))(Dyu(x, y)).
Таким чином, у роботi викладено деякi основнi твердження теорiї iнтерполювання ди-
ференцiальних операторiв з частинними похiдними (ДОЗЧП) за допомогою лiнiйних або
нелiнiйних ДОЗЧП полiномiального типу, коли для наближення використовуються резуль-
тати дiї наближуваного оператора на деяку систему функцiй — функцiональних вузлiв.
Наведенi явнi аналiтичнi вирази для запропонованих операторiв, дослiджено залишки на-
ближення з їх допомогою деяких нелiнiйних операторiв. Розглянуто приклад.
1. Литвин О.М. Iнтерполювання звичайних диференцiальних операторiв // Доп. НАН України. –
2007. – № 6. – С. 19–23.
2. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її узагальнення. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
3. Литвин О.М. Методи обчислень. Додатковi роздiли. – Київ: Наук. думка, 2005. – 331 с.
4. Porter W.A. Synthesis of polynomic system // SIAM J. Math. Anal. – 1980. – 11, No 2. – P. 308–315.
5. Howlett P.G., Torokhti A. P. Weak interpolation and approximation of nonlinear operators on the space
C([0, 1]) // Numer. Func. Anal. and Optimiz. – 1998. – 19, No 9, 10. – P. 1025–1043.
6. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Основы теории полиномиального операторного интерполирования. –
Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1998. – 278 с.
7. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В., Янович Л.А. Интерполирование операторов. – Киев: Наук. думка,
2002. – 406 с.
8. Prenter P.M. Lagrange and Hermite interpolation in Banaсh spaces // Appr. Theory. – 1971. – 4, No 4. –
P. 419–432.
Надiйшло до редакцiї 27.11.2006Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1742 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T12:19:53Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. 2008-09-02T17:03:52Z 2008-09-02T17:03:52Z 2007 Інтерполювання диференціальних операторів з частинними похідними / О.М. Литвин // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 7–11. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1742 519.6 Some basic statements of the theory of the approximation of differential operators with partial derivatives by other differential operators with partial derivatives are given. The approximated and approximating operators are equal on the given system of functions (functional knots). The example is given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Інтерполювання диференціальних операторів з частинними похідними Article published earlier |
| spellingShingle | Інтерполювання диференціальних операторів з частинними похідними Литвин, О.М. Математика |
| title | Інтерполювання диференціальних операторів з частинними похідними |
| title_full | Інтерполювання диференціальних операторів з частинними похідними |
| title_fullStr | Інтерполювання диференціальних операторів з частинними похідними |
| title_full_unstemmed | Інтерполювання диференціальних операторів з частинними похідними |
| title_short | Інтерполювання диференціальних операторів з частинними похідними |
| title_sort | інтерполювання диференціальних операторів з частинними похідними |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1742 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom ínterpolûvannâdiferencíalʹnihoperatorívzčastinnimipohídnimi |