Бифуркации двух связанных осцилляторов
Приведен качественный бифуркационный анализ двух случаев существования аттракторов в многомерных системах. Первый случай соответствует модели Неймарка. На одной координатной плоскости существует линейная система с особой точкой в виде неустойчивого фокуса. На двух других плоскостях образуются колеба...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174200 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Бифуркации двух связанных осцилляторов / Н.В. Никитина // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 105-112. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174200 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Никитина, Н.В. 2021-01-07T19:37:50Z 2021-01-07T19:37:50Z 2018 Бифуркации двух связанных осцилляторов / Н.В. Никитина // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 105-112. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174200 Приведен качественный бифуркационный анализ двух случаев существования аттракторов в многомерных системах. Первый случай соответствует модели Неймарка. На одной координатной плоскости существует линейная система с особой точкой в виде неустойчивого фокуса. На двух других плоскостях образуются колебательные движения. Эти движения ограничивают рост колебаний неустойчивой линейной системы. Второй случай - связка двух осцилляторов (Дюффинга и Ван-дер-Поля). Система может порождать как регулярные колебания при синхронизации, так и хаотичные. Наведено якісний біфуркаційний аналіз двох випадків існування аттракторів в багатовимірних системах. Перший випадок відповідає моделі Неймарка. На одній координатній площині існує лінійна система з особливою точкою у вигляді нестійкого фокуса. На двох інших площинах утворюються коливальні рухи. Ці рухи обмежують зростання коливань нестійкої лінійної системи. Другий випадок – зв’язка двох осциляторів (Дюффінга і Ван-дер-Поля). Система може породжувати як регулярні коливання при синхронізації, так і хаотичні. A qualitative bifurcation analysis of two cases of existence of attractors in multidimensional systems is given. The first case is based on the Neimark model. On one coordinate plane, a linear system exists with the special point in the form unstable focus. On the other two planes, the vibrational motions are formed. These movements restrict the growth of oscillations of this unstable linear system. The second case represents a bundle of two oscillators (Duffing and van der Pol). This system can generate both regular oscillations during synchronization, and chaotic ones. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Бифуркации двух связанных осцилляторов Bifurcations of two coupled oscillators Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Бифуркации двух связанных осцилляторов |
| spellingShingle |
Бифуркации двух связанных осцилляторов Никитина, Н.В. |
| title_short |
Бифуркации двух связанных осцилляторов |
| title_full |
Бифуркации двух связанных осцилляторов |
| title_fullStr |
Бифуркации двух связанных осцилляторов |
| title_full_unstemmed |
Бифуркации двух связанных осцилляторов |
| title_sort |
бифуркации двух связанных осцилляторов |
| author |
Никитина, Н.В. |
| author_facet |
Никитина, Н.В. |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Bifurcations of two coupled oscillators |
| description |
Приведен качественный бифуркационный анализ двух случаев существования аттракторов в многомерных системах. Первый случай соответствует модели Неймарка. На одной координатной плоскости существует линейная система с особой точкой в виде неустойчивого фокуса. На двух других плоскостях образуются колебательные движения. Эти движения ограничивают рост колебаний неустойчивой линейной системы. Второй случай - связка двух осцилляторов (Дюффинга и Ван-дер-Поля). Система может порождать как регулярные колебания при синхронизации, так и хаотичные.
Наведено якісний біфуркаційний аналіз двох випадків існування аттракторів в багатовимірних системах. Перший випадок відповідає моделі Неймарка. На одній координатній площині існує лінійна система з особливою точкою у вигляді нестійкого фокуса. На двох інших площинах утворюються коливальні рухи. Ці рухи обмежують зростання коливань нестійкої лінійної системи. Другий випадок – зв’язка двох осциляторів (Дюффінга і Ван-дер-Поля). Система може породжувати як регулярні коливання при синхронізації, так і хаотичні.
A qualitative bifurcation analysis of two cases of existence of attractors in multidimensional systems is given. The first case is based on the Neimark model. On one coordinate plane, a linear system exists with the special point in the form unstable focus. On the other two planes, the vibrational motions are formed. These movements restrict the growth of oscillations of this unstable linear system. The second case represents a bundle of two oscillators (Duffing and van der Pol). This system can generate both regular oscillations during synchronization, and chaotic ones.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174200 |
| citation_txt |
Бифуркации двух связанных осцилляторов / Н.В. Никитина // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 4. — С. 105-112. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT nikitinanv bifurkaciidvuhsvâzannyhoscillâtorov AT nikitinanv bifurcationsoftwocoupledoscillators |
| first_indexed |
2025-11-26T00:08:47Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:08:47Z |
| _version_ |
1850593346912780288 |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 4
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 4 105
Н . В . Н и к и т и н а
БИФУРКАЦИИ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев Украина; e-mail:center@inmech.kiev.ua
Abstract. A qualitative bifurcation analysis of two cases of existence of attractors in
multidimensional systems is given. The first case is based on the Neimark model. On one
coordinate plane, a linear system exists with the special point in the form unstable focus. On
the other two planes, the vibrational motions are formed. These movements restrict the
growth of oscillations of this unstable linear system. The second case represents a bundle of
two oscillators (Duffing and van der Pol). This system can generate both regular oscillations
during synchronization, and chaotic ones.
Key words: nonlinear systems, bifurcation, synchronization, limit cycle, chaos.
Введение.
Методы качественной теории нелинейной механики двумерных систем получили
полное завершение в середине прошлого века. В конце прошлого века повысился ин-
терес к трехмерным системам в связи с изучением хаотических движений. Проблемы
касаются разнообразия математических моделей, которые порождают хаотические
аттракторы и построение принципов изучения возникновения регулярных аттракто-
ров, а также механизмов возникновения хаоса в многомерных системах. Несмотря на
определенный опыт исследования нелинейных систем [1, 2, 4 – 11, 13, 14] проблема
существования регулярных и странных аттракторов в многомерных системах остается
открытой и связана с изучением механизмов потери устойчивости орбиты. Проблема
существования аттракторов выделяет определенные прикладные задачи. Представим
несколько случаев.
1. Системы, в которых можно сформулировать принцип симметрии для трехмер-
ных систем. Аттракторы, образование которых доказывается при помощи принципа
симметрии, имеют определенную симметрию замкнутой траектории на координатных
плоскостях [5].
2.Трехмерная система, которая образует плоские аттракторы.
3. Бифуркации колебаний двух (и более) связанных генераторов [10]. Причина
появления новых движений при синхронизации.
4. Анализ механизмов потери устойчивости орбиты.
Ниже рассмотрена задача Ю.И. Неймарка, где приведен один тип бифуркаций
предельных циклов как возникновение инвариантного тора [2] и бифуркации двух
связанных нелинейных осцилляторов (Дуффинга и Ван-дер-Поля).
Приведем известные результаты из монографии [12], которые будут необходимы
далее. Запишем двухмерную систему (на плоскости) в следующем виде:
1 2
1 2= ( ); = ( ),
dx dx
F x F x
dt dt
(1)
где 2
1 2,x x R и 2 2
1 2( , ), ( , ),F C R R F C R R и (0, 0) 0( 1, 2).iF i Приведем геомет-
рический принцип симметрии, на основе которого можно установить условия замы-
кания фазовой траектории [12].
106
В системе (1) существует замкнутая траектория, если выполняются условия
четности функции 1( )F x относительно 1x и нечетности функции 2 ( )F x относи-
тельно 1x , т. е.
1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2( , ) ( , ); ( , ) = ( , ).F x x F x x F x x F x x (2)
Это утверждение основано на том, что на плоскости 1 2Ox x ось 2Ox является осью
симметрии, и всякая интегральная кривая слева от оси 2x является зеркальным отоб-
ражением кривой справа.
1. Задача Ю.И. Неймарка.
В монографии [2] приведен один тип бифуркаций предельных циклов как возник-
новение инвариантного тора. Ниже приведена модель
2= ( ) ;
dx
x a b z xz cy
dt
2= ( ) ;
dy
y a b z yz cx
dt
(3)
2 2 2= ,
dz
az x y z
dt
которая связана с именем Ю.И. Неймарка, однако указать первоисточник этой задачи
и уравнений (3) не представляется возможным. В [2] на основе численного решения
(без указания числовых значений параметров) приведен результат, который будет
доказан ниже в следующем виде.
Утверждение 1. В системе (3) существует двухчастотный режим регулярного
движения, который порождает инвариантный тор.
Доказательство. Представим систему (3) в виде трех подсистем, связанных с ко-
ординатными плоскостями. Каждая подсистема ориентирована относительно плоско-
стей ,xy ,xz .yz В рассматриваемом случае одна подсистема теряет устойчивость и
процесс переходит в две оставшиеся. Такое представление поможет лишь установить
симметрию аттрактора на каждой координатной плоскости. Приведенные ниже под-
системы показывают тенденцию системы (3) к геометрическим симметричным обра-
зованиям на координатных плоскостях
= ( ) ; = ( ) ;
dx dy
a b x cy a b y cx
dt dt
(4)
2 2 2= ( ) ; = ;
dx dz
a b z x xz az x z
dt dt
(5)
2 2 2= ( ) ; = .
dy dz
a b z y yz az y z
dt dt
(6)
Особая точка в нуле (0, 0, 0) в системе (3) неустойчива 1,2 3( = , = ).k ic a Обозна-
чим сумму параметров = .a b k Пусть система (3) имеет следующие значения
параметров: 0,5; = 3,5; = 100; = 3,5.a b c Система (4) – линейная. Ей соответству-
ет характеристическое уравнение 2 2 22 = 0.k k c Особая точка в нуле неустой-
чивая 1,2( = ).k ic
Рассмотрим плоскость xz системы (3) (уравнения (5) вида ( = ( , ),xdx dt F x z
= ( , )).zdz dt F x z Аналогично условиям (2) имеет место следующие условия:
( , ) ( , ); ( , ) ( , ).x x z zF x z F x z F x z F x z (7)
107
Согласно (7) и принципу симметрии ось z является осью симметрии и на плоскос-
ти xz имеет место замкнутая кривая.
Рассмотрим плоскость yz системы (3) (уравнения (6) вида ( = ( , ),ydy dt F y z
= ( , )).zdz dt F y z Аналогично условиям (2) имеют место следующие условия:
( , ) ( , ); ( , ) ( , ).y y z zF y z F y z F y z F y z (8)
Тогда z является осью симметрии на плоскости yz . Согласно (8) и принципу
симметрии ось z является осью симметрии, и на плоскости yz имеет место замкну-
тая кривая.
а б
в г
Рис. 1
Отсутствие седловых решений в нуле связано с существованием регулярного трех-
мерного движения. Отметим, что так как на плоскостях ,xz yz траектория замкнута, то
на плоскости xy она ограничена при возрастании по осям ,x y . Утверждение доказано.
На рис. 1, а, б, в, г приведены портреты на координатных плоскостях системы (3)
и временная реализация ( ).x t
2. Бифуркации двух связанных осцилляторов.
Рассмотрим комбинацию осцилляторов Дуффинга и Ван-дер-Поля [2].
2= 0; (1 ) = 0,x bx ax cy y y y fx (9)
где ,a b – параметры осциллятора Дуффинга, ,c f – управляющие параметры.
Осциллятор Ван-дер-Поля подробно анализировался весьма многими авторами (с
малой величиной параметра ). Проблема замыкания интегральной кривой в общем
случае (осциллятора Ван-дер-Поля), представлена так в классической монографии [3]:
108
«Как известно, уравнение Ван-дер-Поля при любом > 0 имеет на фазовой плоско-
сти ( , /y dy dt ) единственный предельный цикл, который является устойчивым. Этот
математический факт адекватен экспериментально наблюдаемому физическому фено-
мену ... ».
Представим систему Дуффинга – Ван-дер-Поля на плоскостях 1 2 ,x x 1 2:y y
31 2
2 2 1 1= ; = .
dx dx
x bx ax fx
dt dt
(10)
21 2
2 1 2 1= ; = (1 ) .
dy dy
y y y cy
dt dt
(11)
Замыкание траектории системы Ван-дер-Поля (11) происходит согласно принци-
пу кососимметрии [4]. Предполагается, что нелинейный осциллятор имеет линейную
и нелинейную составляющие диссипации. Линейная порождает в нуле неустойчивую
особую точку (неустойчивый фокус) и линейную составляющую кососимметрии тра-
ектории. Нелинейная составляющая ограничивает область ухода траектории из нуля
кососимметричной кривой. Эта кривая образует предельный цикл (замыкается в силу
кососимметрии). Нелинейная двухмерная система – осциллятор Ван-дер-Поля (11) в
виде 1 1 1 2 2 2 1 2= ( , ), = ( , )y ydy dt F y y dy dt F y y удовлетворяет следующим условиям:
1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2( , ) ( , ); ( , ) ( , );y y y yF y y F y y F y y F y y (12)
1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2( , ) ( , ); ( , ) ( , ).y y y yF y y F y y F y y F y y (13)
Условия (12), (13) создают кососимметрию и замыкание траектории на коорди-
натной плоскости.
Заметим, что при большом значении параметра на траектории появляются
участки с апериодическими точками, которые замедляют движение изображающей
точки и вызывают увеличение периода [4]. Параметр c связан с частотой колебаний
осциллятора. Увеличение c – уменьшает период. (Известно, что в трехмерных коле-
бательных системах, вследствие седловых решений, вначале наблюдается кратное
увеличение периода, затем периодические колебания теряют регулярность и перехо-
дят к хаотическим колебаниям.)
Правые части уравнений Дуффинга (10) 1 1 1 2 2 2 1 2( ( , ); ( , ))x xdx dt F x x dx dt F x x
также удовлетворяют условию кососимметрии
1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2( , ) ( , ); ( , ) ( , );x x x xF x x F x x F x x F x x (14)
1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2( , ) ( , ); ( , ) ( , ).x x x xF x x F x x F x x F x x (15)
Замкнутые траектории существуют в случае особой точки: неустойчивый фокус, в
случае устойчивого фокуса траектория притягивается в особую точку [12]. При дис-
сипации и сложении двух периодических движений (одно и другое имеют кососим-
метрию) возможна синхронизация колебаний. В этом случае при начальных возму-
щениях системы (9) существование в режиме синхронизации замкнутой траектории
обеспечивается условиями (12) – (15). Таким образом, затухающий осциллятор Дуф-
финга синхронизируется осциллятором Ван-дер-Поля. Уменьшение периода синхро-
низированной системы возникает в соответствии с параметром c .
Следующий этап исследования связан с установлением существования странного
аттрактора. При исследовании динамики систем важной характеристикой являются
характеристические показатели Ляпунова (ХПЛ) (см. [1, 14] и библиографию там).
Система в вариациях / = ( )dx dt A t x рассматривается в виде / = ( ) ,d x dt A x x где
109
( )A x – матрица, коэффициенты которой зависят от частного решения x . При помо-
щи системы в вариациях можно получить представление о поле, в котором движется
изображающая точка системы (9), и установить качество решений на траектории. По-
скольку речь идет о базовых математических моделях, то сигнатуры спектра ХПЛ для
осциллятора Дуффинга и осциллятора Ван-дер-Поля известны – (0, ) ; (0, ) . При
синхронизации уравнений (9) имеет место сигнатура спектра (0,0, , ) .
Запишем уравнения (9) в виде системы первого порядка
31 2
2 2 1 1; ;
dx dx
x bx ax cy
dt dt
21 2
2 1 2 1; (1 ) .
dy dy
y y y f x
dt dt
(16)
Уравнениям (16) соответствует система в вариациях
21 2
2 1 1 2 1; 3 ;
d x d x
x ax x b x c y
dt dt
1 2
2 1 2 1 1 2 1; 2 (1 ) .
d y d y
y y y y y y f x
dt dt
(17)
Характеристическое уравнение системы (17) имеет вид
4 3 2 2
1 1 1( (1 )) ( (1 ) 3 )b y b y a x
2 2
1 2 1 1 1 1 2(2 3 (1 )) 6 0.b y y a x y cf a x y y (18)
По уравнению (18) можно установить ХПЛ синхронизированного режима систе-
мы (9). Особая точка (0,0,0,0) системы (16) имеет ХП (характеристические показате-
ли) согласно уравнения
4 3 2( ) = 0.b b cf
При значениях параметров ( ; ; ; ; ) (1, 1, 1, 2, 1)a b c f происходит синхронизация
осцилляторов. При синхронизации и выполнении условий (12) – (15) сигнатура спек-
тра ХПЛ имеет вид (0, 0, , ). Таким образом, синхронизированные связанные ос-
цилляторы порождают регулярные движения. Осциллятор Дуффинга образует пре-
дельный цикл (заметим, что синхронизация может осуществляться и при других зна-
чениях параметров). При указанных значениях параметров особая точка связанной
системы имеет сумму ХП, равную нулю. В окрестности нуля четырехмерной системы
поведение подсистем (16) (Дуффинга и Ван-дер-Поля) будет близким. Это способ-
ствует синхронизации.
Утверждение 2. Если связанные осцилляторы (9) находятся в состоянии синхро-
низации, то перемена знаков в слагаемых ;cy f x на ;cy f x не изменяет коор-
динатных портретов системы (9) на плоскостях 1 2 ,x x 1 2.y y
Доказательство. В уравнение (18), которое определяет поле четырехмерной си-
стемы (9), входит лишь одно слагаемое, которое содержит два параметра , ;c f поэто-
му изменение знаков не влияет на произведение параметров c f и не изменяет поле
четырехмерной системы (9), в котором движется изображающая точка. Утверждение
2 доказано.
На рис. 2, а, б, в, г представлены портреты на координатных плоскостях и вре-
менная реализация системы (9). Согласно Утверждению 2 система (9) при изменении
знаков ;cy f x на ;cy f x будет иметь следующий вид:
2= 0; (1 ) = 0x bx ax cy y y y fx (19)
и будет представлена на координатных плоскостях (рис. 2, а, б, в, г). В работе [2, c.
75] приведена система (19). При качественном анализе в данной работе установлено
тождественность систем (9), (19) при синхронизации.
110
а б
в г
д е
Рис. 2
В осцилляторе Дуффинга системы (9) проявляется удвоение периода (рис. 2, а, в).
При синхронизации скорость передвижения изображающей точки по траектории в
системе осциллятора Дуффинга замедлена из-за топологической структуры поля, ко-
торая прослеживается по уравнению (18). Особенность топологической структуры
осциллятора Дуффинга – это появление апериодических точек на траектории. Систе-
ма саморегулируется тем, что делает «короткие» обороты, чтобы осуществлять син-
хронизацию по периоду. При значениях параметров ( ; ; ; ; ) = (1;1;1; 3; 0,3)a b c f
наблюдается, например, утроение периода (рис. 2, д, е). Кратное увеличение периода
заканчивается переходом от регулярных колебаний к хаотическим. Если уменьшить
параметр b и увеличить параметр c ( < ; > 1)b c ), то система осцилляторов теряет
111
возможность к полной синхронизации, возникает неустойчивость орбиты. Заметим,
что в окрестности особой точки связанных систем поведение подсистем не будет
близким. Осциллятор Ван-дер-Поля порождает совместно с осциллятором Дуффинга
странные аттракторы. При значениях параметров ( ; ; ; ; ) (1; 0,3;1; 2;1)a b c f ХП
особой точки
(0,9992 0,8660* ; 0,6496 0,8476* )I I
происходит хаотизация траекторий обоих осцилляторов. При хаотизации изменяется
сигнатура спектра ХПЛ (0, 0, , ). Выполнение условий (12) – (15) и неустойчивость
орбиты являются двумя противоречивыми факторами. Условия (12) – (15) вынуждают
систему (9) в процессе саморегуляции организовывать поиск устойчивой орбиты, по-
рождая хаотические отклонения (рис. 3, а, б, в, г).
а б
в г
Рис. 3
Заключение.
В работе рассмотрены две модели базовых систем – трехмерная и четырехмерная,
которые могут порождать регулярные и хаотические движения.
Поиск аттракторов в задаче Неймарка приводит к такому результату: на одной
плоскости подсистема (4) линейная и неустойчивая. На двух других плоскостях под-
системы (5), (6) образуют регулярные колебательные движения. Переключение изоб-
ражающей точки происходит через неустойчивую линейную систему (4). Образуется
цикличность бесконечного процесса с устойчивой орбитой для подсистем (5), (6), в
результате которого ограничивается решение неустойчивой системы (4). Важное ка-
чество системы (3) – отсутствие седловых решений в нуле.
112
Седлофокусные решения в системе двух связанных осцилляторов (9) проявляются
в особой точке (0, 0, 0, 0). Система может порождать как регулярные колебания при
синхронизации, так и хаотические. Условия (12) – (15) гарантируют существование
аттрактора. При определенных ХПЛ – это странный аттрактор.
РЕЗЮМЕ. Наведено якісний біфуркаційний аналіз двох випадків існування аттракторів в бага-
товимірних системах. Перший випадок відповідає моделі Неймарка. На одній координатній площині
існує лінійна система з особливою точкою у вигляді нестійкого фокуса. На двох інших площинах
утворюються коливальні рухи. Ці рухи обмежують зростання коливань нестійкої лінійної системи.
Другий випадок – зв’язка двох осциляторів (Дюффінга і Ван-дер-Поля). Система може породжувати
як регулярні коливання при синхронізації, так і хаотичні.
1. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Структуры и хаос в нелинейных
средах. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 488 с.
2. Вербицкий В., Новак А., Даниленко Э., Ситаж М. Введение в теорию устойчивости колесных эки-
пажей и рельсового пути. – Донецк: Вебер, 2007. – 255с.
3. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов Ф.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркацион-
ные процессы в сингулярно возмущенных системах. – М.: Физматгиз, 1995. – 336 c.
4. Никитина Н.В. Нелинейные системы со сложным и хаотическим поведением траекторий. – К.:
Феникс, 2012.– 235 с.
5. Никитина Н.В. Принцип симметрии в трехмерных системах // Доп. НАН України. – 2017. – № 7. –
С. 21 – 28.
6. Leonov G.A. Strange Attractors and Classical Stability Theory. – St. Peterburg : St. Peterburg University
Press, 2008. – 160 p.
7. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Stability and Bifurcation in a Model of the Magnetic Field of the Earth
// Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 6.– P. 721 – 731.
8. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Bifurcations and Multistabilty of the Oscillations of a Three-Dimensional
System // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 2.– P. 223 – 232.
9. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. On Periodic Motions in Three-Dimensional Systems // Int. Appl. Mech. –
2015. – 51, N 4.– P. 369 – 379.
10. Martynyuk A.A., Nikitina N.V. Bifurcation and Sinchronization of Two Coupted Generators // Int. Appl.
Mech. – 2017. – 53, N 2. – P. 369 – 379.
11. Neimark, Yu.I., Landa, P.S. Stochastic and Chaotic Oscillations. – Dordrecht: Kluwer, 1992. – 424 p.
12. Nemytskii V.V., Stepanov V.V. Qualitative Theory of Differential Equation. – Princeton: Princeton Univ.
Press, 1960. – 550 p.
13. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear
Dynamics. Part I. – Singapore: World Scientific, 1998. – 416 с.
14. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear
Dynamics. Part II. – Singapore: World Scientific, 2001. – 592 с.
Поступила 05.09.2017 Утверждена в печать 30.01.2018
|