Влияние начальных напряжений на волны Лэмба в системе "полупространство идеальной жидкости – упругий слой"
В рамках трехмерных уравнений линеаризованной теории упругости конечных деформаций для упругого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости даны постановка и решение задачи о распространении квазилэмбовских нормальных волн в системе "идеальное сжимаемое ж...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Datum: | 2018 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174222 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Влияние начальных напряжений на волны Лэмба в системе "полупространство идеальной жидкости – упругий слой" / А.Н. Гузь, А.М. Багно // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 3-19. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174222 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гузь, А.Н. Багно, А.М. 2021-01-09T19:31:45Z 2021-01-09T19:31:45Z 2018 Влияние начальных напряжений на волны Лэмба в системе "полупространство идеальной жидкости – упругий слой" / А.Н. Гузь, А.М. Багно // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 3-19. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174222 В рамках трехмерных уравнений линеаризованной теории упругости конечных деформаций для упругого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости даны постановка и решение задачи о распространении квазилэмбовских нормальных волн в системе "идеальное сжимаемое жидкое полупространство – предварительно напряженный упругий слой". С использованием представлений общих решений получены характеристические уравнения и построены дисперсионные кривые для мод в широком диапазоне частот. Дано постановку задачі та вивчено поширення квазілембових хвиль у попередньо деформованому пружному шарі, що взаємодіє з півпростором ідеальної стисливої рідини. Результати отримано на основі тривимірних рівнянь лінеаризованої теорії пружності скінченних деформацій для пружного шару та тривимірних лінеаризованих рівнянь Ейлера для ідеальної стисливої рідини. Постановка задачі та підхід базуються на використанні представлень загальних розв'язків лінеаризованих рівнянь для пружного тіла та рідини. Отримано дисперсійні рівняння, які описують поширення квазілембових хвиль у гідропружних системах у широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив початкових напружень, а також півпростору ідеальної стисливої рідини та товщини пружного шару на фазові швидкості квазілембових мод. Розвинутий підхід та отримані результати для хвилевих процесів дозволяють встановити границі застосування моделей, основаних на різних варіантах теорії малих початкових деформацій. Числові результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз. A statement of the problem is given and the quasi-Lamb waves propagation is studied in a pre-deformed elastic layer that interacts with the half-space of ideal compressible fluid. The results are obtained on the basis of three-dimensional equations of linearized theory of elasticity of finite deformations for the elastic layer and the three-dimensional linearized Euler equations for the ideal compressible fluid. A statement of problem and an approach are based on utilization of representations of general solutions of the linearized equations for elastic solid and fluid. The dispersion equations are obtained that describe a propagation of quasi-Lamb waves in the hydroelastic systems over the wide frequency range. An effect of initial stresses as well as half-space of ideal compressible fluid and thickness of elastic layer on the phase velocities of quasi-Lamb modes is analyzed. An approach developed and the results obtained for the wave processes allow to establish the limits of applicability of the models based on different versions of the theory of small initial deformations. The numerical results are presented in the form of graphs and their analysis is given. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Влияние начальных напряжений на волны Лэмба в системе "полупространство идеальной жидкости – упругий слой" Effect of Initial Stresses on the Lamb waves in a system «halfspace of ideal fluid – elastic layer» Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Влияние начальных напряжений на волны Лэмба в системе "полупространство идеальной жидкости – упругий слой" |
| spellingShingle |
Влияние начальных напряжений на волны Лэмба в системе "полупространство идеальной жидкости – упругий слой" Гузь, А.Н. Багно, А.М. |
| title_short |
Влияние начальных напряжений на волны Лэмба в системе "полупространство идеальной жидкости – упругий слой" |
| title_full |
Влияние начальных напряжений на волны Лэмба в системе "полупространство идеальной жидкости – упругий слой" |
| title_fullStr |
Влияние начальных напряжений на волны Лэмба в системе "полупространство идеальной жидкости – упругий слой" |
| title_full_unstemmed |
Влияние начальных напряжений на волны Лэмба в системе "полупространство идеальной жидкости – упругий слой" |
| title_sort |
влияние начальных напряжений на волны лэмба в системе "полупространство идеальной жидкости – упругий слой" |
| author |
Гузь, А.Н. Багно, А.М. |
| author_facet |
Гузь, А.Н. Багно, А.М. |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Effect of Initial Stresses on the Lamb waves in a system «halfspace of ideal fluid – elastic layer» |
| description |
В рамках трехмерных уравнений линеаризованной теории упругости конечных деформаций для упругого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости даны постановка и решение задачи о распространении квазилэмбовских нормальных волн в системе "идеальное сжимаемое жидкое полупространство – предварительно напряженный упругий слой". С использованием представлений общих решений получены характеристические уравнения и построены дисперсионные кривые для мод в широком диапазоне частот.
Дано постановку задачі та вивчено поширення квазілембових хвиль у попередньо деформованому пружному шарі, що взаємодіє з півпростором ідеальної стисливої рідини. Результати отримано на основі тривимірних рівнянь лінеаризованої теорії пружності скінченних деформацій для пружного шару та тривимірних лінеаризованих рівнянь Ейлера для ідеальної стисливої рідини. Постановка задачі та підхід базуються на використанні представлень загальних розв'язків лінеаризованих рівнянь для пружного тіла та рідини. Отримано дисперсійні рівняння, які описують поширення квазілембових хвиль у гідропружних системах у широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив початкових напружень, а також півпростору ідеальної стисливої рідини та товщини пружного шару на фазові швидкості квазілембових мод. Розвинутий підхід та отримані результати для хвилевих процесів дозволяють встановити границі застосування моделей, основаних на різних варіантах теорії малих початкових деформацій. Числові результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз.
A statement of the problem is given and the quasi-Lamb waves propagation is studied in a pre-deformed elastic layer that interacts with the half-space of ideal compressible fluid. The results are obtained on the basis of three-dimensional equations of linearized theory of elasticity of finite deformations for the elastic layer and the three-dimensional linearized Euler equations for the ideal compressible fluid. A statement of problem and an approach are based on utilization of representations of general solutions of the linearized equations for elastic solid and fluid. The dispersion equations are obtained that describe a propagation of quasi-Lamb waves in the hydroelastic systems over the wide frequency range. An effect of initial stresses as well as half-space of ideal compressible fluid and thickness of elastic layer on the phase velocities of quasi-Lamb modes is analyzed. An approach developed and the results obtained for the wave processes allow to establish the limits of applicability of the models based on different versions of the theory of small initial deformations. The numerical results are presented in the form of graphs and their analysis is given.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174222 |
| citation_txt |
Влияние начальных напряжений на волны Лэмба в системе "полупространство идеальной жидкости – упругий слой" / А.Н. Гузь, А.М. Багно // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 3-19. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT guzʹan vliânienačalʹnyhnaprâženiinavolnylémbavsistemepoluprostranstvoidealʹnoižidkostiuprugiisloi AT bagnoam vliânienačalʹnyhnaprâženiinavolnylémbavsistemepoluprostranstvoidealʹnoižidkostiuprugiisloi AT guzʹan effectofinitialstressesonthelambwavesinasystemhalfspaceofidealfluidelasticlayer AT bagnoam effectofinitialstressesonthelambwavesinasystemhalfspaceofidealfluidelasticlayer |
| first_indexed |
2025-11-25T23:48:41Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:48:41Z |
| _version_ |
1850584387583737856 |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 5
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 5 3
А . Н . Г у з ь , А . М . Б а г н о
ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ НА ВОЛНЫ ЛЭМБА В СИСТЕМЕ
«ПОЛУПРОСТРАНСТВО ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ – УПРУГИЙ СЛОЙ»
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e - mail: alexbag2016@gmail.com
Abstract. A statement of the problem is given and the quasi-Lamb waves propagation is
studied in a pre-deformed elastic layer that interacts with the half-space of ideal compressible
fluid. The results are obtained on the basis of three-dimensional equations of linearized theory
of elasticity of finite deformations for the elastic layer and the three-dimensional linearized
Euler equations for the ideal compressible fluid. A statement of problem and an approach are
based on utilization of representations of general solutions of the linearized equations for elas-
tic solid and fluid. The dispersion equations are obtained that describe a propagation of quasi-
Lamb waves in the hydroelastic systems over the wide frequency range. An effect of initial
stresses as well as half-space of ideal compressible fluid and thickness of elastic layer on the
phase velocities of quasi-Lamb modes is analyzed. An approach developed and the results
obtained for the wave processes allow to establish the limits of applicability of the models
based on different versions of the theory of small initial deformations. The numerical results
are presented in the form of graphs and their analysis is given.
Key words: elastic layer, half-space of ideal compressible fluid, initial stresses, quasi-
Lamb waves.
Введение.
Разработке ультразвуковых неразрушающих методов выявления дефектов и опре-
деления напряжений в материалах и элементах конструкций посвящена обширная биб-
лиография. Отметим лишь работы, опубликованные сравнительно недавно [7, 8, 16, 17,
21, 22, 24 – 28, 30 – 32]. Указанные методы основаны на использовании закономерно-
стей распространения акустических волн в реальных упруго-жидкостных системах. В
связи с этим возникает необходимость привлечения моделей, более полно учитываю-
щих свойства реальных упругих и жидких сред. Одной из таких моделей является мо-
дель, основанная на линеаризованной теории гидроупругости [3 – 9, 18 – 20]. Она поз-
воляет учесть в упругих телах такой фактор, как начальные напряжения. Они, как из-
вестно, возникают в результате перехода сред из одного агрегатного состояния в дру-
гое, при действии на тела полей различной физической природы, а также в результате
технологических операций при изготовлении разнообразных материалов и элементов
конструкций. Рассмотренные задачи и результаты, полученные с учетом в упругих те-
лах начальных напряжений, приведены в [3, 4, 6 – 8, 10 – 13, 15, 19, 23, 29].
В данной работе для исследования распространения квазилэмбовских волн в гидро-
упругой системе, состоящей из полупространства жидкости и упругого слоя, привлека-
ются модели предварительно напряженного тела и идеальной сжимаемой жидкости.
При этом используются трехмерные линеаризованные уравнения теории упругости ко-
нечных деформаций для твердого тела и трехмерные линеаризованные уравнения Эй-
лера для жидкости. Предполагается, что жидкость находится в состоянии покоя. В каче-
стве подхода выбраны постановки задач и метод, основанные на применении представ-
лений общих решений уравнений движения идеальной сжимаемой жидкости и предва-
рительно напряженного упругого тела, предложенные в работах [3 – 9, 18 – 20].
4
§1. Постановка задачи. Основные уравнения.
Рассматриваем такие динамические процессы в гидроупругой системе, при кото-
рых возникающие дополнительные деформации, т.е. возмущения деформаций, значи-
тельно меньше начальных. Исследуем гармонические волновые процессы малой ам-
плитуды. При этом примем, что упругое тело находится в начальном состоянии. За-
метим, что в отличие от твердых тел, соотношения которых записаны в лагранжевых
координатах, равенства для жидкой среды записываются в эйлеровых координатах,
введенных в естественном состоянии жидкости. Следует подчеркнуть, что начальное
состояние упругого тела при рассмотрении гидроупругой задачи является естествен-
ным состоянием по отношению к жидкости и системе в целом. Поскольку в дальней-
шем исследуем распространение малых возмущений, то, как известно, в этом случае
подходы Эйлера и Лагранжа в описании поведения сред совпадают. Поэтому ниже не
делаем различий между лагранжевыми и эйлеровыми координатами и характерные
для нелинейных задач трудности при записи граничных условий при указанных двух
подходах не возникают.
Далее предположим, что изотропное нелинейно-упругое твердое тело, упругий
потенциал которого является произвольной дважды непрерывно-дифференцируемой
функцией компонент тензора деформаций Грина, занимает объем ( 1 ,z
2 0h z , 3z ) и контактирует с полупространством идеальной сжимаемой
жидкости, заполняющей объем: ( 1 ,z 20 z , 3z ). Примем, что
внешние силы, действующие на указанные среды, распределены равномерно вдоль
оси 3.Oz В этом случае задача является плоской и можно ограничиться изучением
процесса распространения волн в плоскости 1 2.Oz z Следовательно, указанная задача
сводится к решению системы уравнений движения упругого тела и жидкости при та-
ких динамических
21 0 0zQ ;
2 22 0 2 0z zQ P ;
21 0z hQ ;
22 0z hQ (1.1)
и кинематическом
2 2
2
2 0 0z z
u
v
t
(1.2)
граничных условиях. Здесь введены следующие обозначения: iQ и iP – составляю-
щие напряжений, соответственно, в упругом теле и жидкости.
§2. Методика решения.
Воспользуемся постановками задач гидроупругости для тел с начальными напря-
жениями и идеальной жидкости, а также представлениями общих решений, предло-
женными в работах [3 – 9, 18 – 20]. В дальнейшем исследуем волновые процессы в
предварительно деформированных сжимаемых и несжимаемых упругих телах, взаи-
модействующих с идеальной жидкостью, начальное состояние которых является од-
нородным. В случае однородного напряженно-деформированного состояния для пло-
ского случая общие решения имеют вид [3 – 9, 18 – 20]:
1) для упругого слоя из несжимаемого материала –
2
1
1
1 2
u
z z
;
2
1 1
2 1 1 2 2 12
1
u q q
z
;
2
1 1 2 2 0 1
1 1 1 1 11 11 1 2 1 2 12 12 2
1
( )p q a s q q a
z
2 2
2 2 0
2 1 12 22 12 2
22
( ) ;s
zz t
5
2) для упругого слоя из сжимаемого материала –
2
1
1
1 2
u
z z
;
2 0 2 2 02 2 21 11 11 2 1 12 22
2 12 2 2 22 2 0 2 2 0
2 12 12 1 21 1 11 11 1 1 11 11
a s s
u
a z z ta s a s
3) для полупространства идеальной сжимаемой жидкости –
2
2
1
1z t
;
2
2
2
2
v
z t
,
где введенные функции i являются решениями следующих уравнений:
1) для упругого слоя из несжимаемого материала –
4 2 2 04 4 42 2 1 12 22
4 4 2 24 2 2 0 2 2 0
1 2 11 1 2 12 11 1 2 12 11
q s
z z z tq s s
1 2 0 1 2 0 4
1 2 2 22 22 1 2 1 11 11 1 2 12 12
2 2 2 0 1 2 2
1 2 2 12 11 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( )
( )
q q a s q q a s a
s q q z z
2 2 4
2 2
14 2 2 0 2 2
1 1 2 12 11 2
0;
( )
q
q s z t
2) для упругого слоя из сжимаемого материала –
2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2
2 1 12 22 2 2 22 22
2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2
1 1 1 11 11 2 1 1 11 11 1 1 2 12 11 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
s a s
z a s z a s t z s z
2 4 2 4
2 12 12
12 2 0 2 2 0 2 0 2 2
1 1 12 11 1 11 11 2 12 11 1 2
( )
0;
( ) ( )( )
a
s t a s s z z
3) для полупространства идеальной сжимаемой жидкости –
2 2 2
22 2 2 2
1 2 0
1
0
z z a t
.
Здесь и выше введены такие обозначения: iu – компоненты вектора смещений упру-
гого тела u ; – плотность материала упругого слоя; ija и ij – величины,
определяемые из уравнений состояния и зависящие от вида упругого потенциала
[3, 4, 6, 7]; і – удлинения упругого слоя в направлениях координатных осей; 0
ii
0 0 2
1 2 3( ( ) )іі ii is – начальные напряжения; iv – составляющие вектора возмуще-
ний скорости жидкости v относительно состояния покоя; 0 и 0a – плотность и ско-
рость звука в жидкости в состоянии покоя.
Заметим, что для упругих тел приведенные соотношения относительно возмуще-
ний являются линейными, однако величины начального состояния, входящие в них,
определяются из общих нелинейных уравнений. В связи с этим, несмотря на то, что
основные соотношения приведены в координатах начального деформированного со-
6
стояния iz и все величины отнесены к размерам тела в этом состоянии, общая поста-
новка задач гидроупругости для тел с начальными напряжениями в координатах iz по
форме аналогична формулировке линейных задач классической теории гидроупругос-
ти; есть и существенные различия, которые относятся к структуре уравнений и гра-
ничных условий, входящих в нее.
Для анализа распространения возмущений, гармонически изменяющихся
во времени, решения системы уравнений определяем в классе бегущих волн
2 1( ) exp ( )j jX z i kz t ( 1, 2),j где k – волновое число; – круговая частота;
2 1.i
Заметим, что выбранный в данной работе класс гармонических волн, являясь
наиболее простым и удобным в теоретических исследованиях, не ограничивает общ-
ности полученных результатов, поскольку линейная волна произвольной формы, как
известно, может быть представлена набором гармонических составляющих. В даль-
нейшем для каждой из гидроупругих систем решаем две задачи Штурма – Лиувилля
на собственные значения для уравнений движения упругого тела и жидкости, а также
определяем соответствующие собственные функции. После подстановки решений в
граничные условия (1.1) и (1.2) получаем однородные системы линейных алгебраиче-
ских уравнений относительно произвольных постоянных. Исходя из условия суще-
ствования нетривиального решения, приравнивая определители систем к нулю, полу-
чаем дисперсионные уравнения. Для упруго-жидкостной системы, упругий слой ко-
торой из несжимаемого материала, дисперсионное соотношение имеет вид
0
0 0det ( , , , , , , , , ) 0lm i ij ij ii sc a s а h c ( , 1, 5)l m . (2.1)
Для упруго-жидкостной системы, упругий слой которой из сжимаемого материа-
ла, аналогичное уравнение будет таким:
0
0 0det , , , , , , , , 0lm i ij ij ii sc a s а h c , 1,5l m , (2.2)
где с – фазовая скорость нормальных волн в гидроупругой системе с предварительно
напряженным упругим слоем; h – толщина упругого слоя; 2( )s sc c – скорость
волны сдвига в ненапряженном упругом теле; – модуль сдвига материала упругого
тела.
Как известно, в неограниченном сжимаемом упругом теле существуют продоль-
ная и сдвиговая волны. В идеальной сжимаемой жидкой среде распространяется толь-
ко продольная волна. Именно эти волны, взаимодействуя между собой на свободных
граничных поверхностях, а также на поверхностях контакта сред, порождают сложное
волновое поле в гидроупругой системе.
Отметим, что дисперсионные уравнения (2.1) и (2.2) не зависят от формы упруго-
го потенциала и получены для несжимаемых и сжимаемых упругих тел, подвержен-
ных большим (конечным) начальным деформациям. Они являются наиболее общими
и из них можно получить соотношения для ряда частных случаев [1, 4 – 8, 15, 23].
Если положить 0 0,ii то получим равенства для основательно исследованных в рам-
ках классической теории упругости волн Рэлея, Стоунли – Шольте и Лэмба [1].
§3. Числовые результаты.
В дальнейшем дисперсионные уравнения (2.1) и (2.2) решаем численно. При этом
расчеты проводим для трех гидроупругих систем. Первая состоит из эластичной ре-
зины и воды. Ее механические параметры выбираем следующими: упругий слой –
31200 кг / м , 61,2 10 Па; полупространство жидкости – 3
0 1000 кг / м ,
0 1459,5а м/с, 0 0 46,153442sa a c . Этот гидроупругий волновод характеризуется
тем, что материал упругого слоя (резина) является податливым, мягким и несжимае-
мым. Вторая состоит из органического стекла и воды. Она характеризуется следую-
7
щими параметрами: упругий слой – 1160 кг/м3, 93,96 10 Па, 91,86 10 Па;
полупространство жидкости – 0 1000 кг/м3, 0 1459,5а м/с, 0 1,152595.a У этого
волновода материал упругого слоя (оргстекло) является жестким. Третья представляет
собой волновод из стали и воды. При этом параметры выбираем такими: упругий слой
– 7800 кг/м3, 109,26 10 Па, 107,75 10 Па; жидкость – 0 1000 кг/м3,
0 1459,5а м/с, 0 0,463021.a Этот волновод отличается тем, что материал упругого
слоя (сталь) относится к разряду более жестких, чем оргстекло.
Заметим, что уравнения (2.1) и (2.2) выведены без введения каких-либо дополни-
тельных ограничений к виду функции упругого потенциала, поэтому они справедли-
вы для упругих потенциалов произвольной формы. В данной работе при численном
решении уравнения (2.1) для описания упругих свойств резины применялся потенци-
ал Трелоара [3 – 8, 10, 12, 15, 19, 23]. Для оргстекла и стали использовался потенциал
Мурнагана, зависящий от трех алгебраических инвариантов тензора деформаций
Грина [3 – 8, 10 – 13, 15, 19, 23]. При рассмотрении конкретных примеров и численно-
го решения уравнения (2.2) учитывалось то обстоятельство, что оргстекло и сталь, не
разрушаясь, не допускают больших деформаций и поэтому коэффициенты уравнений
состояния ija и ij определены в рамках линейного акустического приближения [3 –
8, 19, 22].
Результаты проведенных вычислений представлены в виде графиков на рис. 1 – 14.
На рис. 1 – 4 представлены графики, полученные для гидроупругой системы, со-
стоящей из слоя резины (податливый материал) и воды.
На рис. 1 графики отражают влияние жидкости на волновой процесс. Здесь при-
ведены зависимости безразмерных величин фазовых скоростей нормальных квази-
лэмбовских волн c ( sc с c ) от безразмерной величины толщины упругого слоя
(частоты) h ( sh h c ) при отсутствии начальных напряжений ( 1 1 ). При этом
сплошные линии соответствуют гидроупругой системе. Штриховыми линиями обозна-
чены дисперсионные кривые для упругого слоя, невзаимодействующего с жидкостью.
Рис. 1
На рис. 2, 3 приведены зависимости безразмерных величин продольных
1z
V (рис. 2)
и поперечных
2zV (рис. 3) смещений (скоростей iu t и iv ) от безразмерной попе-
речной координаты 2z для квазиповерхностной моды 1 (рис. 1). Графики, представ-
ленные на рис. 2, 3, отражают распределение смещений (скоростей) по толщине в
приконтактных областях слоя из резины ( 2 0h z ) и полупространства воды
8
( 20 z ). Они получены при частоте (толщине) упругого слоя 20h . При этом
значение фазовой скорости моды 1 равно 0,859257c .
Рис. 2
Рис. 3
Характер влияния предварительного сжатия ( 1 0,8 ) на скорости нормальных
квазилэмбовских волн в упруго-жидкостной системе иллюстрируют графики на рис.
4. При этом сплошные линии соответствуют гидроупругой системе с упругим слоем,
подвергнутым начальному сжатию ( 1 0,8 ). Штриховыми линиями обозначены
дисперсионные кривые для ненапряженного упругого слоя.
Рис. 4
9
На рис. 5 – 9 приведены результаты численных расчетов для упруго-жидкостной
системы, состоящей из упругого слоя из органического стекла (менее жесткий мате-
риал) и воды.
На рис. 5 для упругого слоя, невзаимодействующего с жидкостью, приведены за-
висимости безразмерных величин фазовых скоростей нормальных волн Лэмба c от
безразмерной величины толщины упругого слоя (частоты) h [3 – 8, 10] при отсут-
ствии начальных напряжений ( 0
11 0 ). На этом рисунке штриховой линией отмечена
асимптотика, к которой стремятся фазовые скорости первой и второй мод при возрас-
тании толщины (частоты).
Рис. 5
На рис. 6 показаны дисперсионные кривые для гидроупругого волновода, отра-
жающие зависимости безразмерных величин фазовых скоростей квазилэмбовских
мод c от безразмерной величины толщины упругого слоя (частоты) h при отсут-
ствии начальных напряжений ( 0
11 0 ). На этом рисунке штриховыми линиями отме-
чены асимптотики, к которым стремятся фазовые скорости первой и второй мод при
возрастании толщины (частоты).
Рис. 6
10
На рис. 7, 8 приведены зависимости безразмерных величин продольных
1z
V (рис. 7)
и поперечных
2zV (рис. 8) смещений (скоростей iu t и iv ) от безразмерной попе-
речной координаты 2z для квазиповерхностной волны 1 (рис. 6). Графики, представ-
ленные на рис. 7, 8, отражают распределение смещений (скоростей) по толщине в
приконтактных областях слоя из органического стекла ( 2 0h z ) и полупростран-
ства воды ( 20 z ). Они получены при частоте (толщине) упругого слоя 20h .
При этом значение фазовой скорости моды 1 равно 0,7717101c .
Рис. 7
Рис. 8
Характер влияния предварительного растяжения ( 0
11 0,004 ) на скорости нор-
мальных волн в упруго-жидкостной системе иллюстрируют графики на рис. 9, где
представлены зависимости относительных изменений величин фазовых скоростей с
[ ( )с с с c , с – фазовая скорость мод в предварительно напряженном слое, с –
фазовая скорость нормальных волн в упругом слое при отсутствии начальных дефор-
маций] от толщины упругого слоя (частоты) h .
11
Рис. 9
Графический материал, полученный в результате численных вычислений для си-
стемы «сталь (более жесткий материал) – вода», представлен на рис. 10 – 14.
На рис. 10 для упругого слоя, невзаимодействующего с жидкостью, приведены
зависимости безразмерных величин фазовых скоростей нормальных волн Лэмба c от
безразмерной величины толщины упругого слоя (частоты) h при отсутствии началь-
ных напряжений [3 – 8, 10]. На рисунке штриховой линией отмечена асимптотика, к
которой стремятся фазовые скорости первой и второй мод при возрастании толщины
(частоты).
Рис. 10
На рис. 11 приведена дисперсионная кривая для гидроупругого волновода, отра-
жающая зависимость безразмерной величины фазовой скорости единственной волны
(мода 1) c от безразмерной величины толщины упругого слоя (частоты) h при от-
сутствии начальных напряжений ( 0
11 0 ). На этом рисунке штриховой линией отме-
чена асимптотика, к которой стремится фазовая скорость этой моды при возрастании
толщины (частоты).
12
Рис. 11
На рис. 12, 13 приведены зависимости безразмерных величин продольных
1z
V
(рис. 12) и поперечных
2zV (рис. 13) смещений (скоростей iu t и iv ) от безразмер-
ной поперечной координаты 2z для квазиповерхностной волны 1 (рис. 11). Графики,
представленные на рис. 12, 13, отражают распределение смещений (скоростей) по
толщине в приконтактных областях слоя из стали ( 2 0h z ) и полупространства
воды ( 20 z ). Они получены при частоте (толщине) упругого слоя 20h . При
этом значение фазовой скорости моды 1 равно 0,462886c .
Рис. 12
13
Рис. 13
Характер влияния предварительного растяжения ( 0
11 0,004 ) на скорость един-
ственной нормальной волны в упруго-жидкостной системе иллюстрирует график на
рис. 14, где представлена зависимость относительного изменения величины фазовой
скорости с [ с с с c , с – фазовая скорость моды в предварительно напря-
женном слое, с – фазовая скорость нормальной волны в упругом слое при отсутствии
начальных деформаций] от толщины упругого слоя (частоты) h .
Рис. 14
§4. Анализ числовых результатов.
Из графиков, представленных на рис. 1, следует, что для чисто упругого волново-
да (штриховые линии) скорости первой (нулевой антисимметричной) и второй (нуле-
вой симметричной) мод Лэмба, распространяющихся вдоль нижней и верхней сво-
бодных поверхностей слоя, с ростом толщины упругого слоя (частоты) h стремятся к
скорости волны Рэлея Rc . При этом первая мода стремится к скорости поверхностной
волны Rc ( 0,9553303R R sc c с ) снизу, а скорость второй моды – соответственно, к
Rc ( 0,9553303Rc ) сверху.
14
В гидроупругом волноводе (сплошные линии) при росте толщины упругого слоя
(частоты) h скорость первой моды стремится к скорости волны Стоунли stc
( 0,859257st st sc c с ) снизу, а скорость второй моды – к скорости волны Рэлея Rc
( 0,955318Rc ) сверху. Моды более высокого порядка как в гидроупругой системе,
так и в чисто упругом слое распространяются в упругом слое в его толще [1] с фазо-
выми скоростями, стремящимися с увеличением толщины (частоты) к скорости волны
сдвига в материале упругого тела sc .
Из графиков распределения амплитуд смещений (скоростей), представленных на
рис. 2, 3, следует, что движения моды 1 при 20h происходят как в упругом теле,
так и жидкости. При этом глубина проникновения ее в упругий слой превышает глу-
бину проникновения в жидкость. Заметим, что разрыв продольных смещений в упру-
гом теле (кривая 1) и в жидкости (кривая 2) на границе контакта сред ( 2 0z ) (рис. 2)
обусловлен невязкостью (идеальностью) жидкости.
Как видно из графиков для гидроупругого волновода, представленных на рис. 4,
скорости первых мод (волны типа Стоунли) стремятся к скорости волны Стоунли stc
( 0,859257stc при 1 1 и 0,650184stc при 1 0,8 ) снизу, а скорости вторых
мод (волны типа Рэлея) – к скорости волны Рэлея Rc ( 0,955318Rc при 1 1 и
0,709558Rc при 1 0,8 ) сверху. Из графиков, приведенных на рис. 2, следует, что
предварительные деформации вызывают изменение частот зарождения мод Лэмба и
смещение их дисперсионных кривых. Нетрудно видеть, что начальное сжатие
( 1 0,8 ) приводит к сдвигу критических частот и дисперсионных кривых (сплошные
линии) в коротковолновую часть спектра. При этом происходит уменьшение количе-
ства распространяющихся мод Лэмба.
Из графиков, полученных для чисто упругого слоя из оргстекла [3 – 8, 10] и пред-
ставленных на рис. 5, следует, что скорость первой (нулевой антисимметричной) мо-
ды Лэмба при росте частоты или толщины упругого слоя стремится к скорости волны
Рэлея Rc ( 0,9335596Rc ) снизу, а скорость второй (нулевой симметричной) моды
стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,9335596Rc ) сверху. Скорости всех мод
Лэмба высокого порядка при увеличении толщины упругого слоя или частоты стре-
мятся к скорости волны сдвига в материале упругого тела sc [1, 3 – 8, 10].
Графики для гидроупругой системы, приведенные на рис. 6, показывают, что при
росте толщины упругого слоя (частоты) h скорость первой моды стремится к скоро-
сти волны Стоунли stc ( 0,7717101stc ) снизу, а скорость второй моды – к скорости
волны Рэлея Rc ( 0,933558Rc ) сверху. Моды более высокого порядка распростра-
няются в упругом слое в его толще с фазовыми скоростями, стремящимися с ростом
частоты (толщины упругого слоя) к скорости волны сдвига в материале упругого тела.
Из графиков распределения амплитуд смещений (скоростей), представленных на
рис. 7, 8, следует, что движения моды 1 при 20h в случае упругого слоя из орг-
стекла также происходят как в упругом теле, так и жидкости. При этом глубина про-
никновения ее в упругий слой превышает глубину проникновения в жидкость.
Приведенные на рис. 9 графики, позволяют заключить, что для рассматриваемого
диапазона частотного спектра начальное растяжение ( 0
11 0,004 ) упругого слоя из
менее жесткого материала приводит к повышению фазовых скоростей всех мод.
Из графиков, полученных для упругого слоя из стали [1, 3 – 8, 10] и представлен-
ных на рис. 10, следует, что скорость первой (нулевой антисимметричной) моды Лэм-
ба при росте частоты или толщины упругого слоя h стремится к скорости волны Рэ-
лея Rc ( 0,923008Rc ) снизу, а скорость второй (нулевой симметричной) моды стре-
15
мится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,923008Rc ) сверху. Скорости всех мод Лэмба
высокого порядка при увеличении частоты или толщины упругого слоя стремятся к
скорости волны сдвига в материале упругого тела sc .
Графический материал для гидроупругой системы, приведенный на рис. 11, пока-
зывает, что при росте толщины упругого слоя (частоты) h скорость единственной
существующей волны стремится снизу к скорости волны Стоунли stc
( 0,462886stc ), которая несколько меньше скорости волны звука в жидкой среде 0a
( 0 0,463021a ).
Из графиков распределения амплитуд смещений (скоростей), представленных на
рис. 12, 13, видно, что продольные смещения
1z
V в упругом слое ( 210 0z ) незна-
чительные, а поперечные
2zV смещения быстро убывают с глубиной. Для жидкости
характерна противоположная ситуация. Как следует из графиков, в жидкости
( 20 10z ), наоборот, сосредоточены волновые движения. При этом продольные
1z
V
и поперечные
2zV смещения по мере удаления от границы раздела сред медленно
убывают с глубиной. Это свидетельствует о том, что движения моды 1 при 20h в
случае более жесткого материала (сталь) происходят в отличие от податливого и ме-
нее жесткого упругого слоя, преимущественно, в жидкости.
Анализ графика, полученного для гидроупругой системы и представленного на
рис. 14, позволяет заключить, что начальное растяжение ( 0
11 0,004 ) упругого слоя
из стали (более жесткий материал) оказывает существенное влияние на величину фа-
зовой скорости моды 1, в основном, в окрестности частоты ее зарождения. В даль-
нейшем с ростом частоты влияние предварительных деформаций на скорость квази-
поверхностной волны (волны типа Стоунли) ослабевает.
§5. Локализация низших мод в гидроупругих волноводах.
Как показано в работе [2], фазовая скорость и структура волны Стоунли при вза-
имодействии твердого и жидкого полупространств зависят от механических парамет-
ров гидроупругой системы и определяются соотношением между скоростью волны
звука в жидкости и скоростью волны Рэлея в твердом полупространстве. В рассмат-
риваемом случае механические параметры гидроупругой системы «резина (податли-
вый материал) – вода» таковы, что скорость распространения звуковой волны в жид-
кости 0a ( 0 46,153442a ) больше скорости квазирэлеевской волны Rc
( 0,955318Rc ). Анализ кинематических характеристик поверхностных волн, пред-
ставленных на рис. 2, 3, показывает, что в высокочастотной части спектра глубина
проникновения квазиповерхностной моды 1, являющейся волной типа Стоунли, в
упругое тело больше глубины проникновения в жидкость. Поэтому мода 1, распро-
страняясь вдоль границы раздела сред, проникает в твердое тело и локализуется в
приконтактных областях как жидкости, так и упругого слоя. Мода 2 распространяется
в упругом слое вдоль его свободной поверхности. Скорость ее стремится к скорости
волны Рэлея Rc ( 0,955318Rc ) сверху. Скорости всех мод высокого порядка стре-
мятся к скорости волны сдвига в материале упругого тела sc . При этом с ростом ча-
стоты (толщины) в них преобладают поперечные смещения, амплитуда которых на
поверхностях слоя стремится к нулю по сравнению с их амплитудами в толще слоя,
т.е. движения в модах высокого порядка смещаются от поверхностей внутрь слоя и
локализуются в его толще [1].
В случае гидроупругой системы «оргстекло (менее жесткий материал) – вода»
(рис. 6) механические параметры ее компонентов таковы, что скорость распростране-
ния звуковой волны в жидкости 0a ( 0 1,152595a ) немного больше скорости квази-
16
рэлеевской волны Rc ( 0,933558Rc ). Как следует из графиков рис. 7, 8, при таком
соотношении механических параметров мода 1, распространяясь вдоль границы раз-
дела сред, локализуется также в приконтактных областях как жидкости, так и упруго-
го слоя. Вторая мода распространяется в упругом слое вдоль его свободной поверхно-
сти. Движения мод высокого порядка смещаются от поверхностей внутрь слоя и ло-
кализуются в его толще [1].
Таким образом, анализ показывает, что в данных упруго-жидкостных системах
при 0 Ra c низшие моды проникают в твердое тело и так же, как и моды более высо-
кого порядка, распространяются в упругом слое. При этом упругий слой является
определяющим в формировании волнового поля и основным волноводом, по которо-
му распространяются волновые возмущения и осуществляется перенос большей части
энергии волн.
В случае гидроупругой системы «сталь (более жесткий материал) – вода»
(рис. 11) механические параметры таковы, что скорость распространения волны звука
в жидкости 0a ( 0 0,463021a ) меньше скорости квазирэлеевской волны Rc
( 0,923008Rc ). Анализ кинематических характеристик (см. рис.12, 13) показывает,
что в высокочастотной части спектра глубина проникновения квазиповерхностной
моды 1 в жидкость значительно больше глубины проникновения в упругое тело. По-
этому мода 1, распространяясь вдоль границы раздела сред, локализуется в прикон-
тактной области жидкого полупространства.
Таким образом, анализ показывает, что в данной упруго-жидкостной системе при
0 Ra c первая мода не проникает в твердое тело и распространяется вдоль границы
раздела сред в приконтактной области жидкости. В этом случае волноводом для рас-
пространения квазиповерхностной волны (волны типа Стоунли) и переноса волновой
энергии служит приповерхностная область жидкого полупространства.
§6. Критерий существования квазилэмбовских мод в гидроупругих волноводах.
Как показано в работе [2], критерием локализации волн Стоунли при взаимодей-
ствии упругих и жидких полупространств является соотношение между скоростями
волны звука в жидкости и волны Рэлея в твердом теле. Проведенные отдельно расче-
ты и анализ полученных в настоящей работе числовых результатов показал, что этот
критерий может быть обобщен и применен также для установления возможности су-
ществования нормальных квазилэмбовских волн в упругом слое, взаимодействующем
с идеальным жидким полупространством.
Как указано ранее, графики, приведенные на рис. 1, 4, получены для гидроупру-
гой системы, состоящей из полупространства идеальной сжимаемой жидкости и
упругого слоя из податливого материала. В этом случае механические параметры ее
компонентов таковы, что скорость волны звука в жидкости значительно больше ско-
рости квазиповерхностной волны Рэлея в упругом слое 0( ).Ra c Как видно из гра-
фиков рис. 1, 4, при таком соотношении идеальная жидкость не препятствует обмену
энергией между поверхностями упругого слоя. Вследствие этого, в упругом слое воз-
никает полный набор незатухающих нормальных волн высокого порядка, дисперси-
онная картина и частотный спектр которых, несмотря на ряд различий, подобен вол-
новому процессу в упругом слое, невзаимодействующем с жидкостью.
В гидроупругой системе с упругим слоем из оргстекла (менее жесткий материал)
скорость волны звука в жидкости лишь немного превышает скорости волн Рэлея и
сдвига 0( ).Ra c В этом случае, как видно из графиков рис. 6, в упругом слое также
возникают квазилэмбовские моды высокого порядка. Количество этих мод, распро-
страняющихся без радиационного демпфирования, значительно меньше числа мод
Лэмба в чисто упругом слое.
При взаимодействии упругого слоя из стали (более жесткий материал) с жидким
полупространством (рис. 11) скорость волны звука в жидкости меньше скорости ква-
17
зирэлеевской волны в упругом слое ( 0 Ra c ). При таком соотношении между меха-
ническими параметрами компонентов системы идеальная жидкость препятствует об-
мену энергией между поверхностями упругого слоя (взаимодействию объемной и
сдвиговой волн на них). В этом случае, как видно из графика рис. 11, в упругом слое
не формируются незатухающие нормальные волны высокого порядка. В гидроупру-
гом волноводе возникает лишь одна низшая первая мода, которая, распространяясь
без демпфирования вдоль границы раздела сред, локализуется в приконтактной обла-
сти жидкости.
§7. Особенности влияния начальных напряжений на дисперсию квазилэм-
бовских волн в гидроупругих волноводах.
Как показано в работе [10], в упругом слое, невзаимодействующем с жидкостью,
начальные растяжения вызывают изменение частот зарождения мод и смещение их
дисперсионных кривых. Это приводит к тому, что в окрестности критических частот
величины фазовых скоростей мод Лэмба в предварительно деформированном слое
могут быть как меньше, так и больше величин фазовых скоростей соответствующих
мод в теле без начальных напряжений. Этим обусловлено появление в спектре упру-
гого волновода частот (толщин), при которых начальные напряжения не оказывают
влияния на величины фазовых скоростей ряда нормальных волн Лэмба. Отметим, что
эта, качественно новая закономерность, отсутствующая в случае распространения
волн в неограниченных и полуограниченных телах, впервые была обнаружена и опи-
сана в работе [10] для сжимаемого упругого слоя, невзаимодействующего с жидкостью.
Из графиков, приведенных на рис. 4 для гидроупругой системы с несжимаемым
упругим слоем (податливый материал), следует, что предварительные деформации
вызывают изменение частот зарождения квазилэмбовских мод и смещение их диспер-
сионных кривых. Как видно из рис. 4, начальное сжатие ( 1 0,8 ) приводит к сдвигу
критических частот и дисперсионных кривых (сплошные линии) в коротковолновую
часть спектра. При этом происходит уменьшение количества распространяющихся
квазилэмбовских мод. Из графиков этого рисунка также видно, что сплошные и
штриховые линии, отвечающие дисперсионным кривым одноименных мод, пересе-
каются. Это свидетельствует о том, что для всех квазилэмбовских мод, кроме первой,
существуют упругие слои определенных толщин (частот) h , при которых фазовые
скорости c не зависят от начального сжатия ( 1 0,8 ). По-видимому, эта закономер-
ность, как уже отмечалось ранее, впервые выявленная для сжимаемых тел и описан-
ная в работе [10], носит более общий характер и присуща частотным спектрам упру-
гих волноводов не только из разных материалов (сжимаемые и несжимаемые), но и
гидроупругим волноводам.
В гидроупругой системе «оргстекло (менее жесткий материал) вода» начальное
растяжение ( 0
11 0,004 ) приводит к смещению дисперсионных кривых мод в корот-
коволновую часть спектра и вызывает изменение их конфигурации. Как видно из гра-
фиков рис. 9, для рассматриваемого интервала частотного спектра, начальное растя-
жение упругого слоя приводит к повышению величин фазовых скоростей всех мод.
Как ранее отмечено, в двух данных упруго-жидкостных системах низшие моды
проникают в твердое тело и так же, как и моды более высокого порядка, распростра-
няются в упругом слое. Этим объясняется влияние начальных напряжений на величи-
ны фазовых скоростей всех мод.
График, представленный на рис. 14, позволяет заключить, что в случае взаимо-
действия упругого слоя из стали (более жесткий материал) с водой начальное растя-
жение ( 0
11 0,004 ) упругого слоя оказывает влияние на величину фазовой скорости
моды 1, в основном, в окрестности частоты ее зарождения. В дальнейшем с ростом
частоты влияние предварительных деформаций на скорость квазиповерхностной вол-
ны (волны типа Стоунли) ослабевает. Как уже отмечалось, в данной упруго-
жидкостной системе единственная существующая низшая мода 1, возникающая в ре-
18
зультате взаимодействия упругого слоя с идеальным жидким полупространством, не
проникает в упругое тело и распространяется вдоль границы раздела сред, преимуще-
ственно, в приконтактной области жидкости. Этим объясняется незначительное влия-
ние упругого слоя и начальных напряжений на фазовую скорость, а также дисперсию
этой волны.
Заключение.
В рамках трехмерных уравнений линеаризованной теории упругости конечных
деформаций для упругого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Эйлера для
идеальной сжимаемой жидкости даны постановка и решение задачи о распростране-
нии квазилэмбовских нормальных волн в системе "идеальное сжимаемое жидкое по-
лупространство – предварительно напряженный упругий слой". С использованием
представлений общих решений получены характеристические уравнения и построены
дисперсионные кривые для мод в широком диапазоне частот.
Анализ полученных результатов показал, что основным критерием существова-
ния незатухающих нормальных волн высокого порядка в гидроупругой системе "иде-
альное сжимаемое жидкое полупространство – упругий слой" является соотношение
между величинами скоростей волны звука в жидкости, а также волн Рэлея и сдвига в
упругом теле. Установлено, что воздействие жидкости проявляется в изменении кри-
тических частот и конфигурации дисперсионных кривых, а также в смещении их в
длинноволновую часть спектра.
Показано, что локализация низших квазилэмбовских мод в упруго-жидкостной
системе зависит от механических параметров ее компонентов и определяется соотно-
шением между величинами скоростей волны звука в жидкости и квазирэлеевской
волны, распространяющейся вдоль свободной поверхности упругого слоя.
Установлено, что в гидроупругой системе с упругим слоем из податливого мате-
риала начальное сжатие вызывает изменение конфигурации дисперсионных кривых
квазилэмбовских мод и смещение их в коротковолновую часть спектра.
Для гидроупругой системы с упругим слоем из податливого материала обнаруже-
но существование частот (упругих слоев определенной толщины), при которых
начальное сжатие не влияет на фазовые скорости определенных мод.
Предложенный подход и полученные результаты, позволяют для волновых про-
цессов установить пределы применимости моделей, основанных на различных вари-
антах теории малых начальных деформаций.
РЕЗЮМЕ. Дано постановку задачі та вивчено поширення квазілембових хвиль у попередньо
деформованому пружному шарі, що взаємодіє з півпростором ідеальної стисливої рідини. Результати
отримано на основі тривимірних рівнянь лінеаризованої теорії пружності скінченних деформацій для
пружного шару та тривимірних лінеаризованих рівнянь Ейлера для ідеальної стисливої рідини. Пос-
тановка задачі та підхід базуються на використанні представлень загальних розв'язків лінеаризованих
рівнянь для пружного тіла та рідини. Отримано дисперсійні рівняння, які описують поширення ква-
зілембових хвиль у гідропружних системах у широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив по-
чаткових напружень, а також півпростору ідеальної стисливої рідини та товщини пружного шару на
фазові швидкості квазілембових мод. Розвинутий підхід та отримані результати для хвилевих проце-
сів дозволяють встановити границі застосування моделей, основаних на різних варіантах теорії малих
початкових деформацій. Числові результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз.
1. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. – М.: Наука, 1981. – 288 с.
2. Волькенштейн М.М., Левин В.М. Структура волны Стоунли на границе вязкой жидкости и твердо-
го тела // Акуст. журнал. – 1988. – 34, № 4. – С. 608 – 615.
3. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями: в 2-х томах. Т.1. Общие вопросы –
К.: Наук. думка, 1986. – 374 с.
4. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями: в 2-х томах. Т.2. Закономерности
распространения. – К.: Наук. думка, 1986. – 536 с.
5. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости. – К.: А.С.К., 1998. – 350 с.
6. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. – К.: А.С.К., 2004. –
672 с.
19
7. Гузь А. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями: в 2-х частях. Ч. 1.
Общие вопросы. Волны в бесконечных телах и поверхностные волны. – Saarbrucken: LAP LAM-
BERT Academic Publishing, 2016. – 501 с.
8. Гузь А. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями: в 2-х частях. Ч. 2.
Волны в частичноограниченных телах. – Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing,
2016. – 505 с.
9. Гузь А.Н. Введение в динамику сжимаемой вязкой жидкости. – Saarbrucken: LAP LAMBERT
Academic Publishing RU, 2017. – 244 с.
10. Гузь А.Н., Жук А.П., Махорт Ф.Г. Волны в слое с начальными напряжениями. – К.: Наук. думка,
1976. – 104 с.
11. Жук А.П. Волны Стоунли в среде с начальными напряжениями // Прикл. механика. – 1980. – 16,
№ 1. – С. 113 – 116.
12. Babich S. Yu., Guz A. N., Zhuk A. P. Elastic Waves in Bodies with Initial Stresses // Int. Appl. Mech. –
1979. – 15, N 4. – P. 277 – 291.
13. Bagno A.M. Wave Propagation in an Elastic Layer Interacting with a Viscous Liquid Layer // Int. Appl.
Mech. – 2016. – 52, N 2. – P. 133 – 139.
14. Bagno A.M. Effect of Prestresses on the Dispersion of Quasi-Lamb Waves in the System Consisting of
an Ideal Liquid Layer and a Compressible Elastic Layer // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 2. – P. 139
– 148.
15. Bagno A.M., Guz A.N. Elastic Waves in Pre-stressed Bodies Interacting with a Fluid (survey) // Int. Appl.
Mech. – 1997. – 33, N 6. – P. 435 – 463.
16. Drinkwater B.W., Wilcox P.D. Ultrasonic arrays for non-destructive evaluation: A review // NDT & E
Int. – 2006. – 39, N 7. – P. 525 – 541.
17. Gibson A., Popovics J. Lamb wave basis for impact-echo method analysis // J. Engineering Mechanics. –
2005.– 131, N 4.– P. 438 – 443.
18. Guz A.N. Aerohydroelasticity Problems for Bodies with Initial Stresses // Int. Appl. Mech. – 1980. – 16,
N 3. – P. 175 – 190.
19. Guz A.N. Elastic Waves in Bodies with Initial (Residual) Stresses // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 1. –
P. 23 – 59.
20. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid. – Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2009.
– 428 p.
21. Guz A.N. On the foundations of the ultrasonic non-destructive determination of stresses in near-the-
surface layers of materials. Review // J. Phys. Science and Application. – 2011. – 1, N 1, June. – P. 1 – 15.
22. Guz A.N. Ultrasonic Nondestructive Method for Stress Analysis of Structural Members and Near-Surface
Layers of Materials: Focus on Ukrainian Research (Review) // Int. Appl. Mech. – 2014. – 50, N 3. –
P. 231 – 252.
23. Guz A. N., Zhuk A. P., Bagno A. M. Dynamics of Elastic Bodies, Solid Particles, and Fluid Parcels in a
Compressible Viscous Fluid (Review) // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 5. – P. 449 – 507.
24. Jhang K.Y. Nonlinear ultrasonic techniques for nondestructive assessment of micro damage in material: a
review // Int. J. of Precision Engineering and Manufacturing. – 2009. – 10, N 1. – P. 123 – 135.
25. Kessler S.S., Spearing S.M., Soutis C. Damage detection in composite materials using Lamb wave meth-
ods // Smart Materials and Structures. – 2002. – 11, N 2. – P. 269 – 279.
26. Kobayashi M., Tang S., Miura S., Iwabuchi K., Oomori S., Fujiki H. Ultrasonic nondestructive material
evaluation method and study on texture and cross slip effects under simple and pure shear states // Int.
J. of Plasticity. – 2003. – 19, N 6. – P. 771 – 804.
27. Leonard K.R., Malyarenko E.V., Hinders M.K. Ultrasonic Lamb wave tomography // Inverse Problems. –
2002. – 18, N 6. – P. 1795 – 1808.
28. Liu L., Ju Y. A high-efficiency nondestructive method for remote detection and quantitative evaluation of
pipe wall thinning using microwaves // NDT & E Int. – 2011. – 44, N 1. – P. 106 – 110.
29. Ottenio M., Destrade M., Ogden R.W. Acoustic waves at the interface of a pre-stressed incompressible
elastic solid and a viscous fluid // Int. J. Non-Lin. Mech. – 2007. – 42, N 2. – P. 310 – 320.
30. Ramadas C., Balasubramaniam K., Joshi M., Krishnamurthy C. V. Interaction of the primary anti-
symmetric Lamb mode (Ao) with symmetric delaminations: numerical and experimental studies //
Smart Materials and Structures. – 2009. – 18, N 8. – P. 1 – 7.
31. Rossini N.S., Dassisti M., Benyounis K.Y., Olabi A.G. Methods of measuring residual stresses in compo-
nents // Materials & Design. – 2012. – 35. – P. 572 – 588.
32. Spies M. Analytical methods for modeling of ultrasonic nondestructive testing of anisotropic media
// Ultrasonics. – 2004. – 42, N 1 – 9. – P. 213 – 219.
Поступила 26.05.2016 Утверждена в печать 22.05.2018
|