Расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородного полого шара
В статье предложены подходы для исследования напряженно-деформированного состояния неоднородных полых шаров, с изменяющимся вдоль радиуса модулем упругости методом сплайн-коллокации и МКЭ. На их основании установлен характер распределения перемещений в зависимости от различных характеристик материал...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2018 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174231 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородного полого шара / А.Я. Григоренко, Н.П. Яремченко, С.Н. Яремченко // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 96-102. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860117660853862400 |
|---|---|
| author | Григоренко, А.Я. Яремченко, Н.П. Яремченко, С.Н. |
| author_facet | Григоренко, А.Я. Яремченко, Н.П. Яремченко, С.Н. |
| citation_txt | Расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородного полого шара / А.Я. Григоренко, Н.П. Яремченко, С.Н. Яремченко // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 96-102. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | В статье предложены подходы для исследования напряженно-деформированного состояния неоднородных полых шаров, с изменяющимся вдоль радиуса модулем упругости методом сплайн-коллокации и МКЭ. На их основании установлен характер распределения перемещений в зависимости от различных характеристик материала. Проведено сравнение результатов, полученных методами сплайн-коллокации и конечных элементов
Досліджено напружено-деформований стан неперервно-неоднорідної порожнистої кулі в просторовій постановці. Методами сплайн-колокації та скінченних елементів отримано розв’язки осесиметричної задачі. Проведено дослідження НДС для різних типів матеріалів зі змінним модулем пружності вздовж радіуса. Дано аналіз числових результатів, отриманих двома різними методами.
A problem on the stress-strain state of continuously inhomogeneous hollow sphere is considered within the spatial statement. A solution of axi-symmetical problem is obtained by methods of spline collocation and finite elements. The stress-strain state is studied for various types of materials with varying elastic modulus along radius. The numerical results for both methods are analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:37:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 5
96 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 5
А . Я . Г р и г о р е н к о , Н . П . Я р е м ч е н к о , С . Н . Я р е м ч е н к о
РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ НЕПРЕРЫВНО НЕОДНОРОДНОГО ПОЛОГО ШАРА
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: ayagrigorenko@yandex.ru
Abstract. A problem on the stress-strain state of continuously inhomogeneous hollow
sphere is considered within the spatial statement. A solution of axi-symmetical problem is
obtained by methods of spline collocation and finite elements. The stress-strain state is stud-
ied for various types of materials with varying elastic modulus along radius. The numerical
results for both methods are analyzed.
Key words: continuous inhomogeneity, hollow sphere, stress-strain state, FEM, spline-
collocation.
Введение.
Неоднородные материалы широко используются при проектировании различных
строительных и технических конструкций. Современные технологии позволяют со-
здавать различные материалы, характеристики которых, в частности модуль упруго-
сти, могут изменяться непрерывно вдоль некоторых направлений [2]. Исследованию
цилиндров из таких материалов посвящены работы [4, 6, 7]. В работе [3] исследовано
колебания слоистых полых шаров, в [5] – электроупругих полых шаров. Статья [9]
посвящена исследованию температурных напряжений в электромагнитоупругих по-
лых шарах из функционально градиентного материала.
В данной статье на основе трехмерной теории упругости (осесимметричный случай)
проведем исследование напряженно-деформированного состояния (НДС) полого шара на
основании метода сплайн-коллокации и стандартного для этих задач метода конечных
элементов, как это было сделано в [7] для цилиндра. При этом следует заметить, что чаще
всего осесимметричные задачи методом конечных элементов решают в цилиндрической
системе координат, используя функционалы, выведенные для цилиндров. В этой работе
потенциальная энергия деформации записана в сферической системе координат, что поз-
волило ограничиться использованием прямоугольных элементов в этой области.
1. Основные соотношения.
Рассмотрим полый ортотропный шар с
внутренним радиусом ,R H внешним
радиусом R H (R – радиус срединной
поверхности, 2H – толщина шара от
внешнего до внутреннего радиуса) в сфе-
рической системе координат , , ( ,r r –
радиальная коодрината; – угол по па-
раллели; – угол по меридиану, рис. 1),
Пусть 10 2 .
Осесимметричное НДС такого шара
[1] описывают:
z
x
y
Рис. 1
97
соотношения Коши –
;r
r
u
e
r
1
( cot );re u u
r
1
;r
u
e u
r
1
2 ;r
r
u u
e u
r r
(1)
закон Гука –
11 12 13r re e e ; 12 22 23re e e ;
13 23 33z re e e ; 552 ,r re (2)
уравнения равновесия –
2 cot1
0;r r rr
r r r
( )cot +31
0.r r
r r r
(3)
В случае изотропного тела элементы матрицы жесткости ( ),ij ij r имеют вид
11 22 33 2 ; 12 13 23 ; 55 , (4)
где
2(1 )
E
,
2
(1 2 )
, а и E – коэффициент Пуассона и модуль Юнга.
Граничные условия на внутренней ( r R H ) и внешней ( r R H ) поверхнос-
тях шара –
1( , ) ;r R H q 2( , ) ;r R H q ( , ) 0.r R H (5)
Разрешающие уравнения в перемещениях, полученные подстановкой (1) в (2) и
(2) в (3), будут иметь вид
2 2
22 33 23 12 13 12 55 55 11 11
2 2 2 2 2
11 11 11 11
55 12 22 23 12 33 13 23 55 13
2 2
11 11
12 55 13 55
11 11
2 cot 2
( )cot
( )cot
r r r r
r
ru u u r u
u
r r r r r r
ur r
u
r r
u
r r r
2
2
22 33 23 33 55 55 12 13
2 2 2
55 55 55
22
55 13 55 22 23 55 33
2 2
55 55 55
2
33 55 55
2 2
55 55
;
( ) cot 2 ( )cot
2 cot cot
2
.
r r
r
r
u
r
u r u u
u
r r r r r
uru
u
r r r r
u ur
r r r
(6)
Уравнения (6) можно записать так:
22 2
11 12 13 14 15 16 17 182 2
2 22
21 22 23 24 25 26 27 282 2
;
,
r r r r
r
r r r
r
u u uu u u u
a u a a a a u a a a
r r r r
u u u uu u u
a u a a a a u a a a
r r r r
(7)
98
для коэффициентов ( , )kl kla a r имеем формулы:
22 33 23 12 13 12
11 2
11
2
;
r
a
r
55
12 2
11
cot
;a
r
55
13 2
11
;a
r
11 11
14
11
2
;
r
a
r
55 12 22 23 12
15 2
11
( ) cot
;
r
a
r
33 13 23 55 13
16 2
11
;
r
a
r
12 55
17
11
( ) cot
;a
r
2
13 55
18
11
;
u
a
r r
22 33
21 2
55
( ) cot
;a
r
23 33 55 55
22 2
55
2
;
r
a
r
12 13
23
55
( ) cot
;a
r
2
55 13
24
55
;ru
a
r r
2
55 22 23 55
25 2
55
2 cot
;
r
a
r
33
26 2
55
cot
;a
r
33
27 2
55
;a
r
55 55
28
55
2
.
r
a
r
Граничные условия (5) для контура r R H запишем в виде:
12 13 1312
11 1
cot
;r
r
uu
u u q
r r r r
1
0.r
u uu
r r r
При действии на внутреннюю и внешнюю полость цилиндра давления (5) потен-
циальная энергия деформации имеет вид
2
1
2 2
1 1
2
2 2
1 2
1
= 2 sin
2
2 ( ) sin 2 ( ) sin .
R H
r r r r
R H
r r
e e e e r d dr
R H q u dz R H q u d
(8)
Используя (1), (2) и (4) первое подынтегральное выражение (8) запишем в пере-
мещениях, тогда имеем:
21
sin
2 r r r re e e e r
2 2
2 1 1
2sin ( ) sin ( 2 ) sin
2 2
r
r
u u
u
22
2 2 2 21 1 1
sin ( ( 2 )cot ( )) sin ( 2 ) sin
2 2 2
r
uu
u r r
r r
(9)
cos cos 2cos ( ) sin 2 sinr r r
r r
u uu u u
u r u u u r r u
r r r
2sin ( ) sin sin sin .r r
r
u u uu u
u r r u u
r r
99
2. Методы решения.
2.1. Сплайн-коллокация. Краевую задачу (7) при соответствующих граничных
условиях можно решить с использованием метода сплайн-коллокации. Для этого раз-
решающие функции ( , ), ( , )ru r u r представим в виде
1( ) ( )r ri iu u r , 2( ) ( )i iu u r 0,i N , (10)
riu , iu – искомые величины, а , 1,2ji j линейные комбинации нормализованных
B-сплайнов на равномерной сетке, удовлетворяющие граничным условиям на краях
интервала 1 2, . Здесь и далее при наличии парных индексов знак суммы будем
опускать.
Подставляя (10) в (7) и удовлетворяя в некоторых точках коллокации
1 2, ( 0, )k k N можно получить следующие уравнения:
;r
r
du
u
dr
;
du
u
dr
1 1
1 11 1 12 1 13 1 1 14 1( * * * ) ( * )r
r r
du
a a a u a u
dr
1 1
1 15 2 16 1 17 2 18 2( * * ) ( * * ) ;a a u a a u
(11)
1 1
2 21 1 22 1 2 23 1 24 1( ) ( * * )r r
du
a a u a a u
dr
1 1
2 25 2 26 2 27 2 2 28 2( * * * ) ( * )z za a a u a u .
В (11) принято: , ,ri ri i iu u u u [ ( )],j ji k [ ( )],j ji k [ ( )],j ji k
, 0, ... , ,k i N 1, 2,j 0 1{ , , ... , } ,T
r r r rNu u u u 0 1, , ... , ,
T
r r r rNu u u u 0 1{ , , ...u u u
... } ;T
Nu 0 1, , ... , ,
T
Nu u u u 0 1{ ( , ), ( , ), ... , ( , )} ( 1, 2;T
kl kl kl kl Na a r a r a r k
1, ... , 8),l c A – матрица, компоненты которой ( ( [ ]i ij ijc a A a – матрица, ( ,i j
0, ... , ),N 0 1{ , , ...c c c ... , }T
Nc – вектор-столбец).
Более детально метод сплайн-коллокации для таких задач изложен в [6 – 8].
Аналогично можно получить и граничные условия. Далее одномерную краевую
задачу решаем устойчивым численным методом дискретной ортогонализации.
2.2. Метод конечных элементов. Для получения матрицы жесткости конечного
элемента, следуя методу, представим разрешающие функции в виде
;r ri iu u N ,i iu u N (12)
где riu , iu – искомые значения перемещений в узлах, а iN – функции формы, зави-
сящие от выбранного конечного элемента. Подставим (12) в выражение (9):
2 2 21 1
2sin ( )( ) sin ( 2 )( ) sin ( )
2 2ri i i i ri iu N u N u N
22 2 2 2 21 1 1
sin ( ( 2 )cot )( ) sin ( 2 ) sin ( )
2 2 2i i ri ri i riu N r u N r u N
cos ( )( ) cos ( )( ) 2cos ( )( )( )i i i i i i ri ri ri i i iu N u N r u N u N u N u N (13)
100
sin ( )( ) 2 sin ( )( ) 2sin ( )( )( )ri ri i i ri i ri ri ri i i ir u N u N r u N u N u N u N
sin ( )( ) sin ( )( ) sin ( )( );i ri ri i i i i ri i i ri ir u N u N r u N u N u N u N
здесь ;i
ri
N
N
r
;i
i
N
N
Продифференцируем (13) по ,rju получим
24sin ( )( ) sin ( ) sin ( 2 )( )ri i j ri i j ri ri rju N N u N N r u N N
2 sin ( ) 2 sin ( )ri ri j ri i rjr u N N r u N N
cos ( ) 2cos ( )( ) sin ( )i i rj i i j i i rjr u N N u N N r u N N (14)
2sin ( )( ) sin ( ) - sin ) ,(i i j i ri j i i ju N N r u N N u N N
по ju –
cos ( ) 2cos ( )( ) sin ( )ri ri j ri i j ri ri jr u N N u N N r u N N
2sin ( )( ) sin ( ) sin ( )ri i j ri i rj ri i ju N N r u N N u N N (15)
2 2sin ( 2 )( ) sin ( ( 2 )cot )( ) sin ( )i i j i i j i ri rju N N u N N r u N N
cos (( )( ) ( ) ) sin (( ) ( ) ).i i j i i j i ri j i i rju N N u N N r u N N u N N
Проинтегрировав выражения (14) и (15) по площади и записав их в матричном
виде, можно получить матрицы жесткости элемента. Для элементов, находящихся на
границе, следует учитывать также одномерные интегралы в (8), а также граничные
условия на контурах const. Составив из матриц жесткости и векторов правых ча-
стей для каждого элемента ансамбль, получим систему уравнений для определения
перемещений во всех узловых точках области.
3. Числовые результаты и их анализ.
С помощью изложенных подходов определим НДС полых шаров (рис. 1) с такими
параметрами: внутренний радиус 3;R H внешний радиус 5;R H коэффициент
Пуассона 0,4. Модуль упругости изменяется по закону 2( ) .E r ar br c
Рассмотрены такие случаи:
1) возрастающий модуль Юнга ( 0( ) 11 /15E R H E , 0( )E R E , ( )E R H
081 / 50,E 0,1767,a 0,97,b 2,053c );
2) спадающий модуль Юнга ( 0( ) 81 / 50,E R H E 0( ) ,E R E ( )E R H
011 /15,E 0,1767,a 1,857,b 5,6);c
3) усредненный по толщине модуль Юнга 01,0589 .E E
Пусть на внутреннюю поверхность оболочки действует нормальное равномерно
распределенное давление const;q тогда в граничных условиях (5) – 1 ,q q а 2 0.q
Проведем сравнение результатов решения задач с использованием МКЭ и метода
сплайн-коллокации в случае, когда на контурах 1 6, 2 5 6 заданы условия
жесткого закрепления (для модуля Юнга 1).
101
На рис. 2 показаны распределения перемещений 0ˆ ( ) ,r ru u E q а на рис. 3 –
0ˆ ( )u u E q на внутренней (1), внешней (3) поверхностях шара и в сечении 4r (2)
вдоль меридиана; так как задача симметрична по , решение показано на половине
отрезка. Сплошные линии – результат расчета методом сплайн-коллокации, кружочки
– МКЭ. При решении методом сплайн-коллокации 49,N точек интегрирования
400. При решенни МКЭ отрезок по r был разделен на 20 частей, а по – на 60; та-
ким образом область была разбита на 1200 «прямоугольных» четырехузловых эле-
ментов.
Из рис. 2 следует, что перемещения ˆ ,ru полученные различными методами, отли-
чаются незначительно; в частности, на внутренней поверхности шара различие со-
ставляет около 3%. Более заметно отличие в расчетах для ˆ .u Однако, эти перемеще-
ния примерно в три раза меньше, чем ˆ ,ru причем на внешней поверхности шара они
близки к нулю.
Также решена задача для несимметричного по шара, когда 1 20, а
2 2 при тех же граничных условиях для различных вариантов изменения модуля
1
ˆ ru
1
2 1
2
3
Рис. 2
1
û
1
2 1
2
3
Рис. 3
1
ˆru
1
2 1
2
3
Рис. 5
1
ˆru
1
2 1
2
3
Рис. 4
102
упругости (1 – 3). На рис. 4 и 5 приведены графики распределения вдоль меридиана
перемещений ˆru на внешней и внутренней поверхностях полого шара, соответствен-
но. Как и следовало ожидать, перемещения ˆru для варианта 1 будут наибольшими,
поскольку в зоне нагрузки модуль упругости у этого материала ниже. Также отметим,
что на внешней поверхности шара (рис. 5) имеет место значительное отличие в реше-
ниях, полученных разными методами. Получено также, что максимальные перемеще-
ния отличаются мало, но графики, полученные согласно МКЭ, заметно сдвинуты. Та-
кое поведение решений, возможно, объясняется различными способами учета жест-
ких граничных условий разными методами.
Заключение.
В статье предложены подходы для исследования напряженно-деформированного
состояния неоднородных полых шаров, с изменяющимся вдоль радиуса модулем
упругости методом сплайн-коллокации и МКЭ. На их основании установлен характер
распределения перемещений в зависимости от различных характеристик материала.
Проведено сравнение результатов, полученных методами сплайн-коллокации и коне-
чных элементов.
РЕЗЮМЕ. Досліджено напружено-деформований стан неперервно-неоднорідної порожнистої
кулі в просторовій постановці. Методами сплайн-колокації та скінченних елементів отримано розв’язки
осесиметричної задачі. Проведено дослідження НДС для різних типів матеріалів зі змінним модулем
пружності вздовж радіуса. Дано аналіз числових результатів, отриманих двома різними методами.
1. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Панкратова Н.Д. Статика анизотропных толстостенных оболо-
чек. – К: Вища шк., 1985. – 190 с.
2. Birman V., Byrd L. W. Modeling and Analysis of Functionally Graded Materials and Structures // Appl.
Mech. Rev. – 2007. – 60 – P. 195 – 215.
3. Chen W.Q., Ding H.J. Free Vibration of Multi-layered Spherically Isotropic Hollow Spheres // Int. J.
Mech. Sci. – 2001. – 43. – P. 667 – 680.
4. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L. Free Axisymmetric Vibrations of Solid Cylinders: Numerical Problem
Solving // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 5. – P. 499 – 508.
5. Grigorenko A.Ya., Müller W.H., Willi R., Loza I.A. Nonaxisymmetric Electroelastic Vibrations of Hollow
Sphere Made of Functionally Gradient Piezoelectric Materials // Cont. Mech. and Thermodynamics –
2014. – 26. – P. 717 – 781.
6. Grigorenko A.Ya., Müller W.H., Wille R., Yaremchenko S.N. Numerical Solution of the Problem on the
Stress-strain State in Hollow Cylinders by Means of Spline-approximations // Мат. методи та фіз.-
мех. поля. – 2010. – 53, N 3. – С. 127 – 134.
7. Grigorenko A.Ya., Yaremchenko S.N. Analysis of the Stress–Strain State of Inhomogeneous Hollow Cyl-
inders // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 4. – P. 342 – 349.
8. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya., Vlaikov G.G. Problems of Mechanics for Anisotropic Inhomogene-
ous Shells on the Basis of Different Models. – K.: Academperiodika, 2009. – 550 р.
9. Ootao Y., Ishihara M. Transient Thermal Stress Problem of a Functionally Graded Magneto-Electro-
Thermoelastic Hollow Sphere // Materials. – 2011. – N 4. P. 2136-2150.
Поступила 20.11.2017 Утверждена в печать 22.05.2018
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174231 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:37:39Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Григоренко, А.Я. Яремченко, Н.П. Яремченко, С.Н. 2021-01-09T19:55:18Z 2021-01-09T19:55:18Z 2018 Расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородного полого шара / А.Я. Григоренко, Н.П. Яремченко, С.Н. Яремченко // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 5. — С. 96-102. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174231 В статье предложены подходы для исследования напряженно-деформированного состояния неоднородных полых шаров, с изменяющимся вдоль радиуса модулем упругости методом сплайн-коллокации и МКЭ. На их основании установлен характер распределения перемещений в зависимости от различных характеристик материала. Проведено сравнение результатов, полученных методами сплайн-коллокации и конечных элементов Досліджено напружено-деформований стан неперервно-неоднорідної порожнистої кулі в просторовій постановці. Методами сплайн-колокації та скінченних елементів отримано розв’язки осесиметричної задачі. Проведено дослідження НДС для різних типів матеріалів зі змінним модулем пружності вздовж радіуса. Дано аналіз числових результатів, отриманих двома різними методами. A problem on the stress-strain state of continuously inhomogeneous hollow sphere is considered within the spatial statement. A solution of axi-symmetical problem is obtained by methods of spline collocation and finite elements. The stress-strain state is studied for various types of materials with varying elastic modulus along radius. The numerical results for both methods are analyzed. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородного полого шара Analysis of Axisymmetric Stress-Strain State of Continuously Inhomogeneous Hollow Sphere Article published earlier |
| spellingShingle | Расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородного полого шара Григоренко, А.Я. Яремченко, Н.П. Яремченко, С.Н. |
| title | Расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородного полого шара |
| title_alt | Analysis of Axisymmetric Stress-Strain State of Continuously Inhomogeneous Hollow Sphere |
| title_full | Расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородного полого шара |
| title_fullStr | Расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородного полого шара |
| title_full_unstemmed | Расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородного полого шара |
| title_short | Расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородного полого шара |
| title_sort | расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния непрерывно неоднородного полого шара |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174231 |
| work_keys_str_mv | AT grigorenkoaâ rasčetosesimmetričnogonaprâžennodeformirovannogosostoâniânepreryvnoneodnorodnogopologošara AT âremčenkonp rasčetosesimmetričnogonaprâžennodeformirovannogosostoâniânepreryvnoneodnorodnogopologošara AT âremčenkosn rasčetosesimmetričnogonaprâžennodeformirovannogosostoâniânepreryvnoneodnorodnogopologošara AT grigorenkoaâ analysisofaxisymmetricstressstrainstateofcontinuouslyinhomogeneoushollowsphere AT âremčenkonp analysisofaxisymmetricstressstrainstateofcontinuouslyinhomogeneoushollowsphere AT âremčenkosn analysisofaxisymmetricstressstrainstateofcontinuouslyinhomogeneoushollowsphere |