Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору
Стаття присвячена дослідженню контактної взаємодії попередньо напруженого циліндричного кільцевого
 штампа на півпростір з початковими (залишковими) напруженнями без врахування сил тертя. Задачу
 розв'язано у випадку нерівних коренів визначального рівняння. Дослідження представл...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2020 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174241 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору / С.Ю. Бабич, Н.О. Ярецька // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 11. — С. 24-30. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860191205010178048 |
|---|---|
| author | Бабич, С.Ю. Ярецька, Н.О. |
| author_facet | Бабич, С.Ю. Ярецька, Н.О. |
| citation_txt | Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору / С.Ю. Бабич, Н.О. Ярецька // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 11. — С. 24-30. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Стаття присвячена дослідженню контактної взаємодії попередньо напруженого циліндричного кільцевого
штампа на півпростір з початковими (залишковими) напруженнями без врахування сил тертя. Задачу
розв'язано у випадку нерівних коренів визначального рівняння. Дослідження представлено в загальному вигляді для теорії великих початкових (кінцевих) деформацій і двох варіантів теорії малих початкових деформацій у рамках лінеаризованої теорії пружності при довільній структурі пружного потенціалу. Припускається, що початкові стани пружного кільцевого штампа та пружного півпростору однорідні та рівні. Дослідження проводиться в координатах початкового деформованого стану, які пов'язані з лагранжевими
координатами (природного стану). Крім того, вплив кільцевого штампа викликає невеликі збурення відповідних величин основного напружено-деформованого стану. Також передбачається, що пружний кільцевий штамп та пружний півпростір виготовлені з різних ізотропних, трансверсально-ізотропних або композиційних матеріалів.
The article is devoted to the task of contact interaction of the pressure of a pre-stressed cylindrical annular
punch on the half-space with initial (residual) stresses without friction. It is solved for the case of unequal roots
of the characteristic equation. In general, the research was carried out for the theory of great initial (ultimate)
deformations and two variants of the theory of small initial ones within the framework of linearized theory of
elasticity with the elastic potential having any structure. It is assumed that the initial states of the elastic annular
stamp and the elastic half-space remain homogeneous and equal. The study is carried out in the coordinates of
the initial deformed state, which are interrelated with Lagrange coordinates (natural state). In addition, the influence
of the annular stamp causes small perturbations of the basic elastic deformed state. It is assumed that
the elastic annular stamp and the elastic half-space are made of different isotropic, transversal-isotropic or composite
materials.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:06:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
24
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 11: 24—30
Ц и т у в а н н я: Бабич С.Ю., Ярецька Н.О. Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штам-
пу і півпростору Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 11. С. 24—30. https://doi.org/10.15407/dopovidi
2020.11.024
Детальний огляд задач, що враховують початкові напруження представлені у ро ботах
[1—3]. Причому у перших роботах з контактної взаємодії тіл з початковими напруження-
ми розглядаються або пружні потенціали конкретної структури [4], або задача ставиться
в загальному вигляді для стисливих (нестисливих) тіл з потенціалом довільної структури
на основі лінеаризованої теорії пружності [1, 2]. Роботи з контактної взаємодії тіл з почат-
ко вими напруженнями присвячені взаємодії попередньо напружених тіл із жорсткими та
пружними штампами без початкових напружень [5]. Розв’язок контактної задачі про тиск
жорсткого кільцевого штампа на пружний півпростір, який містить залишкові деформації,
розглянуто у [6].
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.11.024
УДК 539.3
С.Ю. Бабич 1, Н.О. Ярецька 2
1 Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
2 Хмельницький національний університет
E-mail: massacran2@ukr.net
Контактна взаємодія попередньо
напружених кільцевого штампу і півпростору
Представлено членом-кореспондентом НАН України Я. Я. Рущицьким
Стаття присвячена дослідженню контактної взаємодії попередньо напруженого циліндричного кільцевого
штампа на півпростір з початковими (залишковими) напруженнями без врахування сил тертя. Задачу
розв’язано у випадку нерівних коренів визначального рівняння. Дослідження представлено в загальному виг-
ляді для теорії великих початкових (кінцевих) деформацій і двох варіантів теорії малих початкових де-
формацій у рамках лінеаризованої теорії пружності при довільній структурі пружного потенціалу. При-
пускається, що початкові стани пружного кільцевого штампа та пружного півпростору однорідні та рівні.
Дослідження проводиться в координатах початкового деформованого стану, які пов'язані з лагранжевими
координатами (природного стану). Крім того, вплив кільцевого штампа викликає невеликі збурення від-
повідних величин основного напружено-деформованого стану. Також передбачається, що пружний кіль-
цевий штамп та пружний півпростір виготовлені з різних ізотропних, трансверсально-ізотропних або
композиційних матеріалів.
Ключові слова: лінеаризована теорія пружності, початкові (залишкові) напруження, контактна задача,
кільцевий штамп, півпростір.
МЕХАНІКА
25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 11
Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору
У даній роботі з використанням співвідношень лінеаризованої теорії пружності дос-
ліджена вісесиметрична контактна задача про тиск попередньо напруженого кільцевого
штампа з плоскою основою на півпростір з початковими напруженнями без урахування
сил тертя для нерівних коренів характеристичного (визначального) рівняння [1]. Дос-
лідження виконано в загальному вигляді для стисливих і нестисливих тіл для теорії вели-
ких (кінцевих) початкових деформацій і двох варіантів теорії малих початкових деформа-
цій при довільній структурі пружного потенціалу. Вважаємо, що початкові напружено-
деформовані стани в штампі і півпросторі є однорідними і рівними. Величини, які відно-
сяться до пружного штампа, будемо записувати з верхнім індексом (1), а величини, які
відносяться до попередньо напруженого півпростору — з верхнім індексом (2). Аналогічна
контактна задача у класичному випадку, тобто без початкових напружень розглянута в [5].
Розрізнятимемо три стани тіл з початковими напруженнями: природний, коли у ньому
відсутні напруження; початковий стан, та збурений стан, всі величини якого складаються з
суми відповідних величин початкового стану та збурень. Вважаючи збурення набагато мен-
шими за величини початкового стану, дослідження проводимо в рамках лінеаризованої тео-
рії пружності [1–3].
Для дослідження введемо лагранжеві координати (x1, x2, x3), які в початковому стані
збігаються з декартовими координатами (y1, y2, y3), що пов’язані наступними співвідно-
шеннями: ( 1, 3)i i iy x i= λ = , де ( 1, 3)i iλ = — коефіцієнти видовження, що визначають
переміщення початкового стану.
Вважаємо, що початковий напружено-деформований стан у півпросторі є однорідним,
а пружні потенціали — двічі неперервно-диференційовані функції алгебраїчних інваріан-
тів тензора деформацій Гріна [1]. Матеріали тіл, що контактують, будемо вважати ізотроп-
ними стисливими або нестисливими з довільною структурою пружного потенціалу. У ви-
падку ортотропних матеріалів приймається, що пружно-еквівалентні напрямки збігаються
з напрямками осей координат.
Нехай скінченний пружний кільцевий штамп з плоскою основою, геометрична вісь
симетрії якого збігається з віссю y3 циліндричної системи координат, що напрямлена в се-
редину півпростору, втискається у півпростір з силою Р, після виникнення у штампі та у
півпросторі початкового деформованого стану. R1, R2 — відповідно внутрішній та зовнішній
радіуси штампа. Будемо вважати, що зовнішнє навантаження прикладене тільки до вільно-
го торця пружного штампа, під дією якого всі точки торця штампа переміщаються у напрям-
ку осі симетрії y3 на одну і ту ж саму величину . Вважатимемо, що поверхні поза ділянкою
контакту залишаються вільними від впливу зовнішніх сил, а в зоні контакту переміщення
та напруження — неперервні.
При однорідних початкових напруження вважаємо, що: 11 22
0 0 0S S= ≠ , 33
0 0S = ; 1 2 3λ = λ ≠ λ .
Тоді у циліндричній системі координат ( , , )ir zθ , де 1
3i iz v y−= , , ( 1, 2)i iv n i= = , 2
1 2 ,n = ξ′
2
2 3n = ξ′ , 2 2
2 3,ξ ξ′ ′ — корені визначального рівняння [1], такій постановці відповідають гра-
ничні умови
(1) (1)
1 23 3, 0 ( )rU Q R r R= −ε = < < , (1)
(1) (2) (1) (2) (1) (2)
1 23 3 33 33 3 3; ; 0 ( )r rU U Q Q Q Q R r R= = = = < < , (2)
26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 11
С.Ю. Бабич, Н.О. Ярецька
(2) (2) (2)
1 233 3 30, 0, 0 (0 , )rQ U Q r R R r= = = < < < < ∞ , (3)
(1)(1) 1
1 130, 0 (0 )rr rQ Q z Hv−= = � � , (4)
(1)(1) 1
1 130, 0 (0 )rr rQ Q z Hv−= = � � . (5)
Умова рівноваги, що встановлює зв’язок між осіданням торця штампа та рівнодіючою
силою навантаження Р має вигляд
2
1
(2)
332 (0, )
R
R
P rQ r dr= − π ∫ . (6)
Для визначення напружено-деформованого стану в пружному кільцевому штампі з по-
чатковими напруженнями використовуємо лінеаризовані рівняння [1]. З цих рівнянь сліду-
ють вирази для компонентів вектора переміщення та тензора напружень для стисливих і
нестисливих тіл. Тому загальний розв’язок 1 2χ = χ + χ для випадку нерівних коренів n1 n2
визначального рівняння [1] приймемо у вигляді
1 2 2 2
8 1 2 0 1 1 1 0 2 2 2
1
0,5 ( ) { ( )sin( ) ( )sin( )k k k k k k
k
r z z A I v r v z B I v r v z
∞
−
=
χ = εθ − − + γ γ + γ γ +∑
( ) 2 1 2 2 2 3 3
0 2 1 3 2 1 2 6 8 1 2 1 20( )[ ( ) ( )] [3 ( ) 6 ( ) )]}k
k k k kJ r S z S z C r z z H r z z z z M−+ α α + α + + + θ θ − − + + ,
де ( )1 2 2 1 2 2 2
1 8 1 6 8 1 1 10
1
0,25 ( 2 ) { [(3 ) ( 2 ) 2 ]k
k
r z C H z r z z r
∞
− −
=
χ = εθ − + θ θ + − + +∑
0 1 1 1 0 2 1( )sin( ) ( ) ( )}k k k k k kA I v r v z J r S z M+ γ γ + α α ,
( )1 2 2 1 2 2 2
2 8 2 6 8 2 2 20
1
0,25 ( 2 ) { [(3 ) ( 2 ) 2 ]k
k
r z C H z r z z r
∞
− −
=
χ = εθ − + θ θ + − + +∑
0 2 2 2 0 3 2( )sin( ) ( ) ( )}k k k k k kB I v r v z J r S z M+ γ γ + α α ,
1 1
8 1 1 2 2m n m n− −θ = + , 1 1 1
2 1 0 1 2 1( ) ( )k k kS E sh Hv s n n ch Hv− − −= α − α ,
1
0 1 2 1 1( ) ( )k k kA s I v R I v R−= − γ γ , 1 1
3 2 2( ) ( )k k kS N sh Hv ch Hv− −= α − α ,
( ) 1
2 7 0 100 (6 ) ( )k
kC n J−= − θ μ θ , 10 1 0 1 0 2 0 2( ) ( )с с v s с с vθ = − − − ,
1 1 1 1
0 2 1 0 0 1 1 1 1 1( ) ( ) {( ) [ ( ) ( ( ) ( ))k k k k k kB J n c c s cth Hv v Hsh Hv v ch Hv− − − −= μ α − α + α − α −
1 1 2 1 1
1 1 1 1 2 0 2( ) ( ) 0,5 ] ( )[ ( )k k k k k kHch Hv v sh Hv H v c c Hch Hv− − − −−α α + α − α + − α α −
1 1
2 2 2( ) 0,5 (1 ( ))]k k k kv sh Hv H cth Hv− −− α + α −α α ,
27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 11
Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору
3 3
6 1 1 2 2m v m v− −θ = + , 1 1
7 0 1 1 0 2 2(1 2 ) (1 2 )c c v c c v− −θ = + − + + − , ( 0,1, 2)ic i = — величини, що
залежать від пружного потенціалу.
Тоді напружено-деформований стан в попередньо напруженому кільцевому штампі
для стисливих (нестисливих) тіл та нерівних коренів, з урахуванням (1)—(5), предста-
вимо у вигляді
( )(1) 2
1 1 1 1 1 2 1 2 2 20
1
{6 [ ( )cos( ) ( )cos( )]k
r k k k k k k k
k
U C r v A I v r v z B v I v r v z
∞
+
=
= − θ + γ γ γ + γ γ −∑
2 1 1
1 1 4 1 2 5 2( )( ( ) ( ))}k k k k kJ r v S z v S z M− −−α α α + α ,
(1) ( ) 1 1
1 1 1 2 2 2 63 0
1
2 {12 ( )k
k
U C m z n m z n H
∞
− −
=
= − ε + + − θ +∑ (7)
2
1 0 1 1 1 2 0 2 2 2[ ( )sin( ) ( )sin( )]k k k k k k kA m I v r v z B m I v r v z+γ γ γ + γ γ −
2 1 1
0 1 1 2 1 2 2 3 2( )[ ( ) ( )]}л k k k kJ r m n S z m n S z M− −−α α α + α ,
(1) ( ) 1 1 3
44 1 1 1 2 1 0 1 1 133 0
1
(1 ) {12 [ ] [ ( )cos( )k
k k k k
k
Q C m l C v sv A n I v r v z
∞
− −
=
= + + + γ γ γ +∑
3 1 1
2 0 2 2 2 0 4 1 1 5 2 2( )cos( )] ( )[ ( ) ( ) ]}k k k k k k k ksn B I v r v z J r S z v sS z v M− −+ γ γ −α α α + α ,
(1) 3
44 1 1 1 1 1 1 0 2 1 2 2 23
1
(1 ) { [ ( )sin( ) ( )sin( )]k k k k k k kr
k
Q C m A v I v r v z s v B I v r v z
∞
=
= + γ γ γ + γ γ +∑
3 1 1 1
1 1 1 2 1 0 2 3 1( ) ( ( ) ( ))}k k k k kv J r n S z s n S z M− − −+α α α + α ,
де 11 0
4 1 1 1
2
[ ( ) ( ) ( )]k k k
n s
S cth Hv ch z sh z
n
−= α α − α , 1
5 2 2( ) ( )k kS sh z cth Hv−= α − α , 1 1
2 12v v− −
+θ = + ,
1
2( )k kN cth Hv−= − α , 1 1
1 0 2 1( )k kE n s n cth Hv− −= α , 1 1 2 2( ) ( ) ,R r R R r R R= δ − + δ − ( )xδ — функція
Дірака; ( ), ( )v vJ x I x — функції Бесселя дійсного та уявного аргументу, відповідно; значен-
ня 44 44 1 2 1 2 0, , , , , ,D C l l m m s визначаються із [1] та визначають початковий напружений стан у
контактуючих пружних тілах.
Напружено-деформований стан у попередньо напруженому півпросторі для нерівних
коренів, з врахуванням (1)—(5) та 1 0z = представимо у вигляді [1]
(2) (2)1 1 1
3 2 1 0 3 033 3
0 0
( ) ( ) ( ) , ( ) ( )Q R R F J r d U F J r d
∞ ∞
− − −= ω − η η η = −ω η η η η∫ ∫ (8)
(2) 1
1 1
0
( ) ( )rU F J r d
∞
−= ω η η η η∫ ,
де 3 44 1 1 0(1 ) ( )c l m s sω = + − , 1 0 1sω = − , 1
0 2 1s s l l −= ; ( )vJ x — функція Бесселя дійсного ар-
гументу; ( )F η — невідома функція.
28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 11
С.Ю. Бабич, Н.О. Ярецька
Враховуючи розв’язок для штампа (7) та задовольняючи другу умову (1), (4) та (5),
знаходимо власні значення задачі (1)—(5) для n1 n2:
1(2 1)k k Н −γ = π + , 1
k kR−α = μ 1( ( ) 0, 0,1, 2, )kJ kμ = = . (9)
Задовольнивши перші умови (2) та (3), визначаємо невідому функцію ( )F η для (8) із
парних інтегральних рівнянь
0 1 2
0
( )
( ) ( ) ( )
F
J r d f r R r R
∞ η η η= < <
η∫ , 0 1 2
0
( ) ( ) 0 (0 , )F J r d r R R r
∞
η η η= < < < < ∞∫ , (10)
де 1 1 2
2 6 10 2 7 0 1 0 2 2 0
1 1
( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )k k k k k
k k
f r H n J M m s m n J r M
∞ ∞
− −
= =
⎛ ⎞
= ω ε − θ θ θ μ + − α α⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ .
Застосування формули обертання інтегральних перетворень Хенкеля до (10) приво-
дить її до функції ( )F η , тобто
22 6 10
0 1 0 2
2 7 21
2 2( )
( , 0) ( ) ( , 0) ( ) ( , )k k k k
k
HF R
J m s m M
n n
∞
=
⎡ ⎤ω θ θη = εψ η − μ ψ η + − α ψ η μ⎢ ⎥η π θ ⎣ ⎦
∑ ,
де 2 2 1 1( , ) ( sin cos sin cos ) ( ) , ( , 0) sinx y x x y y y x x y x х x− −ψ = − − ψ = .
Задовольнивши першим двом граничним умовам (2), з урахуванням ортогональності
Беселевих функцій J0(k) для визначення сталих i ( 0,1, 2, )M i = , які входять в (7)—(10),
отримаємо нескінченну систему алгебраїчних рівнянь
0 1
( 0,1, 2, )k k kn n k
k n
a M a M k
∞ ∞
= =
+ = β =∑∑ . (11)
Коефіцінти системи представимо у вигляді
1 1 1
0 2 2 12 ( )R R− − −β = ω επ − , 1
22 (0, )k k
−β = ω επ ψ μ , 0 0a = ,
1 1 1
2 6 10 7 2 0 10 2 1 3 7 14 ( ) ( ) (0, ) 2 ( ) (( ) ) (k k ka H n J R R s s v− − −= ω θ θ πθ μ ψ μ − θ − − θ −
1 1
2 0 2 1 2 1 1 1) ( ) ( ( ) ( ))k k k ksv J R J R R J R− −− μ μ μ − μ ,
(1) (2)1 3 3 1 1 1
2 1 3 1 2 2 1 2 0 1( ) ( ) ( [ ] [ ( )kn k k n k kkn kna R R s s A n t sn t B v v v s cth Hv− − − −= − − γ + −α α −
1 1 2
2 2 1 0 2( )] 2( ) ( ) ( , )k kn k n ks cth Hv m m s n− −− ⋅ α τ + − π α ψ μ μ
1 1 1 1 2
0 2 6 10 7 2 2 1 0 2 2 1 0 24 ( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) (0, )n n k na H n R R J m m s n− − − −= ω θ θ πθ − μ + ω − π α ψ μ −
1 1 1 1 2 2 2
3 0 10 7 2 1 2 0 2 1 1 2 2 1 2 2( ) { ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ( )n n n ns s n v sv J R R A v sv R I R v− − − −−ω − θ θ + μ − + γ + γ −
2 1 1 1
1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 0 1 2 1( )] [ ( ) ( )][ ( ) ( )]}n n k n n k kR I R v B n R J R R J R v s cth Hv sv cth Hv− − −− γ −α α − α α − α ,
29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 11
Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору
де ( )
2 0 2 1 2 2 1 2 0 2[ ( ) ( ) ( ) ( )i
k i n n k i k i nknt R I v R J R R I v R v J R= γ μ μ + γ γ μ −
2 2 2 1
1 0 1 1 1 1 1 1 0 1( ) ( ) ( ) ( )]( ) ,k i n n k i k i n i k nR I v R J R R I v R v J R v −− γ μ μ − γ γ μ γ + μ
1 1 1 0 1 2 1 2 0 2[ ( ) ( ) ( ) ( )kn n n k k k nR J R J R R J R J Rτ = μ μ μ + μ μ μ −
2 2 1
1 1 1 0 1 2 1 2 0 2( ) ( ) ( ) ( )]( )k k n n n k k nR J R J R R J R J R −− μ μ μ − μ μ μ μ +μ .
Враховуючи умову рівноваги (6), встановимо зв’язок між осіданням торця та рівно-
діючою силою навантаження Р у вигляді
2 1 2 0,5 2 0,5
2 2 1 2 14 ( ) ((1 ) (1 ) )P R R R R− − −= εω − − − − .
Визначивши невідомі сталі i ( 0,1, 2, )M i = із системи (11), обчислимо переміщення
та напруження як у пружному штампі, так і у пружному півпросторі за формулами (7)—(8).
В результаті цього, розв’язок представимо у вигляді рядів через нескінченну систему кон-
стант, що визначаються з (11). Причому в (11) коефіцієнти kβ та kna залежать від вели-
чин, які визначають структуру пружного потенціалу, висоти пружного штампа Н, а вільні
члени залежать тільки від n1, n2.
Числові розрахунки було проведено для потенціалу Трелоара (тіло неогуківського типу).
Отже, за результатами досліджень даної роботи можна зробити узагальнюючі висновки,
щодо впливу початкових напружень на закон розподілу контактних характеристик пруж-
них тіл, що взаємодіють.
При постійному зовнішньому навантаженні вплив початкових напружень на напружено-
деформований стан пружного півпростору, в який втискається пружний кільцевий штамп з
початковими напруженнями, полягає в тому, що:
1) початкові напруження у півпросторі призводять у випадку стиску ( 1 1λ < ) до змен-
шення напружень, а у випадку розтягу ( 1 1λ < ) — до їх збільшення;
2) для переміщень — все відбувається навпаки.
При стиску ( 1 1λ < ) початкові напруження у півпросторі призводять до збільшення пе-
реміщень по абсолютній величині, а у випадку розтягу ( 1 1λ < ) — до їх зменшення.
Таким чином, отримані результати з урахуванням попередньо напруженого стану при
контактній взаємодії пружного штампа і пружного півпростору можуть бути використані
для регулювання контактних напружень і переміщень при розрахунках конструкцій на
міцність.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Гузь О.М., Бабич С.Ю., Рудницький В.Б. Контактна взаємодія тіл з початковими напруженнями: Навч.
посібник. Київ: Вища школа, 1995. 304 с.
2. Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Глухов Ю.П. Смешанные задачи для упругого основания с начальными напря-
жениями. Saarbrücken: LAP, 2015. 468 c.
3. Guz A.N., Babich S.Y., Rudnitskii V.B. Contact problems for elastic bodies with initial stresses: Focus on
Ukrainian research. Int. Appl. Mech. Rew. 1998. 51, № 5. P. 343–371. https://doi.org/10.1115/1.3099009
4. Александров В.М., Арутюнян Н.Х. Контактные задачи для преднапряженных деформируемых тел.
Прикл. механика. 1984. 20, № 3. C. 9–16. https://doi.org/10.1007/BF00883134
30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 11
С.Ю. Бабич, Н.О. Ярецька
5. Грилицкий Д.В., Кизыма Я.М. Осесимметричные контактные задачи теории упругости и термоуп-
ругости. Львов: Вища шк., 1981. 136 с.
6. Yaretskaya N.F. Contact Problem for the Rigid Ring Stamp and the Half-Space with Initial (Residual) Stresses.
Int. Appl. Mech. Rew. 2018. 54, № 5. Р. 539—543. https://doi.org/10.1007/s10778-018-0906-y
Надійшло до редакції 30.09.2020
REFERENCES
1. Guz A. N., Babich S. Yu. & Rudnitsky V. B. (1995). Contact Interactoin of Prestressed Bodies. Kyiv: Vyshcha
Shkola (in Ukrainian).
2. Guz, A. N., Babich, S. Yu. & Glukhov, Yu. P. (2015). Mixed Problems for Prestressed Elastic Foundation.
Saarbrücken, Germany: LAP (in Russian).
3. Guz, A. N., Babich, S. Y. & Rudnitskii, V. B. (1998), Contact problems for elastic bodies with initial stresses:
Focus on Ukrainian research. Int. Appl. Mech. Rew., 51, No. 5, pp. 343-371. https://doi.org/10.1115/
1.3099009
4. Aleksandrov, V. M. & Arutyunyan, N. Ky. (1984). Contact problems for prestressed deformed bodies. Soviet
Appl. Mech., 20(3). pp. 209-215. https://doi.org/10.1007/BF00883134
5. Hrylytskyi, D. V. & Kyzyma, Ya. M. (1981). Axisymmetric contact problems in the theory of elasticity and
thermoelasticity. Lviv: Vyshcha Shkola (in Ukrainian).
6. Yaretskaya, N. F. (2018). Contact Problem for the Rigid Ring Stamp and the Half-Space with Initial (Residual)
Stresses. Int. Appl. Mech. Rew., 54, No. 5, pр. 539-543. https://doi.org/10.1007/s10778-018-0906-y
Received 30.09.2020
S.Yu. Babich 1, N.O. Yaretska 2
1 S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
2 Khmelnitsky National University
E-mail: massacran2@ukr.net
CONTACT INTERACTION OF PRESTRESSED
ANNULAR PUNCH AND HALF-SPACE
The article is devoted to the task of contact interaction of the pressure of a pre-stressed cylindrical annular
punch on the half-space with initial (residual) stresses without friction. It is solved for the case of unequal roots
of the characteristic equation. In general, the research was carried out for the theory of great initial (ultimate)
deformations and two variants of the theory of small initial ones within the framework of linearized theory of
elasticity with the elastic potential having any structure. It is assumed that the initial states of the elastic annular
stamp and the elastic half-space remain homogeneous and equal. The study is carried out in the coordinates of
the initial deformed state, which are interrelated with Lagrange coordinates (natural state). In addition, the in-
fluence of the annular stamp causes small perturbations of the basic elastic deformed state. It is assumed that
the elastic annular stamp and the elastic half-space are made of different isotropic, transversal-isotropic or com-
posite materials.
Keywords: linearized elasticity theory, initial (residual) stresses, contact problem, annular punch, half-space.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174241 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:06:35Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бабич, С.Ю. Ярецька, Н.О. 2021-01-10T15:15:34Z 2021-01-10T15:15:34Z 2020 Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору / С.Ю. Бабич, Н.О. Ярецька // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 11. — С. 24-30. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.11.024 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174241 539.3 Стаття присвячена дослідженню контактної взаємодії попередньо напруженого циліндричного кільцевого
 штампа на півпростір з початковими (залишковими) напруженнями без врахування сил тертя. Задачу
 розв'язано у випадку нерівних коренів визначального рівняння. Дослідження представлено в загальному вигляді для теорії великих початкових (кінцевих) деформацій і двох варіантів теорії малих початкових деформацій у рамках лінеаризованої теорії пружності при довільній структурі пружного потенціалу. Припускається, що початкові стани пружного кільцевого штампа та пружного півпростору однорідні та рівні. Дослідження проводиться в координатах початкового деформованого стану, які пов'язані з лагранжевими
 координатами (природного стану). Крім того, вплив кільцевого штампа викликає невеликі збурення відповідних величин основного напружено-деформованого стану. Також передбачається, що пружний кільцевий штамп та пружний півпростір виготовлені з різних ізотропних, трансверсально-ізотропних або композиційних матеріалів. The article is devoted to the task of contact interaction of the pressure of a pre-stressed cylindrical annular
 punch on the half-space with initial (residual) stresses without friction. It is solved for the case of unequal roots
 of the characteristic equation. In general, the research was carried out for the theory of great initial (ultimate)
 deformations and two variants of the theory of small initial ones within the framework of linearized theory of
 elasticity with the elastic potential having any structure. It is assumed that the initial states of the elastic annular
 stamp and the elastic half-space remain homogeneous and equal. The study is carried out in the coordinates of
 the initial deformed state, which are interrelated with Lagrange coordinates (natural state). In addition, the influence
 of the annular stamp causes small perturbations of the basic elastic deformed state. It is assumed that
 the elastic annular stamp and the elastic half-space are made of different isotropic, transversal-isotropic or composite
 materials. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору Contact interaction of prestressed annuar punch and haf-space Article published earlier |
| spellingShingle | Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору Бабич, С.Ю. Ярецька, Н.О. Механіка |
| title | Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору |
| title_alt | Contact interaction of prestressed annuar punch and haf-space |
| title_full | Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору |
| title_fullStr | Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору |
| title_full_unstemmed | Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору |
| title_short | Контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору |
| title_sort | контактна взаємодія попередньо напружених кільцевого штампу і півпростору |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174241 |
| work_keys_str_mv | AT babičsû kontaktnavzaêmodíâpoperednʹonapruženihkílʹcevogoštampuípívprostoru AT ârecʹkano kontaktnavzaêmodíâpoperednʹonapruženihkílʹcevogoštampuípívprostoru AT babičsû contactinteractionofprestressedannuarpunchandhafspace AT ârecʹkano contactinteractionofprestressedannuarpunchandhafspace |