Об условии зарождения трещины Коттрелла
Построено точное решение симметричной задачи линейной теории упругости для плоскости, из точки которой исходят две полубесконечные линии разрыва касательного смещения и линия разрыва нормального смещения конечной длины. На основе этого решения получена формула для длины зоны ослабленных связей в точ...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174255 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об условии зарождения трещины Коттрелла / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Т.В. Полищук // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 36-47. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859643687037829120 |
|---|---|
| author | Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Полищук, Т.В. |
| author_facet | Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Полищук, Т.В. |
| citation_txt | Об условии зарождения трещины Коттрелла / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Т.В. Полищук // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 36-47. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Построено точное решение симметричной задачи линейной теории упругости для плоскости, из точки которой исходят две полубесконечные линии разрыва касательного смещения и линия разрыва нормального смещения конечной длины. На основе этого решения получена формула для длины зоны ослабленных связей в точке пересечения линий микропластического деформирования. Развитие данной зоны предшествует зарождению трещины по механизму Коттрелла.
Визначено довжину дрібномасштабної вузької зони ослаблених зв’язків (зони передруйнування) в точці перетину ліній мікропластичного деформування (ліній ковзання) у пружному тілі. Зона передруйнування моделюється лінією розриву нормального переміщення. Розвиток цієї зони передує зародженню тріщини за механізмом Коттрелла. Установлено умову зародження тріщини. Точний розв’язок відповідної задачі лінійної теорії пружності побудовано методом Вінера – Хопфа.
A length of the small-scale narrow zone of weakened bonds (pre-fracture zone) at the point of intersection of lines of microplastic deformation (slip lines) in the elastic body is determined. The pre-fracture zone is modelled by the line of rupture of normal displacement. A development of this zone precedes the crack nucleation by Cottrell’s mechanism. A condition of crack nucleation is determined. The exact solution of corresponding problem of linear theory of elasticity is constructed by the Wiener – Hopf method.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:25:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 6
36 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 6
А . А . К а м и н с к и й 1 , Л . А . К и п н и с 2 , Т . В . П о л и щ у к 2
ОБ УСЛОВИИ ЗАРОЖДЕНИЯ ТРЕЩИНЫ КОТТРЕЛЛА
1Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; е-mail: fract@inmech.kiev.ua;
2Уманский государственный педагогический университет имени Павла Тычины,
ул. Садовая, 2, 20300, Умань, Украина; е-mail: polischuk_t@ukr.net
Abstract. A length of the small-scale narrow zone of weakened bonds (pre-fracture
zone) at the point of intersection of lines of microplastic deformation (slip lines) in the elas-
tic body is determined. The pre-fracture zone is modelled by the line of rupture of normal
displacement. A development of this zone precedes the crack nucleation by Cottrell’s mech-
anism. A condition of crack nucleation is determined. The exact solution of corresponding
problem of linear theory of elasticity is constructed by the Wiener – Hopf method.
Key words: prefracture zone, crack nucleation, Cottrell’s mechanism, Wiener – Hopf
method.
Введение.
В литературе по механике разрушения опубликовано большое число работ, по-
священных плоским задачам об определении зон предразрушения вблизи концов
трещин и других угловых точек – остроконечных концентраторов напряжений в од-
нородных телах в рамках моделей с линиями разрыва смещения. Основанием для та-
кого моделирования служат классические результаты экспериментальных и теорети-
ческих исследований [2, 5, 7, 12], свидетельствующие о том, что начальные зоны
предразрушения представляют собой тонкие слои материала – узкие полосы, исходя-
щие из остроконечных концентраторов напряжений. В упругопластических задачах
механики разрушения в условиях плоской деформации широкое распространение по-
лучила модель пластической зоны предразрушения с двумя боковыми линиями раз-
рыва касательного смещения (линиями скольжения) [9, 13, 18 – 21]. Эта модель ис-
пользована также при определении начальной пластической зоны вблизи конца тон-
кого жесткого включения [1] и вблизи угловой точки границы тела [4]. В случае упру-
гого тела используется модель Леонова – Панасюка [7], согласно которой вблизи кон-
ца трещины нормального разрыва на ее продолжении возникает и развивается узкая
зона ослабленных связей, моделируемая линией разрыва нормального смещения.
Нормальное напряжение на указанной линии равно заданной постоянной материала
(сопротивлению отрыва).
Остроконечным концентратором напряжений со степенной особенностью являет-
ся точка пересечения линий разрыва касательного смещения (линий скольжения)
(рис. 1). Задачи об определении зон предразрушения вблизи этой точки в рамках упо-
мянутых выше моделей не рассматривались. Решения таких задач могут быть исполь-
зованы при изучении одного из дислокационных механизмов зарождения трещин –
механизма Коттрелла [8].
Существуют экспериментальные данные, свидетельствующие о том, что хрупко-
му разрушению тела предшествует микропластическая деформация – движение и
остановка дислокаций, приводящая к образованию трещин.
37
Согласно механизму Коттрелла, в результате объединения двух дислокаций, дви-
жущихся в пересекающихся плоскостях скольжения, образуется нескользящая дисло-
кация, которая служит препятствием на пути движения других дислокаций и очагом
зарождения трещины. Дислокации, движущиеся в обеих плоскостях скольжения,
останавливаются перед этим препятствием, создавая скопление дислокаций, вызыва-
ющее высокую концентрацию напряжений вблизи препятствия. Вследствие такой
концентрации напряжений происходит разрыв сплошности и образование трещины.
Зарождению трещины в упругом теле по механизму Коттрелла предшествует раз-
витие вблизи точки пересечения линий микропластического деформирования зоны
предразрушения, представляющей собой узкую зону ослабленных связей, исходящую
из этой точки. Появление трещины следует ожидать вдоль зоны ослабленных связей
при некотором значении внешней нагрузки.
Ниже на основе результатов анализа указанной зоны в рамках модели Леонова –
Панасюка установлено условие зарождения трещины Коттрелла.
§1. Постановка задачи.
В условиях плоской деформации в рамках
статической симметричной задачи рассмотрим
однородное изотропное упругое тело, содержа-
щее пересекающиеся линии микропластического
деформирования (рис. 1, где / 2 ). Ли-
нию микропластического деформирования будем
моделировать линией разрыва касательного
смещения, на которой касательное напряжение
равно заданной постоянной материала s , харак-
теризующей микропластическую деформацию
упругого тела ( s – предел текучести на сдвиг).
В силу общих положений о поведении
напряжений вблизи угловых точек упругих тел
[10] точка О представляет собой остроконечный
концентратор напряжений со степенной особен-
ностью. Суммы главных членов разложений
напряжений в асимптотические ряды при 0r
являются решением соответствующей задачи
теории упругости (задача К, рис. 2) для плоско-
сти с полубесконечными линиями разрыва, порождаемым единственным в полосе
1 Re 0 корнем 0 1;0 ее характеристического уравнения
cos 2 cos 2 1 sin 2 1 ( ) 1 sin 2
cos 2 cos 2 1 sin 2 1 1 sin 2 0 .
В частности, имеем
0
0( , ) ( ) cos 2 , ( 0);
sin 2
sr C r С f r r
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
( 2) sin ( ) cos sin( 2)( )cos( 2) (0 ),
( )
( 2) sin( 2) cos( 2)( ) sin cos ( ) ( )
( ( , ) 0f r при 0)r .
Рис. 1
Рис. 2
38
Постоянные С и 0С должны определяться из решения каждой конкретной задачи
теории упругости, показанной на рис. 1.
Некоторые значения 0 приведены в таблице, где значения даны в градусах.
, град 0
100 0,190 4,799 1,599
110 0,335 11,648 3,882
120 0,449 10,616 3,925
130 0,541 8,759 3,105
140 0,619 7,022 2,341
150 0,689 5,502 1,834
160 0,756 4,163 1,387
170 0,831 2,872 0,957
Вследствие высокой концентрации напряжений в точке О пересечения линий
микропластического деформирования возможно образование в этой точке трещины
по механизму Коттрелла.
Образованию трещины предшествует возникновение и развитие из точки О мало-
масштабной узкой зоны ослабленных связей (зоны предразрушения). С ростом внеш-
ней нагрузки ее длина увеличивается. При некотором значении нагрузки вдоль дан-
ной узкой зоны происходит разрыв сплошности и зарождение трещины Коттрелла,
длина которой в значительной степени меньше длины линий микропластического
деформирования и размеров тела.
Преимущественные деформации в
зоне ослабленных связей развиваются по
механизму отрыва. Поэтому будем ее
моделировать линией разрыва нормаль-
ного смещения, на которой нормальное
напряжение равно заданной постоянной
материала 0 – сопротивлению отрыва
(аналог модели Леонова – Панасюка [7]).
Зависимость ( ) качественно пока-
зана на рис. 3.
Если 0С , то принимая во внима-
ние вид этой зависимости и используя
критерий максимальных растягивающих
напряжений [8], заключаем, что зона
ослабленных связей и образующаяся
после ее развития трещина Коттрелла
будут расположены при 0 (рис. 4).
Если 0С , то применяемый крите-
рий указывает на расположение трещи-
ны вдоль линии микропластического
деформирования, что противоречит фи-
зическому смыслу. Ниже предполагает-
ся, что 0С .
В случае плоскости с линиями мик-
ропластического деформирования ко-
нечной длины (рис. 5) соответствующая
задача теории упругости рассмотрена в
[3]. Из решения этой задачи определяем
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
39
0
0( ) sin 2 0; = ;
2 2sC Q L C
2
0 0 0 0
2 2 2
0 0 0 0
sin ( 2) ( 1) ln ( , )
( ) exp ;
( ) ( 3 / 2) ( 1) ( 1)
t t
Q dt
F t t
0 0 0( ) 2 cos 2 cos 2( 1) cos 2( 1)( ) sin 2F
0 0 0+2 ( 1)sin 2( 1) sin 2 cos 2( 1) cos 2
0 0 02( ) ( 1) sin 2( 1)( )sin 2 cos 2( 1)( ) cos 2 ;
0 ( , )
( , ) ,
sh 2
t
t
t
0 ( , ) (ch2 cos 2 ) sh2 ( ) sin 2t t t t
ch 2 ( ) cos 2 (sh2 sin 2 )t t t ( ( )z – гамма-функция).
Ставится задача определения длины l зоны ослабленных связей (рис. 4) и уста-
новления условия, при выполнении которого происходит зарождение трещины Кот-
трелла.
С учетом малости зоны ослабленных связей приходим к
плоской статической симметричной задаче линейной теории
упругости для однородной изотропной плоскости, из точки
которой исходят две полубесконечные прямые линии разрыва
касательного смещения и линия разрыва нормального смеще-
ния конечной длины (рис. 6). При r суммы главных чле-
нов разложений напряжений в асимптотические ряды пред-
ставляют собой решение аналогичной задачи без линии разры-
ва нормального смещения (решение задачи К, о котором указа-
но выше). Произвольные постоянные С и 0С , входящие в ука-
занное решение, предполагаются заданными. Они характери-
зуют интенсивность внешнего поля и должны определяться из
решения каждой конкретной внешней задачи, показанной на рис. 1.
Граничные условия рассматриваемой задачи теории упругости (рис. 6) имеют
следующий вид:
, 0, 0, ;r r su (1.1)
0, 0; , 0, 0;r r u
00, , ; 0, , 0;r l r l u (1.2)
0
0
1
0, , ;
sin 2
sr C Cgr o
r
(1.3)
0 02( 2)sin cos( 1) ( )g (здесь 0 ; a – скачок a ).
Решение сформулированной задачи теории упругости (рис. 6) представляет собой
сумму решений следующих двух задач. Первая (задача 1) отличается от нее тем, что
вместо третьего из условий (1.1) и первого из условий (1.2) имеем
Рис. 6
40
0
0 0, 0; 0, , ,
sin 2
s
r r l C Cgr
(1.4)
а на бесконечности напряжения затухают как 1 /o r (в (1.3) отсутствуют первые три
слагаемых). Вторая задача – задача К. Поскольку решение второй задачи известно,
достаточно построить решение задачи 1.
В современной механике деформируемого твердого тела и ее составной части –
механике разрушения развиты эффективные методы решения соответствующих крае-
вых задач [8, 11, 14 – 17]. В частности, для построения точных решений плоских ста-
тических задач теории упругости о трещинах в телах клиновидной конфигурации во
многих случаях используется метод Винера – Хопфа в сочетании с аппаратом инте-
грального преобразования Меллина [6]. Ниже этот метод применяется для решения
задачи 1.
§2. Вывод и решение уравнения Винера – Хопфа.
Применяя преобразование Меллина
*
0
pm p m r r dr
с комплексным параметром р ( 1 Re 0p , 1 – достаточно малое положительное
число) к уравнениям равновесия, условию совместности деформаций и закону Гука,
получаем следующие выражения для меллиновских трансформант:
*
1 2 3 4sin 1 sin 1 cos 1 cos 1 ;A p A p A p A p
*
1 2
1
[ 1 cos 1 1 cos 1
1r A p p A p p
p
3 41 sin 1 1 sin 1 ];A p p A p p
*
1 2
1
[ 3 sin 1 1 sin 1
1r A p p A p p
p
3 43 cos 1 1 cos 1 ];A p p A p p (2.1)
*
1 2
1
[ cos 1 1 cos 1
1
u
A p p A p p
r E p
3 4sin 1 1 sin 1 ];A p p A p p
*
1 2
1
[ sin 1 1 sin 1
1
ru
A p p A p p
r E p
3 4cos 1 1 cos 1 ];A p p A p p 3 4 .
Здесь ( 1,2,3,4)jA p j – неизвестные функции; E – модуль Юнга; – коэффи-
циент Пуассона; . При 0 имеют место формулы (2.1) с заменой jA
на jB .
С помощью (1.1), первого из условий (1.4) и (2.1) приходим к системе уравнений
1 1 2 2cos 1 1 cos 1A B p p A B p p
41
3 3 4 4sin 1 1 sin 1 0;A B p p A B p p
1 1 2 21 cos 1 1 cos 1A B p p A B p p
3 3 4 41 sin 1 1 sin 1 0;A B p p A B p p (2.2)
1 1 2 2sin 1 sin 1A B p A B p
3 3 4 4cos 1 cos 1 0;A B p A B p
1 2 31 cos 1 1 cos 1 1 sin 1 A p p A p p A p p
4 1 sin 1 0;A p p
1 2 3 4cos 1 cos sin 1 sin 0;A p p A p p A p p A p p
1 2 3 41 cos 1 cos 1 sin 1 sin 0;A p p A p p A p p A p p
1 21 1 0B p B p .
Решение системы (2.2) имеет такой вид:
2 1
1 sin
;
1 sin
p p p
A A
p p p
3 1
cos
;
sin
p
A A
p
4 1
1 sin cos
;
1 sin sin
p p p p
A A
p p p p
1 3 5
1 1 2 1 3 1 4 1
2 4 6
11
; ; ; ;
1
b p b p p b pp
B A B B B A B A
b p p b p b p
1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2b p p p p
sin 2 ( ) sin 2 cos 2 cos 2 ;p p p
2 4 cos sin sin cos sin sin ;b p p p p p p p (2.3)
3 2 cos2 cos2 cos sin sin cosb p p p p p
sin 2 sin 2 cos 2 cos 2p p p
sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 1 ;p p p p
4 4 cos sin sin cos sin sin sin 1 ;b p p p p p p p p
5 2 cos 2 cos 2 cos sin sin cosb p p p p p
42
sin 2 sin 2 cos 2 cos 2p p p
sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 1 ;p p p p
6 4 1 cos sin sin cos sin sin sin 1 .b p p p p p p p p p
Подставляя (2.3) в (2.1), где jA заменено на jB , определяем
* 2
1 2*
1 1
1 20
1
,0 ; ;
N p N pu
p A A
D p r E D p
2 2 2
1 2 cos 2 cos 2 sin sinN p p p p
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 ;p p p p (2.4)
1 2 1 cos sin sin cos sin sin ;D p p p p p p p p
2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2N p p p p
sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 ;p p p
2 1 cos sin sin cos sin sin .D p p p p p p p p
Исключая 1A в (2.4) и принимая во внимание второе из условий (1.2) и второе из
условий (1.4), приходим к следующему функциональному уравнению Винера – Хопфа:
1 2
0
( ) tg ( ) ( );
1 1
s s
p p G p p
p p
1
2
;
G p
G p
G p
1 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2G p p p p p
2 2 22 cos 2 cos 2 sin sin cos ;p p p p (2.5)
2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2G p p p p
cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin ;p p p p
0
1 0 0 2; ;
sin 2
ss C s Cgr
1
2
1 0
0
( ,0) ; .
2 1
p p
r l
uE
p l d p d
r
Здесь 1 2Re ,p 1,2 – достаточно малые положительные числа.
43
Функция p – аналитична в полуплоскости 2Re p , а функция p –
аналитична в полуплоскости 1Re p .
Функция G it t представляет собой действительную положительную
четную функцию t , стремящуюся к единице при t . Следовательно, индекс
функции G p по мнимой оси равен нулю. Поскольку функция G p на мнимой оси
удовлетворяет условию Гёльдера, имеет место факторизация
Re 0 ;
G p
G p p
G p
(Re 0);ln1
exp
2 (Re 0).
i
i
G p pG z
dz
i z p G p p
(2.6)
Функция G p – аналитична, не имеет нулей и стремится к единице при p в
полуплоскости Re 0p , а функция G p – аналитична, не имеет нулей и стремится
к единице при p в полуплоскости Re 0p .
Функцию ctgp p можно факторизовать так:
1
ctg ; .
1 / 2
Г p
p p K p K p K p
Г p
(2.7)
Функция K p – аналитична и не имеет нулей в полуплоскости Re 1 / 2p , а функ-
ция K p – аналитична и не имеет нулей в полуплоскости Re 1 / 2p . Справедли-
вы асимптотики:
~ ; ~K p p K p p ( p ). (2.8)
С помощью факторизаций (2.6), (2.7) уравнение (2.5) представим в виде
1 2
0( 1) ( 1) ( )
K p Ф p s K p s K p p
pG p p p G p p p G p K p G p
(2.9)
( Re 0).p
Имеют место представления:
1 11
1 1
;
1( 1) 1 ( 1) 1
s K p K p K s Ks
pp p G p pG p G p G
2 02
00 0 0
1
1( 1) 1 1
s K p K p Ks
pp p G p pG p G
(2.10)
2 0
0 0 0
1
( 1) 1 1
s K
p G
( Re 0, 0).p p
Подставляя (2.10) в (2.9), получаем:
1
1
1 1
K p p K p Ks
ppG p pG p G
02
0 0 0
1
1 1 1
K p Ks
p pG p G
(2.11)
44
1 2 0
0 0 0
1 1
( ) ( 1) 1 ( 1) 1 1
p s K s K
K p G p p G p G
( Re 0).p
Функция в левой части (2.11) – аналитична в полуплоскости Re 0p , а функция
в правой части (2.11) – аналитична в полуплоскости Re 0p . В силу принципа ана-
литического продолжения эти функции равны одной и той же функции, аналитичес-
кой во всей плоскости p .
Исходя из известных асимптотик
0, 0, ~
2
Ik
r l
r l
;
22 1
0, 0, ~
2
Iu k
r l
r E l r
( Ik – коэффициент интенсивности напряжений в конце линии разрыва нормального
смещения), по теореме абелева типа определяем
~ , ~ ( ).
2 2
I Ik k
p p p
pl pl
(2.12)
Из (2.6), (2.8), (2.12) следует, что функции в левой и правой частях (2.11) стремят-
ся к нулю при p в полуплоскостях Re 0p и Re 0p , соответственно. В силу
теоремы Лиувилля единая аналитическая функция тождественно равна нулю во всей
плоскости p .
Таким образом, решение уравнения Винера – Хопфа (2.5) имеет вид
1
1
1 1
pG p K p Ks
p
pK p pG p G
02
0 0 0
1
1 1 1
K p Ks
p pG p G
( Re 0p ); (2.13)
1 2 0
0 0 0
1 1
1 1 1 1 1
s K s K
p K p G p
p G p G
Re 0p .
§3. Определение длины зоны ослабленных связей и установление условия за-
рождения трещины Коттрелла.
С помощью (2.13) находим асимптотику
( )p
2 01
0 0
1 11
~
1 1 1
s Ks K
G Gp
( p ). (3.1)
Согласно (2.12), (3.1) получаем формулу для коэффициента интенсивности
напряжений в конце линии разрыва нормального смещения:
0 1/2
1 2 0 0( ) ( ) ;
sin 2
s
Ik q Cl q C l
(3.2)
0
1
0 0
2 ( 1)
( ) ;
( 3 / 2) ( 1)
g
q
G
2
2 2
( ) .
1
q
G
45
Длина зоны ослабленных связей определяется из условия ограниченности напря-
жений вблизи конца линии разрыва нормального смещения, т. е. из условия равенства
нулю коэффициента Ik .
Приравнивая к нулю правую часть (3.2), получаем следующую формулу, необхо-
димую для определения длины зоны ослабленных связей:
00
1/1/
0
0 0 0 0
( 1) ( 1)
;
/ sin 2 2 ( 3 / 2) ( 1)s
C g Г G
l
C Г G
. (3.3)
Здесь C – отрицательная возрастающая по модулю функция внешней нагрузки;
0 0C – положительная возрастающая функция внешней нагрузки.
Некоторые значения приведены в таблице.
Формула (3.3) устанавливает закон развития маломасштабной зоны ослабленных
связей (зоны предразрушения) из рассматриваемой угловой точки.
Определим раскрытие зоны ослабленных связей в узловой точке О, равное
2 (0,0).u На основании (2.5) имеем
2
00
4(1 )
2 (0).
l u
dr l
r E
(3.4)
Из (2.13) с учетом (3.3) получим
0
0 0
0
2 (0)
(0) .
( 1) ( 1) sin 2
sG
C
G
(3.5)
Учитывая четность G it t , по формуле Сохоцкого имеем
1/2
2 2 2(0) 2 2 sin 2 2 2 sin 2 4 sin sin sinG
.
Подставляя (3.3), (3.5) в (3.4), получаем
0
0
1/2
1 1/
0 0
1
;
/ sin 2s
C
E C
0
0
8 (0)
.
( 1) ( 1)
G
G
(3.6)
Некоторые значения приведены в таблице.
Разрыв сплошности вдоль зоны ослабленных связей и зарождение маломасштаб-
ной трещины Коттрелла произойдет тогда, когда раскрытие зоны ослабленных свя-
зей в узловой точке О достигнет своего критического значения с , представляющего
собой заданную постоянную материала.
Приравнивая к с правую часть (3.6), приходим к следующему уравнению для
определения разрушающей нагрузки:
0
0
1/2
1 1/
0 0
1
/ sin 2
с
s
C
E C
(3.7)
( – параметр, характеризующий внешнюю нагрузку).
Таким образом, трещина Коттрелла зародится тогда,
когда внешняя нагрузка достигнет своего предельного зна-
чения, являющегося решением уравнения (3.7).
Формула (3.7) представляет собой условие зарождения
трещины Коттрелла.
В случае плоскости с линиями микропластического де-
формирования конечной длины (рис. 7) длина зоны ослаб-
ленных связей и ее раскрытие в узловой точке выражаются
формулами:
Рис. 7
46
01/0
1 0
2 sin 2
;
2 2 / sin 2
m
l L
m
01/2 0
0 0
1 0
1 2 sin 2
2 2 / sin 2 ;
2 2 / sin 2
m
m L
E m
0
0
1/
1/ 0
1 1
0 0
; ; ; .
2
s
Q
Q m
Зависимости относительной длины /l L зоны ослабленных связей и ее относи-
тельного раскрытия 0 2
0/ 1E L в узловой точке от нагрузки 0
0/
для некоторых значений угла показаны на рис. 8 ( 0,01m ). Кривые 1 – 4 и 5 – 8
соответствуют значениям , равным 140, 150, 160 и 170 градусов.
Рис. 8
Полученные результаты свидетельствуют о том, что с ростом нагрузки длина зо-
ны ослабленных связей и ее раскрытие в узловой точке увеличиваются. Чем меньше
острый угол между линиями микропластического деформирования, тем больше ин-
тенсивность напряжений вблизи их точки пересечения (рис. 5), длина зоны ослаблен-
ных связей, ее раскрытие в узловой точке и меньше то значение нагрузки, при дости-
жении которого вдоль зоны ослабленных связей произойдет разрыв сплошности и
зарождение маломасштабной трещины Коттрелла.
Заключение.
Построено точное решение симметричной задачи линейной теории упругости для
плоскости, из точки которой исходят две полубесконечные линии разрыва касатель-
ного смещения и линия разрыва нормального смещения конечной длины. На основе
этого решения получена формула для длины зоны ослабленных связей в точке пере-
сечения линий микропластического деформирования. Развитие данной зоны предше-
ствует зарождению трещины по механизму Коттрелла.
Получено уравнение, служащее для определения нагрузки, при которой происхо-
дит зарождение трещины. Показано, что в случае плоскости с линиями микропласти-
ческого деформирования конечной длины (рис. 7) с уменьшением острого угла между
ними, длина зоны ослабленных связей и ее раскрытие в узловой точке увеличиваются,
а разрушающая нагрузка уменьшается.
Р Е З Ю М Е . Визначено довжину дрібномасштабної вузької зони ослаблених зв’язків (зони пере-
друйнування) в точці перетину ліній мікропластичного деформування (ліній ковзання) у пружному тілі.
Зона передруйнування моделюється лінією розриву нормального переміщення. Розвиток цієї зони пере-
дує зародженню тріщини за механізмом Коттрелла. Установлено умову зародження тріщини. Точний
розв’язок відповідної задачі лінійної теорії пружності побудовано методом Вінера – Хопфа.
47
1. Бережницкий Л.Т., Кундрат Н.М. О пластических полосах у вершины линейного жесткого вклю-
чения // Пробл. прочности. – 1982. – № 11. – С. 66 – 69.
2. Витвицкий П.М., Панасюк В.В., Ярема С.Я. Пластические деформации в окрестности трещин и
критерии разрушения (обзор) // Пробл. прочности. – 1973. – № 2. – С. 3 – 18.
3. Каминский А.А., Быковцев А.С., Кипнис Л.А., Хазин Г.А. Об интенсивности напряжений в концах
сдвиговых трещин, исходящих из точки упругой плоскости // Доп. НАН України. – 2005. – № 1.
– С. 56 – 58.
4. Каминский А.А., Кипнис Л.А., Хазин Г.А. Исследование напряженного состояния вблизи угловой
точки при моделировании начальной пластической зоны линиями скольжения // Прикл. механи-
ка. – 2001. – 37, № 5. – С. 93 – 99.
5. Леонов М.Я., Витвицкий П.М., Ярема С.Я. Полосы пластичности при растяжении пластин с тре-
щиновидным концентратором // Докл. АН СССР. – 1963. – 148, № 3. – С. 541 – 544.
6. Нобл Б. Применение метода Винера – Хопфа для решения дифференциальных уравнений в част-
ных производных. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 279 с.
7. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. – К.: Наук. думка, 1968. – 246 с.
8. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон B.З. Основы механики разрушения материалов. – К.: Наук.
думка, 1988. – 488 с.
9. Панасюк В.В., Саврук М.П. Модель смуг пластичності в пружнопластичних задачах механіки руй-
нування // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 1992. – 28, № 1. – С. 49 – 68.
10. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. – М.: Наука, 1981. – 688 с.
11. Cherepanov G.P. Mechanics of Brittle Fracture. – New York: McGraw-Hill, 1979. – 952 p.
12. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. and Phys. Solids. – 1960. – 8, N 2. –
P. 100 – 104.
13. Evans J.T. Reverse shear on inclined planes at the tip of a sharp crack // J. Mech. and Phys. Solids. –
1979. – 27, N 1. – P. 73 – 88.
14. Guz A.N., Bagno A.M. Effect of Liquid Viscosity on Dispersion of Quasi – Lamb Waves in an Elastic –
Layer – Viscous Liquid Layer System // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 4. – P. 361 – 367.
15. Guz A.N., Dekret V.A. Finite-Fiber Model in the Three-Dimensional Theory of Stability of Composites
(Review) // Int. Appl. Mech. – 2016. – 52, N 1. – P. 1 – 48.
16. Kaloerov S.A., Zan’ko A.I. A Method for Determining the Stress State of Plates with a Curved Hole
// Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 1. – P. 89 – 103.
17. Kaminsky A.A. Selivanov M.F. Modeling Subcritical Crack Growth in a Viscoelastic Body Under Con-
centrated Forces // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 5. – P. 538 – 544.
18. Lo K.K. Modeling of plastic yielding at a crack tip by inclined slip planes // Int. J. Fract. – 1979. – 15,
N 6. – P. 583 – 589.
19. Rice J.R. Limitations to the small scale yielding approximation for crack tip plasticity // J. Mech. and
Phys. Solids. – 1974. – 22, N 1. – P. 17 – 26.
20. Riedel H. Plastic yielding an inclined slip-planes at a crack tip // J. Mech. and Phys. Solids. – 1976. – 24,
N 5. – P. 277 – 289.
21. Vitek V. Yielding on inclined planes at the tip of a crack loaded in uniform tension // J. Mech. and Phys.
Solids. – 1976. – 24, N 5. – P. 263 – 275.
Поступила 12.09.2017 Утверждена в печать 22.05.2018
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/CreateJDFFile false
/Description <<
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
/BGR <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>
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/CZE <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>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/ETI <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>
/FRA <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>
/GRE <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>
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
/HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.)
/HUN <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/LTH <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>
/LVI <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>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/POL <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>
/PTB <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>
/RUM <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>
/RUS <FEFF04180441043f043e043b044c04370443043904420435002004340430043d043d044b04350020043d0430044104420440043e0439043a043800200434043b044f00200441043e043704340430043d0438044f00200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002000410064006f006200650020005000440046002c0020043c0430043a04410438043c0430043b044c043d043e0020043f043e04340445043e0434044f04490438044500200434043b044f00200432044b0441043e043a043e043a0430044704350441044204320435043d043d043e0433043e00200434043e043f0435044704300442043d043e0433043e00200432044b0432043e04340430002e002000200421043e043704340430043d043d044b04350020005000440046002d0434043e043a0443043c0435043d0442044b0020043c043e0436043d043e0020043e0442043a0440044b043204300442044c002004410020043f043e043c043e0449044c044e0020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200431043e043b043504350020043f043e04370434043d043804450020043204350440044104380439002e>
/SKY <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>
/SLV <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/TUR <FEFF005900fc006b00730065006b0020006b0061006c006900740065006c0069002000f6006e002000790061007a006401310072006d00610020006200610073006b013100730131006e006100200065006e0020006900790069002000750079006100620069006c006500630065006b002000410064006f006200650020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020006f006c0075015f007400750072006d0061006b0020006900e70069006e00200062007500200061007900610072006c0061007201310020006b0075006c006c0061006e0131006e002e00200020004f006c0075015f0074007500720075006c0061006e0020005000440046002000620065006c00670065006c0065007200690020004100630072006f006200610074002000760065002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200076006500200073006f006e0072006100730131006e00640061006b00690020007300fc007200fc006d006c00650072006c00650020006100e70131006c006100620069006c00690072002e>
/UKR <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174255 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:25:23Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Полищук, Т.В. 2021-01-10T18:46:28Z 2021-01-10T18:46:28Z 2018 Об условии зарождения трещины Коттрелла / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис, Т.В. Полищук // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 36-47. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174255 Построено точное решение симметричной задачи линейной теории упругости для плоскости, из точки которой исходят две полубесконечные линии разрыва касательного смещения и линия разрыва нормального смещения конечной длины. На основе этого решения получена формула для длины зоны ослабленных связей в точке пересечения линий микропластического деформирования. Развитие данной зоны предшествует зарождению трещины по механизму Коттрелла. Визначено довжину дрібномасштабної вузької зони ослаблених зв’язків (зони передруйнування) в точці перетину ліній мікропластичного деформування (ліній ковзання) у пружному тілі. Зона передруйнування моделюється лінією розриву нормального переміщення. Розвиток цієї зони передує зародженню тріщини за механізмом Коттрелла. Установлено умову зародження тріщини. Точний розв’язок відповідної задачі лінійної теорії пружності побудовано методом Вінера – Хопфа. A length of the small-scale narrow zone of weakened bonds (pre-fracture zone) at the point of intersection of lines of microplastic deformation (slip lines) in the elastic body is determined. The pre-fracture zone is modelled by the line of rupture of normal displacement. A development of this zone precedes the crack nucleation by Cottrell’s mechanism. A condition of crack nucleation is determined. The exact solution of corresponding problem of linear theory of elasticity is constructed by the Wiener – Hopf method. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Об условии зарождения трещины Коттрелла On Condition of Nucleation of Cottrell’s Crack Article published earlier |
| spellingShingle | Об условии зарождения трещины Коттрелла Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Полищук, Т.В. |
| title | Об условии зарождения трещины Коттрелла |
| title_alt | On Condition of Nucleation of Cottrell’s Crack |
| title_full | Об условии зарождения трещины Коттрелла |
| title_fullStr | Об условии зарождения трещины Коттрелла |
| title_full_unstemmed | Об условии зарождения трещины Коттрелла |
| title_short | Об условии зарождения трещины Коттрелла |
| title_sort | об условии зарождения трещины коттрелла |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174255 |
| work_keys_str_mv | AT kaminskiiaa obusloviizaroždeniâtreŝinykottrella AT kipnisla obusloviizaroždeniâtreŝinykottrella AT poliŝuktv obusloviizaroždeniâtreŝinykottrella AT kaminskiiaa onconditionofnucleationofcottrellscrack AT kipnisla onconditionofnucleationofcottrellscrack AT poliŝuktv onconditionofnucleationofcottrellscrack |