Напряженное состояние дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек при действии нормальной нестационарной нагрузки
В работе приведена постановка задач теории колебаний упругих дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек. Оболочка и подкрепляющие элементы рассматриваются в рамках теории оболочек и криволинейных стержней согласно модели Тимошенко в нелинейном квадратичном приближении. Для задач данного класса...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2018
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174259 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Напряженное состояние дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек при действии нормальной нестационарной нагрузки / В.Ф. Мейш, Н.В. Майбородина // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 73-85. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174259 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мейш, В.Ф. Майбородина, Н.В. 2021-01-10T19:00:12Z 2021-01-10T19:00:12Z 2018 Напряженное состояние дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек при действии нормальной нестационарной нагрузки / В.Ф. Мейш, Н.В. Майбородина // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 73-85. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174259 В работе приведена постановка задач теории колебаний упругих дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек. Оболочка и подкрепляющие элементы рассматриваются в рамках теории оболочек и криволинейных стержней согласно модели Тимошенко в нелинейном квадратичном приближении. Для задач данного класса развит эффективный численный алгоритм, который основан на применении конечноразностных схем по пространственным координатам и явной аппроксимации по временной координате. Приведены численные примеры расчетов и проведен их анализ. Представлено постановку задач про вимушені неосесиметричні коливання підкріплених еліпсоїдальних оболонок при нестаціонарних навантаженнях, побудовано чисельний алгоритм і наведено аналіз результатів розв’язування вказаних задач. A statement of problems on the forced non-axisymmetric vibrations of stiffened ellipsoidal shells under nonstationary loads is presented. A numerical algorithm of solving is constructed and the obtained results are analysed. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Напряженное состояние дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек при действии нормальной нестационарной нагрузки Stress State of Discrete Stiffened Ellipsoidal Shells under Action of Normal Non-stationary Load Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Напряженное состояние дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек при действии нормальной нестационарной нагрузки |
| spellingShingle |
Напряженное состояние дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек при действии нормальной нестационарной нагрузки Мейш, В.Ф. Майбородина, Н.В. |
| title_short |
Напряженное состояние дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек при действии нормальной нестационарной нагрузки |
| title_full |
Напряженное состояние дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек при действии нормальной нестационарной нагрузки |
| title_fullStr |
Напряженное состояние дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек при действии нормальной нестационарной нагрузки |
| title_full_unstemmed |
Напряженное состояние дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек при действии нормальной нестационарной нагрузки |
| title_sort |
напряженное состояние дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек при действии нормальной нестационарной нагрузки |
| author |
Мейш, В.Ф. Майбородина, Н.В. |
| author_facet |
Мейш, В.Ф. Майбородина, Н.В. |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Stress State of Discrete Stiffened Ellipsoidal Shells under Action of Normal Non-stationary Load |
| description |
В работе приведена постановка задач теории колебаний упругих дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек. Оболочка и подкрепляющие элементы рассматриваются в рамках теории оболочек и криволинейных стержней согласно модели Тимошенко в нелинейном квадратичном приближении. Для задач данного класса развит эффективный численный алгоритм, который основан на применении конечноразностных схем по пространственным координатам и явной аппроксимации по временной координате. Приведены численные примеры расчетов и проведен их анализ.
Представлено постановку задач про вимушені неосесиметричні коливання підкріплених еліпсоїдальних оболонок при нестаціонарних навантаженнях, побудовано чисельний алгоритм і наведено аналіз результатів розв’язування вказаних задач.
A statement of problems on the forced non-axisymmetric vibrations of stiffened ellipsoidal shells under nonstationary loads is presented. A numerical algorithm of solving is constructed and the obtained results are analysed.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174259 |
| citation_txt |
Напряженное состояние дискретно подкрепленных эллипсоидальных оболочек при действии нормальной нестационарной нагрузки / В.Ф. Мейш, Н.В. Майбородина // Прикладная механика. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 73-85. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT meišvf naprâžennoesostoâniediskretnopodkreplennyhéllipsoidalʹnyhoboločekprideistviinormalʹnoinestacionarnoinagruzki AT maiborodinanv naprâžennoesostoâniediskretnopodkreplennyhéllipsoidalʹnyhoboločekprideistviinormalʹnoinestacionarnoinagruzki AT meišvf stressstateofdiscretestiffenedellipsoidalshellsunderactionofnormalnonstationaryload AT maiborodinanv stressstateofdiscretestiffenedellipsoidalshellsunderactionofnormalnonstationaryload |
| first_indexed |
2025-11-27T07:41:09Z |
| last_indexed |
2025-11-27T07:41:09Z |
| _version_ |
1850806735855419392 |
| fulltext |
2018 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 54, № 6
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2018, 54, № 6 73
В . Ф . М е й ш 1 , Н . В . М а й б о р о д и н а 2
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ДИСКРЕТНО ПОДКРЕПЛЕННЫХ
ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ДЕЙСТВИИ
НОРМАЛЬНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ НАГРУЗКИ
1Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова 3, 03057, Киев, Украина,
е-mail: vfmeish@gmail.com;
2ОП НУБиП Украины «Нежинский агротехнический институт»,
ул. Шевченко 10, 16600, Нежин, Украина.
Abstract. A statement of problems on the forced non-axisymmetric vibrations of stiff-
ened ellipsoidal shells under nonstationary loads is presented. A numerical algorithm of
solving is constructed and the obtained results are analysed.
Key words: supported ellipsoidal shell, geometrically nonlinear theory, numerical
method, nonstationary vibrations.
Введение.
Проблема вынужденных колебаний подкрепленных оболочек достаточно хорошо
изучена. Согласно обзорных работ и монографий, в основном рассмотрены осесим-
метричные и неосесимметричные гармонические колебания подкрепленных оболочек
простой геометрии (цилиндрические, конические и сферические подкрепленные обо-
лочки) [1]. Результаты по вынужденным колебаниям подкрепленных оболочек при
импульсных нагрузках достаточно широко представлены в работе [2]. Практически
отсутствуют работы по изучению динамического поведения подкрепленных оболочек
более сложной формы. В этом направлении можно выделить следующие работы [4, 16
– 18], в которых представлены результаты по вынужденным колебаниям оболочек
более сложной формы, в частности эллипсоидальных подкрепленных оболочек [4,
16]. Следует отметить, что большинство работ по динамике эллипсоидальных оболо-
чек на сегодняшний день выполнено для задач гармонических, свободных колебаний
и устойчивости (случай гладких оболочек) [7 – 15, 19, 20]. Интерес представляют ис-
следования по изучению неосесимметричных колебаний подкрепленных оболочек
более сложной геометрии с учетом дискретного расположения ребер при действии
нестационарных нагрузок.
В данной работе приведены уравнения неосесимметричных колебаний дискретно
подкрепленной эллипсоидальной оболочки. При рассмотрении обшивки и подкрепля-
ющих ребер используется уточненная модель оболочек и стержней, в которой прини-
маются гипотезы Тимошенко [2]. Для вывода уравнений колебаний использован вариа-
ционный принцип Гамильтона – Остроградского. Численный метод решения динамиче-
ских уравнений основан на применении интегро-интерполяционного метода построения
конечно-разностных схем для уравнения с разрывными коэффициентами. В качестве
числового примера рассмотрена задача неосесимметричных колебаний поперечно под-
крепленной эллипсоидальной оболочки при действии распределенной внутренней
нагрузки.
74
§1. Постановка задачи. Рассмотрим неоднородную упругую структуру, которая
представляет собой дискретно подкрепленную поперечными и продольными ребрами
эллипсоидальную оболочку. Каноническое уравнение гладкого эллипсоида вращения
имеет вид:
1
2
2
2
2
2
2
b
z
a
y
a
x
, (1.1)
где величины ,a b – полуоси эллипса.
Параметрические уравнения эллипсоида имеют вид [3]:
21 cossin ax ; 21 sinsin ay ; 1cosbz , (1.2)
где параметры 1 2, – гауссовы криволинейные координаты, причем координата 1
соответствует меридиальному направлению, а 2 – окружному.
С учетом соотношений (1.2), получены выражения для компонент метрики и фор-
мы срединной поверхности оболочки [3], а также коэффициенты первой квадратич-
ной формы и кривизны срединной поверхности эллипсоидальной оболочки в следую-
щем виде:
2 2 2 1/2
1 1 1 2 1(cos sin ) ; sin ;A a k A a abk / ;
(1.3)
2 2 2 3/2
1 1 12
(cos sin ) ;
b
k k
a
2 2 2 1/2
2 1 12
(cos sin )
b
k k
a
.
При построении математической модели процесса динамического деформирова-
ния конструкции используем геометрически нелинейный вариант теории оболочек,
основанной на гипотезах Тимошенко, в основу которого положены следующие пред-
положения: изменение перемещений по толщине оболочки в системе координат
1 2( , , )s s z задается аппроксимацией вида
1 1 2 1 1 2 1 1 2( , , ) ( , ) ( , )zu s s z u s s z s s ; 2 1 2 2 1 2 2 1 2( , , ) ( , ) ( , )zu s s z u s s z s s ;
3 1 2 3 1 2( , , ) ( , ) ,zu s s z u s s ,2 2
h hz , (1.4)
где 1 2( , ,U u u 3 1 2, , )Tu – компоненты обобщенного вектора перемещений сре-
динной поверхности оболочки; 1,s 2s – длины дуг в меридиальном и окружном
направлениях.
При построении математической модели деформирования і -го подкрепляющего
ребра, направленного вдоль оси 1 , исходим из гипотезы недеформируемости попе-
речного сечения подкрепляющего элемента в рамках геометрически нелинейной тео-
рии стержней Тимошенко. Деформированное состояние і -го подкрепляющего ребра
определяется через компоненты обобщенного вектора перемещений 1 2( , ,i i iU u u
3 1 2, , )T
i i iu . При этом используется следующая аппроксимация перемещений по
сечению і -го подкрепляющего ребра
1 1 1 1 11 , , ( ) ( )yz
i iiu s y z u s z s ;
1 2 1 2 12 , , ( ) ( )yz
i iiu s y z u s z s ; 1 3 13 , , ( )yz
iiu s y z u s . (1.5)
Условия контакта между компонентами вектора перемещений центра тяжести по-
перечного сечения і -го ребра, направленного вдоль оси 1 , и компонентами обоб-
щенного вектора перемещения исходной срединной поверхности записываем в виде [2]
75
1 1 1 1 2 1 1 2( ) , ( , )і і cі іu s u s s h s s ;
2 1 2 1 2 2 1 2( ) , ( , );і і c і іu s u s s h s s (1.6)
3 1 3 1 2( ) ,і іu s u s s , 1 1 1 1 2( ) ,і іs s s , 2 1 2 1 2( ) ,і іs s s ,
где 0,5cі іh h h – расстояние от срединной поверхности к линии центра тяжести
поперечного сечения і -го ребра; іh – высота і -го подкрепляющего ребра, направ-
ленного вдоль оси 1 ; 2is – координата линии проектирования центра тяжести попе-
речного сечения і -го ребра на координатную срединную поверхность обшивки.
При построении математической модели деформирования j -го подкрепляющего
ребра, направляемого вдоль оси 2 , исходим из гипотезы недеформируемости попе-
речного сечения подкрепляющего элемента в рамках геометрически нелинейной тео-
рии стержней Тимошенко. Деформированное состояние j -го подкрепляющего ребра
определяем через компоненты обобщенного вектора перемещений jU
1 2 3 1 2( , , , , ) .T
j j j j ju u u При этом используем следующую аппроксимацию переме-
щений по сечению j -го подкрепляющего ребра:
1 2 1 2 1 2, , ( ) ( );xz
j j ju x s z u s z s 2 2 2 2 2 2, , ( ) ( )xz
j j ju x s z u s z s ;
3 2 3 2, , ( )xz
j ju x s z u s . (1.7)
Условия контакта между компонентами вектора перемещений центра тяжести попе-
речного сечения j -го ребра, направленного вдоль оси 2 , и компонентами обобщенного
вектора перемещения исходной срединной поверхности записываем в виде [2]:
1 2 1 1 2 2 1 2( ) , ( , )j j cj ju s u s s h s s ; 2 2 2 1 2 1 1 2( ) , ( , )j j cj ju s u s s h s s ;
(1.8)
3 2 3 1 2( ) ,j ju s u s s ; 1 2 2 1 2( ) ,j js s s ; 2 2 1 1 2( ) ,j js s s ,
где 0,5cj jh h h – расстояние от срединной поверхности к линии центра тяжести
поперечного сечения j -го; jh – высота j -го подкрепляющего ребра, направленного
вдоль оси 2 ; 1 j – координата линии проектирования центра тяжести поперечного
сечения j -го ребра на координатную срединную поверхность обшивки.
В уравнениях (1.6), (1.8) знак «+» соответствует случаю внешнего подкрепления,
а знак «–» соответствует случаю внутреннего подкрепления ребрами.
Для вывода уравнений движения дискретно подкрепленной структуры использу-
ем вариационный принцип Гамильтона – Остроградского [2], согласно которому
2
1
0
t
t
П К A dt (1.9)
1 2
0
1 1
n n
i j
i j
П П П П
;
1 2
0
1 1
n n
i j
i j
K K K K
, (1.10)
где 0П , 0K – потенциальная и кинетическая энергия обшивки; iП , iK – потенциаль-
ная и кинетическая энергия соответствующего i -го подкрепляющего ребра; jП , jK –
76
потенциальная и кинетическая энергия соответствующего j -го подкрепляющего реб-
ра; А – работа внешних сил.
Выражения для K и П имеют такой вид:
1 2
0
1 1
n n
i j
i j
П П П П
;
1 2
0
1 1
;
n n
i j
i j
K K K K
0 11 11 22 22 12 13 13 23 23
S
П T T S T T
11 11 22 22 1 2M M H ds ;
1
11 11 12 12 13 13i i i i i i i
l
П T T T 11 11 12 12 1i i i iM M dl ; (1.11)
2
21 21 22 22 23 23 21 21 22 22 2j j j j j j j j j j j
l
П T T T M M dl ;
3 31 1 2 2
0
S
u uu u u u
K h
t t t t t t
2
1 1 2 2
12
h
dS
t t t t
;
1
1 1 2 2 3 3i i i i i i
i i i
l
u u u u u u
K h
t t t t t t
1 1 1 2 2
1
i i i cri i i
i i
I I
dl
F t t F t t
;
2
1 1 2 2 3 3j j j j j j
j j j
l
u u u u u u
K h
t t t t t t
1 1 2 2 2
2
crj j j j j j
j j
I I
dl
F t t F t t
.
После стандартного выполнения операций варьирования и интегрирования с уче-
том условий контакта обшивка ( i -ое ребро) и обшивка ( j -ое ребро) (1,6), (1.8) и их
интегрального представления [2], функционал (1.11) представим в виде
2
1
2
1
12
( )
t
t S
u
h L U
t
1 2
1
1 2 22
1
( ) ( )
n
i
ii i i i
i
u
F L U
t
2
2
1
1 2 2 12
1
( ) ( )
n
j
jj j j j
j
u
F L U u
t
2
2
22
( )
u
h L U
t
1 2
2
2 2 22
1
( ) ( )
n
i
ii i i i
i
u
F L U
t
2
2
1
2 2 2 22
1
( ) ( )
n
j
jj j j j
j
u
F L U u
t
(1.12)
2
3
32
( )
u
h L U
t
1 2
3
3 2 22
1
( ) ( )
n
i
ii i i i
i
u
F L U
t
2
2
1
3 2 2 32
1
( ) ( )
n
j
jj j j j
j
u
F L U u
t
77
23
1
42
( )
12
h
L U
t
1 2 2
1 1 1
4 2 22 2
1
( ) ( )
n
i i i
ii i i i
i i
u I
F L U
Ft t
2
2 2
1 1
4 1 1 12 2
1
( ) ( )
n
j сrj j
jj j j j
j j
u I
F L U
Ft t
23
2
52
( )
12
h
L U
t
1 2 2
2 2
5 2 22 2
1
( ) ( )
n
i kri i
ii i i i
i i
u I
F L U
Ft t
2
2 2
2 2 2
5 1 1 22 2
1
( ) ( )
n
j j j
jj j j j
j j
u I
F L U dS
Ft t
1
1
11 11 2 2 1
1
( )
n
i i
iГ
T T u
1
2 12 2 2 2
1
( ) ( )
n
i i
i
S k H Т u
1
13 13 2 2 3
1
( )
n
i i
i
T Т u
1
11 11 11 2 2 1
1
( ) ( )
n
i i i i
i
M M h T
1
22 12 2 2 2 1
1
( ) ( )
n
i i i i
i
H M hТ dl
2
2
1 21 1 1 1
1
( )
n
j j
jГ
S k H Т u
2
22 22 1 1 2
1
( )
n
j j
j
T T u
2
23 23 1 1 3
1
( )
n
i j
j
Т T u
2
21 21 1 1 1
1
( ) ( )
n
j j j j
j
H M h Т
2
22 22 22 1 1 2 2
1
( ) ( )
n
j j j j
j
M M h Т dl dt
31 2
1 2 3
S
uu u
h u u u
t t t
2
1
3
1 2
1 212
t
t
h
dS
t t
1
1
1 2 3
1 2 3
1
n
i i i
i i i i i
il
u u u
h u u u
t t t
2
1
1 2
1 1 2 2 2 1( )
t
i i
i i i сri i i
t
I I dl
t t
2
2
1 2 3
1 2 3
1
n
j j j
j j j j j
jl
u u u
h u u u
t t t
2
1
1 2
1 2 2 1 1 2( ) 0
t
j j
j сrj j j j j
t
I I dl
t t
,
78
при этом
13
13 1
13
( ) 0
z
z
z
f z
G
; 23
23 1
23
( ) 0
z
z
z
f z
G
,
где
2
1 2 11 22
1 2 1 1
1
( ) ( )
A
L U A T T
A A
1
1 1 2 1 13
2 2
( ) ( )
A
A S k H S k H k Т
;
2
2 2 2 1
1 2 1 1
1
( ) ( ) ( )
A
L U A S k H S k H
A A
1
1 22 11 2 23
2 2
( )
A
A T T k Т
;
3 2 13 1 13 1 11 2 22
1 2 1 2
1
( ) ( ) ( )L U A Т AТ k T k T
A A
; (1.13)
2
4 2 11 22
1 2 1 1
1
( ) ( )
A
L U A M M
A A
1
1 13
2 2
( )
A
A H H T
;
2
5 2
1 2 1 1
1
( ) ( )
A
L U A H H
A A
1
1 22 11 23
2 2
( )
A
A M M T
;
11
1 1 13
1 1
1
( ) i
ii i i
T
L U k Т
A
; 12
2
1 1
1
( ) i
ii
Т
L U
A
; 13
3 1 11
1 1
1
( ) i
ii i i
Т
L U k T
A
;
(1.14)
11 11
4 13 1 11
1 1 1 1
1 1
( ) i i
ii i i i i
M T
L U T h k T
A A
; 5 12 12
1 1
1
( )ii i i iL U M h Т
A
;
21
1
2 2
1
( ) j
jj
Т
L U
A
; 22
2 2 23
2 2
1
( ) j
jj j j
T
L U k Т
A
; 23
3 2 22
2 2
1
( ) j
jj j j
Т
L U k T
A
;
(1.15)
4 21 21
2 2
1
( )jj j j jL U M h Т
A
; 22 22
5 23 2 23
2 2 2 2
1 1
( ) j j
jj j j j j
M T
L U T h k Т
A A
.
В соотношениях (1.11): 1 1 1l A d ; 2 2 2l A d ; 1Г , 2Г – краевые контуры, кото-
рые ограничивают оболочку и совпадают с координатными линиями.
После стандартных преобразований получаем три группы уравнений.
Уравнения колебаний оболочки в гладкой области:
2
2 1
2 11 22 1 13 1 21 2
2 1 1 1 2
1 1
( ) ( )
A u
A T T k T A T h
A s s A s t
;
2
2 2
2 12 21 2 23 1 22 2
2 1 1 1 2
1 1
( ) ( )
А u
A T Т k T A T h
A s s A s t
;
2
3
2 13 1 11 2 22 3 1 23 2
2 1 1 2
1 1
( ) ( )
u
A T k T k T Р A T h
A s A s t
, (1.16)
23
2 1
2 11 22 13 1 21 2
2 1 1 1 2
1 1
( ) ( )
12
A h
A M M T AМ
A s s A s t
;
79
23
2 2
2 12 21 1 22 23 2
2 1 1 1 2
1 1
( ) ( )
12
А h
A M М AМ T
A s s A s t
.
Уравнения колебания і -го подкрепляющего ребра, направленного вдоль оси 1 :
2 2
11 1 1
1 13 2 2
1
і
і і i i i ci
Т u
k Т S F h
s t t
;
2 2
12 2 2
22 2 2
1
i
i i i ci
T u
T F h
s t t
;
2
13 3
1 11 23 2
1
i
i i i i i
Т u
k T T F
s t
; (1.17)
2 2
11 11 121 1
13 1 13 2 2
1 1
i i i
i ci i i i i ci cii
i
M T Iu
T h k T H F h h
s s Ft t
;
2 2
12 12 22 2
22 2 2
1 1
i i cr i
ci i i ci cii
i
M T Iu
h M F h h
s s Ft t
.
Уравнения колебания j-го подкрепляющего ребра, направленного вдоль оси 2 :
2 2
21 1 1
11 2 2
2
j
j j cjj
uT
T F h
s t t
;
2 2
22 2 2
232 2 2
2
j
jj j j cjj
T u
k T S F h
s t t
;
2
23 3
2 22 13 2
2
j
j j j jj
uT
k T T F
s t
;
2 2
2121 21 1
11 2 2
2 2
jj crj
cj j j cj cjj
j
M IuT
h M F h h
s s Ft t
; (1.18)
22 22
23 2 23
2 2
j j
j cj j j j
M T
T h k T H
s s
2 2
222 2
2 2
j
j j cj cj
j
Iu
F h h
Ft t
.
Обозначения величин и соответствующие выражения усилий – моментов для
гладкой оболочки и подкрепляющих ребер введены согласно [2].
Выражения усилий – моментов для гладкой оболочки имеют вид:
11 11 11 12 22T B B ; 22 21 11 22 22T B B ; 12 2T S k H ; 21 1T S k H ;
13 13 13T B ; 23 23 23T B ; 13 13 11 1 2T Т Т S ; 23 23 22 2 1T Т Т S ;
12sS B ; 11 11 11 12 22M D D ; 22 21 11 22 22M D D ; (1.19)
12 21М М H ; 12sH D .
Выражения усилий – моментов для подкрепляющих элементов имеют вид:
– для і -го ребра
11 11і і і іТ E F ; 12 12 ;i i i iT G F 2
13 13 ;іi i i iT k G F
11 1 11 ;i i i iM E I 12 12i i сri iM G I ;
(1.20)
– для j -го ребра
21 21j j j jТ G F ; 22 22j j j jТ E F ; 2
23 23j j j j jТ G F k ;
80
21 21j j crj jM G I ; 22 2 22j j j jM E I . (1.21)
Выражения для величин деформаций в квадратичном приближении для оболочки
записываем в виде [2]
21
11 1 3 1
1
1
2
u
k u
s
; 22 2
22 1 2 3 2
2 2 1
1 1
2
u A
u k u
s A s
;
12 1 2 ; 13 1 1 ; 23 2 2 ;
1 2 ; 2
1
1
u
s
; 1 2
2 2
2 2 1
1u А
u
s А s
; (1.22)
3
1 1 1
1
u
k u
s
; 3
2 2 2
2
u
k u
s
; 1
11
1s
; 2 2
22 1
2 2 1
1 A
s A s
;
12 1 2 1 1 2 2к к ; 2
1
1s
; 1 2
2 2
2 2 1
1 А
s А s
.
Деформационные соотношения для величин і -го ребра имеют следующий вид:
2 21 1
11 1 3 1 2
1 1
1 1
2 2i ci i j j
u
h k u
s s
; 12 2i i ; 13 1 1i i ;
(1.23)
3
1 1 1 1
1
;i i ci
u
k u h
s
2 2
2
1 1
;i ci
u
h
s s
1
11
1
;i s
2
12
1
i s
.
Выражения для величин деформаций в квадратичном приближении для подкреп-
ляющих поперечных ребер записываются в виде:
2 22 2
22 2 3 1 2
2 2
1 1
2 2j cj j j j
u
h k u
s s
; 21 2j j ; 23 2 1j j ;
(1.24)
3
1 2 2 2
2
j j cj
u
k u h
s
; 1
2
2 2
cj
u
h
s s
; 1
21
2
j s
; 2
22
2
j s
.
Уравнения колебаний (1.16) – (1.24) дополняются соответствующими естествен-
ными граничными и начальными условиями, которые вытекают из представления
функционала (1.12).
§2. Численный алгоритм.
Уравнения (1.16) – (1.24) представляют собой систему нелинейных дифференци-
альных уравнений в частных производных по переменным 1 2, ,s s t при наличии про-
странственных разрывов по координатах 1s и 2s . Пространственными разрывами
являются линии проектирования центров тяжести поперечного сечения продольного и
поперечного ребер на срединную поверхность эллипсоидальной оболочки. Исходя из
этого фактора, численный алгоритм решения исходной задачи строится следующим
образом: ищется решение в гладкой области эллипсоидальной оболочки (1.16) и на
линиях пространственных разрывов (1.17), (1.18) [2]. Соответственно записываются и
интегрируются уравнения в гладкой области и на линиях разрывов. Разностный алго-
ритм основан на применении интегро-интерполяционного метода построения разно-
стных схем по пространственным координатам и явной конечно-разностной аппрок-
симации по временной координате [2, 6]. При этом компоненты обобщенного вектора
перемещений аппроксимируются в целых точках разностной сетки, а компоненты
81
величин деформаций и усилий в полуцелых точках сетки. Такой подход позволяет
сохранить дивергентную форму разностного представления дифференциальных урав-
нений, а также и выполнение закона сохранения полной механической энергии на
разностном уровне [5]. Переход от непрерывной системы к конечно-разностной вы-
полняется в два этапа. Первый этап состоит в конечно-разностной аппроксимации
дивергентных уравнений колебаний в усилиях – моментах.
Выполняя операцию интегрирования уравнений (1.16), с использованием явной
аппроксимации по временной координате, получаем следующие разностные уравне-
ния в гладкой области эллипсоидальной оболочки:
2 1/2 11 1/2, 2 1/2 11 1/2, 2 1/2 2 1/2
22 ,
2 1 2 1
1 1
n n
l l m l l m l l n
l m
l l
A T A T A A
T
A s A s
1 21 , 1/2 1 21 , 1/2
1 13 , 1 ,
1 2
1
( )
n n
l l m l l m n n
l l m l m tt
l
A T A T
k T h u
A s
; (2.1)
2 1/2 12 1/2, 2 1/2 12 1/2, 2 1/2 2 1/2
21 ,
2 1 2 1
1 1
n n
l l m l l m l l n
l m
l l
A T A T A A
T
A s A s
1 22 , 1/2 1 22 , 1/2
2 23 , 2 ,
1 2
1
( )
n n
l l m l l m n n
l l m l m tt
l
A T A T
k T h u
A s
;
2 1/2 13 1/2, 2 1/2 13 1/2,
1 11 ,
2 1
1
n n
l l m l l m n
l l m
l
A T A T
k T
A s
1 23 , 1/2 1 23 , 1/2
2 22 , 3 , 3 ,
1 2
1
( )
n n
l l m l l m n n n
l l m l m l m tt
l
A T A T
k T P h u
A s
;
2 1/2 11 1/2, 2 1/2 11 1/2, 2 1/2 2 1/2
22 ,
2 1 2 1
1 1
n n
l l m l l m l l n
l m
l l
A M A M A A
M
A s A s
3
1 21 , 1/2 1 21 , 1/2
13 , 1 ,
1 2
1
( )
12
n n
l l m l l m n n
l m l m tt
l
A M A M h
T
A s
;
2 1/2 12 1/2, 2 1/2 12 1/2, 2 1/2 2 1/2
21 ,
2 1 2 1
1 1
n n
l l m l l m l l n
l m
l l
A M A M A A
M
A s A s
3
1 22 , 1/2 1 22 , 1/2
23 , 2 ,
1 2
1
( )
12
n n
l l m l l m n n
l m l m tt
l
A M A M h
T
A s
.
В разностных уравнениях (2.1) компоненты обобщенного вектора перемещений
срединной поверхности гладкой эллипсоидальной оболочки 1 2 3 1 2, , , ,
Т
U u u u
82
отнесены к целым узлам разностной сетки , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 ,, , , ,
Т
l m l m l m l m l m l mU u u u по
пространственным координатам.
Выполняя операцию интегрирования уравнений (1.17), с использованием явной
аппроксимации по временной координате, получаем следующие разностные уравне-
ния для і -го подкрепляющего ребра:
11 1/2 11 1/2
1 13 1 1
1
n n
il i l n n n n
il i l i i i l ci l
t t t t
T T
k T S F u h
s
;
12 1/2 12 1/2
22 2 2
1
;
n n
i l i l n n n
i i i l ci l
t t t t
T T
T F u h
s
13 1/2 13 1/2
1 11 23 3
1
;
n n
il i l n n n
i l i l i i i l
t t
T T
k T T F u
s
11 1/2 21 1/2 11 1/2 11 1/2
13 1 13
1 1
n n n n
i l i l i l i ln n n
i l ci i l i l i
M M T T
T h k T H
s s
2 1
1 1 ;n ni
i i ci l ci l
t t t t
i
I
F h u h
F
(2.2)
12 1/2 12 1/2 12 1/2 12 1/2
22
1 1
[ ]
n n n n
i l i l nik ik
ci i
M M Т Т
h M
s s
2
2 2 .n nсri
i i ci l ci lt t t t
i
I
F h u h
F
В разностных уравнениях (2.2) компоненты обобщенного вектора перемещений
центров масс поперечных сечений і -го ребра 1 2 3 1 2( , , , , )T
i i i i i iU u u u отнесены к
целым узлам разностной сетки по пространственным координатам.
Выполняя операцию интегрирования уравнений (1.17), с использованием явной
аппроксимации по временной координате, получаем следующие разностные уравне-
ния для j -го подкрепляющего ребра:
21 1/2 21 1/2
11 1 1
2
n n
nj m j m n n
j j m ci mj t t t t
T T
T F u h
s
;
22 1/2 22 1/2
2 23
2
n n
j m j m n n
j m j m j
T T
k T S
s
2 2 ;n n
j j m ci m
t t t t
F u h
23 1/2 23 1/2
2 22 13 3
2
;
n n
j m j m n n n
j m j m j j j m
t t
T T
k T T F u
s
(2.3)
21 1/2 21 1/2 21 1/2 21 1/2
11
2 2
n n n n
j m j m j m j m n
cj j
M M T T
h M
s s
2
1 1 ;
crjn n
j j cj m cj m
t t t t
j
I
F h u h
F
83
22 1/2 22 1/2 22 1/2 22 1/2
23 2 23
2 2
n n n n
j m j m j m j mn n n
j m cj j m j m j
M M T T
T h k T H
s s
22
2 2 .
jn n
j j cj m cj m
t t t t
j
I
F h u h
F
Аналогично случаю гладкой эллипсоидальной оболочки, в разностных уравнени-
ях (2.2) компоненты обобщенного вектора перемещений центров масс поперечных
сечений j -го ребра 1 2 3 1 2( , , , , )T
j j j j j jU u u u отнесены к целым узлам разностной
сетки по пространственным координатам.
Второй этап аппроксимации уравнений состоит в конечно-разностных аппрокси-
мациях величин усилий – моментов и соответствующих деформаций, чтобы выпол-
нялся конечно-разностный аналог энергетического уравнения [5].
При исследовании вопросов устойчивости линеаризованных разностных уравне-
ний используются необходимые условия устойчивости, согласно которому 2 /t ,
где 0max , ,і j – максимальные частоты собственных колебаний дискретно-
разностной системы соответственно обшивки, і -го и j-го подкрепляющего элемента.
§3. Числовой пример.
В качестве числового примера рассматривалась задача вынужденных колебаний
эллипсоидальной оболочки подкрепленной продольно-поперечным набором ребер с
жестко защемленными краями в области 10 1 1 20 2 2,N ND при
действии распределенной нормальной нагрузки 3 1 2, ,P t . Краевые условия при
этом имеют следующий вид: 10 2 1 2, , 0NU U , 1 20 1 2, , 0NU U .
Начальные условия для всех компонент обобщенного вектора перемещений нулевые
при 0t , т.е.
1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 1 2 2 1 2, , , , , 0u u u ;
1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 1 2 2 1 2, , , , ,
0
u u u
t t t t t
.
Распределенная нормальная нагрузка 3 1 2, ,P t имеет вид
3 1 2, , sin ( ) ( )
t
P t A t t T
T
,
где A – амплитуда нагрузки; T – длительность нагрузки. В расчетах полагалось
610A Па; 650 10T с.
Задача рассмотрена при следующих геометрических и физико-механических па-
раметрах исходной конструкции (случай изотропной оболочки):
10 /12 ; 1 ( /12)N ; 20 / 2 ; 2 / 2N ; / 30а h ; 1,5k ;
107 10E Па; 0,33 ; 32,7 10 кг/м3.
Геометрические и физико-механические параметры поперечно подкрепляющего
элемента: 4jh h ; 24jF h ; jЕ Е ; 12jG G ; .j
Продольно подкрепляющий элемент располагался вдоль координаты 1 в сечении
2 0 . Геометрические и физико-механические параметры подкрепляющего элемен-
та: 4іh h ; 24іF h ; іE E ; 12іG G ; і .
Поперечно подкрепляющий элемент располагался вдоль по координате 2 в се-
чении 1 / 2 .
84
На рис. 1 – 3 приведены результаты
расчетов. Расчеты проводились на вре-
менном интервале 20t T . На рисунках
приведены наиболее характерные кривые
для величин 3u , которые позволяют про-
водить анализ деформированного состоя-
ния исследуемой структуры. Рис. 1 – 3
соответствует зависимости величины 3u
от пространственной координаты 2 в
сечении 1 / 4 (в силу симметрии
приводятся зависимости по координате
2 в диапазоне 20 / 2 ).
Рис. 1 соответствует случаю продоль-
но подкрепляющего элемента вдоль коор-
динаты 1 в сечении 2 0 в моменты
времени 1 5t T , 2 11t T и 3 19t T . Анализ полученных данных показал, что
4
3
0 20
max 1, 48 10
t T
u
м (в момент времени 19t T ).
Рис. 2 соответствует случаю поперечно подкрепляющего элемента вдоль коорди-
наты 2 в сечении 1 / 2 в моменты времени 1 5t T , 2 11t T и 3 19t T . Анализ
полученных данных показал, что 4
3
0 20
max 1,38 10
t T
u
м (в момент времени 5t T ).
Рис. 3 соответствует случаю продольно-поперечно подкрепляющего элемента вдоль
координаты 2 в сечении 1 / 2 в момент времени 1 5t T , 2 11t T и 3 19t T .
Анализ полученных данных показал, что 4
3
0 20
max 1, 26 10
t T
u
м (в момент времени 5t T ).
Для случая оболочки с продольно-поперечным набором ребер величина макси-
мального прогиба на 10% меньше по сравнению со случаем поперечно подкреплен-
ной оболочки и на 17% меньше по сравнению со случаем продольно подкрепленной
оболочки.
Как следует из приведенного графического материала, можно визуально опреде-
лить месторасположения подкрепляющих ребер.
Заключение.
В работе приведена постановка задач теории колебаний упругих дискретно под-
крепленных эллипсоидальных оболочек. Оболочка и подкрепляющие элементы рас-
сматриваются в рамках теории оболочек и криволинейных стержней согласно модели
Тимошенко в нелинейном квадратичном приближении. Для задач данного класса раз-
Рис. 1
Рис. 3
Рис. 2
85
вит эффективный численный алгоритм, который основан на применении конечнораз-
ностных схем по пространственным координатам и явной аппроксимации по времен-
ной координате. Приведены численные примеры расчетов и проведен их анализ.
Р Е З Ю М Е . Представлено постановку задач про вимушені неосесиметричні коливання
підкріплених еліпсоїдальних оболонок при нестаціонарних навантаженнях, побудовано чисельний
алгоритм і наведено аналіз результатів розв’язування вказаних задач.
1. Амиро И.Я., Заруцкий В.А. Учет дискретного размещения ребер при изучении напряженно–
деформированного состояния, колебаний и устойчивости ребристых оболочек (обзор) // Прикл.
механика. – 1998. – 34, № 4. – С. 3 – 22.
2. Головко К.Г., Луговой П.З., Мейш В.Ф. Динамика неоднородных оболочек при нестационарных
нагрузках / Под ред. акад. НАН Украины А.Н. Гузя. – К.: Изд. – полиграф. центр «Киевский ун-
т», 2012. – 541 с.
3. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А. Устойчивость нелинейных механических систем. – Львов:
Вища школа, 1982. – 255 с.
4. Мейш В.Ф. К численному решении задач динамики подкрепленных эллипсоидальных оболочек
при нестационарных нагрузках // Прикл. механика. – 2005. – 41. – № 4. – С. 53 – 60.
5. Навал И.К., Пацюк В.И., Римский В.К. Нестационарные волны в деформируемых средах. – Киши-
нев: Штиница, 1986. – 236 с.
6. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656 с.
7. Abramovich H. Stability and Vibrations of Thin – Walled Composite Structures. – Woodhead Publishing,
2017. – 770 p.
8. Guadong C. The Uniformly Valid Asymptotic Solution of Ellipsoidal Shell Heads in Pressure Vessels
// ASME J. Pressure Vessel Technol. – 1985. – 107(1). – P. 92 – 95.
9. Kang J-H. Vibrations of hemi – ellipsoidal shells of revolution with eccentricity from a three – dimen-
sional theory // J. of Vibration and Control. – 2015. – 2(12). – P. 285 – 299.
10. Kang J-H., Leissa A.W. Vibration analysis of solid ellipsoids and hollow ellipsoidal shells of revolution with
variable thickness from a three – dimensional theory // Acta Mechanica. – 2008. – 197. – P. 97 – 117.
11. Karpov V.V. Models of the shells having ribs, reinforcement plates and cutouts // Int. J. of Solids and
Structures. – 2018. – 146. – P. 117 – 135.
12. Khalifa M. Effects of non – uniform Winkler foundation and non – homogeneity of the free vibration of
an orthotropic elliptical cylindrical shell // European J. of Mechanics – A/Solids. – 2015. – 49. – P. 570
– 581.
13. Krivoshapko S.N. Research of General and Ellipsoidal Shells Used as Domes, Pressure Vessels and
Tanks // Appl. Mech. Rev. – 2007. – 60(6). – P. 336 – 355.
14. Logan D.L., Hourani M. Membrane Theory for Layered Ellipsoidal Shells // ASME J. Pressure Vessel
Technol. – 1983. – 105(4). – P. 356 – 362.
15. Lugovoi P.Z., Meish V.F. Dynamics of Inhomogeneous Shell Systems under Non – Stationary Loading
(Survey) // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 5. – P. 481 – 537.
16. Maiborodina N.V., Meish V.F. Forced Vibrations of Ellipsoidal Shells Reinforced with Ribs under a
Nonstationary Distributed Load) // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 6. – P. 693 – 701.
17. Meish V.F., Meish Yu.A, Pavlyuk A.V. Dynamics of a Three – Layer Elliptic Cylindrical Shells Rein-
forced with Discrete Rings // Int. Appl. Mech. – 2018. – 54, N 2. – P. 172 – 179.
18. Meish V.F., Pavlyuk A.V. Nonstationary Vibrations of Elliptic Cylindrical Sandwich Shells Reinforced
with Discrete Stringers // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 1. – P. 67 – 75.
19. Tornabene E., Fantuzzi N., Bacciocchi M., Dimitri R. Free vibrations of composite oval and elliptic cylinders
by the generalized differential quadrature method // Thin – Walled Structures. – 2015. – 97. – P. 114 – 129.
20. Yamada G., Irie T., Notoya S. Natural frequencies of elliptical cylindrical shells // J. of Sound and Vibra-
tion. – 1985. – 101, N 1. – P. 133 – 139.
Поступила 24.04.2017 Утверждена в печать 22.05.2018
|