Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі
Описано та прокоментовано нетипову еволюцію поодинокої циліндричної хвилі, яка поширюється в неліній но пружному середовищі і має початковий профіль у вигляді функції Макдональда. Для аналізу використано наближений метод обмеження на градієнт деформації і враховано три перші наближення. При цьому...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2020 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174270 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі / Я.Я. Рущицький, В.М. Юрчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 12. — С. 28-37. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859606479298887680 |
|---|---|
| author | Рущицький, Я.Я. Юрчук, В.М. |
| author_facet | Рущицький, Я.Я. Юрчук, В.М. |
| citation_txt | Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі / Я.Я. Рущицький, В.М. Юрчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 12. — С. 28-37. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Описано та прокоментовано нетипову еволюцію поодинокої циліндричної хвилі, яка поширюється в
неліній но пружному середовищі і має початковий профіль у вигляді функції Макдональда. Для аналізу
використано наближений метод обмеження на градієнт деформації і враховано три перші наближення.
При цьому показано та прокоментовано два приклади типової еволюції хвилі — гармонічної і дзвіноподібної
хвиль, де враховано теж перші три наближення. Проведене числове моделювання показало, що нетиповий
початковий профіль (профіль без звичного горба) еволюціонує нетипово — профіль стає значно більш крутим, залишаючись опуклим вниз, і підошва профіля зменшується майже вдвічі.
The atypical evolution of a solitary cylindrical wave that propagates in the nonlinear elastic medium and has
the initial profile in the form of the Macdonald function is described and commented. In the analysis, the
approximate method of restriction on the gradient of a deformation is used, and three first approximations are
taken into account. Two examples of typical wave evolution — harmoniс and bell-shaped waves — are shown
and commented, where the first three approximations are also taken into account. The numerical modeling
showed that the atypical initial profile (profile without a hump) evolves atypically — the profile becomes
essentially steeper, saving the concavity, and the wave bottom decreases almost two times.
|
| first_indexed | 2025-11-28T04:03:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
28
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 12: 28—37
Ц и т у в а н н я: Рущицький Я.Я., Юрчук В.М. Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в не-
лінійно пружному середовищі. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 12. С. 28—37. https://doi.org/10.15407/
dopovidi2020.12.028
Поодинокі хвилі (solitary wave) означаються як такі, що мають профіль, який описуєть ся
функцією, заданою на скінченному відрізку, або функцією скінченної ваги. Типовим прикла-
дом поодинокої хвилі є хвиля з профілем у вигляді функції Гаусса (дзвіноподібна чи горбо-
подібна хвиля, яка є функцією скінченої ваги). До класу цих хвиль відносяться со літони
(solitons), які мають теж профілі у вигляді горба, але є точними розв’язками пев них нелі-
нійних рівнянь. До прикладу, найпростіша поодинока хвиля може описуватись класичним
розв’язком Д’Алямбера u x t f x ct( , ) ( )= − лінійного хвильового рівняння tt xxu c u2
, , 0− = і
солітон u x t x t( , ) sech[ 12 ( ( 3) )]= α α β − α є точним розв’язком рівняння Кортевега-де
Вріза t x xxxu uu u, , , 0+ +β = . Суттєва відмінність між поодинокими хвилями і солітонами
полягає у тому, що поодинокі хвилі взаємодіють між собою, а солітони — ні.
До вивчення еволюції хвилі застосовується одна з найбільш розвинених моделей не-
лінійної теорії пружності — п’ятиконстантна модель Мурнагана [1]. Найпростіший варіант
нелінійного хвильового рівняння в рамках цієї моделі включає лише квадратичну нелі ній-
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.12.028
УДК 539.3
Я.Я. Рущицький, В.М. Юрчук
Інститут механіки НАН України ім. С.П.Тимошенка, Київ
E-mail: rushch@inmech.kiev.ua
Нетипова еволюція поодинокої хвилі,
що поширюється в нелінійно пружному середовищі
Представлено членом-кореспондентом НАН України Я.Я. Рушицьким
Описано та прокоментовано нетипову еволюцію поодинокої циліндричної хвилі, яка поширюється в
нелі ній но пружному середовищі і має початковий профіль у вигляді функції Макдональда. Для аналізу
використа но наближений метод обмеження на градієнт деформації і враховано три перші наближення.
При цьому показано та прокоментовано два приклади типової еволюції хвилі — гармонічної і дзвіноподібної
хвиль, де враховано теж перші три наближення. Проведене числове моделювання показало, що нетиповий
почат ковий профіль (профіль без звичного горба) еволюціонує нетипово — профіль стає значно більш кру-
тим, залишаючись опуклим вниз, і підошва профіля зменшується майже вдвічі.
Ключові слова: поодинока нелінійно пружна хвиля, еволюція початкового профіля хвилі, функція Мак-
дональда, метод обмеження на градієнт деформації, три перші наближення.
МЕХАНІКА
29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 12
Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі
ність. Таке рівняння досліджене досить докладно для випадку плоских хвиль [2—4]. Саме
плоскі хвилі при поширенні виявляють типову еволюцію початкового профіля.
2. Два приклади типової еволюції початкового профіля хвилі — гармонічний та дзвіно-
подібний профілі. Розглянемо поширення плоскої поздовжно поляризованої хвилі за умо-
ви, що лише ця хвиля початково збуджується і рухається в напрямку осі абсцис у вигляді
хвилі зміщення u x t1 1( , ) . Тоді вона описується квадратично нелінійним хвильовим рів-
нянням [2—4]
tt tt Lu u N u u u c u N u u2
1, 1, 11 1 1, 11 1, 1 1, 1, 11 1 1, 11 1, 1( 2 ) ( ) ( )ρ − λ + μ = → − = ρ , (1)
де ρ — густина; A B C, , , ,λ μ — пружні сталі моделі Мурнагана і Lc ( 2 )= λ + μ ρ — швид-
кість хвилі в лінійному наближенні; N A B C1 [3( 2 ) 2( 3 )]= λ + μ + + + .
Приклад 1. Гармонічний профіль. Початковий профіль хвилі визначається формулою
Lou x t k xu1 1 11( , 0) cos= = ( 1ou — початкова амплітуда хвилі, Lk — хвильове число). Тоді від-
повідна хвиля у лінійній теорії має вигляд
1 1 11( , ) cos( )Lou x t k x tu= −ω (ω — частота хвилі). (2)
Класичний підхід до аналізу хвилі з початковим профілем (2) в рамках опису рівнян-
ням (1) полягає у застосуванні методу послідовних наближень. Нульове наближення є
розв’язком лінійного хвильового рівняння, яке відповідає (1) і він збігається з (2). Перше
наближення знаходиться як розв’язок неоднорідного лінійного хвильового рівняння
Ltt с Nu u u u(1) (1) (0) (0)
11, 1, 11 1,11 1, 1
2( ) ( )ρ− = і складається з суми двох перших гармонік
u x t u x t x tu(0 1) (0)
1 1 11 1
(1)
1( , ) ( , ) ( , )+ = + =
L L Lo o
N
k x t k x tu x u k21
1 1
2
1 1 1( )
8( 2 )
cos( ) cos2( )
⎡ ⎤
= −ω −ω⎢ ⎥λ + μ⎣ ⎦
+ . (3)
Розв’язок (3) зручно представити у коротшому вигляді
o ou x t u u Mx(0 1)
1 1 11 ( , ) cos cos2+ = σ+ σ ,
L
o L o o
L L
N k
M u k N u N u
с с
2 2
21
1 1 1 1 12 4
1 1
( )
8( 2 ) 8 8
ω
= = =
λ + μ ρ ρ
, Lk x t1σ = −ω . (4)
Друге наближення знаходиться як розв’язок неоднорідного лінійного хвильового рів-
няння
Lttu c u N u u(2) (2) (1) (1)2
11, 1, 11 1, 11 1, 1( ) ( )− = ρ і складається з суми першої, другої і четвертої гар-
монік [2—4]
+ + = + + = σ+ σ+
⎡ ⎤⎛ ⎞
+ − + σ+ − + σ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(0 1 2) (0) (1) (2)
1 1 1 1 1 1 12 1 1 1
3 3
1 1 2 2
1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) cos cos2
8 5 4 11
( ) ( ) sin4 cos4 .
3 2 3 8( ) ( )
o o L
o L
L L
u x t u x t u x t u x t u u M x
u M x
k x k x
(5)
30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 12
Я.Я. Рущицький, В.М. Юрчук
На рис. 1 показана залежність амплітуди хвилі від часу і відстані поширення хвилі —
три стадії еволюції хвилі, отримані при числовому моделюванні за формулами (4) та (5)
для гранульованого композитного матеріалу “гранули — вольфрам, матриця — алюміній”.
Рис. 1, а відповідає початковій стадії хвильового руху для всіх трьох наближень, рис. 1, б —
більш тривалому руху хвилі (приблизно 10 довжин хвилі) і першому наближенню (верхня
лінія для додатних значень амплітуди), першому + другому (нижня лінія для додатних
значень амплітуди), і першому + другому + третьому (середня лінія для додатних значень
амплітуди. Рис. 1, в відповідає вдвічі більшій тривалості руху хвилі (приблизно 20 довжин
хвилі) і першому наближенню (середня лінія для додатних значень амплітуди), першому +
другому (верхня лінія для додатних значень амплітуди) і першому + другому + третьому
(нижня лінія для додатних значень амплітуди). Рис. 1, г показує тривимірне зображення
еволюції в координатах “час поширення — відстань поширення — зміщення”.
Рис. 1 ілюструє також ряд нелінійних хвильових ефектів. Відзначимо тут два ефекти,
які свідчать про типовість еволюції. Перший ефект полягає у тому, що хвиля з періодич-
ною системою горбів на кожному періоді перетворює в процесі руху один горб на два, а
згодом і на три. Другий ефект пов’язаний зі сталістю періоду — він не змінюється впро-
довж еволюції хвилі.
Приклад 2. Дзвіноподібний профіль. Початковий профіль хвилі визначається фор-
му лою ax
ou x t eu
2
1[( ) /2]
1 1 1( , 0) −= = , де a — параметр, що задає довжину підошви хвилі.
Рис. 1
31ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 12
Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі
Тоді відповідна хвиля у лінійній теорії має вигляд
ou x t eu
2 2
1 1 1( , ) −σ= , (6)
де фаза задається виразом σ = −1( )La x c t .
Далі нелінійне хвильове рівняння (1) трансформується до вигляду лінійного рівняння
зі змінною швидкістю поширення хвилі
ttu v u2
1, 1, 11 0− = , Lv v u1, 11= +α , N1[ ( 2 )]α = λ + μ . (7)
Рівняння (7) розв’язується методом обмеження на градієнт зміщення [4, 5].
Згідно з методом, нульове наближення відповідає лінійному хвильовому рівнянню
tt Lu c u2
1, 1, 11 0− = і має вигляд La x v t
ou x t eu
2 2
1(1) ( ) 2
11 1( , ) − −= . Розв’язок. що відповідає двом пер-
шим наближенням (нульовому та першому), складається з двох доданків
L La x c t a x c to o
L Lu x t A e t c a x c t A e
2 2 2 2
1 1(0 1) [ ( ) 2] ( )2 2 2
1 11 ( , ) (1 2) ( ) ( )+ − − − −= − α − . (8)
Розв’язок, що відповідає трьом першим наближенням (нульовому, першому та другому)
складається з трьох доданків
o o o
L Lu x t A e v a t A e v a t A e
2 2 22 2 2 2 2 3 3 3 3 2
1( , ) (1 2) ( ) (1 8) ( )−σ −σ − σ= − α σ − α σ . (9)
Слід зазначити, що у вираз для амплітуди хвилі (9) входить явно квадрат фази σ у дру-
гому доданку і куб — у третьому. Цей факт є характерним для поодиноких хвиль і не при-
сутній у вказаному вище нелінійному описі евоолюції гармонічної хвилі.
Характерну залежність амплітуди хвилі u1 від відстані поширення хвилі x1 показано
на рис. 2. Усі графіки побудовані за формулою (9). На рис. 2, а нижній графік показує по-
чатковий профіль u(0)
1 , верхній відповідає профілю u(0 1)
1
+ (два перші наближення) і по-
чатковій стадії еволюції. Рис. 2, б відповідає розвиненій стадії еволюції і відрізняється
від попереднього лише верхнім профілем u(0 1 2)
1
+ + , який тут вже побудовано з врахуванням
перших трьох наближень. Рис. 2, в і рис. 2, г ілюструють два профілі ( u(0 1)
1
+ і u(0 1 2)
1
+ + ) і ко-
жен утворений з двох горбів, але рисунки відрізняються шляхом, який пройшла хвиля
(другий відповідає досить сформованій еволюції). Еволюція правого та лівого горбів є різ-
ною — врахування перших двох наближень показує підвищення лівого горба і зниження
правого горба. Цей ефект є неочікуваним як і ряд інших нелінійних хвильових ефектів.
Рис. 2, д показує тривимірне зображення еволюції в координатах “час поширення — від-
стань поширення — зміщення”.
Порівняння зі зміною профіля гармонічної хвилі показує, що дзвіноподібна хвиля
змінює свій профіль дещо по-іншому. “Друга гармоніка” завжди дає від’ємну добавку.
Отже “дзвін” в своїй верхній частині стає тоншим, тобто схили “дзвона” стають крутішими.
Верхня частина “дзвона” западається і утворюються два “дзвони”. У проведеному дослід-
женні важливими є два ефекти, які свідчать про типовість еволюції гармонічної і дзвіно-
подібної хвиль. Перший ефект полягає у тому, що поодинока хвиля з заданою підошвою
горба перетворює в процесі руху один горб на два, а згодом і на три. Другий ефект пов’яза-
ний зі сталістю підошви — вона не змінюється впродовж еволюції хвилі.
32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 12
Я.Я. Рущицький, В.М. Юрчук
3. Нетипова еволюція початкового профіля поодинокої циліндричної хвилі у вигляді
функції Макдональда. Розглянемо випадок циліндричної радіальної хвилі зміщення, яка
описується нелінійним хвильовим рівнянням, близьким до того, яке описує плоскі хвилі.
У лінійній теорії пружності така хвиля поширюється в нескінченному просторі з цилінд-
ричною круговою порожниною. Рух цієї хвилі в радіальному напрямку збуджується ім пуль-
сом, прикладеним до поверхні порожнини. Циліндрична система координат Or zϑ вибира-
ється таким чином, щоб вісь Oz збігалася з віссю порожнини. Тоді проблема є осесиметрич-
ною і залежить від двох змінних — радіуса r та часу t . Ненульовими є радіальне зміщення
ru і три компоненти тензора напружень rr zz, ,ϑϑσ σ σ . Лінійне рівняння руху має вигляд
r
r rr r r r r r tt
r
u
u u ru u
r rr
, , , ,2
,
1 1
( ) ( ) 0
⎛ ⎞ ⎡ ⎤μ + − + λ +μ −ρ =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
. (10)
Рис. 2
33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 12
Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі
Відповідне нелінійне рівняння в рамках моделі Мернагана є таким:
r r r
L r tt r rr
r rr r r r rr r r r r r r r
u u
с u u
r r
u u u u u u u u
r rr r
,2
, , 2
2 2
1 , , 2 , 3 , 4 , 52 3
( )
1 1 1 1
( ) ( )
− ⎛ ⎞
− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
= −α −α −α −α −α , (11)
A B C B C
1 2 3
2( 3 ) 2 2
3 , , ,
2 2 2
+ + λ + + λ
α = + α = α =
λ + μ λ + μ λ + μ
A B C A B C
4 5
2 3 2 2 2 3 2
,
2 2
λ + μ + + + λ + μ + + +
α = α =
λ + μ λ + μ
.
Існує певне обгрунтування спрощення рівняння (11) до вигляду
r
L r r r rr r r r tt
u
с u u u u
r r
2
1 , , , ,2
1
( ) (1 ) 0
⎛ ⎞
−α + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
. (12)
Отже, рівняння (12), яке описує циліндричну радіальну хвилю, має структуру, ідентич-
ну відповідному рівнянню для плоскої поздовжньої хвилі — однорідному лінійному хви-
льовому рівнянню (1) зі швидкістю хвилі, нелінійно залежною від розв’язку. Це дає можли-
вість застосувати до аналізу рівняння (12) метод обмеження на градієнт зміщення. Однак
тут нова ситуація порівняно з плоскими хвилями — оператор хвильового рівняння інший,
градієнт зміщення інший, сама хвиля і її фаза інші тощо. Початковий профіль хвилі треба
приймати у вигляді функції ru r t F r( , 0) ( )= = . Тоді хвиля матиме представлення
( ) ( )o
r ru r t u F a r vt, ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ , (13)
де невідома швидкість хвилі задається виразом r r Lv u c1 ,1= −α і o
ru є відомим постій ним
початковим амплітудним множником.
Якщо далі перетворити вираз для швидкості за умови малості добутку r ru1 , 1α < до
вигляду r r r r r ru u u2 2
1 , 1 , 1 ,1 1 (1 2) (1 8)( ) ( )−α ≈ − α + α (тут збережено перші три члени у роз-
кладі в ряд), то хвилю (13) можна наближено представити у вигляді
o
r r L L r r L r ru r t u F a r c t ac u t ac u t2 2
1 , 1 ,( , ) [ ( ) (1 2) (1 8) ( ) ( ) ]≅ − − α + α . (14)
Введення нового малого параметра
L r r r rac u u t1 , 1 ,(1 2) [1 (1 4) ] 1∗δ = − α − α < , (15)
який включає три відомі величини — одна визначає довжину підошви поодинокої хвилі a ,
друга є швидкістю хвилі Lc у лінійному наближенні, третя 1α пов’язана з властивостями
матеріалу і невідомим градієнтом зміщення r ru r t, ( , ) , уможливлює коротке представ лення
формули (15)
o o o
r r r L ru r t u F a r vt u F a r c t u F( , ) [ ( )] [ ( ) ] ( )∗ ∗= − = − + δ = σ+ δ . (16)
34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 12
Я.Я. Рущицький, В.М. Юрчук
Обмеження на градієнт зміщення (15) створює можливість наближеного представ-
лення хвилі (16) у вигляді ряду Тейлора в околі лінійного значення фази хвилі La r c t( )σ = −
і збереження лише перших двох членів ряду. Тоді хвилю (16) можна представити набли-
жено формулою
o o
r r r L r r r ru r t u F u F ac u u t1 , 1 ,( , ) ( ) (1 2) ( ) [1 (1 4) ]≈ σ − σ α − α′ . (17)
Підстановка наближеного виразу для градієнта деформації o
r r ru r t u aF, ( , ) ( )≅ σ′ в пред-
ставлення (17) дає формулу для обчислення профіля хвилі
o o o
r r r L ru r t u F a u c t F u a F2 2 2
1 1( , ) ( ) (1 2) ( ) [ ( )] [1 (1 4) ( )]≈ σ − α σ − α σ′ ′ . (18)
Ця формула включає три доданки, які можна розглядати як перші три наближення —
перший відповідає лінійному підходу, другий вводить квадратичну нелінійну добавку до
лі нійного підходу, третій вводить кубічну добавку. Така ж ситуація була помічена у відпо-
відній формулі для плоских хвиль.
Зауважимо, що при застосуванні методу послідовних наближень третє наближення
вводиться як добавка четвертого порядку, хоча числове моделювання показує третю гармо-
ніку замість четвертої.
Розглянемо зараз випадок, коли функція F a r vt[ ( )]− описує поодиноку і не гармонічну
в часі хвилю. Почнемо з лінійного підходу. Відповідне нелінійному хвильовому рівнянню
(12) лінійне рівняння (10) має розв’язок у вигляді циліндричної функції уявного аргумен-
та — функції Макдональда K r( )λ .
Отже, функція F K0( ) ( )σ = σ може бути вибрана для опису початкового профіля хвилі
(18). Тоді еволюція хвилі описується формулою (18)
o o o
r r r L ru r t u aK a u c t K u aK3 2 2
0 1 0 1 0( , ) ( ) (1 2) ( ) [ ( )] [1 (1 2) ( )]′ ′≈ σ − α σ − α σ . (19)
Оскільки K K0 1( ) ( )′ σ = − σ , то формулу (19) можна записати у вигляді, зручному для
числового моделювання
o
r L r L
o
L r L
u r t K a r c t a u ac t
K a r c t u aK a r c t
3 2
0 1
2
1 1 1
( , ) ( ( )) (1 2) ( )
[ ( ( ))] [1 (1 4) ( ( ))]
≈ − − α ×
× − + α −
. (20)
Формула (20) описує зміну початкового профіля хвилі через пряму залежність не лі ній-
них доданків від часу. Особливістю функції Макдональда є відсутність горба. Її гра фік на-
гадує графік гіперболи
Характерну залежність амплітуди хвилі ru від відстані поширення хвилі r ілюструє
рис. 3. Усі графіки побудовані за формулою (20). Рис. 3, а відповідає стадії, коли неліній-
ність має невеликий вплив на еволюцію. Ліва лінія відповідає лінійному наближенню (не-
спотворений профіль), а права — двом першим наближенням. Отже, спотворений профіль
стає злегка крутішим і зміщується вправо від початкового профілю. Підошва спотвореного
профілю скорочується.
35ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 12
Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі
Рис. 3
Рис. 4
36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020. № 12
Я.Я. Рущицький, В.М. Юрчук
Рис. 3, б показує більш розвинену еволюцію початкового профілю (у 45 разів довша
відстань поширення). Він зберігає відображені на попередній стадії особливості. Спотво-
рений профіль стає ще більш крутим і ще більш зміщується вправо від початкового про-
філя. Підошва спотвореного профіля стає ще коротшою.
На рис. 3, в показано більш розвинену еволюцію початкового профіля (в 70 разів дов ша
відстань поширення). Він зберігає відображені на попередніх стадіях особливості. Спот во-
рений профіль стає ще більш крутим і продовжує зміщуватися вправо від початкового про-
філя. Підошва спотвореного профіля продовжує скорочуватися і стає практично вдвічі
меншою.
На рис. 4 порівнюються перші два наближення та перші три наближення. Він показує
дві лінії. Ліва лінія відповідає першим двом наближенням, а права лінія — першим трьом.
Рис. 3, а-в порівнюють профілі для випадків довших відстаней поширення хвилі. Це порів-
няння свідчить, що для стандартного набору параметрів третє наближення вводить неве-
ликий порівняно з другим внесок. Таким чином, збільшення відстані поширення хвилі
збільшує ефект, показаний на попередніх стадіях еволюції. Рис. 3, г показує тривимірне зо-
браження еволюції в координатах “час поширення — відстань поширення — зміщення”.
Таким чином, проведене числове моделювання показало, що нетиповий початковий
профіль (профіль без звичного горба) еволюціонує нетипово — профіль стає значно більш
крутим, залишаючись опуклим вниз, і підошва профіля зменшується майже вдвічі.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Murnaghan F. Finite Deformation in an Elastic Solid. 3rd ed. Gloucester, MA, USA: Peter Smith Publisher Inc.
1985. 140 p.
2. Rushchitsky J.J. Nonlinear Elastic Waves in Materials. Series: Foundations of Engineering Mechanics.
Heidelberg: Springer. 2014. 454 p.
3. Rushchitsky J.J. Theory of Waves in Materials. Copenhagen: Ventus Publishing ApS, 2012. 270 p.
4. Rushchitsky J.J. Plane Nonlinear Elastic Waves: Approximate Approaches to Analysis of Evolution, Chapter 3
in the book “Understanding Plane Waves”. Ed. William A.Cooper. London: Nova Science Publishers, 2019.
320 р. P.58—80.
5. Yurchuk V.N., Rushchitsky J.J. Numerical Analysis of Evolution of the Plane Longitudinal Nonlinear
Elastic Waves with Different Initial Profiles. Int. App. Mech. 2017. 53. № 1. P.104-110. doi: 10.1007/s10778-
017-0794-6
Надійшло до редакції 20.10.2020
REFERENCES
1. Murnaghan, F. (1985). Finite Deformation in an Elastic Solid. Gloucester, MA, Peter Smith Publisher Inc.,
3th ed., pp. 140.
2. Rushchitsky, J. J. (2014). Nonlinear Elastic Waves in Materials. Series: Foundations of Engineering Mechanics.
Heidelberg: Springer.
3. Rushchitsky, J. J. (2012). Theory of Waves in Materials. Copenhagen: Ventus Publishing ApS.
4. Rushchitsky, J. J. (2019). Plane Nonlinear Elastic Waves: Approximate Approaches to Analysis of Evolution,
Chap. 3 in the book “Understanding Plane Waves”. Ed. William A.Cooper. London: Nova Science Publishers.
5. Yurchuk, V. N. & Rushchitsky, J. J. (2017). Numerical Analysis of Evolution of the Plane Longitudinal Non-
linear Elastic Waves with Different Initial Profiles. Int. App. Mech., 53, No. 1, pp. 104-110. doi: 10.1007/
s10778-017-0794-6
Received 20.10.2020
37ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2020. № 12
Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі
J.J. Rushchitsky, V.M. Yurchuk
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kyiv
E-mail: rushch@inmech.kiev.ua
ATYPICAL EVOLUTION OF A SOLITARY WAVE PROPAGATING
IN THE NONLINEAR ELASTIC MEDIUM
The atypical evolution of a solitary cylindrical wave that propagates in the nonlinear elastic medium and has
the initial profile in the form of the Macdonald function is described and commented. In the analysis, the
approximate method of restriction on the gradient of a deformation is used, and three first approximations are
taken into account. Two examples of typical wave evolution — harmoniс and bell-shaped waves — are shown
and commented, where the first three approximations are also taken into account. The numerical modeling
showed that the atypical initial profile (profile without a hump) evolves atypically — the profile becomes
essentially steeper, saving the concavity, and the wave bottom decreases almost two times.
Keywords: solitary nonlinear elastic wave, evolution of a wave initial profile, Macdonald functions, method of
res triction on the gradient of a deformation, three first approximations.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174270 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T04:03:35Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Рущицький, Я.Я. Юрчук, В.М. 2021-01-11T15:30:46Z 2021-01-11T15:30:46Z 2020 Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі / Я.Я. Рущицький, В.М. Юрчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2020. — № 12. — С. 28-37. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2020.12.028 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174270 539.3 Описано та прокоментовано нетипову еволюцію поодинокої циліндричної хвилі, яка поширюється в неліній но пружному середовищі і має початковий профіль у вигляді функції Макдональда. Для аналізу використано наближений метод обмеження на градієнт деформації і враховано три перші наближення. При цьому показано та прокоментовано два приклади типової еволюції хвилі — гармонічної і дзвіноподібної хвиль, де враховано теж перші три наближення. Проведене числове моделювання показало, що нетиповий початковий профіль (профіль без звичного горба) еволюціонує нетипово — профіль стає значно більш крутим, залишаючись опуклим вниз, і підошва профіля зменшується майже вдвічі. The atypical evolution of a solitary cylindrical wave that propagates in the nonlinear elastic medium and has the initial profile in the form of the Macdonald function is described and commented. In the analysis, the approximate method of restriction on the gradient of a deformation is used, and three first approximations are taken into account. Two examples of typical wave evolution — harmoniс and bell-shaped waves — are shown and commented, where the first three approximations are also taken into account. The numerical modeling showed that the atypical initial profile (profile without a hump) evolves atypically — the profile becomes essentially steeper, saving the concavity, and the wave bottom decreases almost two times. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі Atypical evolution of solitary wave propagating in nonlinear elastic medium Article published earlier |
| spellingShingle | Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі Рущицький, Я.Я. Юрчук, В.М. Механіка |
| title | Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі |
| title_alt | Atypical evolution of solitary wave propagating in nonlinear elastic medium |
| title_full | Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі |
| title_fullStr | Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі |
| title_full_unstemmed | Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі |
| title_short | Нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі |
| title_sort | нетипова еволюція поодинокої хвилі, що поширюється в нелінійно пружному середовищі |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174270 |
| work_keys_str_mv | AT ruŝicʹkiiââ netipovaevolûcíâpoodinokoíhvilíŝopoširûêtʹsâvnelíníinopružnomuseredoviŝí AT ûrčukvm netipovaevolûcíâpoodinokoíhvilíŝopoširûêtʹsâvnelíníinopružnomuseredoviŝí AT ruŝicʹkiiââ atypicalevolutionofsolitarywavepropagatinginnonlinearelasticmedium AT ûrčukvm atypicalevolutionofsolitarywavepropagatinginnonlinearelasticmedium |