О зоне предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в нелинейно-упругом ортотропном материале
Рассмотрено тело с трещиной, перед фронтом которой образуется зона предразрушения. Установлены конститутивные уравнения, связывающие между собой компоненты векторов напряжения в точках на противоположных границах зоны предразрушения и компоненты вектора смещения относительно друг друга этих точек. С...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Datum: | 2019 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2019
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174551 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О зоне предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в нелинейно-упругом ортотропном материале / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Прикладная механика. — 2019. — Т. 55, № 1. — С. 26-43. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174551 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. 2021-01-23T19:02:40Z 2021-01-23T19:02:40Z 2019 О зоне предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в нелинейно-упругом ортотропном материале / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Прикладная механика. — 2019. — Т. 55, № 1. — С. 26-43. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174551 Рассмотрено тело с трещиной, перед фронтом которой образуется зона предразрушения. Установлены конститутивные уравнения, связывающие между собой компоненты векторов напряжения в точках на противоположных границах зоны предразрушения и компоненты вектора смещения относительно друг друга этих точек. Сформулирован критерий локального разрушения. В компонентах вектора перемещения поставлена краевая задача о равновесии пластины из нелинейно-упругого ортотропного материала, имеющей трещину нормального отрыва. В результате численного решения краевой задачи выяснено, как именно эволюционирует зона предразрушения при нагружении пластины. Выявлены особенности поля деформаций возле конца зоны предразрушения. Найдена критическая нагрузка на пластину, приводящая к росту трещины. Розглянуто тіло із тріщиною, перед фронтом якої утворюється зона передруйнування. Встановлено конститутивні рівняння, що зв’язують між собою компоненти векторів напруження у точках на протилежних межах зони передруйнування й компоненти вектора зміщення відносно одна одної цих точок. Сформульовано критерій локального руйнування. У компонентах вектора переміщення поставлено крайову задачу про рівновагу пластини з нелінійно-пружного ортотропного матеріалу, що має тріщину нормального відриву. В результаті чисельного розв’язання крайової задачі з’ясовано, як саме еволюціонує зона передруйнування при навантаженні пластини. Виявлено особливості поля деформацій біля кінця зони передруйнування. Знайдено критичне зусилля на пластину, яке приводить до зростання тріщини. A body with crack is considered. It is assumed that the pre-fracture zone is formed ahead the crack front. The constitutive equations are proposed which link the stress vectors components in points at the opposite boundaries of the pre-fracture zone and the relative displacements vector components of these points. A criterion of local fracture is formulated. A boundary problem in displacements vector components is stated on an equilibrium of plate from the nonlinearly elastic orthotropic material with the mode I crack. A numerical solving the boundary problem shows in which way the pre-fracture zone evolves under loading the plate. The features of deformation field near the end of pre-fracture zone are revealed. The applied to plate critical forces are found that initiate the crack growth. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О зоне предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в нелинейно-упругом ортотропном материале On Pre-Fracture Zone Near Mode I Crack Tip in Nonlinearly Elastic Orthotropic Material Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О зоне предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в нелинейно-упругом ортотропном материале |
| spellingShingle |
О зоне предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в нелинейно-упругом ортотропном материале Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| title_short |
О зоне предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в нелинейно-упругом ортотропном материале |
| title_full |
О зоне предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в нелинейно-упругом ортотропном материале |
| title_fullStr |
О зоне предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в нелинейно-упругом ортотропном материале |
| title_full_unstemmed |
О зоне предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в нелинейно-упругом ортотропном материале |
| title_sort |
о зоне предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в нелинейно-упругом ортотропном материале |
| author |
Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| author_facet |
Каминский, А.А. Курчаков, Е.Е. |
| publishDate |
2019 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On Pre-Fracture Zone Near Mode I Crack Tip in Nonlinearly Elastic Orthotropic Material |
| description |
Рассмотрено тело с трещиной, перед фронтом которой образуется зона предразрушения. Установлены конститутивные уравнения, связывающие между собой компоненты векторов напряжения в точках на противоположных границах зоны предразрушения и компоненты вектора смещения относительно друг друга этих точек. Сформулирован критерий локального разрушения. В компонентах вектора перемещения поставлена краевая задача о равновесии пластины из нелинейно-упругого ортотропного материала, имеющей трещину нормального отрыва. В результате численного решения краевой задачи выяснено, как именно эволюционирует зона предразрушения при нагружении пластины. Выявлены особенности поля деформаций возле конца зоны предразрушения. Найдена критическая нагрузка на пластину, приводящая к росту трещины.
Розглянуто тіло із тріщиною, перед фронтом якої утворюється зона передруйнування. Встановлено конститутивні рівняння, що зв’язують між собою компоненти векторів напруження у точках на протилежних межах зони передруйнування й компоненти вектора зміщення відносно одна одної цих точок. Сформульовано критерій локального руйнування. У компонентах вектора переміщення поставлено крайову задачу про рівновагу пластини з нелінійно-пружного ортотропного матеріалу, що має тріщину нормального відриву. В результаті чисельного розв’язання крайової задачі з’ясовано, як саме еволюціонує зона передруйнування при навантаженні пластини. Виявлено особливості поля деформацій біля кінця зони передруйнування. Знайдено критичне зусилля на пластину, яке приводить до зростання тріщини.
A body with crack is considered. It is assumed that the pre-fracture zone is formed ahead the crack front. The constitutive equations are proposed which link the stress vectors components in points at the opposite boundaries of the pre-fracture zone and the relative displacements vector components of these points. A criterion of local fracture is formulated. A boundary problem in displacements vector components is stated on an equilibrium of plate from the nonlinearly elastic orthotropic material with the mode I crack. A numerical solving the boundary problem shows in which way the pre-fracture zone evolves under loading the plate. The features of deformation field near the end of pre-fracture zone are revealed. The applied to plate critical forces are found that initiate the crack growth.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174551 |
| citation_txt |
О зоне предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в нелинейно-упругом ортотропном материале / А.А. Каминский, Е.Е. Курчаков // Прикладная механика. — 2019. — Т. 55, № 1. — С. 26-43. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kaminskiiaa ozonepredrazrušeniâuveršinytreŝinynormalʹnogootryvavnelineinouprugomortotropnommateriale AT kurčakovee ozonepredrazrušeniâuveršinytreŝinynormalʹnogootryvavnelineinouprugomortotropnommateriale AT kaminskiiaa onprefracturezonenearmodeicracktipinnonlinearlyelasticorthotropicmaterial AT kurčakovee onprefracturezonenearmodeicracktipinnonlinearlyelasticorthotropicmaterial |
| first_indexed |
2025-11-25T23:10:33Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:10:33Z |
| _version_ |
1850579133658038272 |
| fulltext |
2019 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 55, № 1
26 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2019, 55, № 1
А . А . К а м и н с к и й , Е . Е . К у р ч а к о в
О ЗОНЕ ПРЕДРАЗРУШЕНИЯ У ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ НОРМАЛЬНОГО
ОТРЫВА В НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОМ ОРТОТРОПНОМ МАТЕРИАЛЕ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: fract@inmech.kiev.ua
Abstract. A body with crack is considered. It is assumed that the pre-fracture zone is
formed ahead the crack front. The constitutive equations are proposed which link the stress
vectors components in points at the opposite boundaries of the pre-fracture zone and the
relative displacements vector components of these points. A criterion of local fracture is
formulated. A boundary problem in displacements vector components is stated on an equi-
librium of plate from the nonlinearly elastic orthotropic material with the mode I crack. A
numerical solving the boundary problem shows in which way the pre-fracture zone evolves
under loading the plate. The features of deformation field near the end of pre-fracture zone
are revealed. The applied to plate critical forces are found that initiate the crack growth.
Key words: nonlinear elastic orthotropic material, mode I crack, fracture process zone,
constitutive equations, local fracture criterion.
Введение.
Эксперименты показывают, что перед фронтом трещины образуется зона
предразрушения (fracture process zone) – узкая область, в которой наблюдаются мик-
ротрещины, поры и расслоения [9].
Наличие зоны предразрушения следует учитывать при постановке краевых задач
о равновесии (в том числе и предельного) тел с трещинами. Однако это сопряжено со
значительными трудностями. Во многом их удается избежать, если использовать мо-
дели зоны предразрушения. Согласно одной из них, предложенной в работе [6], зону
предразрушения следует представить в виде раскрытого разреза, к поверхностям ко-
торого, совпадающим с границами зоны предразрушения, приложены противополож-
ные векторы напряжения. Придерживаясь современной тенденции в механике разру-
шения, необходимо также использовать конститутивные уравнения, связывающие
между собой компоненты векторов напряжения и смещения в точках на противопо-
ложных границах зоны предразрушения [7, 8].
За последнее время построению названных уравнений посвящено, как явствует из
обзора [12], много работ. Все они базировались на различных предпосылках и гипотезах.
В этих работах строились, преимущественно, конститутивные уравнения для зоны
предразрушения перед фронтом трещины нормального отрыва и поперечного сдвига.
И хотя в них получено немало важных результатов, полностью проблема не решена.
Как представляется авторам, компоненты векторов напряжения в точках на проти-
воположных границах зоны предразрушения должны зависеть от расстояния между эти-
ми точками. Но далеко не все конститутивные уравнения отвечают этому требованию.
Наиболее известны конститутивные уравнения, установленные в работе [14]. Ар-
гументами в этих уравнениях выступают нормальная и приведенная тангенциальная
(по отношению к трещине) компоненты вектора смещения относительно друг друга
точек на противоположных границах зоны предразрушения. При этих аргументах фи-
гурирует скалярный множитель, являющийся функцией квадратного корня из некото-
рого квадратичного инварианта, образованного с привлечением указанных компонент
27
вектора смещения. Учитывая это, можно заключить, что конститутивные уравнения
Твергарда – Хатчинсона [14] удовлетворяют высказанному выше требованию лишь в
случае трещины нормального отрыва.
В отличие от уравнений Твергарда – Хатчинсона [14], аргументами в уравнениях,
установленных в работах [5, 11], выступают уже нормальная и тангенциальная ком-
поненты вектора смещения, а скалярный множитель при них является функцией
квадратного корня из второго инварианта, образованного с привлечением упомяну-
тых компонент. Так что, согласно уравнениям Нидлемана – Бэнкс-Силса [5, 11], ком-
поненты векторов напряжения в точках на противоположных границах зоны предраз-
рушения зависят от расстояния между этими точками.
Для учета типа трещины (трещина нормального отрыва или трещина поперечного
сдвига) авторами работ [5, 11] был введен в конститутивные уравнения специальный
параметр. Однако не дано строгого обоснования тому, как это было осуществлено.
В данной статье исследуем (для случая плоского напряженного состояния) зону
предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в нелинейно-упругом ор-
тотропном материале. Используя модель зоны предразрушения, предложенную в ра-
боте [6], поступаем следующим образом.
1. Переведем внутренние напряжения, действующие по границам зоны предраз-
рушения, в категорию внешних напряжений. Для этого границы зоны предразруше-
ния представим как наружные поверхности.
2. Решая краевую задачу, потребуем, чтобы в конце зоны предразрушения были
непрерывными напряжения и соблюдался критерий прочности.
Будем подразумевать, что компоненты векторов напряжения в точках на границах
зоны предразрушения зависят от компонент вектора смещения относительно друг
друга этих точек. Конститутивные уравнения установим, исходя из положений обще-
го характера. Сделаем это аналитически. Сформулируем также критерий локального
разрушения.
Воспользовавшись тензорно-линейными определяющими уравнениями, связыва-
ющими компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформаций, и
установленными конститутивными уравнениями, поставим (в компонентах вектора
перемещения) краевую задачу о равновесии пластины из нелинейно-упругого орто-
тропного материала, имеющей трещину нормального отрыва. Решив (численно) крае-
вую задачу, получим зависимость раскрытия трещины в вершине от нагрузки на пла-
стину. Проанализируем также поле деформаций возле конца зоны предразрушения.
Особое внимание уделим состоянию предельного равновесия пластины, в котором
становится критическим раскрытие трещины в вершине.
§1. Построение конститутивных уравнений.
Рассмотрим тело с трещиной. При нагружении данного тела перед фронтом тре-
щины образуется зона предразрушения – узкая область, в которой начинается разру-
шение. Принимаем, что зона предразрушения представляет собой совокупность пря-
молинейных элементов, присоединенных к ее границам [1].
Обособим перед фронтом трещины точку C, переходящую вследствие деформа-
ции тела в точки C и C на границах зоны предразрушения (рис. 1, а).
Выделим прямолинейный элемент, присоединенный к границам зоны предразру-
шения в точках C и C . Затем к концам выделенного элемента приложим векторы
напряжения P и P (рис. 1, б), а к границам зоны предразрушения – векторы напря-
жения P и P (рис. 1, в). Каждые из этих векторов противоположны и лежат на
прямой, проходящей через точки C и .C
Предположим, что известны векторы CC
u
и ,CC
u
изображающие пере-
мещения точек C и C , соответственно, относительно точки C .
28
а б в
Рис. 1
Образуем вектор v ( ) v u u , изображающий смещение точки C отно-
сительно точки C , и вектор v ( ) v u u , изображающий смещение точки C
относительно точки C .
Сосредоточим внимание на выделенном элементе. Для описания состояния этого
элемента можно выбрать какие-либо одни векторы напряжения и смещения – P и
v или P и v . Ради простоты выбранные векторы будем записывать как P и v .
Из вышеизложенного вытекает, что векторы P и v коллинеарны. Более того, они рав-
нонаправлены.
Отнесем рассматриваемое тело к системе неортогональных криволинейных коор-
динат 1 2 3 , ,, x x x характеризуемой ковариантным метрическим тензором с компонен-
тами g и контравариантным метрическим тензором с компонентами .g
Пусть имеются взаимные базисы, представленные системами локальных базис-
ных векторов 1 2 3, , e e e и 1 2 3, , . e e e
Укажем, что
; .g g
e e e e (1.1)
При этом
.
e e (1.2)
В формулах (1.2) фигурируют символы Кронекера :
1 ( );
0 ( ).
(1.3)
В дальнейшем будем пользоваться правом на замену немых индексов, не оговари-
вая это особо.
Выразим вектор P через его контравариантные компоненты:
.P
P e (1.4)
Для модуля PP вектора P имеем
.P P P (1.5)
29
Согласно формуле (1.4) и первым из формул (1.1) скалярное произведение P P
будет
.g P P
P P (1.6)
Выразим вектор v через его ковариантные компоненты:
.v
v e (1.7)
Для модуля vv вектора v имеем
.v v v (1.8)
Согласно формуле (1.7) и вторым из формул (1.1) скалярное произведение v v
будет
.g v v = (1.9)
Построим уравнения, связывающие контравариантные компоненты вектора P с
ковариантными компонентами вектора v .
Пусть имеется орт i , равнонаправленный с вектором P .
Запишем вектор P следующим образом:
.PP i (1.10)
Умножая обе части формулы (1.10) на ,e получаем
.P P e i e (1.11)
В соответствии с формулой (1.4), формулами (1.2) и равенствами (1.3) скалярные
произведения P e будут
.P P e (1.12)
Поскольку векторы P и v равнонаправлены, то для орта i будем иметь
.vi v (1.13)
Согласно формуле (1.7) и вторым из формул (1.1) скалярные произведения v e
будут
.g v
v e (1.14)
В силу формулы (1.13) и формул (1.14) скалярные произведения i e будут
.
g v
v
i e (1.15)
Подстановка в формулы (1.11) формул (1.12) и (1.15) дает
.
g v
P P
v
(1.16)
Следовательно, пришли к искомым урав-
нениям.
Связь контравариантных компонент век-
тора P с ковариантными компонентами век-
тора v по уравнениям (1.16) будет опреде-
ленной, если известна функциональная зави-
симость модуля P от модуля v (рис. 2).
Следуя работе [16], положим, что эта за-
висимость выражается формулой
( ),oP P f v (1.17)
где ( )f v – функция, убывающая в промежут-
ке ( , ).o
Рис. 2
30
Конечно, значение модуля v вектора v должно зависеть от ориентации выде-
ленного элемента по отношению к трещине.
Потребуем, чтобы функция ( )f v удовлетворяла таким условиям:
1; 0;
v o
v o
d
f v f v
dv
0; .
v
v
d
f v f v m
dv
(1.18)
Для многих приложений функция ( )f v может быть аппроксимирована много-
членом
1 2
1 2
( ) 1 , k k
k kf v b v b v (1.19)
где 1k , 2k – целые числа 1 21 )( .k k
Дифференцируя формулу (1.19), установим
1 2
1 2
1 1
1 2 .k k
k k
d
f v k b v k b v
dv
(1.20)
Очевидно, что первое и второе из условий (1.18) превращаются, в силу формул
(1.19) и (1.20), в тождества.
Учитывая третье и четвертое из условий (1.18), найдем по формулам (1.19) и
(1.20) коэффициенты
1
,kb
2
:kb
1 21 2
2 1
2 1 1 2
; .k kk k
k m k m
b b
k k k k
(1.21)
Представим функцию ( )f v так:
( ) 1 ( ) ,f v f v (1.22)
где ( )f v – функция, возрастающая в промежутке , o .
Сопоставляя формулы (1.19) и (1.22), заключим, что
1 2
1 2
( ) .k k
k kf v b v b v (1.23)
Согласно формулам (1.17) и (1.22) уравнения (1.16) примут вид
(1 ) . o
g v
P P f v
v
(1.24)
Воспользовавшись уравнениями (1.24), а также формулой (1.23) и формулами
(1.21), можно вычислить контравариантные компоненты вектора P. А зная их, не со-
ставит труда получить контравариантные компоненты вектора - P.
В момент разрушения выделенного элемента модуль P вектора P оказывается
равным нулю. Согласно формуле (1.17) и третьему из условий (1.18), это происходит
тогда, когда модуль v вектора v принимает значение . Таким образом, имеем кри-
терий локального разрушения:
.v (1.25)
Этот критерий является обобщением известного критерия критического раскры-
тия [13, 15].
§2. Постановка краевой задачи.
Ограничимся малыми деформациями.
Воспользуемся тензорно-линейными определяющими уравнениями, связываю-
щими контравариантные компоненты тензора напряжений S с ковариантными компо-
нентами тензора деформаций D [3]:
31
. S G D G D g
(2.1)
Аргументом функции )( является величина
2
.
(2.2)
Инварианты , и таковы:
; ; . F g g g D G D D
(2.3)
Взаимно обратные тензоры четвертого ранга F и G характеризуют анизотропию.
Эти тензоры обладают высокой симметрией. Иначе говоря, в компонентах этих тен-
зоров можно менять местами как индексы, относящиеся к любой одной паре индек-
сов, так и сами пары индексов.
Будем считать, что система координат 1 2 3, , x x x , к которой отнесена пластина,
является прямоугольной декартовой. Стало быть,
1 ;
0 .
g
(2.4)
Выведем основные уравнения для компонент вектора перемещения u.
Воспользуемся соотношениями Коши [10]:
, .
u
D
x
(2.5)
В соотношениях (2.5) предполагается симметрирование по индексам , .
Привлекая соотношения (2.5), запишем уравнения (2.1) в виде
.
u u
S G G g
x x
(2.6)
С учетом соотношений (2.5) второй и третий из инвариантов (2.3) будут
; .
uu u
g G
x x x
(2.7)
Предположим, что материал пластины является ортотропным. Главные направле-
ния примем совпадающими с направлениями осей 1 2 3, , x x x .
Остановимся на случае плоского напряженного состояния, полагая, что
1 2, ( 1, 2, 1, 2)) ( ;S S x x (2.8)
0 ( 1, 2, 3; 3, 1, 2; 3, 3). S (2.9)
В соответствии с равенствами (2.4) первый из инвариантов (2.7) примет вид
31 2
1 2 3
.
uu u
x x x
(2.10)
Так как ,( ) 1 то в силу равенств (2.9) и (2.4) из уравнений (2.6) следует, что
32
0 ( 1, 2, 3; 3, 1, 2).
u u
x x
(2.11)
Используем обозначения
1111 1212 1122 2222 ; ; ; ;AA BB AD DDG G G G
1133 2233 3333; ; .AF DF FFG G G (2.12)
Согласно равенствам (2.11) и обозначениям (2.12) второй из инвариантов (2.7)
примет вид
31 1 1 2 1
1 1 1 2 1 3
1 1 1 2 2 2
2 2 2 1 1 1
3 3 32 2 2
2 2 2 3 3 3
2 2
2
2 .
AA AD AF
BB
DD DF FF
uu u u u u
x x x x x x
u u u u u u
x x x x x x
u u uu u u
x x x x x x
(2.13)
Учитывая равенства (2.9) и (2.4), на основании уравнений (2.6) найдем
3311 3322 33333 31 2
3 3333 1 2 3
1
u uu u
G G G
x G x x x
3311 33221 2
1 2
.
u u
G G
x x
2.14)
Опираясь на равенства (2.4) и выражение (2.14), для уравнений (2.6) будем иметь
33 33
11 3311 22 33221 2
3333 1 3333 2
33 33
11 3311 22 33221 2
3333 1 3333 2
33
3333
1 ( , 1, 2; );
G u G u
S G G G G
G x G x
G u G u
G G G G
G x G x
G
G
(2.15)
12 211 2
2 1
12 211 2
2 1
( , 1, 2; ).
u u
S G G
x x
u u
G G
x x
(2.16)
Введем обозначения
1133 2233
3333 3333
; ; AF DF
G G
G G
(2.17)
1133 1133
1111 3311 1122 3322
3333 3333
2233 2233
2211 3311 2222 3322
3333 3333
; ;
; .
AA AD
DA DD
G G
G G G G
G G
G G
G G G G
G G
(2.18)
33
Воспользуемся уравнениями Навье [10]:
0.
S
x
(2.19)
Допустим, что материал пластины является однородным.
Принимая во внимание формулы (2.8) и равенства (2.9), используя уравнения
(2.15), (2.16) и учитывая второе из обозначений (2.12), а также обозначения (2.17) и
(2.18), на основании уравнений (2.19) установим
2 2 2
11 2 1
1 1 1 2 2 2
; AA AD BB BB
u u u
Q
x x x x x x
2 2 2
22 1 2
1 1 1 2 2 2
. BB BB DA DD
u u u
Q
x x x x x x
(2.20)
Здесь
1 1 2 1 2
1 1 2 2 2 1
2 2 2
1 2 1
1 1 1 2 2 2 1
2 2 1 1 2
1 1 2 2 1
1
1
;
AF
AA AD BB
AF
AA AD BB BB
BB DA DD
u u u u
Q
x x x x x x
u u u
x x x x x x x
u u u u
Q
x x x x x
2
2 2 2
2 1 2
1 1 1 2 2 2 2
1
1
.
DF
DF
BB BB DA DD
x
u u u
x x x x x x x
(2.21)
На границах пластины, берегах трещины и границах зоны предразрушения зада-
дим вектор напряжения P с компонентами P .
Воспользуемся граничными условиями [10]:
,S n P
(2.22)
где n – компоненты единичного вектора внешней нормали n.
Принимая во внимание равенства (2.9), используя уравнения (2.15), (2.16) и учи-
тывая второе из обозначений (2.12), а также обозначения (2.17) и (2.18), на основании
условий (2.22) получим
1 11 2 1 2
1 21 2 2 1
;AA AD BB
u u u u
n n P R
x x x x
2 22 1 1 2
1 21 2 1 2
. BB DA DD
u u u u
n n P R
x x x x
(2.23)
Здесь
1 1 2 1 2
1 21 2 2 1
1
;AF
AA AD BB
u u u u
R n n
x x x x
2 2 1 1 2
1 21 2 1 2
1
. DF
BB DA DD
u u u u
R n n
x x x x
(2.24)
34
Рассмотрим прямоугольную пластину малой толщины с трещиной по центру. С ося-
ми симметрии пластины совместим оси 1 2, .x x
Нагрузку на пластину будем задавать симметрично относительно осей 1 2, .x x По-
этому можно ограничиться рассмотрением лишь четвертой части пластины, напри-
мер, располагающейся в первом квадранте (рис. 3).
Распишем уравнения (2.23) и формулы (2.24).
Для верхней границы рассматриваемой части пластины 1 2( 1, 0)n n уравнения
(2.23) принимают вид
1 1 2 21 2 2 1
1 2 1 2
; ,AA AD BB
u u u u
P R P R
x x x x
(2.25)
а формулы (2.24) будут
1 21 2 2 1
1 2 1 2
1
; .AF
AA AD BB
u u u u
R E R
x x x x
(2.26)
Для боковой границы рассматриваемой части пластины 1 2( 0, 1)n n уравнения
(2.23) принимают вид
1 1 2 21 2 1 2
2 1 1 2
; ,BB DA DD
u u u u
P R P R
x x x x
(2.27)
а формулы (2.24) будут
1 21 2 1 2
2 1 1 2
1
; .DF
BB DA DD
u u u u
R R E
x x x x
(2.28)
Для верхнего берега трещины и верхней границы зоны предразрушения 1( 1,n
2 0)n уравнения (2.23) принимают вид
1 1 2 21 2 2 1
1 2 1 2
; ,AA AD BB
u u u u
P R P R
x x x x
(2.29)
а формулы (2.24) будут
1 21 2 2 1
1 2 1 2
1
; .AF
AA AD BB
u u u u
R E R
x x x x
(2.30)
Поскольку исследуется зона предразрушения у вершины трещины нормального
отрыва, то в точках на верхней границе рассматриваемой части пластины только ком-
понента 1P вектора P должна быть отличной от нуля (рис. 3).
Компоненты вектора напряжения в точках на боковой границе рассматриваемой
части пластины и в точках на верхнем берегу трещины примем равными нулю.
Компоненты вектора напряжения в точках на верхней границе зоны предразру-
шения необходимо представить, используя конститутивные уравнения, через компо-
ненты вектора v . Причем следует учесть, что компоненты вектора напряжения, фи-
гурирующие в граничных условиях и в конститутивных уравнениях, являются компо-
нентами противоположных векторов.
Под вектором v будем понимать вектор, изображающий смещение точек на
верхней границе зоны предразрушения относительно точек на нижней границе зоны
предразрушения.
Очевидно, что в данной задаче
1 0,v (2.31)
а
2 3 0.v v (2.32)
35
В силу равенств (2.4), а также равенств (2.32) для скалярного произведения v v
имеем
1 1.v v v v (2.33)
Учитывая равенства (2.4), неравенство (2.31) и равенства (2.32), а также формулы
(1.8) и (2.33), для первого из уравнений (1.24) получаем
1 (1 ) ,oP P f v (2.34)
а на основании второго и третьего из уравнений (1.24) установим
2 3 0.P P (2.35)
Заметим, что
1 12 .v u (2.36)
Принимая во внимание неравенство (2.31), в соответствии с формулами (1.8) и
(2.33) получаем
1.v v (2.37)
При решении краевой задачи потребуется еще одна группа уравнений для компо-
нент 1u , 2u .
Из симметрии относительно осей 1 2, x x следуют такие уравнения:
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2
( ), , 0; , , 0;( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ), , 0; , , 0.( )
u x x u x x u x x u x x
u x x u x x u x x u x x
(2.38)
Из симметрии относительно оси 2x вытекает, что в конце зоны предразрушения
1 0.u (2.39)
Выведем уравнение для компоненты 2u .
Выделим около конца зоны предразрушения точку с координатами 1 2, a a . Примем,
что 1 2
2 ,( ) u x x – действительная функция, имеющая все непрерывные частные произ-
водные (до второго порядка включительно) в окрестности D точки 1 2( , ).a a
Составим кратный ряд Тейлора, расположенный по степеням 1 1 2 2, :x a x a
1 2
1 2
2
1 2 1 2 2
2 2
1 ( ,
22 2
1 22
1 1
)
)( ,
, ,
1
(
( ) ( ) ( )
( )( ( , ).
2
) )
a a
a a
u
u x x u a a x a
x
u
x a x a x x D
x x
(2.40)
Координаты конца зоны предразрушения запишем как 1 1 2 2 , . a a С учетом
этого на основании формулы (2.40) будем иметь
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 22 2
2 2 1 2
, ,
2 2 2
1 1 1 2 2 22 2 2
1 1 1 2 2 2
,
(
,
) ( )
( ) ( ) ( ),
( , , ) ( )
1
2 0.
2
a a a a
a a a a a a
u u
u a a u a a
x x
u u u
x x x x x x
(2.41)
Остается отметить, что, ввиду симметрии относительно оси 2x , только компонента
1P вектора P в точках на верхней границе зоны предразрушения будет отличной от нуля.
36
§3. Дополнительные сведения.
Для содержащихся в уравнениях (2.1) компонент тензоров анизотропии F и G, как
компонент взаимно обратных тензоров четвертого ранга, имеем
, .F G
(3.1)
В формулах (3.1) предполагается симметрирование по индексам , .
Фигурирующую в уравнениях (2.1) функцию )( примем в виде [3]
0 , ;
ln 1
, .
a
a
(3.2)
Постоянные и , а также коэффициент a подлежат определению в экспери-
менте.
Сформулируем критерии нелинейности и прочности, необходимые для решения
краевой задачи.
Согласно формуле (3.2), связь контравариантных компонент тензора напряжений
с ковариантными компонентами тензора деформаций по уравнениям (2.1) окажется
нелинейной, как только величина превысит постоянную , и функция
начнет возрастать. Таким образом, имеем критерий нелинейности:
. (3.3)
Нарушение прочности произойдет тогда, когда величина станет равной посто-
янной , а функция примет наибольшее значение. Следовательно, имеем кри-
терий прочности:
. (3.4)
Величина может быть интерпретирована с физической точки зрения.
Укажем, что инвариант представляет собой относительное изменение объема
элемента тела. Значит, величина 2 представляет собой удвоенную энергию де-
формации, затрачиваемую на изменение объема элемента тела.
В предположении, что контравариантные компоненты тензора напряжений и ко-
вариантные компоненты тензора деформаций связаны между собой линейно, инвари-
ант представляет собой удвоенную энергию деформации элемента тела.
Итак, величина есть, согласно формуле (2.2), квадратный корень из удвоенной
энергии, идущей на деформацию элемента тела без изменения его объема. Эта интер-
претация величины совпадает, по сути, с интерпретацией интенсивности деформа-
ций, принадлежащей Хенки [4].
Покажем особенность величины .
Предположим, что ковариантные компоненты тензора деформаций могут быть
представлены так:
.D F g (3.5)
В выражениях (3.5) – некоторая переменная.
Второй из инвариантов (2.3) в силу выражений (3.5) и первого из инвариантов
(2.3) будет
. (3.6)
Для третьего из инвариантов (2.3) в соответствии с выражениями (3.5), формула-
ми (3.1) и первым из инвариантов (2.3) будем иметь
2. (3.7)
37
Принимая во внимание выражения (3.6) и (3.7), установим, что 2 0, и, со-
гласно формуле (2.2), 0 . Это означает, что ковариантные компоненты тензора де-
формаций, задаваемые выражениями (3.5), не могут удовлетворять критериям (3.3) и
(3.4). В этом случае тело не может ни перейти в нелинейное состояние, ни разрушиться.
Как установлено в работе [3], при нарушении прочности, когда величина ста-
новится равной постоянной , плотность энергии, расходуемой на деформацию эле-
мента тела без изменения его объема, принимает значение :
2 1 ln 1 1 1 .
2
a
a a
(3.8)
§4. Числовой пример.
Исследована зона предразрушения у вершины трещины нормального отрыва в
нелинейно-упругом ортотропном материале.
При решении краевой задачи использованы данные для сплава Д16, полученные в
работе [2].
Компоненты тензора анизотропии F являются такими:
10 1 10 1 10 1
1111 1122 1133
10 1 10 1 10 1
1212 1313 2222
10 1 10 1
2233 2323 3333
0,193 10 Па 0,045 10 Па 0,049 10 Па
0,107 10 Па 0,121 10 Па 0,142 10 Па
0,045 10 Па 0,107 1
; ; ;
; ;
0 Па 0,19
;
; ;
F F F
F F F
F F F
10 13 10 Па .
На основе значений компонент тензора анизотропии F по формулам (3.1) вычис-
лены (с учетом равенств (1.3)) компоненты тензора анизотропии G:
1111 10 1122 10 1133 10
1212 10 1313 10 2222 10
2233 10 2323 10 3333 10
6,395 10 Па; 2,744 10 Па; 2,263 10 Па;
2,336 10 Па; 2,066 10 Па; 8,781 10 Па;
2,744 10 Па; 2,336 10 Па; 6,395 10 Па.
G G G
G G G
G G G
Постоянные υ и ψ, а также коэффициент a из формул (3.2) и (3.8) являются такими:
2 1 2 2 1 2 2 1 23,25 10 Па 93,50 10 Па ; 1,1112866 10; Па .a
На основе этих значений по формуле (3.8) вычис-
лено : 4 645,97 10 Па.
Принято, что
5 1 5
1 2 2, 3; 0,2 10 м ; 5,0 10 м.k k m
На основе этих значений по формулам (1.21) вы-
числены коэффициенты
1
,kb
2
:kb
1 2
10 2 15 30,08 10 м ; 0,008 10 м .k kb b
В соответствии с формулой (1.23) ,( ) 1f v если
55,0 10 м.v При этом, согласно уравнению (2.34),
1 0P , т. е. будет достигнуто состояние предельного
равновесия.
Координата 2x начала зоны предразрушения (точ-
ки A) записана как 2 ,fx а конца зоны предразрушения
(точки B) – как 2
gx (рис. 3).
Рис. 3
38
Были заданы
2 2 2 2 2 2 1 2 2 1,50 10 м ; 1,58 10 м, 1 ,60 10 м, 1,62 10 м; 0,02 10 м .f gx x
Для длин трещины Rl и зоны предразрушения Sl имеем
2 2 2 ; .R f S g fl x l x x (4.1)
Итак, длина трещины оставалась неизменной, равной 21,50 10 м, а длина зоны
предразрушения согласно второй из формул (4.1) составляла 2 20,08 10 м , 0,10 10 м ,
2 0,12 10 м.
Компонента 1P вектора P в точках на верхней границе рассматриваемой части
пластины выражена через параметр w нагрузки на пластину: 1 .P w
Решая краевую задачу, следовало определить параметр w (из условия, что в точке
B соблюдается критерий (3.4), а составляет 4645,97 10 Па).
В общей сложности решение краевой задачи найдено для трех вариантов, разли-
чающихся длиной зоны предразрушения. В каждом из этих вариантов параметр w
варьировали.
При решении краевой задачи (для каждого из значений параметра w) учитывали,
что в точке B компонента 11S тензора S должна удовлетворять равенству
11 .B oS P (4.2)
Не известную заранее величину oP определяли за несколько итераций. Изначаль-
но ее задавали равной 81,90 10 Па.
Компоненту 1P вектора P в точках на верхней границе зоны предразрушения
выражали, используя уравнение (2.34), через величину oP и функцию )( .f v Кроме
того, учитывали первое из равенств (2.35).
Затем по уравнениям (2.20) и (2.25), (2.27), (2.29), а также (2.38), (2.39) и (2.41)
отыскивали, представив частные производные через конечные разности, компоненты
1u , 2u . Делали это по методу последовательных приближений, обобщающему метод
Ильюшина. В первом приближении принимали, что .( ) 0 При этом в соответ-
ствии с формулами (2.21) и (2.26), (2.28), (2.30) имели место равенства 1 2, 0Q Q и
1 2, 0.R R Кроме того, в первом приближении полагали, что .( ) 0f v В каждом по-
следующем приближении, одном из восьмидесяти девяти приближений, значения
функции )( , величин 1 2, Q Q и 1 2, ,R R а также функции )(f v устанавливали на
основе значений компонент 1,u 2 ,u полученных в предыдущем приближении. Для
этого привлекали формулы (3.2), (2.2), первый из инвариантов (2.3), инварианты
(2.10) и (2.13), выражение (2.14), формулы (2.21) и (2.26), (2.28), (2.30), а также фор-
мулы (1.23), (2.37) и (2.36).
После этого по первому из уравнений (2.15) вычисляли компоненту 11S тензора S
в точке B. Если она не удовлетворяла равенству (4.2), то величину oP корректирова-
ли, и всю процедуру повторяли.
Учитывая формулу (2.2), первый из инвариантов (2.3), инварианты (2.10) и (2.13),
проверяли соблюдение (в точке B) критерия (3.4). Если это было не так, то параметр w
изменяли.
39
§5. Анализ полученных результатов.
В результате решения краевой задачи для различных длин зоны предразрушения
определена, прежде всего, нагрузка на пластину (параметр w). Полученные значения
параметра w приведены в табл. 1.
Из табл. 1 явствует, что с повышением нагрузки на плас-
тину увеличиваются длина зоны предразрушения и, как след-
ствие, раскрытие трещины в вершине (точке A). Иными слова-
ми, пластина стремится к состоянию предельного равновесия,
в котором модуль v вектора v принимает значение 𝜂, а модуль
P вектора P становится равным нулю (все это – в точке A).
По мере повышения нагрузки на пластину изменение
длины зоны предразрушения становится все более значительным. Это убедительно
иллюстрирует график, представленный на рис. 4.
Подобным же образом ведет себя и раскрытие трещины в вершине.
Для каждой нагрузки на пластину выявлены точки, в которых соблюдается крите-
рий (3.3). При этом учитывали формулу (2.2), инварианты (2.10) и (2.13), выражение
(2.14). Через эти точки проведены линии, являющиеся границами зоны нелинейности.
В качестве примера на рис. 5 показана зона нелинейности (затемненная область)
для нагрузки на пластину, составляющей 75,9098 10 Па.
Образовавшись у вершины трещины,
для которой 1 0x , а 2 21, м5 ,10x зо-
на нелинейности почти полностью вышла
на боковую границу рассматриваемой
части пластины, отстоящую от оси 1x на
23,0 10 м. Этого не произошло лишь на
малой части указанной границы напротив
трещины.
С повышением нагрузки на пластину
зона нелинейности расширялась. Дей-
ствительно, она простиралась по боковой
границе рассматриваемой части пластины
в пределах от 1 20,56 0 м1x до
1 22,54 0 м1x при 75,8463 П ,10 аw
но в пределах от 1 20,50 0 м1x до
1 22,64 0 м1x при 75,9098 П .10 аw
Умеренное расширение зоны нелинейно-
сти вполне закономерно, ибо нагрузка на
пластину повышалась незначительно.
Наглядное представление об эволю-
ции зоны предразрушения в процессе
нагружения пластины дает рис. 6. Для
кривых, показанных на этом рисунке,
длина зоны предразрушения такова:
1 – 20,08 10 м; 2 – 20,10 10 м;
3 – 20,12 10 м.
На рис. 6, а показано, как именно
увеличивается перемещение (в направле-
нии оси 1x ) верхней границы зоны
предразрушения с возрастанием длины
зоны предразрушения.
Таблица 1
210 , мSl 710 , Паw
0,08 5,846375
0,10 5,903761
0,12 5,909860
Рис. 5
Рис. 4
40
Интересно, что компонента 11S тензора S в точке B слабо зависит от длины зоны
предразрушения. В самом деле, для кривых 1, 2, 3, показанных на рис. 6, б, она со-
ставляет 82,0026 10 , Па 82,0046 10 , Па 82,0087 10 , Па соответственно.
Согласно установленным результатам, 11
BS можно считать равной 82,00 10 Па,
независимо от длины зоны предразрушения. В силу равенства (4.2), 82,00 10 Па.oP
Зависимости компоненты 1u вектора u и компоненты 11S тензора S в точке A от
параметра w иллюстрируют рис. 7, а, б, соответственно. Из этих рисунков видно, что
1
Au резко увеличивается, а 11
AS столь же резко уменьшается с повышением параметра w.
Для каждой длины зоны предразрушения по соотношениям (2.5) вычислены (с уче-
том выражения (2.14)) компоненты 11 22 33, , D D D тензора D в точках, расположенных воз-
ле точки B. Особый интерес вызывают значения этих компонент в самой точке B (табл. 2).
Отметим, что возрастание длины зоны предразрушения с 20,08 10 м до
20,12 10 м привело к увеличению 11
BD с 22,0235 10 до 22,0311 10 и уменьшению
22
BD с 21,8232 10 до 21,8170 10 . При этом 33
BD изменилась гораздо менее заметно,
уменьшившись с 23,5356 10 до 23,5364 10 .
Представляется интересным тот факт, что, невзирая на заметное возрастание дли-
ны зоны предразрушения, 33
BD не претерпела
ощутимых изменений.
Компонента 33D тензора D в точке B при-
нимает минимальное значение (рис. 8). Кри-
вые, изображенные на рис. 8, соответствуют
таким длинам зоны предразрушения: 1 – 0,08
2 ;10 м 2 – 20,10 10 м; 3 – 20,12 10 м.
Рис. 6
Рис. 7
41
Следовательно, зная из эксперимента
компоненту 33D тензора D в различных
точках около вершины трещины, можно
обнаружить точку B, установив, тем са-
мым, длину зоны предразрушения.
Крайне важна зависимость раскрытия
трещины в вершине от нагрузки на пла-
стину, т.е. зависимость ( ).A Av v w
Значения Av для различных значений
параметра w приведены в табл. 3.
Экстраполируя зависимость Av
),(Av w установим критическое значение параметра w, при котором пластина дости-
гает состояния предельного равновесия.
Пусть зависимость Av от параметра w является экспоненциальной:
exp( ). Av b c w (5.1)
Будем считать, что
, ,
, , .
o p q
A A A A
o p qw w w w
v v v v
(5.2)
Согласно первому из условий (5.2) формула (5.1) будет
exp )( .A
o ov b c w
Отсюда находим коэффициент :c
.
exp ( )
A
o
o
v b
c
w
(5.3)
Подставляя в формулу (5.1) выражение (5.3), будем иметь
( )ex )p ( .A A
o ov b v b w w (5.4)
Преобразуем формулу (5.4) к виду
( l .) n
A
o A
o
v b
w w
v b
(5.5)
В соответствии с формулой (5.5),
1
ln .
A
A
o o
v b
w w v b
(5.6)
Принимая во внимание второе и третье из условий (5.2), выведем на основании
формулы (5.6) уравнение относительно постоянной b:
1 1
ln ln .
A A
p q
A A
p o q oo o
v b v b
w w w wv b v b
(5.7)
Решением уравнения (5.7) будет 53,042052 10 м.b
Таблица 2
210 , мSl 2
11 10BD 2
22 10BD 2
33 10BD
0,08 2,0235 1,8232 – 3,5356
0,10 2,0281 1,8190 – 3,5359
0,12 2,0311 1,8170 – 3,5364
Рис. 8
42
Полагая, что pw w и ,A A
pv v вычислим по формуле (5.6) коэффициент :
7 1101,8201 .10 Па
Из формулы (5.6) имеем
1
ln .
A
o A
o
v b
w w
v b
(5.8)
Учитывая, что для состояния предельного равно-
весия, согласно критерию (1.25), 55,0 10 м,Av вы-
числим по формуле (5.8) критическое значение пара-
метра .w Оно составляет 75,916262 10 Па, несколь-
ко превосходя последнее из значений параметра w,
приведенных в табл. 3.
На основе полученных результатов по-
строен график, представленный на рис. 9.
Как видно из этого графика, по мере по-
вышения нагрузки на пластину раскрытие
трещины в вершине резко увеличивается.
Оценим характер зависимости Av
)(Av w по производной .Adv dw
Дифференцируя формулу (5.4), полу-
чаем
( ) )exp ( .
A
A
o o
dv
v b w w
dw
(5.9)
Вычисления по формуле (5.9) пока-
зывают, что с повышением параметра w
производная Adv dw стремительно уве-
личивается. Действительно, если при 75,84637 П5 а10w она была равна 0,16
1 12 м19 Па , то при 1 17 25,903761 10 55,82 10Па мПа ,w а при 5,909860w
7 12 110 103,87Па мП10 а . Однако при критическом значении параметра w, со-
ставляющем 75,916262 10 Па, производная Adv dw равна уже 112199,35 10 мПа .
Заключение.
Рассмотрено тело с трещиной, перед фронтом которой образуется зона предраз-
рушения. Установлены конститутивные уравнения, связывающие между собой ком-
поненты векторов напряжения в точках на противоположных границах зоны предраз-
рушения и компоненты вектора смещения относительно друг друга этих точек.
Сформулирован критерий локального разрушения. В компонентах вектора перемеще-
ния поставлена краевая задача о равновесии пластины из нелинейно-упругого орто-
тропного материала, имеющей трещину нормального отрыва. В результате численно-
го решения краевой задачи выяснено, как именно эволюционирует зона предразруше-
ния при нагружении пластины. Выявлены особенности поля деформаций возле конца
зоны предразрушения. Найдена критическая нагрузка на пластину, приводящая к ро-
сту трещины.
РЕЗЮМЕ. Розглянуто тіло із тріщиною, перед фронтом якої утворюється зона передруйнуван-
ня. Встановлено конститутивні рівняння, що зв’язують між собою компоненти векторів напруження
у точках на протилежних межах зони передруйнування й компоненти вектора зміщення відносно
одна одної цих точок. Сформульовано критерій локального руйнування. У компонентах вектора пе-
Таблица 3
710 , Паw 510 , мAv
5,846375 3,043642
5,903761 3,590334
5,909860 4,062284
Рис. 9
43
реміщення поставлено крайову задачу про рівновагу пластини з нелінійно-пружного ортотропного
матеріалу, що має тріщину нормального відриву. В результаті чисельного розв’язання крайової зада-
чі з’ясовано, як саме еволюціонує зона передруйнування при навантаженні пластини. Виявлено особ-
ливості поля деформацій біля кінця зони передруйнування. Знайдено критичне зусилля на пластину,
яке приводить до зростання тріщини.
1. Богданова О.С., Каминский А.А., Курчаков Е.Е. О зоне предразрушения возле фронта произволь-
ной трещины в твердом теле // Доп. НАН України. – 2017. – № 5. – С. 25 – 33.
2. Курчаков Е.Е. Исследование связи деформаций с напряжениями для нелинейной анизотропной
среды // Прикл. механика. – 1979. – 15, № 9. – С. 19 – 24.
3. Курчаков Е.Е. Термодинамическое обоснование определяющих уравнений для нелинейного анизо-
тропного тела // Доп. НАН України. – 2015. – № 9. – С. 46 – 53.
4. Хенки Х. Развитие и современное состояние теории пластичности // Прикл. математика и механика.
– 1940. – 4, № 3. – С. 31 – 36.
5. Banks-Sills L., Travitzky N., Ashkenazi D., Eliasi R. A methodology for measuring interface fracture prop-
erties of composite materials // Int. J. Fract. – 1999. – 99, N 3. – P. 143 – 160.
6. Kaminsky A.A., Bogdanova O.S. Long-Term Crack-Resistance of Orthotropic Viscoelastic Plate under
Biaxial Loading // Int. Appl. Mech. – 1995. – 31, N 9. – P. 747 – 753.
7. Каminsky А.А., Кurchakov Е.Е. Influence of Tension along a Mode I Crack in an Elastic Body on the
Formation of a Nonlinear Zone // Int. Appl. Mech. – 2015. – 51, N 2. – P. 130 – 148.
8. Kaminsky A.A., Selivanov M.F. On Modeling of Subcritical Crack Growth in Viscoelastic Body under
Point Forces // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 5. – P. 538 – 544.
9. Kurchakov E.E. Experimental Study of the Plastic Zone at the Front of a Mode I Crack // Int. Appl. Mech.
– 2018. – 54, N 2. – P. 213 – 219.
10. Love A. Treatise on the mathematical theory of elasticity. – Cambridge: At the university press, 1927. –
674 p.
11. Needleman A. A continuum model for void nucleation by inclusion debonding // J. Appl. Mech. – 1987.
– 54, N 3. – P. 525 – 531.
12. Park K., Paulino G. H. Cohesive zone models: A critical review of traction-separation relationships
across fracture surfaces // Appl. Mech. Reviews. – 2011. – 64, N 11. – P. 1 – 20.
13. Savin G.N., Kaminskii A.A. The growth of cracks during the failure of hard polymers // Sov. Appl. Mech.
– 1967. – 3, N 9. – P. 22 – 25.
14. Tvergaard V., Hutchinson J.W. The influence of plasticity on mixed mode interface toughness // J. Mech.
Phys. Solids. – 1993. – 41, N 6. – P. 1119 – 1135.
15. Wells A.A. Critical tip opening displacement as fracture criterion // Proc. Crack Propagation Symp. Gran-
field. – 1961. – 1. – P. 210 – 221.
16. Wittmann F.H., Rokugo K., Bruehwiler E., Mihashi H., Simonin P. Fracture energy and strain softening
of concrete as determined by means of compact tension specimens // Mater. Struct. – 1988. – 21, N 1. –
P. 21 – 32.
Поступила 10.10.2017 Утверждена в печать 22.11.2018
|