Собственные частоты составных анизотропных оболочечных систем на основе разных моделей деформирования
Предложен подход к определению частот и форм свободных колебаний составных систем из оболочек вращения разной геометрии и относительной толщины, непрерывно и (или) дискретно неоднородных по толщине, из изотропных, ортотропных и анизотропных материалов с одной плоскостью упругой симметрии. Подход вк...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2019 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2019
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174552 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Собственные частоты составных анизотропных оболочечных систем на основе разных моделей деформирования / Е.И. Беспалова, Н.П. Борейко // Прикладная механика. — 2019. — Т. 55, № 1. — С. 44-59. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859949102972796928 |
|---|---|
| author | Беспалова, Е.И. Борейко, Н.П. |
| author_facet | Беспалова, Е.И. Борейко, Н.П. |
| citation_txt | Собственные частоты составных анизотропных оболочечных систем на основе разных моделей деформирования / Е.И. Беспалова, Н.П. Борейко // Прикладная механика. — 2019. — Т. 55, № 1. — С. 44-59. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Предложен подход к определению частот и форм свободных колебаний составных систем из оболочек вращения разной геометрии и относительной толщины, непрерывно и (или) дискретно неоднородных по толщине, из изотропных, ортотропных и анизотропных материалов с одной плоскостью упругой симметрии. Подход включает построение математической модели колебаний на основе классической теории Кирхгофа – Лява, уточненной теории типа Тимошенко, пространственной теории упругости (частный случай) и численно-аналитическую методику решения соответствующих двумерных (трехмерных) задач на основе понижения их размерности и использования методов последовательных приближений и пошагового поиска в сочетании с методом ортогональной прогонки. Приведены примеры решения задач из разных областей техники.
Запропоновано підхід до визначення частот і форм вільних коливань спряжених систем з оболонок обертання різної геометрії і відносної товщини, неперервно і (або) дискретно неоднорідних за товщиною, з ізотропних, ортотропних та анізотропних матеріалів з однією площиною пружної симетрії. Підхід включає побудову математичної моделі коливань на основі класичної теорії Кірхгофа – Лява, уточненої теорії типу Тимошенка, просторової теорії пружності (частинний випадок) і чисельно-аналітичну методику розв’язання відповідних двовимірних (тривимірних) задач на основі зниження їх розмірності і використання методів послідовних наближень і покрокового пошуку в поєднанні з методом ортогональної прогонки. Наведено приклади розв’язання задач з різних областей техніки.
An approach to determining the frequencies and modes of free vibrations is proposed for the compound systems of shells of revolution with different geometry and relative thickness. The shells are made of isotropic, orthotropic, and anisotropic materials with one plane of elastic symmetry and are continuously and (or) discretely inhomogeneous across the thickness. This approach includes the construction of a mathematical model of vibrations based on the classical Kirchhoff – Love theory, refined Timoshenko type theory, 3D elasticity theory (partial case), and numerical-analytical technique of solving the associated 2D (3D) problems by reducing their dimensionality and using the methods of successive approximations and step-by-step search in combination with the orthogonal-sweep method. The examples of solving the problems from various fields of engineering are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:15:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
2019 П Р И К Л А Д Н А Я М Е Х А Н И К А Том 55, № 1
44 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2019, 55, № 1
Е . И . Б е с п а л о в а , Н . П . Б о р е й к о
СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ СОСТАВНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ
ОБОЛОЧЕЧНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ РАЗНЫХ МОДЕЛЕЙ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: metod@inmech.kiev.ua
Abstract. An approach to determining the frequencies and modes of free vibrations is
proposed for the compound systems of shells of revolution with different geometry and rela-
tive thickness. The shells are made of isotropic, orthotropic, and anisotropic materials with
one plane of elastic symmetry and are continuously and (or) discretely inhomogeneous
across the thickness. This approach includes the construction of a mathematical model of
vibrations based on the classical Kirchhoff – Love theory, refined Timoshenko type theory,
3D elasticity theory (partial case), and numerical-analytical technique of solving the associ-
ated 2D (3D) problems by reducing their dimensionality and using the methods of succes-
sive approximations and step-by-step search in combination with the orthogonal-sweep
method. The examples of solving the problems from various fields of engineering are pre-
sented.
Key words: compound shells of revolution, frequencies and modes of free vibrations,
classical, refined and 3D elasticity theory, numerical-analytical technique.
Введение.
Расчетные схемы многих конструкций современной техники представлены упру-
гими системами из соосных сопряженных оболочек вращения различных геометриче-
ских форм и структур, изготовленных из традиционных и новых композитных мате-
риалов. К ним относятся резервуары высокого давления, защитные покрытия ядерных
реакторов, корпуса ракет, аппаратов подводного погружения, емкости различного
назначения и пр. Требования надежности и долговечности указанных конструкций
охватывают широкий круг исследований, включая анализ их динамических характе-
ристик. Знание спектра собственных частот в низкочастотном его участке позволяет
отследить резонансные режимы работы сложных объектов и в условиях действия ре-
альных нагрузок предотвратить возникновение аварийных ситуаций.
Эталонными по этой тематике являются исследования колебаний отдельных одно-
родных оболочек нулевой или постоянной гауссовой кривизн из изотропных и орто-
тропных материалов, которые известны из справочной литературы. Из последних работ
по колебаниям отдельных оболочечных элементов следует отметить [7, 11, 16, 22].
При сопряжении в единой системе разнородных оболочек, отличающихся геомет-
рией, толщиной, структурой по толщине и т.п., возникает ряд дополнительных вопро-
сов постановочного и реализационного плана. Они связаны, в частности, с выбором
модели деформирования, формулировкой условий сопряжения и рациональной их
реализацией в процессе решения соответствующих задач.
Отметим, что колебания составных оболочек исследованы для систем, состоящих
из цилиндров, конусов, кольцевых пластин, а также элементов сферического класса, в
основном, в рамках моделей Доннелла – Муштари – Флюгге, классической модели
Кирхгофа – Лява и значительно реже – с учетом деформаций поперечного сдвига со-
гласно модели Тимошенко – Миндлина – Нагди [8, 14, 18, 19, 21]. Эти исследования
ограничены, преимущественно, случаями изотропных и ортотропных материалов.
45
Так, в [12] проведено экспериментальное и аналитическое исследование резо-
нансных частот изотропной системы цилиндр – усеченный конус в зависимости от
угла конусности конического элемента. Аналогичная система при разных граничных
условиях в случае однородной и дискретно неоднородной по толщине структуры изу-
чена в [8] и [18]. Система из двух сопряженных изотропных конусов, включающая как
частные случаи системы цилиндр – конус, цилиндр – пластина, конус – пластина, ис-
следована в [19]. Кольцевая пластина в соединении с круговым цилиндром или кону-
сом рассмотрена, соответственно, в [9] и [15]. В [10] проведен анализ собственных
частот слоистой конструкции из трех элементов – цилиндра и двух конусов, модели-
рующих фрагмент космического корабля. В [20] исследованы колебания системы
сфера – цилиндр – сфера, как расчетной схемы герметической капсулы, а в [17] рас-
смотрена система конус – цилиндр – сфера с кольцевыми подкреплениями.
Математический аппарат исследования в данных работах базируется на использо-
вании метода конечных элементов в различных его модификациях, смешанных рядов
с аппроксимацией тригонометрическими функциями в окружном направлении и ор-
тогональными полиномами по образующей, метода Релея – Ритца с выбором разных
систем базисных функций [10, 14, 17, 18, 21]. В отдельных статьях решение получено
в аналитическом виде (например, в [12, 19, 20]).
В данной работе рассмотрен подход к определению частот и форм свободных ко-
лебаний составных анизотропных систем из оболочек вращения разной геометрии и
структуры из композитных материалов (одна и три плоскости упругой симметрии).
Подход включает постановку задачи по оболочечным моделям Кирхгофа – Лява, Ти-
мошенко – Миндлина и по пространственной теории упругости (частные случаи), а
также численно-аналитическую методику решения соответствующих задач на соб-
ственные значения с автоматическим удовлетворением условиям сопряжения.
§1. Объект исследования, исходные положения, постановка задачи.
В качестве объекта исследования выбрана система, состоящая, в общем случае, из
J сопряженных между собой соосных оболочек вращения разной геометрии и струк-
туры. Каждая составная оболочка рассматривается как отдельный j -ый участок
( 1,j J ) единой оболочечной системы, координатная (или срединная, в частном слу-
чае) поверхность которой образована вращением некоторой плоской однозначной
кусочно гладкой кривой вокруг прямолинейной оси 0z (рис. 1, а).
Рис. 1
46
Положение произвольной точки этой поверхности определяется в ортогональной
сопряженной системе координат ( , ), где 0 1{ ( , )}j j j ( 1,j J ) изменяется
по меридиану-образующей, а – есть центральный угол сечения constz . Коорди-
натная поверхность 0 , как некоторая исходная поверхность отсчета по толщине
оболочек, выбирается неформальным образом, а переменная отсчитывается по
нормали к этой поверхности (рис. 1, б).
Оболочки по толщине могут быть тонкими или нетонкими (средней толщины),
однослойными или состоять из M слоев постоянной или переменной по меридиану
толщины. Смежные m -ый и ( 1)m -й слои контактируют между собой по поверх-
ности m 1, 1m M , а внешние ограничивающие поверхности 0 ( ) и
( )M являются свободными от нагружения.
На торцах оболочечной системы 01 и 1J принимаются произвольные
однородные физически непротиворечивые граничные условия.
Предполагается, что в пределах каждого отдельного j -го участка системы
( 1,j J ), т.е. для каждой составляющей оболочки ее геометрические параметры,
толщины и физико-механические свойства материала задаются гладкими функциями
переменной .
Исследование колебаний таких составных систем проводится при следующих до-
пущениях.
1. Колебания являются малыми, незатухающими, гармоничными во времени и
синфазными.
2. На линиях сопряжения 1 1 0j j ( 2,j J ) двух смежных ( 1j )-го и j -го
участков формулируются условия равновесия статических и условия неразрывности
кинематических характеристик напряженно-деформированного состояния оболочек в
общей системе координат ( 0 )r z .
3. Смежные m -ый и ( 1)m -й слои контактируют между собой без отрыва и про-
скальзывания.
4. Материалы слоев работают в упругой стадии деформирования и могут быть
изотропными, ортотропными (три плоскости упругой симметрии) или анизотропны-
ми, когда в каждой точке имеется одна плоскость упругой симметрии, параллельная
координатной.
5. Математическая модель исследования формулируется на основе известных до-
пущений классической теории Кирхгофа – Лява и сдвиговой теории первого порядка
по Тимошенко (уточненная теория Тимошенко) для всего пакета слоев в целом. До-
полнительно, на основе пространственной постановки теории упругости рассматрива-
ется вспомогательная задача для кругового неоднородного по толщине цилиндра при
специальных условиях на торцевых плоскостях.
6. Учитываются инерционные силы, связанные с поступательным смещением
элемента координатной поверхности (классическая теория) и дополнительно с его
вращением (уточненная теория).
В рамках принятых допущений задача о свободных колебаниях описанных со-
ставных оболочек сводится к определению нетривиального решения однородной
двумерной краевой задачи следующего вида:
система дифференциальных уравнений в частных производных –
2
2
0
qqq
q q
q
N
B C N
A t
; 0 1{ ( , )}j j j ( 1,j J ), 0,2 ; (1.1)
условия совместной работы на линиях сопряжения –
1 1 0
1
j j
j jS N S N
; 1 1 0j j ( 2,j J ); (1.2)
47
граничные условия на торцевых контурах системы –
01 0;R N
01 ; (1.3)
1 0;JR N
1J ; (1.4)
условия периодичности в окружном направлении –
, 2 ,N N
(1.5)
(в обозначении точки pj первый индекс p соответствует началу 0p и концу
1p j -ой оболочки, второй индекс 1,j J – номеру оболочки).
Здесь A – параметр Лямэ, связанный с приращениями дуги координатной линии
const равенством ds Ad ,
ˆ ˆ{ , , , , , , , },
( 1,8; 4) классическая теория;
{ ( , , )}
{ , , , , , , , , , };
( 1,10; 2) уточненная теория
i
N S Q M u v w
i qq
N N t
N N Q M H u v w
i qq
(1.6)
– неизвестная вектор-функция с указанными компонентами напряженно-деформиро-
ванного состояния (НДС): Ŝ N k H , ˆ H
Q Q k
– приведенные сдвиговое
и перерезывающее усилия; N , N , Q – тангенциальное, сдвиговое и перерезыва-
ющее усилия в сечении const; ,M H – изгибающий и крутящий моменты в этом
же сечении; , ,u v w – перемещения точек координатной поверхности по направлениям
, , ;
w
k u
A
– угол поворота нормали; , – полные углы поворота
прямолинейного элемента в сечениях const и const ; ,k k – кривизны соот-
ветствующих координатных линий; qq – высший порядок производной в окружном
направлении; C , 1,j jS S и 01 1, JR R – матрицы, характеризующие инерционные
свойства системы, условия сопряжения на линиях 1 1 0j j и граничные условия
на контурах 01 и 1J , соответственно; t – временная переменная.
Техника построения систем дифференциальных уравнений в квазидивергентной
форме и получение коэффициентов матриц { ( )}q
q mnB b ( 0,q qq ) подробно изло-
жены в работах [3, 4].
Для частного класса упругих тел, а именно, полых неоднородных по толщине
круговых цилиндров при специальных условиях на торцевых плоскостях, исследова-
ние свободных колебаний в пространственной постановке приводит к однородной
трехмерной краевой задаче аналогичного вида:
система дифференциальных уравнений в частных производных –
1 2
1 21 2
1 2
2 22 2
2
0 0
q q
zq q zq q
q q
B B B C
z z t
; (1.7)
0 , M , (0, )z l 0,2 ;
условия совместной работы на линиях контакта слоев –
48
; m ( 1, 1m M ); (1.8)
граничные условия на лицевых поверхностях –
0 0;R 0 ; (1.9)
0;MR M ; (1.10)
специальные условия на торцевых плоскостях –
0;z u u 0;z z l ; (1.11)
условия периодичности в окружном направлении –
, , 2 , ,z z . (1.12)
Выше приняты обозначения:
{ ( , , , )} { , , , , , }n z zz t u u u ( 1,6n ) (1.13)
– искомая вектор-функция, компоненты которой имеют следующий смысл: , ,z
– нормальные и касательные напряжения в плоскости const ; , ,zu u u – переме-
щения по соответствующим координатным направлениям; коэффициенты матриц
1 2
, , ,zq q zB B B ( 1 2, 0,1,2q q ) получаем по известной технике на основе уравнений
пространственной теории упругости анизотропного тела [6]; C – матрица, характери-
зующая инерционные свойства материала слоев; знаки «–» и «+» в , (1.7)
означают, что вектора относятся к ( 1)m -ому и m -ому слою, соответственно; мат-
рицами 0 , MR R задаются граничные условия на лицевых поверхностях цилиндра.
§2. Методика решения.
Для определения нетривиального решения двумерных однородных краевых задач
вида (1.1) – (1.5) или трехмерных задач вида (1.7) – (1.12) предлагается численно-
аналитическая методика, состоящая в понижении их размерности до одномерного
случая тем или иным рациональным аналитическим способом (этап 1) и решение по-
лученных одномерных задач эффективными численными методами (этап 2).
Этап 1. На первом этапе методики, учитывая гармоничность рассматриваемых
колебаний во времени и периодичность их форм по окружной переменной (1.5), пред-
ставим искомую вектор-функцию (1.6) в следующем виде:
( )
0,1, 2,...
{ ( , , ) ( ) }i k t
n nk
k
N N t N e
, (2.1)
где 2 1i ; k – параметр волнообразования по переменной , равный числу волн,
полностью укладывающихся в этом направлении; и { ( )}k nkN N – искомые ча-
стота и соответствующая ей амплитудная вектор-функция формы колебаний по пе-
ременной .
Такое представление позволяет разделить переменные в (1.1) – (1.5) и свести ис-
ходную двумерную задачу о колебаниях составных оболочек к последовательности
одномерных однопараметрических задач на собственные значения относительно ком-
плексной вектор-функции ' "
k k kN N iN ( 0, 1, 2, ...k ):
2
0
( )
qq
qk
q k
q
dN
ik B C N
Ad
; 0 1{ ( , )}j j j ( 1,j J ); (2.2)
1 1 0
1
j j
j j
k kS N S N
; 1 1 0j j ( 2,j J ); (2.3)
49
01 0;kR N 01 ; 1 0,J kR N 1J . (2.4)
В действительной форме задача (2.2) – (2.4) записывается следующим образом:
'
2 ' "
0 0
Re ( ) Im ( )
qq qq
q qk
q k q k
q q
dN
ik B C N ik B N
Ad
;
"
' 2 "
0 0
Im ( ) Re ( )
qq qq
q qk
q k q k
q q
dN
ik B N ik B C N
Ad
; (2.5)
0 1{ ( , )}j j j ( 1,j J );
1 1 0
1 ' 1 " ' "Re( ) Im( ) Re( ) Im( )
j j
j j j j
k k k kS N S N S N S N
;
1 1 0
1 ' 1 " ' "Im( ) Re( ) Im( ) Re( )
j j
j j j j
k k k kS N S N S N S N
; (2.6)
1 1 0j j ( 2,j J );
' "
01 01Re( ) Im( ) 0;k kR N R N ' "
01 01Im( ) Re( ) 0;k kR N R N 01;
' "
1 1Re( ) Im( ) 0;J k J kR N R N ' "
1 1Im( ) Re( ) 0;J k J kR N R N 1 .J (2.7)
Эта задача относительно вектор-функции, содержащей действительные '
kN и
мнимые "
kN составляющие комплексной вектор-функции ' "
k k kN N iN , имеет 16-ый
и 20-ый порядок, соответственно, для классической и уточненной оболочечных моде-
лей.
Следует отметить, что если вместо функций ˆ, , ,N Q u w в случае классической
модели оболочек (1.6) ввести новые искомые функции , , ,r z r zN N u u
ˆcos sinrN N Q ; ˆsin cos ;zN N Q
cos sinru u w ; sin coszu u w ,
то матрицы сопряжения 1,j jS S в (1.2) будут единичными. rN и zN – соответ-
ственно, радиальное и осевое усилия; ru и zu – аналогичные перемещения; – угол,
образованный нормалью к координатной поверхности и осью вращения. Единичными
будут эти матрицы и в случае уточненной модели Тимошенко (1.6) при аналогичной
замене искомых функций.
Такого же рода преобразования применяются и к решению вспомогательной
трехмерной задачи (1.7) – (1.12) о свободных колебаниях полого неоднородного по
толщине цилиндра. Принимая во внимание, как и в задаче (1.1) – (1.5), гармоничность
колебаний во времени, периодичность форм колебаний в окружном направлении
(1.12) и специальные условия типа шарнирного опирания на торцах цилиндра (1.11),
представим искомую вектор-функцию (1.13) в виде
( )
1,2,.. 0,1,...
{ ( , , , ) ( ) }mi z k t
n nmk
m k
z t e
, (2.8)
где /m m l , m – параметр волнообразования, равный числу полуволн, полностью
укладывающихся по длине цилиндра; k и имеют тот же смысл, что и в (2.1), а
50
{ ( )}, 1,6mk nmk n – амплитудная вектор-функция формы колебаний по тол-
щине цилиндра.
В результате, исходная трехмерная задача (1.7) – (1.12) сводится к последова-
тельности двухпараметрических одномерных задач на собственные значения относи-
тельно комплексной вектор-функции ' "
mk mk mki ( 1,2,...; 0,1,2,...m k )
1 2
1 2
1 2
2 2
2
0 0
( ) ( )q qmk
m zq q m z mk
q q
d
i B ik B kB C
d
; 0 , M ; (2.9)
mk mk ; m ( 1, 1m M ); (2.10)
0 0;mkR 0 ; (2.11)
0;M mkR M . (2.12)
Эта задача, аналогично задаче (2.2) – (2.4), может быть представлена в действитель-
ной форме для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 12-го порядка
относительно вектора, содержащего действительную '
mk и мнимую "
mk компоненты
искомой комплексной вектор-функции ' "
mk mk mki .
Построением одномерных задач на собственные значения вида (2.5) – (2.7) или
(2.9) – (2.12) завершается реализация первого этапа используемой численно-анали-
тической методики, второй этап которой связан с решением полученных задач.
Этап 2. Все полученные задачи можно представить в следующей единой унифи-
цированной форме относительно неизвестной вектор-функции { ( )}iY y x ( 1, 2i n ):
dY
A C Y
dx
; 0( , )Jx x x ; (2.13)
1j jS Y S Y
; jx x ( 1, 1j J ); (2.14)
0 0;R Y 0x x ; (2.15)
0;JR Y Jx x . (2.16)
Знаки «–» и «+» в векторах ,Y Y – обозначают их значения слева и справа от точки
jx x ; { ( )}imA a x ( , 1,2 )i m n – квадратная матрица 2n -го порядка с переменными
коэффициентами; 0 , JR R – прямоугольные матрицы порядков 2n n .
Для определения неизвестного числового параметра (собственное значение) и
соответствующего ему нетривиального решения задачи (2.13) – (2.16) (собственная
вектор-функция) в работе используются два метода: метод последовательных при-
ближений в варианте обратной итерации (метод Релея) [5] и метод пошагового поиска
( ( ) -метод) [13]. Оба метода реализуются в сочетании с методом ортогональной
прогонки решения линейных одномерных краевых задач [1, 2].
Метод пошагового поиска ( ( ) -метод). Суть метода состоит в определении та-
ких значений , при которых однородная краевая задача (2.13) – (2.16) имела бы не-
тривиальное решение 0Y . Для интегрирования системы линейных дифференци-
альных уравнений (2.13) при заданных граничных условиях (2.15), (2.16) и дополни-
тельных условиях (2.14) используется численный метод ортогональной прогонки
С.К. Годунова [1, 2]. Согласно этому методу решение ( , )Y x двухточечной задачи
(2.13) – (2.16) представляется в виде следующей комбинации решений задач Коши
( , )qU :
51
1
( , ) ( , )
n
q q
q
Y b U
. (2.17)
Задачи Коши формулируются для однородной системы уравнений (2.13), а в качестве
начальных условий выбираются набор n ( 1,q n ) линейно-независимых векторов,
удовлетворяющих граничным условиям (2.15). Для решения этих задач ( 1,q n ) ис-
пользуется одношаговый численный метод Кутта – Мерсона пятой степени. При этом
дополнительные условия (2.14) для каждой задачи Коши ( 1,q n ), а в силу представ-
ления (2.17), и для краевой задачи в целом реализуются автоматически. С целью по-
лучения устойчивого решения краевой задачи в виде (2.17) в ряде точек интервала
интегрирования lx -точках ортогонализации – проводится последовательное ортонор-
мирование полученных векторов-решений ( , )qU по процедуре Грамма – Шмидта
1
1
1
( , ) ( ( , ) ( , ))
q
q l q l qi i l
iqq
Z x U x Z x
( 1,q n ). (2.18)
Здесь ( , )qi q iU Z ( i q ),
1
2
1
( , )
q
qq q q qi
i
U U
, ( ,a b ) – операция скалярного про-
изведения векторов a и b .
Таким образом, в каждой точке ортогонализации lx решение системы (2.13), удо-
влетворяющее левому граничному условию (2.15), можно представить в виде
( , ) ( , ) ( )l l lY x Z x B x ,
где ( , )lZ x – матрица порядка 2n n , столбцы которой суть компоненты векторов
( , )q lZ x ; qB b – неизвестный вектор-столбец произвольных постоянных в пред-
ставлении (2.17).
Для определения компонент вектора qB b используется граничное условие
(2.16) на втором краю интервала интегрирования ( Jx x ). В силу однородности этого
условия определения ненулевого вектора 0B , а, следовательно, и нетривиального
решения однородной задачи (2.13) – (2.16), сводится к определению нулей характери-
стического детерминанта
( ) det( ( , )) 0. J JR Z x (2.19)
Алгоритм определения нулей выражения (2.19) реализован стандартным обра-
зом: путем перебора значений определялись два последовательных значений и
1 , удовлетворяющих условию 1( ) ( ) 0 , затем с помощью половинного
деления или интерполяционных приемов интервал ( 1, ) стягивался до получения
1( , ) с заданной точностью.
Метод последовательных приближений. Основные положения этого метода при-
менительно к однородной линейной краевой задачи (2.13) – (2.16) состоят в следую-
щем [5]. На m -ом шаге приближения путем введения новой искомой функции
( )mY V и ( 1)mY V и сдвигом спектра собственных значений на величину ис-
ходная однородная задача на собственные значения (2.13) – (2.16) сводится к неодно-
родной краевой задаче вида ( 1, 2, ...m ):
( )
( ) ( 1)
m
m mdV
A C V CV
dx
0( , )Jx x x ; (2.20)
52
( ) ( )
1
m m
j jS V S V
; jx x ( 1, 1j J ); (2.21)
( )
0 0;mR V 0x x ; (2.22)
( ) 0;m
JR V Jx x , (2.23)
которая решается методом ортогональной прогонки.
По найденным решениям ( )mV строится числовая последовательность
( ) ( 1)
( ) ( )
,
,
m m
m m m
V CV
V CV
,
сходящаяся к минимальному собственному значению ( m ) при выбранном
и функциональная последовательность векторов ( )mV ( 1, 2,...m ), сходящаяся к
соответствующей собственной вектор-функции Y : ( ) , 1, 2, ...mV Y m .
Завершением построения численно-аналитической методики решения двумерных
задач на собственные значения является реализация пошагового ( ) -метода и мето-
да последовательных приближений.
На основе разработанного подхода исследование частотных характеристик со-
ставных оболочечных систем предлагается проводить в такой последовательности.
1. Определить собственные частоты на основе классической модели оболочек с
использованием метода последовательных приближений (метода Релея).
2. Уточнить полученные значения собственных частот на основе предложенной
Тимошенко модели с использованием метода пошагового поиска ( ( ) -метода).
3. При наличии в системе толстостенных элементов или (и) элементов сложной
неоднородной структуры по толщине оценить возможности приближенных моделей
на примере смоделированной цилиндрической оболочки заданной структуры с при-
влечением пространственной постановки задачи.
§3. Анализ собственных частот составных оболочечных систем.
В качестве примера использования предложенного подхода приводится решение
трех задач. Первая из них является модельной и иллюстрирует возможности оболо-
чечных моделей Кирхгофа – Лява и Тимошенко – Миндлина в сравнении с результа-
тами по пространственной постановке задачи, в двух других рассмотрены оболочеч-
ные системы, близкие к реальным конструкциям.
Задача 1. Здесь на элементарном примере однородной по образующей цилиндри-
ческой оболочки анализируется применимость методики в зависимости от двух фак-
торов: неоднородности (вариант 1) и податливости (вариант 2) физико-механических
свойств оболочки по толщине.
1. Рассмотрена трехслойная цилиндрическая оболочка длины 2l ( [ ; ]s l l ), ра-
диусом срединной поверхности 0R и общей толщиной ( s – длина дуги образую-
щей). Слои оболочки расположены симметрично относительно срединной поверхно-
сти и выполнены из изотропного материала с разными упругими свойствами. Наруж-
ные слои толщины h имеют модуль упругости 0E E , плотность 0 и коэффи-
циент Пуассона , для внутреннего слоя толщины H имеем 0 /E E d , 0 / d ,
при том же коэффициенте Пуассона. По занимаемому объему внутренний слой равен
четырем наружным ( 4 2H h ). Степень неоднородности такой слоистой структуры
характеризуется параметром d или lg d . Значение 0 соответствует однород-
ной изотропной оболочке из материала наружных слоев. Возрастание параметра
при фиксированных свойствах материала наружных слоев соответствует одновремен-
53
ному снижению жесткости и плотности материала внутреннего слоя, так что с изме-
нением скорость распространения упругих волн всего цилиндра в целом сохраня-
ется. На торцах цилиндра s l принимаются условия шарнирного опирания.
Результаты расчета собственных частот цилиндра ( 0 0100R l , 02 / 2l R , 0,3 )
представлены на рис. 2 в виде зависимости 30
0 0
( )
( ) 10 / Гц
2
k l
f f k E
для раз-
ных моделей деформирования – классической, уточненной модели Тимошенко и
трехмерной постановки теории упругости (обозначения соответственно Кir, Тim и
3D), оболочек разной относительной толщины 0/ 0,05; 0,1; 0, 2R и разной степени
неоднородности по толщине ( 0l – характерный линейный размер цилиндра). Для
однородных оболочек 0 зависимости ( )f f k представлены на рис. 2, а, б, в,
соответственно, для тонких 0/ 0,05R , средней толщины 0/ 0,1R и толстых
0/ 0, 2R цилиндров, на рис. 2, г, д , е для этих же толщин при 1 , т.е. когда
свойства слоев различаются на порядок. Приведенные значения частот соответствуют
форме колебаний в виде одной полуволны по образующей и k ( [0,10]k ) узловым
диаметрам в окружном направлении.
г д е
Рис. 2
Как следует из приведенных зависимостей, для однородных оболочек – тонких
(рис. 2, а), средней толщины (рис. 2, б) и толстых (рис. 2, в) расчеты по модели Ти-
мошенко в рассмотренном диапазоне низших частот практически совпадают с расче-
54
тами по пространственной постановке, в то время как максимальная погрешность
классической модели для толстых оболочек может приближаться к 50%.
При различии в свойствах материала наружных и внутреннего слоев на порядок
( 1 ) значения частот для тонких оболочек (рис. 2, г) по всем моделям совпадают.
Для оболочек средней толщины (рис. 2, д) максимальное различие данных по модели
Тимошенко по сравнению с расчетами в пространственной постанове составляет по-
рядка 20%, а классической – порядка 50%. Для толстых цилиндров (рис. 2, е) эти раз-
личия увеличиваются, соответственно, до 35% и 85%.
При расчете минимальной частоты ( 2k ) и частот в ближайшей ее окрестности
различия для приведенных моделей деформирования не превышает 5% для цилин-
дров разной относительной толщины, включая толстые.
Таким образом, для получения значений высших частот для толстых оболочек с
погрешностью менее 40% недостаточно использования модели Тимошенко, и тем
более классической.
2. Подобные примерные оценки применяемых моделей проводились и для материа-
лов разной податливости на поперечный сдвиг. В данном исследовании наружные слои
предыдущего трехслойного цилиндра остаются изотропными, а внутренний слой прини-
мается ортотропным со следующими характеристиками: 2
1 025 10E E , 2
2 07,7 10E E ,
2
12 02,88 10G E , 2
13 23 02,88 10G G E , 0,24 , 0 .
Степень податливости материала по толщине будем характеризовать параметром
податливости при фиксированном значении модуля сдвига 12G : 13 23 1210G G G
(при 1 материал является жестким по толщине, при 0 податливость матери-
ала в поперечном направлении равна или больше, чем в координатной плоскости, а
при 1 различие между соответствующими жесткостями равно порядку.
Результаты расчета для цилиндра сред-
ней толщины 0/ 0,1R по трем рассмот-
ренным моделям представлены на рис. 3 в
виде зависимости частотного параметра
30
0 0
( )
( ) 10 / Гц
2
l
f f E
от пара-
метра податливости [ 1,0;1,0] для ми-
нимальной частоты 2k и более высокой
частоты 5k при одной полуволне вдоль
образующей цилиндра ( 1m ).
Значения минимальной частоты в рас-
смотренном диапазоне параметра податли-
вости , полученные по классической мо-
дели, близки к соответствующим расчетам
по двум другим моделям деформирования и
погрешность результата для наиболее подат-
ливого материала ( 1 ) не превосходит
5%. Для более высокой частоты ( 1m ,
5k ) наблюдается существенное различие
между значениями по оболочечным моделям
по сравнению с результатами по простран-
ственной постановке. Для наиболее подат-
ливого материала ( 1 ) расчеты по модели Тимошенко уточняют результаты
классической теории на 10%, в то время как от расчетов в трехмерной постановке они
завышены почти вдвое. При 0 (сдвиговые жесткости во всех координатных плос-
костях одинаковы) различие между расчетами по моделям Тимошенко и трехмерной
Рис. 3
55
снижается до 15%, а для «жестких» на поперечный сдвиг материалов ( 1 ) различия
между результатами по всем моделям находятся в пределах 0,5%.
Задача 2. Рассмотрена оболочечная система типа корпуса космического аппарата,
состоящая из следующих 4-х составляющих (рис. 4):
1) элемент сферической оболочки радиуса sphR , длины sphl с центром на оси вра-
щения;
2) первая усеченная коническая оболочка с радиусами 10conR (начальный),
11con cylR R (конечный) и длинной 1conl ;
3) цилиндр радиуса 11cyl conR R и длины cyll ;
4) вторая усеченная коническая оболочка с радиусами 20con cylR R (начальный),
21conR (конечный) и длинной 2conl .
Рис. 4
Кроме этой основной (базовой) системы – системы I – рассмотрены случаи, когда
вместо ее первых двух элементов принимаются следующие:
эллиптическая оболочка с полуосями a (по оси z ) и cylb R (по оси r ), центром
на оси вращения и центральным углом 1(0, ] , отсчитываемым от оси вращения
по часовой стрелке (система II, штриховая кривая);
замкнутая коническая оболочка с радиусом cylR при основании и длиной 3conl (си-
стема III, штриховая линия).
Две остальные составляющие базовой системы – цилиндр и вторая коническая
оболочка – остаются неизменными.
Все элементы рассмотренных систем являются трехслойными оболочками сим-
метричного строения относительно срединной поверхности с толщиною наружных
слоев h и общей толщиной . Слои оболочек являются изотропными с модулем
упругости 0E E , коэффициентом Пуассона и плотностью 0 для наружных
слоев и 00,1E E при тех же значениях и для внутреннего слоя. В начале пер-
вой оболочки – (сферической для системы I, эллиптической для системы II и коничес-
кой для системы III) принимаются условия симметрии (или свободного края), второй
торцевой контур считается защемленным.
Расчеты собственных частот приведены для таких исходных данных:
01,0sphR l ; / 1,047sph sphl R ; 10 / 0,866con sphR R ; 11 / 2,0con sphR R ; 1 / 1,4141con sphl R ;
20/ / 2,0cyl sph con sphR R R R ; 21 / 1,5con sphR R ; 2 / 1,118con sphl R ; 22 / 0,2 10sphh R ;
2/ 2,0 10sphR ; / 1,5spha R ; / 2,0sphb R ; 3 / 2,5con sphl R ; 1 / 2 ; 0,3 .
56
Уточнения значений собственных частот приведенных систем, связанные с примене-
нием модели Тимошенко и использованием пошагового метода расчета, находятся в
пределах 0,5%.
Результаты исследования в виде частотной зависимости 20
0 0
( )
( ) 10 / Гц
2
k l
f f k E
представлены на рис. 5, а, б, в для систем I, II и III, соответственно.
а б в
Рис. 5
Приведенные условные кривые ( )f f k иллюстрируют влияние изменения гео-
метрии начального участка оболочечной системы на исследуемую зависимость. Об-
щим для всех кривых является наличие двух локальных минимумов при 1k (анти-
симметричная форма колебаний) и при 6k (форма колебаний с 6-ью узловыми
диаметрами в окружном направлении). При этом система I имеет явно выраженный
минимум еще и при 3k , а система III – очень близкие частоты при 2k и 3k
(некоторое плато). Таким образом, все три случая, когда начальный участок представ-
лен сферическим и коническим элементами (I), сплющенным по оси 0z полуэллипсом
( / 0,75a b ) (II) и замкнутым конусом (III), качественно отличается между собой по
зависимости ( )f f k .
Значения локальных минимальных частот при *k k для рассмотренных систем
приведены в табл. 1. Абсолютный минимум для всех систем имеет место при * 1k .
Таблица 1
2
min min ( *) 10f f k
*k 1 3 6
I 0,471 0,652 0,925
II 0,515 0,828
III 0,582 0,892 0,924
Таким образом, изменение геометрии отдельного составляющего элемента систе-
мы влияет не только количественно на собственные частоты (см. табл. 1), но и на ка-
чественный характер исследуемой зависимости (рис. 5, а, б, в).
Задача 3. В качестве объекта сложной структуры по толщине выбрана расчетная
схема пневматической шины, представленная на рис. 6, а. Образующая внутренней
поверхности оболочки-шины принимается за исходную координатную поверхность
0 и ее половина ввиду симметрии относительно вертикальной оси моделируется
8-ю элементами торо-сферического типа с координатами центра 0 0,j jr z , радиусами
окружностей jR и длинами дуг составляющих оболочек js . Указанные геометричес-
кие параметры ( 1, 8)j приведены в табл. 2.
57
Рис. 6
Таблица 2
Геометрические параметры
№ обол. ( j ) 2
0 10 , мjr 0 10,мjz 10,мjR 10,мjs
1 0 -0,227 2,830 1,300
2 -0,299 -0,875 3,480 0,785
3 0,438 1,980 2,400 1,320
4 1,830 1,720 1,280 1,760
5 3,900 2,090 0,473 0,893
6 4,010 2,110 0,449 2,910
7 4,870 2,160 0,352 2,710
8 -0,602 2,320 0,924 2,810
На граничном контуре принимаются условия жесткого закрепления, а в центре –
условия симметрии.
Каждая оболочка состоит из разного количества слоев с разными физико-
механическими свойствами. Так, по всей образующей системы оболочек ( 1,8)j
внутренний слой (каркас) образован волокнами одного и того же резинокордного ма-
териала; для оболочек 1,4j следующий слой (брекер) состоят из двух перекрестно
армированных под углами резинокордов; оболочки 1; 3; 4; 5j имеют дополни-
тельный слой резины (протектор). Расположение слоев шины, их толщины в начале
каждой оболочки ( 0 jh ) и упругие характеристики материалов приведены в табл. 3.
Таблица 3
№
обол.
( j )
№ слоя( m ) 3
0 10jh ,м 1, MПаE 2 , MПаE 12 12 , MПаG 13 23G G ,
MПа
310 ,
3кг/м
1
1 0,75 5,81 210 1,18 10 0,42 4,33 3,01 1,00
2 1,40 1,84 310 7,36 0,47 2,08 1,88 1,54
3 1,40 1,84 310 7,36 0,47 2,08 1,88 1,54
4 5,86 5,00 5,00 0,49 1,68 1,68 1,00
2
1 0,75 5,81 210 1,18 10 0,42 4,33 3,01 1,00
2 1,40 1,84 310 7,36 0,47 2,08 1,88 1,54
3 1,40 1,84 310 7,36 0,47 2,08 1,88 1,54
3,4
1 0,75 5,81 210 1,18 10 0,42 4,33 3,01 1,00
2 1,40 1,84 310 7,36 0,47 2,08 1,88 1,54
3 1,40 1,84 310 7,36 0,47 2,08 1,88 1,54
4 6,05 5,00 5,00 0,49 1,68 1,68 1,00
5
1 0,75 5,81 210 1,18 10 0,42 4,33 3,01 1,00
2 5,78 5,00 5,00 0,49 1,68 1,88 1,00
6,7,8 1 0,75 5,81 210 1,18 10 0,42 4,33 3,01 1,00
58
Заметим, что укладка 2-го и 3-его слоев резинокорда осуществляется по геодези-
ческой к образующей внутренней поверхности шины.
Для оценки возможностей приближенных оболочечных моделей относительно
учета заданной структуры по толщине используется, как предусмотрено общей схе-
мой исследования, сравнение с результатами пространственной постановки задачи.
Для этого рассмотрена цилиндрическая оболочка длины 0,6мcyll , радиуса
0, 26мcylR с такой же структурой по толщине, что и заданная шина в центральном
сечении (табл. 3, 1, 1,4j m ). Результаты сравнения для частоты / 2f при
углах укладки 65 представлены в табл. 4 с указанием погрешности приближен-
ных моделей по отношению к результатам 3D постановки.
Таблица 4
;k m
модели
Kir Tim 3D
; ,%f ; ,%f ; ,%f
0;1 5,247; 0,75 5,230; 0,42 5,208
4;1 0,702; 1,30 0,695; 0,30 0,693
Как видно из табл. 4, при расчете собственных частот данной четырехслойной
структуры погрешность приближенных моделей находится в пределах 2%. Заметим,
что эти оценки являются лишь ориентировочными при анализе колебаний оболочек,
моделирующих реальные шины.
Для данной составной оболочечной системы исследуется зависимость нескольких
низших частот от угла укладки армирующих слоев . Эти данные представлены на
рис. 6, б в виде зависимости ( )f f в диапазоне изменения [0 ;90 ] для раз-
ных частот с формами колебаний с m полуволнами по образующей системы и k уз-
ловыми диаметрами в окружном направлении. Как видно из приведенных графиков,
изменение угла армирования средних слоев в оболочках 1,4j практически не влия-
ет на минимальную ( 1; 1m k ) и осесимметричную ( 1; 0m k ) частоты системы
в целом. В то же время, для более высоких частот ( 3, 7m k ; 3, 10m k ) их зна-
чения могут существенно (до 50%) возрасти.
Заключение.
Предложен подход к определению частот и форм свободных колебаний состав-
ных систем из оболочек вращения разной геометрии и относительной толщины,
непрерывно и (или) дискретно неоднородных по толщине, из изотропных, ортотроп-
ных и анизотропных материалов с одной плоскостью упругой симметрии.
Подход включает построение математической модели колебаний на основе клас-
сической теории Кирхгофа – Лява, уточненной теории типа Тимошенко, простран-
ственной теории упругости (частный случай) и численно-аналитическую методику
решения соответствующих двумерных (трехмерных) задач на основе понижения их
размерности и использования методов последовательных приближений и пошагового
поиска ( ( ) -метода). Оба последних метода реализуются в сочетании с методом
ортогональной прогонки решения одномерных линейных краевых задач, обеспечива-
ющего автоматическое удовлетворение условиям сопряжения отдельных оболочек
На модельных задачах иллюстрируются возможности оболочечных моделей в за-
висимости от податливости физико-механических свойств и степени неоднородности
материала по толщине. Показано, что при расчете минимальной частоты и частот в
ближайшей ее окрестности различия для приведенных моделей деформирования не
превышает 5% для неоднородных цилиндров разной относительной толщины, вклю-
чая толстые.
На примере составных оболочечных систем, близких к реальным конструкциям,
анализируется влияние изменения их геометрических параметров и структуры на
низшие частоты колебаний. Показано, что в ряде случаев изменение этих характе-
ристик может привести к качественному изменению исследуемых зависимостей.
59
Р Е З Ю М Е : Запропоновано підхід до визначення частот і форм вільних коливань спряжених
систем з оболонок обертання різної геометрії і відносної товщини, неперервно і (або) дискретно не-
однорідних за товщиною, з ізотропних, ортотропних та анізотропних матеріалів з однією площиною
пружної симетрії. Підхід включає побудову математичної моделі коливань на основі класичної теорії
Кірхгофа – Лява, уточненої теорії типу Тимошенка, просторової теорії пружності (частинний випа-
док) і чисельно-аналітичну методику розв’язання відповідних двовимірних (тривимірних) задач на
основі зниження їх розмірності і використання методів послідовних наближень і покрокового пошу-
ку в поєднанні з методом ортогональної прогонки. Наведено приклади розв’язання задач з різних
областей техніки.
1. Беллман Р.Е., Калаба Р.Е. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. – М.: Мир, 1968.
– 183 с.
2. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных диф-
ференциальных уравнений // Успехи матем. наук. – 1961. – 16, № 3. – С. 171 – 174.
3. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Свободные колебания
элементов оболочечных конструкций. – К.: Наук. думка, 1986. – 172 с.
4. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости. – К.: Наук. думка,
1981. – 544 с. – (Методы расчета оболочек: В 5 т.; Т. 4).
5. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. – М.: Наука, 1968. – 503 с.
6. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Наука,
1977. – 415 с.
7. Budak V.D., Grigorenko A.Ya., Borisenko M.Yu., Boichuk E.V. Frequencies and Modes of Natural
Vibrations of Noncircular Cylindrical Shells of Variable Thickness // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 2.
– P. 164 – 172.
8. Caresta M., Kessissoglou N.J. Free vibrational characteristics of isotropic coupled cylindrical-
conical shells // J. of Sound and Vibration. – 2010. – 329. – P. 733 – 784.
9. Cheng L., Nicolas J. Free vibration analysis of a cylindrical shell–circular plate system with general
coupling and various boundary conditions // J. of Sound and Vibration. – 1992. – 155. – P. 231 – 247.
10. Chronopoulos D., Ichchou M., Troclet B., Bareille O. Predicting the broadband response of a
layered cone-cylinder-cone shell // Composite Structures. – 2014. – 107. – P. 149 – 159.
11. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L., Korotkikh Yu.A. Free Vibrations of Non-Thin Cylindrical Shells of
Variable Thickness with Elliptic Cross-Section // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 6. – P. 668 – 679.
12. Hu W.C.L., Raney J.P. Experimental and analytical study of vibrations of joined shells // AIAA
Journal. – 1967. – 5, N.5. – P. 976 – 981.
13. Kamke E. Differentialgleichungen. Lösungmethoden und Lösungen. I Gewönliche Differentialglei-
chungen. – 6th verbesserte-auflage. – Leipzig, 1959. – 576 p.
14. Lee Y.S., Yang M.S., Kim Y.S., Kim J.H. A study on the free vibration of the joined cylindrical–
spherical shell structures // Computers Structures. – 2002. – 80: 27 – 30. – P. 2405 – 2414.
15. Liang, S., Chen H.L. The natural vibration of a conical shell with an annular end plate // J. of Sound
and Vibration. – 2006. – 294. – P. 927 – 943.
16. Marchuk A.V., Gniedash S.V., Levkovsky S.A. Free and Forced Vibrations of Thick-Wall Aniso-
tropic Cylindrical Shells // Int. Appl. Mech. – 2017. – 53, N 2. – P. 181 – 195.
17. Qu Y., Wu S., Chen Y., Hua Y. Vibration analysis of ring-stiffened conical–cylindrical–spherical
shells based on a modified variational approach // Int. J. of Mech. Sciences. – 2013. – 69. – P. 72 – 84.
18. Patel B.P., Ganapathi M., Kamat S. Free vibration characteristics of laminated composite joined
conical-cylindrical shells // J. Sound and Vibration. – 2000. – 237. – P. 920 – 930.
19. Shakouri M., Kouchakzadeh M.A. Free vibration analysis of joined conical shells: Analytical and
experimental study // J. of Thin-Walled Structures. – 2014. – 85. – P. 350 – 358.
20. Shang X.C. Exact analysis for free vibration of a composite shell structure- hermetic capsule
// Appl. Math. Mech. (English Edition). – 2001. – 22. – P. 1035 – 1045.
21. Su Z., Jin G. Vibration analysis of coupled conical-cylindrical-spherical shells using a Fourier spec-
tral element method / J. Acoust. Soc. Am. – 2016. – 140 (5). – P. 3925 – 3940.
22. Susheel C.K., Rajeev Kumar T.K., Vishal Singh Chauhan. Nonlinear vibration analysis of piezo-
laminated functionally graded cylindrical shell // Int. J. of Nonlinear Dynamics and Control. – 2017. – 1, N
1. – Р. 27 – 50.
Поступила 27.10.2017 Утверждена в печать 22.11.2018
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174552 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:15:54Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Беспалова, Е.И. Борейко, Н.П. 2021-01-23T19:04:38Z 2021-01-23T19:04:38Z 2019 Собственные частоты составных анизотропных оболочечных систем на основе разных моделей деформирования / Е.И. Беспалова, Н.П. Борейко // Прикладная механика. — 2019. — Т. 55, № 1. — С. 44-59. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174552 Предложен подход к определению частот и форм свободных колебаний составных систем из оболочек вращения разной геометрии и относительной толщины, непрерывно и (или) дискретно неоднородных по толщине, из изотропных, ортотропных и анизотропных материалов с одной плоскостью упругой симметрии. Подход включает построение математической модели колебаний на основе классической теории Кирхгофа – Лява, уточненной теории типа Тимошенко, пространственной теории упругости (частный случай) и численно-аналитическую методику решения соответствующих двумерных (трехмерных) задач на основе понижения их размерности и использования методов последовательных приближений и пошагового поиска в сочетании с методом ортогональной прогонки. Приведены примеры решения задач из разных областей техники. Запропоновано підхід до визначення частот і форм вільних коливань спряжених систем з оболонок обертання різної геометрії і відносної товщини, неперервно і (або) дискретно неоднорідних за товщиною, з ізотропних, ортотропних та анізотропних матеріалів з однією площиною пружної симетрії. Підхід включає побудову математичної моделі коливань на основі класичної теорії Кірхгофа – Лява, уточненої теорії типу Тимошенка, просторової теорії пружності (частинний випадок) і чисельно-аналітичну методику розв’язання відповідних двовимірних (тривимірних) задач на основі зниження їх розмірності і використання методів послідовних наближень і покрокового пошуку в поєднанні з методом ортогональної прогонки. Наведено приклади розв’язання задач з різних областей техніки. An approach to determining the frequencies and modes of free vibrations is proposed for the compound systems of shells of revolution with different geometry and relative thickness. The shells are made of isotropic, orthotropic, and anisotropic materials with one plane of elastic symmetry and are continuously and (or) discretely inhomogeneous across the thickness. This approach includes the construction of a mathematical model of vibrations based on the classical Kirchhoff – Love theory, refined Timoshenko type theory, 3D elasticity theory (partial case), and numerical-analytical technique of solving the associated 2D (3D) problems by reducing their dimensionality and using the methods of successive approximations and step-by-step search in combination with the orthogonal-sweep method. The examples of solving the problems from various fields of engineering are presented. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Собственные частоты составных анизотропных оболочечных систем на основе разных моделей деформирования Free Frequencies of Composed Anisotropic Shell Systems Basing on Different Models of Straining Article published earlier |
| spellingShingle | Собственные частоты составных анизотропных оболочечных систем на основе разных моделей деформирования Беспалова, Е.И. Борейко, Н.П. |
| title | Собственные частоты составных анизотропных оболочечных систем на основе разных моделей деформирования |
| title_alt | Free Frequencies of Composed Anisotropic Shell Systems Basing on Different Models of Straining |
| title_full | Собственные частоты составных анизотропных оболочечных систем на основе разных моделей деформирования |
| title_fullStr | Собственные частоты составных анизотропных оболочечных систем на основе разных моделей деформирования |
| title_full_unstemmed | Собственные частоты составных анизотропных оболочечных систем на основе разных моделей деформирования |
| title_short | Собственные частоты составных анизотропных оболочечных систем на основе разных моделей деформирования |
| title_sort | собственные частоты составных анизотропных оболочечных систем на основе разных моделей деформирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174552 |
| work_keys_str_mv | AT bespalovaei sobstvennyečastotysostavnyhanizotropnyhoboločečnyhsistemnaosnoveraznyhmodeleideformirovaniâ AT boreikonp sobstvennyečastotysostavnyhanizotropnyhoboločečnyhsistemnaosnoveraznyhmodeleideformirovaniâ AT bespalovaei freefrequenciesofcomposedanisotropicshellsystemsbasingondifferentmodelsofstraining AT boreikonp freefrequenciesofcomposedanisotropicshellsystemsbasingondifferentmodelsofstraining |