Пространственно-неоднородные диссипативные структуры периодической краевой задачи для нелокального уравнения эрозии
Розглядається нелiнiйне диференцiальне рiвняння з частинними похiдними i вiдхильною (перетвореною) просторовою змiнною. Дане рiвняння є однiєю з математичних моделей формування рельєфу на поверхнi пластини пiд дiєю потоку iонiв. Вивчається перiодична крайова задача. Запропоновано механiзм формулюван...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174716 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Пространственно-неоднородные диссипативные структуры периодической краевой задачи для нелокального уравнения эрозии / Д.А. Куликов // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 1. — С. 72-86 . — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174716 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Куликов, Д.А. 2021-01-27T12:00:17Z 2021-01-27T12:00:17Z 2014 Пространственно-неоднородные диссипативные структуры периодической краевой задачи для нелокального уравнения эрозии / Д.А. Куликов // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 1. — С. 72-86 . — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174716 517.91 Розглядається нелiнiйне диференцiальне рiвняння з частинними похiдними i вiдхильною (перетвореною) просторовою змiнною. Дане рiвняння є однiєю з математичних моделей формування рельєфу на поверхнi пластини пiд дiєю потоку iонiв. Вивчається перiодична крайова задача. Запропоновано механiзм формулювання хвильового нанорельєфу як результат втрати стiйкостi плоского рельєф. Хвильовий рельєф знаходиться в результатi розв’язання бiфуркацiйних задач, для дослiдження яких використано апарат теорiї нормальних форм, метод iнварiантних многовидiв. Для розв’язкiв, що описують хвильовий нанорельєф, наведено асимптотичнi формули. We consider a nonlinear partial differential equation with deviating (transformed) spatial variable. This equation serves as a mathematical model of a relief formation on the surface of a plate undergoing an ionic bombardment. We study a periodic boundary-value problem, and propose a machinery for forming a ripple nanorelief as on outcome of loss of stability of the flat relief. The ripple relief is found as a solution of a bifurcation problem that is studied using the theory of normal forms and the method of invariant manifolds. For solutions that describe the ripple nanorelief, we give asymptotic formulas. Выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации (контракт № МК2298.2013.1), а также гранта Российского фонда фундаментальных исследований — 14-01-31159 мол_а ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Пространственно-неоднородные диссипативные структуры периодической краевой задачи для нелокального уравнения эрозии Просторово-неоднорідні дисипативні структури періодичної крайової задачі для нелокального рівняння ерозії Spatially nonhomogeneous dissipative structures of a periodic boundary-value problem for a nonlocal erosion equation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Пространственно-неоднородные диссипативные структуры периодической краевой задачи для нелокального уравнения эрозии |
| spellingShingle |
Пространственно-неоднородные диссипативные структуры периодической краевой задачи для нелокального уравнения эрозии Куликов, Д.А. |
| title_short |
Пространственно-неоднородные диссипативные структуры периодической краевой задачи для нелокального уравнения эрозии |
| title_full |
Пространственно-неоднородные диссипативные структуры периодической краевой задачи для нелокального уравнения эрозии |
| title_fullStr |
Пространственно-неоднородные диссипативные структуры периодической краевой задачи для нелокального уравнения эрозии |
| title_full_unstemmed |
Пространственно-неоднородные диссипативные структуры периодической краевой задачи для нелокального уравнения эрозии |
| title_sort |
пространственно-неоднородные диссипативные структуры периодической краевой задачи для нелокального уравнения эрозии |
| author |
Куликов, Д.А. |
| author_facet |
Куликов, Д.А. |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Просторово-неоднорідні дисипативні структури періодичної крайової задачі для нелокального рівняння ерозії Spatially nonhomogeneous dissipative structures of a periodic boundary-value problem for a nonlocal erosion equation |
| description |
Розглядається нелiнiйне диференцiальне рiвняння з частинними похiдними i вiдхильною (перетвореною) просторовою змiнною. Дане рiвняння є однiєю з математичних моделей формування рельєфу на поверхнi пластини пiд дiєю потоку iонiв. Вивчається перiодична крайова задача. Запропоновано механiзм формулювання хвильового нанорельєфу як результат втрати стiйкостi плоского рельєф. Хвильовий рельєф знаходиться в результатi розв’язання бiфуркацiйних задач, для дослiдження яких використано апарат теорiї нормальних форм, метод iнварiантних многовидiв. Для розв’язкiв, що описують хвильовий нанорельєф, наведено асимптотичнi формули.
We consider a nonlinear partial differential equation with deviating (transformed) spatial variable. This equation serves as a mathematical model of a relief formation on the surface of a plate undergoing an ionic bombardment. We study a periodic boundary-value problem, and propose a machinery for forming a ripple nanorelief as on outcome of loss of stability of the flat relief. The ripple relief is found as a solution of a bifurcation problem that is studied using the theory of normal forms and the method of invariant manifolds. For solutions that describe the ripple nanorelief, we give asymptotic formulas.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174716 |
| citation_txt |
Пространственно-неоднородные диссипативные структуры периодической краевой задачи для нелокального уравнения эрозии / Д.А. Куликов // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 1. — С. 72-86 . — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kulikovda prostranstvennoneodnorodnyedissipativnyestrukturyperiodičeskoikraevoizadačidlânelokalʹnogouravneniâérozii AT kulikovda prostorovoneodnorídnídisipativnístrukturiperíodičnoíkraiovoízadačídlânelokalʹnogorívnânnâerozíí AT kulikovda spatiallynonhomogeneousdissipativestructuresofaperiodicboundaryvalueproblemforanonlocalerosionequation |
| first_indexed |
2025-11-26T23:53:39Z |
| last_indexed |
2025-11-26T23:53:39Z |
| _version_ |
1850784103318683648 |
| fulltext |
УДК 517.91
ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНЫЕ ДИССИПАТИВНЫЕ
СТРУКТУРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЭРОЗИИ*
Д. А. Куликов
Ярослав. гос. ун-т им. П. Г. Демидова
e-mail: kulikov_d_a@mail.ru
We consider a nonlinear partial differential equation with deviating (transformed) spatial variable. This
equation serves as a mathematical model of a relief formation on the surface of a plate undergoing an
ionic bombardment. We study a periodic boundary-value problem, and propose a machinery for forming
a ripple nanorelief as on outcome of loss of stability of the flat relief. The ripple relief is found as a solution
of a bifurcation problem that is studied using the theory of normal forms and the method of invariant
manifolds. For solutions that describe the ripple nanorelief, we give asymptotic formulas.
Розглядається нелiнiйне диференцiальне рiвняння з частинними похiдними i вiдхильною (пере-
твореною) просторовою змiнною. Дане рiвняння є однiєю з математичних моделей формуван-
ня рельєфу на поверхнi пластини пiд дiєю потоку iонiв. Вивчається перiодична крайова за-
дача. Запропоновано механiзм формулювання хвильового нанорельєфу як результат втрати
стiйкостi плоского рельєф. Хвильовий рельєф знаходиться в результатi розв’язання бiфурка-
цiйних задач, для дослiдження яких використано апарат теорiї нормальних форм, метод iнва-
рiантних многовидiв. Для розв’язкiв, що описують хвильовий нанорельєф, наведено асимпто-
тичнi формули.
Введение. В работе рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение с откло-
няющимся пространственным аргументом, которое моделирует процесс формирования
нанорельефа при бомбардировке плоской поверхности мишени потоком ионов. Данный
технологический процесс имеет широкое применение в микро- и наноэлектронике. Боль-
шинство математических моделей этого физического явления базируются на теории,
предложенной в работах П. Зигмунда (см., например, [1]). Наиболее известной из них
следует считать математическую модель, которую предложили Бредли и Харпер (см., на-
пример, [2]). Основу этой модели составляет уравнение с частными производными (урав-
нение Бредли – Харпера), которое иногда называют обобщенным уравнением Курамо-
то – Сивашинского [3, 4]. Действительно, во многих случаях уравнение Бредли – Харпера
удается свести к уравнению Курамото – Сивашинского, которое широко известно как ма-
тематическая модель для ряда задач химической кинетики и гидродинамики. Уравнение,
которое будет рассмотрено ниже, появилось в работе [5] с целью уточнения некоторых
аспектов при описании формирования неоднородного рельефа. Неоднократно отмеча-
лось, что уравнение Бредли – Харпера неприменимо для описания возмущений, имеющих
порядок нанометров (∼ 10−9 м). Данная работа посвящена изучению периодической кра-
евой задачи для альтернативной модели, которую называют нелокальным уравнением
эрозии [5 – 7].
∗ Выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации (контракт № МК-
2298.2013.1), а также гранта Российского фонда фундаментальных исследований — 14-01-31159 мол_а.
c© Д. А. Куликов, 2014
72 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНЫЕ ДИССИПАТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ . . . 73
Итак, будем изучать краевую задачу
ut = auxx − cwx + u− w + b1(u− w)wx + b2w
2
x + b3(u− w)w2
x, (0.1)
u(t, x+ 2π) = u(t, x), (0.2)
где u = u(t, x) — нормированное отклонение от плоского фронта при обработке мише-
ни, w = w(t, x) = u(t, x − h), h ∈ R, h > 0. Коэффициенты a, c, b1, b2, b3 характеризуют
условия, при которых происходит данный технологический процесс. Все они зависят от
угла Θ между направляющей потока ионов и нормалью к недеформированной поверх-
ности. Положительный коэффициент a зависит от интенсивности потока ионов J. Доба-
вим, что a = a(J,Θ) и при фиксированном Θ данная функция убывает при возрастании
J. Наконец, c > 0, а знак остальных коэффициентов произволен.
Отметим, что краевая задача (0.1), (0.2) допускает решения вида u(t, x) = const. Бо-
лее того, эта краевая задача инвариантна относительно замены u → u + const. С физи-
ческой точки зрения два последних замечания означают, что систему координат, в кото-
рой моделируется отклонение от плоского профиля u = const, можно выбрать удобным
образом. В дальнейшем будем считать, что однородное состояние равновесия, которое
рассмотрено в начальный момент технологического процесса, задано уравнением u = 0
(const = 0).
Дополним краевую задачу (0.1), (0.2) начальным условием
u(0, x) = f(x). (0.3)
Будем считать, что f(x) принадлежитQ2(δ) — достаточно малому шару гильбертова про-
странстваH2
2 .Из работ [8, 9] следует, что смешанная краевая задача (0.1) – (0.3) локально
корректно разрешима. Через H2
2 обозначено пространство Соболева 2π-периодических
функций f(x), которые имеют обобщенные производные f ′(x), f ′′(x) ∈ L2(0; 2π).
1. Устойчивость состояний равновесия. Для исследования устойчивости нулевого ре-
шения рассмотрим вспомогательную краевую задачу, которая возникает после линеари-
зации задачи (0.1), (0.2) в окрестности тривиального состояния равновесия. В результате
получим краевую задачу
ut = A(a, c)u, u(t, x+ 2π) = u(t, x), (1.1)
гдеA(a, c) — линейный дифференциальный оператор (ЛДО), определенный на достаточ-
но гладких 2π-периодических функциях переменной x равенством
A(a, c)v(x) = av′′ − cv′h + v − vh, vh = v(x− h).
В силу полноты семейства функций {exp(inx)} в пространстве L2(0; 2π) собственные зна-
чения (СЗ) ЛДО A(a, c) определяются равенством
λn = λn(a, c) = τn ± iσn, n = 0,±1,±2, . . . , (1.2)
где τn = −an2 − cn sinnh+ 1− cosnh, σn = −cn cosnh+ sinnh.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
74 Д. А. КУЛИКОВ
Отсюда, в частности, следует (см. формулу (1.2)), что:
(i) limn→∞ τn = −∞;
(ii) существует такая положительная постоянная M, что выполняется неравенство
|σn| ≤ M |τn|, n = 0,±1,±2, . . . .
Данное свойство СЗ, а также полнота собственных элементов оператора A(a, c) дают
основание [9, c. 51 – 58, 92 – 96] сформулировать следующее утверждение.
Лемма 1.1. ЛДО A(a, c) является производящим оператором аналитической полу-
группы линейных ограниченных операторов в пространстве 2π-периодических и инте-
грируемых с квадратом на (0; 2π) функций.
Краевую задачу (1.1) можно интерпретировать как абстрактное параболическое урав-
нение в соответствующем функциональном пространстве. Последнее замечание явля-
ется дополнением к ссылкам в конце предыдущего пункта, относящимся к вопросу о ло-
кальной разрешимости уже нелинейной смешанной задачи (0.1) – (0.3) (см. [8], а также [9,
с. 92 – 96]).
Отметим, что при любом выборе h выполнено равенство λ0 = 0. Данному СЗ со-
ответствует собственная функция (СФ) e0(x) = 1. Расположение остальных СЗ у ЛДО
A(a, c) зависит, конечно, от a и c, а также от h. При детальном анализе спектра устойчи-
вости будем считать, что h = π/4.
Рассмотрим линейную краевую задачу (1.1). Пусть для всех ее СЗ λn, n 6= 0, выполне-
но неравенство
Reλn ≤ 0, (1.3)
тогда ее решения устойчивы. Строгое неравенство Reλn < 0 не дает основания считать,
что решения асимптотически устойчивы, так как всегда есть СЗ λ0 = 0. Наконец, если
существует такое СЗ λk, что Reλk > 0, то ее решения неустойчивы.
В случае выбора h = π/4 условия устойчивости (неустойчивости) можно записать
в терминах коэффициентов ЛДО A(a, c). В таком случае для λn = τn + iσn получаем
равенства
τn = −an2 − cn sin
π
4
n+ 1− cos
π
4
n, σn = −cn cos
π
4
n+ sin
π
4
n, n 6= 0.
Очевидно, что в рассматриваемом варианте для τn выполнено неравенство (1.3), если a
достаточно велико. Напротив, при a = 0 обязательно найдется такое n = n0, при кото-
ром выполнено Reλn0 > 0. Например, τ6 = 6c + 1 > 0. Ясно, что limn→∞ τn = −∞ вне
зависимости от выбора a и c. Поэтому при a ≥ aкр > 0 реализуется условие (1.3), где
aкр = aкр(c) = max
n6=0
bn, bn =
−cn sin
πn
4
+ 1− cos
πn
4
n2
,
если такой положительный максимум существует. Можно в принципе рассматривать
лишь натуральные n, так как b−m = bm. Кроме того,
lim
n→∞
bn = 0, n ∈ N.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНЫЕ ДИССИПАТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ . . . 75
Предельное равенство, очевидно, гарантирует существование aкр , так как, например,
b5 > 0 при всех c.
Рассмотрим восемь подпоследовательностей последовательности bm(bm = bm(n, k)),
где m = 8(n− 1) + k, k = 0, 1, . . . , 7, n = 1, 2, . . . .
Пусть ak = maxn∈N bn(k). Тогда aкр = aкр(c) = max{a0, a1, . . . , a7}. Относительно
громоздкие, но простые вычисления показали, что
a0 = 0, a1 = b1(1) =
2−
√
2− c
√
2
2
, a2 = b1(2) =
1− 2c
4
,
a3 = b1(3) =
2 +
√
2− 3
√
2c
18
, a4 = b1(4) =
1
8
, a5 = b1(5) =
2 +
√
2 + 5
√
2c
50
,
a6 = b1(6) =
1 + 6c
36
, a7 = b1(7) =
7
√
2c+ 2−
√
2
98
и выбор aкр существенно зависит от c. Так, при c ∈ (0; c1) aкр = a1, а c1 =
√
2− 1
2
.
Наконец,
aкр = a2 =
1− 2c
4
при c ∈ (c1; c2), c2 =
5
√
2− 4
18
√
2− 12
,
aкр = a3 =
2 +
√
2− 3
√
2c
18
при c ∈ (c2; c3), c3 =
8−
√
2
24
,
aкр = a4 =
1
8
при c ∈ (c3; c4), c4 =
17− 4
√
2
20
√
2
,
aкр = a5 =
5
√
2c+ 2 +
√
2
50
при c ∈ (c4; c5), c5 =
11 + 18
√
2
150− 90
√
2
,
а при c > c5 выполнено условие aкр = a6 =
1 + 6c
36
. Добавим также, что 0 < c1 < c2 <
< c3 < c4 < c5, а также справедливы равенства a1 = a2 при c = c1, a2 = a3 при c = c2,
a3 = a4 при c = c3, a4 = a5 при c = c4, a5 = a6 при c = c5.
Пусть c ∈ Ij , где Ij = (cj−1; cj), j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, c0 = 0, c6 = ∞. Тогда ЛДО A(a, c)
при a = aj (aкр = aj) имеет СЗ
λ0 = 0, λj = iσj , λj = −iσj , σj = −cj cos
πj
4
+ sin
πj
4
.
Им соответствует СФ e0(x) = 1, ej(x) = exp(ijx), ej(x) = exp(−ijx) соответственно.
Остальные СЗ ЛДО Aj(c) = A(aкр , c) = A(aj , c) лежат в полуплоскости комплексной
плоскости, выделяемой неравенством
Reλp ≤ −γ < 0, p 6= 0, j, (1.4)
где γ = const > 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
76 Д. А. КУЛИКОВ
Такой критический случай будем называть критическим случаем первого типа. В иной
терминологии — это критический случай коразмерности 1, так как он реализуется за
счет выбора одного параметра.
При c = cj (aкр = aj = aj+1), j = 1, 2, 3, 4, 5, реализуется критический случай вто-
рого типа, случай коразмерности 2. Он реализуется за счет выбора уже двух параметров.
В этом случае у ЛДО Aj = A(aкр , cj) = A(aj , cj) = A(aj+1, cj) на мнимой оси находят-
ся 5 СЗ
λ0 = 0, λj = iσj , λj = −iσj , λj+1 = iσj+1, λj+1 = −iσj+1,
σj = −cj cos
π
4
j + sin
π
4
j, σj+1 = −c(j + 1) cos
π
4
(j + 1) + sin
π
4
(j + 1),
а соответствующие СФ имеют вид
e0(x) = 1, ej(x) = exp(ijx), ej = exp(−ijx),
ej+1(x) = exp(i(j + 1)x), ej+1(x) = exp(−i(j + 1)x).
Для p 6= 0, j, j+1 выполнены неравенства (1.4). Бифуркационные задачи для нелинейной
краевой задачи (0.1), (0.2) рассмотрим в следующем пункте. Они возникают, если a =
= aкр + ∆, |∆| << 1.
Если aaкр , то нелинейная краевая задача (0.1), (0.2) имеет одномерное инвариантное
(центральное) многообразие, так как СЗ λ0 = 0, а для остальных λn, n 6= 0, выполнено
неравенство (1.3). В рассматриваемом случае оно составлено из решений вида u(t, x) =
const. Это многообразие экспоненциально устойчиво в том смысле, что все его решения
нелинейной краевой задачи (0.1), (0.2) из достаточно малой окрестности одномерного ин-
вариантного многообразия, состоящего из однородных состояний равновесия, стремятся
к нему со скоростью экспоненты [10 – 12].
Это дает основание сформулировать следующее утверждение.
Теорема 1.1. Пусть a < aкр, тогда все однородные состояния равновесия нелиней-
ной краевой задачи (0.1), (0.2) устойчивы по Ляпунову в норме фазового пространства
ее решений.
Замечание 1.1. Состояния равновесия могут быть устойчивыми, неустойчивыми, но
случай, когда они асимптотически устойчивы, в рассматриваемой краевой задаче не мо-
жет быть реализован.
2. Бифуркации пространственно-неоднородных решений. Случай коразмерности 1.
Пусть c ∈ Ij и, следовательно, реализуется первый критический случай в задаче об устой-
чивости. В частности, a = aj , j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Положим
a = aj(1− εβ), β = ±1.
Тогда ЛДО Aj(ε) = A(aj(1− βε), c) имеет СЗ
λ0 = 0, λj(ε) = τj(ε) + iσj(ε), λj(ε) = τj(ε)− iσj(ε), τj(ε) = βε, σj(ε) ≡ σj .
Следовательно, реализуется случай, близкий к критичному (τj(0) = 0). Здесь ε — малый
неотрицательный параметр, при β = 1 два СЗ при возрастании ε переходят в правую
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНЫЕ ДИССИПАТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ . . . 77
полуплоскость, а при β = −1 имеет место противоположный вариант, когда при возра-
стании ε пара чисто мнимых корней переходят в левую полуплоскость. Возникшая ситу-
ация близка к условиям теоремы Андронова – Хопфа, но всегда существует СЗ λ0 = 0.
Поэтому далее для исследования бифуркационной задачи
ut = Ak(ε)u+ F2(u) + F3(u), (2.1)
u(t, x+ 2π) = u(t, x) (2.2)
используем метод инвариантных многообразий в сочетании с методом нормальных форм.
В формулах (2.1), (2.2) k = 1, . . . , 6,
F2(u) = b1(u− w)wx + b2w
2
x,
F3(u) = b3(u− w)w2
x, w(t, x) = u(t, x− h) = u
(
t, x− π
4
)
.
Известно, что при ε ∈ [0; ε0) эволюционная краевая задача (2.1), (2.2) имеет трехмер-
ное устойчивое инвариантное многообразиеM3(ε) и динамику решений, принадлежащих
M3(ε), определяют решения вспомогательной системы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений — нормальная форма. Для ее построения будет использован модифици-
рованный вариант известного алгоритма Крылова – Боголюбова (см., например, [13, 14]).
Решения краевой задачи (2.1), (2.2) при c ∈ (ck−1; ck), k = 1, . . . , 6, c0 = 0, c6 = ∞,
будем искать в виде
u(t, x, ε) = ψ(s) + ε1/2u1(t, s, x) + εu2(t, s, x) + ε3/2u3(t, s, x) + o(ε3/2), (2.3)
где s = εt — медленное время, достаточно гладкие по совокупности переменных функ-
ции u1, u2, u3 имеют также следующие свойства:
i) удовлетворяют краевым условиям (2.2);
ii) по переменной t имеют период 2π/σk;
iii) при фиксированных t и sфункции uj(t, s, x) принадлежатH2
2 (фазовому пространст-
ву краевой задачи (2.1), (2.2)).
Положим также
u1(t, s, x) = z(s) exp(iσkt+ ikx) + z(s) exp(−iσkt− ikx).
Отметим, что действительная функция ψ(s) и комплексные функции z(s), z(s) удовле-
творяют системе уравнений (нормальной форме)
ψ′ = g0(ψ, z, z) +G0(ψ, z, z, ε),
(2.4)
z′ = g1(ψ, z, z) +G1(ψ, z, z, ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
78 Д. А. КУЛИКОВ
где g0, g1, G0, G1 — достаточно гладкие функции. При этом
G0(ψ, z, z, 0) = G1(ψ, z, z, 0) = 0.
Правая часть уравнения (2.1) инвариантна относительно замены u −→ u + ψ. Поэто-
му правые части системы дифференциальных уравнений (2.4) не зависят от ψ. Запишем
теперь главную часть системы (2.4):
ψ′ = g0(z, z),
(2.5)
z′ = g1(z, z).
В системах (2.4), (2.5) можно, в принципе, добавить третье уравнение для z(s), комплексно-
сопряженное ко второму. Наконец, ψ′ =
dψ
ds
, z′ =
dz
ds
.При реализации алгоритма постро-
ения главной части нормальной формы (2.5) будем считать, что справедливы равенства
M0(uj) =
σk
(2π)2
2π/σk∫
0
2π∫
0
uj dx dt ≡ 0,
M±1(uj) =
σk
(2π)2
2π/σk∫
0
2π∫
0
uj exp(±iσkt± ikx) dx dt ≡ 0, j = 2, 3.
Замечание 2.1. Рассмотрим неоднородную краевую задачу
ut = Ak(0)u+ F (t, x), (2.6)
u(t, x+ 2π) = u(t, x), (2.7)
где достаточно гладкая функцияF (t, x) удовлетворяет периодическим краевым условиям
(2.7), по переменной t имеет период 2π/σk. Тогда выполнение равенств
M0(F ) = M±1(F ) = 0
является условием разрешимости неоднородной краевой задачи (2.6), (2.7) в классе t-пе-
риодических функций с периодом 2π/σk. Равенства
M0(uj) = M±1(uj) = 0
выделяют одно такое решение.
Для того чтобы определить правые части нормальной формы (2.5), подставим сумму
(2.3) в краевую задачу (2.1), (2.2) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНЫЕ ДИССИПАТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ . . . 79
ε1/2. В результате получим две неоднородные краевые задачи для определения функ-
ций u2, u3.
Для определения u2 имеем краевую задачу
u2t −Ak(0)u2 = b1(u1 − w1)w1x + b2w
2
1x − ψ′(s), (2.8)
u2(t, s, x+ 2π) = u2(t, s, x), (2.9)
где w1 = w1(t, s, x) = u1
(
t, s, x− π
4
)
. Наконец,
u3t −Ak(0)u3 = b3w
2
1x(u1 − w1) + 2b2w1xw2x + b1{(u1 − w1)w2x + (u2 − w2)w1x}−
− z′ exp(iσkt+ ikx)− z′ exp(−iσkt− ikx), (2.10)
u3(t, s, x+ 2π) = u3(t, s, x), (2.11)
где w2 = w2(t, s, x) = u2
(
t, s, x− π
4
)
.
При анализе обеих вспомогательных краевых задач (2.8), (2.9) и (2.10), (2.11) медлен-
ное время s рассматривается как параметр. Из условий их разрешимости в классе
t-периодических функций следует, что
ψ′ = (2b1kQ2 + 2b2k
2)zz,
где Q2 = sin
(π
4
k
)
. Периодические решения по переменной t c нулевым средним следует
искать в виде
u2(t, s, x) = z2η exp(2iσk + 2ikx) + z2η exp(−2iσk − 2ikx), (2.12)
где комплексные амплитуды η, η в равенстве (2.12) определяются как решения алгебраи-
ческого уравнения
γkη = Θk. (2.13)
Здесь η = η1 + iη2, η1, η2 ∈ R, Θk = ikb1(1−Q)Q− b2k2Q2, Q = exp
(
−iπ
4
k
)
= Q1 − iQ2,
γk = 2iσk + 4akk
2 − 2cikQ2 + (1−Q2).
Напомним, что постоянные σk, ak были определены в явном виде. Это позволяет
утверждать, что γk 6= 0 и, следовательно, η = η1 + iη2 находится однозначно как решение
линейного алгебраического уравнения (2.13).
Из условий разрешимости краевой задачи (2.10), (2.11) в классе 2π/σk-периодических
по t функций находим
g1(z, z) = akβk
2z − (l1 + il2)z|z|2,
l1 + il2 = −3ik3b3Q+ 2b2k
2Qη + ib1kη(1 +Q− 2Q2).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
80 Д. А. КУЛИКОВ
Отметим, что l1 = l1(k), l2 = l2(k), т. е., конечно, эти коэффициенты и ak зависят
от номера выбранного интервала Ik, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Более конкретные результаты
вычислений будут приведены ниже в отдельности для каждого интервала.
Рассмотрим теперь нормальную форму более детально и положим
z(s) = ρ(s) exp(iϕ(s)).
В результате нормальная форма (2.5) примет вид
ψ′ = 2k(b1Q2 + kb2)ρ
2, ϕ′ = −l2(k)ρ2, (2.14)
ρ′ = αkρ− l1(k)ρ3, α = akβk
2. (2.15)
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (2.14), (2.15) состоит из трех
уравнений, причем определяющую роль играет уравнение (2.15). Решение двух первых
уравнений (2.14) восстановится после рассмотрения уравнения (2.15). Стандартно дока-
зывается следующее утверждение.
Лемма 2.1. Уравнение (2.15) имеет нетривиальное состояние равновесия S0, которое
может быть задано равенством
ρ = ρ0 =
√
αk
l1(k)
,
если αkl1(k) > 0. Оно асимптотически устойчиво, если l1(k) > 0 (αk > 0), и наоборот,
неустойчиво, если l1(k) < 0 (αk < 0).
Отметим, что при αk < 0 асимптотически устойчиво нулевое состояние равновесия
уравнения (2.15). Наконец, sign (αk) = sign (β).
Если теперь последовательно перейти к системе (2.14), (2.15), а затем к основной сис-
теме (2.5), то состоянию равновесия S0 будет соответствовать семейство решений P2
(„периодических решений второго рода”)
ψ(s) = δks+ ψ0, z(s) = ρ0 exp(iωks+ iϕ0) + ρ0 exp(−iωks− iϕ0),
где ϕ0, ψ0 ∈ R, ωk = −l2(k)ρ20, δk = 2k(b1Q2 + kb2)ρ
2
0. Каждое из решений двупарамет-
рического семейства решений P2 = P2(ϕ0, ψ0) устойчиво, если состояние равновесия S0
уравнения (2.15) асимптотически устойчиво, и неустойчиво при неустойчивости S0.
Из леммы 2.1 и следствий из нее вытекает следующее утверждение.
Теорема 2.1. Семейству решений P2(ϕ0, ψ0)(S0) нормальной формы (2.5) соответ-
ствует двумерное интегральное многообразие M2(ε) ⊂ M3(ε), для решений на кото-
ром справедлива асимптотическая формула
u(t, x, ε) = ψ(t, ε) + v(t, x, ε) + ψ0,
ψ(t, ε) = [δkε+ o(ε)]t, (2.16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНЫЕ ДИССИПАТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ . . . 81
v(t, x, ε) = ε1/2ρ0[exp(i(σk + εωk)t+ ikx+ iϕ0) + exp(−i(σk + εωk)t− ikx− iϕ0)]+
+ ερ20[η exp(2i(σk + εωk)t+ 2ikx+ 2iϕ0)+
+ η exp(−2i(σk + εωk)t− 2ikx− 2iϕ0)] + o(ε).
Решения двупараметрического семейства (2.16) наследуют устойчивость семейства
решений P2(ϕ0, ψ0).
Доказательство теоремы практически дословно повторяет соответствующие момен-
ты из доказательства аналогичной теоремы в случае уравнения Бредли – Харпера [13] и
основано на результатах и методике, изложенных в работах [13 – 16]. Основным момен-
том обоснования следует считать теорему о сохранении инвариантных торов при малых
возмущениях [16].
Из формулировок предшествующих утверждений данного пункта видно, что централь-
ную роль играет величина l1(k), которая традиционно называется первой ляпуновской
величиной. При этом еще более важную роль играет скорее ее знак, который зависит от
многих факторов, в частности от номера k интервала Ik для коэффициента c, а также b1,
b2, b3. Например, если k = 6, c ∈ (c5,∞) и это наиболее широкий интервал изменения
коэффициента c(c5 ≈ 1, 6), то Q = i(Q2 = −1) и достаточно простые, но громоздкие
вычисления показывают, что
l1(6) = 108
[
b3 +
b21c+ b1b2(1− 6c)− 12b22(1 + 6c)
90c2 + 18c+ 1
]
.
Отметим, что l1(6) может в принципе иметь любой знак. Если c достаточно велико, то
главную роль играет b3 и поэтому его знак и определяет знак l1(6). Наоборот, если |b3|
достаточно мал, то знак l1(6) определяет второе слагаемое в правой части, числитель
которого при всех c > 1, 6 — знакопеременная квадратичная форма.
Аналогичная ситуация реализуется и при всех остальных k. Например,
l1(2) = 4
[
3b3 +
(b1 + 4b2)(b2(2c− 1)− b1c)
10c2 − 6c+ 1
]
и ее знак следует рассматривать при c ∈ I2 =
{√
2− 1
2
;
5
√
2− 4
18
√
2− 12
}
. Ясно, что, как и в
предыдущем случае, знак l1(2) относительно произволен в силу большой степени свобо-
ды при выборе коэффициентов задачи (коэффициентов bj).
При k = 1, 3, 4, 5 формулы, полученные в пунктах 1, 2, можно упростить и вычислить
l1(k) при указанных k. В целом результаты этих вычислений аналогичны: ляпуновская
величина l1(k) может принимать значения разных знаков.
3. О бифуркациях в случаях коразмерности 2. Как уже отмечалось ранее, при c =
= ck, k = 1, 2, . . . , 5, в задаче об устойчивости нулевого решения реализуется критиче-
ский случай, когда при a = aкр спектру устойчивости линеаризованной задачи принадле-
жат следующие СЗ, расположенные на мнимой оси комплексной плоскости:
λ0 = 0, λ±k = ±iσk, λ±(k+1) = ±iσk+1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
82 Д. А. КУЛИКОВ
а остальные СЗ лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости. Выделенным СЗ
соответствуют СФ
e0(x) = 1, ek(x) = exp(±ikx), ek+1(x) = exp(±i(k + 1)x).
Так, при c = c1, a = aкр имеем две пары
±iσ1, ±iσ2, σ1 =
3
√
2− 2
4
, σ2 = 1.
Напомним, что здесь a = aкр = a1 = a2.
Если c = c2, a = aкр , то на мнимой оси находятся уже следующие две пары:
±iσ2, ±iσ3, σ2 = 1, σ3 =
25
√
2− 2
28
, a = aкр = a2 = a3.
При c = c3, a = aкр получаем опять набор пар
±iσ3, ±iσ4, σ3 =
8
√
2− 1
8
, σ4 =
8−
√
2
6
, a = aкр = a3 = a4.
Наконец, при c = c4, a = aкр имеем
±iσ4, ±iσ5, σ4 =
17
√
2− 8
10
, σ5 =
17− 8
√
2
8
, a = aкр = a4 = a5.
Последний вариант реализуется при c = c5, a = aкр :
±iσ5, ±iσ6, σ5 =
41(5
√
2− 6)
516
, σ6 =
246 + 121
√
2
84
, a = aкр = a5 = a6.
Из этих вычислений следует, что каждый раз в отмеченных вариантах реализуются не-
резонансные пары чисто мнимых СЗ.
Пусть теперь c = ck, aкр = ak (ak = ak+1 при c = ck) и
a = ak(1− β1ε), c = ck + β2ε,
где ε — малый неотрицательный параметр, β1, β2 ∈ R. В результате получим нелиней-
ную краевую задачу
ut = Ak,k+1(ε)u+ b1(u− w)wx + b2w
2
x + b3w
2
x(u− w), (3.1)
u(t, x+ 2π) = u(t, x), (3.2)
где
Ak,k+1(ε)u = ak(1− β1ε)uxx − (ck + β2ε)wx + u− w, w = w(t, x) = u
(
t, x− π
4
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНЫЕ ДИССИПАТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ . . . 83
Указанный ЛДО имеет следующие СЗ:
λ0 = 0, λk(ε) = iσk + ε(τk + iωk), λ−k = λk(ε),
λk+1(ε) = iσk+1 + ε(τk+1 + iωk+1), λ−(k+1) = λk+1(ε), τk = akk
2β1 − β2k sin
πk
4
,
ωk = β2k cos
πk
4
, ωk+1 = β2(k + 1) cos
π(k + 1)
4
,
τk+1 = ak+1(k + 1)2β1 − β2(k + 1) sin
π(k + 1)
4
.
Остальные СЗ ЛДО Ak,k+1(ε) лежат в полуплоскости Reλ ≤ −γ < 0.
Следовательно, нелинейная краевая задача (3.1), (3.2) имеет пятимерное инвариан-
тное многообразие M5(ε), решения на котором восстанавливаются после рассмотрения
вспомогательной системы из пяти обыкновенных дифференциальных уравнений — нор-
мальной формы. Построение нормальной формы во многом повторяет реализацию алго-
ритма метода квазинормальных форм из предыдущего пункта, поэтому повторим лишь
основные моменты.
Решения, принадлежащие M5(ε), будем искать в виде
u(t, x, ε) = ψ(s) + ε1/2u1(t, s, ε) + εu2(t, s, ε) + ε3/2u3(t, s, ε) + o(ε3/2), (3.3)
где s = εt, uj(t, s, x), j = 1, 2, 3, — достаточно гладкие функции, удовлетворяющие кра-
евым условиям (3.2) и имеющие структуру тригонометрических квазимногочленов с ба-
зисом частот σ1, σ2. Так,
u1 = zk(s) exp(iσkt+ ikx) + zk(s) exp(−iσkt− ikx)+
+ zk+1(s) exp(iσk+1t+ i(k + 1)x) + zk+1(s) exp(−iσk+1t− i(k + 1)x).
Подстановка суммы (3.3) в краевую задачу (3.1), (3.2), как и в пункте 2, приводит к двум
неоднородным краевым задачам для определения u2, u3:
u2t −Ak,k+1(0)u2 = b1(u1 − w1)w1x + b2w
2
1x, (3.4)
u2(t, s, x+ 2π) = u2(t, s, x), (3.5)
u3t −Ak,k+1(0)u3 = b1(u1 − w1)w2x + b1(u2 − w2)w1x + 2b2w1xw2x + b3(u1 − w1)w
2
1x, (3.6)
u3(t, s, x+ 2π) = u3(t, s, x), (3.7)
где wj = wj(t, s, x) = uj
(
t, s, x− π
4
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
84 Д. А. КУЛИКОВ
Из условий разрешимости краевых задач (3.4), (3.5), (3.6), (3.7) в выбранном классе
функций приходим к нормальной форме
ψ′ = d01(k)|zk|2 + d02(k)|zk+1|2,
z′k = (τk + iωk)zk − [d11(k)|zk|2 + d12(k)|zk+1|2]zk, (3.8)
z′k+1 = (τk+1 + iωk+1)zk+1 − [d21(k)|zk|2 + d22(k)|zk+1|2]zk+1,
в которой два последних уравнения могут быть записаны в полярной системе координат,
если положить
zk = ρk exp(iϕk), zk+1 = ρk+1 exp(iϕk+1).
В результате система (3.8) примет вид
ψ′ = d01(k)ρ2k + d02(k)ρ2k+1, (3.9)
ϕ′k = ωk −
[
Im d11(k)ρ2k + Im d12(k)ρ2k+1
]
, (3.10)
ϕ′k+1 = ωk+1 −
[
Im d21(k)ρ2k + Im d22(k)ρ2k+1
]
,
ρ′k = τkρk −
[
Re d11(k)ρ2k + Re d12(k)ρ2k+1
]
ρk, (3.11)
ρ′k+1 = τk+1ρk+1 −
[
Re d21(k)ρ2k + Re d22(k)ρ2k+1
]
ρk+1,
где d01(k), d02(k) ∈ R, d11(k), d12(k), d21(k), d22(k) ∈ C. Эти коэффициенты определяются
в процессе построения нормальной формы. Особую роль, очевидно, играет замкнутая
система дифференциальных уравнений (3.11) для ρk, ρk+1.
Пусть ρk,0, ρk+1,0 — координаты ненулевого состояния равновесия. Возможны три
варианта. Система (3.11) имеет состояния равновесия
S1 : ρk,0 > 0, ρk+1,0 = 0; S2 : ρk,0 = 0, ρk+1,0 > 0; S3 : ρk,0 > 0, ρk+1,0 > 0.
Используя результаты и методику работ [13 – 16], можно утверждать, что справедливо
следующее утверждение.
Теорема 3.1. Существует такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0; ε0) каждому ненуле-
вому состоянию равновесия системы (3.11) (S1, S2 или S3) соответствует семейство
решений краевой задачи (3.1), (3.2) вида
u(t, x, ε) = [(d01(k)ρ2k0 + d02(k)ρ2k+1,0)ε+ o(ε)]t+ v(t, x, ε) + ψ0, (3.12)
где
v(t, x, ε) = [2ρk,0 cos ((σk + εΘk)t+ ikx+ γk) +
+ 2ρk+1,0 cos ((σk+1 + εΘk+1)t+ i(k + 1)x+ γk+1)] ε
1/2 + o(ε1/2), γk, γk+1, ψ0 ∈ R,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНЫЕ ДИССИПАТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ . . . 85
а поправки к частотам восстанавливаются после интегрирования дифференциальных
уравнений (3.10). Решения (3.12) наследуют устойчивость состояний равновесия S1, S2
или S3 соответственно. Первое слагаемое в формуле (3.12) восстанавливается после
интегрирования дифференциального уравнения (3.9).
Пусть существует состояние равновесия S1 (или S2), тогда ему соответствует решение
u(t, x, ε), у которого функция v(t, x, ε) имеет по переменной t период, близкий к 2π/σk
(2π/σk+1).
Несколько иная ситуация возникает, если существует состояние равновесия S3. Ясно,
что ему соответствуют решения (3.11), где v(t, x, ε) — квазипериодическая функция с ба-
зисом частот, которые близки к частотам σk, σk+1.
4. Заключение. В статье рассмотрена краевая задача для пространственно-нелокаль-
ной модели эрозии. С математической точки зрения пространственно-неоднородные ре-
шения (зависящие от x) могут появиться при смене устойчивости однородным состоя-
нием равновесия, т. е. описан достаточно простой механизм возникновения волнового
нанорельефа при бомбардировке поверхности потоком ионов. Аналогичный механизм
(см. [13]) был предложен при рассмотрении модели Бредли – Харпера. Вместе с тем есть
и отличия при сравнении этих моделей: при изучении нелокальной модели эрозии уда-
ется выявить высокомодовые (коротковолновые) волновые структуры. В пункте 2 при
c > 1, 6 было показано, что возможны структуры с волновым числом, равным шести.
Более того, не исключается возможность наличия и двухмодовых решений, а следова-
тельно, волнового рельефа усложненной структуры.
1. Sigmund P. Sputtering by ion bombardment. Theoretical concepts. Sputtering by penticle bombardment 1 /
Ed. R. Behrisch. — Berlin: Springer-Verlag, 1981. — 000 p.
2. Bradley R. M., Haper J. M. E. Theory of ripple topography induced by ion bombardment // J. Vac. Techol. —
1988. — A6(4). — Р. 2390 – 2395.
3. Кудряшов Н. А., Рябов П. Н.,Стриханов М. Н. Численное моделирование формирования нанострук-
тур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке // Ядер. физика и инжиниринг. —
2010. — 1, № 2. — С. 151 – 158.
4. Sivachinsky G. I. Weak turbulence in periodic flows // Physica D. — 1985. — 17. — P. 243 – 255.
5. Рудый А. С., Бачурин В. И. Пространственно-нелокальная модель эрозии поверхности ионной бом-
бардировкой // Изв. РАН. Сер. физ. — 2008. — 72, № 5. — C. 624 – 629.
6. Куликов Д. А., Рудый А. С. Неоднородные диссипативные структуры в задаче о формировании нано-
рельефа // Моделирование и анализ информ. систем. — 2012. — 19, № 5. — С. 40 – 49.
7. Куликов Д. А. Неоднородные диссипативные структуры в задаче о формировании нанорельефа // Ди-
нам. системы. — 2012. — 2 (30), № 3 – 4. — С. 259 – 272.
8. Соболевский П. Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве // Труды Моск.
мат. о-ва. — 1961. — 10. — С. 297 – 310.
9. Крейн С. К. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967. —
464 с.
10. Куликов А. Н. О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в бана-
ховом пространстве // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль: Изд-во ЯрГУ,
1976. — С. 114 – 129.
11. Foias C., Sell G. R., Temam R. Inertial manifold for non-linear evolutionary equations // J. Different. Equat. —
1988. — 73. — Р. 309 – 352.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
86 Д. А. КУЛИКОВ
12. Куликов А. Н. Инерциальные многообразия нелинейных автономных диффренциальных уравнений
в гильбертовом пространстве. — М., 1991. — 24 с. — (Препринт / АН СССР Ин. прикл. математики
им. M. В. Келдыша, № 85).
13. Куликов А. Н., Куликов Д. А. Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских
подложек при ионной бомбардировке // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2012. — 52,
№ 5. — C. 930 – 945.
14. Куликов А. Н., Куликов Д. А. Локальные бифуркации плоских бегущих волн обобщенного кубиче-
ского уравнения Шредингера // Дифференц. уравнения. — 2010. — 40, № 9. — С. 1290 – 1299.
15. Колесов А. Ю., Куликов А. Н., Розов Н. Х. Инвариантные торы одного класса точечных отображений:
принцип кольца // Дифференц. уравнения. — 2003. — 39, № 5. — С. 584 – 601.
16. Колесов А. Ю., Куликов А. Н., Розов Н. Х. Инвариантные торы одного класса точечных отображений:
сохранение инвариантных торов при возмущениях // Дифференц. уравнения. — 2003. — 39, № 6. —
С. 738 – 753.
Получено 10.01.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
|