Про структуру множини неперервних розв’язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійно перетвореним аргументом
Исследована структура множеств непрерывных решений линейных функционально-разностных уравнений с линейно преобразованным аргументом. The structure of the sets of continuous solutions of linear functional-difference equations with linearly transformed argument has been investigated....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174721 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про структуру множини неперервних розв’язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійно перетвореним аргументом / Г.П. Пелюх, О.А. Сiвак // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 1. — С. 75-95. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859706835978682368 |
|---|---|
| author | Пелюх, Г.П. Сiвак, О.А. |
| author_facet | Пелюх, Г.П. Сiвак, О.А. |
| citation_txt | Про структуру множини неперервних розв’язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійно перетвореним аргументом / Г.П. Пелюх, О.А. Сiвак // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 1. — С. 75-95. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Исследована структура множеств непрерывных решений линейных функционально-разностных уравнений с линейно преобразованным аргументом.
The structure of the sets of continuous solutions of linear functional-difference equations with linearly transformed argument has been investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-01T03:43:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ
З ЛIНIЙНО ПЕРЕТВОРЕНИМ АРГУМЕНТОМ*
Г. П. Пелюх, О. А. Сiвак
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: grygor@imath.kiev.ua
The structure of the sets of continuous solutions of linear functional-difference equations with linearly
transformed argument has been investigated.
Исследована структура множеств непрерывных решений линейных функционально-разностных
уравнений с линейно преобразованным аргументом.
Основи теорiї лiнiйних рiзницевих i q-рiзницевих рiвнянь вигляду
x(t + 1) = a(t)x(t),
(1)
x(qt) = b(t)x(t),
де всi елементи aij(t), bij(t), i, j = 1, . . . , n, матриць a(t) = (aij(t)), b(t) = (bij(t)) є аналi-
тичними функцiями в деякому околi точки t = ∞, було розроблено у працях Бiркгофа
та його учнiв. Бiльш того, в [1 – 5] побудовано зображення загального розв’язку таких
систем рiвнянь i дослiджено його структуру. В подальшому цi системи розглядались у
багатьох роботах (див., наприклад, [6 – 10] i наведену там бiблiографiю) i на даний час
багато питань їх теорiї досить добре вивченi при бiльш загальних припущеннях вiдносно
матриць a(t), b(t). У зв’язку з цим природно виникло ряд питань про одержання аналогiч-
них результатiв для систем лiнiйних рiвнянь вигляду
x(t + 1) = a(t)x(t) + b(t)x(qt), (2)
де t ∈ R = (−∞,+∞), a(t), b(t) — деякi дiйснi матрицi розмiрностi n× n i q — деяка дiйс-
на стала. Особливо важливим серед них є питання побудови загального неперервного
розв’язку (при певних припущеннях вiдносно матриць a(t), b(t)) системи рiвнянь вигляду
(2) i дослiдження його структури. Саме це питання i є основною метою даного дослiджен-
ня.
1. Розглянемо спочатку рiвняння
x(t + 1) = ax(t) + bx(qt), (3)
де t ∈ R+ = [0,+∞), a, b, q — дiйснi сталi, i дослiдимо структуру його загального непе-
рервного розв’язку у випадку, коли виконуються такi умови:
∗ Частково пiдтримано проектом Ф 25.1/021.
c© Г. П. Пелюх, О. А. Сiвак, 2010
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1 75
76 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК
1) 0 < a < 1, q > 1;
2)4 =
|b|
a− aq
< 1.
Має мiсце наступна лема.
Лема 1. Якщо виконуються умови 1, 2, то рiвняння (3) має сiм’ю неперервних i обме-
жених при t ≥ 0 розв’язкiв x(t) = x(t, ω(t)), що залежать вiд довiльної неперервної
1-перiодичної функцiї ω(t).
Доведення. Покажемо, що рiвняння (3) має неперервнi розв’язки у виглядi ряду
x(t) =
∞∑
i=0
xi(t), (4)
де xi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi функцiї. Дiйсно, пiдставляючи (4) в (3), одержує-
мо
∞∑
i=0
xi(t + 1) = a
∞∑
i=0
xi(t) + b
∞∑
i=0
xi(qt).
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо функцiї xi(t), i = 0, 1, . . . , задовольняють рiв-
няння
x0(t + 1) = ax0(t), (50)
xi(t + 1) = axi(t) + bxi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (5i)
то ряд (4) буде формальним розв’язком рiвняння (3).
Рiвняння (50) має сiм’ю неперервних розв’язкiв вигляду
x0(t) = atω(t), (6)
де ω(t) — довiльна неперервна 1-перiодична функцiя. Розглядаючи послiдовно рiвняння
(5i), i = 1, 2, . . . , можна переконатися, що вони мають формальнi розв’язки у виглядi
рядiв
xi(t) = −
∞∑
j=0
a−(j+1) b xi−1(q(t + j)), i = 1, 2, . . . . (6i)
Покажемо, що ряди (6i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних
функцiй xi(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки
|xi(t)| ≤ M∆iaqt, i = 1, 2, . . . . (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 77
Дiйсно, оскiльки | x0(t)| ≤ Mat, де M = max
t
|ω(t)|, то на пiдставi (61) отримуємо
|x1(t)| ≤
∞∑
j=0
a−(j+1)|b||x0(q(t + j))| ≤ |b|
∞∑
j=0
a−(j+1) M aq(t+j) ≤
≤ M |b|aqt−1
∞∑
j=0
a(q−1)j ≤ Maqt |b|
a− aq
≤ M∆aqt,
тобто оцiнка (7) має мiсце при i = 1. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнку
(7) доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд i до
i + 1. Дiйсно, враховуючи (6i+1) та (7), знаходимо
|xi+1(t)| ≤
∞∑
j=0
a−(j+1)|b||xi(q(t + j))| ≤ |b|
∞∑
j=0
a−(j+1)M∆iaq(q(t+j)) ≤
≤ |b|M∆iaq2t−1
∞∑
j=0
a(q2−1)j ≤ |b|M∆iaqt−1
∞∑
j=0
a(q−1)j ≤ M∆i+1aqt.
Цим самим ми довели, що ряди (6i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при всiх t ≥
≥ 0 до деяких неперервних функцiй xi(t), i = 1, 2, . . . , для яких виконуються оцiнки (7).
Звiдси безпосередньо випливає, що ряд (4) рiвномiрно збiгається при всiх t ≥ 0 до деякої
неперервної функцiї x(t), яка задовольняє умову
|x(t)| ≤ M
1−∆
.
Лему 1 доведено.
Лема 2. Якщо γ(t) — довiльний неперервний i обмежений при t ≥ 0 розв’язок рiвняння
(3) i виконуються умови 1, 2 леми 1, то при всiх t ≥ 0 має мiсце оцiнка
|γ(t)| ≤ M̃at, (8)
де M̃ — деяка додатна стала.
Доведення. Дiйсно, оскiльки
γ(t + 1) = aγ(t) + bγ(qt), (9)
то, виконуючи в (9) взаємно однозначну замiну змiнних
γ(t) = atv(t), (10)
отримуємо
v(t + 1) = v(t) + a−1ba(q−1)tv(qt). (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
78 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК
Оскiльки довiльний неперервний i обмежений при t ≥ 0 розв’язок рiвняння (11) задо-
вольняє рiвняння
v(t) = ω̃(t)− a−1b
∞∑
j=0
a(q−1)(t+j)v(q(t + j)), (12)
де ω̃(t) — деяка неперервна 1-перiодична функцiя, то для доведення леми достатньо довес-
ти, що рiвняння (12) має єдиний неперервний i обмежений при t ≥ 0 розв’язок v(t). Для
цього використаємо метод послiдовних наближень, якi побудуємо за допомогою спiввiд-
ношень
v0(t) = ω̃(t),
vm(t) = ω̃(t)− a−1b
∞∑
j=0
a(q−1)(t+j)vm−1(q(t + j)), m = 1, 2, . . . . (13)
Покажемо, що так визначенi функцiї vm(t), m = 0, 1, . . . , є неперервними й обмеженими
при всiх t ≥ 0. Справдi, |v0(t)| ≤ |ω̃(t)| ≤ M̃ ′, де M̃ ′ — деяка додатна стала. Тодi згiдно з
(13) i умовами леми отримуємо
|v1(t)| ≤ |ω̃(t)|+ a−1|b|
∞∑
j=0
a(q−1)(t+j)|ω̃(q(t + j))| ≤
≤ M̃ ′ + a−1|b| M̃ ′
∞∑
j=0
a(q−1)j ≤ M̃ ′
(
1 +
|b|
a− aq
)
≤ M̃ ′
1−∆
= ˜̃
M.
Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнку
|vm(t)| ≤ ˜̃M (14)
доведено для деякого m ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд m до
m + 1. Дiйсно, згiдно з спiввiдношеннями (13), умовами леми та оцiнкою (14) знаходимо
|vm+1(t)| ≤ |ω̃(t)|+ a−1|b|
∞∑
j=0
a(q−1)(t+j)|vm(q(t + j))| ≤
≤ M̃ ′ + a−1|b| ˜̃M ∞∑
j=0
a(q−1)j ≤ ˜̃M (
M̃ ′˜̃
M
+
a−1|b|
1− aq−1
)
= ˜̃
M(1−∆ + ∆) = ˜̃
M.
Отже, всi функцiї vm(t), m = 0, 1, . . . , є неперервними й обмеженими при всiх t ≥ 0.
Доведемо тепер, що послiдовнiсть функцiй vm(t), m = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається
до деякої неперервної й обмеженої при t ≥ 0 функцiї v(t). Для цього, очевидно, достатньо
показати, що при всiх t ≥ 0 i m ≥ 1 виконується оцiнка
|vm(t)− vm−1(t)| ≤ M̃ ′∆m. (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 79
Справдi, згiдно з (13) при m = 1 маємо
|v1(t)− v0(t)| ≤ a−1|b|
∞∑
j=0
a(q−1)(t+j)|ω̃(q(t + j))| ≤
≤ a−1|b|M̃ ′a(q−1)t
∞∑
j=0
a(q−1)j ≤ M̃ ′ |b|
a(1− aq−1)
= M̃ ′∆,
тобто в цьому випадку оцiнка (15) має мiсце. Припустимо, що цю оцiнку доведено для
деякого m ≥ 1, i покажемо її справедливiсть для m + 1. Дiйсно, беручи до уваги (13), (15)
i умови леми, знаходимо
|vm+1(t)− vm(t)| ≤ a−1|b|
∞∑
j=0
a(q−1)(t+j)|vm(q(t + j))− vm−1(q(t + j))| ≤
≤ a−1|b| M̃ ′ ∆m a(q−1)t
∞∑
j=0
a(q−1)j ≤ M̃ ′∆m |b|
a(1− aq−1)
= M̃ ′∆m+1.
Таким чином, оцiнка (15) має мiсце при всiх t ≥ 0, m ≥ 1.
Безпосередньо iз (15) випливає, що послiдовнiсть vm(t), m = 0, 1, . . . , рiвномiрно збi-
гається до деякої неперервної при t ≥ 0 функцiї v(t) = lim
m→+∞
vm(t), яка (внаслiдок (14))
задовольняє умову
|v(t)| ≤ ˜̃M.
Переходячи в (13) до границi при m → +∞, можна переконатися, що функцiя v(t) =
= lim
m→+∞
vm(t) є розв’язком рiвняння (12).
Припустимо тепер, що iснує ще один неперервний i обмежений при t ≥ 0 розв’язок
ṽ(t) рiвняння (12) такий, що ṽ(t) 6= v(t). Тодi згiдно з спiввiдношеннями
v(t) = ω̃(t)− a−1b
∞∑
j=0
a(q−1)(t+j)v(q(t + j)),
ṽ(t) = ω̃(t)− a−1b
∞∑
j=0
a(q−1)(t+j)ṽ(q(t + j))
i умовами 1, 2 отримуємо
|v(t)− ṽ(t)| ≤ a−1|b|
∞∑
j=0
a(q−1)(t+j)|v(q(t + j))− ṽ(q(t + j))| ≤
≤ a−1|b|
∞∑
j=0
a(q−1)j
||v(t)− ṽ(t)|| ≤ ∆ ‖v(t)− ṽ(t)‖,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
80 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК
де ‖v(t)− ṽ(t)‖ = sup
t
|v(t)− ṽ(t)|. Звiдси випливає спiввiдношення
‖v(t)− ṽ(t)‖ ≤ ∆‖v(t)− ṽ(t)‖,
яке може мати мiсце лише у випадку, коли v(t) ≡ ṽ(t). Отримана суперечнiсть завершує
доведення леми 2.
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1) 0 < a < 1, q > 1;
2)4 =
|b|
a− aq
<
1
2
.
Тодi довiльний неперервний i обмежений при t ≥ 0 розв’язок γ(t) рiвняння (3) можна
зобразити у виглядi ряду (4), в якому функцiї xi(t) = xi(t, ω(t)), i = 0, 1, . . . , визнача-
ються спiввiдношеннями (6i), i = 0, 1, . . . , а ω(t) — деяка неперервна 1-перiодична функ-
цiя.
Для доведення теореми достатньо, очевидно, показати, що для довiльного неперерв-
ного й обмеженого при всiх t ≥ 0 розв’язку γ(t) рiвняння (3) iснує неперервна 1-перiодична
функцiя ω(t) така, що виконується рiвнiсть
γ(t) =
∞∑
i=0
xi(t, ω(t)),
яку з урахуванням (60) можна записати у виглядi
ω(t) = a−tγ(t)− a−t
∞∑
i=1
xi(t, ω(t)). (16)
Розглядаючи (16) як рiвняння вiдносно функцiї ω(t), покажемо, що воно має неперервний
1-перiодичний розв’язок. Для цього застосуємо метод послiдовних наближень, якi визна-
чимо за допомогою формул
ω0(t) = a−tγ(t), (17)
ωm(t) = a−tγ(t)− a−t
∞∑
i=1
xi(t, ωm−1(t)), m = 1, 2, . . . . (18)
Покажемо, що таким чином побудованi функцiї ωm(t), m = 0, 1, . . . , є обмеженими
при всiх t ≥ 0. Справдi, на пiдставi леми 2 маємо
|ω0(t)| ≤ M̃.
Тодi, беручи до уваги (18) i умови теореми, знаходимо
|ω1(t)| ≤ |a−tγ(t)|+ a−t
∞∑
i=1
|xi(t, ω0(t))| ≤ M̃ + M̃a(q−1)t
∞∑
i=1
∆i ≤
≤ M̃ +
M̃∆
1−∆
≤ M̃
1− θ
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 81
де θ =
∆
1−∆
< 1.
За iндукцiєю можна показати, що оцiнка
|ωm(t)| ≤ M̃
1− θ
(19)
має мiсце при всiх m ≥ 1 i t ≥ 0. Справдi, нехай (19) доведено для деякого m ≥ 1. Тодi
згiдно з (18), (19) i умовами теореми отримуємо
|ωm+1(t)| ≤ |a−tγ(t)|+ a−t
∞∑
i=1
|xi(t, ωm(t))| ≤ M̃ +
M̃
1− θ
a−t
( ∞∑
i=1
∆i
)
aqt ≤
≤ M̃ +
M̃
1− θ
∆
1−∆
≤ M̃
1− θ
(1− θ + θ) =
M̃
1− θ
.
Отже, оцiнка (19) має мiсце при всiх t ≥ 0 i m ≥ 1.
Доведемо тепер, що послiдовнiсть функцiй ωm(t), m = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається
до деякої неперервної при t ≥ 0 функцiї ω(t). Для цього, очевидно, достатньо показати,
що при всiх m ≥ 1 i t ≥ 0 виконується оцiнка
|ωm(t)− ωm−1(t)| ≤ M̃θma(q−1)t. (20)
Покажемо спочатку, що якщо ṽ(t), v(t) — неперервнi й обмеженi при t ≥ 0 функцiї,
то при всiх i ≥ 1, t ≥ 0 виконується оцiнка
|xi(t, ṽ(t))− xi(t, v(t))| ≤ ∆iaqt‖ṽ(t)− v(t)‖, (21)
де ‖ṽ(t)− v(t)‖ = sup
t
|ṽ(t)− v(t)|. Дiйсно, використовуючи (60), (61), маємо
|x1(t, ṽ(t))− x1(t, v(t))| ≤
∞∑
j=0
a−(j+1)|b| |x0(q(t + j), ṽ(q(t + j)))−
− x0(q(t + j), v(q(t + j)))| ≤
≤ |b|
∞∑
j=0
a−(j+1)| aq(t+j)ṽ(q(t + j))− aq(t+j)v(q(t + j))| ≤
≤ |b|
∞∑
j=0
a−(j+1)+qjaqt| ṽ(q(t + j))− v(q(t + j))| ≤
≤ |b|
a(1− aq−1)
aqt‖ṽ(t))− v(t)‖ ≤ ∆ aqt‖ṽ(t)− v(t)‖.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
82 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК
Припустимо, що оцiнку (21) доведено для деякого i = m, i покажемо, що вона не змi-
ниться при переходi вiд m до m + 1. Дiйсно, згiдно з (6m+1), (21) маємо
|xm+1(t, ṽ(t))− xm+1(t, v(t))| ≤ |b|
∞∑
j=0
a−(j+1)|xm(q(t + j), ṽ(q(t + j))−
− xm(q(t + j), v(q(t + j))| ≤
≤ |b|
∞∑
j=0
a−(j+1)∆maq(q(t+j))‖ṽ(t)− v(t)‖ ≤
≤ |b|
a
∆m
∞∑
j=0
a(q2−1)jaq2t‖ṽ(t)− v(t)‖ ≤
≤ |b|
a
∆m
∞∑
j=0
a(q−1)jaqt‖ṽ(t)− v(t)‖ ≤
≤ |b|
a
∆m 1
1− aq−1
aqt‖ṽ(t)− v(t)‖ ≤ ∆m+1aqt‖ṽ(t)− v(t)‖.
Отже, оцiнка (21) виконується при всiх i ≥ 1, t ≥ 0.
Покажемо тепер, що має мiсце оцiнка (20). Дiйсно, оскiльки безпосередньо з (6i) ви-
пливає, що при всiх i ≥ 0 виконується спiввiдношення
xi(t, 0) ≡ 0,
то, беручи до уваги (7), (17) – (19), при m = 1 отримуємо
|ω1(t)− ω0(t)| ≤ a−t
∞∑
i=1
|xi(t, ω0(t))| ≤ a−t
∞∑
i=1
M̃∆iaqt ≤
≤ M̃
∆
1−∆
a(q−1)t ≤ M̃θa(q−1)t.
Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнку (20) доведено для деякого k ≥ 1,
i покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд k до k + 1. Враховуючи (18), (21) i
‖ωk − ωk−1‖ ≤ M̃θk, маємо
|ωk+1(t)− ωk(t)| ≤ a−t
∞∑
i=1
|xi(t, ωk(t))− xi(t, ωk−1(t))| ≤
≤ a−t
∞∑
i=1
∆iaqt‖ωk(t)− ωk−1(t)‖ ≤ a(q−1)t ∆
1−∆
M̃θk ≤ M̃θk+1a(q−1)t.
Цим самим ми довели, що оцiнка (20) виконується при всiх m ≥ 1. Звiдси безпосе-
редньо випливає, що послiдовнiсть функцiй ωm(t), m = 0, 1, . . . , якi визначаються фор-
мулами (17), (18), рiвномiрно збiгається при t ≥ 0 до деякої неперервної функцiї ω(t) =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 83
= lim
m→+∞
ωm(t). Переходячи в (18) до границi при m → +∞, можна переконатися, що
функцiя ω(t) є розв’язком рiвняння (16).
Доведемо тепер, що функцiя ω(t) є 1-перiодичною. З огляду на (16) маємо
ω(t + 1) = a−(t+1)γ(t + 1)− a−(t+1)
∞∑
i=1
xi(t + 1, ω(t + 1)).
Оскiльки γ(t + 1) ≡ aγ(t) + bγ(qt), то
ω(t + 1) = a−tγ(t) + a−(t+1)bγ(qt)− a−(t+1)
∞∑
i=1
xi(t + 1, ω(t + 1)) =
= a−tγ(t)− a−t
(
a−1
∞∑
i=1
xi(t + 1, ω(t + 1))− a−1bγ(qt)
)
=
= a−tγ(t)− a−t
( ∞∑
i=1
xi(t, ω(t)) + a−1b
∞∑
i=0
xi(qt, ω(qt))− a−1bγ(qt)
)
=
= a−tγ(t)− a−t
( ∞∑
i=1
xi(t, ω(t)) + a−1bγ(qt)− a−1bγ(qt)
)
=
= a−tγ(t)− a−t
∞∑
i=1
xi(t, ω(t)) = ω(t),
що й завершує доведення теореми 1.
Розглянемо тепер неоднорiдне рiвняння вигляду
y(t + 1) = ay(t) + by(qt) + f(t), (22)
де сталi a, b, q i функцiя f(t) задовольняють умови:
1) 0 < a < 1, q > 1;
2)
|b|
1− a
= θ̃ < 1;
3) функцiя f(t) є неперервною й обмеженою при всiх t ∈ R i такою, що sup
t
|f(t)| =
= M < ∞.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 2. Якщо виконуються умови 1 – 3, то рiвняння (22) має неперервний i обме-
жений при t ∈ R розв’язок y(t) у виглядi ряду
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t), (23)
де yi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi й обмеженi при t ∈ R функцiї.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
84 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК
Доведення. Пiдставляючи (23) в (22), знаходимо
∞∑
i=0
yi(t + 1) = a
∞∑
i=0
yi(t) + b
∞∑
i=0
yi(qt) + f(t).
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послi-
довностi рiвнянь
y0(t + 1) = ay0(t) + f(t), (240)
yi(t + 1) = ayi(t) + byi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (24i)
то ряд (23) є формальним розв’язком рiвняння (22).
Беручи до уваги умови теореми, можна переконатися, що ряд
y0(t) =
∞∑
j=1
aj−1f(t− j) (250)
рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R, задовольняє рiвняння (240) i виконується оцiнка
|y0(t)| ≤
M
1− a
= M
′
. (260)
З огляду на (250), (260) можна послiдовно показати, що ряди
yi(t) = b
∞∑
j=1
aj−1yi−1(q(t− j)), i = 1, 2, . . . , (25i)
рiвномiрно збiгаються при всiх t ∈ R, задовольняють вiдповiднi рiвняння (24i), i = 1, 2, . . . ,
i виконуються спiввiдношення
|yi(t)| ≤ M
′
θ̃i, i = 1, 2, . . . . (26i)
Таким чином, оскiльки функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , що визначаються за допомогою спiв-
вiдношень (25i), i = 0, 1, . . . , задовольняють умови (26i), i = 0, 1, . . . , то ряд (23) рiвно-
мiрно збiгається до деякої неперервної функцiї y(t), яка є розв’язком рiвняння (22) i при
всiх t ∈ R задовольняє умову
|y(t)| ≤ M
′
1− θ̃
.
Теорему 2 доведено.
Зауваження 1. Виконуючи в (22) замiну змiнних
y(t) = x(t) + y(t), (27)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 85
отримуємо рiвняння (3) для функцiї x(t). Оскiльки для цього рiвняння має мiсце теорема
1, то, беручи до уваги замiну змiнних (27) i припускаючи виконаними умови 1, 3 теореми
2 i умову
max
{
|b|
1− a
,
|b|
a− aq
}
<
1
2
,
можна описати структуру множини неперервних i обмежених при t ∈ R+ розв’язкiв рiв-
няння (22).
Зауваження 2. Теорема 2 має мiсце також у випадку, коли замiсть умови 1 виконується
умова 0 < a < 1, q > 0.
У зв’язку з доведеними вище теоремами 1, 2 природно виникає питання про опис
структури множини неперервних розв’язкiв рiвняння (22) у випадку, коли b є деякою дiйс-
ною функцiєю дiйсної змiнної t. Розглянемо, наприклад, рiвняння
y(t + 1) = ay(t) + b̃(t)y(qt) + f̃(t), (28)
де a, q — деякi сталi, b̃(t) : R → R, f̃(t) : R → R.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 3. Нехай виконуються умови:
1) 0 < a < 1, q > 1;
2) функцiї b̃(t), f̃(t) є неперервними й обмеженими при всiх t ∈ R i такими, що
sup
t
|̃b(t)| = b∗, sup
t
|f̃(t)| = f∗;
3)
b∗
1− a
= ∆̃ < 1.
Тодi рiвняння (28) має неперервний i обмежений при t ∈ R розв’язок у виглядi ряду
ỹ(t) =
∞∑
i=0
ỹi(t), (29)
де ỹi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi й обмеженi при t ∈ R функцiї.
Доведення. Дiйсно, пiдставляючи (29) в (28), одержуємо
∞∑
i=0
ỹi(t + 1) = a
∞∑
i=0
ỹi(t) + b̃(t)
∞∑
i=0
ỹi(qt) + f̃(t).
Звiдси випливає, що якщо функцiї ỹi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послiдовностi рiвнянь
ỹ0(t + 1) = aỹ0(t) + f̃(t), (300)
ỹi(t + 1) = aỹi(t) + b̃(t)ỹi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (30i)
то ряд (29) є формальним розв’язком рiвняння (28).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
86 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК
На пiдставi умов теореми ряд
ỹ0(t) =
∞∑
j=1
aj−1f̃(t− j) (310)
рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R до деякого неперервного розв’язку рiвняння (300) (в
цьому можна переконатися безпосередньою пiдстановкою (310) в (300)), який задоволь-
няє умову
|ỹ0(t)| ≤
f∗
1− a
= f̃∗. (320)
Беручи до уваги (30i), i = 1, 2, . . . , умови теореми i спiввiдношення (310), (320), можна
послiдовно показати, що ряди
ỹi(t) =
∞∑
j=1
aj−1 b̃(t− j)ỹi−1(q(t− j)), i = 1, 2, . . . , (31i)
рiвномiрно збiгаються при всiх t ∈ R до деяких неперервних функцiй ỹi(t), i = 1, 2, . . . ,
якi є розв’язками вiдповiдних рiвнянь (30i), i = 1, 2, . . . (в цьому можна переконатися
безпосередньою пiдстановкою (31i) в (30i)) i задовольняють умови
|ỹi(t)| ≤ f̃∗∆̃i, i = 1, 2, . . . . (32i)
Враховуючи спiввiдношення (32i), i = 0, 1, . . . , i умови теореми, приходимо до виснов-
ку, що ряд (29) рiвномiрно збiгається до деякої неперервної при всiх t ∈ R функцiї ỹ(t),
яка є розв’язком рiвняння (28) i задовольняє умову
|ỹ(t)| ≤ f̃∗
1− ∆̃
. (33)
Теорему 3 доведено.
Виконуючи в (28) взаємно однозначну замiну змiнних
y(t) = x(t) + ỹ(t), (34)
отримуємо рiвняння
x(t + 1) = ax(t) + b̃(t)x(qt), (35)
для якого припустимо виконаними умови 1, 2 теореми 3 i умову
3)
b∗
a− aq
= ∆∗ <
1
2
.
Тодi, як i при доведеннi теореми 1, можна показати, що довiльний неперервний i обме-
жений при t ≥ 0 розв’язок рiвняння (35) можна подати у виглядi ряду
x(t) =
∞∑
i=0
xi(t), (36)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 87
в якому функцiї xi(t), i = 0, 1, . . . , визначаються за допомогою спiввiдношень
x0(t) = atω(t), (37)
xi(t) = −
∞∑
j=0
a−(j+1)b̃(t + j)xi−1(q(t + j)), i = 1, 2, . . . , (37i)
де ω(t)− деяка неперервна 1-перiодична функцiя. Отже, беручи до уваги (29), (34), (36),
можна описати структуру множини неперервних i обмежених при t ∈ R+ розв’язкiв рiв-
няння (28).
Зауваження 3. Теорема 3 має мiсце також у випадку, коли замiсть умови 1 виконується
умова 0 < a < 1, q > 0.
2. Дослiдимо тепер структуру множини неперервних розв’язкiв рiзницевого рiвняння
(3) у випадку, коли t ≤ 0 i виконуються умови:
1) a > 1, q > 1;
2) ∆̂ =
|b|
aq − a
< 1.
Має мiсце наступна лема.
Лема 3. Якщо виконуються умови 1, 2, то рiвняння (3) має сiм’ю неперервних i обме-
жених при t ≤ 0 розв’язкiв x(t) = x(t, ω(t)), якi залежать вiд довiльної неперервної 1-
перiодичної функцiї ω(t).
Доведення. Покажемо, що рiвняння (3) має сiм’ю розв’язкiв у виглядi ряду (4). Для
цього достатньо, очевидно, показати, що функцiї xi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками рiвнянь
(5i), i = 0, 1, . . . . Безпосередньою пiдстановкою в (5i), i = 0, 1, . . . , можна переконатися,
що функцiї
x0(t) = atω(t), (380)
xi(t) =
∞∑
j=1
aj−1 bxi−1(q(t− j)), i = 1, 2, . . . , (38i)
де ω(t) — довiльна неперервна 1-перiодична функцiя, є формальними розв’язками вiдпо-
вiдних рiвнянь (5i), i = 0, 1, . . . .
Покажемо тепер, що ряди (38i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються до деяких непе-
рервних функцiй xi(t), i = 1, 2, . . . , для яких при всiх i ≥ 1, t ≤ 0 виконується оцiнка
|xi(t)| ≤ M∆̂iaqt, (39)
де M = max
t
|ω(t)|. Враховуючи, що |x0(t)| ≤ Mat, та (381), отримуємо
|x1(t)| ≤
∞∑
j=1
aj−1|b| |x0(q(t− j))| ≤ |b|
∞∑
j=1
aj−1Maq(t−j) ≤
≤ M |b| aqt−1
∞∑
j=1
a(1−q)j ≤ M
|b|a1−q
a(1− a1−q)
aqt ≤ M
|b|
aq − a
aqt ≤ M∆̂aqt.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
88 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК
Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнку (39) доведено для деякого i ≥ 1, i
покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд i до i+1. Справдi, згiдно з (38i+1) та (39)
маємо
|xi+1(t)| ≤
∞∑
j=1
aj−1|b| |xi(q(t− j))| ≤ |b|
∞∑
j=1
aj−1M∆̂iaq(q(t−j)) ≤
≤ M |b|∆̂iaq2t−1
∞∑
j=1
a(1−q2)j ≤ M |b|∆̂iaqt−1
∞∑
j=1
a(1−q)j ≤
≤ M∆̂i |b| a1−q
a(1− a1−q)
aqt ≤ M∆̂i+1 aqt.
Отже, ми показали, що оцiнка (39) має мiсце при всiх t ≤ 0, i ≥ 1. Цим самим ми дове-
ли, що ряди (38i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при всiх t ≤ 0 до деяких неперервних
функцiй xi(t), i = 1, 2, . . . , якi задовольняють спiввiдношення (39). Звiдси безпосеред-
ньо випливає, що ряд (4), в якому функцiї xi(t), i = 0, 1, 2, . . . , визначаються спiввiдно-
шеннями (38i), i = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається до деякої неперервної функцiї x(t), яка
задовольняє умову
|x(t)| ≤ M
1− ∆̂
i є розв’язком рiвняння (3).
Лему 3 доведено.
Лема 4. Якщо виконуються умови леми 3 i γ̂(t) — довiльний неперервний i обмежений
при всiх t ≤ 0 розв’язок рiвняння (3), то при всiх t ≤ 0 виконується умова
|γ̂(t)| ≤ M̂at,
де M̂ = const > 0.
Доведення леми 4 проводиться за тiєю ж схемою, що i доведення леми 2.
Теорема 4. Нехай виконуються умови:
1) a > 1, q > 1;
2) ∆̂ =
|b|
aq − a
<
1
2
.
Тодi довiльний неперервний i обмежений при всiх t ≤ 0 розв’язок γ̂(t) рiвняння (3)
можна подати у виглядi ряду (4), в якому функцiї xi(t) = xi(t, ω(t)), i = 0, 1, . . . , визна-
чаються спiввiдношеннями (38i), i = 0, 1, . . . , а ω(t) — деяка неперервна 1-перiодична
функцiя.
Для доведення теореми 4 достатньо показати, що для довiльного неперервного й обме-
женого при всiх t ≤ 0 розв’язку γ̂(t) рiвняння (3) iснує неперервний 1-перiодичний розв’я-
зок ω(t) рiвняння
ω(t) = a−tγ̂(t)− a−t
∞∑
i=1
xi(t, ω(t)), (40)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 89
де функцiї xi(t, ω(t)), i = 1, 2, . . . , визначаються спiввiдношеннями (38i), i = 1, 2, . . . . Це
можна зробити аналогiчно тому, як було доведено iснування та єдинiсть неперервного
1-перiодичного розв’язку рiвняння (16).
Розглянемо тепер неоднорiдне рiвняння вигляду
y(t + 1) = ay(t) + by(qt) + f̂(t) (41)
у випадку, коли виконуються умови:
1) a > 1, q > 1;
2)
|b|
a− 1
= θ̂ < 1;
3) функцiя f̂(t) є неперервною й обмеженою при всiх t ∈ R i такою, що sup
t
|f̂(t)| =
= M1 < ∞.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 5. Якщо виконуються умови 1 – 3, то рiвняння (41) має неперервний i обме-
жений при всiх t ∈ R розв’язок ŷ(t) у виглядi ряду
ŷ(t) =
∞∑
i=0
ŷi(t), (42)
де ŷi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi й обмеженi при всiх t ∈ R функцiї.
Доведення. Пiдставляючи (42) в (41), одержуємо
∞∑
i=0
ŷi(t + 1) = a
∞∑
i=0
ŷi(t) + b
∞∑
i=0
ŷi(qt) + f̂(t).
Звiдси випливає, що якщо функцiї ŷi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послiдовностi рiвнянь
ŷ0(t + 1) = aŷ0(t) + f̂(t), (430)
ŷi(t + 1) = aŷi(t) + bŷi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (43i)
то ряд (42) є формальним розв’язком рiвняння (41).
За умовами теореми ряд
ŷ0(t) = −
∞∑
j=0
a−(j+1)f̂(t + j) (440)
рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R, задовольняє рiвняння (430) (в цьому можна переко-
натися безпосередньою пiдстановкою в (430)) i виконується оцiнка
|ŷ0(t)| ≤
a−1M1
1− a−1
=
M1
a− 1
= M̂1. (450)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
90 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК
Розглядаючи послiдовно рiвняння (43i), i = 1, 2, . . . , можна за iндукцiєю довести, що
ряди
ŷi(t) = −b
∞∑
j=0
a−(j+1)ŷi−1(q(t + j)), i = 1, 2, . . . , (44i)
рiвномiрно збiгаються при всiх t ∈ R, задовольняють рiвняння (43i), i = 1, 2, . . . , i вико-
нуються оцiнки
|ŷi(t)| ≤ M̂1θ̂
i, i = 1, 2, . . . . (45i)
Звiдси безпосередньо випливає, що ряд (42) рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R до деякої
неперервної функцiї ŷ(t), яка задовольняє умову
|ŷ(t)| ≤ M̂1
1− θ̂
i є розв’язком рiвняння (41).
Зауваження 4. За допомогою замiни змiнних
y(t) = x(t) + ŷ(t)
дослiдження структури множини неперервних i обмежених розв’язкiв рiвняння (41) мож-
на звести до дослiдження структури множини неперервних i обмежених розв’язкiв рiвнян-
ня (3), для якого має мiсце теорема 4.
Зауваження 5. Теорема 5 має мiсце також у випадку, коли a > 1, q > 0.
Розглянемо тепер рiвняння (28), яке є природним узагальненням рiвняння (41) на ви-
падок, коли b є деякою дiйсною функцiєю змiнної t.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 6. Якщо виконуються умови:
1) a > 1, q > 1;
2) функцiї b̃(t), f̃(t) є неперервними й обмеженими при всiх t ∈ R i такими, що
sup
t
|̃b(t)| = b∗, sup
t
|f̃(t)| = f̃∗;
3)
b∗
a− 1
= ∆ < 1,
то рiвняння (28) має неперервний i обмежений при t ∈ R розв’язок у виглядi ряду
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t), (46)
де yi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi й обмеженi при t ∈ R функцiї.
Для доведення теореми достатньо, очевидно, спочатку показати, що послiдовнiсть рiв-
нянь
y0(t + 1) = ay0(t) + f̃(t), (470)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 91
yi(t + 1) = ayi(t) + b̃(t)yi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (47i)
має неперервнi й обмеженi при t ∈ R розв’язки yi(t), i = 0, 1, . . . .
Безпосередньою пiдстановкою в (47i), i = 0, 1, . . . , можна переконатися, що ряди
y0(t) = −
∞∑
j=0
a−(j+1)f̃(t + j), (480)
yi(t) = −
∞∑
j=0
a−(j+1)b̃(t + j)yi−1(q(t + j)), i = 1, 2, . . . , (48i)
є формальними розв’язками рiвнянь (47i), i = 0, 1, . . . . Беручи до уваги умови теореми,
легко показати, що вони рiвномiрно збiгаються при всiх t ∈ R до деяких неперервних
функцiй, якi задовольняють умови
| yi(t) | ≤ f ∗∆ i, i = 0, 1, . . . , (49)
де f
∗ =
f̃∗
a− 1
. Отже, внаслiдок (49) ряд (46) рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R до
деякої неперервної функцiї y(t), яка є розв’язком рiвняння (28) i задовольняє умову
|y(t)| ≤ f
∗
1−∆
.
Теорему 6 доведено.
Виконуючи в (28) замiну змiнних
y(t) = x(t) + y(t),
дослiдження рiвняння (28) можна звести до дослiдження рiвняння (35). В розглядуваному
випадку для цього рiвняння має мiсце наступна теорема.
Теорема 7. Якщо виконуються умови 1, 2 теореми 6 i
b∗
aq − a
= ∆ <
1
2
, то довiльний
неперервний i обмежений при t ≤ 0 розв’язок γ(t) рiвняння (35) можна подати у виглядi
ряду
γ(t) =
∞∑
i=0
xi(t),
де функцiї xi(t), i = 0, 1, . . . , визначаються за допомогою спiввiдношень
x0(t) = atω(t),
xi(t) =
∞∑
j=1
aj−1b̃(t− j)xi−1(q(t− j)), i = 1, 2, . . . ,
ω(t) — деяка неперервна 1-перiодична функцiя.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
92 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК
Доведення теореми 7 проводиться за тiєю ж схемою, що i доведення теореми 1.
Зауваження 6. Теорема 6 має мiсце також у випадку, коли a > 1, q > 0.
3. Дослiдимо тепер питання про iснування неперервних розв’язкiв рiзницевого рiвнян-
ня (3) у випадку, коли a > 1, 0 < q < 1, t ≥ 0. Для цього виконаємо в (3) взаємно
однозначну замiну змiнних
x(t) = aty(t). (50)
В результатi отримаємо рiвняння
y(t + 1) = y(t) + ba−1a(q−1)ty(qt), (51)
для якого має мiсце наступна лема.
Лема 5. Нехай виконуються умови:
1) a > 1, 0 < q < 1;
2)4∗ =
|b|
a− aq
< 1.
Тодi рiвняння (51) має сiм’ю неперервних i обмежених при t ≥ 0 розв’язкiв, що зале-
жать вiд довiльної неперервної 1-перiодичної функцiї ω(t).
Доведення. Розв’язки рiвняння (51) шукатимемо у виглядi функцiонального ряду
y(t) =
∞∑
i=0
yi(t), (52)
де yi(t), i = 0, 1, . . . , — деякi неперервнi функцiї. Пiдставляючи (52) в рiвняння (51), отри-
муємо
∞∑
i=0
yi(t + 1) =
∞∑
i=0
yi(t) + ba−1a(q−1)t
∞∑
i=0
yi(qt).
Звiдси безпосередньо випливає, що якщо функцiї yi(t), i = 0, 1, . . . , є розв’язками послi-
довностi рiвнянь
y0(t + 1) = y0(t), (530)
yi(t + 1) = yi(t) + ba−1a(q−1)tyi−1(qt), i = 1, 2, . . . , (53i)
то ряд (52) буде формальним розв’язком рiвняння (51).
Оскiльки рiвняння (530) має сiм’ю неперервних розв’язкiв вигляду
y0(t) = ω(t), (540)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 93
де ω(t) — довiльна неперервна 1-перiодична функцiя, то, розглядаючи послiдовно рiвнян-
ня (53i), i = 1, 2, . . . , можна переконатися, що вони також мають неперервнi при t ≥ 0
розв’язки. Дiйсно, оскiльки ряди
yi(t) = −ba−1
∞∑
j=0
a(q−1)(t+j)yi−1(q(t + j)), i = 1, 2, . . . , (54i)
є формальними розв’язками послiдовностi рiвнянь (53i), i = 1, 2, . . . , то для цього достат-
ньо показати, що цi ряди рiвномiрно збiгаються до деяких неперервних функцiй yi(t), i =
= 1, 2, . . . . Для цього, в свою чергу, достатньо показати, що при всiх i ≥ 1, t ≥ 0 викону-
ється оцiнка
|yi(t)| ≤ M∆i
∗a
(q−1)t, (55)
де M = max
t
|ω(t)|. Дiйсно, оскiльки |y0(t)| ≤ M, то на пiдставi (541) отримуємо
|y1(t)| ≤ |b|a−1
∞∑
j=0
a(q−1)(t+j)|y0(q(t + j))| ≤ M |b|a−1a(q−1)t
∞∑
j=0
a(q−1)j ≤
≤ M
|b|
a(1− aq−1)
a(q−1)t ≤ M
|b|
a− aq
a(q−1)t ≤ M∆∗a
(q−1)t.
Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнку (55) доведено для деякого i ≥ 1, i
покажемо, що вона не змiниться при переходi вiд i до i + 1. Згiдно з (54i+1) i (55) маємо
|yi+1(t)| ≤ |b|a−1
∞∑
j=0
a(q−1)(t+j)|yi(q(t + j))| ≤ |b|a−1a(q−1)t
∞∑
j=0
a(q−1)jM∆i
∗a
(q−1)q(t+j) ≤
≤ M∆i
∗|b| a−1a(q2−1)t
∞∑
j=0
a(q2−1)j ≤ M∆i
∗|b|a−1a(q−1)t
∞∑
j=0
a(q−1)j ≤
≤ M∆i
∗
|b|
a(1− aq−1)
a(q−1)t ≤ M∆i+1
∗ a(q−1)t.
Отже, ми показали, що оцiнка (55) має мiсце при всiх i ≥ 1, t ≥ 0. Цим самим ми
довели, що ряди (54i), i = 1, 2, . . . , рiвномiрно збiгаються при всiх i = 1, 2, . . . , t ≥ 0 до
деяких неперервних при t ≥ 0 функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , що задовольняють оцiнку (55).
Звiдси безпосередньо випливає, що ряд (52) рiвномiрно збiгається при t ≥ 0 до деякої
неперервної функцiї y(t), яка задовольняє умову
|y(t)| ≤ M
1−∆∗
.
Лему 5 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
94 Г. П. ПЕЛЮХ, О. А. СIВАК
Беручи до уваги замiну змiнних (50), на пiдставi леми 5 отримуємо наступну теорему.
Теорема 8. Якщо виконуються умови 1, 2 леми 5, то рiвняння (3) має сiм’ю непе-
рервних при t ≥ 0 розв’язкiв x(t) = x(t, ω(t)), якi залежать вiд довiльної неперервної
1-перiодичної функцiї ω(t).
4. Розглянемо тепер рiзницеве рiвняння (3) у випадку, коли 0 < a < 1, 0 < q < 1,
t ≤ 0. Виконуючи в (3), як i у попередньому випадку, замiну змiнних (50), дослiдження
цього рiвняння зводимо до дослiдження рiвняння (51), для якого справедлива наступна
лема.
Лема 6. Нехай виконуються умови:
1) 0 < a < 1, 0 < q < 1;
2) ˜̃4 =
|b|
aq − a
< 1.
Тодi рiвняння (51) має сiм’ю неперервних i обмежених при t ≤ 0 розв’язкiв, що зале-
жать вiд довiльної неперервної 1-перiодичної функцiї ω(t).
Доведення. Покажемо, що рiвняння (51) має неперервнi розв’язки у виглядi ряду (52).
Для цього достатньо спочатку показати, що послiдовнiсть рiвнянь (53i), i = 0, 1, . . . , має
неперервнi розв’язки yi(t), i = 0, 1, . . . .
Рiвняння (530) має сiм’ю неперервних при t ≤ 0 розв’язкiв вигляду
y0(t) = ω(t), (560)
де ω(t) — довiльна неперервна 1-перiодична функцiя. Послiдовно можна переконатися,
що ряди
yi(t) = ba−1
∞∑
j=1
a(q−1)(t−j)yi−1(q(t− j)), i = 1, 2, . . . , (56i)
є формальними розв’язками рiвнянь (53i), i = 1, 2, . . . . Покажемо, що цi ряди рiвномiрно
збiгаються до деяких неперервних функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , i при всiх i ≥ 1, t ≤ 0
виконується оцiнка
|yi(t)| ≤ M
˜̃∆i
a(q−1)t, (57)
де M = max
t
|ω(t)|. Оскiльки |y0(t)| ≤ M, то, беручи до уваги (561), одержуємо
|y1(t)| ≤ |b|a−1
∞∑
j=1
a(q−1)(t−j)|y0(q(t− j))| ≤ M |b|a−1a(q−1)t
∞∑
j=1
a(1−q)j ≤
≤ M
|b|a1−q
a(1− a1−q)
a(q−1)t ≤ M
|b|
aq − a
a(q−1)t ≤ M
˜̃∆a(q−1)t.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ФУНКЦIОНАЛЬНО-РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 95
Припустимо, що оцiнку (57) доведено для деякого i ≥ 1, i покажемо, що вона не змiниться
при переходi вiд i до i + 1. Дiйсно, згiдно з (56i+1) i (57) маємо
|yi+1(t)| ≤ |b|a−1
∞∑
j=1
a(q−1)(t−j)|yi(q(t− j))| ≤ |b|a−1a(q−1)t
∞∑
j=1
a(1−q)jM
˜̃∆i
a(q−1)q(t−j) ≤
≤ M
˜̃∆i
|b|a−1a(q2−1)t
∞∑
j=1
a(1−q2)j ≤ M
˜̃∆i
|b|a−1a(q−1)t
∞∑
j=1
a(1−q)j ≤
≤ M
˜̃∆i |b|a1−q
a(1− a1−q)
a(q−1)t ≤ M
˜̃∆i+1
a(q−1)t.
Цим самим, ми показали, що ряди (56i), i = 0, 1, . . . , при всiх t ≤ 0 рiвномiрно збiга-
ються до деяких неперервних при t ≤ 0 функцiй yi(t), i = 1, 2, . . . , що задовольняють
умову (57). Отже, ряд (52) рiвномiрно збiгається при t ≤ 0 до деякої неперервної функцiї
y(t), що задовольняє умову
|y(t)| ≤ M
1− ˜̃∆ .
Лему 6 доведено.
Беручи до уваги замiну змiнних (50), на пiдставi леми 6 отримуємо наступну теорему.
Теорема 9. Якщо виконуються умови 1, 2 леми 6, то рiвняння (3) має сiм’ю непе-
рервних при t ≤ 0 розв’язкiв x(t) = x(t, ω(t)), якi залежать вiд довiльної неперервної
1-перiодичної функцiї ω(t).
1. Birkhoff G. D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1911. — 12. —
P. 243 – 284.
2. Birkhoff G. D. Formal theory of irregular linear difference equations // Acta math. — 1930. — 54. — P. 205 –
246.
3. Trjitzinsky W. J. Analytic theory of linear q-difference equations // Ibid. — 1933. — 61. — P. 1 – 38.
4. Adams C. R. On the irregular cases of linear ordinary difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1928.
— 30, № 3. — P. 507 – 541.
5. Carmichael R. D. linear difference equations and their analytic solutions // Ibid. — 1911. — 12. — P. 99 – 134.
6. Kuczma M. Functional equations in a single variable. — Warsawa, 1968.
7. Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные неоднородные разностные уравнения. — М.: Наука,
1986. — 128 c.
8. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. —
Киев: Наук. думка, 1986. — 280 c.
9. Пелюх Г. П. К теории систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // Докл.
АН. — 2006. — 407, № 5. — С. 600 – 603.
10. Пелюх Г. П. О периодических решениях систем линейных разностных уравнений в критическом слу-
чае // Дифференц. уравнения. — 2008. — № 3. — С. 421 – 423.
Одержано 24.04.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174721 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T03:43:05Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пелюх, Г.П. Сiвак, О.А. 2021-01-27T12:22:47Z 2021-01-27T12:22:47Z 2010 Про структуру множини неперервних розв’язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійно перетвореним аргументом / Г.П. Пелюх, О.А. Сiвак // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 1. — С. 75-95. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174721 517.9 Исследована структура множеств непрерывных решений линейных функционально-разностных уравнений с линейно преобразованным аргументом. The structure of the sets of continuous solutions of linear functional-difference equations with linearly transformed argument has been investigated. Частково пiдтримано проектом Ф 25.1/021. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про структуру множини неперервних розв’язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійно перетвореним аргументом О структуре множества непрерывных решений функционально-разностных уравнений с линейно преобразованным аргументом On the structure of the set of continuous solutions of functional-difference equations with linearly transformed argument Article published earlier |
| spellingShingle | Про структуру множини неперервних розв’язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійно перетвореним аргументом Пелюх, Г.П. Сiвак, О.А. |
| title | Про структуру множини неперервних розв’язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійно перетвореним аргументом |
| title_alt | О структуре множества непрерывных решений функционально-разностных уравнений с линейно преобразованным аргументом On the structure of the set of continuous solutions of functional-difference equations with linearly transformed argument |
| title_full | Про структуру множини неперервних розв’язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійно перетвореним аргументом |
| title_fullStr | Про структуру множини неперервних розв’язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійно перетвореним аргументом |
| title_full_unstemmed | Про структуру множини неперервних розв’язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійно перетвореним аргументом |
| title_short | Про структуру множини неперервних розв’язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійно перетвореним аргументом |
| title_sort | про структуру множини неперервних розв’язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійно перетвореним аргументом |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174721 |
| work_keys_str_mv | AT pelûhgp prostrukturumnožinineperervnihrozvâzkívfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹzlíníinoperetvorenimargumentom AT sivakoa prostrukturumnožinineperervnihrozvâzkívfunkcíonalʹnoríznicevihrívnânʹzlíníinoperetvorenimargumentom AT pelûhgp ostrukturemnožestvanepreryvnyhrešeniifunkcionalʹnoraznostnyhuravneniislineinopreobrazovannymargumentom AT sivakoa ostrukturemnožestvanepreryvnyhrešeniifunkcionalʹnoraznostnyhuravneniislineinopreobrazovannymargumentom AT pelûhgp onthestructureofthesetofcontinuoussolutionsoffunctionaldifferenceequationswithlinearlytransformedargument AT sivakoa onthestructureofthesetofcontinuoussolutionsoffunctionaldifferenceequationswithlinearlytransformedargument |