Про асимптотичне інтегрування сингулярно збуреної системи лінійних диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу
Доказаны существование и бесконечная дифференцируемость решения сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с точкой поворота. We prove the existence and infinite differentiability of solutions of singularly perturbed linear system of differential...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174773 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про асимптотичне інтегрування сингулярно збуреної системи лінійних диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу / I.Г. Ключник, Г.В. Завiзiон // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 2. — С. 161-176. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174773 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ключник, I.Г. Завiзiон, Г.В. 2021-01-27T19:28:49Z 2021-01-27T19:28:49Z 2010 Про асимптотичне інтегрування сингулярно збуреної системи лінійних диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу / I.Г. Ключник, Г.В. Завiзiон // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 2. — С. 161-176. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174773 517.928 Доказаны существование и бесконечная дифференцируемость решения сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с точкой поворота. We prove the existence and infinite differentiability of solutions of singularly perturbed linear system of differential equations with deviating arguments having a turning point. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про асимптотичне інтегрування сингулярно збуреної системи лінійних диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу Об асимптотическом интегрировании сингулярно возмущенной системы линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом About asymptotic integration of singularly perturbed system of linear differential equations with deviating arguments Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про асимптотичне інтегрування сингулярно збуреної системи лінійних диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу |
| spellingShingle |
Про асимптотичне інтегрування сингулярно збуреної системи лінійних диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу Ключник, I.Г. Завiзiон, Г.В. |
| title_short |
Про асимптотичне інтегрування сингулярно збуреної системи лінійних диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу |
| title_full |
Про асимптотичне інтегрування сингулярно збуреної системи лінійних диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу |
| title_fullStr |
Про асимптотичне інтегрування сингулярно збуреної системи лінійних диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу |
| title_full_unstemmed |
Про асимптотичне інтегрування сингулярно збуреної системи лінійних диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу |
| title_sort |
про асимптотичне інтегрування сингулярно збуреної системи лінійних диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу |
| author |
Ключник, I.Г. Завiзiон, Г.В. |
| author_facet |
Ключник, I.Г. Завiзiон, Г.В. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Об асимптотическом интегрировании сингулярно возмущенной системы линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом About asymptotic integration of singularly perturbed system of linear differential equations with deviating arguments |
| description |
Доказаны существование и бесконечная дифференцируемость решения сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с точкой
поворота.
We prove the existence and infinite differentiability of solutions of singularly perturbed linear system of
differential equations with deviating arguments having a turning point.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174773 |
| citation_txt |
Про асимптотичне інтегрування сингулярно збуреної системи лінійних диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу / I.Г. Ключник, Г.В. Завiзiон // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 2. — С. 161-176. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT klûčnikig proasimptotičneíntegruvannâsingulârnozburenoísistemilíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹzvídhilennâmargumentu AT zaviziongv proasimptotičneíntegruvannâsingulârnozburenoísistemilíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹzvídhilennâmargumentu AT klûčnikig obasimptotičeskomintegrirovaniisingulârnovozmuŝennoisistemylineinyhdifferencialʹnyhuravneniisotklonâûŝimsâargumentom AT zaviziongv obasimptotičeskomintegrirovaniisingulârnovozmuŝennoisistemylineinyhdifferencialʹnyhuravneniisotklonâûŝimsâargumentom AT klûčnikig aboutasymptoticintegrationofsingularlyperturbedsystemoflineardifferentialequationswithdeviatingarguments AT zaviziongv aboutasymptoticintegrationofsingularlyperturbedsystemoflineardifferentialequationswithdeviatingarguments |
| first_indexed |
2025-11-27T08:47:57Z |
| last_indexed |
2025-11-27T08:47:57Z |
| _version_ |
1850806747511390208 |
| fulltext |
УДК 517.928
ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ
СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ
ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ВIДХИЛЕННЯМ АРГУМЕНТУ
I. Г. Ключник
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
e-mail:Klyuchnyk.I@mail.ru
Г. В. Завiзiон
Кiровоград. держ. пед. ун-т
Україна, 25006, Кiровоград, вул. Шевченка, 1
e-mail:ZavizionG@mail.ru
We prove the existence and infinite differentiability of solutions of singularly perturbed linear system of
differential equations with deviating arguments having a turning point.
Доказаны существование и бесконечная дифференцируемость решения сингулярно возмущен-
ной линейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с точкой
поворота.
У роботi [1] наведено огляд лiтератури з асимптотичного iнтегрування сингулярно збу-
рених лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з точкою звороту. Огляд методiв розв’я-
зування проблеми iснування глобальних розв’язкiв лiнiйних систем диференцiальних рiв-
нянь з вiдхиленням аргументу запропоновано у [2].
У цiй статтi уперше розглядається сингулярно збурена система диференцiальних рiв-
нянь з лiнiйним вiдхиленням аргументу з точкою звороту. Для такої системи одержано
умови, при яких розв’язками розглядуваної системи з вiдхиленням аргументу є розв’яз-
ки сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь з точкою звороту i матрицею
C(x, ε). Побудовано на компактi |ε| ≤ ε0 степеневий ряд, який є асимптотичним розви-
ненням матрицi C(x, ε) з голоморфними при |x| ≤ x0 коефiцiєнтами, причому матриця
C(x, 0) подiбна до матрицi Ейрi
(
0 1
x 0
)
. За допомогою отриманої системи диферен-
цiальних рiвнянь для сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь з вiдхилен-
ням аргументу з точкою звороту одержано асимптотичний метод iнтегрування i доведено
iснування та нескiнченну диференцiйовнiсть матричної функцiї, яка має асимптотичним
розвиненням при ε → 0 формальний ряд, одержаний запропонованим асимптотичним
методом.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь з вiдхиленням аргументу вигляду
ε
dy
dx
= (A0(x) + εA1(x))y(x, ε) + (B0(x) + εB1(x))y(x(1− ε2∆), ε), (1)
c© I. Г. Ключник, Г. В. Завiзiон, 2010
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2 161
162 I. Г. КЛЮЧНИК, Г. В. ЗАВIЗIОН
де y ∈ R2; A0(x), A1(x), B0(x), B1(x) — голоморфнi (2× 2)-матрицi за дiйсною змiнною x
при |x| ≤ x0; ε — малий дiйсний параметр; ∆ — дiйсна додатна стала.
Припустимо, що виконано такi умови:
1) визначник матрицi det C0(x) 6= 0 при x 6= 0, де C0(x) визначається рiвнiстю
C0(x) = A0(x) + B0(x); (2)
2) det C0(0) = 0 i C0(0) подiбна до жорданової форми
(
0 1
0 0
)
;
3)
d
dx
(detC0(x)) |x=0 6= 0.
Теорема 1. Нехай матрицi Ai(x), Bi(x), i = 0, 1, голоморфнi в областi |x| ≤ x0, x ∈ R,
виконуються умови 1 – 3 i можна вказати ε0 таке, що справджуються нерiвностi
‖Ai(x)‖0 ≤ αi, ‖Bi(x)‖0 ≤ βi, i = 0, 1, (3)
ε0(β0 + ε0β1)∆x0e
ε0(α0+ε0α1)∆x0+1 < 1. (4)
Тодi при |x| ≤ x0, x ∈ R, |ε| ≤ ε0 кожен розв’язок системи звичайних диференцiаль-
них рiвнянь
ε
dy
dx
= C(x, ε)y(x, ε) (5)
є розв’язком системи диференцiальних рiвнянь з вiдхиленням аргументу (1). Крiм того,
знайдеться матриця C(x, ε) така, що
C(x, ε) = C0(x) + εC1(x) + . . . + εkCk(x) + εk+1Ck+1(x, ε). (6)
Матрицi Ci(x), Ck+1(x, ε), i = 0, k, голоморфнi при |x| ≤ x0 i Ck+1(x, ε) має неперервну
похiдну за змiнною ε при |x| ≤ x0, |ε| ≤ ε0.
Ряд
∑∞
n=0 εnCn(x) є рiвномiрним при |x| ≤ x0 асимптотичним розвиненням при ε →
→ 0 i |ε| ≤ ε0 матрицi C(x, ε) i має мiсце нерiвнiсть∥∥∥∥∥C(x, ε)−
k∑
n=0
Cn(x)εn
∥∥∥∥∥ ≤ M |ε|k+1, |x| ≤ x0, |ε| ≤ ε0, (7)
де M = sup ‖Ck+1(x, ε)‖ при |x| ≤ x0, |ε| ≤ ε0.
Доведення. Нехай при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 матриця Ωx
0
(
C(x, ε)
ε
)
, яка визначається рiвнiс-
тю
Ωx
0
(
C(x, ε)
ε
)
= I +
1
ε
x∫
0
C(s, ε)ds +
1
ε2
x∫
0
C(s, ε)
s∫
0
C(s1, ε)ds1ds + . . .
. . . +
1
εn
x∫
0
C(s, ε)
s∫
0
C(s1, ε) . . .
sn−2∫
0
C(sn−1, ε)dsn−1 . . . ds1ds + . . . , (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 163
при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 є матрицантом системи диференцiальних рiвнянь (5), де матриця
C(x, ε) визначена при |x| ≤ x0 i ε 6= 0, I — одинична матриця.
Зауважимо, що ряд (8) збiгається рiвномiрно по x i ε при |x| ≤ x0 i ε 6= 0.
Загальний розв’язок рiвняння (5) при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 визначається за формулою
y(x, ε) = Ωx
0
(
C(x, ε)
ε
)
y0, (9)
де y0 не залежить вiд змiнної x.
Функцiя (9) буде задовольняти рiвняння (1) при |x| ≤ x0 i ε 6= 0, якщо
ε
dy
dx
= C(x, ε) Ωx
0
(
C(x, ε)
ε
)
y0 = (A0(x) + εA1(x))Ωx
0
(
C(x, ε)
ε
)
y0+
+ (B0(x) + εB1(x))Ωx−ε2∆x
0
(
C(x, ε)
ε
)
y0. (10)
З (10) при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 отримаємо рiвнiсть
C(x, ε) Ωx
0
(
C(x, ε)
ε
)
= (A0(x) + εA1(x))Ωx
0
(
C(x, ε)
ε
)
+
+ (B0(x) + εB1(x))Ωx−ε2∆x
0
(
C(x, ε)
ε
)
. (11)
З властивостi матрицi Ωx
0
(
C(x, ε)
ε
)
випливає, що рiвнiсть (11) при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 вико-
нується лише тодi, коли
C(x, ε) = A0(x) + εA1(x) + (B0(x) + εB1(x))Ωx−ε2∆x
x
(
C(x, ε)
ε
)
. (12)
Таким чином, якщо всi розв’язки системи рiвнянь (5) при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 є розв’язками
рiвняння (1), то на вказанiй множинi матриця C(x, ε) задовольняє рiвняння (12).
Очевидно i зворотне. Якщо матриця C(x, ε) неперервна при |x| ≤ x0, ε 6= 0 i задоволь-
няє (12), то вектор-функцiя (9) є розв’язком системи рiвнянь (1) при |x| ≤ x0 i ε 6= 0.
За допомогою замiни змiнних у рiвняннi (12) за формулою
C(x, ε) = A0(x) + εA1(x) + (B0(x) + εB1(x))Z(x, ε) (13)
одержимо рiвняння
(B0(x) + εB1(x))
(
Z(x, ε)− Ωx−ε2∆x
x
(
A0(x) + εA1(x) + (B0(x) + εB1(x))Z(x, ε)
ε
))
= 0.
(14)
Згiдно з рiвнянням (14) виберемо Z(x, ε) таким чином:
Z(x, ε) = Ωx−ε2∆x
x
(
A0 + εA1(x) + (B0(x) + εB1(x))Z(x, ε)
ε
)
. (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
164 I. Г. КЛЮЧНИК, Г. В. ЗАВIЗIОН
Визначимо оператор
SZ(x, ε) = Ωx−ε2∆x
x
(
A0(x) + εA1(x) + (B0(x) + εB1(x))Z(x, ε)
ε
)
(16)
у просторi C(m,J0) матриць Z(x, ε), заданих i неперервних за двома змiнними x i ε на
множинi
J0 = {(x, ε)||x| ≤ x0, δ ≤ |ε| ≤ ε0}
i таких, що
‖Z‖0 = sup
(x,ε)∈J0
||Z(x, ε)|| ≤ m,
де δ — додатне число таке, що δ < ε0.
Матриця SZ(x, ε) неперервна на множинi J0. Згiдно з нерiвностями (3), (4) правиль-
ною є оцiнка
‖SZ‖0 ≤ sup
(x,ε)∈J0
∣∣∣∣Ωx−ε2∆x
x
(
‖A0(x) + εA1(x)‖+ ‖B0(x) + εB1(x)‖m
|ε|
)∣∣∣∣ ≤
≤ eε0(α0+ε0α1+(β0+ε0β1)m)∆x0 ,
тобто якщо виконується нерiвнiсть
eε0(α0+ε0α1+(β0+ε0β1)m)∆x0 ≤ m, (17)
то оператор S переводить простiр C(m,J0) в себе.
Оцiнимо SZ1(x, ε)− SZ2(x, ε) для матриць Zi(x, ε) ∈ C(m,J0), i = 1, 2. Позначимо
Pi(x, ε) =
A0(x) + εA1(x) + (B0(x) + εB1(x))Zi(x, ε)
ε
, i = 1, 2,
i розглянемо рiзницю
Ωx−ε2∆x
x (P1(x, ε))− Ωx−ε2∆x
x (P2(x, ε)).
Маємо ∥∥∥∥∥∥∥
x−ε2∆x∫
x
P1(s, ε)ds−
x−ε2∆x∫
x
P2(s, ε)ds
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
∥∥∥∥∥∥∥
x−ε2∆x∫
x
(P1(s, ε)− P2(s, ε))ds
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ (β0 + ε0β1)ε0∆x0||Z1 − Z2||0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 165∥∥∥∥∥∥∥
x−ε2∆x∫
x
P1(s, ε)
s∫
x
P1(s1, ε)ds1ds−
x−ε2∆x∫
x
P2(s, ε)
s∫
x
P2(s1, ε)ds1ds
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ β0 + ε0β1
|ε|
∣∣∣∣∣∣∣
x−ε2∆x∫
x
s∫
x
||P1(s1, ε)||ds1ds +
x−ε2∆x∫
x
||P2(s, ε)||
s∫
x
ds1ds
∣∣∣∣∣∣∣
||Z1 − Z2||0 ≤
≤ (β0 + ε0β1)(α0 + ε0α1 + (β0 + ε0β1)m)ε2
0∆
2x2
0||Z1 − Z2||0,
∥∥∥∥∥∥∥
x−ε2∆x∫
x
P1(s, ε)
s∫
x
P1(s1, ε) . . .
sn−2∫
x
P1(sn−1, ε)dsn−1 . . . ds1ds −
−
x−ε2∆x∫
x
P2(s, ε)
s∫
x
P2(s1, ε) . . .
sn−2∫
x
P2(sn−1, ε)dsn−1 . . . ds1ds
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ (β0 + ε0β1)n(α0 + ε0α1 + (β0 + ε0β1)m)n−1
|ε|n
×
×
∣∣∣∣∣∣∣
x−ε2∆x∫
x
s∫
x
. . .
sn−2∫
x
dsn−1 . . . ds1ds
∣∣∣∣∣∣∣ ||Z1 − Z2||0 ≤
≤ (β0 + ε0β1)∆n|ε|n|x|n(α0 + ε0α1 + (β0 + ε0β1)m)n−1
(n− 1)!
‖Z1 − Z2‖0 ≤
≤ (β0 + ε0β1)∆x0ε0
(α0 + ε0α1 + (β0 + ε0β1)m)n−1∆n−1xn−1
0 εn−1
0
(n− 1)!
‖Z1 − Z2‖0.
Тому при (x, ε) ∈ J0 одержуємо
‖SZ1(x, ε)− SZ2(x, ε)‖ = ‖Ωx−ε2∆x
x (P1(x, ε))− Ωx−ε2∆x
x (P2(x, ε))‖ ≤
≤ (β0 + ε0β1)∆x0ε0e
(α0+ε0α1+(β0+ε0β1)m)∆x0ε0‖Z1 − Z2‖0.
При виконаннi нерiвностi
(β0 + ε0β1)∆x0ε0e
(α0+ε0α1+(β0+ε0β1)m)∆x0ε0 < 1 (18)
оператор S є оператором стиску в просторi C(m,J0).
Якщо виконуються нерiвностi (3), (4), то для m, що задовольняють оцiнку
m <
1
∆x0(β0 + ε0β1)ε0
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
166 I. Г. КЛЮЧНИК, Г. В. ЗАВIЗIОН
виконується нерiвнiсть (18). Рiвняння
eε0(α0+ε0α1+(β0+ε0β1)m)∆x0 = m
має два розв’язки m1 i m2 такi, що
∆x0(β0 + ε0β1)ε0m1 < 1 < ∆x0(β0 + ε0β1) ε0m2.
Звiдси випливає, що для
m1 ≤ m <
1
∆x0(β0 + ε0β1)ε0
(19)
будуть виконуватись одночасно нерiвностi (17), (18).
Отже, при виконаннi нерiвностей (3), (4) для значень m, що задовольняють оцiнки
(19), оператор S, заданий рiвнiстю (16), вiдображає C(m,J0) в себе i є оператором стиску.
Таким чином, у просторi C(m,J0) оператор S має єдину нерухому точку, яка i є єдиним
розв’язком рiвняння (15). Отже, рiвняння (12) має єдиний неперервний розв’язок на мно-
жинi J0. Внаслiдок довiльностi числа δ рiвняння (12) має єдиний неперервний розв’язок
для |x| ≤ x0 i ε 6= 0.
Згiдно з нерiвностями (3) при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 маємо оцiнку норми
‖Z(x, ε)‖ ≤ 1 +
∞∑
n=1
|ε|n∆nxn
0 (α0 + ε0α1 + (β0 + ε0β1)m)n
n!
. (20)
Переходячи в (20) до границi при ε → 0, а також враховуючи вигляд матрицi Z(x, ε)
i оцiнки на множинi J0 для норми ‖Z(x, ε)‖, якi заданi вiдповiдно формулами (15), (20),
отримуємо lim
ε→0
Z(x, ε) = I, |x| ≤ x0. Довизначимо матрицю Z(x, ε) при |x| ≤ x0 в точцi
ε = 0 до неперервної за змiнними x i ε на множинi
J = {(x, ε)||x| ≤ x0, |ε| ≤ ε0}, (21)
поклавши Z(x, 0) = I. Тодi, перейшовши до границi в (13) при ε → 0, знайдемо
lim
ε→0
C(x, ε) = C0(x), |x| ≤ x0. Тепер довизначимо C(x, ε) при |x| ≤ x0 в точцi ε = 0 до
неперервної за змiнними x i ε на множинi J, поклавши C(x, 0) = C0(x).
Використавши (8) i записавши при ε 6= 0 явний вигляд матрицанта
Ωx−ε2∆x
x
(
A0(x) + εA1(x) + (B0(x) + εB1(x))Z(x, ε)
ε
)
, (22)
зведемо його до iншого вигляду. Для цього у першому iнтегралi, який входить у матри-
цант (22), виконаємо замiну змiнних за формулою τ =
x− s
ε2∆
. Тодi одержимо
T0 =
1
ε
x−ε2∆x∫
x
(A0(s) + εA1(s) + (B0(s) + εB1(s))Z(s, ε)) ds = −ε∆
x∫
0
(A0(x− ε2∆τ)+
+ εA1(x− ε2∆τ) + (B0(x− ε2∆τ) + εB1(x− ε2∆τ))Z(x− ε2∆τ, ε)) dτ. (23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 167
Припустимо, що для n-кратного iнтеграла виконується рiвнiсть
1
εn
x−ε2∆x∫
x
(A0(s) + εA1(s) + (B0(s) + εB1(s))Z(s, ε))
s∫
x
(A0(s1) + εA1(s1) + (B0(s1)+
+ εB1(s1))Z(s1, ε)) . . .
sn−2∫
x
(A0(sn−1) + εA1(sn−1)+
+ (B0(sn−1) + εB1(sn−1))Z(sn−1, ε))dsn−1dsn−2 . . . ds1ds =
= (−1)nεn∆n
x∫
0
(A0(x− ε2∆τ) + εA1(x− ε2∆τ) + (B0(x− ε2∆τ)+
+ εB1(x− ε2∆τ))Z(x− ε2∆τ, ε))
τ∫
0
(A0(x− ε2∆τ1) + εA1(x− ε2∆τ1)+
+ (B0(x− ε2∆τ1) + εB1(x− ε2∆τ1))Z(x− ε2∆τ1, ε))
τn−2∫
0
(A0(x− ε2∆τn−1)+
+ εA1(x− ε2∆τn−1) + (B0(x− ε2∆τn−1) + εB1(x− ε2∆τn−1))×
× Z(x− ε2∆τn−1, ε)dτn−1 . . . dτ1dτ, (24)
де змiннi τi, i = 1, n− 1, задаються формулою
τi =
x− si
ε2∆
. (25)
Тодi (n + 1)-кратний iнтеграл вигляду (24) набере вигляду
Tn+1 =
1
εn+1
x−ε2∆x∫
x
(A0(s) + εA1(s) + (B0(s) + εB1(s))Z(s, ε))×
×
s∫
x
(A0(s1) + εA1(s1) + (B0(s1) + εB1(s1))Z(s1, ε)) . . .
sn−1∫
x
(A0(sn) + εA1(sn)+
+ (B0(sn) + εB1(sn))Z(sn, ε))dsn . . . ds1ds =
= εn(−1)n∆n
x∫
0
(A0(x− ε2∆τ) + εA1(x− ε2∆τ) + (B0(x− ε2∆τ)+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
168 I. Г. КЛЮЧНИК, Г. В. ЗАВIЗIОН
+ εB1(x− ε2∆τ))Z(x− ε2∆τ, ε)) . . .
τn−2∫
0
(A0(x− ε2∆τn−1)+
+ εA1(x− ε2∆τn−1) + (B0(x− ε2∆τn−1) + εB1(x− ε2∆τn−1)Z(x− ε2∆τn−1, ε))×
× 1
ε
sn−1∫
x
(A0(sn) + εA1(sn) + (B0(sn) + εB1(sn))Z(sn, ε))dsndτn−1 . . . dτ1dτ. (26)
Виконавши в (26) замiну за формулою τn =
x− sn
ε2∆
i використавши (24), (25), (n + 1)-
кратний iнтеграл Tn+1 запишемо у виглядi
Tn+1 = (−1)n+1εn+1∆n+1
x∫
0
(A0(x− ε2∆τ) + εA1(x− ε2∆τ) + (B0(x− ε2∆τ)+
+ εB1(x− ε2∆τ))Z(x− ε2∆τ, ε)) . . .
τn−1∫
0
(A0(x− ε2∆τn) + εA1(x− ε2∆τn)+
+ (B0(x− ε2∆τn) + εB1(x− ε2∆τn))Z(x− ε2∆τn, ε))dτndτn−1 . . . dτ. (27)
Iз спiввiдношень (23), (24), (27) за методом математичної iндукцiї випливає справедли-
вiсть (24) для n ∈ N.
Iз (24), врахувавши вигляд матрицантiв (22) i (8), отримаємо, що на множинi |x| ≤ x0
i ε 6= 0 виконується рiвнiсть
Ωx−ε2∆x
x
(
A0(x) + εA1(x) + (B0(x) + εB1(x))Z(x, ε)
ε
)
= Ωx
0(−∆ε(A0(x− ε2∆τ)+
+εA1(x− ε2∆τ) + (B0(x− ε2∆τ) + εB1(x− ε2∆τ))Z(x− ε2∆τ, ε))). (28)
Неперервнiсть матриць Ai(x), Bi(x), Z(x, ε), i = 0, 1, на множинi J i рiвнiсть (28) дають
можливiсть матрицант правої частини (28) довизначити в точцi ε = 0, |x| ≤ x0, поклав-
ши його рiвним одиничнiй матрицi. Тодi, врахувавши довизначенiсть Z(x, ε) при ε = 0 i
рiвнiсть (15), одержимо, що на множинi J виконується рiвнiсть
Z(x, ε) = Ωx
0(−∆ε(A0(x− ε2∆τ) + εA1(x− ε2∆τ)+
+ (B0(x− ε2∆τ) + εB1(x− ε2∆τ))Z(x− ε2∆τ, ε))). (29)
Позначимо через F (x, ε, Z) матрицю вигляду
F (x, ε, Z) = Z(x, ε)− Ωx
0(−∆ε(A0(x− ε2∆τ) + εA1(x− ε2∆τ)+
+ (B0(x− ε2∆τ) + εB1(x− ε2∆τ))Z(x− ε2∆τ, ε))), (30)
яка визначена на множинi J.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 169
Згiдно з (29), (30) неперервна на множинi J матриця Z(x, ε) задовольняє рiвняння
F (x, ε, Z) = 0. (31)
Iз (30) знайдемо частинну похiдну F (x, ε, Z) за змiнною Z вигляду
F
′
Z(x, ε, Z) = I + ∆ε
x∫
0
(B0(x− ε2τ∆) + εB1(x− ε2τ∆))dτ−
−∆2ε2
( x∫
0
(B0(x− ε2∆τ) + εB1(x− ε2∆τ))
τ∫
0
(A0(x− ε2∆τ1) +
+ εA1(x− ε2∆τ1) + (B0(x− ε2∆τ1) + εB1(x− ε2∆τ1))Z(x− ε2∆τ1, ε))dτdτ1+
+
x∫
0
(A0(x− ε2∆τ) + εA1(x− ε2∆τ) + (B0(x− ε2∆τ)+
+ εB1(x− ε2∆τ))Z(x− ε2∆τ, ε))
τ∫
0
(B0(x− ε2∆τ1)+
+ εB1(x− ε2∆τ1))dτdτ1
)
+ O((∆ε)3), (32)
де O((∆ε)3) — величина порядку малостi (∆ε)3.
Оцiнивши норми елементiв членiв ряду (32), отримаємо iснування мажоранти для ря-
ду (32) вигляду
1 + (β0 + ε0β1) +
∞∑
i=0
∆i+1xi+1
0 εi+1
0 (α0 + ε0α1 + (β0 + ε0β1)m)i
i!
, (33)
що доводить рiвномiрну збiжнiсть ряду (32) на множинi J. Використавши явний вигляд
матрицi F (x, ε, Z), що задана рiвнiстю (30), знайдемо частинну похiдну F ′
ε(x, ε, Z) за змiн-
ною ε, а потiм отримаємо мажоранту для ряду F ′
ε(x, ε, Z), яка має вигляд
∞∑
i=1
∆ixi
0ε
i−1
0 (α0 + ε0α1 + (β0 + ε0β1)m)i−1
(i− 1)!
(α0 + ε0α1 + (β0 + ε0β1)m + ε0(Ã1 + B̃1m)),
де
Ã1 = sup
τ∈[0,x],(x,ε)∈J
∥∥∥∥−2ετ∆
dA0(t)
dt
∣∣∣∣
t=x−ε2∆τ
+ A1(x− ε2∆τ)− 2ε2∆τ
dA1(t)
dt
∣∣∣∣
t=x−ε2∆τ
∥∥∥∥ ,
B̃1 = sup
τ∈[0,x],(x,ε)∈J
∥∥∥∥−2ετ∆
dB0(t)
dt
∣∣∣∣
t=x−ε2∆τ
+ B1(x− ε2∆τ)− 2ε2∆τ
dB1(t)
dt
∣∣∣∣
t=x−ε2∆τ
∥∥∥∥ .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
170 I. Г. КЛЮЧНИК, Г. В. ЗАВIЗIОН
З (32) i малостi ε випливає, що при (x, ε) ∈ J визначник det F ′
Z(x, ε, Z) 6= 0. Тодi iз збiж-
ностi рядiв F ′
Z(x, ε, Z), F ′
ε(x, ε, Z) i (31) випливає iснування неперервної похiдної Z ′ε(x, ε)
за змiнною ε матрицi Z(x, ε) на множинi J. Отже, з рiвностi (13) випливає iснування непе-
рервної похiдної C ′
ε(x, ε) за змiнною ε матрицi C(x, ε).
Розглянемо при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 рiзницю
C1(x, ε) =
C(x, ε)− C0(x)
ε
. (34)
Врахувавши, що C(x, ε) диференцiйовна за змiнною ε на множинi J i C(x, 0) = C0(x),
перетворимо рiзницю матриць
C(x, ε)− C0(x) = ε
1∫
0
C ′
ε(x, θε) dθ, (x, ε) ∈ J. (35)
Пiдставивши (35) в (34), при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 отримаємо матрицю
C1(x, ε) =
1∫
0
C ′
ε(x, θε) dθ. (36)
Довизначимо C1(x, ε) при ε = 0. Для цього, використавши неперервнiсть за змiнною ε
похiдної C ′
ε при |ε| ≤ ε0 i врахувавши граничний перехiд вiд iнтеграла, залежного вiд
параметра, iз рiвностi (36) отримаємо
C1(x, 0) = lim
ε→0
1∫
0
C ′
ε(x, θε)dθ =
1∫
0
lim
ε→0
C ′
ε(x, θε)dθ =
1∫
0
C ′
ε(x, 0)dθ = C ′
ε(x, 0). (37)
З рiвностей (36), (37) випливає, що для (x, ε) ∈ J матриця C1(x, ε) має вигляд (36). З
(34) – (37) випливає можливiсть зображення при (x, ε) ∈ J матрицi C(x, ε) у виглядi
C(x, ε) = C0(x) + εC1(x, ε), (38)
де матриця C1(x, ε) задається рiвнiстю (36).
При встановленнi вигляду (11) для матрицi C(x, ε) при ε 6= 0 розв’язок диференцiаль-
ного рiвняння (5) брався при ε 6= 0, тобто саме рiвняння (5) розглядається при |x| ≤ x0 i
ε 6= 0. Оскiльки матриця C(x, ε) довизначена при ε = 0 i правi частини диференцiально-
функцiонального рiвняння (1) i диференцiального рiвняння (5) збiгаються при ε = 0, то
можна вважати, що всi розв’язки диференцiального рiвняння (5) при (x, ε) ∈ J є розв’яз-
ками диференцiально-функцiонального рiвняння (1) при (x, ε) ∈ J.
Дослiдимо питання про голоморфнiсть за змiнною x матрицi C(x, ε), що задана рiвнос-
тями (13), (15). З голоморфностi Ai(x), Bi(x), i = 0, 1, випливає нескiнченна диференцi-
йовнiсть цих матриць. Тодi згiдно з [2] матриця Z(x, ε), яка задана неявно рiвнiстю (15), є
нескiнченно диференцiйовною за змiнною x. Згiдно з [1] матрицю Z(x, ε) можна розви-
нути у формальний степеневий ряд за змiнною x. Вiдомо, що з неперервностi за змiнною
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 171
x матрицi A0(x) + εA1(x) + (B0(x) + εB1(x))Z(x, ε) випливає, що матрицант цiєї матри-
цi розвивається у збiжний функцiональний ряд. Тодi, використавши (15), одержимо, що
формальний степеневий ряд за змiнною x матрицi Z(x, ε) є збiжним. А тому згiдно з (13)
матрицi Z(x, ε), C(x, ε) є голоморфними за змiнною x при (x, ε) ∈ J.
Аналогiчно до рiвностi (38) можна показати iснування неперервної за змiнною ε мат-
рицi Z1(x, ε) на множинi J вигляду Z1(x, ε) =
∫ 1
0 Z ′ε(x, θε)dθ такої, що справджується рiв-
нiсть
Z(x, ε) = I + εZ1(x, ε). (39)
Врахувавши (39), введемо позначення
M(τ, ε, Z1) = A0(x− ε2∆τ) + εA1(x− ε2∆τ)+
+ (B0(x− ε2∆τ) + εB1(x− ε2∆τ))(I + εZ1(x− ε2∆τ, ε)). (40)
Пiдставивши (8) в (29) i врахувавши (40), отримаємо рiвняння вiдносно Z1(x, ε) у виглядi
Z1(x, ε) = −∆
x∫
0
M(τ, ε, Z1)Ωτ
0(−∆εM(τ, ε, Z1))dτ. (41)
Тодi матриця F1(x, ε, Z1) вигляду
F1(x, ε, Z1) = Z1(x, ε) + ∆
x∫
0
M(τ, ε, Z1)Ωτ
0(−∆εM(τ, ε, Z1))dτ (42)
визначена на множинi J. Згiдно з (41), (42) неперервна на множинi J матриця Z1(x, ε)
задовольняє рiвняння
F1(x, ε, Z1) = 0.
Пiдставляючи вигляд матрицанта з (8) у (42), одержуємо розвинення матрицi F1(x, ε, Z1)
у рiвномiрно збiжний функцiональний ряд. При цьому ряди, якi складаються з частинної
похiдної за змiнними Z1 i ε елементiв одержаного ряду, мажоруються вiдповiдно рядами
(33) i
∆x0(Ã1 + B̃1m + (β0 + ε0β1)m1) +
∞∑
i=2
∆ixi
0ε
i−2
0 (α0 + ε0α1 + (β0 + ε0β1)m)i−1
i!
×
×((α0 + ε0α1 + (β0 + ε0β1)m)(i− 1) + iε0(Ã1 + B̃1m + (β0 + ε0β1)m1)),
де
m1 = sup
(x,ε)∈J
‖Z1(x, ε)‖.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
172 I. Г. КЛЮЧНИК, Г. В. ЗАВIЗIОН
З розвинення матрицi (F1(x, ε, Z1))
′
Z1
у рiвномiрно збiжний функцiональний ряд випливає,
що (F1(x, ε, Z1))
′
Z1
можна зобразити у виглядi
(F1(x, ε, Z1))
′
Z1
= I + O(ε). (43)
Внаслiдок малостi ε iз (43) отримаємо, що визначник det(F1(x, ε, Z1))
′
Z1
6= 0 i iснує непе-
рервна на множинi J частинна похiдна (Z ′1(x, ε))ε. Отже, на множинi J матрицю Z1(x, ε)
можна записати у виглядi
Z1(x, ε) = Z1(x, 0) + εZ2(x, ε), (44)
де
Z2(x, ε) =
1∫
0
(Z1(x, θε))′εdθ, Z1(x, 0) = −∆x(A0(x) + B0(x)).
Припустимо, що матрицю Zk−1(x, ε), яка визначається з рiвняння
Zk−1(x, ε) = (−1)k−1∆k−1×
×
x∫
0
M(τ, ε, Zk−1)
τ∫
0
. . .
τk−3∫
0
M(τk−2, ε, Zk−1)Ω
τk−2
0 (−∆εM(τk−2, ε, Zk−1))dτk−2 . . . dτ1dτ+
+ (−1)k−2∆k−2
1∫
0
x∫
0
(M(τ, θε, Zk−1)
τ∫
0
. . .
τk−4∫
0
M(τk−3, θε, Zk−1)dτk−3 . . . dτ1)′εdτdθ|ε=0,
(45)
можна подати у виглядi
Zk−1(x, ε) = Zk−1(x, 0) + εZk(x, ε), (46)
де
Zk(x, ε) =
1∫
0
(Zk−1(x, θε))′εdθ,
M(τ, ε, Zk) = A0(x− ε2∆τ) + εA1(x− ε2∆τ)+
+ (B0(x− ε2∆τ) + εB1(x− ε2∆τ))(I + εZ1(x− ε2∆τ, 0) + . . .
. . . + εk−1Zk−1(x− ε2∆τ, 0) + εkZk(x− ε2∆τ, ε)), k = 2, 3, . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 173
Пiдставивши (46) в (45), одержимо рiвняння вiдносно матрицi Zk(x, ε) вигляду
εZk(x, ε) = −Zk−1(x, 0) + (−1)k∆kε×
×
x∫
0
M(τ, ε, Zk)
τ∫
0
. . .
τk−2∫
0
M(τk−1, ε, Zk)Ω
τk−1
0 (−∆εM(τk−1, ε, Zk))dτk−1 . . . dτ1dτ+
+ (−1)k−2∆k−2
1∫
0
x∫
0
(M(τ, θε, Zk−1)
τ∫
0
. . .
τk−4∫
0
M(τk−3, θε, Zk−1)dτk−3 . . . dτ1)′εdτdθ|ε=0+
+ (−1)k−1∆k−1
x∫
0
M(τ, ε, Zk)
τ∫
0
. . .
τk−3∫
0
M(τk−2, ε, Zk)dτk−2 . . . dτ1dτ. (47)
Використавши (45), знайдемо Zk−1(x, 0) i спростимо вираз
(−1)k−1∆k−1
x∫
0
M(τ, ε, Zk)
τ∫
0
. . .
τk−3∫
0
M(τk−2, ε, Zk)dτk−2 . . . dτ1dτ − Zk−1(x, 0)+
+ (−1)k−2∆k−2
1∫
0
x∫
0
(M(τ, θε, Zk−1)
τ∫
0
. . .
τk−4∫
0
M(τk−3, θε, Zk−1)dτk−3 . . . dτ1)′εdτdθ|ε=0 =
= (−1)k−1∆k−1ε
1∫
0
x∫
0
(M(τ, θε, Zk)
τ∫
0
. . .
τk−3∫
0
M(τk−2, θε, Zk)dτk−2 . . . dτ1)′εdτdθ|ε=0. (48)
Пiдставивши (48) в (47), отримаємо рiвняння вiдносно матрицi Zk(x, ε) вигляду
Zk(x, ε) = (−1)k∆k×
×
x∫
0
M(τ, ε, Zk)
τ∫
0
. . .
τk−2∫
0
M(τk−1, ε, Zk)Ω
τk−1
0 (−∆εM(τk−1, ε, Zk))dτk−1 . . . dτ1dτ+
+ (−1)k−1∆k−1
1∫
0
x∫
0
(M(τ, θε, Zk)
τ∫
0
. . .
τk−3∫
0
M(τk−2, θε, Zk)dτk−2 . . . dτ1)′εdτdθ|ε=0. (49)
Позначимо через Fk(x, ε, Zk) матрицю вигляду
Fk(x, ε, Zk) = Zk(x, ε)− (−1)k∆k×
×
x∫
0
M(τ, ε, Zk)
τ∫
0
. . .
τk−2∫
0
M(τk−1, ε, Zk)Ω
τk−1
0 (−∆εM(τk−1, ε, Zk))dτk−1 . . . dτ1dτ−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
174 I. Г. КЛЮЧНИК, Г. В. ЗАВIЗIОН
− (−1)k−1∆k−1
1∫
0
x∫
0
(M(τ, θε, Zk)
τ∫
0
. . .
τk−3∫
0
M(τk−2, θε, Zk)dτk−2 . . . dτ1)′εdτdθ|ε=0. (50)
Пiдставивши вигляд матрицанта iз (8) у (50), одержимо розвинення матрицi Fk(x, ε, Zk)
у рiвномiрно збiжний функцiональний ряд. При цьому ряди, якi складаються з частинної
похiдної за змiнними Zk i ε елементiв одержаного ряду, мажоруються вiдповiдно рядами
1 + ∆x0ε0(β0 + ε0β1)
∞∑
i=k−1
∆iεi
0x
i
0(α0 + ε0α1 + (β0 + ε0β1)m)i
i!
i
∆kxk
0
(k − 1)!
(Ã2 + B̃2m + (β0 + ε0β1)mk)(α0 + ε0α1 + (β0 + ε0β1)m)k−1+
+
∞∑
i=k+1
∆ixi
0ε
i−k−1
0
i!
(α0 + ε0α1 + (β0 + ε0β1)m)i−1((α0 + ε0α1+
+ (β0 + ε0β1)m)(i− k) + ε0i(Ã2 + B̃2m + (β0 + ε0β1)mk)),
де
mk = sup
(x,ε)∈J
∥∥∥∥∥
k−1∑
i=1
iεi−1Zi(x, 0) + kεk−1Zk(x, ε)
∥∥∥∥∥ .
З розвинення матрицi (Fk(x, ε, Zk))
′
Zk
у рiвномiрно збiжний функцiональний ряд, а також
внаслiдок малостi ε отримаємо, що визначник det(Fk(x, ε, Zk))
′
Zk
6= 0 та iснує неперервна
на множинi J частинна похiдна (Zk(x, ε))′ε. Отже, матрицю Zk(x, ε) можна зобразити у
виглядi
Zk(x, ε) = Zk(x, 0) + εZk+1(x, ε), (51)
де Zk+1(x, ε) визначається формулою
Zk+1(x, ε) =
1∫
0
(Zk(x, θε))′εdθ.
Згiдно з математичною iндукцiєю випливає справедливiсть (51) для довiльного k ∈ N,
до того ж матрицi Zi(x, ε), i = 1, k + 1, є голоморфними при |x| ≤ x0 i мають неперервну
похiдну за змiнною ε на множинi J. Iз (51), (46), (44) одержимо, що на множинi J матрицю
Z(x, ε) можна записати у виглядi
Z(x, ε) = I + εZ1(x, 0) + . . . + εkZk(x, 0) + εk+1Zk+1(x, ε). (52)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
ПРО АСИМПТОТИЧНЕ IНТЕГРУВАННЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 175
Пiдставивши (52) в (13), одержимо матрицю C(x, ε) у виглядi
C(x, ε) = C0(x) + εC1(x) + . . . + εkCk(x) + εk+1Ck+1(x, ε), (53)
де C1(x), Ci(x), Ck+1(x, ε), i = 2, k, визначаються за формулами
C1(x) = A1(x) + B1(x) + B0(x)Z1(x, 0), Ci(x) = B0(x)Zi(x, 0) + B1(x)Zi−1(x, 0),
Ck+1(x, ε) = B0(x)Zk+1(x, ε) + B1(x)Zk(x, 0), i = 2, k.
З явного вигляду матриць Ci(x), Ck+1(x, ε) випливає, що матрицi Ci(x), Ck+1(x, ε), i = 1, k,
є голоморфними при |x| ≤ x0 i матриця Ck+1(x, ε) має неперервну похiдну за змiнною ε
при (x, ε) ∈ J.
На пiдставi результатiв [1] та обмеженостi матрицi Ck+1(x, ε) при (x, ε) ∈ J з рiвностi
(53) отримуємо, що ряд
∑∞
s=0 εsCs(x) є рiвномiрним при |x| ≤ x0 асимптотичним розви-
ненням при ε → 0 i |ε| ≤ ε0.
Теорему доведено.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь вигляду
εy′ = (C0(x) + εC1(x) + . . . + εkCk(x) + εk+1Ck+1(x, ε))y, (54)
де x є комплексним i |x| ≤ x0, ε — малий дiйсний параметр, |ε| ≤ ε0. Згiдно з умовами
1 – 3 i методом з [1] систему (54) можна звести до системи, в якiй матриця C0(x) має ви-
гляд
(
0 1
x 0
)
. Будемо вважати, що C0(x) =
(
0 1
x 0
)
. З застосованого до (54) методу
побудови асимптотичного розв’язку, запропонованого в [1, 2], а також одержаного в [3]
методу дослiдження iснування i нескiнченної диференцiйовностi розв’язку системи (54)
випливає справедливiсть наступних тверджень.
Наслiдок 1. Нехай виконуються умови теореми 1. Тодi iснує формальний ряд матри-
цi V (x, ε)
V (x) +
∞∑
n=1
Vn(x)εn, (55)
коефiцiєнти якого голоморфнi при |x| ≤ x0 i такi, що det V (x, 0) = 1 i формальне пере-
творення з матрицею замiни V (x, ε) зводить систему (54) до системи вигляду
εu′ = C0(x)u. (56)
Наслiдок 2. Нехай виконуються умови теореми 1 i має мiсце нерiвнiсть
64(2x
1
2
0 + z0|ε|
1
3 )‖(Û(xε−
2
3 ))−1‖0‖C1(x, ε)‖0‖Û(xε−
2
3 )‖0 < 1, (57)
де матрицi Û(xε−
2
3 ), (Û(xε−
2
3 ))−1 обмеженi i визначенi в лемi 30.4 з [1].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
176 I. Г. КЛЮЧНИК, Г. В. ЗАВIЗIОН
Тодi можна вказати функцiю V (x, ε), нескiнченно диференцiйовну по x, ε в областi
|x| ≤ x0, |ε| ≤ ε0 дiйсних змiнних x, ε i таку, що ряд
V (x) +
∞∑
n=1
Vn(x)εn
є асимптотичним розвиненням цiєї функцiї за степенями ε i замiна змiнних з матрицею
V (x, ε) перетворює систему (54) до системи (56).
З теореми 1 i наслiдкiв 1, 2 випливає наступна теорема про iснування розв’язку i по-
будову асимптотичного розв’язку системи диференцiальних рiвнянь з вiдхиленням аргу-
менту (1).
Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1 i має мiсце нерiвнiсть (57). Тодi iснує
розв’язок системи диференцiальних рiвнянь з вiдхиленням аргументу (1) вигляду
y = V (x, ε)u,
в якому V (x, ε) — матриця, що задовольняє матричне рiвняння
εV ′(x, ε) + V (x, ε)C0(x) = C(x, ε)V (x, ε),
а u(x, ε) задовольняє диференцiальне рiвняння (56).
Матриця C(x, ε) має рiвномiрним при |x| ≤ x0 асимптотичним розвиненням при
ε → 0 i |ε| ≤ ε0 ряд
C(x, ε) ∼
∞∑
n=0
εnCn(x),
а також Cn(x), n = 0, 1, . . . , голоморфнi при |x| ≤ x0. Матриця V (x, ε) є нескiнченно
диференцiйовною по x i ε в областi |x| ≤ x0, |ε| ≤ ε0 дiйсних змiнних x i ε. Ряд (55) є
рiвномiрним при |x| ≤ x0 асимптотичним розвиненням при ε → 0 i |ε| ≤ ε0 матри-
цi V (x, ε). Коефiцiєнти цього ряду є голоморфними в областi |x| ≤ x0 i такими, що
det V (x, 0) ≡ 1.
Таким чином, для сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь з лiнiйним
вiдхиленням аргументу з точкою звороту одержано умови, при яких її розв’язки є розв’яз-
ками сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь з точкою звороту. При цьо-
му матрицi системи диференцiальних рiвнянь мають асимптотичнi розвинення при |ε| ≤
≤ ε0 з коефiцiєнтами, голоморфними при |x| ≤ x0. За допомогою отриманої системи
диференцiальних рiвнянь доведено iснування i нескiнченну диференцiйовнiсть розв’язку
сингулярно збуреної лiнiйної системи диференцiальних рiвнянь з лiнiйним вiдхиленням
аргументу при наявностi точки звороту.
1. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. —
М.: Мир, 1968. — 464 с.
2. Самойленко А. М. Об одной задаче исследования глобальных решений линейных дифференциальных
уравнений с отклоняющимся аргументом // Укр. мат. журн. — 2003. — 55, № 5. — С. 631 – 640.
3. Самойленко А. М., Ключник I. Г. Про асимптотичне iнтегрування лiнiйної системи диференцiальних
рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 2. — С. 208 –
234.
Одержано 02.10.09
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 2
|