О новых решениях задач по переходным процессам разряда конденсаторов
By using the new conception of transient processes, which is based on the expansion of jump-like signals in a series of components including the harmonic ones, the solutions of a number of problems concerning the discharge of capacitors are given.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1748 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О новых решениях задач по переходным процессам разряда конденсаторов / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 87–92. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859578345906241536 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | О новых решениях задач по переходным процессам разряда конденсаторов / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 87–92. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | By using the new conception of transient processes, which is based on the expansion of jump-like signals in a series of components including the harmonic ones, the solutions of a number of problems concerning the discharge of capacitors are given.
|
| first_indexed | 2025-11-27T03:29:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2007
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.3(0758)
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О новых решениях задач по переходным процессам
разряда конденсаторов
By using the new conception of transient processes, which is based on the expansion of jump-
like signals in a series of components including the harmonic ones, the solutions of a number
of problems concerning the discharge of capacitors are given.
В соответствии с новой концепцией о переходных процессах в электроцепях [1], основан-
ной на получении в эксперименте на анализаторах спектров затухающих рядов гармоник
при включении электроцепей на скачкообразные напряжения, осуществляется расчет пе-
реходного процесса разряда конденсатора. Например, напряжения E · 1(t) распадается на
составляющие f1(t) = E(1 − eαt) и f2(t) = Ee−αt = e−αt
n
∑
k=1
Uak cos ωkt, где Uak = Ua1/(πωk),
E =
n
∑
k=1
Uak, α — коэффициент затухания; Uak, ωk — амплитуда и круговая частота k-й гар-
моники соответственно; t — время. При разряде конденсатора С на любое сопротивление
(активное и реактивное) в момент включения входное напряжение электроцепи является
скачкообразным с последующим затуханием.
В данной работе рассмотрение переходных процессов при разряде электрической емкос-
ти осуществим для схем, изображенных на рис. 1, а, б, где R — активное сопротивление;
C1, C2 — электрические емкости; Кл — ключ.
В соответствии с классической теорией [2], в схеме RC1 (рис. 1, а) напряжение на C1
изменяется по закону
UC1
= UC10
e−δt, (1)
где UC10
— напряжение при t = 0; δ — коэффициент затухания электроцепи (δ = 1/(RC)).
По новой концепции о переходных процессах, поскольку UC10
является скачкообразным,
выражение (1) представляется в виде
UC = UC10
(1 − e−αt)e−δt + e−(α+δ)t
n
∑
k=1
Uak cos ωkt. (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 87
Рис. 1
Заметим, что α ≫ δ; Uak = Ua1/(πωk),
n
∑
k=1
Uak = UC10
. Если α = ∞, то (2) превращается
в (1). Справедливость (2) можно проверить при t = 0 и t = ∞. Итак, при t = 0 UC(0) =
=
n
∑
k=1
Uak = UC10
, при t = ∞ UC(∞) = 0. Эта проверка подтверждает правильность (2).
Известно [2], что ток iC , проходящий через любую емкость C, определяется формулой
i = C(dUC/dt). Используя эту формулу для (2), получим
i = C1UC10
[−δe−δt + (α + δ)e−(α+δ)t] − C1(α + δ)e−(α+δ)t
n
∑
k=1
Uak cos ωkt −
− C1e
−(α+δ)t
n
∑
k=1
ωkUak sin ωkt. (3)
Так как α ≫ δ, то составляющие в (3), в которых имеется сомножитель e−(α+δ)t, зату-
хают за время, примерное ∆t ≈ 4,6
1
α
, т. е. в начале процесса разряда емкости C1. В даль-
нейшем разряд C1 проходит в соответствии с выражением i = −C1UC10
δe−δt =
−UC10
R
e−δt.
Знак минус в этой формуле связан именно с разрядом C1. Проверим справедливость (3),
определяя i при t = 0 и t = ∞. Итак, при t = 0
i = C1UC10
(−δ + α + δ) − C1(α + δ)
n
∑
k=1
Uak = −C1δ
n
∑
k=1
Uak = −C1UC10
δ = −UC10
R
,
при t = ∞ i = 0.
Из этой проверки видно, что ток в цепи RC1 во время разряда C1 при включении ключа
Кл нарастает скачком до величины i = UC10
/R, а затем затухает до нуля. При α = ∞ из
(3) ток i = −(UC10
/R)e−δt, т. е. соответствует решению по классической теории [2].
Далее перейдем к рассмотрению переходного процесса при разряде C1 на электроцепь
RC2 (рис. 1, б ). В этом случае также на цепь RC2 подается напряжение UC10
скачкообразно
и оно может быть разложено на составляющие, подобно тому, как для схемы рис. 1, а. Но
для этого вначале классическим методом определили то, что напряжение UC изменяется
в соответствии с выражением
UC1
(t) =
UC10
C1 + C2
(C1 + C2e
−δC t), (4)
88 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
где δC = (C1 + C2)/(RC1C2) определяется как δC = 1/(RC) и C есть общая емкость по-
следовательного соединения C1 и C2, равная C = (C1C2)/(C1 + C2). Как видно из (4),
при t = 0 UC1
(0) = UC10
, т. е. в начале разряда UC1
представляет собой скачкообразную
функцию. При t = ∞ UC1
= (UC10
C1)/(C1 + C2). Таким образом, в переходном процессе
разряда C1 напряжение U ′
C1
(t) = UC10
e−δt, которое, подобно (1), может быть разложено на
составляющие вида
U ′
C1
(t) = UC10
(1 − e−αt)e−δt + e−(α+δ)t
n
∑
k=1
Uak cos ωkt,
Uak =
Ua1
πωk
, α ≫ δ;
n
∑
k=1
Uak = UC10
.
(5)
Проверим справедливость (5). При t = 0 U ′
C1
(0) =
n
∑
k=1
Uak = UC10
; при t = ∞ U ′
C1
(∞) = 0.
Итак, (5) верна.
Ток i в цепи C1RC2 течет только при действии U ′
C1
(t). В установившемся режиме, когда
U ′
C1
(∞) = U ′
C2
(∞), ток i = 0. Исходя из этого, определим ток i так:
−i(t) =
−C1C2
C1 + C2
dU ′
C1
dt
= −UC10
C1C2
C1 + C2
[−δe−δt + (α + δ)e−(α+δ)t] +
+
C1C2
C1 + C2
(α + δ)e−(α+δ)t
n
∑
k=1
Uak cos ωkt +
C1C2
C1 + C2
e−(α+δ)t
n
∑
k=1
ωkUak sin ωkt. (6)
Здесь, так же, как и в (3), α ≫ δ и поэтому к концу интервала времени ∆t ≈ 4,6 · (1/α)
составляющие с сомножителем e−(α+δ)t затухают практически до нуля (0,01UC10
). Интервал
времени ∆t ≪ 4,6 · (1/δ), т. е. времени до прекращения разрядного тока i(t).
Проверим правильность выражения (6). При t = 0
i(0) = UC10
−C1C2
C1 + C2
(−δ + α + δ) +
C1C2
C1 + C2
(α + δ)
n
∑
k=1
Uak =
UC10
R
;
при t = ∞ i(∞) = 0, т. е. выражение (6) правильное. Знак тока разряда i(t) отрицательный.
Напряжение на конденсаторе C2 изменяется по закону UC2
= (1/C2)
t
∫
0
i(t)dt или после
вычисления этого интеграла
UC2
= UC10
−C1
C1 + C2
(1 − e−αt)e−δt
∣
∣
∣
∣
t
0
+
C1
C1 + C2
e−(α+δ)t
n
∑
k=1
Uak cos ωkt
∣
∣
∣
∣
t
0
=
=
−C1UC10
C1 + C2
(1 − e−αt)e−δt − C1
C1 + C2
[
e−(α+δ)t
n
∑
k=1
Uak cos ωkt −
n
∑
k=1
Uak
]
=
= − C1UC10
C1 + C2
[(1 − e−αt)e−δt − 1] − C1
C1 + C2
e−(α+δ)t
n
∑
k=1
Uak cos ωkt. (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 89
Рис. 2
Проверим правильность (7). При t = 0 UC2
= 0; при t = ∞ UC2
(∞) = (C1/(C1 +
+ C2))UC10
= UC1
(∞), т. е. (7) справедлива. При α = ∞ выражение (7) имеет вид
UC2
(t) =
C1
C1 + C2
UC10
(1 − e−δt). (8)
Знак UC2
противоположен UC1
. Выражение (8) полностью соответствует выведенной по
классическому методу формуле напряжения на C2 [2].
Таким образом, данные решения по новой концепции о переходных процессах в электро-
цепях не только не противоречат классической теории, но и свидетельствуют о появлении
в начале переходного процесса ряда затухающих гармоник входного напряжения, которые
обусловливают появление составляющей в токе в виде затухающего гармонического ряда.
Эта составляющая пребывает в течение времени ∆t ≈ 4,6 · (1/α) и, в принципе, осуще-
ствляет затягивание переходного процесса, что необходимо учитывать при необходимости
в малых промежутках перезаряда конденсаторов.
Далее рассмотрим случай разряда емкости C на цепь последовательного соединения
активного сопротивления R и индуктивности L (рис. 2). Здесь также при включении клю-
ча Кл напряжение UC0
скачкообразно прикладывается к RL цепи, создавая ток i. Затем
напряжение UC и ток i затухают до нуля ввиду исчезновения в емкости C электрического
заряда. При решении классическим методом напряжение UC определяется в виде [2]
UC =
UC0
p1 − p2
(−p2e
P1t + p1e
P2t), (9)
где
p1,2 = − R
2L
±
√
R2
4L2
− 1
LC
.
Выражение (9) соответствует апериодическому разряду С (корни p1,2 характеристического
уравнения, соответствующего уравнению цепи CRL, вещественные, R > 2
√
L/C).
В данной работе рассмотрим вначале такой разряд. Так как p1 и p2 отрицательные, то
−p1 и −p2 будут коэффициентами затухания составляющих в (9)
UC1
= − UC0
p2
p1 − p2
ep1t; UC2
=
UC0
p1
p1 − p2
ep2t,
которые по форме подобны (1). Исходя из этого, с учетом нашей концепции применим
к этим выражениям разложение вида (2). Тогда
UC1
= − UC0
p2
p1 − p2
(1 − e−αt)ep1t + e−(α−p1)t
n
∑
k=1
Uak cos ωkt;
90 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
UC2
=
UC0
p1
p1 − p2
(1 − e−αt)ep2t + e−(α−p2)t
n
∑
k=1
Ubk cos ωkt,
где
n
∑
k=1
Uak =
UC0
p2
p1 − p2
;
n
∑
k=1
Ubk =
−UC0
p1
p1 − p2
; Uak =
Ua1
πωk
; Ubk =
Ub1
πωk
.
Следовательно,
UC = UC1
+ UC2
= − UC0
p2
p1 − p2
(1 − e−αt)ep1t +
UC0
p1
p1 − p2
(1 − e−αt)ep2t +
+ e−(α−p1)t
n
∑
k=1
Uak cos ωkt + e−(α−p2)t
n
∑
k=1
Ubk cos ωkt. (10)
Проверим правильность (10). При t = 0 UC =
n
∑
k=1
Uak+
n
∑
k=1
Ubk = UC0
; при t = ∞ UC = 0,
т. е. (10) справедлива. Ток разряда в этой цепи i = C(dUC/dt), или, с учетом (10),
iC(t) = C
{
UC0
p1 − p2
[p1p2(e
p2t − ep1t) + p2(α − p1)e
−(α−p1)t − p1(α − p2)e
−(α−p2)t] −
− e−(α−p1)t
[
(α − p1)
n
∑
k=1
Uak cos ωkt +
n
∑
k=1
Uakωk sinωkt
]
−
− e−(α−p2)t
[
(α − p2)
n
∑
k=1
Ubk cos ωkt +
n
∑
k=1
Ubkωk sin ωkt
]}
. (11)
Проверим (11). При t = 0 iC = 0; при t = ∞ iC = 0, т. е. выражение (11) правильное.
Если α = ∞, то
UC = − UC0
p2
p1 − p2
ep1t +
UC0
p1
p1 − p2
ep2t (12)
и ток iC из (11) при α = ∞ имеет вид
iC =
CUC0
p1p2
p1 − p2
(ep2t − ep1t). (13)
Выражения (12) и (13) соответствуют классическому решению (9) [2, см. III6].
Рассмотрим колебательный разряд емкости C на RL цепь при условии, что p1 и p2
являются комплексными. В этом случае R < 2
√
L/C.
Напряжение UC при колебательном разряде выражается соотношением [2]
UC =
UC0
ω0
√
LC
e−δt sin(ω0t + Ψ0), (14)
где
δ =
R
2L
, Ψ0 = arctg
ω0
δ
, ω0 =
√
1
LC
−
(
R
2L
)2
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 91
В соответствии с новой концепцией о переходных процессах [1, 3] напряжение UC , выра-
женное формулой (14), можно представить в виде разложения на составляющие
UC1
=
UC0
ω0
√
LC
(1 − e−αt)e−δt sin(ω0t + Ψ0) и UC2
= e−αt sin Ψ0
n
∑
k=1
Uak cos ωkt,
где Uak/(πωk),
n
∑
k=1
Uak = UC0
/(ω0
√
LC). В этом случае
UC =
UC0
ω0
√
LC
(1 − e−αt)e−δt sin(ω0t + Ψ0) + e−αt sin Ψ0
n
∑
k=1
Uak sin(ω0t + Ψ0). (15)
Проверим правильность (15). При t = 0
UC = sin Ψ0
n
∑
k=1
Uak =
UC0
ω0
√
LC
sin Ψ0;
при t = ∞ UC = 0.
Выражение (14) при t = 0 имеет тот же вид, что и (16). А это означает, что (15) верное.
Выразим с учетом (15) ток i = C
dUC
dt
. В результате решения
i=
UC0
C
ω0
√
LC
{[−δe−δt+(α+δ)e−(α+δ)t] sin(ω0t+Ψ0)+(1−e−αt)e−δtω0 cos(ω0t+Ψ0)}−
− Cαe−αt sin Ψ0
n
∑
k=1
Uak cos ωkt − Ce−αt sin Ψ0
n
∑
k=1
Uakωk sin ωkt. (16)
Проверим (16). При t = 0 i = 0; при t = ∞ i = 0, т. е. (17) верна. Здесь также α ≫ δ,
и если α = ∞, то (16) приобретает вид (14), а ток
i =
CUC0
e−δt
ω0
√
LC
[−δ sin(ω0t + Ψ0) + ω0 cos(ω0t + Ψ0)] (17)
полностью соответствует току i = C(d(14)/dt).
Таким образом, представленные решения задач по переходным процессам разряда кон-
денсаторов, не притивореча классической теории, имеют теоретические дополнения, осно-
ванные на результатах экспериментов, связанные с появлением в начале переходных про-
цессов в течение времени ∆t ≈ 4,6·(1/α) ряда затухающих гармоник, которые в этот период
разряжают и заряжают конденсаторы, и этим самым затягивают разрядный переходный
процесс.
1. Божко А. Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Доп. НАН Укра-
їни. – 2004. – № 9. – С. 83–87.
2. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва:
Сов. радио, 1958. – 404 с.
3. Божко А.Е. О новой трактовке переходных процессов в электрических цепях переменного тока //
Доп. НАН України. – 2005. – № 4. – С. 81–96.
Поступило в редакцию 11.11.2005Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
92 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1748 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-27T03:29:27Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2008-09-02T17:07:44Z 2008-09-02T17:07:44Z 2007 О новых решениях задач по переходным процессам разряда конденсаторов / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 87–92. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1748 621.3(0758) By using the new conception of transient processes, which is based on the expansion of jump-like signals in a series of components including the harmonic ones, the solutions of a number of problems concerning the discharge of capacitors are given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Енергетика О новых решениях задач по переходным процессам разряда конденсаторов Article published earlier |
| spellingShingle | О новых решениях задач по переходным процессам разряда конденсаторов Божко, А.Е. Енергетика |
| title | О новых решениях задач по переходным процессам разряда конденсаторов |
| title_full | О новых решениях задач по переходным процессам разряда конденсаторов |
| title_fullStr | О новых решениях задач по переходным процессам разряда конденсаторов |
| title_full_unstemmed | О новых решениях задач по переходным процессам разряда конденсаторов |
| title_short | О новых решениях задач по переходным процессам разряда конденсаторов |
| title_sort | о новых решениях задач по переходным процессам разряда конденсаторов |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1748 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae onovyhrešeniâhzadačpoperehodnymprocessamrazrâdakondensatorov |