Устойчивость и стабилизация периодических дифференциальных систем
Розглядаються актуальнi питання конструктивної теорiї перiодичних розв’язкiв систем диференцiальних рiвнянь. Одержано достатнi умови асимптотичної стiйкостi лiнiйних перiодичних диференцiальних систем. Наведено достатнi умови стабiлiзованостi та побудовано стабiлiзуючi управлiння неперервного типу...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 1999 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174913 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Устойчивость и стабилизация периодических дифференциальных систем / А.У. Ахметова, К.К. Кенжебаев, В.Н. Лаптинский // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 147-161. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859876881399021568 |
|---|---|
| author | Ахметова, А.У. Кенжебаев, К.К. Лаптинский, В.Н. |
| author_facet | Ахметова, А.У. Кенжебаев, К.К. Лаптинский, В.Н. |
| citation_txt | Устойчивость и стабилизация периодических дифференциальных систем / А.У. Ахметова, К.К. Кенжебаев, В.Н. Лаптинский // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 147-161. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Розглядаються актуальнi питання конструктивної теорiї перiодичних розв’язкiв систем диференцiальних рiвнянь. Одержано достатнi умови асимптотичної стiйкостi лiнiйних перiодичних диференцiальних систем. Наведено достатнi умови стабiлiзованостi та побудовано
стабiлiзуючi управлiння неперервного типу в нелiнiйнiй перiодичнiй системi. Розв’язана задача
стабiлiзацiї кутової швидкостi штучного супутника, що має часткову динамiчну симетрiю.
We consider important problems of the constructive theory of periodic solutions of systems of differential
equations. We establish sufficient conditions for the asymptotic stability of liniar periodic differential
systems. We present sufficient conditions of stability and construct stabilizing controls of continuous type
for a nonlinear periodic system. We also solve the problem of stabilization of the angular velocity of an
artificial satellite with partial dynamical symmetry.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:51:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
т. 2 •№ 2 • 1999
УДК 517.925.52
УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
А.У. Ахметова, К.К. Кенжебаев
Актюбинск. ун-т,
Казахстан, 463019, Актобе, просп. А. Молдагуловой, 34
В.Н. Лаптинский
Ин-т прикл. оптики НАН Белоруссии,
Белоруссия, 212793, Могилев
We consider important problems of the constructive theory of periodic solutions of systems of differenti-
al equations. We establish sufficient conditions for the asymptotic stability of liniar periodic differential
systems. We present sufficient conditions of stability and construct stabilizing controls of continuous type
for a nonlinear periodic system. We also solve the problem of stabilization of the angular velocity of an
artificial satellite with partial dynamical symmetry.
Розглядаються актуальнi питання конструктивної теорiї перiодичних розв’язкiв систем ди-
ференцiальних рiвнянь. Одержано достатнi умови асимптотичної стiйкостi лiнiйних перiо-
дичних диференцiальних систем. Наведено достатнi умови стабiлiзованостi та побудовано
стабiлiзуючi управлiння неперервного типу в нелiнiйнiй перiодичнiй системi. Розв’язана задача
стабiлiзацiї кутової швидкостi штучного супутника, що має часткову динамiчну симетрiю.
Введение. Изучение многих задач современной механики, физики и техники связано с
исследованием управляемых колебательных систем. Особенно интенсивно проводятся
исследования колебательных процессов, возникающих в системах электро- и радиоте-
хники, динамики космических полетов и в других разделах современной науки и техники.
Теории колебаний посвящена обширная литература. Основное внимание уделяется
периодическим и почти периодическим решениям обыкновенных дифференциальных
уравнений, описывающих нелинейные колебания.
В последние годы происходит интенсивное развитие конструктивной теории колеба-
ний. Но некоторые вопросы конструктивной теории периодических решений дифферен-
циальных систем в общей постановке не получили в современной математической науке
своего решения. Прежде всего это вопросы существования, отыскания периодических
решений, вопросы их устойчивости и стабилизации.
Данная работа посвящена исследованию устойчивости и стабилизации периодических
дифференциальных систем.
В п. 1 на основе теории Флоке Ляпунова с помощью метода интегро-функциональ-
ных преобразований получены эффективно проверяемые достаточные условия асимпто-
тической устойчивости линейных периодических дифференциальных систем. В п. 2 по-
лучены эффективно проверяемые достаточные условия стабилизируемости и стабили-
c© А.У. Ахметова, К.К. Кенжебаев, В.Н. Лаптинский, 1999 147
зирующие управления непрерывного типа в нелинейной периодической системе, постро-
енные по принципу линейной обратной связи. В п. 3 на основе методики построения ста-
билизирующих управлений для нелинейных колебательных систем, изложенной в п. 2,
рассматривается задача стабилизации угловой скорости искусственного спутника, обла-
дающего частичной динамической симметрией.
1. Об устойчивости линейных периодических систем. Рассмотрим линейную систему
dx
dt
= A(t)x, x ∈ Rn, (1)
где A(t) вещественная ω-периодическая матрица класса C.
В монографиях [1, 2] изложены методы исследования и многочисленные результаты
по теории линейных периодических дифференциальных систем. Задача об устойчивости
этих систем вызывает особый интерес для теории и приложений. Ее изучению посвя-
щено много работ (см., например, [1 4]). Однако еще мало изучен вопрос получения
конструктивных условий устойчивости систем общего вида [4].
В настоящем пункте приведены эффективно проверяемые достаточные условия
асимптотической устойчивости системы (1). Они получены с помощью метода интегро-
функциональных преобразований [4] на основе теории Флоке Ляпунова [1, 2].
Пусть X(t) нормированная при t = 0 фундаментальная матрица решений (матри-
цант) системы (1). Тогда X(0) = E, где E единичная матрица.
На основе соотношения
X(ω)ϕ = ρϕ, (2)
где ϕ собственный вектор матрицы монодромии X(ω), определяются мультипликато-
ры ρj , j = 1, 2, ..., n, как корни характеристического уравнения det [X(ω)− ρE] = 0.
Выполнив оценку по норме в (2), получим следующую оценку:
|ρ| ≤ ‖X(ω)‖. (3)
Здесь и далее принята норма матриц, для которой ‖E‖ = 1.
На основании теоремы Флоке Ляпунова (см., например, [5]) из (3) следует, что при
выполнении неравенства ‖X(ω)‖ < 1 система (1) является асимптотически устойчивой.
В дальнейшем будем использовать неравенство (3) при получении условий устойчи-
вости системы (1). Очевидно, качество условий устойчивости зависит от эффективности
оценок нормы матрицы X(ω). Такие условия можно получить на основе результатов ис-
следований, приведенных в [4, 6].
Выведем эффективно проверяемые условия асимптотической устойчивости линей-
ных периодических систем с помощью метода функциональных преобразований, изло-
женного в работе [6].
Лемма 1. Пусть выполнены условия
σ ≡ ‖E +B(ω)‖ < 1, (4)
148 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
ω∫
0
‖A(τ)‖ dτ < 2
1 +
√
1 +
2
1− σ
. (5)
Тогда система (1) асимптотически устойчива.
Доказательство. В уравнении
dX
dt
= A(t)X, X(0) = E, (6)
сделаем замену по формуле
X = (E +B(t))Y, (7)
где B(t) =
t∫
0
A(τ)dτ .
Из условия (5) следует, что ‖B(t)‖ < 1, поэтому матрица E+B(t) невырожденная при
t ∈ R. Подставляя (7) в (6), получаем
dY
dt
= H(t)Y, (8)
где H(t) = (E +B(t))−1A(t)B(t).
Из (8) имеем
Y (t) = E +
t∫
0
H(τ)Y (τ) dτ. (9)
Выполнив оценку по норме в (9), получим
‖Y (t)‖ ≤ 1 +
t∫
0
‖H(τ)‖ ‖Y (τ)‖ dτ. (10)
Используя лемму Гронуолла Беллмана, из (10) имеем
‖Y (t)‖ ≤ exp
t∫
0
‖H(τ)‖ dτ.
Для нормы матрицы H(τ) справедлива оценка
H(τ)‖ ≤
‖A(τ)‖
τ∫
0
‖A(s)‖ds
1− ϕ
. (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 149
Отсюда
ω∫
0
‖H(τ)‖ dτ ≤ ϕ2
2(1− ϕ)
.
Используя очевидное неравенство ex <
1
1− x
, 0 < x < 1, нетрудно получить следующую
оценку:
‖Y (ω‖ ≤ 1
1−
ω∫
0
‖H(τ)‖ dτ
≤ 2(1− ϕ)
2− 2ϕ− ϕ2
, (12)
где ϕ =
ω∫
0
‖A(τ)‖dτ .
Далее из (7) имеем
X(ω) = (E +B(ω))Y (ω). (13)
Используя (12), из (13) получаем
‖X(ω)‖ ≤ σ 2(1− ϕ)
2− 2ϕ− ϕ2
.
Поскольку из (5) следует неравенство
σ
2(1− ϕ)
2− 2ϕ− ϕ2
< 1,
то ‖X(ω)‖ < 1. Следовательно, система (1) асимптотически устойчива.
Замечание 1. Очевидно, что условие (5) заведомо будет выполняться, если
αω <
2
1 +
√
1 +
2
1− σ
, (14)
где α = max
0≤t≤ω
‖A(t)‖.
Рассмотрим систему
dx
dt
= (A1(t) +A2(t))x, x ∈ Rn, (15)
где A1(t), A2(t) непрерывные ω-периодические матрицы.
Наряду с (15) рассмотрим систему
dϕ
dt
= A1(t)ϕ. (16)
150 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Пусть нормированная при t = 0 фундаментальная матрица решений Φ(t) системы (16)
ω-периодическая, т. е.
Φ(t+ ω) = Φ(t). (17)
В системе (15) сделаем замену по формуле x = Φ(t)z. Тогда для векторной величины z
получим систему
dz
dt
= P (t)z, (18)
где P = Φ−1A2Φ.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (17) и
σ = ‖E + P̃ (ω)|| < 1,
ω∫
0
‖P (τ)‖dτ < 2
1 +
√
1 +
2
1− σ
,
где P̃ (ω) =
ω∫
0
P (τ)dτ .
Тогда система (15) асимптотически устойчива.
Эту теорему нетрудно доказать с помощью леммы 1, примененной к системе (18).
Обратимся к системе (1). В случае, когда
ω∫
0
A(τ) dτ = 0,
удобно использовать замену
x = (expB(t)) y. (19)
Подставляя (19) в (1), получаем
dy
dt
= Q(t)y,
где, согласно [7],
Q(t) = l−B(t)
(
A(t)lB(t) − dlB(t)
dt
)
≡
1∫
0
µl−µB(t)[A(t), B(t)] lµB(t)dµ,
[A,B] def= AB −BA.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 151
Следствие. Пусть выполнены условия:
B(ω) = 0, σ ≡ ‖E + Q̃(ω)‖ < 1,
ω∫
0
‖Q(t)‖dt < 2
1 +
√
1 +
2
1− σ
,
где Q̃(ω) =
ω∫
0
Q(t)dt.
Тогда система (1) асимптотически устойчива.
Доказательство. Запишем систему (1) в виде
dx
dt
= (q + L)x,
где
q =
1∫
0
lµBAl−µBdµ,
L =
1∫
0
dµ
µ∫
0
lsB[A,B] l−sBds.
Полагая в (15) A1 = q, A2 = L и используя (19), применим теорему 1. Тогда, очевидно,
получим справедливость утверждения следствия 1.
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим следующую систему:
dx1
dt
= − 1
12
x1 +
7
48
(cos 2πt)x2,
dx2
dt
=
7
48
(cos 2πt)x1 −
1
12
x2.
(20)
В дальнейшем будем использовать следующую норму матриц:
‖A‖ = max
i
n∑
k=1
|aik|.
Для системы (20) имеем
ω = 1, A(t) =
− 1
12
7
48
cos 2πt
7
48
cos 2πt − 1
12
.
Отсюда находим
B(1) =
−
1
12
0
0 − 1
12
,
152 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
σ = ‖E +B(1)‖ =
11
12
, α =
11
48
.
Легко видеть, что для системы (20) справедливо неравенство (14). Следовательно, со-
гласно лемме 1, эта система асимптотически устойчива.
2. О задаче стабилизации периодических систем управления. Управляемые колеба-
тельные системы периодического типа распространены в различных областях механики,
техники, радиотехники (см., например, [8 10]). Решение задачи стабилизации колебаний
является важным этапом исследования таких систем. Актуальным является изучение во-
просов стабилизируемости колебаний и построения стабилизирующих управлений для
систем со многими степенями свободы.
В настоящем пункте указанные вопросы изучены в случае управляемых колебаний,
описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений
dy
dt
= f(t, y, ν), (21)
где (t, y, ν) ∈ R × Rn × Rr, f(t, y, ν) ∈ C(0,1,1)
t y ν (R × Rn × Rr) и f(t, y, ν) ω-периодическая
по t функция.
Пусть ω-периодическая вектор-функция y = yp(t) ∈ C1 является программным (не-
возмущенным) движением системы (21), соответствующим некоторому программному
управлению ν = νp(t), где νp(t) ω-периодическая вектор-функция класса C.
Решим задачу непрерывной стабилизации программного движения системы (21) с по-
мощью управлений, которые построены по принципу линейной обратной связи (см. [4]).
Используя величины
x = y − yp(t), u = ν − νp(t),
запишем для (21) систему в отклонениях
dx
dt
= g(t, x, u), (22)
где g(t, x, u) = f(t, x+ yp(t), u+ νp(t))− f(t, yp(t), νp(t)).
Задача состоит в отыскании такого закона автоматического управления объектом,
при котором программное движение оказывается асимптотически устойчивым. Иными
словами, в системе (22) следует сделать асимптотически устойчивым решение x = 0
выбором управления
u = C(t)x, (23)
где C(t) непрерывная ω-периодическая (r × n)-матрица.
Выделяя в (22) члены, линейные относительно x, u, получаем
dx
dt
= A(t)x+Q(t)u+G(t, x, u),
где A(t), Q(t) ω-периодические матрицы соответствующих размеров.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 153
Нелинейная часть G(t, x, u) такова, что функция
‖G(t, x, u)‖
‖x+ ‖u‖
→ 0
равномерно относительно t ∈ R при ‖x‖+ ‖u‖ → 0.
Решение задачи стабилизации системы (22) согласно [11, с. 83] сводится к решению
задачи стабилизации системы линейного приближения
dx
dt
= A(t)x+Q(t)u. (24)
Пусть система (24) приведена к виду
dx
dt
= (A0 + εB)x+Q(t)u, (25)
где A0, B ω-периодические матрицы, ε скалярный параметр.
Запишем систему (25), замкнутую управлением (23):
dx
dt
= (A0 + εB +QC)x. (26)
Пусть нормированная при t = 0 фундаментальная матрица Φ(t) однородной системы
dϕ
dt
= A0(t)ϕ
ω-периодическая, т. е. Φ(t+ ω) = Φ(t). По формуле
x = Φ(t)z (27)
сделаем замену в системе (26). Тогда для векторной величины z получим систему
dz
dt
= (εP +RCΦ)z, (28)
где P = Φ−1BΦ, R = Φ−1Q.
Примем следующие обозначения:
M = RRT , a = max
t
∥∥P (t)−M(t)M−1P
∥∥ ,
µ = max
t
∥∥M(t)M−1
∥∥ ,
где t ∈ [0, ω], (·)T операция транспонирования матриц, черта сверху обозначает ус-
реднение по t ∈ [0, ω], ‖·‖ кубическая либо октаэдрическая норма векторов и матриц
[5, с.21]; очевидно, что a ≥ 0, µ ≥ 1.
154 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Лемма 2. Пусть матрица обратной связи в (28) выбрана так, что выполняются
неравенства
σ ≡
∥∥E + ωN
∥∥ < 1,
max
0≤t≤ω
‖N(t)‖ < 2
ω(1 +
√
1 + 2m)
,
(29)
где E единичная матрица, N = εP +RCΦ, m =
1
1− σ
.
Тогда система (25) стабилизируема управлением (23).
Для доказательства леммы 2 достаточно сослаться с учетом (14) на лемму 1, согласно
которой выполнение неравенств (29) является достаточным условием асимптотической
устойчивости системы (28).
Так как (27) является преобразованием Ляпунова [5, с. 154], то система (26) асимпто-
тически устойчива.
Теорема 2. Пусть выполнены условия:
det M 6= 0, (|ε|a+ µλ)ω <
2
1 +
√
1 +
2
λω
, (30)
где λ вещественный параметр, 0 < λ < λ0.
Тогда выбором матрицы C систему (26) можно сделать асимптотически устой-
чивой.
Доказательство. Матрицу обратной связи C в искомом управлении будем искать в
виде
C(t) =
[
RT (t)α+ β(t)
]
Φ−1(t), (31)
где α постоянная матрица, подлежащая определению, β(t) ω-периодическая
матрица-функция, подчиненная условию
ω∫
0
R(τ)β(τ) dτ = 0. (32)
С учетом (31) система (28) принимает вид
dz
dt
= N(t)z, (33)
где N = εP (t) +M(t)α+R(t)β(t).
Постоянную α выберем так, чтобы матрица (31) удовлетворяла уравнению
1
ω
ω∫
0
[εP (τ) +R(τ)C(τ)Φ(τ)] dτ = −λE. (34)
Тогда получим σ = 1− ωλ. Очевидно, σ < 1, если λω < 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 155
Подставляя (31) в (34), с учетом (32) получаем
Mα = −(λE + εP ). (35)
Поскольку det M 6= 0, то из (35) имеем
α = −M−1(λE + εP ). (36)
Далее на основании (36) находим
C(t) =
[
−RT (t)M−1(λE + εP ) + β(t)
]
Φ−1(t),
N(t) = εP (t)−M(t)M−1
(
λE + εP (t)
)
+R(t)β(t),
(37)
или
N(t) = ε
[
P (t)−M(t)M−1P
]
− λM(t)M−1 +R(t)β(t). (38)
Выполнив оценку по норме в (38), получим
‖N(t)‖ ≤ |ε|a+ λµ+ ‖R(t)‖ ‖β(t)‖.
Пусть λ достаточно мало, т. е. 0 < λ < λ0. Тогда выполнение неравенства (30) является
достаточным условием асимптотической устойчивости системы (33) при β = 0.
Пусть β(t) (β(t) 6≡ 0) матрица, удовлетворяющая условию (32). Тогда система (33)
также будет асимптотически устойчивой, если матрица β(t) по норме достаточно мала:
‖β(t)‖ < ρ.
На основе неравенства (30) величину ρ можно выразить через исходные данные сис-
темы (26) следующим образом. Рассмотрим линейную систему
dz
dt
= K(t)z, (39)
где K(t) = ε
[
P (t)−M(t)M−1P
]
− λM(t)M−1 +R(t)β(t).
Вследствие подчиненности матрицы β(t) условию (32) имеем
K = −λE.
Поскольку
‖K(t)‖ ≤ |ε|a+ λµ+ rβ̃,
где r = max
0≤t≤ω
‖R(t)‖, β̃ = max
0≤t≤ω
‖β(t)‖, то, согласно лемме 2, выполнение неравенства
ω
(
|ε|a+ λµ+ rβ̃
)
<
2
1 +
√
1 +
2
λω
(40)
является достаточным условием асимптотической устойчивости системы (39) при доста-
точно малых λ, |ε|.
156 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Из (40) получаем
β̃ <
1
r
2
1 +
√
1 +
2
λω
− λµ− |ε|a
.
Теорема доказана.
Замечание 2. Из неравенства (30) нетрудно найти оценку области |ε| < ε0, в которой
система (26) стабилизируема при β(t) ≡ 0.
Действительно, поскольку неравенство
µλω <
2
1 +
√
1 +
2
λω
выполняется при
0 < λ <
2
ωµ(µ+ 2)
,
то при этих значениях λ имеет смысл неравенство
aω|ε| < 2
1 +
√
1 +
2
λω
− µλω.
Отсюда находим
|ε| < 1
aω
2
1 +
√
1 +
2
λω
− µλω
=
λ
a
(
2
λω +
√
λ2ω2 + 2λω
− µ
)
≡ ε0(λ).
Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда решение y = yp(t) системы
(21) выбором управления (23) можно сделать асимптотически устойчивым.
Для доказательства следствия достаточно сослаться на лемму 2 и теорему Ляпунова
[5, с. 294].
Очевидно, программное движение y = yp(t) стабилизируется управлением
ν − νp(t) =
[
−RT (t)M−1(λE + εP ) + β(t)
]
Φ−1(t)(y − yp(t)).
В ходе доказательства теоремы 2 дан конструктивный метод построения управления
ν − νp(t), при этом коэффициенты усиления Cij , i = 1, ..., r; j = 1, ..., n, определяются в
замкнутой форме через элементы матриц A0, B и Q. С помощью разработанного метода
можно строить семейства стабилизирующих управлений для произвольных программ-
ных движений. Данный метод ориентирован на ситуацию, которая встречается почти
всегда: когда конструктивные параметры объекта управления известны неточно.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 157
Замечание 3. Свобода выбора параметра λ и матрицы β(t) может быть использована
при решении задач практической реализации полученных законов управления, например
при получении оценок нормы управления и нормы фазового вектора замкнутой систе-
мы, при вычислении величины длительности переходного процесса, скорости затухания
и т. д.
3. О стабилизации вращательных движений динамически симметричного спутника. В
настоящее время с помощью искусственных спутников и других космических летатель-
ных аппаратов проводится интенсивное исследование космоса. Поэтому понятен интерес
к задаче ориентации и стабилизации космических аппаратов в пространстве. Эта задача
с различных позиций исследовалась многими авторами (см., например, [4, 10 18]).
В данном пункте рассматривается задача стабилизации угловой скорости искусствен-
ного спутника, обладающего частичной динамической симметрией. Исследование осно-
вано на методике построения стабилизирующих управлений для нелинейных колеба-
тельных систем, изложенной в п. 2.
Рассмотрим математическую модель вращательного движения искусственного спу-
тника. При действии управляющего момента относительно главных осей инерции спу-
тника уравнения углового движения его задаются уравнениями Эйлера в виде [19, с. 118]
dω1
dt
= −J3 − J2
J1
ω2ω3 +
ν1
J 1
,
dω2
dt
= −J1 − J3
J2
ω3ω1 +
ν2
J2
,
dω3
dt
= −J2 − J1
J3
ω1ω2 +
ν3
J 3
,
(41)
где Ji, ωi, νi, i = 1, 2, 3, соответственно составляющие момента инерции, угловой ско-
рости и управляющего момента относительно одной из главных осей спутника.
Пусть управляемый объект имеет частичную динамическую симметрию, так что J1 =
= J2 = J . Тогда система (41) принимает вид
dω1
dt
=
J − J3
J
ω2ω3 +
ν1
J
,
dω2
dt
= −J − J3
J
ω3ω1 +
ν2
J
,
dω3
dt
=
ν3
J3
.
(42)
Выберем в качестве программного движения решение системы (42) при ν1 = ν2 = ν3 = 0
и при начальных условиях
ω1(0) = ω10, ω2(0) = ω20, ω3(0) = ω30 6= 0.
Тогда в свободной системе совершаются гармонические колебания частоты
ϑ =
∣∣∣∣(J3
J
− 1
)
ω30
∣∣∣∣ .
Решим задачу непрерывной стабилизации системы (42) управлениями, построенными
по принципу линейной обратной связи. Пусть, для определенности, J > J3.
158 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Примем следующие обозначения:
a =
J − J3
J
ω30, ε =
J − J3
J
ω0, ω0 =
√
ω2
10 + ω2
20, ϕ = arctg
ω10
ω20
.
Для системы (42) относительно решения
ω̃1 = ω0 sin(at+ ϕ), ω̃2 = ω0 cos(at+ ϕ), ω̃3 = ω30
запишем систему линейного приближения
dx1
dt
= ax2 + ε cos(at+ ϕ)x3 + qu1,
dx2
dt
= −ax1 − ε sin(at+ ϕ)x3 + qu2,
dx3
dt
= q3u3,
(43)
где xi = ∆ωi ≡ ωi − ω̃i, ui = ∆νi ≡ νi, i = 1, 2, 3; q =
1
J
, q3 =
1
J3
.
Система уравнений (43) является периодической с периодом ω =
2π
a
.
Согласно [11, с. 83], решение задачи стабилизации системы в отклонениях для (42)
сводится к решению задачи стабилизации системы (43).
Запишем систему (43) в виде векторного дифференциального уравнения (26), в кото-
ром полагаем x = colon (x1, x2, x3), u = colon (u1, u2, u3), Q = diag (q, q, q3),
A0 =
0 a 0
−a 0 0
0 0 0
, B =
0 0 cos(at+ ϕ)
0 0 − sin(at+ ϕ)
0 0 0
.
Стабилизирующее управление будем строить по принципу линейной обратной связи
(23), где C(t) непрерывная 2π/a -периодическая (3× 3)-матрица.
Для отыскания матрицы C воспользуемся методикой, изложенной в п. 2. Примени-
тельно к данной задаче имеем
Φ =
cos at sin at 0
− sin at cos at 0
0 0 1
, P =
0 0 cosϕ
0 0 − sinϕ
0 0 0
, M = Q2.
По формуле (37) получим матрицу коэффициентов усиления
C(t) =
[
−Φ(t)Q−1(λE + εP ) + β(t)
]
Φ−1(t).
Согласно (38) матрица N задается соотношением
N(t) = −λE +R(t)β(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 159
где
R =
q cos at −q sin at 0
q sin at q cos at 0
0 0 q3
.
Исследуем устойчивость системы
dz
dt
= N(t)z (44)
с помощью леммы 1. Имеем
σ =
∥∥∥∥∥∥E +
ω∫
0
N(τ)dτ
∥∥∥∥∥∥ = 1− λω,
‖N(t)‖ = ‖ − λE +R(t)β(t)‖ ≤ λ+ γβ̃,
где γ = max
0≤t≤ω
{2q, q3}, β̃ = max
0≤t≤ω
‖β(t)‖.
Далее запишем неравенство (14) применительно к (44):
(λ+ γβ̃)ω <
2
1 +
√
1 +
2
λω
. (45)
Из (45) при β = 0 (а следовательно, и β̃ = 0)
λω <
2
1 +
√
1 +
2
λω
.
Это неравенство выполняется, если 0 < λω <
2
3
.
Следовательно, при достаточно малых λ, β̃ справедливо неравенство
γωβ̃ <
2
1 +
√
1 +
2
λω
− λω
= λω
(
2
λω +
√
λω(λω + 2)
− 1
)
.
Отсюда получаем
β̃ <
λ
γ
(
2
λω +
√
λω(λω + 2)
− 1
)
≡ β̃0(λ).
160 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Таким образом, искусственный спутник стабилизируем на основе линейной обратной
связи
u = C(t)x,
где
C(t) =
[
−Φ(t)Q−1(λE + εP ) + β(t)
]
Φ−1,
причем величины λ, β̃ достаточно малы.
1. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Изд-во АН
БССР, 1963. 272 с.
2. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими ко-
эффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 720 с.
3. Рубановский В.П. Устойчивость нулевого решения систем обыкновенных линейных дифференциаль-
ных уравнений с периодическими коэффициентами // Итоги науки и техники. Общая механика / ВИ-
НИТИ. 1971.
4. Самойленко А.М., Кенжебаев К., Лаптинский В.Н. Комплексное исследование периодических систем
дифференциальных уравнений. Киев, 1995. 50 с. (Препринт / НАН Украины. Ин-т математи-
ки; 95.1).
5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.
6. Самойленко А.М., Кенжебаев К., Лаптинский В.Н. О некоторых итерационных методах отыскания
периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн.
1984. 36, № 3. С. 345 352.
7. Самойленко А.М., Кенжебаев К., Лаптинский В.Н. Некоторые конструктивные методы анализа пе-
риодических нелинейных систем дифференциальных уравнений. Киев, 1994. 40 с. (Препринт
/ НАН Украины. Ин-т математики; 94.34).
8. Зубов В.И. Аналитическая динамика гироскопических систем. М.: Наука, 1970. 318 с.
9. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.: Наука, 1984.
320 с.
10. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980. 384 с.
11. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.
12. Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974.
600 с.
13. Крементуло В.В. Стабилизация стационарных движений твердого тела при помощи вращающихся
масс. М.: Наука, 1977. 264 с.
14. Зубов В.И., Ермолин В.С., Сергеев С.Л., Смирнов Е.Я. Управление вращательным движением твер-
дого тела. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. 200 с.
15. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников // Исследование космического про-
странства. М.: ВИНИТИ, 1978. 224 с. (Итоги науки и техники; Т. 11).
16. Каргу Л.И. Системы угловой стабилизации космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1980.
17. Попов В.И. Системы ориентации и стабилизации космических аппаратов. М.: Машиностроение,
1986. 184 с.
18. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука,
1988. 328 с.
19. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления. М.: Машиностроение, 1972.
552 с.
Получено 19.04.99
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 161
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174913 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:51:47Z |
| publishDate | 1999 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ахметова, А.У. Кенжебаев, К.К. Лаптинский, В.Н. 2021-01-28T15:46:20Z 2021-01-28T15:46:20Z 1999 Устойчивость и стабилизация периодических дифференциальных систем / А.У. Ахметова, К.К. Кенжебаев, В.Н. Лаптинский // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 147-161. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174913 517.925.52 Розглядаються актуальнi питання конструктивної теорiї перiодичних розв’язкiв систем диференцiальних рiвнянь. Одержано достатнi умови асимптотичної стiйкостi лiнiйних перiодичних диференцiальних систем. Наведено достатнi умови стабiлiзованостi та побудовано стабiлiзуючi управлiння неперервного типу в нелiнiйнiй перiодичнiй системi. Розв’язана задача стабiлiзацiї кутової швидкостi штучного супутника, що має часткову динамiчну симетрiю. We consider important problems of the constructive theory of periodic solutions of systems of differential equations. We establish sufficient conditions for the asymptotic stability of liniar periodic differential systems. We present sufficient conditions of stability and construct stabilizing controls of continuous type for a nonlinear periodic system. We also solve the problem of stabilization of the angular velocity of an artificial satellite with partial dynamical symmetry. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Устойчивость и стабилизация периодических дифференциальных систем Стійкість та стабілізація періодичних диференціальних систем Stability and stabilization of periodic differential systems Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость и стабилизация периодических дифференциальных систем Ахметова, А.У. Кенжебаев, К.К. Лаптинский, В.Н. |
| title | Устойчивость и стабилизация периодических дифференциальных систем |
| title_alt | Стійкість та стабілізація періодичних диференціальних систем Stability and stabilization of periodic differential systems |
| title_full | Устойчивость и стабилизация периодических дифференциальных систем |
| title_fullStr | Устойчивость и стабилизация периодических дифференциальных систем |
| title_full_unstemmed | Устойчивость и стабилизация периодических дифференциальных систем |
| title_short | Устойчивость и стабилизация периодических дифференциальных систем |
| title_sort | устойчивость и стабилизация периодических дифференциальных систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174913 |
| work_keys_str_mv | AT ahmetovaau ustoičivostʹistabilizaciâperiodičeskihdifferencialʹnyhsistem AT kenžebaevkk ustoičivostʹistabilizaciâperiodičeskihdifferencialʹnyhsistem AT laptinskiivn ustoičivostʹistabilizaciâperiodičeskihdifferencialʹnyhsistem AT ahmetovaau stíikístʹtastabílízacíâperíodičnihdiferencíalʹnihsistem AT kenžebaevkk stíikístʹtastabílízacíâperíodičnihdiferencíalʹnihsistem AT laptinskiivn stíikístʹtastabílízacíâperíodičnihdiferencíalʹnihsistem AT ahmetovaau stabilityandstabilizationofperiodicdifferentialsystems AT kenžebaevkk stabilityandstabilizationofperiodicdifferentialsystems AT laptinskiivn stabilityandstabilizationofperiodicdifferentialsystems |