Побудова частинних асимптотичних розв’язків лінійних вироджених систем диференціальних рівнянь із запізненням аргументу
Построены частные асимптотические решения линейной системы дифференциальных уравнений с медленно изменяющимися коэффициентами и запаздывающим аргументом в случае кратного корня характеристического уравнения. We construct partial asymptotic solutions of a linear differential system with slowly changi...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174957 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Побудова частинних асимптотичних розв’язків лінійних вироджених систем диференціальних рівнянь із запізненням аргументу / К.В. Шатковська // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 3. — С. 400-419. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174957 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шатковська, К.В. 2021-01-28T19:32:40Z 2021-01-28T19:32:40Z 2010 Побудова частинних асимптотичних розв’язків лінійних вироджених систем диференціальних рівнянь із запізненням аргументу / К.В. Шатковська // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 3. — С. 400-419. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174957 517.9 Построены частные асимптотические решения линейной системы дифференциальных уравнений с медленно изменяющимися коэффициентами и запаздывающим аргументом в случае кратного корня характеристического уравнения. We construct partial asymptotic solutions of a linear differential system with slowly changing coefficients and a delay in the argument in the case where the characteristic equation has a multiple root. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Побудова частинних асимптотичних розв’язків лінійних вироджених систем диференціальних рівнянь із запізненням аргументу Построение частичных асимптотических решений линейных вырожденных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием аргумента A construction of partial asymptotic solutions of linear degenerate differential systems with delay in the argument Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Побудова частинних асимптотичних розв’язків лінійних вироджених систем диференціальних рівнянь із запізненням аргументу |
| spellingShingle |
Побудова частинних асимптотичних розв’язків лінійних вироджених систем диференціальних рівнянь із запізненням аргументу Шатковська, К.В. |
| title_short |
Побудова частинних асимптотичних розв’язків лінійних вироджених систем диференціальних рівнянь із запізненням аргументу |
| title_full |
Побудова частинних асимптотичних розв’язків лінійних вироджених систем диференціальних рівнянь із запізненням аргументу |
| title_fullStr |
Побудова частинних асимптотичних розв’язків лінійних вироджених систем диференціальних рівнянь із запізненням аргументу |
| title_full_unstemmed |
Побудова частинних асимптотичних розв’язків лінійних вироджених систем диференціальних рівнянь із запізненням аргументу |
| title_sort |
побудова частинних асимптотичних розв’язків лінійних вироджених систем диференціальних рівнянь із запізненням аргументу |
| author |
Шатковська, К.В. |
| author_facet |
Шатковська, К.В. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Построение частичных асимптотических решений линейных вырожденных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием аргумента A construction of partial asymptotic solutions of linear degenerate differential systems with delay in the argument |
| description |
Построены частные асимптотические решения линейной системы дифференциальных уравнений с медленно изменяющимися коэффициентами и запаздывающим аргументом в случае кратного корня характеристического уравнения.
We construct partial asymptotic solutions of a linear differential system with slowly changing coefficients
and a delay in the argument in the case where the characteristic equation has a multiple root.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174957 |
| citation_txt |
Побудова частинних асимптотичних розв’язків лінійних вироджених систем диференціальних рівнянь із запізненням аргументу / К.В. Шатковська // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 3. — С. 400-419. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT šatkovsʹkakv pobudovačastinnihasimptotičnihrozvâzkívlíníinihvirodženihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹízzapíznennâmargumentu AT šatkovsʹkakv postroeniečastičnyhasimptotičeskihrešeniilineinyhvyroždennyhsistemdifferencialʹnyhuravneniiszapazdyvaniemargumenta AT šatkovsʹkakv aconstructionofpartialasymptoticsolutionsoflineardegeneratedifferentialsystemswithdelayintheargument |
| first_indexed |
2025-11-24T02:52:35Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:52:35Z |
| _version_ |
1850840319420006400 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ПОБУДОВА ЧАСТИННИХ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ
ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ АРГУМЕНТУ
К. В. Шатковська
Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова
Україна, 010030, Київ, вул. Пирогова, 9
e-mail: shatkovskakv@ukr.net
We construct partial asymptotic solutions of a linear differential system with slowly changing coefficients
and a delay in the argument in the case where the characteristic equation has a multiple root.
Построены частные асимптотические решения линейной системы дифференциальных уравне-
ний с медленно изменяющимися коэффициентами и запаздывающим аргументом в случае крат-
ного корня характеристического уравнения.
У данiй роботi розглядається система диференцiальних рiвнянь вигляду
B(τ)
dx (t, ε)
dt
= A(τ, ε)x(t, ε) + C(τ, ε)x(t−∆(τ), ε), (1)
де x(t, ε) — шуканий n-вимiрний вектор, A(τ, ε), B(τ), C(τ, ε) — дiйснi або комплексно-
значнi квадратнi матрицi n-го порядку, τ = εt ∈ [0;T ], ε ∈ (0; ε0] — малий параметр.
Будемо вважати, що виконуються такi умови:
1◦) матрицi A(τ, ε), C(τ, ε) допускають рiвномiрнi асимптотичнi розвинення за степе-
нями параметра ε :
A(τ, ε)∼
∑
k≥0
εkAk(τ), C(τ, ε)∼
∑
k≥0
εkCk(τ); (2)
2◦) коефiцiєнти розвинень (2), матриця B(τ) i функцiя ∆(τ) нескiнченно диференцi-
йовнi на вiдрiзку [0;T ];
3◦) ∆(τ) ≥ 0 ∀τ ∈ [0;T ];
4◦) detB(τ) ≡ 0 на [0;T ].
Системи рiвнянь даного типу дослiджувались у роботах [1 – 3]. Зокрема, в [1, 2] роз-
роблено метод побудови асимптотичного розв’язку початкової задачi для системи (1) у
випадку, коли B(t) = E, де E — одинична матриця, а запiзнення ∆ є сталим. У цих же
роботах розглядається можливiсть побудови частинних асимптотичних розв’язкiв даної
системи у випадку змiнного запiзнення. При цьому дослiджено випадки, коли вiдповiдне
характеристичне рiвняння
det
(
A0(τ)− λE + e−λ∆(τ)C0(τ)
)
= 0 (3)
c© К. В. Шатковська, 2010
400 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
ПОБУДОВА ЧАСТИННИХ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 401
має простi коренi. Встановлено також, що у випадку кратних коренiв рiвняння (3) час-
тиннi розв’язки даної системи можна побудувати у виглядi розвинень за дробовими сте-
пенями параметра ε.
Система (1) з тотожно виродженою матрицею B(τ) вперше розглядалась у [3], де по
аналогiї з [1, 2] методом крокiв побудовано асимптотику розв’язку початкової задачi за
умови сталого запiзнення.
У данiй роботi вивчається питання про побудову асимптотики частинних розв’язкiв
системи (1) у випадку, коли вiдповiдне характеристичне рiвняння
det
(
A0(τ)− λB(τ) + e−λ∆(τ)C0(τ)
)
= 0 (4)
має iзольований кратний корiнь λ0(τ) довiльної кратностi p < ∞. Запропонований ме-
тод побудови вiдповiдних асимптотичних розвинень не залежить вiд того, якою є матри-
ця B(τ) — виродженою чи невиродженою. Значення має лише стабiльнiсть її поведiнки
на заданому промiжку [0;T ]. Виродженiсть матрицi B(τ) має суттєвий вплив лише при
обґрунтуваннi асимптотичного характеру побудованих розв’язкiв. Тому отриманi резуль-
тати можна перенести й на той випадок, коли B(τ) = E, розвиваючи цим самим дослiд-
ження, проведенi в [1, 2], де через громiздкiсть викладок, обумовлених методом дослiд-
жень, розглянуто лише найпростiшу ситуацiю, коли p = 2.
Перш нiж перейти до побудови розв’язкiв системи (1), наведемо деякi допомiжнi тверд-
ження, якi використаємо в подальших викладках.
Розглянемо квадратну функцiональну матрицю F (λ) = ‖fij(λ)‖n, елементами якої є
деякi функцiї вiд параметра λ (дiйсного чи комплексного). Має мiсце наступне тверджен-
ня.
Лема. Нехай виконуються такi умови:
1) рiвняння
detF (λ) = 0 (5)
має iзольований корiнь λ0 кратностi p < ∞;
2) rankF (λ0) = n− 1;
3) матрична функцiя F (λ) p+ 1 раз диференцiйовна в околi точки λ = λ0.
Тодi кореню λ0 рiвняння (5) вiдповiдає жорданiв ланцюжок векторiв ϕi, i = 1, p,
завдовжки p, якi задовольняють спiввiдношення
F (λ0)ϕ1 = 0,
F (λ0)ϕ2 + F ′(λ0)ϕ1 = 0,
F (λ0)ϕ3 +
1
1!
F ′(λ0)ϕ2 +
1
2!
F ′′(λ0)ϕ1 = 0, (6)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F (λ0)ϕp +
1
1!
F ′(λ0)ϕp−1 +
1
2!
F ′′(λ0)ϕp−2 + . . .+
1
(p− 1)!
F (p−1)(λ0)ϕ1 = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
402 К. В. ШАТКОВСЬКА
При цьому рiвняння
F (λ0)y +
p∑
i=1
1
i!
F (i)(λ0)ϕp+1−i = 0 (7)
нерозв’язне вiдносно вектора y.
Доведення. Для доведення леми необхiдно показати розв’язнiсть рiвнянь (6) вiднос-
но векторiв ϕi, i = 2, p, i нерозв’язнiсть рiвняння (7). Оскiльки rankF (λ0) = n − 1,
то iснує вiдмiнний вiд нуля мiнор цiєї матрицi (n − 1)-го порядку. Не зменшуючи за-
гальностi, будемо припускати, що цей мiнор знаходиться в її лiвому верхньому кутi, тоб-
то det ‖fij(λ0)‖n−1
1 6= 0. Тодi, як показано в [4, c. 58], необхiдною i достатньою умовою
розв’язностi рiвняння
F (λ0)y = b
є виконання рiвностi
∣∣∣∣∣∣∣∣
f11(λ0) f12(λ0) . . . f1,n−1(λ0) b1
f21(λ0) f22(λ0) . . . f2,n−1(λ0) b2
. . . . . . . . . . . . . . .
fn1(λ0) fn2(λ0) . . . fn,n−1(λ0) bn
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0,
яку запишемо у виглядi
|f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), b| = 0,
позначивши через fi(λ0), i = 1, n− 1, i-й стовпець матрицi F (λ0). Поклавши p = 1, дове-
демо, що
|f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), F ′(λ0)ϕ1| 6= 0.
Нехай
ϕ1 = col
(
α
(1)
1 , α
(2)
1 , . . . , α
(n)
1
)
.
Тодi, беручи до уваги, що
α
(1)
1 f1(λ0) + α
(2)
1 f2(λ0) + . . .+ α
(n)
1 fn(λ0) = 0, (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
ПОБУДОВА ЧАСТИННИХ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 403
i використовуючи властивостi визначникiв, маємо
|f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), F ′(λ0)ϕ1| =
=
∣∣∣f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′1(λ0)α
(1)
1 + f ′2(λ0)α
(2)
1 + . . .+ f ′n(λ0)α
(n)
1
∣∣∣ =
=
n∑
i=1
α
(i)
1
∣∣f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0)f ′i(λ0)
∣∣ =
=
∣∣∣α(1)
1 f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′1(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), α
(2)
1 f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′2(λ0)
∣∣∣+ . . .
. . .+
∣∣∣f1(λ0), f2(λ0), . . . , α
(n−1)
1 fn−1(λ0), f ′n−1(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), α
(n)
1 f ′n(λ0)
∣∣∣ =
= −
∣∣∣α(n)
1 fn(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′1(λ0)
∣∣∣−
−
∣∣∣f1(λ0), α
(n)
1 fn(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′2(λ0)
∣∣∣− . . .
. . .−
∣∣∣f1(λ0), f2(λ0), . . . , α
(n)
1 fn(λ0), f ′n−1(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), α
(n)
1 f ′n(λ0)
∣∣∣ =
= α
(n)
1 (|f ′1(λ0), f2(λ0), . . . , fn(λ0)|+ |f1(λ0), f ′2(λ0), . . . , fn(λ0)|+ . . .
. . .+ |f1(λ0), f2(λ0), . . . , f ′n(λ0)|) = α
(n)
1 (detF (λ))′λ=λ0
6= 0,
оскiльки α(n)
1 6= 0 завдяки вiдмiнностi вiд нуля вектора ϕ1, а (detF (λ))′λ=λ0
6= 0 за припу-
щенням.
Припустимо тепер, що p = 2. Тодi за доведеним
|f1(λ0t), . . . , fn−1(λ0), F ′(λ0)ϕ1| = 0,
i друге рiвняння в системi (6) є розв’язним. Позначаючи
ϕ2 = col
(
α
(1)
2 , α
(2)
2 , . . . , α
(n)
2
)
,
з нього отримуємо
n∑
i=1
α
(i)
2 fi(λ0) +
n∑
i=1
α
(i)
1 f ′i(λ0) = 0. (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
404 К. В. ШАТКОВСЬКА
Покажемо, що
|f1(λ0), . . . , fn−1(λ0), F ′(λ0)ϕ2 +
1
2
F ′′(λ0)ϕ1| 6= 0.
Беручи до уваги рiвностi (8), (9) i використовуючи властивостi визначникiв, дiстаємо
|f1(λ0), . . . , fn−1(λ0), F ′(λ0)ϕ2| =
∣∣∣∣∣f1(λ0), . . . , fn−1(λ0),
n∑
i=1
α
(i)
2 f ′i(λ0)
∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣α(1)
2 f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′1(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), α
(2)
2 f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′2(λ0)
∣∣∣+ . . .
. . .+
∣∣∣f1(λ0), f2(λ0), . . . , α
(n−1)
2 fn−1(λ0), f ′n−1(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), α
(n)
2 f ′n(λ0)
∣∣∣ =
= −
∣∣∣∣∣
n∑
i=2
α
(i)
2 fi(λ0) +
n∑
i=1
α
(i)
1 f ′i(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′1(λ0)
∣∣∣∣∣−
−
∣∣∣∣∣f1(λ0), α
(1)
2 f1(λ0) +
n∑
i=3
α
(i)
2 fi(λ0) +
n∑
i=1
α
(i)
1 f ′i(λ0), f3(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′2(λ0)
∣∣∣∣∣− . . .
. . .−
∣∣∣∣∣f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−2(λ0),
n−2∑
i=1
α
(i)
2 fi(λ0) + α
(n)
2 fn(λ0)+
n∑
i=1
α
(i)
1 f ′i(λ0), f ′n−1(λ0)
∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), α
(n)
2 f ′n(λ0)
∣∣∣ =
=
∣∣∣f ′1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), α
(n)
2 fn(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣f ′1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0),
n∑
i=1
α
(i)
1 f ′i(λ0)
∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), f ′2(λ0), f3(λ0), . . . , fn−1(λ0), α
(n)
2 fn(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣f1(λ0), f ′2(λ0), f3(λ0), . . . , fn−1(λ0),
n∑
i=1
α
(i)
1 f ′i(λ0)
∣∣∣∣∣+ . . .
. . .+
∣∣∣f1(λ0), . . . , fn−2(λ0), f ′n−1(λ0), α
(n)
2 fn(λ0)
∣∣∣+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
ПОБУДОВА ЧАСТИННИХ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 405
+
∣∣∣∣∣f1(λ0), . . . , fn−2(λ0), f ′n−1(λ0),
n∑
i=1
α
(i)
1 f ′i(λ0)
∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), . . . , fn−1(λ0), α
(n)
2 f ′n(λ0)
∣∣∣ =
=
∣∣∣f ′1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), α
(n)
2 fn(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f ′1(λ0), α
(2)
1 f2(λ0), f3(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′2(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f ′1(λ0), f2(λ0), α
(3)
1 f3(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′3(λ0)
∣∣∣+ . . .
. . .+
∣∣∣f ′1(λ0), f2(λ0), . . . , α
(n−1)
1 fn−1(λ0), f ′n−1(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f ′1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), α
(n)
1 f ′n(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), f ′2(λ0), f3(λ0), . . . , fn−1(λ0), α
(n)
2 fn(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣α(1)
1 f1(λ0), f ′2(λ0), f3(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′1(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), f ′2(λ0), α
(3)
1 f3(λ0), f4(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′3(λ0)
∣∣∣+ . . .
. . .+
∣∣∣f1(λ0), f ′2(λ0), f3(λ0), . . . , α
(n−1)
1 fn−1(λ0), f ′n−1(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), f ′2(λ0), f3(λ0), . . . , fn−1(λ0), α
(n)
1 f ′n(λ0)
∣∣∣+ . . .
. . .+
∣∣∣f1(λ0), . . . , fn−2(λ0), f ′n−1(λ0), α
(n)
2 fn(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣α(1)
1 f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−2(λ0), f ′n−1(λ0), f ′1(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), α
(2)
1 f2(λ0), f3(λ0), . . . , fn−2(λ0), f ′n−1(λ0), f ′2(λ0)
∣∣∣+ . . .
. . .+
∣∣∣f1(λ0), . . . , α
(n−2)
1 fn−2(λ0), f ′n−1(λ0), f ′n−2(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), . . . , fn−2(λ0), f ′n−1(λ0), α
(n)
1 f ′n(λ0)
∣∣∣+
+
∣∣∣f1(λ0), . . . , fn−1(λ0), α
(n)
2 f ′n(λ0)
∣∣∣ =
= α
(n)
2
n∑
i=1
∣∣f1(λ0), . . . , fi−1(λ0), f ′i(λ0), fi+1(λ0), . . . , fn(λ0)
∣∣+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
406 К. В. ШАТКОВСЬКА
+ α
(n)
1
(∣∣f ′1(λ0), f ′2(λ0), f3(λ0), . . . , fn(λ0)
∣∣+
+
n∑
i=3
∣∣f1(λ0), f ′2(λ0), f3(λ0), . . . , fi−1(λ0), f ′i(λ0), fi+1(λ0), . . . , fn(λ0)
∣∣+
+
∣∣f ′1(λ0), f2(λ0), f ′3(λ0), f4(λ0), . . . , fn(λ0)
∣∣+
+
∣∣f1(λ0), f ′2(λ0), f ′3t(λ0), f4(λ0), . . . , fn(λ0)
∣∣+
+
n∑
i=4
∣∣f1(λ0), f2(λ0), f ′3(λ0), f4(λ0), . . . , fi−1(λ0), f ′i(λ0), fi+1(λ0), . . . , fn(λ0)
∣∣+ . . .
. . .+
n−1∑
i=1
∣∣f1(λ0), . . . , fi−1(λ0), f ′i(λ0), fi+1(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′n(λ0)
∣∣)+
+ α
(1)
1 (|f ′1(λ0), f ′2(λ0), f3(λ0), . . . , fn−1(λ0), f1(λ0)|+
+
∣∣f ′1(λ0), f2(λ0), f ′3(λ0), f4(λ0), . . . , fn−1(λ0), f1(λ0)
∣∣+ . . .
. . .+ |f ′1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−2(λ0), f ′n−1(λ0), f1(λ0)|)+
+ α
(2)
1 (|f ′1(λ0), f ′2(λ0), f3(λ0), fn−1(λ0), f2(λ0)|+
+
∣∣f1(λ0), f ′2(λ0), f ′3(λ0), f4(λ0), . . . , fn−1(λ0), f2(λ0)
∣∣+ . . .
. . .+ |f1(λ0), f ′2(λ0), f3(λ0), . . . , fn−2(λ0), f ′n−1(λ0), f2(λ0)|) + . . .
. . .+ α
(n−1)
1 (|f ′1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−2(λ0), f ′n−1(λ0), fn−1(λ0)|+
+
∣∣f1(λ0), f ′2(λ0), f3(λ0), . . . , fn−2(λ0), f ′n−1(λ0), fn−1(λ0)
∣∣+ . . .
. . .+ |f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−3(λ0), f ′n−2(λ0), f ′n−1(λ0), fn−1(λ0)|).
У свою чергу
∣∣∣∣f(λ0), . . . , fn−1(λ0),
1
2
F ′′(λ0)ϕ1
∣∣∣∣ =
1
2
∣∣∣∣∣f1(λ0), . . . , fn−1(λ0),
n∑
i=1
α
(i)
1 f ′′i (λ0)
∣∣∣∣∣ =
=
1
2
n∑
i=1
∣∣∣f1(λ0), . . . , fi−1(λ0), α
(i)
1 fi(λ0), fi+1(λ0), . . . , fn−1(λ0), f ′′i (λ0)
∣∣∣ =
=
1
2
α
(n)
1
n∑
i=1
∣∣f1(λ0), . . . , fi−1(λ0), f ′′i (λ0), fi+1(λ0), . . . , fn−1(λ0), fn(λ0)
∣∣ .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
ПОБУДОВА ЧАСТИННИХ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 407
Тодi, врахувавши, що
n∑
i=1
∣∣f1(λ0), . . . , fi−1(λ0), f ′i(λ0), fi+1(λ0), . . . , fn(λ0)
∣∣ = (detF (λ0))′ = 0,
i використавши спiввiдношення (8), матимемо∣∣∣∣f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0), F ′(λ0)ϕ2 +
1
2
F ′′(λ0)ϕ1
∣∣∣∣ =
= α
(n)
1
(
n∑
i=2
∣∣f ′1(λ0), f2(λ0), . . . , fi−1(λ0), f ′i(λ0), fi+1(λ0), . . . , fn(λ0)
∣∣ +
+
n∑
i=3
∣∣f1(λ0), f ′2(λ0), f3(λ0), . . . , fi−1(λ0), f ′i(λ0), fi+1(λ0), . . . , fn(λ0)
∣∣+ . . .
+
∣∣f1(λ0), . . . , fn−2(λ0), f ′n−1(λ0), f ′n(λ0)
∣∣+
+
1
2
n∑
i=1
∣∣f1(λ0), . . . , fi−1(λ0), f ′′i (λ0), fi+1(λ0), . . . , fn(λ0)
∣∣) =
1
2
α
(n)
1 (detF (λ0))′′ 6= 0.
Продовжуючи аналогiчнi мiркування, методом математичної iндукцiї доведемо, що∣∣∣∣∣f1(λ0), f2(λ0), . . . , fn−1(λ0),
k∑
i=1
1
i!
F (i)(λ0)ϕk+1−i
∣∣∣∣∣ =
1
k!
α
(n)
1
dk
dλk
(detF (λ0)) = 0
при k < p i, отже, рiвняння (6) розв’язнi вiдносно векторiв ϕi, i = 1, p, а∣∣∣∣∣f1(λ0), . . . , fn−1(λ0),
p∑
i=1
1
i!
F (i)(λ0)ϕp+1−i
∣∣∣∣∣ =
1
p!
α
(n)
1
dp
dλp
(detF (λ0)) 6= 0,
звiдки випливає несумiснiсть рiвняння (7).
Лему доведено.
Позначимо тепер через F (τ, λ) квазiполiном
F (τ, λ) = A0(τ)− λB(τ) + e−λ∆(τ)C0(τ), (9′)
який визначає властивостi системи рiвнянь (1).
Припустимо, що виконуються такi умови:
5◦) рiвняння (4) на заданому вiдрiзку [0;T ] має iзольований корiнь λ0(τ) кратностi
p < ∞;
6◦) rankF (τ, λ0(τ)) = n− 1 ∀τ ∈ [0;T ].
Тодi згiдно з доведеною вище лемою цьому кореню вiдповiдає жорданiв ланцюжок
завдовжки p, вектори якого ϕi(τ), i = 1, p, задовольняють спiввiдношення
F (τ, λ0(τ))ϕ1(τ) = 0, (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
408 К. В. ШАТКОВСЬКА
F (τ, λ0(τ))ϕk(τ) +
k−1∑
i=1
1
i!
F
(i)
λ (τ, λ0(τ))ϕk−i(τ) = 0, k = 2, p. (11)
Вектори ϕi(τ), i = 1, p, iз рiвняння (10), (11) визначаються неоднозначно. Цю неодно-
значнiсть усунемо, визначаючи їх таким чином. Оскiльки всi елементи матриць A0(τ),
B(τ), C0(τ) i функцiя ∆(τ) згiдно з умовою 2◦ нескiнченно диференцiйовнi на заданому
вiдрiзку [0;T ], то за лемою 3.1 iз [1, с. 117] функцiя λ0(τ) також нескiнченно диференцiйов-
на на цьому вiдрiзку. Отже, всi елементи матрицi F (τ, λ0(τ)) нескiнченно диференцiйовнi
на [0;T ], i згiдно з [5] ϕ1(τ) можна визначити так, щоб вiн мав похiднi будь-якого поряд-
ку. Позначивши його через ϕ(τ), наступнi вектори даного ланцюжка визначатимемо за
формулами
ϕk(τ) = −
k−1∑
i=1
1
i!
H(τ)F (i)
λ (τ, λ0(τ))ϕk−i(τ), k = 2, p, (12)
де H(τ) — напiвобернена матриця до матрицi F (τ, λ0(τ)), яку визначимо так, щоб усi її
елементи були нескiнченно диференцiйовними на заданому промiжку [2].
Враховуючи рекурентний характер формули (12), її можна перетворити до вигляду
ϕk(τ) =
k∑
i=1
(−1)iP k
i (H(τ)Fλ(τ, λ0(τ)))ϕ(τ), k = 1, p, (13)
де символом P k
i (H(τ)Fλ(τ, λ0(τ))) позначено суму всiх можливих добуткiв i множникiв
1
s1!
H(τ)F (s1)
λ (τ, λ0(τ)),
1
s2!
H(τ)F (s2)
λ (τ, λ0(τ)), . . . ,
1
si!
H(τ)F (si)
λ (τ, λ0(τ))
таких, що s1 + s2 + . . .+ si = k :
P k
i (HFλ) =
∑
s1+s2+...+si=k
1
s1!
HF
(s1)
λ
1
s2!
HF
(s2)
λ . . .
1
si!
HF
(si)
λ .
Формула (13) легко доводиться методом математичної iндукцiї.
Позначимо через ψ(τ) елемент нуль-простору матрицi F ∗(τ, λ0(τ)), спряженої з
F (τ, λ0(τ)), який, як i вектор ϕ(τ), визначимо так, щоб вiн був нескiнченно диференцi-
йовним на [0;T ]. Тодi з розв’язностi рiвнянь (11) випливає, що
k−1∑
i=1
1
i!
(
F
(i)
λ (τ, λ0(τ))ϕk−i(τ), ψ(τ)
)
= 0, k = 2, p, ∀τ ∈ [0;T ]. (14)
Оскiльки при k = p+ 1 рiвняння нерозв’язне, то
p∑
i=1
1
i!
(
F
(i)
λ (τ, λ0(τ))ϕp+1−it(τ), ψ(τ)
)
6= 0 ∀τ ∈ [0;T ].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
ПОБУДОВА ЧАСТИННИХ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 409
Iз урахуванням (13) цi спiввiдношення набирають вигляду
k∑
i=1
(−1)i
(
P̃ k
i (HFλ)ϕ,ψ
)
= 0, k = 1, p− 1,
(15)
p∑
i=1
(−1)i(P̃ p
i (HFλ)ϕ,ψ) 6= 0 ∀τ ∈ [0;T ],
де символи P̃ k
i (HFλ) i P k
i (HFλ) пов’язанi спiввiдношенням
HP̃ k
i (HFλ) = P k
i (HFλ).
Оскiльки вектор ψ(τ) визначається з точнiстю до довiльного скалярного множника,
то за рахунок цього множника можна досягти, щоб
p∑
i=1
(−1)i
(
P̃ k
i (HFλ)ϕ,ψ
)
= 1, (16)
що й буде передбачатись у подальших викладках.
Перейдемо до побудови розв’язкiв системи рiвнянь (1). Має мiсце така теорема.
Теорема. Нехай виконуються умови 1◦ – 5◦, а також наступна:(
A1(τ)ϕ(τ) + e−λ0(τ)∆(τ)C1(τ)ϕ(τ)−B(τ)ϕ′(τ)−
−∆(τ)e−λ0(τ)∆(τ)C0(τ)ϕ′(τ) +
1
2
e−λ0(τ)∆(τ)∆2(t)λ′0(t)C0(t), ψ(τ)
)
6= 0 ∀τ ∈ [0;T ]. (17)
Тодi система рiвнянь (1) на промiжку
[
0;
T
ε
]
має p частинних формальних розв’язкiв
вигляду
x(t, ε) = u(τ, µ) exp
1
ε
τ∫
0
λ(s, µ)ds
, (18)
де u(τ, µ) — n-вимiрний вектор, λ(τ, µ) — скалярна функцiя, якi зображуються у виглядi
формальних розвинень
u(τ, µ) =
∞∑
k=0
µkuk(τ), λ(τ, µ) =
∞∑
k=0
µkλk(τ), (19)
в яких µ = p
√
ε.
Доведення. Необхiдно показати, що вектор-функцiя (18) формально задовольняє сис-
тему (1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
410 К. В. ШАТКОВСЬКА
Пiдставляючи (18) у (1), маємо
A(τ, ε)u(τ, µ) = λ(τ, µ)B(τ)u(τ, µ)−
− C(τ, ε)u(τ − ε∆(τ), µ) exp
1
ε
τ−ε∆(τ)∫
τ
λ(s, µ)ds
+ εB(τ)u′(τ, µ) (20)
(тут i далi штрихом позначено диференцiювання по змiннiй τ).
Позначимо
ũ(τ, µ) = u (τ − ε∆(τ), µ) ,
g(τ, µ) = exp
1
ε
τ−ε∆(τ)∫
τ
λ(s, µ)ds
i розкладемо цi функцiї в формальнi ряди за степенями параметра µ.
Згiдно з (19) для вектор-функцiї ũ(τ, µ) маємо
ũ(τ, µ) =
∞∑
k=0
µkuk(τ − ε∆(τ)).
Оскiльки
dsuk(τ − ε∆(τ))
dεs
∣∣∣∣
ε=0
= (−1)s∆s(τ)u(s)
k (τ)
i, отже,
uk(τ − ε∆(τ)) =
∞∑
s=0
1
s!
(−1)s∆s(τ)u(s)
k (τ)εs,
то
ũ(τ, µ) =
∞∑
k=0
∞∑
s=0
(−1)s 1
s!
∆s(τ)u(s)
k (τ)µk+sp.
Ввiвши iндекс k + sp = j замiсть k, дiстанемо
ũ(τ, µ) =
∞∑
s=0
∞∑
j=sp
(−1)s 1
s!
∆s(τ)u(s)
j−sp(τ)µ
j =
∞∑
j=0
h
j
p
i∑
s=0
(−1)s 1
s!
∆s(τ)u(s)
j−sp(τ)µ
j ,
де символом [a] позначено цiлу частину числа a.
Отже,
ũ(τ, µ) =
∞∑
k=0
µkũk(τ), (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
ПОБУДОВА ЧАСТИННИХ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 411
де
ũk(τ) =
h
k
p
i∑
i=0
(−1)i 1
i!
∆i(τ)u(i)
k−ip(τ), k = 0, 1, . . . . (22)
Зокрема,
ũk(τ) = uk(τ), k < p. (23)
Для розвинення в ряд функцiї g(τ, µ) розглянемо спочатку вираз
a(τ, µ) =
1
ε
τ−ε∆(τ)∫
τ
λ(s, µ) ds,
який з урахуванням (19) записується у виглядi
a(τ, µ) =
∞∑
r=0
µrar(τ, ε), (24)
де
ar(τ, ε) =
1
ε
τ−ε∆(τ)∫
τ
λr(s) ds, r = 0, 1, . . . .
Щоб розвинути функцiї ar (τ, ε) в формальний ряд за степенями ε, знайдемо спочат-
ку їх похiднi по ε (при фiксованому τ ), а потiм обчислимо їх при ε = 0 за допомогою
граничного переходу при ε → 0. Методом математичної iндукцiї неважко переконатись,
що
a(k)
r (τ, ε) = (−1)kk!
[
ε−(k+1)
τ−ε∆(τ)∫
τ
λr(s) ds+
+
k−1∑
i=0
1
(i+ 1)!
∆i+1εi−kλ(i)
r (τ − ε∆(τ))
]
, k = 0, 1, . . . . (25)
Записуючи пiдiнтегральну функцiю λr(s) за формулою Тейлора в околi точки s = τ у
виглядi
λr(s) =
k∑
i=0
λ
(i)
r (τ)
i!
(s− τ)i +
λ
(k+1)
r (c)
(k + 1)!
(s− τ)k+1, c ∈ (τ − ε∆(τ), τ),
маємо
τ−ε∆(τ)∫
τ
λr(s) ds =
k∑
i=0
(−1)i+1 λ
(i)
r (τ)
(i+ 1)!
εi+1∆i+1 + (−1)kλ
(k+1)
r (c)
(k + 2)!
εk+2∆k+2. (26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
412 К. В. ШАТКОВСЬКА
Пiдставивши (26) у (25), дiстанемо
a(k)
r (τ, ε) = (−1)kk!ε−k∆(τ)
k−1∑
i=0
1
(i+ 1)!
εi∆i(τ)
[
λ(i)
r (τ − ε∆(τ)) + (−1)i+1λ(i)
r (τ)
]
−
− λ
(k)
r (τ)∆k+1(τ)
k + 1
+ . . . , (27)
де трьома крапками позначено доданки, якi прямують до нуля при ε → 0.
Застосовуючи формулу Тейлора до функцiї λ(i)
r (τ − ε∆(τ)) в околi точки τ, маємо
λ(i)
r (τ − ε∆(τ)) =
k−i∑
j=0
(−1)j 1
j!
λ(i+j)
r (τ)εj∆j + (−1)k+1+iλ
(k+1−i)
r (ci)
(k + 1− i)!
εk+1−i∆k+1−i,
ci ∈ (τ − ε∆(τ), τ).
Пiдставляючи цей вираз у (27), пiсля нескладних перетворень, пов’язаних iз перегрупу-
ванням доданкiв та замiною iндексiв, отримуємо
a(k)
r (τ, εt) = −λ
(k)
r (τ)∆k+1
k + 1
+ k!∆k+1λ(k)
r (τ)
k−1∑
i=0
(−1)i 1
(i+ 1)!
1
(k − i)!
+
+ (−1)kk!ε−k∆
k−1∑
j=0
(−1)jλ(j)
r (τ)εj∆j
(
j∑
i=0
(−1)i 1
(i+ 1)!
1
(j − i)!
− 1
(j + 1)!
)+ . . . .
Оскiльки
j∑
i=0
(−1)i 1
(i+ 1)!
1
(j − i)!
− 1
(j + 1)!
=
j+1∑
i=0
(−1)i−1 1
i!
1
(j + 1− i)!
=
= − 1
(j + 1)!
j+1∑
i=0
(−1)i 1
i!
(j + 1)!
(j + 1− i)!
= − 1
(j + 1)!
j+1∑
i=0
(−1)iCi
j+1 = 0
згiдно з властивiстю бiномних коефiцiєнтiв, а
k−1∑
i=0
(−1)i 1
(i+ 1)!
1
(k − i)!
=
k∑
i=0
(−1)i 1
(i+ 1)!
1
(k − i)!
+ (−1)k+1 1
(k + 1)!
=
=
1
(k + 1)!
+ (−1)k+1 1
(k + 1)!
,
то звiдси дiстаємо
a(k)
r (τ, ε) = (−1)k+1λ
(k)
r (τ)∆k+1(τ)
k + 1
+ . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
ПОБУДОВА ЧАСТИННИХ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 413
Переходячи до границi при ε → 0, остаточно маємо
a(k)
r (τ, 0) = (−1)k+1 1
k + 1
λ(k)
r (τ)∆k+1(τ), k, r = 0, 1, . . . . (28)
Записавши тепер ряди Тейлора для функцiй ar(τ, ε), пiдставимо їх у (24). Згрупувавши
в отриманому розвиненнi доданки при однакових степенях µ, дiстанемо
a(τ, µ) =
∞∑
k=0
µkαkt(τ), (29)
де
αk(τ) =
h
k
p
i∑
i=0
(−1)i+1 1
(i+ 1)!
λ
(i)
k−ip(τ)∆
i+1(τ), k = 0, 1, . . . . (30)
Маючи розвинення (29) для функцiї a(τ, µ), функцiю g(t, µ) = ea(t,µ) запишемо у ви-
глядi ряду Тейлора в околi a(t, 0) = α0(τ) = −λ0(τ)∆(τ) :
g(t, µ) = ea(t,0)
∞∑
s=0
1
s!
(a(t, µ)− a(t, 0))s = e−λ0(τ)∆(τ)
(
1 +
∞∑
s=1
1
s!
( ∞∑
k=1
µkαk(τ)
)s)
.
Згрупувавши доданки з однаковими степенями µ, остаточно отримаємо
g(t, µ) =
∞∑
k=0
µkgk(τ), (31)
де
gk(τ) = e−λ0(τ)∆(τ)
k∑
i=0
1
i!
P k
i (α), k = 0, 1, . . . , (32)
а
P k
i (α) =
∑
j1+j2+...+ji=k
αj1αj2 . . . αji
— сума всiх можливих добуткiв i множникiв αj1 , αj2 , . . . , αji з натуральними iндексами,
сума яких дорiвнює k.
Повернемось до рiвняння (20). Iз урахуванням введених вище позначень запишемо
його у виглядi
A(τ, ε)u(τ, µ) = λ(τ, µ)B(τ)u(τ, µ)− C(τ, ε)ũ(τ, µ)g(τ, µ)− εB(τ)u′(τ, µ). (33)
Пiдставивши в це рiвняння розвинення (2), (21), (31) i прирiвнявши коефiцiєнти при одна-
кових степенях µ, отримаємо нескiнченну систему алгебраїчних рiвнянь
F (τ, λ0(τ))u0(τ) = 0, (34)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
414 К. В. ШАТКОВСЬКА
F (τ, λ0(τ))uk(τ) = bk(τ), k = 1, 2, . . . , (35)
де
bk(τ) =
k∑
i=1
(λi(τ)B(τ)− g(1)
i (τ)C0(τ))uk−i(τ) + dk(τ), k = 1, 2, . . . , (36)
dk(τ) = −
k−p∑
i=0
h
k−i
p
i∑
j=1
gi(τ)Cj(τ)ũk−i−jp(τ)−
h
k
p
i∑
i=1
Ai(τ)uk−pi(τ)+
+B(τ)u′k−p(τ)−
k−p∑
i=0
gi(τ)C0(τ)ûk−i(τ)−
k∑
i=p
g
(2)
i (t)C0(t)uk−i(t), k = p, p+ 1, . . . ,
(37)
i у вiдповiдностi з (22) введено позначення
ũk(τ) = uk(τ) + ûk(τ), ûk(τ) =
h
k
p
i∑
i=1
(−1)i 1
i!
∆i(τ)u(i)
k−pi
(τ), k = p, p+ 1, . . . ,
(38)
gi(t) = g
(1)
i (t) + g
(2)
i (t),
де g(1)
i (t) — та частина виразу gi(t), яка мiстить тiльки перший доданок λk(t)∆(t) в складi
ak(t), а g(2)
i (t) — друга частина, яка мiстить усi наступнi доданки вiдповiдно до формули
(30) (при k < p, g
(1)
i (t) = git(t)).
З рiвняння (35) знайдемо
u0(τ) = ϕ(τ). (39)
Рiвняння (35) будуть розв’язними вiдносно векторiв uk(τ) тодi i тiльки тодi, коли вектори
bk(τ) будуть ортогональними до вектора ψ(τ) — елемента нуль-простору матрицi F ∗(τ,
λ0(τ)) :
(bk(τ), ψ(τ)) = 0, k = 1, 2, . . . . (40)
За виконання цiєї умови вектори uk(τ) визначатимемо за формулою
uk(τ) = H(τ) bk(τ), k = 1, 2, . . . . (41)
Умову (40) використаємо для знаходження функцiй λk(τ), k = 1, 2, . . . . З цiєю метою
перетворимо вираз для вектора bk(τ), виконавши взаємну пiдстановку формул (36), (39).
При k < p маємо
b1(τ) = −λ1(τ)F ′
λ(τ, λ0(τ))ϕ(τ),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
ПОБУДОВА ЧАСТИННИХ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 415
b2(τ) = λ2
1(τ)
[
F ′
λ(τ, λ0(τ))H(τ)F ′
λ(τ, λ0(τ))−
1
2
F ′′
λ (τ, λ0(τ))
]
ϕ(τ)−
− λ2(τ)F ′
λ(τ, λ0(τ))ϕ(τ),
b3(τ) = λ3
1(τ)
[
−F ′
λ(τ, λ0(τ))(H(τ)F ′
λ(τ, λ0(τ)))2 +
1
2!
F ′′
λ t(τ, λ0(τ))H(τ)F ′
λ(τ, λ0(τ)) +
+
1
2!
F ′
λ(τ, λ0(τ))H(τ)F ′′
λ (τ, λ0(τ))−
1
3!
F ′′′
λ (τ, λ0(τ))
]
ϕ(τ)+
+ 2λ1(τ)λ2(τ)
[
F ′
λ(τ, λ0(τ))H(τ)F ′
λ(τ, λ0(τ))−
1
2!
F ′′
λ (τ, λ0(τ))
]
ϕ(τ)−
− λ3(τ)F ′
λ(τ, λ0(τ))ϕ(τ),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Аналiзуючи цi формули, приходимо до висновку, що в загальному випадку
bk(τ) =
k∑
j=1
P k
j (λ)
j∑
i=1
(−1)iP̃ j
i (H(τ)Fλ(τ, λ0(τ)))ϕ, k < p. (42)
Доведемо цю формулу методом математичної iндукцiї. Її справедливiсть при k = 1, 3
встановлено вище. Припустимо, що вона справджується при k < s < p. Згiдно з (36)
bs =
s∑
i=1
(λiB − giC0)us−i. (43)
У свою чергу, враховуючи (32), маємо
λiB − giC0 = λiB − e−λ0∆
i∑
k=1
(−1)k 1
k!
∆kP i
k(λ)C0 =
= λiB + ∆e−λ0∆P i
1(λ)C0 − e−λ0∆
i∑
k=2
(−1)k 1
k!
∆kP i
k(λ)C0 =
= λi(B + ∆e−λ0∆C0)− e−λ0∆
i∑
k=2
(−1)k 1
k!
∆kP i
k(λ)C0 =
= −λiF
′
λ −
i∑
k=2
1
k!
F
(k)
λ P i
k(λ) = −
i∑
k=1
P i
k(λ)
1
k!
F
(k)
λ . (44)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
416 К. В. ШАТКОВСЬКА
Крiм того, згiдно з (41) за припущенням iндукцiї
us−i =
s−i∑
j=1
P s−i
j (λ)
j∑
r=1
(−1)rP j
r (HFλ)ϕ, i = 1, s− 1.
Пiдставивши цi вирази в (43), отримаємо
bs = −
s−1∑
i=1
i∑
k=1
s−i∑
j=1
P i
k(λ)P s−i
j (λ)
1
k!
F
(k)
λ
j∑
r=1
(−1)rP j
r (HFλ)ϕ+ (λsB − gsC0)ϕ.
Змiнивши порядок пiдсумовування, будемо мати
bs = −
s−1∑
k=1
s−k∑
j=1
s−j∑
i=k
P i
k(λ)P s−i
j (λ)
1
k!
F
(k)
λ
j∑
r=1
(−1)rP j
r (HFλ)ϕ+ (λsB − gsC0)ϕ.
Взявши до уваги, що
s−j∑
i=k
P i
k(λ)P s−i
j (λ) = P s
k+j(λ),
дiстанемо
bs = −
s−1∑
k=1
s−k∑
j=1
P s
k+j(λ)
1
k!
F
(k)
λ
j∑
r=1
(−1)rP j
r (HFλ)ϕ+ (λsB − gsC0)ϕ.
Поклавши k + j = i замiсть j i змiнивши порядок пiдсумовування, отримаємо
bs =
s∑
i=2
P s
i (λ)
i−1∑
r=1
(−1)r+1
i−r∑
k=1
1
k!
F
(k)
λ P i−k
r (HFλ)ϕ+ (λsB − gsC0)ϕ.
Оскiльки
i−r∑
k=1
1
k!
F
(k
λ P i−k
r (HFλ) = P̃ i
r+1(HFλ),
то, поклавши r + 1 = j i врахувавши (44), знайдемо
bs =
s∑
i=2
P s
i (λ)
i∑
j=2
(−1)jP̃ i
j (HFλ)ϕ−
s∑
i=1
P s
i (λ)P̃ s
1 (HFλ) =
s∑
i=1
P s
i (λ)
i∑
j=1
(−1)jP̃ i
j (HFλ)ϕ,
звiдки випливає, що формула (42) справджується i при k = s. Отже, вона має мiсце при
всiх k < p.
При k ≥ p у складi виразу для вектора bk з’являються доданки „другого роду”, якi
мiстять вектори dk(τ), k = p, p + 1, . . . . Позначивши частину виразу для вектора bk, яка
мiстить цi доданки, через bk(τ), продовжимо далi, при k ≥ p, взаємну пiдстановку формул
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
ПОБУДОВА ЧАСТИННИХ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 417
(36), (41). Очевидно, що при цьому перший доданок виразу (36), до складу якого не входи-
тимуть члени „другого роду”, перетворюватиметься так само, як i при k < p, i набуватиме
вигляду (42). Водночас для векторiв bk(τ) матимемо
bp = dp,
bp+1 = (λ1B − g1C0)Hdp + dp+1,
bp+2 =
[
((λ1B − g1C0)H)2 + (λ2B − g2C0)H
]
dp + (λ1B − g1C0)Hdp+1 + dp+2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Продовжуючи цей процес, методом математичної iндукцiї встановлюємо, що в загально-
му випадку має мiсце формула
bp+k =
k∑
j=1
j∑
i=1
P j
i ((λB − gC0)H)dp+j−1 + dp+k, k = 0, 1, . . . , (45)
де
P j
i ((λB − gC0)H) =
∑
s1+s2+...+si=j
(λs1B − gs1C0)H(λs2B − gs2C0)H . . . (λsiB − gsiC0)H
— сума всiх можливих добуткiв i множникiв вигляду (λsk
B−gsk
C0)H, k = 1, i, з натураль-
ними iндексами, сума яких дорiвнює j.
Об’єднавши формули (42), (45), остаточно дiстанемо такий вираз для векторiв bk(τ):
bk(τ) =
k∑
j=1
P k
j (λ)
j∑
i=1
(−1)iP̃ j
i (λ)(HFλ)ϕ+
k−p∑
j=1
j∑
i=1
P j
i ((λB − gC0t)H)dp+j−1 + dk, (46)
k = 1, 2, . . . .
Скористаємось тепер формулою (46) i умовою (40) для визначення коефiцiєнтiв λk(τ)
розвинення (19) для функцiї λ(τ, µ). Згiдно з (15) при k < p умова (40) виконується. При
k = p iз урахуванням (15), (16) вона записується у виглядi
P p
p (λ) + (dp, ψ) = 0.
Взявши до уваги, що P p
p (λ) = λp
1(τ) i згiдно з (37), (39), (33), (38)
dp(τ) = −g0(τ)C0(τ)ϕ(τ)−A1(τ)ϕ(τ) +B(τ)ϕ′(τ)− g0(τ)C0(τ)ûp(τ) =
= −
(
A1(τ) + eλ0(τ)∆(τ)C1(τ)
)
ϕ(τ) +
(
B(τ) + ∆(τ)e−λ0(τ)∆(τ)C0(τ)
)
ϕ′(τ) =
= −
(
A1(τ) + e−λ0(τ)∆(τ)C1(τ)
)
ϕ(τ)− F ′
λ(τ, λ0(τ))ϕ′(τ),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
418 К. В. ШАТКОВСЬКА
звiдси з огляду на умову (17) отримаємо p рiзних функцiй λ1(τ):
λ
(s)
1 (τ) = p
√
|(dp(τ), ψ(τ))|
(
cos
arg(−(dp, ψ)) + 2π(s− 1)
p
+ i sin
arg(−(dp, ψ)) + 2π(s− 1)
p
)
,
(47)
s = 1, p.
Зафiксувавши одну з цих функцiй, наступний коефiцiєнт λ2(τ) знайдемо з умови (40) при
k = p+ 1. Згiдно з (46), (15), (16) ця умова запишеться у виглядi
P p+1
p (λ) + P p+1
p+1 (λ)
p+1∑
i=1
(−1)i
(
P̃ p+1
i (HFλ)ϕ,ψ
)
+ ((λ1B − g1C0)Hdp, ψ) + (dp+1, ψ) = 0,
звiдки
λ2(τ) = − 1
pλp−1
1
[
λp+1
1
p+1∑
i=1
(−1)i(P̃ p+1
i (HFλ)ϕ,ψ) + ((λ1B − g1C0)Hdp, ψ) + (dp+1, ψ)
]
.
Якщо в такий спосiб функцiї λi(τ) (а отже, й вектори ui(τ)) буде визначено при i < s,
то λs(τ) знаходиться з умови (40) при k = p+s−1. Дiйсно, поклавши у виразi (46) k = p+
+s−1, i видiливши доданки з шуканою функцiєю λs(t) та взявши до уваги спiввiдношення
(15), (16), матимемо
P p+s−1
p (λ) +
p+s−1∑
j=p+1
P p+s−1
j (λ)
j∑
i=1
(−1)i((P̃ j
i (HFλ)ϕ,ψ))+
+
s−1∑
j=1
j∑
i=1
(P j
i ((λB − gC0)H)dp+j−1, ψ) + (dp+s−1, ψ) = 0. (48)
Оскiльки P p+s−1
p (λ) = pλp−1
1 (τ)λs(τ)+ P̂ p+s−1
p (λ), де вираз P̂ p+s−1
p (λ) мiстить тiльки тi
λi, iндекси яких i < s, а два наступних доданки в (48) мiстять уже вiдомi вирази згiдно з
припущенням iндукцiї, то звiдси знайдемо
λs(τ) = − 1
pλp−1
1
P̂ p+s−1
p (λ) +
p+s−1∑
j=p+1
P p+s−1
j (λ)
j∑
i=1
(−1)i(P̃ j
i (HFλ)ϕ,ψ) +
+
s−1∑
j=1
j∑
i=1
(P j
i ((λB − gC0)H)dp+j−1, ψ) + (dp+s−1, ψ)
. (49)
За допомогою рекурентних формул (47), (49), (41), (36), (37) можна послiдовно визна-
чити будь-якi коефiцiєнти формальних розвинень (19). Iснування похiдних, якi мiстяться
в цих формулах, запезпечується умовою 2◦ та нескiнченною диференцiйовнiстю функцiї
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
ПОБУДОВА ЧАСТИННИХ АСИМПТОТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ ЛIНIЙНИХ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ . . . 419
λ0(τ), вектор-функцiй ϕ(τ), ψ(τ) i матрицi H(τ). Згiдно з (47) таким способом будується
p рiзних лiнiйно незалежних формальних розв’язкiв системи (1).
Теорему доведено.
Використовуючи методи робiт [1, 2] та результати асимптотичного аналiзу загаль-
ного розв’язку вироджених лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь, проведеного в [2],
можна показати, що побудованi описаним способом формальнi розв’язки системи (1) ма-
ють асимптотичний характер при ε → 0. А саме, якщо вироджена система диференцi-
альних рiвнянь B(τ)
dx(t, ε)
dt
= A(τ, ε)x(t, ε) при досить малих ε > 0 задовольняє умови
теореми про звiднiсть до центральної канонiчної форми [2, c. 62] i елементи спектра мат-
ричних в’язок A(τ, ε)−λB(τ), B(τ)−ωA(τ, ε) такi, що їх дiйснi частини не змiнюють знак
на заданому вiдрiзку [0;T ], то для кожного формального розв’язку системи (1) iснує такий
точний розв’язок x̃(t, ε), що при будь-якому t ∈ [0;L], L <
T
ε
, виконується нерiвнiсть
‖xm(t, ε)− x̃(t, ε)‖ ≤ cµm+1−r exp
1
ε
τ∫
0
λm(s, ε) ds
,
де xm(t, ε) — m-те наближення, утворене з формального розв’язку (18) шляхом обриван-
ня вiдповiдних розвинень (19) на m-му членi; r — натуральне число, яке визначається
структурою спектра граничних матричних в’язок A0(τ) − λB(τ), B(τ) − ωA0(τ), пове-
дiнкою збурювальних матриць Ak(τ), k = 1, 2, . . . , та числом L; c — деяка стала, що не
залежить вiд ε.
1. Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Пидченко Ю. П., Сотниченко Н. А. Асимптотические методы в теории
линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — Киев: Наук. думка, 1981.
— 294 с.
2. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з вироджен-
ням. — Київ: Вища шк., 2000. — 294 с.
3. Самусенко П. Ф. Побудова асимптотичних розв’язкiв систем диференцiальних рiвнянь з вiдхиленням
аргументу та виродженою матрицею при похiдних // Нелiнiйнi коливання. — 2002. — 5, № 4. — С. 527 –
539.
4. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1974. — Т. 3, ч. 1. — 323 с.
5. Sibuya Y. Some global properties of functions of one variable // Math. Anal. — 1965. — 161, № 1. — P. 67 – 77.
Одержано 18.12.08
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 3
|