Слабко нелiнiйнi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в критичному випадку у банаховому просторi
Получены необходимое и достаточное условия существования решений слабонелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Предложен сходящийся итерационный процесс нахождения решения. Установлена связь между необходимым и достаточным условиями. We obtain necessary and s...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174964 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Слабко нелiнiйнi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в критичному випадку у банаховому просторi / О.А. Бойчук, Є.В. Панасенко // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 483-496. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174964 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бойчук, О.А. Панасенко, Є.В. 2021-01-28T21:01:25Z 2021-01-28T21:01:25Z 2010 Слабко нелiнiйнi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в критичному випадку у банаховому просторi / О.А. Бойчук, Є.В. Панасенко // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 483-496. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174964 517.9 Получены необходимое и достаточное условия существования решений слабонелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Предложен сходящийся итерационный процесс нахождения решения. Установлена связь между необходимым и достаточным условиями. We obtain necessary and sufficient conditions for existence of solutions to weakly nonlinear boundaryvalue problems for differential equations in a Banach space. A convergent iteration procedure for finding a solution is proposed. We also give a connection between necessary and sufficient conditions. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Слабко нелiнiйнi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в критичному випадку у банаховому просторi Слабо нелинейные краевые задачи для дифференциальных уравнений в критическом случае в банаховом пространстве Weakly nonlinear boundary-value problems for differential equations in a Banach space in critical case Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Слабко нелiнiйнi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в критичному випадку у банаховому просторi |
| spellingShingle |
Слабко нелiнiйнi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в критичному випадку у банаховому просторi Бойчук, О.А. Панасенко, Є.В. |
| title_short |
Слабко нелiнiйнi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в критичному випадку у банаховому просторi |
| title_full |
Слабко нелiнiйнi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в критичному випадку у банаховому просторi |
| title_fullStr |
Слабко нелiнiйнi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в критичному випадку у банаховому просторi |
| title_full_unstemmed |
Слабко нелiнiйнi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в критичному випадку у банаховому просторi |
| title_sort |
слабко нелiнiйнi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в критичному випадку у банаховому просторi |
| author |
Бойчук, О.А. Панасенко, Є.В. |
| author_facet |
Бойчук, О.А. Панасенко, Є.В. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Слабо нелинейные краевые задачи для дифференциальных уравнений в критическом случае в банаховом пространстве Weakly nonlinear boundary-value problems for differential equations in a Banach space in critical case |
| description |
Получены необходимое и достаточное условия существования решений слабонелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Предложен сходящийся итерационный процесс нахождения решения. Установлена связь между необходимым и достаточным условиями.
We obtain necessary and sufficient conditions for existence of solutions to weakly nonlinear boundaryvalue problems for differential equations in a Banach space. A convergent iteration procedure for finding
a solution is proposed. We also give a connection between necessary and sufficient conditions.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174964 |
| citation_txt |
Слабко нелiнiйнi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в критичному випадку у банаховому просторi / О.А. Бойчук, Є.В. Панасенко // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 483-496. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT boičukoa slabkoneliniinikraiovizadačidlâdiferencialʹnihrivnânʹvkritičnomuvipadkuubanahovomuprostori AT panasenkoêv slabkoneliniinikraiovizadačidlâdiferencialʹnihrivnânʹvkritičnomuvipadkuubanahovomuprostori AT boičukoa slabonelineinyekraevyezadačidlâdifferencialʹnyhuravneniivkritičeskomslučaevbanahovomprostranstve AT panasenkoêv slabonelineinyekraevyezadačidlâdifferencialʹnyhuravneniivkritičeskomslučaevbanahovomprostranstve AT boičukoa weaklynonlinearboundaryvalueproblemsfordifferentialequationsinabanachspaceincriticalcase AT panasenkoêv weaklynonlinearboundaryvalueproblemsfordifferentialequationsinabanachspaceincriticalcase |
| first_indexed |
2025-11-25T23:55:35Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:55:35Z |
| _version_ |
1850590674392449024 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI
ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
У КРИТИЧНОМУ ВИПАДКУ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI
О. А. Бойчук
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
е-mail: boichuk@imath.kiev.ua
Є. В. Панасенко
Запорiз. нац. ун-т
Україна, 69600, Запорiжжя, вул. Жуковського, 66
e-mail: innovatory@rambler.ru
We obtain necessary and sufficient conditions for existence of solutions to weakly nonlinear boundary-
value problems for differential equations in a Banach space. A convergent iteration procedure for finding
a solution is proposed. We also give a connection between necessary and sufficient conditions.
Получены необходимое и достаточное условия существования решений слабонелинейных крае-
вых задач для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Предложен сходящий-
ся итерационный процесс нахождения решения. Установлена связь между необходимым и дос-
таточным условиями.
1. Постановка задачi та попереднiй результат. Розглянемо у банаховому просторi B1 кра-
йову задачу для нелiнiйного диференцiального рiвняння з малим невiд’ємним параметром
ε вигляду
dx(t)
dt
= A(t)x(t) + εZ(x, t, ε) + f(t), (1)
`x(·) = α+ εJ(x(·, ε), ε), (2)
де вектор-функцiя f(t) дiє з вiдрiзка [a; b] у банахiв простiр B1 : f(t) ∈ C ([a; b],B1) :=
:= {f(·) : [a; b] → B1, |||f ||| = supt∈[a;b] ‖f(t)‖}, C ([a; b],B1) — банахiв простiр неперерв-
них на [a; b] вектор-функцiй; оператор-функцiя A(t), що при кожному t ∈ [a; b] дiє з бана-
хового простору B1 в себе, сильно неперервна [1, c. 141] з нормою |||A||| =
= supt∈[a;b] ‖A(t)‖ < ∞; Z(x, t, ε) — нелiнiйна вектор-функцiя, неперервно диференцi-
йовна за змiнною x в околi породжуючого розв’язку i неперервна по t, ε, тобто Z(·, t, ε) ∈
∈ C1[‖x − x0‖ ≤ q]; Z(x, ·, ε) ∈ C ([a; b],B1) ; Z(x, t, ·) ∈ C[0; ε0], q та ε0 — достатньо ма-
лi константи; α — елемент простору B2 : α ∈ B2; J(x(·, ε), ε) — нелiнiйний обмежений
вектор-функцiонал, неперервно диференцiйовний по x у розумiннi Фреше i неперервний
по ε в околi породжуючого розв’язку. Оператор ` є лiнiйним неперервним на [a; b] вектор-
ним функцiоналом, що дiє з просторуC[a; b] у банахiв простiр B2 : ` : C1([a; b],B1) → B2.
c© О. А. Бойчук, Є. В. Панасенко, 2010
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4 483
484 О. А. БОЙЧУК, Є. В. ПАНАСЕНКО
Тодi пiд розв’язком рiвняння (1) будемо розумiти розв’язок x(t) = x(t, ε) iнтегрально-
го рiвняння
x(t, ε) = x0 +
t∫
a
(A(s)x(s) + εZ(x(s, ε), s, ε) + f(s))ds,
який є неперервно диференцiйовним у кожнiй точцi t ∈ [a; b] i задовольняє рiвняння (1)
скрiзь на [a; b].
Розглянемо критичний випадок, коли вiдповiдна неоднорiдна породжуюча крайова за-
дача має нетривiальний розв’язок x0(t, c) [2]. Будемо шукати умову iснування й алгоритм
побудови розв’язку x = x(t, ε) : x(·, ε) ∈ C1 ([a; b],B1) , x(t, ·) ∈ C[0; ε0] крайової задачi
(1), (2), що перетворюється при ε = 0 в один iз розв’язкiв x0(t, c) = x(t, 0) крайової задачi
dx(t)
dt
= A(t)x(t) + f(t), t ∈ [a; b], (3)
`x(·) = α ∈ B2, (4)
який у подальшому будемо називати породжуючим розв’язком крайової задачi (1), (2).
Згiдно з теоремою [2] породжуюча крайова задача (3), (4) має сiм’ю лiнiйно незалеж-
них розв’язкiв
x0(t, c) = U(t)PN(Q)c+ U(t)Q−α+ (G[f ])(t) (5)
тодi i тiльки тодi, коли неоднорiдностi f(t) ∈ C ([a; b],B1) у диференцiальному рiвняннi
та α ∈ B2 у крайовiй умовi задовольняють умову
PN(Q∗)
α− `
b∫
a
K(·, τ)f(τ)dτ
= 0, (6)
де U(t) — еволюцiйний оператор однорiдного диференцiального рiвняння (3) [1, c. 147],
Q = `U(·) — оператор, отриманий пiдстановкою в крайову умову (4) еволюцiйного опе-
ратора; Q− — узагальнено-обернений оператор до оператора Q [3], PN(Q) = I − Q−Q
i PN(Q∗) = I − QQ− — оператори проектування, якi проектують банахiв простiр B1 на
ядро N(Q) i коядро N(Q∗) оператора Q вiдповiдно; (G[f ])(t) — узагальнений оператор
Грiна задачi (3), (4), який дiє на вектор-функцiю f(t) ∈ C([a; b],B1) таким чином:
(G[f ])(t) :=
b∫
a
K(t, τ)f(τ)dτ − U(t)Q− · `
b∫
a
K(·, τ)f(τ)dτ.
У випадку скiнченновимiрних просторiв B1 = Rn i B2 = Rm дану проблему вирiшено
у роботах [3, 4]. Для перiодичних (m = n, `x = x(a)−x(b) = α = 0) i двоточкових (m = n,
`x = M1x(a)−M2x(b), Mi− (n×n)-матрицi) крайових задач аналогiчнi постановки задач
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 485
розглядались у роботах [5 – 8]. Крiм того, умовам iснування та алгоритму знаходження
обмежених на всiй осi R = (−∞; +∞) розв’язкiв для слабконелiнiйних диференцiальних
рiвнянь у банаховому просторi присвячено статтю [9].
2. Основний результат. Розглянемо питання про необхiднi умови iснування розв’язкiв
x(t, ε) крайової задачi (1), (2) у критичному випадку (PN(Q∗) 6= 0), якi при ε = 0 перетво-
рюються в породжуючий розв’язок x0(t, c) вигляду (5) з константою c = c0 породжуючої
крайової задачi (3), (4).
Для цього накладемо на оператор-функцiюZ(x, t, ε) такi обмеження:Z(·, ·, ·) ∈ C[‖x−
−x0‖ ≤ q]× C([a; b],B1)×C[0; ε0], q та ε0 — достатньо малi константи.
Теорема 1 (необхiдна умова). Нехай виконано умову розв’язностi (6) породжуючої
крайової задачi (3), (4) i критична крайова задача (1), (2) (PN(Q∗) 6= 0) має розв’язок
x(t, ε) : x(·, ε) ∈ C1([a; b],B1), x(t, ·) ∈ C[0; ε0], який перетворюється при ε = 0 в поро-
джуючий розв’язок x0(t, c0) вигляду (5) з константою c = c0. Тодi константа c0 ∈ B1
задовольняє операторне рiвняння
F (c) = PN(Q∗)
J(x0(·, c), 0)− `
b∫
a
K(·, τ)Z(x0(τ, c), τ, 0)dτ
= 0, (7)
яке будемо називати рiвнянням для породжуючих констант крайової задачi (1), (2).
Доведення. Якщо крайова задача (1), (2) має розв’язок, то згiдно з теоремою [2] по-
винна виконуватись умова розв’язностi
PN(Q∗)
α+ εJ(x(·, ε), ε)− `
b∫
a
K(·, τ) (εZ(x(τ, ε), τ, ε) + f(τ)) dτ
= 0.
Враховуючи умову розв’язностi (6), отримуємо рiвнiсть при ε 6= 0 :
PN(Q∗)ε
J(x(·, ε), ε)− `
b∫
a
K(·, τ)Z(x(τ, ε), τ, ε) dτ
= 0.
Враховуючи неперервнiсть по t i ε оператор-функцiї Z(x, t, ε) та переходячи до грани-
цi при ε → 0, x(t, ε) → x0(t, c0), одержуємо
F (c0) = PN(Q∗)
J(x0(·, c0), 0)− `
b∫
a
K(·, τ)Z(x0(t, c0), τ, 0) dτ
= 0, (8)
що i доводить теорему.
Якщо рiвняння (8) має розв’язок, то елемент c0 обумовлює той породжуючий розв’я-
зок x0(t, c0), якому може вiдповiдати розв’язок x(t, ·) ∈ C[0; ε0], x(t, 0) = x0(t, c0) крайової
задачi (1), (2). Якщо ж рiвняння (8) не має дiйсного розв’язку, то крайова задача (1), (2)
не має шуканого розв’язку в просторi C1([a, b],B1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
486 О. А. БОЙЧУК, Є. В. ПАНАСЕНКО
У випадку перiодичної крайової задачi (1), (2) (m = n, d = r, `x = x(a)−x(b) = α = 0,
B1 = Rn i B2 = Rn) константа c0 має фiзичний змiст — це амплiтуда породжуючого
розв’язку, i тому таке рiвняння у класичнiй теорiї нелiнiйних коливань [7, 8] має назву
„рiвняння для породжуючих амплiтуд” .
Для отримання достатньої умови iснування розв’язку виконаємо у крайовiй задачi (1),
(2) замiну змiнних
x(t, ε) = x0(t, c0) + y(t, ε),
в якiй x0(t, c0) — породжуючий розв’язок (5), c0 — довiльний елемент банахового просто-
ру B1, що задовольняє операторне рiвняння констант (8).
Додатково будемо вимагати, щоб оператор-функцiя Z(x, t, ε) була диференцiйовною
за Фреше в околi породжуючого розв’язку (Z(·, t, ε) ∈ C1[‖x− x0‖ ≤ q]).
Визначимо умови iснування i побудуємо розв’язок y(t, ε) : y(·, ε) ∈ C1([a; b],B1);
y(t, ·) ∈ C[0; ε0], який перетворюється в нульовий розв’язок при ε = 0 крайової задачi
dx0(t, c0)
dt
+
dy(t, ε)
dt
= A(t)x0(t, c0) +A(t)y(t, ε) + εZ(x0(t, c0) + y(t, ε), t, ε) + f(t), (9)
`x0(·, c0) + `y(·, ε) = α+ εJ(x0(·, c0) + y(·, ε), ε). (10)
Враховуючи, що x0(t, c0) є розв’язком крайової задачi (3), (4), iз (9), (10) отримуємо
крайову задачу
dy(t, ε)
dt
= A(t)y(t, ε) + εZ(x0(t, c0) + y(t, ε), t, ε), (11)
`y(·, ε) = εJ(x0(·, c0) + y(·, ε), ε). (12)
Використовуючи неперервну диференцiйовнiсть оператор-функцiї Z(x, t, ε) i вектор-
ного функцiонала J(x(·, ε), ε) по x в околi точки ε = 0, видiляємо у оператор-функцiї
Z(x0(t, c0)+y(t, ε), t, ε) i векторного функцiонала J(x0(t, c0)+y(t, ε), ε) лiнiйну частину по
y i члени нульового порядку по ε. Тодi мають мiсце розвинення
Z(x0(t, c0) + y(t, ε), t, ε) = ϕ0(t, c0) +A1(t)y(t, ε) +R(y(t, ε), t, ε), (13)
J(x0(·, c0) + y(·, ε), ε) = J0(x0(·, c0)) + `1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε), (14)
де
ϕ0(t, c0) = Z(x0(t, c0), t, 0) ∈ C([a; b],B1),
J0(x0(·, c0)) = J(x0(·, c0), 0),
A1(t) = A1(t, c0) =
∂Z(x, t, 0)
∂x
∣∣∣∣
x=x0(t,c0)
∈ C([a; b],B1),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 487
похiдна розумiється в сенсi Фреше; `1y(·, ε) — лiнiйна частина векторного функцiонала
J(x0(·, c0)+y(·, ε), ε).Нелiнiйна оператор-функцiя R(y(t, ε), t, ε) належить класу C1[‖y‖ ≤
≤ q], C([a; b],B1), C[0; ε0]. При цьому
R(0, t, 0) = 0,
∂R(0, t, 0)
∂y
= 0,
R1(0, 0) = 0,
∂R1(0, 0)
∂y
= 0.
Застосуємо до крайової задачi (11), (12) теорему [2], в якiй нелiнiйностi Z(x0(t, c0) +
+y(t, ε), t, ε), J(x0(·, c0) + y(·, ε), ε) формально розглядаємо як неоднорiдностi. Крiм то-
го, формально розв’язок крайової задачi (11), (12) можна записати у виглядi y(t, ε) =
= U(t)PN(Q)c+ y(1)(t, ε). При цьому невiдомий елемент c = c(ε) ∈ B1 i невiдома функцiя
y(1)(t, ε) визначаються вiдповiдно з умови розв’язностi крайової задачi (11), (12) i зобра-
ження y(1)(t, ε) частинного розв’язку крайової задачi
PN(Q∗)ε
[
J0(x0(·, c0)) + `1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε)−
− `
b∫
a
K(·, τ) (ϕ0(t, c0) +A1(t)y(t, ε) +R(y(t, ε), t, ε)) dτ
]
= 0, ε 6= 0,
або
PN(Q∗)
[
J0(x0(·, c0)) + `1
(
U(t)PN(Q)c+ y(1)(·, ε)
)
+R1(y(·, ε), ε)−
−`
b∫
a
K(·, τ)
(
ϕ0(t, c0) +A1(t)
{
U(t)PN(Q)c+ y(1)(τ, ε)
}
+R(y(t, ε), t, ε)
)
dτ
]
= 0,
i
y(1)(t, ε) = ε (G [ϕ0(τ, c0) +A1(τ)y(τ, ε) +R(y(τ, ε), τ, ε)]) (t)+
+ εU(t)Q− {J0(x0(·, c0)) + `1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε)} .
Для знаходження розв’язку y(t, ·) ∈ C[0; ε0], y(t, 0) = 0 крайової задачi (11), (12) отри-
маємо еквiвалентну операторну систему
y(t, ε) = U(t)PN(Q)c+ y(1)(t, ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
488 О. А. БОЙЧУК, Є. В. ПАНАСЕНКО
B0c = −PN(Q∗)
[
`1y
(1)(·, ε) +R1(y(·, ε), ε)−
− `
b∫
a
K(·, τ)
{
A1(τ)y(1)(τ, ε) +R(y(τ, ε), τ, ε)
}
dτ
]
(15)
i
y(1)(t, ε) = ε
(
G
[
ϕ0(τ, c0) +A1(τ)
(
U(t)PN(Q)c+ y(1)(τ, ε)
)
+R(y(τ, ε), τ, ε)
])
(t)+
+ εU(t)Q−
{
J0(x0(·, c0)) + `1
(
U(t)PN(Q)c+ y(1)(·, ε)
)
+R1(y(·, ε), ε)
}
,
де оператор B0 має вигляд
B0 = PN(Q∗)
`1U(·)PN(Q) − `
b∫
a
K(·, τ)A1(τ)U(τ)PN(Q)dτ
. (16)
Припустимо, що оператор B0 : B1 → B2 є узагальнено-оборотним [4, c. 39]. Тодi,
як показано в [10], вiн є нормально-розв’язним i iснують обмеженi проектори PN(B0) :
B1 → N(B0) та PY : B2 → Y, якi iндукують розбиття B1 i B2 у прямi топологiчнi суми
замкнених пiдпросторiв
B1 = N(B0)⊕X,
B2 = Y ⊕R(B0).
Внаслiдок нормальної розв’язностi оператора B0 рiвняння (15) є розв’язним [11] тодi i
тiльки тодi, коли його права частина задовольняє умову
PN(B∗
0 )PN(Q∗)
[
`1y
(1)(·, ε) +R1(y(·, ε), ε)−
− `
b∫
a
K(·, τ)
{
A1(τ)y(1)(τ, ε) +R(y(τ, ε), τ, ε)
}
dτ
]
= 0.
Остання умова виконується, якщо буде виконано умову
PN(B∗
0 )PN(Q∗) = 0. (17)
При умовi (17) операторне рiвняння (15) є розв’язним. В результатi операторна систе-
ма, що еквiвалентна крайовiй задачi (11), (12) у просторi функцiй y(·, ε) ∈ C1([a; b],B1),
y(t, ·) ∈ C[0; ε0], має вид
y(t, ε) = U(t)PN(Q)c+ y(1)(t, ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 489
c = −B−
0 PN(Q∗)
[
`1y
(1)(·, ε) +R1(y(·, ε), ε)−
− `
b∫
a
K(·, τ)
{
A1(τ)y(1)(τ, ε) +R(y(τ, ε), τ, ε)
}
dτ
]
,
(18)
y(1)(t, ε) = ε
(
G
[
ϕ0(τ, c0) +A1(τ)
(
U(t)PN(Q)c+ y(1)(τ, ε)
)
+R(y(τ, ε), τ, ε)
])
(t)+
+ εU(t)Q−
{
J0(x0(·, c0)) + `1
(
U(t)PN(Q)c+ y(1)(·, ε)
)
+R1(y(·, ε), ε)
}
.
Операторна система (18) належить до класу систем вигляду [7], для розв’язання яких
використаємо метод простих iтерацiй.
Введемо допомiжний вектор-стовпець u =
y
c
y(1)
∈ B1 × B1 × B1, що належить
декартовому добутку просторiв B1 на себе, i допомiжний оператор
L1ψ(t) = −B−
0 PN(Q∗)
`1ψ(·)− `
b∫
a
K(·, τ)A1(τ)ψ(τ)dτ
. (19)
Тодi операторну систему (18) можна записати у виглядi
u =
0 U(t)PN(Q) I
0 0 L1
0 0 0
u+ F (u, t, ε), (20)
де I — одиничний оператор i
F (u, t, ε) = col
(
0,−R1(y(·, ε), ε) + `
b∫
a
K(·, τ)R(y(τ, ε), τ, ε) dτ,
ε(G[ϕ0(τ, c0) +A1(τ)(U(t)PN(Q)c+ y(1)(τ, ε)) +R(y(τ, ε), τ, ε)])(t)+
+ εU(t)Q−
{
J0(x0(·, c0)) + `1
(
U(t)PN(Q)c+ y(1)(·, ε)) +R1(y(·, ε), ε)
})
,
F (0, t, 0) = 0,
∂F (0, t, 0)
∂y
= 0.
Операторна система (20) еквiвалентна системi I −U(t)PN(Q) −I
0 I −L1
0 0 I
u = F (u, t, ε).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
490 О. А. БОЙЧУК, Є. В. ПАНАСЕНКО
Введемо позначення
L =
I −U(t)PN(Q) −I
0 I −L1
0 0 I
, F = F (u, t, ε).
Доведемо, що оператор L оборотний i обернений до нього оператор є обмеженим.
Для цього знайдемо в явному виглядi обернений оператор L−1. Вiн iснує внаслiдок струк-
тури клiтинного верхньотрикутного оператора L, головна дiагональ якого складається з
одиничних операторiв. Тому будемо шукати його у виглядi операторної матрицi
L−1 =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
,
де кожна компонента aij — це оператор, що дiє в банаховому просторi B1 (aij : B1 → B1) .
Безпосередньою перевiркою можна переконатися, що оператор L має обмежений
оборотний оператор L−1 :
L−1 =
I U(t)PN(Q) U(t)PN(Q)L1 + I
0 I L1
0 0 I
.
Доведемо обмеженiсть оператора L−1.Покажемо, що iснує константа c1 > 0 така, що
для всiх u ∈ B3
1 виконується нерiвнiсть ‖L−1u‖B3
1
≤ c1‖u‖B3
1
. Ця нерiвнiсть еквiвалентна
наступнiй: iснує константа c2 > 0 така, що для всiх y, c, y(1) ∈ B3
1 виконується нерiвнiсть∣∣∣∣∣
∥∥∥∥∥L−1
y
c
y(1)
∣∣∣∣∣
∥∥∥∥∥
B3
1
≤ c2
(
|||y|||B1 + |||c|||B1 + |||y(1)|||B1
)
,
L−1
y
c
y(1)
=
y + U(t)PN(Q)c+ U(t)PN(Q)L1y
(1) + Iy(1)
c+ L1y
(1)
y(1)
.
Доведемо обмеженiсть норми кожної компоненти вектора в банаховому просторi B1 :
|||U |||B1 = sup
t∈[a;b]
‖U(t)‖ < ∞.
Крiм того, нехай
|||B−
0 |||B1 = b0, |||PN(Q)|||B1 = p̃, |||PN(Q∗)|||B1 = p̃∗,
‖L1ψ(t)‖ =
∥∥∥∥∥∥−B−
0 PN(Q∗)
`1ψ(·)− `
b∫
a
K(·, τ)A1(τ)ψ(τ)dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ b0p̃
∗|||`1||| · |||ψ|||+ ã|||`||| · |||A1||| · |||ψ||| = |||L1|||.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 491
Тому ∣∣∣∥∥∥y + U(·)PN(Q)c+ U(·)PN(Q)L1y
(1) + Iy(1)
∣∣∣∥∥∥
B1
≤
≤ |||y|||B1 + |||U(·)PN(Q)|||B1 |||c|||B1 + |||U(·)PN(Q)L1|||B1 |||y(1)|||B1+
+ |||Iy(1)|||B1 ≤ |||y|||B1 + c3|||c|||B1 + c4|||y(1)|||B1 ,
аналогiчно∣∣∣∥∥∥c+ L1y
(1)
∣∣∣∥∥∥
B1
≤ |||c|||B1 + |||L1|||B1 |||y(1)|||B1 ≤ |||c|||B1 + c5|||y(1)|||B1 .
Отже,∣∣∣∣∣∣
∥∥∥∥∥∥L−1
y
c
y(1)
∣∣∣∣∣∣
∥∥∥∥∥∥
B3
1
≤ |||y|||B1 + (c3 + 1)|||c|||B1 + (c4 + c5 + 1)|||y(1)|||B1 ≤
≤ c2
(
|||y|||B1 + |||c|||B1 + |||y(1)|||B1
)
,
де c2 = max{1, c3 + 1, c4 + c5 + 1}. Таким чином, обмеженiсть оператора L−1 доведено.
Запишемо операторну систему (18) з урахуванням позначень у виглядi
u = L−1F = L−1S(ε)u,
де оператор S(ε) у загальному випадку є нелiнiйним. За рахунок вибору ε та обмеженостi
оператора L−1 можна досягти того, щоб оператор L−1S(ε) був оператором стиску. Тодi з
принципу стискаючих вiдображень [12] буде випливати, що операторна система (18) має
єдину нерухому точку, яка й буде розв’язком крайової задачi (1), (2).
3. Iтерацiйний процес. Побудуємо на основi операторної системи (18) iтерацiйний про-
цес для знаходження розв’язку y(t, ·) ∈ C[0; ε0], y(t, 0) = 0, крайової задачi (11), (12).
Перше наближення y(1)
1 (t, ε) до y(t, ε) покладемо таким:
y
(1)
1 (t, ε) = ε (G [ϕ0(τ, c0)]) (t) + εU(t)Q−J0(x0(·, c0)).
Оператор-функцiя y(1)
1 = y
(1)
1 (t, ε) — частинний розв’язок крайової задачi
ẏ1 = A(t)y1 + εϕ0(t, c0), `y1 = εJ0(x0(·, c0)),
iснує внаслiдок вибору c0 ∈ B1 iз рiвняння (8) для породжуючих констант. Перше на-
ближення y1(t, ε) до шуканого розв’язку y(t, ε) крайової задачi (11), (12) будем вважати
рiвним y
(1)
1 (t, ε). Друге наближення y(1)
2 (t, ε) до y(t, ε) вважатимемо частинним розв’язком
крайової задачi
ẏ2 = A(t)y2 + ε
{
ϕ0(t, c0) +A1(t)
[
U(t)PN(Q)c1 + y
(1)
1 (t, ε)
]
+R(y1(t, ε), t, ε)
}
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
492 О. А. БОЙЧУК, Є. В. ПАНАСЕНКО
`y2 = ε
{
J0(x0(·, c0)) + `1
[
U(·)PN(Q)c1 + y
(1)
1 (·, ε)
]
+R1(y1(·, ε), ε)
}
вигляду
y
(1)
2 (t, ε) = ε
(
G
[
ϕ0(t, c0) +A1(t)
[
U(t)PN(Q)c1 + y
(1)
1 (t, ε)
]
+R(y1(t, ε), t, ε)
])
(t)+
+ εU(t)Q−
{
J0(x0(·, c0)) + `1
[
U(·)PN(Q)c1 + y
(1)
1 (·, ε)
]
+R1(y1(·, ε), ε)
}
.
Iз умови розв’язностi цiєї задачi маємо
PN(Q∗)ε
[
J0(x0(·, c0)) + `1
[
U(·)PN(Q)c1 + y
(1)
1 (·, ε)
]
+R1(y1(·, ε), ε)−
−`
b∫
a
K(·, τ)
(
ϕ0(τ, c0) +A1(τ)
[
U(τ)PN(Q)c1 + y
(1)
1 (τ, ε)
]
+R(y1(τ, ε), τ, ε)
)
dτ
]
= 0, ε 6= 0.
Враховуючи, що елемент c0 задовольняє рiвняння (8), одержуємо систему
B0c1 = −PN(Q∗)
[
`1y
(1)
1 (·, ε) +R1(y1(·, ε), ε)−
− `
b∫
a
K(·, τ)
(
A1(τ)y
(1)
1 (τ, ε) +R(y1(τ, ε), τ, ε)
)
dτ
]
, (21)
де оператор B0 має вигляд (16). Знаходимо перше наближення c1 до c(ε).
Внаслiдок нормальної розв’язностi оператора B0 рiвняння (21) є розв’язним [11] тодi i
лише тодi, коли його права частина задовольняє умову
PN(B∗
0 )PN(Q∗)
[
`1y
(1)
1 (·, ε) +R1(y1(·, ε), ε)−
− `
b∫
a
K(·, τ)
(
A1(τ)y
(1)
1 (τ, ε) +R(y1(τ, ε), τ, ε)
)
dτ
]
= 0. (22)
Умова (22) виконується, якщо буде виконано умову (17), i при цiй же умовi операторне
рiвняння (21) є розв’язним:
c1 = −B−
0 PN(Q∗)
[
`1y
(1)
1 (·, ε) +R1(y1(·, ε), ε)−
− `
b∫
a
K(·, τ)
(
A1(τ)y
(1)
1 (τ, ε) +R(y1(τ, ε), τ, ε)
)
dτ
]
. (23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 493
Друге наближення y(1)
2 (t, ε) до шуканого y(t, ε) запишемо у виглядi
y2(t, ε) = U(t)PN(Q)c1 + y
(1)
2 (t, ε).
Третє наближення y(1)
3 (t, ε) до y(t, ε) вважатимемо частинним розв’язком крайової за-
дачi
ẏ3 = A(t)y3 + ε
{
ϕ0(t, c0) +A1(t)
[
U(t)PN(Q)c2 + y
(1)
2 (t, ε)
]
+R(y2(t, ε), t, ε)
}
,
`y3 = ε
{
J0(x0(·, c0)) + `1
[
U(·)PN(Q)c2 + y
(1)
2 (·, ε)
]
+R1(y2(·, ε), ε)
}
вигляду
y
(1)
3 (t, ε) = ε
(
G
[
ϕ0(t, c0) +A1(t)
[
U(t)PN(Q)c2 + y
(1)
2 (t, ε)
]
+R(y2(t, ε), t, ε)
])
(t)+
+ εU(t)Q−
{
J0(x0(·, c0)) + `1
[
U(·)PN(Q)c2 + y
(1)
2 (·, ε)
]
+R1(y2(·, ε), ε)
}
.
Iз умови розв’язностi цiєї задачi маємо
PN(Q∗)ε
[
J0(x0(·, c0)) + `1
[
U(·)PN(Q)c2 + y
(1)
2 (·, ε)
]
+R1(y2(·, ε), ε)−
−`
b∫
a
K(·, τ)
(
ϕ0(t, c0) +A1(t)
[
U(t)PN(Q)c2 + y
(1)
2 (t, ε)
]
+R(y2(τ, ε), τ, ε)
)
dτ
]
= 0, ε 6= 0.
Враховуючи, що елемент c0 задовольняє рiвняння (8), одержуємо систему
B0c2 = −PN(Q∗)
[
`1y
(1)
2 (·, ε) +R1(y2(·, ε), ε)−
− `
b∫
a
K(·, τ)
(
A1(τ)y
(1)
2 (τ, ε) +R(y2(τ, ε), τ, ε)
)
dτ
]
, (24)
де оператор B0 має вигляд (16). Знаходимо перше наближення c2 до c(ε).
Критерiй розв’язностi операторної системи (24) має вигляд
PN(B∗
0 )PN(Q∗)
[
`1y
(2)
1 (·, ε) +R1(y2(·, ε), ε)−
− `
b∫
a
K(·, τ)
(
A1(τ)y
(1)
2 (τ, ε) +R(y2(τ, ε), τ, ε)
)
dτ
]
= 0. (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
494 О. А. БОЙЧУК, Є. В. ПАНАСЕНКО
Таким чином, якщо PN(B∗
0 )PN(Q∗) = 0, то й умови розв’язностi типу (25) вiдповiдних
операторних систем на кожному кроцi iтерацiйного процесу будуть виконанi. Тому, про-
довжуючи цей процес, для знаходження розв’язку y(t, ·) ∈ C[0; ε0], y(t, 0) = 0 крайової
задачi (11), (12) отримуємо наступний iтерацiйний процес:
ck = −B−
0 PN(Q∗)
[
`1y
(1)
k (·, ε) +R1(yk(·, ε), ε)−
− `
b∫
a
K(·, τ)
(
A1(τ)y
(1)
k (τ, ε) +R(yk(τ, ε), τ, ε)
)
dτ
]
, (26)
y
(1)
k+1(t, ε) = ε
(
G
[
ϕ0(t, c0) +A1(t)[U(t)PN(Q)ck + y
(1)
k (t, ε)] +R(yk(t, ε), t, ε)
])
(t)+
+ εU(t)Q−
{
J0(x0(·, c0)) + `1
[
U(·)PN(Q)ck + y
(1)
k (·, ε)
]
+R1(yk(·, ε), ε)
}
,
yk+1(t, ε) = U(t)PN(Q)ck + y
(1)
k+1(t, ε),
k = 0, 1, 2, . . . , y0(t, ε) = y
(1)
0 (t, ε) = 0. (27)
Таким чином, доведено наступну теорему.
Теорема 2 (достатня умова). Нехай крайова задача (3), (4) при умовi (6) має сiм’ю
розв’язкiв вигляду (5) та оператор B0 задовольняє умови:
1) оператор B0 є узагальнено-оборотним;
2) PN(B∗
0 )PN(Q∗) = 0.
Тодi для будь-якого елемента c = c0 ∈ B1, який задовольняє рiвняння для породжую-
чих констант (7), крайова задача (11), (12) має хоча б один розв’язок y(t, ·) ∈ C[0; ε0],
y(t, 0) = 0. Цей розв’язок можна знайти за допомогою збiжного на [0; ε0] iтерацiйного
процесу (26), (27). Крайова задача (1), (2) має принаймнi один розв’язок x(t, ·) ∈ C[0; ε∗],
який перетворюється при ε = 0 у породжуючий розв’язок x0(t, c0). Цей розв’язок зна-
ходиться за допомогою збiжного iтерацiйного процесу (26), (27) i формули xk(t, ε) =
= x0(t, c0) + yk(t, ε), k = 0, 1, 2, . . . .
4. Зв’язок мiж необхiдною i достатньою умовами. Зв’язок мiж необхiдною i достат-
ньою умовами iснування розв’язкiв слабконелiнiйної крайової задачi у критичному ви-
падку в банаховому просторi встановлює наступне твердження.
Наслiдок. Нехай функцiонал F (c) має похiдну Фреше F (1)(c) для деякого елемента
c0 банахового простору B1, який задовольняє операторне рiвняння для породжуючих
констант (7). Тодi якщо F (1)(c) має обернений оператор, то крайова задача (1), (2) має
єдиний розв’язок для кожного c0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 495
Доведення. Запишемо похiдну Фреше вiд функцiонала F (c) :
F (1)(c)[h] = PN(Q∗)
[
J (1)(v, ε)|v=x0(·,c),ε=0[x
(1)
0 (t, c)[h]]−
− `
b∫
a
K(·, τ)Z(1)(v, τ, ε)|v=x0,ε=0[x
(1)
0 (τ, c)[h]] dτ
]
.
Це зображення випливає з теореми про суперпозицiю диференцiйовних вiдображень у
банаховому просторi [13, c. 131]. Знайдемо похiдну Фреше x(1)
0 (t, c)[h].
Оскiльки x0(t, c) = U(t)PN(Q)c+ U(t)Q−α+ (Gf)(t), то
x
(1)
0 (t, c)[h] =
∂x0(t, c+ λh)
∂λ
∣∣∣∣
λ=0
=
=
∂
∂λ
[
U(t)PN(Q)c+ λU(t)PN(Q)h+ U(t)Q−α+ (Gf)(t)
]∣∣∣∣
λ=0
=
=
∂
∂λ
[
U(t)PN(Q)c
]∣∣∣∣
λ=0
+
∂
∂λ
[
λU(t)PN(Q)h
]∣∣
λ=0
+
+
∂
∂λ
[
U(t)Q−α
]∣∣∣∣
λ=0
+
∂
∂λ
[(Gf)(t)]
∣∣∣∣
λ=0
= U(t)PN(Q)h,
Z(1)(v, τ, ε)
∣∣∣
v=x0,ε=0
= A1(t), J (1)(v, ε)
∣∣∣
v=x0(·,c)
= `1.
Таким чином, маємо
F (1)(c)[h] = PN(Q∗)
`1U(·)PN(Q)[h]− `
b∫
a
K(·, τ)A1(τ)U(τ)PN(Q)dτ [h]
= B0[h].
Оператор B0 є оборотним внаслiдок оборотностi оператора F (1)(c). Завдяки цьому
рiвняння вигляду (15) має єдиний розв’язок, а отже, i крайова задача (1), (2) має єдиний
розв’язок.
Таким чином, умова оборотностi оператораB0 = F (1)(c0) пов’язує мiж собою необхiд-
ну i достатню умови iснування розв’язкiв слабконелiнiйної крайової задачi у критичному
випадку в банаховому просторi.
Зауваження. У випадку скiнченновимiрних просторiв B1 = Rn i B2 = Rm умова обо-
ротностi оператора F (1)(c) еквiвалентна умовi простоти кореня c0 рiвняння для породжу-
ючих констант.
1. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1970. — 536 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
496 О. А. БОЙЧУК, Є. В. ПАНАСЕНКО
2. Бойчук О. А., Панасенко Є. В. Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь в банаховому просторi //
Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 1. — С. 16 – 19.
3. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p.
4. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 320 с.
5. Бойчук А. А. Построение решений двухточечных краевых задач для слабовозмущенных нелинейных
систем в критических случаях // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 10. — С. 1416 – 1420.
6. Бойчук А. А. Краевые задачи для слабовозмущенных систем в критических случаях. — Киев, 1988. —
44 с. — (Препринт / НАН Украины. Ин-т математики).
7. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука,
1979. — 432 с.
8. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. — 491 с.
9. Бойчук О. А., Покутний О. О. Обмеженi розв’язки слабконелiнiйних диференцiальних рiвнянь в ба-
наховому просторi // Нелiнiйнi коливання. — 2008. — 11, № 2. — С. 151 – 159.
10. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971. — 104 с.
11. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 496 с.
12. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1968. — 496 с.
13. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — 2-е изд. — М.: Физматлит,
2005. — 384 с.
14. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. — Киев: Наук. думка, 1990. — 96 с.
15. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Счетные системы дифференциальных уравнений. — Киев: Ин-т
математики НАН Украины, 1993. — 308 с.
Одержано 03.02.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
|