Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри
Получены достаточные условия ограниченности решений нелинейной двупараметрической системы Вольтерра в терминах коэффициентов этой системы. We find sufficient conditions for boundedness of solutions for a two-parameter nonlinear Volterra system
 in terms of coefficients of the system....
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174965 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри / М.Ф. Городнiй, К.В. Лукаш // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 497-500. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860045190544228352 |
|---|---|
| author | Городнiй, М.Ф. Лукаш, К.В. |
| author_facet | Городнiй, М.Ф. Лукаш, К.В. |
| citation_txt | Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри / М.Ф. Городнiй, К.В. Лукаш // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 497-500. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Получены достаточные условия ограниченности решений нелинейной двупараметрической системы Вольтерра в терминах коэффициентов этой системы.
We find sufficient conditions for boundedness of solutions for a two-parameter nonlinear Volterra system
in terms of coefficients of the system.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:57:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
ПРО ОБМЕЖЕНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНОЇ
ДВОПАРАМЕТРИЧНОЇ СИСТЕМИ ВОЛЬТЕРРА
М. Ф. Городнiй, К. В. Лукаш
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 7
e-mail: gorodnii@yandex.ru
We find sufficient conditions for boundedness of solutions for a two-parameter nonlinear Volterra system
in terms of coefficients of the system.
Получены достаточные условия ограниченности решений нелинейной двупараметрической сис-
темы Вольтерра в терминах коэффициентов этой системы.
У данiй статтi розглядається питання про обмеженiсть розв’язку x = {xn,m : n ≥ 0,m ≥
≥ 0} нелiнiйної двопараметричної системи Вольтерра
xn,m = −
n∑
k=0
m∑
j=0
an−k,m−jg(xk,j) + yn,m, n ≥ 0, m ≥ 0, (1)
в якiй {an,m : n ≥ 0,m ≥ 0} — фiксована послiдовнiсть дiйсних чисел, g : R → R —
деяка функцiя, y = {yn,m : n ≥ 0,m ≥ 0} — задана обмежена послiдовнiсть дiйсних
чисел. Аналогiчне питання щодо однопараметричної системи Вольтерра дослiджувалося
в [1]. Про застосування систем Вольтерра див. [2, 3].
У подальшому будемо використовувати такi допомiжнi твердження.
Нехай B — комплексний банахiв простiр iз нормою ‖·‖ та нульовим елементом 0̄; L(B)
— банахiв простiр усiх лiнiйних обмежених операторiв, що дiють iз B в B, I — одиничний
оператор у просторi B.
Розглянемо рiвняння
x + AGx = y, (2)
в якому A ∈ L(B), G : B → B — деякий не обов’язково лiнiйний оператор, y — заданий
елемент iз B.
Має мiсце така теорема.
Теорема 1. Нехай iснують такi сталi L > 0, c > 0, λ ∈ (0; 1), що виконуються умови:
a1) ∀x, y ∈ B : ‖Gx−Gy‖ ≤ L‖x− y‖;
a2) оператор I + cA є неперервно оборотним, а також ‖(I + cA)−1 − I‖ ≤ λ;
a3) ∀x, y ∈ B :
∥∥∥∥x− y − 1
c
(Gx−Gy)
∥∥∥∥ ≤ ‖x− y‖;
a4) G0 = 0.
c© М. Ф. Городнiй, К. В. Лукаш, 2010
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4 497
498 М. Ф. ГОРОДНIЙ, К. В. ЛУКАШ
Тодi для довiльного y ∈ B рiвняння (2) має єдиний розв’язок x ∈ B, до того ж цей
розв’язок задовольняє нерiвнiсть
‖x− y‖ ≤ λL
c(1− λ)
‖y‖. (3)
Доведення. Зафiксуємо y ∈ B. Тодi за умовою a2) рiвняння (2) еквiвалентне рiвнянню
x = Sy x, (4)
де Sy x := (I + cA)−1A(cx−Gx) + (I + cA)−1y.
Доведемо, що вiдображення Sy : B → B є стискаючим. Справдi, для довiльних x, u ∈
∈ B
‖Syx− Syu‖ =
∥∥∥∥x− u− 1
c
(Gx−Gu)− (I + cA)−1
(
x− u− 1
c
(Gx−Gu)
)∥∥∥∥ ,
а отже, за умовами a2) та a3) отримаємо
‖Syx− Syu‖ ≤ λ‖x− u‖.
Оскiльки λ ∈ (0; 1), то, застосувавши до вiдображення Sy : B → B принцип стискаючих
вiдображень, одержимо, що рiвняння (4) має єдиний розв’язок у просторi B.
Покладемо By := {u ∈ B|‖u − y‖ ≤ R}, де R =
λL‖y‖
c(1− λ)
, та доведемо, що Sy(By) ⊂
⊂ By. Справдi, для кожного u ∈ By внаслiдок умов a1), a2) та a4) справджується ланцюг
нерiвностей
‖Syu− y‖ ≤ ‖Sy u− Sy y‖+ ‖Sy y − y‖ ≤ λ‖u− y‖+
1
c
‖(I + cA)−1Gy −Gy‖ ≤
≤ λ‖u− y‖+
λ
c
‖Gy −G0‖ ≤ λ‖u− y‖+
λL
c
‖y‖ ≤
≤ λ
λL‖y‖
c(1− λ)
+
λL
c
‖y‖ =
λL‖y‖
c(1− λ)
.
Отже, за принципом стискаючих вiдображень рiвняння (4) має єдиний розв’язок у прос-
торi By.
Оскiльки рiвняння (4) має єдиний розв’язок у просторi B, то цей розв’язок належить
By, тобто задовольняє нерiвнiсть (3).
Теорему доведено.
Теорема 2. Нехай {pn,m : n ≥ 0,m ≥ 0}— така послiдовнiсть комплексних чисел, що∑∞
n=0
∑∞
m=0 |pn,m| < ∞ i функцiя p(t, s) =
∑∞
n=0
∑∞
m=0 pn,mtnsm не має нулiв на множинi
K2 := {(t, s) ∈ C2 : |t| ≤ 1, |s| ≤ 1}. Тодi знайдеться така послiдовнiсть {dn,m : n ≥ 0,
m ≥ 0} ⊂ C, що
∑∞
n=0
∑∞
m=0 |dn,m| < ∞ i
1
p(t, s)
=
∑∞
n=0
∑∞
m=0 dn,mtn sm, (t, s) ∈ K2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
ПРО ОБМЕЖЕНIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ НЕЛIНIЙНОЇ ДВОПАРАМЕТРИЧНОЇ СИСТЕМИ ВОЛЬТЕРРА 499
Теорема 2 є безпосереднiм наслiдком теореми 3 iз [4] i узагальнює вiдому теорему
Вiнера про абсолютно збiжнi ряди Фур’є на випадок абсолютно збiжних степеневих рядiв
вiд двох змiнних.
Достатнi умови обмеженостi розв’язкiв системи Вольтерра (1) визначає наступна тео-
рема.
Теорема 3. Нехай функцiя g i послiдовнiсть {an,m : n ≥ 0,m ≥ 0} задовольняють
умови:
b1) ∃L > 0 ∀t, s ∈ R : |g(t)− g(s)| ≤ L|t− s|;
b2) ∀t, s ∈ R : |t− s− (g(t)− g(s))| ≤ |t− s|;
b3) g(0) = 0;
b4) a0,0 = 0;
b5)
∑∞
n=0
∑∞
m=0 |an,m| < ∞;
b6) функцiя f(t, s) = 1+
∑∞
n=0
∑∞
m=0 an,mtnsm не має нулiв на множинi K2 i (f(t, s))−1 =
= 1+
∑∞
n=0
∑∞
m=0 qn,mtnsm, де {qn,m : n ≥ 0,m ≥ 0}— така послiдовнiсть дiйсних чисел,
що q0,0 = 0 i λ :=
∑∞
n=0
∑∞
m=0 |qn,m| < 1.
Тодi для довiльної обмеженої послiдовностi система (1) має єдиний обмежений розв’я-
зок x. Цей розв’язок задовольняє нерiвнiсть
sup
n≥0,m≥0
|xn,m − yn,m| ≤
λL
(1− λ)
sup
n≥0,m≥0
|yn,m|.
Доведення. Покладемо
l2∞ :=
{
x = {xn,m : n ≥ 0,m ≥ 0} ⊂ R | ‖x‖∞ := sup
n≥0,m≥0
|xn,m| < ∞
}
.
Тодi (B, ‖ · ‖) = (l2∞, ‖ · ‖∞) — банахiв простiр.
Визначимо вiдображення A та G, якi дiють з B в B, спiввiдношеннями
Au :=
(Au)n,m =
n∑
k=0
m∑
j=0
an−k,m−juk,j |n ≥ 0,m ≥ 0
,
Gu := {(Gu)n,m = g(un,m) | n ≥ 0,m ≥ 0} .
Тодi оператори A та G визначено коректно, A належить L(B) i система (1) еквiвалентна
системi (2). З умов b1) – b3) випливає, що умови a1,) a3,) a4) теореми 1 для цих операторiв
виконуються зi сталими L > 0, c = 1. Перевiримо виконання умови a2).
Розглянемо лiнiйну систему Вольтерра
xn,m = −
n∑
k=0
m∑
j=0
an−k,m−jxk,j + yn,m, n ≥ 0, m ≥ 0. (5)
Неважко переконатись, що розв’язок системи (5) записується у виглядi
xn,m =
n∑
k=0
m∑
j=0
qn−k,m−jyk,j + yn,m, n ≥ 0, m ≥ 0. (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
500 М. Ф. ГОРОДНIЙ, К. В. ЛУКАШ
Тому оператор (I + A)−1 iснує i, згiдно зi спiввiдношеннями (6),
((
(I + A)−1 − I
)
y
)
n,m
=
n∑
k=0
m∑
j=0
qn−k,m−jyk,j , n ≥ 0, m ≥ 0,
а отже, внаслiдок умови b6) виконується нерiвнiсть ‖(I + A)−1 − I‖ ≤ λ.
Таким чином, теорема 3 випливає з теореми 1.
Приклад. Умови теореми 3 виконуються для функцiї g(t) = arctg t, t ∈ R, i послiдов-
ностi a0,0 = 0, an,m = pn qm, n ≥ 0, m ≥ 0, (n, m) 6= (0, 0), де p, q — такi фiксованi дiйснi
числа, що |p|+ |q|+ |pq| < 1. У цьому випадку (f(t, s))−1 = 1− pt− qs++pqts, (t, s) ∈ K2.
1. Городнiй М. Ф. Про обмеженi розв’язки нелiнiйної системи Вольтерри // Нелiнiйнi коливання. — 2002.
— 5, № 2. — С. 149 – 155.
2. Колмановський В. Б. Об асимптотических свойствах решений некоторых нелинейных систем Воль-
терра // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 4. — С. 42 – 45.
3. Гайшун И. В. Системы с дискретным временем. — Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 2001. —
400 с.
4. Bochner S. Phillips R. S. Absolutely convergent Fourier expansions for non-commutative normed rings //
Ann. Math. — 1942. — 43, № 3. — P. 409 – 418.
Одержано 21.10.09
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2010, т . 13, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-174965 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:57:53Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Городнiй, М.Ф. Лукаш, К.В. 2021-01-28T21:01:41Z 2021-01-28T21:01:41Z 2010 Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри / М.Ф. Городнiй, К.В. Лукаш // Нелінійні коливання. — 2010. — Т. 13, № 4. — С. 497-500. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174965 531.36 Получены достаточные условия ограниченности решений нелинейной двупараметрической системы Вольтерра в терминах коэффициентов этой системы. We find sufficient conditions for boundedness of solutions for a two-parameter nonlinear Volterra system
 in terms of coefficients of the system. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри Об ограниченности решений нелинейной двухпараметрической системы Вольтерра On boundedness of solutions of a two-parameter nonlinear Volterra system Article published earlier |
| spellingShingle | Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри Городнiй, М.Ф. Лукаш, К.В. |
| title | Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри |
| title_alt | Об ограниченности решений нелинейной двухпараметрической системы Вольтерра On boundedness of solutions of a two-parameter nonlinear Volterra system |
| title_full | Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри |
| title_fullStr | Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри |
| title_full_unstemmed | Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри |
| title_short | Про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи Вольтерри |
| title_sort | про обмеженість розв’язків нелінійної двопараметричної системи вольтерри |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/174965 |
| work_keys_str_mv | AT gorodniimf proobmeženístʹrozvâzkívnelíníinoídvoparametričnoísistemivolʹterri AT lukaškv proobmeženístʹrozvâzkívnelíníinoídvoparametričnoísistemivolʹterri AT gorodniimf obograničennostirešeniinelineinoidvuhparametričeskoisistemyvolʹterra AT lukaškv obograničennostirešeniinelineinoidvuhparametričeskoisistemyvolʹterra AT gorodniimf onboundednessofsolutionsofatwoparameternonlinearvolterrasystem AT lukaškv onboundednessofsolutionsofatwoparameternonlinearvolterrasystem |