Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов
Методом молекулярной динамики проведено моделирование токовых процессов в пространственно упорядоченной системе поверхностных электронов над жидким гелием (вигнеровском кристалле), расположенной в узком канале. Показано, что электрические поля, прикладываемые к электронной системе при измерениях, мо...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2017
|
| Назва видання: | Физика низких температур |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175152 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов / В.Е. Сивоконь, И.В. Шарапова // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 9. — С. 1303-1315. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175152 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1751522025-02-09T09:52:49Z Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов Surface electrons above liquid helium in a narrow channel. Modeling of current processes Сивоконь, В.Е. Шарапова, И.В. Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Методом молекулярной динамики проведено моделирование токовых процессов в пространственно упорядоченной системе поверхностных электронов над жидким гелием (вигнеровском кристалле), расположенной в узком канале. Показано, что электрические поля, прикладываемые к электронной системе при измерениях, могут приводить к существенной перестройке пространственной конфигурации электронов. Следствием этой перестройки и является измеряемый ток. Показано, что при определенных условиях электроны могут покидать канал, преодолевая энергетический барьер, что приводит к появлению всплесков на токовых характеристиках системы. На основании сравнения результатов моделирования с существующими экспериментальными данными сделан вывод о том, что наблюдаемые в экспериментах эффекты обусловлены исключительно электрон-электронным взаимодействием и влиянием внешних полей и не имеют отношения к особенностям электронриплонного взаимодействия. Методом молекулярної динаміки проведено моделювання струмових процесів у просторово впорядкованій системі поверхневих електронів над рідким гелієм (вігнерівському кристалі), яка розташована у вузькому каналі. Показано, що електричні поля, які прикладено до електронної системи при вимірюваннях, можуть призводити до значної перебудови просторової конфігурації електронів. Наслідком цієї перебудови і є струм, що вимірюється. Показано, що при певних умовах електрони, які долають енергетичний бар’єр, можуть залишати канал, що призводить до появи сплесків на струмових характеристиках системи. На основі порівняння результатів моделювання з існуючими експериментальними даними було зроблено висновок про те, що ефекти, які спостерігались в експериментах, зумовлені виключно електрон-електронною взаємодією та впливом зовнішніх полів та не мають відношення до особливостей електрон-риплонної взаємодії. The molecular dynamics method is used to model electric currents in a spatially ordered system of surface electrons above liquid helium (a Wigner crystal) within a narrow channel. It is shown that electric fields applied to the electron system during measurements can cause a substantial realignment of the spatial configuration of the electrons. The measured current is also a consequence of this realignment. It is shown that under certain conditions, electrons can leave the channel by overcoming an energy barrier, which leads to spikes in the current characteristics of the system. A comparison of the model results with existing experimental data indicates that the experimentally observed effects are caused exclusively by electron-electron interactions and the influence of external fields, but have nothing to do with electron-ripplon interactions. 2017 Article Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов / В.Е. Сивоконь, И.В. Шарапова // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 9. — С. 1303-1315. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 73.20.Q, 73.20.–r, 31.15.xv https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175152 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы |
| spellingShingle |
Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы Сивоконь, В.Е. Шарапова, И.В. Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов Физика низких температур |
| description |
Методом молекулярной динамики проведено моделирование токовых процессов в пространственно упорядоченной системе поверхностных электронов над жидким гелием (вигнеровском кристалле), расположенной в узком канале. Показано, что электрические поля, прикладываемые к электронной системе при измерениях, могут приводить к существенной перестройке пространственной конфигурации электронов. Следствием этой перестройки и является измеряемый ток. Показано, что при определенных условиях электроны могут покидать канал, преодолевая энергетический барьер, что приводит к появлению всплесков на токовых характеристиках системы. На основании сравнения результатов моделирования с существующими экспериментальными данными сделан вывод о том, что наблюдаемые в экспериментах эффекты обусловлены исключительно электрон-электронным взаимодействием и влиянием внешних полей и не имеют отношения к особенностям электронриплонного взаимодействия. |
| format |
Article |
| author |
Сивоконь, В.Е. Шарапова, И.В. |
| author_facet |
Сивоконь, В.Е. Шарапова, И.В. |
| author_sort |
Сивоконь, В.Е. |
| title |
Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов |
| title_short |
Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов |
| title_full |
Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов |
| title_fullStr |
Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов |
| title_full_unstemmed |
Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов |
| title_sort |
поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. моделирование токовых процессов |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Квантовые жидкости и квантовые кpисталлы |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175152 |
| citation_txt |
Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов / В.Е. Сивоконь, И.В. Шарапова // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 9. — С. 1303-1315. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT sivokonʹve poverhnostnyeélektronynadžidkimgeliemvuzkomkanalemodelirovanietokovyhprocessov AT šarapovaiv poverhnostnyeélektronynadžidkimgeliemvuzkomkanalemodelirovanietokovyhprocessov AT sivokonʹve surfaceelectronsaboveliquidheliuminanarrowchannelmodelingofcurrentprocesses AT šarapovaiv surfaceelectronsaboveliquidheliuminanarrowchannelmodelingofcurrentprocesses |
| first_indexed |
2025-11-25T13:10:13Z |
| last_indexed |
2025-11-25T13:10:13Z |
| _version_ |
1849767986628395008 |
| fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 9, c. 1303–1315
Поверхностные электроны над жидким гелием
в узком канале. Моделирование токовых процессов
В.Е. Сивоконь, И.В. Шарапова
Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины
пр. Науки, 47, г. Харьков, 61103, Украина
E-mail: sivokon@ilt.kharkov.ua
Статья поступила в редакцию 5 декабря 2016 г., опубликована онлайн 25 июля 2017 г.
Методом молекулярной динамики проведено моделирование токовых процессов в пространственно
упорядоченной системе поверхностных электронов над жидким гелием (вигнеровском кристалле), рас-
положенной в узком канале. Показано, что электрические поля, прикладываемые к электронной системе
при измерениях, могут приводить к существенной перестройке пространственной конфигурации элек-
тронов. Следствием этой перестройки и является измеряемый ток. Показано, что при определенных ус-
ловиях электроны могут покидать канал, преодолевая энергетический барьер, что приводит к появлению
всплесков на токовых характеристиках системы. На основании сравнения результатов моделирования с
существующими экспериментальными данными сделан вывод о том, что наблюдаемые в экспериментах
эффекты обусловлены исключительно электрон-электронным взаимодействием и влиянием внешних по-
лей и не имеют отношения к особенностям электрон-риплонного взаимодействия.
Методом молекулярної динаміки проведено моделювання струмових процесів у просторово впоряд-
кованій системі поверхневих електронів над рідким гелієм (вігнерівському кристалі), яка розташована
у вузькому каналі. Показано, що електричні поля, які прикладено до електронної системи при вимірю-
ваннях, можуть призводити до значної перебудови просторової конфігурації електронів. Наслідком цієї
перебудови і є струм, що вимірюється. Показано, що при певних умовах електрони, які долають енерге-
тичний бар’єр, можуть залишати канал, що призводить до появи сплесків на струмових характеристиках
системи. На основі порівняння результатів моделювання з існуючими експериментальними даними було
зроблено висновок про те, що ефекти, які спостерігались в експериментах, зумовлені виключно елект-
рон-електронною взаємодією та впливом зовнішніх полів та не мають відношення до особливостей елек-
трон-риплонної взаємодії.
PACS: 73.20.Qt Электронные кристаллы;
73.20.–r Электронные состояния на поверхностях и границах раздела;
31.15.xv Молекулярная динамика и другие численные методы.
Ключевые слова: вигнеровский кристалл, двумерная система, токовые процессы, жидкий гелий, метод
молекулярной динамики.
1. Введение
Поверхностные электроны над жидким гелием пред-
ставляют собой классическую систему частиц с куло-
новским взаимодействием. Квантование движения элек-
тронов в направлении, перпендикулярном поверхности
жидкости, приводит к тому, что при достаточно низких
температурах движение электронов ограничено двумя
пространственными измерениями, а взаимодействуют
они преимущественно с квантованными колебаниями
поверхности жидкости (риплонами). Ввиду малости ди-
электрической проницаемости жидкого гелия подвиж-
ность электронов вдоль поверхности жидкости очень
велика. Одним из наиболее интересных явлений в этой
системе является вигнеровская кристаллизация — об-
разование упорядоченной системы электронов в поле
внешнего однородно распределенного положительного
заряда [1]. Кристаллизация приводит к локализации
электронов, что, естественно, вызывает деформацию
жидкой диэлектрической подложки. Образуется дефор-
© В.Е. Сивоконь, И.В. Шарапова, 2017
В.Е. Сивоконь, И.В. Шарапова
мационный рельеф поверхности жидкости в виде про-
странственно упорядоченного набора локальных про-
гибов поверхности (лунок). В кристаллической фазе
движение электронов вдоль поверхности жидкости су-
щественно изменяется: резко возрастает их эффективная
масса, появляется возможность возбуждения специфи-
ческих колебаний, обусловленных как пространствен-
ным упорядочением, так и наличием лунок (связанные
электрон-риплонные колебания). Взаимодействие элек-
трона и лунки может сильно отличаться в зависимости
от характерного для процесса масштаба времени: в пре-
деле малых скоростей лунка движется вместе с элек-
троном, а в пределе больших скоростей электрон ко-
леблется в статической лунке.
Электронный кристалл (ЭК) над поверхностью жид-
кого гелия со времени своего открытия в 1979 году [2]
интенсивно исследовался как экспериментально, так и
теоретически (см. обзоры [3–5]), но все же существуют
проблемы, в решении которых достаточной ясности до
сих пор не достигнуто. В частности, нет однозначного
понимания того, какими физическими процессами оп-
ределяется зависимость проводимости кристалла от
электрического поля в плоскости электронного слоя
(нелинейная проводимость). Согласно одной из точек
зрения, наблюдаемые нелинейные особенности связы-
вают с потерей пространственного упорядочения в сис-
теме электронов (плавление или динамическое плавление
кристалла) [6,7], которое, в свою очередь, приводит к
изменению и исчезновению деформационного рельефа
жидкости. Другая точка зрения основана на предполо-
жении, что экспериментально обнаруженная зависимость
проводимости кристалла от ведущего поля обусловле-
на особенностями электрон-риплонного взаимодейст-
вия, которые проявляются при движении кристалла как
целого с достаточно большой скоростью вдоль поверх-
ности жидкости (брэгг-черенковское излучение рипло-
нов, соскальзывание кристалла с луночного рельефа
жидкости) [8,9].
Нужно отметить, что оба объяснения основаны в
значительной мере на умозрительных соображениях,
поскольку прямых экспериментальных данных, одно-
значно свидетельствующих в пользу той или иной точ-
ки зрения, нет. Более того, существуют проблемы в
интерпретации самих экспериментальных данных по
нелинейному транспорту ЭК. Проводимость электрон-
ной системы над жидким гелием обычно определяют
емкостным методом в ячейках различной геометрии.
Возбуждающий электрод формирует ведущее поле, при-
водящее к тому, что в электронном слое появляется
ток, вызывающий изменение заряда на приемном элек-
троде и, как следствие, ток во входных цепях измери-
тельного прибора. При емкостном методе измерения
ведущее поле, как правило, неоднородно, а измеряе-
мый ток есть интегральная характеристика всех про-
цессов, связанных с перемещением зарядов в элек-
тронном слое. Для того чтобы из соотношения между
измеренным током и возбуждающим напряжением оп-
ределить проводимость электронного слоя, необходи-
мо, кроме измерительной модели ячейки (эквивалент-
ная схема из сосредоточенных элементов, модель,
основанная на анализе длинной линии и т.п.), сделать
предположения относительно свойств самого электрон-
ного слоя, например, предположить, что проводимость
слоя не зависит от ведущего напряжения, а размеры
слоя фиксированы при всех условиях эксперимента.
Очевидно, что при изучении нелинейных свойств пер-
вое условие не выполняется, поэтому анализ выходно-
го тока в условиях неоднородного ведущего поля и
представление результата в виде усредненной характе-
ристики электронного слоя (проводимости, подвижно-
сти электронов) содержит элемент неопределенности и
является аппаратно зависимым.
Опубликованы результаты экспериментов, в кото-
рых исследуется транспорт электронов в квазиодно-
мерных каналах при возбуждении тока синусоидаль-
ным напряжением на возбуждающем электроде [10] и
при линейном по времени изменении возбуждающего
напряжения [11]. В экспериментах получены интерес-
ные экспериментальные данные: в частности, при ли-
нейной протяжке напряжения обнаружены всплески на
токе в канале, которые зависят от условий эксперимен-
та (температура, внешние поля). Для построения физи-
ческой картины процессов, определяющих токи в ка-
нале, используются представления о соскальзывании
электронов с деформационного рельефа жидкости и
брэгг-черенковском излучении риплонов [12,13], ранее
разработанные при анализе нелинейного транспорта в
электронном кристалле. Никакие альтернативные воз-
можности авторами не рассматриваются.
Предложенное авторами [11] объяснение наблю-
даемых особенностей тока в канале требуют, как и в
работах [12,13], неявных предположений о том, что
электронный кристалл движется в канале с достаточно
большой скоростью и при этом его структура сущест-
венно не нарушается. Оба эти предположения неоче-
видны и никак не следуют из геометрии эксперимента
и способа возбуждения тока в канале. Для более обос-
нованного представления о процессах, протекающих в
электронной системе, нужна дополнительная инфор-
мация. Такая информация может быть получена в ре-
зультате компьютерного моделирования, которое по-
зволяет провести анализ пространственных перестроек
в электронной системе при изменении внешних полей.
Цель настоящей работы — проведение модельных
компьютерных экспериментов по протеканию тока в
системе электронов над жидким гелием в узком канале
при линейном изменении напряжений на возбуждающем
электроде в условиях, сравнимых с условиями экспе-
риментов [11].
1304 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 9
Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов
2. Моделирование
Моделирование проводилось методом молекуляр-
ной динамики (МД). Рассчитывались координаты и
скорости электронов, образующих в плоскости (x,y)
двумерную систему из N частиц (N = 100), находящих-
ся на расстоянии d = 10–4 см в z-направлении от пря-
моугольного прижимающего электрода с размерами
L = 10–2 см и M = 8·10–4 см (рис. 1) и имеющих темпе-
ратуру 10–3–10–1 К. Дополнительно могли учитываться
силы, обусловленные внешними электродами (возбуж-
дающим и охранными). Таким образом, моделировалось
поведение электронов в канале длиной L и шириной M.
Для определения конфигурации электронов в различ-
ных условиях пошагово решалась система уравнений
движения. При заданном временном шаге t∆ координа-
та ( )i tr и скорость ( )i tv i-электрона в плоскости (x,y) в
момент времени t t+ ∆ определяются уравнениями
( )2( )
( ) ( )
2
i
i i i
t
t t t t t
m
+ ∆ = + ∆ + ∆
f
r r v . (1а)
( )
( ) ( ) i
i i
t
t t t t
m
+ ∆ = + ∆
f
v v , (1б)
где ( )i tf — сила, действующая на электрон в момент
времени t ; 1 ...i N= .
В начальный момент времени 0t = электроны рас-
пределены случайным образом в прямоугольнике со
сторонами L и M и имеют случайные скорости, ко-
торые изменяются на каждом шаге, но таким образом,
чтобы выполнялось условие
2
12
N
i
i
m NT
=
=∑ v . (2)
Здесь T — температура. Скорости корректировались
на каждом шаге вычислений для того, чтобы обеспе-
чить выполнение условия constT = . После определения
конфигурации зарядов в момент времени t t+ ∆ вновь
решались уравнения движения с тем же временным ша-
гом t∆ , но с новым исходным временем 't t t= + ∆ и т.д.
Время t∆ выбиралось таким образом, чтобы на каждом
шаге вычислений смещение | ( ) ( ) |i it t t+ ∆ −r r не превы-
шало 210− среднего расстояния между частицами. В
ходе численного эксперимента количество шагов вы-
числений составляло порядка 510 , что достаточно для
образования устойчивой конфигурации частиц.
Силу if , действующую на электрон в плоскости слоя,
можно записать как:
( ) quard2 excit
3
N
j i
i ii i
j i j i
e ⊥
≠
−
= + + +
−
∑
r r
f F F F
r r
, (3)
где первый член обусловлен кулоновским взаимодей-
ствием между электронами, второй член — проекция
силы, действующей на электрон со стороны прижи-
мающего электрода, имеющего конечные размеры, на
плоскость слоя, а третий и четвертый — силы, обус-
ловленные возбуждающим и охранными электродами.
Сила ( )
i
⊥F может быть вычислена в предположении,
что заряд равномерно распределен по прижимающему
электроду с поверхностной плотностью σ (пропорцио-
нальной прижимающему напряжению), а граничными
эффектами можно пренебречь, поскольку выполнено ус-
ловие ,d L M . В этом случае компоненты силы, дейст-
вующей на i -электрон в плоскости слоя со стороны
прижимающего электрода, можно представить в виде
/2 /2
( )
3/22 2 2/2 /2
/2 /2
( )
3/22 2 2/2 /2
( )
( , ) ,
( ) ( )
( )
( , ) .
( ) ( )
M L
i
x i i
M L i i
M L
i
y i i
M L i i
x x
F x y e dy dx
x x y y d
y y
F x y e dy dx
x x y y d
⊥
− −
⊥
− −
′ −
′ ′= σ
′ ′− + − +
′ −
′ ′= σ
′ ′− + − +
∫ ∫
∫ ∫
(4)
После вычисления интегралов получаем:
2 2 2 2 2 2
( )
2 2 2 2 2 2
( )( )
( , ) ln ,
( )( )
p m p m p m
x i i
m m m p p p
y x y d y x y d
F x y e
y x y d y x y d
⊥ − + + + + + +
= σ
+ + + − + + +
2 2 2 2 2 2
( )
2 2 2 2 2 2
( )( )
( , ) ln .
( )( )
p m p m p m
y i i
m m m p p p
x y x d x y x d
F x y e
x y x d x y x d
⊥ − + + + + + +
= σ
+ + + − + + +
(5)
Рис. 1. Расположение электродов при измерениях тока в
электронной системе: общий вид сверху (а), вид сбоку (б) и
область канала и охранных электродов в увеличенном виде
(в). Прижимающий электрод (1), над которым располагается
слой электронов, охранные электроды (2), возбуждающий
электрод (3), приемный электрод (4).
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 9 1305
В.Е. Сивоконь, И.В. Шарапова
Здесь введены обозначения
, , , .
2 2 2 2p i m i p i m i
L L M Mx x x x y y y y= + = − = + = −
Аналогичным образом вычислялись силы, действующие
на электрон со стороны возбуждающего электрода и ох-
ранных электродов.
На рис. 1 представлена схема электродов, отража-
ющая рассматриваемую модель эксперимента. Размеры
электродов выбраны несколько произвольно, но они
сравнимы с теми, которые использовались в экспери-
ментах [11]. В начальный момент времени электроны
находятся на расстоянии d над прижимающим элек-
тродом 1 с размерами L и M. На прижимающий элек-
трод подается напряжение +V⊥. На электронный слой
можно влиять, подавая напряжение на два симметрич-
но расположенных охранных электрода 2. Охранные
электроды расположены в плоскости электронного
слоя и имеют размеры L и 2M. На охранные электроды
может подаваться напряжение – gV . Возбуждающий
электрод 3 предназначен для возбуждения тока в слое
электронов. Он расположен в одной плоскости с при-
жимающим электродом и представляет собой квадрат
со стороной 5·10– 2 см. На него подается напряжение
excV , которое может изменяться со временем. Прием-
ный электрод 4 соединен с входом измерительного
прибора.
2.1. Моделирование тока в канале. Вариант 1
Вначале рассмотрим поведение электронной систе-
мы без учета влияния охранных электродов. Силы в
плоскости электронного слоя, действующие на элек-
трон со стороны прижимающего и охранного электро-
дов, можно рассчитать, используя выражения (5). Ве-
личина σ на каждом электроде зависит от напряжения,
подаваемого на него. В расчете вместо напряжений iV
(где exc— ,iV V gV или V⊥) используются безразмерные
напряжения iV , нормированные на напряжение satV
sat( i iV V V= ⋅ ), соответствующее условию полной экра-
нировки поля satE , созданного прижимающим электро-
дом. Это напряжение легко определить из соотноше-
ний sat sat / 2E V d= и sat 2 sE n e= π . Здесь / ( )sn N L M= ⋅ ,
а e — заряд электрона. Предполагается, что sn eσ = .
Эти оценки, строго говоря, справедливы для бесконеч-
ного электронного слоя и на масштабах много больших
расстояний между электронами, но возможным влия-
нием ограниченности электронной системы и ее дис-
кретности пренебрегаем. Итак, рассмотрим систему из
100N = электронов, находящуюся над прижимающим
электродом, на который подано напряжение 1V⊥ = и
рассчитаем эволюцию этой системы при подаче на
возбуждающий электрод напряжения, изменяющегося
линейно по времени. Иллюстрацией влияния напряже-
ния на возбуждающем электроде на электронную сис-
тему служит рис. 2. Здесь представлена энергия, харак-
теризующая притяжение электрона со стороны при-
жимающего и возбуждающего электродов при разных
постоянных напряжениях exc 0; 0,1; 0, 2V = на возбуж-
дающем электроде. Эта энергия рассчитана как
( ) ( , 0)h xU x dx F x y⊥= ⋅ =∫ . Видно, что при exc 0V = элек-
трон имеет минимальную энергию, находясь в области
канала. При увеличении excV минимум энергии появ-
ляется в области возбуждающего электрода, но пере-
ход из области канала в область возбуждающего элек-
трода связан с преодолением энергетического барьера.
Преодоление барьера происходит тогда, когда энергия
электрона, обусловленная его взаимодействием с элек-
тродами и всеми остальными электронами, превышает
высоту барьера. Вероятность преодоления барьера по-
вышается при повышении температуры электронов. Как
видно на рис. 2, по мере увеличения excV величина
барьера уменьшается, а кроме того, изменяется сила,
действующая на электроны, находящиеся в самом ка-
нале, что вызывает их перераспределение. На рис. 3
показано распределение частиц в канале при условии
exc 0V = , 1V⊥ = . Конфигурация получена из начального
случайного распределения частиц и случайного рас-
пределения их скоростей. Сумма квадратов скоростей
электронов на каждом вычислительном шаге соответ-
ствовала температуре 310T −= К. Границы рисунка со-
ответствуют границам прижимающего электрода. Для
того чтобы проиллюстрировать тонкие особенности в
распределении электронов, используется различный
масштаб по горизонтали и вертикали. При использова-
нии одинакового масштаба при изображении цен-
тральной части канала (рис. 3(б)) хорошо видно, что
электроны в канале образуют кристалл. При наличии
такого распределения частиц в канале на возбуждаю-
щий электрод подавалось положительное напряжение,
возрастающее от exc 0V = до exc 0,027V = , что привело
Рис. 2. Энергия, характеризующая притяжение электрона к
системе электродов при напряжении на прижимающем элек-
троде 1V⊥ = и напряжениях на возбуждающем электроде:
exc 0V = (1); 0,1 (2) и 0,2 (3). Напряжение на охранных элек-
тродах gV = 0.
1306 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 9
Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов
к новому распределению электронов в канале. При
этом часть электронов переместилась в область над
возбуждающим электродом. Полная картина распреде-
ления электронов при условии exc 0,027V = ; 1V⊥ = по-
казана на рис. 4(а), а рис. 4(б) иллюстрирует распреде-
ление электронов в канале. Дальнейшее изменение
напряжения на входном электроде и возврат его к ну-
левому значению exc 0V = приводит не к возвращению
электронов в канал, а к новой конфигурации, показан-
ной звездочками.
Итак, при изменении напряжения на возбуждающем
электроде наблюдается перераспределение заряда в ка-
нале. Скорость перераспределения заряда и особенно-
сти этого перераспределения определяют ток, текущий
в канале. В этот ток дают вклад скорости перемещения
каждого электрона, но в эксперименте измеряется ин-
тегральная характеристика, которая есть результат ус-
реднения по всем электронам в канале. Ток измеряется
с помощью специального измерительного электрода,
на который действует поле со стороны всех электронов
в системе. При перераспределении электронов поле,
действующее на приемный электрод, изменяется, что,
в свою очередь, приводит к перераспределению заряда
во входных цепях измерительного прибора, которое ре-
гистрируется как ток. Мы не обсуждаем здесь детали из-
мерения тока в ходе эксперимента, ограничившись ра-
счетом тока в канале. Поскольку измеряемый ток есть
интегральная величина, то при его расчете необходимо
ввести средние величины, характеризующие заряд в
канале. В начальный момент времени exc 0V = можно
считать, что суммарный заряд электронов в канале
c cq N e= характеризуется x-координатой 0
1 cN
i
c i
x x
N
= ∑ .
Здесь cN — количество электронов в канале, а ix — их
координаты. При изменении напряжения на возбуж-
дающем электроде положение электронов в канале
изменяется. Может измениться и их количество, если
часть электронов покинет канал.
Рис. 3. Расположение электронов в канале при 1V⊥ = , gV = 0 и excV = 0 () и excV = 0,027 (). Весь канал (границы рисунка
соответствуют границам канала) (а); центральная часть канала в одинаковом масштабе по осям (б).
Рис. 4. Расположение электронов при 1V⊥ = , gV = 0, excV = 0,027 (), и после изменения excV от 0,027 до 0 (). (а) — полная
картина, включающая в себя электроны над возбуждающим электродом и (б) — конфигурация электронов, оставшихся в канале.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 9 1307
В.Е. Сивоконь, И.В. Шарапова
Рис. 5. Ток в канале: при изменении возбуждающего напряжения exc 0 0,027V = → (а) и exc 0,027 0V = → (б), соответствующие
диаграммы изменения напряжения (в) и (г).
Рис. 6. Ток в канале: при изменении возбуждающего напряжения exc 0 0,03V = → (а) и exc 0,03 0V = → (б), соответствующие
диаграммы изменения напряжения (в) и (г).
1308 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 9
Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов
При напряжении exc 0V ≠ имеем суммарный заряд
c cq N e=
с координатой 1 cN
i
c i
x x
N
= ∑
. При изменении
напряжения на возбуждающем электроде перемещение
суммарного заряда из одной точки в другую происхо-
дит со средней скоростью
( )
dr
1
( )
cN t
x x
i
c iN t
= ∑
v v , где x
iv
— скорости электронов вдоль канала. Усреднение про-
водится только по тем электронам, которые находятся
в канале. Ток, текущий в канале можно определить как
dr( ) ( ) ( )x
x lJ t en t t= v . Заметим, что дрейфовая скорость
зависит от характера изменения excV , а
( ) / ( )l cn N t d L M= ⋅ — средняя линейная плотность
электронов в канале. Средняя линейная плотность
электронов в канале изменяется, если электроны поки-
дают канал.
На рис. 5(а) показаны результаты расчета зависимо-
сти тока в канале от времени при изменении напряже-
ния на возбуждающем электроде, которое иллюстри-
рует рис. 5(в). Приведены сглаженные значения тока в
канале, поскольку при расчете наблюдается большой
шум, обусловленный, по всей видимости, малым чис-
лом частиц. Ток постоянен до достижения некоторой
величины возбуждающего напряжения, при которой
наблюдаются всплески тока. Эти всплески связаны с
тем, что часть электронов преодолевает энергетиче-
ский барьер и покидает канал, смещаясь в централь-
ную область возбуждающего электрода (рис. 4). Уход
электрона из канала происходит быстро по сравнению
с изменением напряжения на возбуждающем электро-
де, что приводит к быстрому изменению электриче-
ских полей в области канала и всплеску тока. Смещения
же электронов, остающихся в канале, относительно ма-
лы (рис. 3), но связаны с искажением первоначальной,
соответствующей exc 0V = , структуры. Последующее
уменьшение возбуждающего напряжения (рис. 5(г)) не
приводит к возвращению к первоначальному распре-
делению электронов, поскольку электроны, покинувшие
канал, обратно не вернулись, а при exc 0V = заняли но-
вые положения над возбуждающим электродом. Ток,
соответствующий уменьшению excV , показан на рис. 5(б)
в зависимости от времени. Он наблюдается в области
изменения напряжения и постоянен ввиду линейного
по времени изменения напряжения. Ток связан с пере-
распределением электронов в канале. При увеличении
максимального значения excV в область над возбуж-
дающим электродом будет переходить большее коли-
чество электронов, а при дальнейшем уменьшении excV
до нуля часть электронов может вернуться в канал.
Рисунок 6 иллюстрирует токовую картину при измене-
нии excV от нуля до 0,03. Как следует из картины рас-
положения электронов (соответствующий рисунок в
статье не приведен), при увеличении excV канал тремя
порциями покидает 9 электронов, а при возврате excV
Рис. 7. Ток в канале при различных температурах T, К:
31 10 (а);−⋅ 21 10 (б);−⋅ 25 10 (в);−⋅ 28 10 (г)−⋅ при 1V⊥ = ,
0gV = и изменении exc 0 0,024V = → (д).
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 9 1309
В.Е. Сивоконь, И.В. Шарапова
до 0 один из электронов возвращается в канал, причем
уже после того, как изменение напряжения закончи-
лось. На возврат электрона на токовой зависимости ука-
зывает пик в правой части зависимости. В конечном
итоге все электроны должны вернуться в канал, чтобы
восстановить равновесную конфигурацию, но процесс
перераспределения электронов может быть значительно
более медленным, чем процесс уменьшения напряже-
ния на возбуждающем электроде при возврате к нуле-
вому значению и время измерения будет недостаточным
для наблюдения возврата покинувших канал электронов.
Изменение температуры изменяет величины флук-
туаций энергии электронов, а следовательно, и вероят-
ность преодоления барьера, что сказывается на особен-
ностях тока в канале. На рис. 7 показаны результаты
расчета тока в канале при разных температурах:
31 10 ;T −= ⋅ 2 1 10 ;−⋅ 25 10 ;−⋅ 28 10 К−⋅ . Величина excV
изменяется от 0 до 0,024. По мере увеличения темпера-
туры всплески тока начинаются при меньших значени-
ях возбуждающего напряжения, количество всплесков
увеличивается, указывая на то, что количество элек-
тронов, покидающих канал, возрастает.
2.2. Моделирование тока в канале. Вариант 2
В экспериментах при исследовании тока можно су-
щественно влиять на электронную систему в канале, из-
меняя прижимающее напряжение и используя охранные
электроды различной геометрии. Роль этих факторов
можно проанализировать, моделируя измерение тока в
условиях, при которых прижимающее поле заметно
больше, чем поле, соответствующее насыщенному слу-
чаю и используются дополнительные охранные элек-
троды, на которые подается отрицательный потенциал.
Геометрия и расположение этих электродов могут быть
различными. В наших расчетах мы учитываем охран-
ные электроды, расположенные по сторонам канала
(рис. 1), ширина каждого из охранных электродов в два
раза превышает ширину канала.
Увеличение прижимающего напряжения и подача
напряжения на охранные электроды приводит к измене-
нию сил, действующих на электроны со стороны внеш-
них электродов. На рис. 8 показана энергия, связанная
Рис. 8. Энергия электрона, обусловленная прижимающим
электродом при 5V⊥ = и наличии охранного потенциала gV :
0 (1); –1 (2) и –2 (3) на обоих охранных электродах.
Рис. 9. Конфигурации электронов в канале при V⊥ = 5 и gV = 0 (а); –1 (б), –2 (в). Центральная часть конфигурации (б) показана
на рис. (г) при одинаковом масштабе по осям.
1310 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 9
Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов
с прижимающим полем при V⊥ = 5 и различных значе-
ниях охранного потенциала 0 ( );gV 1= –1 (2); –2 (3), а
на рис. 9 — соответствующие конфигурации частиц в
канале. Как хорошо видно, конфигурации электронов,
определяемые внешними полями, могут заметно отли-
чаться от треугольной кристаллической решетки. Наи-
более симметричной оказывается конфигурация элек-
тронов при 1gV = − , которая представляет собой зигзаг.
Рассмотрим протекание тока в канале при такой на-
чальной конфигурации электронов (рис. 9(б)). При по-
даче напряжения excV на возбуждающий электрод в
канале течет ток, пропорциональный скорости измене-
ния напряжения. Это хорошо видно на рис. 10, где по-
казан ток в системе при изменении напряжения excV за
одно и то же время до значений 0,1, 0,2, 0,3. Заметны
особенности тока в виде небольших всплесков, по всей
видимости, обусловленные перестройкой электронов в
канале. Следует отметить, что, несмотря на протекаю-
щий в канале ток, ни один электрон не покидает канал.
Ток обусловлен исключительно изменением положения
электронов в самом канале. Конечные конфигурации
электронов в канале показаны на рис. 11. Они сущест-
венно отличаются от первоначальной и определяются,
кроме взаимодействия самих электронов между собой,
влиянием внешних полей.
По мере дальнейшего увеличения возбуждающего
напряжения достигаются условия, при которых часть
электронов покидает канал, что приводит к появлению
пика на временной зависимости тока (рис. 12(a)). Мак-
Рис. 11. Конфигурации электронов в канале при V⊥ = 5,
1gV = − и постоянном напряжении на возбуждающем элек-
троде exc 0 V = () и exc 0,1 V = () (а) и exc 0,2 V = () и
exc 0,3 V = () (б).
Рис. 10. Ток в канале при изменении возбуждающего напря-
жения exc 0 0,1V = → (1); exc 0 0,2V = → (2) и exc 0 0,3V = → (3).
Прижимающее напряжение V⊥ = 5, а напряжение на охран-
ных электродах 1gV = − .
Рис. 12. Ток в канале при изменении возбуждающего напря-
жения exc 0 0,33V = → (a); exc 0,33 0V = → (б). Прижимающее
напряжение V⊥ = 5, а напряжение на охранных электродах
1gV = − .
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 9 1311
В.Е. Сивоконь, И.В. Шарапова
симальная величина excV при этих расчетах составила
exc 0,33V = .
Конечная конфигурация показана на рис. 13. Видно,
что четыре электрона переместились из канала в об-
ласть, расположенную над центральным электродом
(рис. 13(а), закрытые кружки), а расположение элек-
тронов в канале (рис. 13(б), закрытые кружки) стало
весьма отличным от первоначального. При последую-
щем изменении напряжения от 0,33 до 0 вернуться к
начальной конфигурации электронов не удается, по-
Рис. 13. Расположение электронов при V⊥ = 5, Vg = −1, Vexc = 0,33 () и после изменения Vexc от 0,33 до 0 (): полная
картина (а), электроны в канале (б).
Рис. 14. Ток в канале при изменении возбуждающего напряжения exc 0,3 0,36V = → (а). Расположение электронов при
exc 0,36V = : общая картина (б) и электроны в канале (в). Прижимающее напряжение V⊥ = 5, а напряжение на охранных елек-
тродах 1gV = − .
1312 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 9
Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов
скольку несколько электронов в канал не возвращает-
ся, а занимают новые положения над возбуждающим
электродом. Как следствие, пик на токовой зависимо-
сти не наблюдается (рис. 12(б)).
Наблюдаемая токовая картина в канале зависит от
скорости изменения напряжения на возбуждающем
электроде. На рис. 14 и 15 показаны зависимости тока
от времени для двух скоростей протяжки. В обоих слу-
чаях медленная протяжка производится после дости-
жения значений excV = 0,3 и 0,36. При достижении не-
которого значения excV (рис. 14) на зависимости тока
от времени появляются всплески, которые связаны с
тем, что электроны начинают покидать канал. Вспле-
ски тока расположены более или менее регулярно. При
меньшей скорости изменения возбуждающего напря-
жения расстояния между пиками увеличиваются. По
мере того, как электроны покидают канал и суммар-
ный заряд в канале уменьшается, величина тока в ка-
нале тоже уменьшается, что проявляется в виде
уменьшения амплитуды всплесков. Ширина пиков не
несет особого физического смысла, поскольку связана
с выбранной процедурой сглаживания, а в реальном
физическом эксперименте она определяется, по всей
видимости, параметрами входных цепей измеритель-
ных приборов.
3. Оценка измерительного тока
Представляет интерес возможность оценки по ре-
зультатам моделирования измерительного тока, кото-
рый наблюдался бы в рассмотренной системе при экс-
периментальных исследованиях. Ток, который получен
при моделировании — это величина, отражающая пе-
ремещение электронов непосредственно в канале. Ток,
который измеряется в эксперименте — это ток, теку-
щий во входных цепях измерительного прибора. Оче-
видно, что измеренный ток является результатом пе-
ремещения электронов в канале, но для установления
взаимосвязи между ними, нужно более внимательно
проанализировать процесс измерения.
На рис. 1(а) схематически изображены электроды,
которые определяют поведение электронной системы.
На возбуждающий электрод 3, при измерениях подает-
ся напряжение с линейной разверткой, а приемный
электрод соединен с входом измерительного прибора.
В эксперименте измеряется ток, который отражает
скорость изменения заряда на этом электроде. Перед
началом измерения тока в канале находится электрон-
ный кристалл некоторой плотности. Поданы соответ-
ствующие напряжения на прижимающий электрод и
охранные электроды. Электроды влияют друг на друга,
Рис. 15. Ток в канале при изменении возбуждающего напряжения exc 0,36 0,39V = → (а). Расположение электронов при
exc 0,39V = : общая картина (б) и электроны в канале (в). Прижимающее напряжение V⊥ = 5, а напряжение на охранных элек-
тродах 1gV = − .
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 9 1313
В.Е. Сивоконь, И.В. Шарапова
на возбуждающий и приемный электрод, и на электроны
в кристалле посредством создаваемых ими электриче-
ских полей. Электроны, в свою очередь, воздействуют
на электроды. При статических условиях существует
некоторая равновесная конфигурация полей. При по-
даче напряжения на возбуждающий электрод конфи-
гурация полей изменяется. Это приводит к смещению
и пространственной перестройке электронов в канале
(при определенных условиях электроны могут даже по-
кинуть канал) и, как следствие, изменению поля, дей-
ствующего со стороны электронов на измерительный
электрод. Для компенсации этого изменения поля изме-
няется заряд на электроде. Это изменение заряда обес-
печивает ток, который начинает течь во входных цепях
измерительного прибора. Для того чтобы при модели-
ровании оценить этот ток, нужно определить связь
между изменением конфигурации электронов в канале
и изменением заряда на входном электроде. Естествен-
но предположить, что заряд, который появится на при-
емном электроде при изменении конфигурации электро-
нов, равен заряду, который будучи размещенным на
входном электроде, привел бы к такому же изменению
конфигурации электронов. Для проверки этого пред-
положения было проведено моделирование перестрой-
ки электронной системы при двух условиях: при подаче
на возбуждающий электрод напряжения, изменяюще-
гося от 0 до excV+ , и при подаче на приемный электрод
напряжения от 0 до (1)
excV− . Соответствующие конфигу-
рации приведены на рис. 16(а). Видно, что конфигура-
ции не идентичны, но достаточно близки одна к другой.
Интегральной характеристикой, описывающей смеще-
ние электронов служит среднее значение х-координаты
электронов в канале (рис. 16(б)). Зависимости весьма
близки при несколько отличающихся величинах excV и
(1)
excV , что позволяет оценить величину появляющегося
на входном электроде заряда при изменении конфигу-
рации электронов в канале. Сила, действующая на элек-
трон, со стороны электрода (прижимающего, входного,
возбуждающего или охранного), пропорциональна плот-
ности заряда σ на нем, формула 4, и, следовательно,
подаваемому на электрод напряжению. Поскольку поле,
соответствующее напряжению 1V⊥ = , полностью экра-
нируется слоем электронов с плотностью sn , то очевид-
но, что при подаче напряжения (1)
excV на входной элек-
трод на нем появляется заряд (1)
in excsq en V S= , где S —
площадь входного электрода, а ток, соответственно,
равен /j q t= ∆ , где t∆ — время изменения напряжения.
Для расчета при условиях V⊥ = 5, 1gV = − , exc 0,3V =
(расчет для тока в канале приведен на рис. 10) при экс-
периментальных исследованиях ток должен составить
91,2 1 А0j −= ⋅ .
Выводы
Таким образом, в работе проведено моделирование
токовых процессов в системе поверхностных электро-
нов над жидким гелием, расположенной в узком канале.
Моделирование проводилось методом молекулярной
динамики. Возбуждение тока в системе было обуслов-
лено линейным изменением напряжения на возбужда-
ющем электроде подобно тому, как это реализуется в
эксперименте [11]. Полученные в расчете результаты
качественно согласуются с экспериментальными дан-
ными. Обнаружено, что при изменении напряжения на
возбуждающем электроде электроны в канале сущест-
венно перестраивают свою пространственную конфи-
гурацию, а не смещаются с сохранением первоначаль-
ной структуры. Процесс перестройки конфигурации
сопровождается перемещением суммарного заряда в
канале, то есть током.
При достаточно большом возбуждающем напряже-
нии часть электронов покидает канал, что приводит к
скачкообразному изменению поля в канале и, как след-
ствие, появлению пиков на зависимости тока в канале
от времени. Выход электрона из канала связан с пре-
одолением энергетического барьера, который форми-
руется в результате действия электрических полей,
обусловленных внешними электродами. Барьер несим-
Рис. 16. Конфигурация электронов exc 0,3V = на возбуждаю-
щем электроде () и exc 0,38V = − на приемном электроде ().
5V⊥ = , 1gV = − (а), зависимость средней величины х-коор-
динаты электронов в канале при изменении напряжения на
возбуждающем (1) и приемном электродах (2) (б).
1314 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 9
Поверхностные электроны над жидким гелием в узком канале. Моделирование токовых процессов
метричен, вследствие чего процесс ухода электронов
из канала не полностью обратим и изменения возбуж-
дающего напряжения от 0 до excV+ и от excV+ до 0
приводят к разным токовым зависимостям. С ростом
температуры при прочих равных условиях вероятность
того, что электрон покинет канал, возрастает.
Увеличение возбуждающего напряжения и подача
напряжения на охранные электроды качественно кар-
тину не меняют.
Нужно отметить, что при моделировании никак не
учитывалось взаимодействие электронов с поверхностью
гелия, рассматривалось только электрон-электронное
взаимодействие. Тем не менее полученные в расчетах
результаты качественно подобны результатам экспе-
риментальных исследований электронов над жидким
гелием в сравнимых условиях [11]. По нашему мне-
нию, для понимания природы явлений, наблюдаемых в
экспериментах по протеканию тока в электронной сис-
теме, в частности в узком канале [11], нет необходимо-
сти привлекать соображения о нелинейности электрон-
риплонного взаимодействия. По всей видимости, роль
электрон-риплонного взаимодействия в таких экспе-
риментах сводится всего лишь к перенормировке эф-
фективной массы электрона. Причиной наблюдаемых в
эксперименте особенностей тока является не движение
электронного кристалла как целого, а перестройка про-
странственной конфигурации электронов, обусловлен-
ная внешними электрическими полями.
Результаты работы могут быть полезны при плани-
ровании экспериментов по изучению поверхностных
электронов и при анализе результатов исследований.
1. R.S. Crandall, Phys. Rev. A 8, 2136 (1973).
2. C.C. Grimes and G. Adams, Phys. Rev. Lett. 42, 795 (1979).
3. В.Б. Шикин, Ю.П. Монарха, Двумерные заряженные
системы в гелии, Мир, Москва (1989).
4. Yuriy Monarkha and Kimitoshi Kono, Two-Dimensional
Coulomb Liquids and Solids, Springer, Heihelberg (2004).
5. Ю.П. Монарха, В.Е. Сивоконь, ФНТ 40, 1355 (2012) [Low
Temp. Phys. 40, 1067 (2012)].
6. В.Е. Сивоконь, К.А. Наседкин, ФНТ 38, 8 (2012) [Low
Temp. Phys. 38, 6 (2012)].
7. В.Е. Сивоконь, К.А. Наседкин, И.В. Шарапова ФНТ 40,
1219 (2014) [Low Temp. Phys. 40, 953 (2014)].
8. K. Shirahama and K. Kono, Phys. Rev. Lett. 74, 781 (1995).
9. K. Kono and K. Shirahama, J. Low Temp. Phys. 104, 237
(1996).
10. H. Ikegami, H. Akimoto, and K. Kono, Phys. Rev. Lett. 102,
046807 (2009).
11. D.G. Rees, N.R. Beysengulov, Juhn-Jong Lin, and K. Kono,
Phys. Rev. Lett. 116, 206801 (2016).
12. M.I. Dykman and Y.G. Rubo, Phys. Rev. Lett. 78, 4813
(1997).
13. W.F. Vinen, J. Phys.: Condens. Matter 11, 9709 (1999).
Surface electrons over liquid helium in a narrow
channel. Modeling of the current processes
V.E. Syvokon and I.V. Sharapova
Modeling of electric current in the spatially ordered
system of surface electrons over liquid helium (Wig-
ner crystal) in a narrow channel are performed by
the molecular dynamics method. It is shown that elec-
tric field, applied to the electron system under meas-
urements can result in the essential spatial rearrange-
ment of the electrons. The rearrangement yields the
measured electric current. It is shown that under cer-
tain conditions the electrons can leave the channel
overcoming an energy barrier. That leads to the cur-
rent spikes. As a result of comparison our results with
the published experimental data we conclude that ob-
served phenomena are due to electron-electron interac-
tion and external electric fields, mainly and do not rely
to features of the electron–ripplon interaction.
PACS: 73.20.Qt Electron solids;
73.20.–r Electron states at surfaces and in-
terfaces;
31.15.xv Molecular dynamics and other nu-
merical methods.
Keywords: Wigner crystal, two-dimensional system,
current processes, liquid helium, molecular dynamics
method.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 9 1315
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevA.8.2136
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.42.795
http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-10639-6
http://dx.doi.org/10.1007/978-3-662-10639-6
http://dx.doi.org/10.1063/1.4770504
http://dx.doi.org/10.1063/1.4770504
http://dx.doi.org/10.1063/1.3678227
http://dx.doi.org/10.1063/1.3678227
http://dx.doi.org/10.1063/1.4901402
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.74.781
http://dx.doi.org/10.1007/BF%2000754096
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.102.046807
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.206801
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.78.4813
http://dx.doi.org/10.1088/0953-8984/11/48/328
1. Введение
2. Моделирование
2.1. Моделирование тока в канале. Вариант 1
2.2. Моделирование тока в канале. Вариант 2
3. Оценка измерительного тока
Выводы
|