Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств
The article is dedicated to the solution of new extremal problems on non-overlapping domains with free poles on a circle and to the extension of some famous results to the case of special classes of open sets.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1753 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств / В.Е. Вьюн // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 13–16. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859625331653083136 |
|---|---|
| author | Вьюн, В.Е. |
| author_facet | Вьюн, В.Е. |
| citation_txt | Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств / В.Е. Вьюн // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 13–16. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.. |
| collection | DSpace DC |
| description | The article is dedicated to the solution of new extremal problems on non-overlapping domains with free poles on a circle and to the extension of some famous results to the case of special classes of open sets.
|
| first_indexed | 2025-11-29T10:57:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.54
© 2007
В.Е. Вьюн
Разделяющее преобразование в экстремальных задачах
о неналегающих областях и для открытых множеств
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Ю. Трохимчуком)
The article is dedicated to the solution of new extremal problems on non-overlapping domains
with free poles on a circle and to the extension of some famous results to the case of special
classes of open sets.
В геометрической теории функций комплексного переменного экстремальные задачи о не-
налегающих областях составляют активно развивающееся направление [1–11]. Работа по-
священа решению новых эктремальных задач о неналегающих областях со свободными по-
люсами на окружности [4, 5, 10]. Получены дальнейшие обобщения и усиления некоторых
известных результатов [8, 10].
Сформулируем основные результаты работы. Пусть C — плоскость комплексных чисел,
C = C
⋃{∞} — ее одноточечная компактификация и R
+ = (0,∞), ∂U = {z ∈ C : |z| = 1}.
Пусть всюду ниже n — натуральное число, n > 3. В плоскости C рассмотрим 2n-лучевую
систему точек A2n = {ak}2n
k=1 такую, что arg a2n+1 = 0 = arg a1 < arg a2 < · · · < arg a2n <
< 2π, ak ∈ ∂U при всех k = 1, 2n. Для каждой 2n-лучевой системы точек определим
набор величин α∗
k({a2k−1}n
k=1) := α∗
k := (1/π)(arg a2k−1 − arg a2k+1) при k = 1, n; обозначим
Λ∗
k := {w ∈ C : arg a2k−1 6 argw 6 arg a2k+1} для всех k = 1, n. Пусть ζk(w) — однознач-
ная ветвь функции ζ(w) = (e−i arg a2k−1w)1/α∗
k , которая реализует однолистное конформное
отображение области Λ∗
k на полуплоскость Im ζ > 0, причем, ζk(a2k−1) = −ζk(a2k+1) = 1,
ζk(a2k) = eiϕk , 0 < ϕk < π для каждого k = 1, n.
Будем говорить, что открытое множество D ⊂ C удовлетворяет условию частичного
неналегания относительно заданной системы точек A2n ⊂ D, если связные компоненты
множества D
⋂
Λ∗
k, содержащие точки a2k−1, a2k, a2k+1, взаимно не пресекаются, k = 1, n
(см., напр., [11]).
Используемые в дальнейшем определения внутреннего радиуса r(B, a) области B от-
носительно содержащейся в ней точки a, квадратичного дифференциала, обобщенной функ-
ции Грина gB(z,w) области B, конденсатора и связанные с ним понятия его емкости
и модуля содержатся, например, в [2–5, 7]. Если B — открытое (не обязательно связное)
множество, a ∈ B, B(a) — содержащая точку a связная компонента множества B, то
r(B, a) := r(B(a), a).
Пусть множество ∆ — объединение всех круговых областей квадратичного дифферен-
циала
Q1(w)dw2 =
(α− 1)w4 − 2(α+ 1)w2 + (α− 1)
(w4 − 1)2
dw2.
Во введенных выше обозначениях справедлива следующая
Теорема. Пусть n > 3, α ∈ (0, 1). Тогда каковы бы ни были 2n-лучевая система точек
A2n = {ak}2n
k=1 такая, что ak ∈ ∂U для каждого k = 1, 2n, и открытое множество D,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 13
A2n ⊂ D ⊂ C, удовлетворяющее условию частичного неналегания относительно A2n,
имеет место неравенство
L
n∏
k=1
r(D,a2k−1)r
α(D,a2k) 6
6
(
n∏
k=1
α∗
k
)α+1( n∏
k=1
sinϕk
)α
{r(∆, 1)r(∆,−1)[r(∆, i)r(∆,−i)]α}n/2, (1)
где
L =
∏
16k<p6n
exp 2gD(a2k−1, a2p−1)
∏
16k6p6n
exp 2
√
αgD(a2k−1, a2p)
∏
16k<p6n
exp 2αgD(a2k, a2p).
Знак равенства в (1) достигается, когда A2n и D являются, соответственно, множест-
вом полюсов и объединением круговых областей квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = wn−2 (α− 1)w2n − 2(α+ 1)wn + (α− 1)
(w2n − 1)2
dw2.
Эта теорема обобщает некоторые результаты о неналегающих областях, установленные
в работах [8, 10].
Доказательство следует схеме, предложенной в работах [10, 11] и использует идеи и ме-
тоды работ [5–7, 9].
Из условий, наложенных на множество D, следует, что множество D обладает функцией
Грина gD(z,w) (вообще говоря, обобщенной).
Пусть E0 = C \D, E(ak, ε) = {w ∈ C : |w − ak| 6 ε}, k = 1, 2n, ε ∈ R
+. Емкость конден-
сатора C(ε), определяемого пластинами E0, E1(ε) :=
n⋃
k=1
E(a2k−1, ε) и E2(ε) :=
n⋃
k=1
E(a2k, ε),
равна
capC(ε) := inf
∫∫ ((
∂ψ
∂x
)2
+
(
∂ψ
∂y
)2)
dxdy,
где точная нижняя грань берется по всем вещественным, непрерывным и липшицевым на C
функциям ψ таким, что ψ|E0
= 0, ψ|E1(ε) = 1 и ψ|E2(ε) =
√
α. Величина |C(ε)| := [capC(ε)]−1
называется модулем конденсатора C(ε). Следуя работам В.Н. Дубинина (см., напр., [6, 7]),
определим разделяющее преобразование конденсатора C(ε) относительно системы функций
{ζk(w)}n
k=1 и системы областей {Λ∗
k}n
k=1. Пусть Ck(ε) = {E(k)
0 , E
(k)
1 (ε), E
(k)
2 (ε)}, где E
(k)
0 —
объединение образа множества E0
⋂
Λ
∗
k при отображении ζk(w) с симметричным ему множе-
ством относительно вещественной оси, E(k)
s (ε) — объединение образа множества Es(ε)
⋂
Λ
∗
k
при том же отображении с симметричным ему множеством относительно вещественной оси,
s = 1, 2, k = 1, n. Тогда (см. [6, 7]) выполняются неравенства
capC(ε) >
1
2
n∑
k=1
Ck(ε) (2)
и, следовательно,
∣∣C(ε)
∣∣ 6 2
(
n∑
k=1
∣∣Ck(ε)
∣∣−1
)
−1
. (3)
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
Применяя теорему 1 из работы [6], получаем асимптотическое равенство
∣∣C(ε)
∣∣ =
1
2π
1
n(1 + α)
log
1
ε
+M(D,A2n) + o(1), ε→ 0, (4)
где M(D,A2n) — приведенный модуль множества D относительно системы точек A2n:
M(D,A2n)=
1
2π
1
[n(1+α)]2
(
n∑
k=1
log r(D,a2k−1)r
α(D,a2k) +
∑
16k<p6n
2gD(a2k−1, a2p−1)+
+
∑
16k6p6n
2
√
αgD(a2k−1, a2p) +
∑
16k<p6n
2αgD(a2k, a2p)
)
. (5)
Пусть для каждого k = 1, n объединение связной компоненты множества ζk(D(a2k−1))
(аналогично для ζk(D(a2k+1))), содержащей точку ω
(1)
k := ζk(a2k−1) (соответственно ω
(3)
k :=
= ζk(a2k+1)), с образом ее симметричного отражения относительно вещественной оси, обо-
значим через Ω
(1)
k (соответственно через Ω
(3)
k ). Далее, объединение связной компоненты мно-
жества ζk(D(a2k)), содержащей точку ω
(2)
k := ζk(a2k), с образом ее симметричного отраже-
ния относительно вещественной оси обозначим через Ω
(2)
k . Причем, если D(a2k)
⋂
∂Λ∗
k 6= ∅,
то Ω
(2)
k — область, содержащая точки ω
(2)
k и ω
(4)
k := ω
(2)
k ; если же D(a2k)
⋂
∂Λ∗
k = ∅, то
Ω
(2)
k — открытое множество, состоящее из двух непересекающихся областей Φ
(2)
k ∋ ω
(2)
k
и Φ
(4)
k ∋ ω
(4)
k . При каждом k = 1, n обозначим Gk = Ω
(1)
k
⋃
Ω
(2)
k
⋃
Ω
(3)
k . Тогда выполняются
следующие равенства:
|ζk(w) − ζk(as)| =
1
α∗
k
|w − as| + o(1), w → as (6)
(k = 1, n, s = 2k−1, 2k+1, 2k). Используя (6) и применяя теорему 1 из работы [6], получаем
асимптотические равенства
|Ck(ε)| =
1
2π
1
2(1 + α)
log
1
ε
+Mk(D,A2n) + o(1), ε→ 0 (7)
(k = 1, n), где
Mk(D,A2n) =
1
2π
1
[2(1 + α)]2
{
log(α∗
k)
2+2αr(Ω
(1)
k , ω
(1)
k )r(Ω
(3)
k , ω
(3)
k ) ×
× [r(Ω
(2)
k , ω
(2)
k,p)r(Ω
(2)
k , ω
(4)
k,p) exp 2gGk
(ω
(2)
k , ω
(4)
k )]α
}
. (8)
Производя необходимые вычисления с учетом (2)–(8), из (3) получаем неравенство
M(D,A2n) 6
2
n2
n∑
k=1
Mk(D,A2n)
и, следовательно,
L
n∏
k=1
r(D,a2k−1)r
α(D,a2k) 6
(
n∏
k=1
α∗
k
)1+α[ n∏
k=1
r(Ω
(1)
k , ω
(1)
k )r(Ω
(3)
k , ω
(3)
k ) ×
× rα(Ω
(2)
k , ω
(2)
k )rα(Ω
(2)
k , ω
(4)
k ) exp 2αgGk
(ω
(2)
k , ω
(4)
k )
]1/2
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 15
Заметим, что ζk(a2k−1) = −ζk(a2k+1) = 1, ζk(a2k) = eiϕk , 0 < ϕk < π, k = 1, n. В результате
конформного автоморфизма C вида δ = (ζ − l)/(1 − ζl), где l — точка пересечения вещест-
венной оси и неевклидовой геодезической, соединяющей точки ω
(2)
k и ω
(4)
k , точки 1, −1, eiϕk
преобразуются, соответственно, в точки 1, −1, i, а образ всего множества Gk обозначим Ĝk.
При этом, повторяя рассуждения из работы [10], имеем
r(Ω
(1)
k , ω
(1)
k )r(Ω
(3)
k , ω
(3)
k )rα(Ω
(2)
k , ω
(2)
k )rα(Ω
(2)
k , ω
(4)
k ) exp 2αgGk
(ω
(2)
k , ω
(4)
k ) 6
6 r(∆, 1)r(∆,−1)rα(∆, i)rα(∆,−i) sin2α ϕk.
Отсюда, приходим к неравенству (1). Утверждение о знаке равенства проверяется непо-
средственно. Теорема доказана.
1. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. –
5. – С. 159–245.
2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
3. Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображения. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
4. Бахтина Г.П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих
областях: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1975. – 11 с.
5. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного //
Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1. – (295). – С. 3–76.
6. Дубинин В.Н. Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения //
Зап. научн. семин. ЛОМИ. – 1997. – 237. – С. 56–73.
7. Дубинин В.Н. Емкости конденсаторов в геометрической теории функций: Учебн. пособие. – Влади-
восток: Изд. Дальневост. ун-та, 2003. – 116 с.
8. Кузьмина Г. В. Метод экстремальной метрики в задачах о максимуме произведения степеней кон-
формных радиусов неналегающих областей при наличии свободных параметров // Зап. науч. сем.
ПОМИ. – 2003. – 302. – С. 52–67.
9. Ковалев Л.В. О трех непересекающихся областях // Дальневост. мат. журн. – 2000. – 1, № 1. – С. 3–7.
10. Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окруж-
ности // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 7. – С. 867–886.
11. Бахтин А.К. Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств //
Доп. НАН України. – 2006. – № 10. – С. 7–13.
Поступило в редакцию 22.01.2007Институт математики НАН Украины, Киев
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1753 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-29T10:57:33Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вьюн, В.Е. 2008-09-02T17:09:37Z 2008-09-02T17:09:37Z 2007 Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств / В.Е. Вьюн // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 13–16. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1753 517.54 The article is dedicated to the solution of new extremal problems on non-overlapping domains with free poles on a circle and to the extension of some famous results to the case of special classes of open sets. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств Article published earlier |
| spellingShingle | Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств Вьюн, В.Е. Математика |
| title | Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств |
| title_full | Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств |
| title_fullStr | Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств |
| title_full_unstemmed | Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств |
| title_short | Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств |
| title_sort | разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1753 |
| work_keys_str_mv | AT vʹûnve razdelâûŝeepreobrazovanievékstremalʹnyhzadačahonenalegaûŝihoblastâhidlâotkrytyhmnožestv |