Задача Коші для нелінійного диференціального рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом
Приведены достаточные условия разрешимости задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с G-секториальным операторным коэффициентом при линейном слагаемом....
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Series: | Нелінійні коливання |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175308 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача Коші для нелінійного диференціального рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом / А.В. Чайковський // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 111-121. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175308 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1753082025-02-09T17:11:25Z Задача Коші для нелінійного диференціального рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом Задача Коши для нелинейного дифференциального уравнения с G-секториальным операторным коэффициентом Cauchy problem for nonlinear differential equation with G-sectorial operator coefficient Чайковський, А.В. Приведены достаточные условия разрешимости задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с G-секториальным операторным коэффициентом при линейном слагаемом. A sufficient conditions for solvability of a Cauchy problem for nonlinear differential equations in a Banach space with a G-sectorial operator coefficient in the linear part are given. 2011 Article Задача Коші для нелінійного диференціального рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом / А.В. Чайковський // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 111-121. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175308 517.98 uk Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Приведены достаточные условия разрешимости задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с G-секториальным операторным коэффициентом при линейном слагаемом. |
| format |
Article |
| author |
Чайковський, А.В. |
| spellingShingle |
Чайковський, А.В. Задача Коші для нелінійного диференціального рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом Нелінійні коливання |
| author_facet |
Чайковський, А.В. |
| author_sort |
Чайковський, А.В. |
| title |
Задача Коші для нелінійного диференціального рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом |
| title_short |
Задача Коші для нелінійного диференціального рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом |
| title_full |
Задача Коші для нелінійного диференціального рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом |
| title_fullStr |
Задача Коші для нелінійного диференціального рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом |
| title_full_unstemmed |
Задача Коші для нелінійного диференціального рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом |
| title_sort |
задача коші для нелінійного диференціального рівняння з g-секторіальним операторним коефіцієнтом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175308 |
| citation_txt |
Задача Коші для нелінійного диференціального рівняння з G-секторіальним операторним коефіцієнтом / А.В. Чайковський // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 111-121. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT čajkovsʹkijav zadačakošídlânelíníjnogodiferencíalʹnogorívnânnâzgsektoríalʹnimoperatornimkoefícíêntom AT čajkovsʹkijav zadačakošidlânelinejnogodifferencialʹnogouravneniâsgsektorialʹnymoperatornymkoéfficientom AT čajkovsʹkijav cauchyproblemfornonlineardifferentialequationwithgsectorialoperatorcoefficient |
| first_indexed |
2025-11-28T11:16:59Z |
| last_indexed |
2025-11-28T11:16:59Z |
| _version_ |
1850032652500860928 |
| fulltext |
УДК 517 . 98
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ
З G-СЕКТОРIАЛЬНИМ ОПЕРАТОРНИМ КОЕФIЦIЄНТОМ
А. В. Чайковський
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 2 корп. 7
A sufficient conditions for solvability of a Cauchy problem for nonlinear differential equations in a Banach
space with a G-sectorial operator coefficient in the linear part are given.
Приведены достаточные условия разрешимости задачи Коши для нелинейных дифференциаль-
ных уравнений в банаховом пространстве с G-секториальным операторным коэффициентом
при линейном слагаемом.
1. Вступ. Нехай (B, || · ||) — комплексний банахiв простiр, I — одиничний оператор, O —
нульовий оператор вB.ДалiD(A), σ(A), Rλ(A) позначають вiдповiдно область визначен-
ня, спектр i резольвенту лiнiйного оператора A.
Нагадаємо, що лiнiйний оператор A : D(B) ⊂ B → B називають секторiальним,
якщо множина D(A) скрiзь щiльна в B та iснують такi сталi a ∈ R, ϕ ∈ (0, π/2), що для
множини
Sa,y := {z ∈ C | z 6= a, | arg(z − a)| < y}
виконуються умови:
1) σ(A) ⊂ Sa,ϕ;
2) ∃C > 0 ∀λ ∈ C \ Sa,y, λ 6= 0 : ||Rλ(A)|| ≤ C
|λ− a|
.
Теорiя секторiальних операторiв i пов’язана з нею теорiя аналiтичних напiвгруп добре
розвиненi i мають численнi застосування (див., наприклад, [1 – 3]). Зокрема, в роботi [1]
наведено достатнi умови, при яких можна стверджувати локальне чи глобальне iснування
розв’язку нелiнiйного диференцiального рiвняння з секторiальним операторним коефiцi-
єнтом. В роботах [4 – 7] розглянуто оператори, спектр яких лежить у вiдповiдному секто-
рi, але резольвента спадає на нескiнченностi повiльнiше, нiж у секторiальних операторiв.
Загальну теорiю операторiв подiбного типу та застосування її до лiнiйних диференцiаль-
них рiвнянь викладено в роботi [8]. У цiй статтi наведено достатнi умови розв’язностi за-
дачi Кошi для вiдповiдних нелiнiйних рiвнянь, якi узагальнюють твердження з роботи [1].
2. Означення i основнi властивостi G-секторiальних операторiв. Наведемо ряд озна-
чень i тверджень щодо властивостей G-секторiальних операторiв, якi викладенi в робо-
тi [8].
Означення 1. Будемо говорити, що функцiя G : [0,+∞) → (0,+∞) належить класу
Ψ, якщо вона задовольняє наступнi умови:
а) G не зростає на [0,+∞);
б) G(t) → 0, t → +∞;
в) функцiя 1/G лiпшицева на [0,+∞).
c© А. В. Чайковський, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 111
112 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Разом з кожною функцiєю G ∈ Ψ будемо розглядати функцiю
H(t) :=
1
t
G
(
1
t
)
, t > 0.
При цьому
G(t) =
1
t
H
(
1
t
)
, t > 0.
Означення 2. Нехай функцiя G належить класу Ψ. Лiнiйний оператор T : D(T ) ⊂
⊂ B → B назвемо G-секторiальним, якщо iснують такi сталi a ∈ R i ϕ ∈
(
0,
π
2
)
, що
для множини Sa,ϕ виконуються умови:
1) σ(T ) ⊂ Sa,ϕ;
2) ∃M > 0 ∀λ /∈ Sa,ϕ : ||Rλ(T )|| ≤ MG(|λ− a|).
Приклад. Кожен секторiальний оператор T єG-секторiальним, якщо покластиG(t) =
= (t+ 1)−1, t ≥ 0.
В роботах [6, 8] наведено приклади операторiв, для яких G(t) = (t + 1)−β, t > 0 (β ∈
∈ (0, 1)), G(t) = (t + 1)−1 lnβ(t + t0), t > 0 (β ∈ (0, 1), t0 > 0), G(t) = ln−β(t + 2), t > 0
(β > 0).
В роботi [8] для G-секторiального оператора T визначаено операторну експоненту
e−Tt, t > 0, та дробовi степенi A−α, Aα, α ∈ Ω, причому
Ω := Ω0 ∪ {1}, Ω0 :=
α > 0 |
1∫
0
tα−1H(t) dt < +∞
.
Зауважимо, що для кожного G-секторiального оператора
(1,+∞) ⊂ Ω0.
Наведемо необхiднi властивостi експонент та степенiв.
Далi розглядатимемо лишеG-секторiальнi оператори T, спектр яких задовольняє умо-
ву
Reσ(T ) > 0,
i покладемо a := 0.
Зауважимо, що iншi випадки зводяться до цього за формулою e−Tt = e−(T−a)te−at.
Теорема 1. Нехай функцiяG належить класу Ψ, T —G-секторiальний оператор. Тодi
справджуються оцiнки:
1) ∀n ≥ 0 ∃Cn > 0 ∀t > 0 : ||Tne−Tt|| ≤ CnH(t)t−n;
2) ∀n ≥ 0 ∃Ln > 0 ∀t1, t2 > 0, min{1, t1} > t2 − t1 > 0 :
||Tn−1(e−Tt1 − e−Tt2)|| ≤ Ln(t2 − t1)H(t1)t−n1 .
Теорема 2. Нехай функцiя G належить класу Ψ, T — G-секторiальний оператор, α ∈
∈ Ω. Тодi:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 113
1) (e−Tt − I)T−α → O, t → 0+;
2) ∃Cα > 0 ∀t > 0 : ||e−TtT−α|| ≤ Cα;
3)
(
(Tt)−1(I − e−Tt)− I
)
T−α → O, t → 0+;
4) якщо додатково виконується умова
∃CH > 0 ∀t1, t2 ∈ (0, R), t1 ≤ t2 : H(t2) ≤ CHH(t1), (1)
то
∀α ∈ Ω ∀n ∈ N, n > α ∃C > 0 ∀s > 0 : ||Tne−TsT−α|| ≤ CH(s)sα−n.
Доведення. Першi три властивостi встановлено в [8]. Встановимо четверту:
∀α ∈ Ω ∀n ∈ N, n > α ∀s > 0 :
||Tne−TsT−α|| =
∥∥∥∥∥∥ 1
Γ(α)
+∞∫
0
tα−1Tne−T (t+s)dt
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ 1
Γ(α)
+∞∫
0
tα−1||Tne−T (t+s)|| dt ≤ 1
Γ(α)
+∞∫
0
tα−1CnH(t+ s)(t+ s)−n dt =
=
sα−n
Γ(α)
+∞∫
0
tα−1CnH(st+ s)(t+ 1)−n dt ≤ H(s)sα−n
Γ(α)
+∞∫
0
tα−1Cn(t+ 1)−n dt.
Зауваження 1. Умова (1) виконується для всiх прикладiв iз роботи [8].
Наслiдок. Нехай функцiя G належить класу Ψ, T — G-секторiальний оператор, α ∈
∈ Ω i x ∈ D(Tα). Тодi:
1) e−Ttx → x, t → 0+;
2) (Tt)−1(I − e−Tt)x → x, t → 0 + .
Позначимо через X0 множину тих x ∈ B, для яких справджуються твердження 1 i 2
останнього наслiдку. Зауважимо, що для секторiального оператора X0 = B, для довiль-
ного G-секторiального оператора
⋃
α∈Ω
D(Tα) ⊂ X0.
3. Задача Кошi для лiнiйного рiвняння.
Означення 3. Нехай f : (0, R) → B, x0 ∈ B. Розв’язком задачi Кошi
x′(t) + Tx(t) = f(t), t ∈ (0, R), x(0) = x0,
назвемо функцiю x ∈ C([0, R), B) таку, що ∀t ∈ (0, R) : x(t) ∈ D(T ), x диференцiйовна
на (0, R) i задовольняє рiвняння та початкову умову.
Наведемо ряд результатiв, що узагальнюють твердження щодо розв’язностi задачi
Кошi, отриманi в [8].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
114 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Теорема 3. Нехай функцiя G належить класу Ψ, T — G-секторiальний оператор, 1 ∈
∈ Ω0(T ), функцiя f : (0, R) → X0 задовольняє такi умови:
∀t ∈ (0, R) ∃εt > 0 ∃Lt > 0 ∃βt ∈ Ω0
∀s1, s2 ∈ (t− εt, t+ εt) ∩ (0, R) : ||f(s1)− f(s2)|| ≤ Lt|s1 − s2|βt (2)
i
t∫
0
H(t− s)||f(s)|| ds → 0, t → 0 + .
Тодi функцiя
F (t) :=
t∫
0
e−T (t−s)f(s) ds, t ∈ (0, R), F (0) = 0,
є розв’язком задачi Кошi
F ′(t) = −TF (t) + f(t), t ∈ (0, R), F (0) = 0.
Доведення повнiстю аналогiчне доведенню теореми 8 [8].
Теорема 4. Нехай функцiя G належить класу Ψ, T — G-секторiальний оператор,
(0, 1) ∩ Ω0(T ) 6= ∅ i виконується умова (1). Нехай також функцiя f ∈ C((0, R], B) i
R∫
0
||f(s)|| ds < +∞.
Тодi:
1) функцiя
F (t) :=
t∫
0
e−T (t−s)f(s) ds, t ∈ (0, R), F (0) = 0,
локально гельдерова на (0, R], причому показник степеня в означеннi гельдеровостi для
кожного промiжку має вигляд 1− α, де α ∈ (0, 1) ∩ Ω0;
2) якщо f ∈ C([0, R], B),то F гельдерова на [0, R] з показником 1−α, де α ∈ (0, 1)∩Ω0;
3) функцiя V = T−1F є розв’язком задачi Кошi
V ′(t) = −TV (t) + T−1f(t), t ∈ (0, R), V (0) = 0.
Доведення. Доведемо локальну гельдеровiсть F .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 115
Нехай t1, t2 ∈ [a, b] ⊂ (0, R), t2 > t1, t2 − t1 < a/2, C := max
t∈[a/2,b]
||f(t)||. Тодi
F (t2)− F (t1) =
4∑
k=1
Jk(t1, t2),
де
J1(t1, t2) =
t2∫
2t1−t2
e−T (t2−s)f(s) ds,
J2(t1, t2) = −
t1∫
2t1−t2
e−T (t1−s)f(s) ds,
J3(t1, t2) =
2t1−t2∫
a/2
(e−T (t2−s) − e−T (t1−s))f(s) ds,
J4(t1, t2) =
a/2∫
0
(e−T (t2−s) − e−T (t1−s))f(s) ds.
Оцiнимо цi iнтеграли, враховуючи теорему 1:
||J1(t1, t2)|| ≤
t2∫
2t1−t2
H(t2 − s)||f(s)|| ds ≤ L1C
2(t2−t1)∫
0
H(s) ds ≤
≤ L1C
2(t2−t1)∫
0
H(s)sα−1 ds(2(t2 − t1))1−α ≤ L1C
2R∫
0
H(s)sα−1 ds(2(t2 − t1))1−α,
||J2(t1, t2)|| ≤
t1∫
2t1−t2
H(t1 − s)||f(s)|| ds ≤ L1C
t2−t1∫
0
H(s) ds ≤
≤ L1C
t2−t1∫
0
H(s)sα−1 ds(t2 − t1)1−α ≤ L1C
R∫
0
H(s)sα−1 ds(t2 − t1)1−α,
||J3(t1, t2)|| ≤ L1C
2t1−t2∫
0
(t2 − t1)(t1 − s)−1H(t1 − s) ds =
= L1C
t1∫
t2−t1
(t2 − t1)s−1H(s) ds ≤ L1C
R∫
0
H(s)sα−1 ds(t2 − t1)1−α,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
116 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
||J4(t1, t2)|| ≤ L1C
a/2∫
0
(t2 − t1)(t1 − s)−1H(t1 − s)||f(s)|| ds ≤
≤ L1C(t2 − t1)
a/2∫
0
2
a
CHH(a/2)||f(s)|| ds.
Якщо f ∈ C([0, R]), то гельдеровiсть доводиться аналогiчно, якщо вибрати [a, b] =
= [0, R].
Покладемо G = T−1F. Тодi при 0 < t1 < t2 < R маємо
G(t2)−G(t1) + F (t1)(t2 − t1) =
t2∫
0
T−1e−T (t2−s)f(s) ds−
−
t1∫
0
T−1e−T (t1−s)f(s) ds+ (t2 − t1)
t1∫
0
e−T (t1−s)f(s) ds =
=
t1∫
0
(T−1e−T (t2−s) − T−1e−T (t1−s) + (t2 − t1)e−T (t1−s))f(s) ds+
+
t2∫
t1
T−1e−T (t2−s)f(s) ds = I1 + I2.
Враховуючи теорему 2, отримуємо
||I1|| ≤ (t2 − t1)L1||T−α(T−1(e−T (t2−t1) − I)(t2 − t1)−1 + I)||
t1∫
0
||TTα−1e−T (t1−s)f(s)|| ds =
=
t1∫
0
C0H(t1 − s)
(t1 − s)α
||f(s)|| ds o(t2 − t1) = o(t2 − t1), t1, t2 → t0, t0 ∈ (0, R).
Крiм того,
||I2 − (t2 − t1)f(t1)|| =
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
t2∫
t1
T−1e−T (t2−s)(f(s)− f(t1))ds
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ C0(t2 − t1) max
s∈[t1,t2]
||f(s)− f(t1)|| =
= o(t2 − t1), t1, t2 → t0, t0 ∈ (0, R).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 117
Доведемо неперервнiсть функцiї V в нулi. Маємо∥∥∥∥∥∥
t∫
0
T−1e−T (t−s)f(s) ds
∥∥∥∥∥∥ ≤ C1
t∫
0
||f(s)|| ds → 0, t → 0 + .
Теорему доведено.
Теорема 5. Нехай виконуються умови теореми 3. Тодi для кожного x0 ∈ X0 iснує
єдиний розв’язок задачi Кошi
x′(t) + Tx(t) = f(t), t ∈ (0, R), x(0) = x0,
причому
x(t) = e−Ttx0 +
t∫
0
e−T (t−s)f(s) ds. (3)
Доведення повнiстю аналогiчне доведенню теореми 9 [8].
Теорема 6. Нехай виконуються умови теореми 4. Тодi для кожного x0 ∈ X0 iснує
єдиний розв’язок задачi Кошi
x′(t) + Tx(t) = T−1f(t), t ∈ (0, R), x(0) = x0,
причому
x(t) = e−Ttx0 +
t∫
0
e−T (t−s)T−1f(s) ds. (4)
Доведення з урахуванням теореми 4 аналогiчне доведенню теореми 9 [8].
4. Задача Кошi для нелiнiйного рiвняння. Нехай U ⊂ (0, R)×B — вiдкрита множина,
f : U → B. Розглянемо задачу Кошi
x′(t) + Tx(t) = f(t, x(t)), t ∈ (0, R), x(0) = x0. (5)
Означення 4. Розв’язком задачi Кошi (5) назвемо функцiю x ∈ C([0, R], B) таку, що
x(0) = x0 i при кожному t ∈ (0, R) : (t, x(t)) ∈ U, x(t) ∈ D(T ), iснує x′(t) i справджується
вiдповiдне диференцiальне рiвняння.
Лема 1. Нехай функцiя G належить класу Ψ, T — G-секторiальний оператор, (0, 1)∩
∩Ω0(T ) 6= ∅ i виконується умова (1). Нехай для довiльної точки (t, x) ∈ U iснує окiл
U1 ⊂ U такий, що
∃Cf > 0 ∃α ∈ (0, 1)∩Ω0(T ) ∃ θ1, θ2 ∈ (0, 1], min{θ1, θ2 ·(1−α)} ∈ Ω ∀(t1, x1), (t2, x2) ∈ U1 :
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
118 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
||f(t1, x1)− f(t2, x2)|| ≤ Cf (|t1 − t2|θ1 + ||x1 − x2||θ2).
Функцiя x ∈ C([0, R], B) є розв’язком задачi Кошi (5) таким, що
t∫
0
H(t− s)||f(s, x(s))|| ds → 0, t → 0+, (6)
тодi i лише тодi, коли справджується рiвнiсть
x(t) = e−Ttx0 +
t∫
0
e−T (t−s)f(s, x(s)) ds, t ∈ [0, R]. (7)
Доведення. З умов на функцiю f випливає, що iнтеграл в твердженнi леми є абсолют-
но збiжним.
Необхiднiсть. Нехай x1 — розв’язок задачi Кошi (5). Розглянемо задачу
z′(t) + Tz(t) = T−1f(t, x1(t)), t ∈ (0, R), z(0) = T−1x0.
За теоремою 7 ця задача має єдиний розв’язок
z(t) = e−TtT−1x0 +
t∫
0
e−T (t−s)T−1f(s, x1(s)) ds, t ∈ (0, R).
З iншого боку, розв’язком цiєї задачi є функцiя T−1x1.
На рiвнiсть z(t) = T−1x1(t), t ∈ (0, R), можна подiяти оператором T. Отримана рiв-
нiсть означає, що x1 — розв’язок (7).
Достатнiсть. Нехай x — розв’язок (7). За теоремою 5 x — локально гельдерова
функцiя з показниками степеня вигляду 1 − α, де α ∈ (0, 1) ∩ Ω0. Доведемо, що функцiя
f1(t) := f(t, x(t)) задовольняє умови теореми 6. При t1, t2 з деякого околу заданої точки
t0 ∈ (0, R) маємо
||f1(t1)− f1(t2)|| ≤ Cf (|t1 − t2|θ1 + ||x(t1)− x(t2)||θ2).
Тому f1 локально гельдерова з показником min{θ1, θ2 ·(1−α)} ∈ Ω. З теореми 6 випливає,
що функцiя x є розв’язком задачi Кошi
x′(t) + Tx(t) = f1(t), t ∈ (0, R), x(0) = x0.
Лему доведено.
Зауваження 2. Лема 1 узагальнює лему 3.3.1 [1] при α = 0 (виконання додаткового
твердження — локальної гельдеровостi функцiї f(t, x(t)) для розв’язку x рiвняння (7) —
легко випливає з доведення леми 1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 119
Зауваження 3. Умову (6) можна замiнити бiльш легкою для перевiрки умовою обме-
женостi функцiї f.
Теорема 7. Нехай f ∈ C([0, R] × B,B), G ∈ Ψ, T — G-секторiальний оператор, x0 ∈
∈ X0, (0, 1) ∩ Ω0(T ) 6= ∅ i виконується умова (1). Нехай також для довiльної точки
(t, x) ∈ [0, R]×B iснує окiл U1 ⊂ [0, R]×B такий, що
∃Cf = Cf (t, x) > 0 ∃α ∈ (0, 1)∩Ω0(T ) ∃θ1 ∈ (0, 1], min{θ1, 1−α} ∈ Ω ∀(t1, x1), (t2, x2) ∈ U1 :
||f(t1, x1)− f(t2, x2)|| ≤ Cf (|t1 − t2|θ1 + ||x1 − x2||).
Тодi iснує R1 ∈ (0, R) таке, що задача Кошi (5) з замiною R на R1 має єдиний розв’я-
зок.
Якщо додатково виконується умова
∃K > 0 ∀(t, x) ∈ [0, R]×B : ||f(t, x)|| ≤ K(1 + ||x||), (8)
то задача Кошi (5) має єдиний розв’язок.
Доведення. Нехай R1 ∈ (0, R), δ > 0 такi, що
[0, R1]× {b ∈ B||b− x0|| ≤ δ}, Y := {y ∈ C([0, R1], B)||y(t)− x0|| ≤ δ}
— повний метричний простiр з рiвномiрною метрикою. Розглянемо вiдображення S :
Y → Y, що дiє за формулою
(Sx)(t) := e−Ttx0 +
t∫
0
e−T (t−s)f(s, x(s)) ds, t ∈ [0, R1], x ∈ Y.
Враховуючи те, що x0 ∈ X0, теорему 5, а також оцiнку
||(Sx)(t)− x0|| ≤ ||e−Ttx0 − x0||+
t∫
0
H(t− s)(||f(0, x0)||+ Cf (0, x0)(sθ1 + ||x(s)− x0||)) ds ≤
≤ (||f(0, x0)||+ Cf (0, x0)(Rθ11 + 1))
R1∫
0
H(s)ds,
приходимо до висновку, що при досить малих R1 вiдображення S визначене коректно.
Крiм того,
||(Sx1)(t)− (Sx2)(t)|| ≤
t∫
0
H(t− s)||f(s, x1(s))− f(s, x2(s))|| ds ≤
≤
t∫
0
H(t− s)Cf ||x1(s)− x2(s)|| ds≤Cf
R1∫
0
H(s) ds||x1 − x2||∞, t ∈ [0, R1].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
120 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Тому при досить малих R1 вiдображення S є стискаючим.
Отже, це вiдображення має єдину нерухому точку в просторi C([0, R1], B). Внаслiдок
обмеженостi функцiї f(s, x(s)) при s ∈ [0, R1] для фiксованого x ∈ C([0, R1], B) викону-
ється умова (6). Тому з леми 1 випливає, що задача Кошi на [0, R1] має єдиний розв’язок.
Нехай β ∈ (0, 1) ∩ Ω0(T ). Тодi x(R1) ∈ D(T β) ⊂ X0. Це означає, що аналогiчно
доводиться однозначна розв’язнiсть задачi Кошi на [R1, R2], [R2, R3] i т. д.
Припустимо, що виконується умова (8), але розв’язок x допускає продовження лише
на промiжок [0, R0), R0 < R. З нерiвностi
||x(t)|| ≤ ||e−Ttx0||+K
t∫
0
H(t− s)(1 + ||x(s)||) ds, t ∈ [0, R0),
та нерiвностi Гронуолла – Беллмана випливає, що функцiя x обмежена на [0, R1), а тому
на цьому промiжку обмежена деякою сталоюK0 функцiя f(s, x(s)).Звiдси при γ ∈ (β, 1)∩
∩Ω0(T ) маємо
||T γx(t)|| =
∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣e−T (t−R1/2)T γx(R1/2) +
t∫
R1/2
T γe−T (t−s)f(s, x(s))ds
∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ ||e−T (t−R1/2)T γx(R1/2)||+K0
R∫
R1/2
(t− s)−γH(t− s)ds, t ∈ [R1, R0).
Тому при R1 < t1 < t2 < R0
||T βx(t2)− T βx(t1)|| =
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣e−T (t2−t1)T βx(t1)− T βx(t1) +
t2∫
t1
e−T (t2−s)f(s, x(s))ds
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ ||(e−T (t2−t1) − I)T β−γx(t1)|| ||T γx(t1)||+
+K0
∥∥∥∥∥∥
t2∫
t1
(t− s)−βH(t− s)ds
∥∥∥∥∥∥ → 0, t1, t2 → R0 − .
Отже, iснує границя lim
t→R0−
x(t) ∈ D(T β) ⊂ X0. Це означає, що розв’язок можна про-
довжити далi вправо за точку R0. Прийшли до суперечностi.
Теорему доведено.
Зауваження 4. Теорема 7 узагальнює теорему 3.3.3 та наслiдок 3.3.5 [1] при α = 0 на
випадок G-секторiального операторного коефiцiєнта.
5. Висновки. В роботi наведено умови розв’язностi задачi Кошi для нелiнiйних дифе-
ренцiальних рiвнянь з G-секторiальним операторним коефiцiєнтом при лiнiйному додан-
ку. Цi результати узагальнюють вiдомi ранiше твердження для рiвнянь з секторiальним
операторним коефiцiєнтом.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 121
1. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М.: Мир, 1985. — 376 с.
2. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.
3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972. — 739 с.
4. Хилле Э., Филлипс Р. С. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. —
830 с.
5. Сильченко Ю. Т., Соболевский П. Е. Разрешимость задачи Коши для эволюционного уравнения в ба-
наховом пространстве с неплотно заданным операторным коэффициентом, порождающим полугруп-
пу с особенностью // Сиб. мат. журн. — 1986. — 27, № 4. — С. 93 – 104.
6. Сильченко Ю. Т. Об одном классе полугрупп // Функцион. анализ и его прил. — 1999. — 33, № 4. —
С. 90 – 93.
7. Якубов C. М. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. — Баку, 1985.
8. Городний М. Ф., Чайковский А. В. Об одном обобщении понятия секториального оператора // Мат. сб.
— 2006. — 197, № 7. — С. 29 – 46.
Одержано 14.01.10,
пiсля доопрацювання — 13.05.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
|