Необходимые условия асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием на поверхностях
Встановлено необхiднi умови рiвномiрної асимптотичної стiйкостi тривiального розв’язку нелiнiйної iмпульсної системи. We find sufficient conditions for uniform asymptotic stability of the trivial solution of a nonlinear impulsive system....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175313 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Необходимые условия асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием на поверхностях / Р.И. Гладилина // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 21-31. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175313 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гладилина, Р.И. 2021-01-31T17:26:27Z 2021-01-31T17:26:27Z 2011 Необходимые условия асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием на поверхностях / Р.И. Гладилина // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 21-31. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175313 517.9 Встановлено необхiднi умови рiвномiрної асимптотичної стiйкостi тривiального розв’язку нелiнiйної iмпульсної системи. We find sufficient conditions for uniform asymptotic stability of the trivial solution of a nonlinear impulsive system. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Необходимые условия асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием на поверхностях Необхідні умови асимптотичної стійкості систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією на поверхнях Sufficient conditions for asymptotic stability of a differential system with impulsive effects located on a surface Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Необходимые условия асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием на поверхностях |
| spellingShingle |
Необходимые условия асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием на поверхностях Гладилина, Р.И. |
| title_short |
Необходимые условия асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием на поверхностях |
| title_full |
Необходимые условия асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием на поверхностях |
| title_fullStr |
Необходимые условия асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием на поверхностях |
| title_full_unstemmed |
Необходимые условия асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием на поверхностях |
| title_sort |
необходимые условия асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием на поверхностях |
| author |
Гладилина, Р.И. |
| author_facet |
Гладилина, Р.И. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Необхідні умови асимптотичної стійкості систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією на поверхнях Sufficient conditions for asymptotic stability of a differential system with impulsive effects located on a surface |
| description |
Встановлено необхiднi умови рiвномiрної асимптотичної стiйкостi тривiального розв’язку нелiнiйної iмпульсної системи.
We find sufficient conditions for uniform asymptotic stability of the trivial solution of a nonlinear impulsive system.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175313 |
| citation_txt |
Необходимые условия асимптотической устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием на поверхностях / Р.И. Гладилина // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 1. — С. 21-31. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gladilinari neobhodimyeusloviâasimptotičeskoiustoičivostisistemdifferencialʹnyhuravneniisimpulʹsnymvozdeistviemnapoverhnostâh AT gladilinari neobhídníumoviasimptotičnoístíikostísistemdiferencíalʹnihrívnânʹzímpulʹsnoûdíêûnapoverhnâh AT gladilinari sufficientconditionsforasymptoticstabilityofadifferentialsystemwithimpulsiveeffectslocatedonasurface |
| first_indexed |
2025-11-24T11:46:53Z |
| last_indexed |
2025-11-24T11:46:53Z |
| _version_ |
1850846152609497088 |
| fulltext |
УДК 517.9
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
Р. И. Гладилина
Донец. нац. техн. ун-т
Украина, 83001, Донецк, ул. Артема, 75
e-mail: Rgladilina@yandex.ru
We find sufficient conditions for uniform asymptotic stability of the trivial solution of a nonlinear impulsive
system.
Встановлено необхiднi умови рiвномiрної асимптотичної стiйкостi тривiального розв’язку не-
лiнiйної iмпульсної системи.
Введение. Теория дифференциальных уравнений с импульсным воздействием является
одним из новейших направлений современной теории дифференциальных уравнений. Ос-
новы этой теории изложены в монографии [1]. В последние годы значительно возросло
количество работ, посвященных исследованию различных аспектов теории импульсных
систем. Одной из наиболее актуальных задач как в теоретическом, так и в практическом
отношении является анализ устойчивости импульсных систем.
Наиболее универсальным методом исследования устойчивости нелинейных импуль-
сных систем является метод функций Ляпунова. Следует отметить, что в большинстве ра-
бот, в которых для исследования устойчивости применялся второй метод Ляпунова, были
получены достаточные условия устойчивости решений импульсных систем [2 – 5]. Уста-
новление необходимых признаков устойчивости (доказательство теорем существования
функций Ляпунова с определенными свойствами) является довольно сложной задачей.
Вместе с тем проблема существования функций Ляпунова имеет принципиально важное
значение для метода Ляпунова.
Небходимые условия устойчивости решений систем с импульсными воздействиями
в фиксированные моменты времени были получены в [6 – 9]. В настоящей статье уста-
новлены необходимые условия устойчивости импульсных систем более общего вида: с
импульсными воздействиями в нефиксированные моменты времени.
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с импуль-
сным воздействием на поверхностях
dx
dt
= f(t, x), t 6= τi(x),
(1)
∆x = Ii(x), t = τi(x), i ∈ N,
где t ∈ R+, x ∈ Ω ⊂ Rn, f : R+×Ω → Rn, f(t, 0) ≡ 0; Ii : Ω → Rn, Ii(0) ≡ 0, τi : Ω → R+,
τi(x) — поверхности разрыва, 0 < τ1(x) < τ2(x) < . . . и τi(x) → ∞ при i → ∞.
c© Р. И. Гладилина, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1 21
22 Р. И. ГЛАДИЛИНА
Предположим, что решение x(t) = x(t, t0, x0) системы (1) существует, непрерывно
слева и пересекает каждую гиперповерхность t = τi(x) только один раз. Достаточные
условия отсутствия биений решений о поверхности разрыва можно найти, например, в
[1, c. 23 – 25].
Задачу будем рассматривать в области
Ω = BH , H > 0, BH = {x ∈ Rn : ‖x‖ < H},
где ‖x‖ =
√
x2
1 + . . .+ x2
n — евклидова норма вектора.
Предположим, что выполняются следующие условия относительно системы (1).
H1. Функция f(t, x) непрерывна и ограничена вместе со своими частными производны-
ми в области R+ × Ω :
‖f(t, x)‖ ≤ K, (2)∥∥∥∂f
∂x
(t, x)
∥∥∥ ≤ C1. (3)
H2. Функции Ii(x) непрерывны и имеют ограниченные частные производные в облас-
ти Ω : ∥∥∥∂Ii(x)
∂x
∥∥∥ ≤ C2, i ∈ N. (4)
H3. Существует константа h ∈ (0, H) такая, что если x ∈ Bh, то x+Ii(x) ∈ BH , i ∈ N.
H4. Функции τi(x) непрерывно дифференцируемы и имеют ограниченные частные
производные в области Ω :
max
x∈Ω
∥∥∥∂τi(x)
∂x
∥∥∥ ≤ C3, i ∈ N. (5)
H5. Функции τi(x) удовлетворяют условию
τi(x) ≥ τi(x+ Ii(x)), x ∈ Ω. (6)
H6. Предположим, кроме того, что выполняется неравенство〈∂τi(x)
∂x
, f(t, x)
〉
≤ α, α < 1, x ∈ Ω. (7)
H7. Относительно моментов импульсного воздействия будем предполагать, что имеет
место неравенство
inf
i
( min
‖x‖≤h
τi(x)− max
‖x‖≤h
τi−1(x)) = θ > 0, 0 < h < H, i ∈ N. (8)
H8. Существует константа µ > 0 такая, что
‖x+ Ii(x)‖ ≥ µ‖x‖, x ∈ Ω, i ∈ N. (9)
Введем следующие определения [10].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 23
Определение 1. Нулевое решение системы (1) называется равномерно устойчивым,
если для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0 такое, что для любых t0 ∈ R+,
x0 ∈ Bδ, t ≥ t0 выполняется x(t, t0, x0) ∈ Bε.
Определение 2. Нулевое решение системы (1) называется равномерно притягиваю-
щим, если существует такое λ > 0, что для любого ε > 0 найдется σ = σ(ε) > 0
такое, что для любых t0 ∈ R+, x0 ∈ Bλ, t ≥ t0 + σ справедливо x(t, t0, x0) ∈ Bε.
Определение 3. Нулевое решение системы (1) назовем равномерно асимптотически
устойчивым, если оно равномерно устойчиво и равномерно притягивающее.
Будем исследовать устойчивость нулевого решения системы (1) с помощью второго
метода Ляпунова. Для этого введем вспомогательные кусочно-непрерывные и кусочно-
дифференцируемые функции V : R+ ×BH → R [6, c. 186].
Определение 4. Функция V (t, x) принадлежит классу V, если функция V непрерывна
и дифференцируема при t 6= τi(x) и V (t, 0) ≡ 0 при любом t ∈ R+; функция V (t, x)
непрерывна слева при t = τi(x).
При t 6= τi(x) определим производную от функции V (t, x) в силу системы (1)
V̇(1)(t, x) =
∂V
∂t
(t, x) +
〈
∂V
∂x
(t, x), f(t, x)
〉
.
Функцию Ляпунова вдоль решения x(t, t0, x0) будем обозначать через
v(t) = V (t, x(t, t0, x0)).
Определение 5. Функция a : R+ → R+ принадлежит классу Хана (a ∈ K), если она
непрерывна, строго возрастает и a(0) = 0.
Определение 6. Система (1) называется периодической с периодом ω (ω > 0), если
f(t+ ω, x) ≡ f(t, x), t 6= τi(x),
∃ p ∈ N : Ii+p(x) ≡ Ii(x),
τi+p(x) = τi(x) + ω, i ∈ N.
Из определения 6 следует, что решения периодической системы имеют свойство
x(t+ ω, t0 + ω, x0) ≡ x(t, t0, x0). (10)
2. Необходимые условия асимптотической устойчивости. В [6, c. 188; 11] приведена
следующая теорема.
Теорема 1. Пусть для системы (1) существует функция V ∈ V, удовлетворяющая
условиям
a(‖x‖) ≤ V (t, x) для (t, x) ∈ R+ × Ω, a ∈ K, (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
24 Р. И. ГЛАДИЛИНА
V (t, x) ≤ b(‖x‖) для (t, x) ∈ R+ × Ω, b ∈ K, (12)
V̇(1)(t, x) ≤ −c(‖x‖) для t 6= τi(x), c ∈ K, (13)
V (τi + 0, x+ Ii(x))− V (τi, x) ≤ 0, i ∈ N. (14)
Тогда решение x = 0 системы (1) равномерно асимптотически устойчиво и существу-
ет ρ > 0 (ρ < H) такое, что Bρ содержится в области его притяжения.
Докажем, что существует кусочно-непрерывная функция V (t, x), удовлетворяющая
условиям теоремы 1.
Напомним, что норма матрицы A = {akj}nk,j=1 равна [12, c. 153]
‖A‖ =
√√√√ n∑
k=1
n∑
j=1
a2
kj . (15)
Тогда из неравенства Коши – Буняковского следует оценка [12, c. 153]
‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖. (16)
Вначале докажем следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 1. Пусть выполнены условия Н1 – Н7. Тогда при τ > 0 справедливы оценки∥∥∥∂x(t0 + τ, t0, x0)
∂x0
k
∥∥∥< M(τ), k = 1, n, (17)
где M(τ) — положительная монотонно возрастающая непрерывная функция.
Доказательство. Согласно [1, c. 30], производные u(t) =
∂x(t, t0, x0)
∂x0
k
, 1 ≤ k ≤ n,
удовлетворяют системе уравнений в вариациях относительно начальных данных
du
dt
= A(t)u, t 6= τi,
∆u = Biu, t = τi, i ∈ N,
(18)
где τi — моменты встречи решения x(t, t0, x0) с поверхностями t = τi(x). Матрицы A(t),
Bi имеют вид
A(t) =
∂f(t, x)
∂x
∣∣∣
x=x(t,t0,x0)
, Bi =
∂Ii(x)
∂x
∣∣∣
x=x(τi,t0,x0)
(E + Pi).
Матрицы Pi определяются следующим образом:
Pi =
1
1−
〈∂τi(x)
∂x
∣∣∣
x=x(τi,t0,x0)
, f(τi, x(τi, t0, x0))
〉{∂τi(x)
∂xj
∣∣∣
x=x(τi,t0,x0)
fl(τi, x(τi, t0, x0))
}n
j,l=1
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 25
Функции u(t) =
∂x(t, t0, x0)
∂x0
k
, 1 ≤ k ≤ n, удовлетворяют начальным условиям
u(t0) = ek, (19)
где ek — k-й орт пространства Rn, т. е. вектор, у которого k-я компонента равна единице,
а остальные — нули.
Решение u(t) = u(t, t0, x0) системы (18) можно представить в виде
u(t) = u0 +
t∫
t0
A(τ)u(τ) dτ +
∑
t0≤τi<t
Biu(τi).
Имеем
‖u(t)‖ ≤ ‖u0‖+
t∫
t0
‖A(τ)u(τ)‖dτ +
∑
t0≤τi<t
‖Biu(τi)‖.
Используя неравенство Коши – Буняковского (16), получаем
‖u(t)‖ ≤ ‖u0‖+
t∫
t0
‖A(τ)‖‖u(τ)‖dτ +
∑
t0≤τi<t
‖Bi‖ ‖u(τi)‖. (20)
Найдем оценку матриц Pi. В силу условия (7) получим
‖Pi‖ ≤
1
1− α
∥∥∥{∂τi(x)
∂xj
∣∣∣
x=x(τi,t0,x0)
fl(τi, x(τi, t0, x0))
}n
j,l=1
∥∥∥.
Далее, из определения нормы матрицы (15), учитывая ограниченность элементов мат-
рицы (2), (5), имеем
‖Pi‖ ≤
1
1− α
√√√√ n∑
l=1
n∑
j=1
(∂τi(x)
∂xj
∣∣∣
x=x(τi,t0,x0)
fl(τi, x(τi, t0, x0))
)2
=
=
1
1− α
√√√√ n∑
j=1
(∂τi(x)
∂xj
∣∣∣
x=x(τi,t0,x0)
)2
n∑
l=1
(fl(τi, x(τi, t0, x0)))2 =
=
1
1− α
∥∥∥∂τi(x)
∂x
∣∣∣
x=x(τi,t0,x0)
∥∥∥·‖f(τi, x(τi, t0, x0)‖ ≤ 1
1− α
KC3.
Тогда
‖E + Pi‖ ≤ ‖E‖+ ‖Pi‖ ≤ n+
1
1− α
KC3.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
26 Р. И. ГЛАДИЛИНА
Следовательно, учитывая ограниченность элементов матриц (3), (4), получаем
‖Bi‖ ≤
∥∥∥∂Ii(x(τi))
∂x
∥∥∥‖E + Pi‖ ≤ C2(n+
1
1− α
KC3) = L1,
‖A(t)‖ =
∥∥∥∂f(t, x(t))
∂x
∥∥∥≤ C1.
Подставляя полученные оценки в (20), находим
‖u(t)‖ ≤ ‖u0‖+ C1
t∫
t0
‖u(τ)‖ dτ + L1
∑
t0≤τi<t
‖u(τi)‖.
Теперь, применяя лемму 2.2 [1] при C = ‖u0‖, β = L1, γ = C1, получаем оценку
‖u(t)‖ ≤ ‖u0‖(1 + L1)peC1(t−t0). (21)
Здесь p — количество точек τi на промежутке [t0, t0 + τ). Заметим, что ‖u0‖ = 1 в силу
(19). Поскольку выражение (1+L1)p монотонно возрастает при возрастании τ (τ = t−t0),
неравенство (21) означает выполнение оценки (17).
Система (18) одна и та же для всех групп производных
∂x(t, t0, x)
∂x0
k
, k = 1, n, поэтому
полученная оценка справедлива для любого u =
∂x(t, t0, x0)
∂x0
k
, k = 1, n.
Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть выполнены условия Н1 – Н8, решение x = 0 равномерно асимпто-
тически устойчиво и область Bρ, 0 < ρ < H, содержится в области его притяжения.
Тогда существуют константа P > 0,функции a, b, c ∈ K и функция V : R+×Bρ → R+,
удовлетворяющие условиям∥∥∥∥∂V∂x (t, x)
∥∥∥∥ ≤ P для (t, x) ∈ R+ ×Bρ, t 6= τi(x), (22)
a(‖x‖) ≤ V (t, x) для (t, x) ∈ R+ ×Bρ, a ∈ K, (23)
V (t, x) ≤ b(‖x‖) для (t, x) ∈ R+ ×Bρ, b ∈ K, (24)
V̇(1)(t, x) ≤ −c(‖x‖) для (t, x) ∈ R+ ×Bρ, t 6= τi(x), c ∈ K, (25)
V (τi + 0, x+ Ii(x))− V (τi, x) ≤ 0, x ∈ Bρ, i ∈ N. (26)
Если система (1) периодична с периодом ω,то функция V также может быть выбрана
периодической с периодом ω.
Доказательство. Поскольку нулевое решение системы (1) равномерно асимптотиче-
ски устойчиво, то ‖x(t, t0, x0)‖ → 0 при t → ∞ равномерно по t0 ≥ 0, x0 ∈ Bρ, поэтому в
этой области выполняется неравенство
‖x(t0 + s, t0, x0)‖2 < φ(s), (27)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 27
где φ(s) — скалярная монотонно убывающая непрерывная функция, удовлетворяющая
условию lims→∞ φ(s) = 0. Действительно, если мы возьмем убывающую и сходящую-
ся к нулю бесконечную последовательность {εi}∞i=1, εi > 0, то для любого εi из этой
последовательности найдется число σi(εi) такое, что при всех t > t0 +σi(εi) будет выпол-
няться неравенство ‖x(t, t0, x0)‖ < εi. Последовательность σi будет расходящейся, т. е.
σi+1 > σi. Рассмотрим положительную монотонно убывающую функцию φ(s), для кото-
рой φ(σi+1) = ε2i , i ∈ N. Построенная таким образом функция будет удовлетворять всем
требуемым условиям.
Пусть M : R+ → R+ — монотонно возрастающая непрерывная функция такая, что
limt→∞M(t) = +∞. В монографии [13, c. 310 – 315] показано существование непрерывно
дифференцируемой функции g = g(φ) такой, что
g ∈ K, g′ ∈ K, (28)
∞∫
0
g(φ(s)) ds < N1 < +∞, N1 > 0, (29)
∞∫
0
g′(φ(s))M(s) ds < N2 < +∞, N2 > 0, (30)
g′(φ(s))M(s) < N3 < +∞ при всех s ≥ 0, N3 > 0. (31)
Определим функцию V следующим образом:
V (t, x) =
∞∫
t
g(‖x(s, t, x)‖2) ds ≡
≡
∞∫
0
g(‖x(t+ s, t, x)‖2) ds для (t, x) ∈ R+ ×Bρ, t 6= τi(x), (32)
V (τi, x) = V (τi − 0, x) при x ∈ Bρ, i ∈ N, (33)
и покажем, что она удовлетворяет всем условиям теоремы.
На основании оценок (27), (29) получаем
V (t, x) =
∞∫
0
g(‖x(t+ s, t, x)‖2) ds ≤
≤
∞∫
0
g(φ(s)) ds < N1 для (t, x) ∈ R+ ×Bρ, t 6= τi(x).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
28 Р. И. ГЛАДИЛИНА
Следовательно, интеграл (32) сходится. Далее, существует
lim
t→τi−0
∞∫
t
g(‖x(s, t, x)‖2) ds = V (τi − 0, x) = V (τi, x).
Следовательно, функция V (t, x) определена и равномерно ограничена в областиR+×Bρ,
непрерывна в этой области при t 6= τi(x) и непрерывна слева при t = τi(x).
Докажем свойство (22). Найдем производные
∂V
∂x
при t 6= τi(x) :
∂V
∂xk
=
∞∫
0
g′(‖x(t+ s, t, x)‖2)
∂(‖x(t+ s, t, x)‖2)
∂xk
ds, k = 1, n.
Найдем оценки для
∂(‖x(t+ s, t, x)‖2)
∂xk
:
∣∣∣∣∣∂(‖x(t+ s, t, x)‖2)
∂xk
∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣ ∂∂xk (x2
1 + . . .+ x2
n)
∣∣∣∣∣= 2
∣∣∣∣∣
(
x1
∂x1
∂xk
+ . . .+ xn
∂xn
∂xk
)∣∣∣∣∣≤ 2‖x‖
∥∥∥∥∥ ∂x∂xk
∥∥∥∥∥.
Поскольку‖x‖ < ρ, согласно лемме 1 окончательно получаем∣∣∣∣∣∂(‖x(t+ s, t, x)‖2)
∂xk
∣∣∣∣∣≤ 2‖x‖
∥∥∥ ∂x
∂xk
∥∥∥ < 2ρM(s) ≡ M(s), k = 1, n.
Учитывая полученную оценку, а также условие (30), имеем∣∣∣∣∣ ∂V∂xk
∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣
∞∫
0
g′(‖x(t+ s, t, x)‖2)
∂(‖x(t+ s, t, x)‖2)
∂xk
ds
∣∣∣∣∣<
<
∞∫
0
g′(φ(s))M(s)ds < N2, k = 1, n.
Так как интеграл, входящий в (34), сходится абсолютно и равномерно в области R+ ×
×Bρ, выражение
∂V
∂xk
в этой области представляет собой непрерывные и ограниченные
функции, которые действительно являются частными производными функции V.
Из оценки (34) следует
∥∥∥∥∂V∂x (t, x)
∥∥∥∥ =
√(
∂V
∂xk
)2
≤ N2
√
n = P.
Свойство (22) доказано.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 29
Доказанное свойство является более сильным, чем существование бесконечно малого
высшего предела (свойство (24)). Действительно, в качестве функции b(‖x‖) можно взять
функцию
b(‖x‖) = P‖x‖.
Докажем свойство (23). Пусть t0 ∈ (τi−1, τi). Решение x(t) = x(t, t0, x0) системы (1)
при t ∈ [t0, τi] совпадает с одним из решений системы обыкновенных дифференциальных
уравнений
dx
dt
= f(t, x),
поэтому для τi−1 < t0 < t ≤ τi справедлива оценка [14, c. 26]
‖x(t, t0, x0)‖ ≥ ‖x0‖e−C1(t−t0).
Далее, из условия (9) получаем
‖x(τi, t0, x0) + Ii(x(τi, t0, x0))‖ ≥ µ‖x(τi, t0, x0)‖ ≥ µ‖x0‖e−C1(τi−t0).
Отрезок [t0, t0 + θ] содержит не более одной точки τi в силу условия (8), следовательно,
‖x(t, t0, x0)‖ ≥ min(1, µ)‖x0‖e−C1(t−t0) при t ∈ [t0, t0 + θ].
Обозначим γ = min(1, µ), тогда
V (t, x) ≥
θ∫
0
g(‖x(t+ s, t, x)‖2) ds ≥
≥
θ∫
0
g(‖x‖2γ2e−2C1s) ds ≥ g(‖x‖2γ2e−2C1θ)θ ≡ a(‖x‖).
Условие (23) выполнено.
Докажем свойство (25).
Составим выражение для полной производной V̇(1)(t, x) в силу системы (1). Очевидно,
будем иметь
V̇(1)(t, x) =
[dV
dτ
(τ, x(τ, t, x))
]
τ=t
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
30 Р. И. ГЛАДИЛИНА
В силу единственности решения x(sτ, x(τ, t, x)) = x(s, t, x), поэтому
V̇(1)(t, x) =
[
d
dτ
( ∞∫
τ
g(‖x(s, τ, x(τ, t, x))‖2) ds
)]
τ=t
=
=
[
d
dτ
( ∞∫
τ
g(‖x(s, t, x)‖2)ds
)]
τ=t
= −g(‖x(t, t, x)‖2 ≡
≡ −c(‖x‖) для (t, x) ∈ R+ ×Bρ, t 6= τi(x),
т. е. условие (25) выполнено.
Из соотношения x(τi + s, τi − 0, x) = x(τi + s, τi + 0, x + Ii(x)) и из (32), (33) следует
свойство (26).
Предположим теперь, что система (1) периодична с периодом ω.Покажем, что в этом
случае функция V (t, x), определяемая соотношениями (32), (33), периодична с периодом
ω, т. е.
V (t+ ω, x) ≡ V (t, x).
Действительно,
V (t+ ω, x) =
∞∫
t+ω
g
(
‖x(τ, t+ ω, x)‖)
)
dτ.
Вводя новую переменную s по формуле τ = s+ ω, получаем
V (t+ ω, x) =
∞∫
t
g
(
‖x(s+ ω, t+ ω, x)‖
)
ds.
Из последнего равенства, используя очевидное свойство (10) решений периодических
систем, получаем V (t+ ω, x) ≡ V (t, x), что и требовалось доказать.
Теорема доказана.
4. Выводы. Из проведенных исследований можно сделать вывод, что характер пове-
дения траекторий, определенных функцией Ляпунова, является не только необходимым,
но и достаточным условием существования такой функции. Полученные в работе резуль-
таты имеют как теоретическое, так и прикладное значение, например, в задачах иссле-
дования робастности динамических систем.
1. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 288 c.
2. Kaul S., Lakshmikantham V., Leela S. Extremal solutions, comparison principle and stability criteria for
impulsive differential equations with variable times // Nonlinear Anal., Theory, Methods and Appl. — 1994.
— 22, № 10. — P. 1263 – 1270.
3. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. — Singapure: World Sci., 1995. — 462 p.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 31
4. Власенко Л. А., Самойленко А. М. Оптимальное управление с импульсной составляющей системами,
описываемыми неявными параболическими дифференциально-операторными уравнениями // Укр.
мат. журн. — 2009. — 61, № 8. — С. 1053 – 1065.
5. Мартынюк А. А., Слынько В. И. Об устойчивости движения нелинейной импульсной системы // Прикл.
механика. — 2004. — 40, № 2. — C. 134 – 144.
6. Bainov D. D., Simeonov P. S. Systems with impulse effect: stability, theory and applications. — Chichester:
Ellis Horwood, 1989. — 256 p.
7. Гладилина Р. И., Игнатьев А. О. О необходимых и достаточных условиях асимптотической устойчи-
вости импульсных систем // Укр. мат. журн. — 2003. — 55, № 8. — С. 1035 – 1043.
8. Игнатьев А. О. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости решений систем дифференциаль-
ных уравнений с импульсным воздействием // Мат. сб. — 2003. — 194, № 10. — C. 117 – 132.
9. Гладилина Р. И., Игнатьев А. О. О необходимых и достаточных условиях устойчивости инвариантных
множеств нелинейных импульсных систем // Прикл. механика. — 2008. — 44, № 2. — С. 132 – 142.
10. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1980. — 300 c.
11. Гургула С. И., Перестюк Н. А. Об устойчивости положения равновесия импульсных систем // Мат.
физика. — 1982. — № 31. — С. 9 – 14.
12. Самойленко А. М., Перестюк Н. А., Парасюк I. О. Диференцiальнi рiвняння. — Київ: Либiдь, 2003. —
600 с.
13. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 530 c.
14. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959. — 211 c.
Получено 21.12.09
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 1
|