Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора ³Не–⁴Не с неоднородным распределением изотопов

Теоретически с использованием вариационного метода определен энергетический спектр поверхностных электронов, локализованных над пленкой жидкого раствора ³Не–⁴Не, покрывающей твердотельную подложку. Рассмотрены две модели пространственного распределения гелиевых изотопов по высоте пленки. В одной из...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2019
Hauptverfasser:	Соколова, Е.С., Соколов, С.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2019
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	Квантові рідини та квантові кристали
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175428
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора ³Не–⁴Не с неоднородным распределением изотопов / Е.С. Соколова, С.С. Соколов // Физика низких температур. — 2019. — Т. 45, № 1. — С. 46-57. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175428
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1754282025-02-23T18:38:10Z Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора ³Не–⁴Не с неоднородным распределением изотопов Energy spectrum of surface electrons over the ³He–⁴He solution film with inhomogeneous isotope distribution Соколова, Е.С. Соколов, С.С. Квантові рідини та квантові кристали Теоретически с использованием вариационного метода определен энергетический спектр поверхностных электронов, локализованных над пленкой жидкого раствора ³Не–⁴Не, покрывающей твердотельную подложку. Рассмотрены две модели пространственного распределения гелиевых изотопов по высоте пленки. В одной из них считается, что пленка расслоилась, во второй предполагается непрерывное линейное изменение концентрации. Потенциальная энергия электрона определена методом решения уравнения Пуассона для электростатического потенциала и в газовом приближении, причем установлено практическое совпадение результатов обоих методов для расслоившейся пленки. Определена зависимость энергетической щели между основным и первым возбужденным состояниями поверхностных электронов в зависимости от толщины пленки. Проведено сравнение результатов для рассмотренных моделей структуры пленки. Обсуждена возможность использования полученных результатов при экспериментальном исследовании пространственного изотопического распределения в гелиевом растворе методом рассеяния нейтронов. Теоретично з використанням варіаційного метода визначено енергетичний спектр поверхневих електронів, локалізованих над плівкою рідкого розчину ³Не–⁴Не, що покриває твердотільну підкладку. Розглянуто дві моделі просторового розподілу гелієвих ізотопів по висоті плівки. В одній з них передбачається, що плівка розшарувалась, у другій вважається безперервна лінійна зміна концентрації. Потенційна енергія електрона визначена методом рішення рівняння Пуассона для електростатичного потенціалу й у газовому наближенні, причому встановлено практичний збіг результатів обох методів для розшарованої плівки. Визначено залежність енергетичної щілини між основними й першим збудженим станами поверхневих електронів залежно від товщини плівки. Проведено порівняння результатів для розглянутих моделей структури плівки. Обговорено можливість використання отриманих результатів при експериментальному дослідженні просторового ізотопічного розподілу в гелієвому розчині методом розсіювання нейтронів. The energy spectrum of surface electrons localized over a ³Не–⁴Не liquid solution film covering a solid substrate is theoretically determined using the variational method. Two models of the spatial distribution of helium isotopes over the film height are considered. In one of them, it is believed that the film is stratified, and a continuous linear change in concentration is assumed in the second one. The potential energy of an electron is determined by the method of solving the Poisson equation for the electrostatic potential and in the gas approximation. Furthermore, it is established that the results of both methods practically coincide for a stratified film. The dependence of the energy gap between the ground and first excited states of surface electrons as a function of the film thickness is determined. Comparison of the results for the considered models of the film structure is carried out. The possibility of using the results obtained in an experimental study of the spatial isotopic distribution in a helium solution by the neutron scattering method is discussed. 2019 Article Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора ³Не–⁴Не с неоднородным распределением изотопов / Е.С. Соколова, С.С. Соколов // Физика низких температур. — 2019. — Т. 45, № 1. — С. 46-57. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0132-6414 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175428 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Квантові рідини та квантові кристали Квантові рідини та квантові кристали
spellingShingle	Квантові рідини та квантові кристали Квантові рідини та квантові кристали Соколова, Е.С. Соколов, С.С. Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора ³Не–⁴Не с неоднородным распределением изотопов Физика низких температур
description	Теоретически с использованием вариационного метода определен энергетический спектр поверхностных электронов, локализованных над пленкой жидкого раствора ³Не–⁴Не, покрывающей твердотельную подложку. Рассмотрены две модели пространственного распределения гелиевых изотопов по высоте пленки. В одной из них считается, что пленка расслоилась, во второй предполагается непрерывное линейное изменение концентрации. Потенциальная энергия электрона определена методом решения уравнения Пуассона для электростатического потенциала и в газовом приближении, причем установлено практическое совпадение результатов обоих методов для расслоившейся пленки. Определена зависимость энергетической щели между основным и первым возбужденным состояниями поверхностных электронов в зависимости от толщины пленки. Проведено сравнение результатов для рассмотренных моделей структуры пленки. Обсуждена возможность использования полученных результатов при экспериментальном исследовании пространственного изотопического распределения в гелиевом растворе методом рассеяния нейтронов.
format	Article
author	Соколова, Е.С. Соколов, С.С.
author_facet	Соколова, Е.С. Соколов, С.С.
author_sort	Соколова, Е.С.
title	Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора ³Не–⁴Не с неоднородным распределением изотопов
title_short	Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора ³Не–⁴Не с неоднородным распределением изотопов
title_full	Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора ³Не–⁴Не с неоднородным распределением изотопов
title_fullStr	Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора ³Не–⁴Не с неоднородным распределением изотопов
title_full_unstemmed	Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора ³Не–⁴Не с неоднородным распределением изотопов
title_sort	энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора ³не–⁴не с неоднородным распределением изотопов
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Квантові рідини та квантові кристали
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175428
citation_txt	Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора ³Не–⁴Не с неоднородным распределением изотопов / Е.С. Соколова, С.С. Соколов // Физика низких температур. — 2019. — Т. 45, № 1. — С. 46-57. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT sokolovaes énergetičeskijspektrpoverhnostnyhélektronovnadplenkojrastvora3ne4nesneodnorodnymraspredeleniemizotopov AT sokolovss énergetičeskijspektrpoverhnostnyhélektronovnadplenkojrastvora3ne4nesneodnorodnymraspredeleniemizotopov AT sokolovaes energyspectrumofsurfaceelectronsoverthe3he4hesolutionfilmwithinhomogeneousisotopedistribution AT sokolovss energyspectrumofsurfaceelectronsoverthe3he4hesolutionfilmwithinhomogeneousisotopedistribution
first_indexed	2025-11-24T11:25:50Z
last_indexed	2025-11-24T11:25:50Z
_version_	1849670815471108096
fulltext	Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1, c. 46–57 Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора 3Не–4Не с неоднородным распределением изотопов Е.С. Соколова, С.С. Соколов Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины пр. Науки, 47, г. Харьков, 61103, Украина E-mail: sokolov@ilt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 25 июня 2018 г., опубликована онлайн 26 ноября 2018 г. Теоретически с использованием вариационного метода определен энергетический спектр поверхностных электронов, локализованных над пленкой жидкого раствора 3Не–4Не, покрывающей твердотельную подлож- ку. Рассмотрены две модели пространственного распределения гелиевых изотопов по высоте пленки. В од- ной из них считается, что пленка расслоилась, во второй предполагается непрерывное линейное изменение концентрации. Потенциальная энергия электрона определена методом решения уравнения Пуассона для электростатического потенциала и в газовом приближении, причем установлено практическое совпадение результатов обоих методов для расслоившейся пленки. Определена зависимость энергетической щели между основным и первым возбужденным состояниями поверхностных электронов в зависимости от толщины пленки. Проведено сравнение результатов для рассмотренных моделей структуры пленки. Обсуждена воз- можность использования полученных результатов при экспериментальном исследовании пространственного изотопического распределения в гелиевом растворе методом рассеяния нейтронов. Ключевые слова: раствор 3Не–4Не, расслоение растворов, пленки гелия, поверхностные электроны. 1. Введение Одним из интересных дискуссионных вопросов при обсуждении поверхностных свойств жидкого раствора 3Не–4Не является характер распределения примесных атомов 3Не вблизи поверхности раздела жидкой и паро- вой фаз. Известно, что атомы 3Не аккумулируются вблизи поверхности раствора благодаря наличию при- месных андреевских поверхностных уровней [1], обра- зуя поверхностный монослой. В то же время открытым остается вопрос о том, как распределены примесные атомы ниже этого монослоя. Так, высказывается мне- ние, что при приближении объемной концентрации 3Не вблизи поверхности к предельному значению (6,6 % при нулевой температуре) происходит микрорасслоение раствора с возникновением тонкой макроскопической пленки 3Не, ниже которой в поле сил тяжести распола- гается массивный раствор 3Не–4Не [2,3]. Подобное предположение, однако, пока не нашло подтверждения в экспериментах по рассеянию нейтронов [4–6], кото- рые, хотя и свидетельствуют о преимущественном кон- центрировании 3Не вблизи поверхности жидкости, не позволяют с определенностью говорить о возникнове- нии четкой границы расслоения между расслоившимися жидкими фазами. Более того, анализ результатов экспе- риментов по рассеянию нейтронов дает основания предполагать, что в ряде случаев концентрация 3Не из- меняется в глубь жидкой среды непрерывным образом — непрерывное (диффузное) распределение концентра- ции. В работе авторов [7] обращено внимание на то, что в дополнение к нейтронным экспериментам полезную информацию о характере распределения 3Не вблизи поверхности жидкости можно получить, исследуя энер- гетический спектр поверхностных электронов (ПЭ), локализованных в паровой фазе над свободной поверх- ности жидкости. Показано, что этот спектр и энергети- ческая щель между основным и первым возбужденным состояниями существенно зависят от того, как 3Не рас- пределен вблизи поверхности жидкости. Вычисления в [7] проведены как для микрорасслоения, так и для диф- фузного распределения концентрации легкого изотопа, и энергетическая щель определена в зависимости от параметров этих распределений. Спектроскопические исследования следует считать важным дополнением к нейтронным экспериментам, что должно способство- © Е.С. Соколова, С.С. Соколов, 2019 Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора 3Не–4Не вать более определенным заключениям о характере ак- кумулирования 3Не вблизи свободной поверхности рас- твора 3Не–4Не. Ситуация существенно изменяется, если раствор 3Не– 4Не образует не массивную жидкость, а пленку, покры- вающую твердотельную подложку, поскольку при тол- щине пленки 510 смD −≤ влияние сил гравитации ста- новится ничтожным по сравнению с силами Ван дер Ваальса, действующими на жидкий гелий со стороны подложки. В этом случае возникает вопрос о распреде- лении концентрации 3Не в поле сил Ван дер Ваальса. К сожалению, к настоящему времени нам неизвестны эксперименты по рассеянию нейтронов в пленке рас- твора 3Не–4Не. Тем не менее, как и в случае массивного раствора, представляется, что спектроскопические ис- следования ПЭ над пленкой могут оказаться существен- ными и помочь, вместе с результатами нейтронных экс- периментов, прояснить ситуацию с распределением 3Не в пленке 3Не–4Не. В настоящей работе вычисляется энергетическая щель между основным и первым возбу- жденным уровнями ПЭ над пленкой 3Не–4Не. Исследо- вания проведены, аналогично работе [7], для двух случа- ев — расслоившейся пленки и пленки, в которой концентрация 3Не–4Не изменяется непрерывным обра- зом от свободной поверхности к границе гелия и под- ложки. Следует отметить, что межэлектронное взаимодей- ствие в слое зарядов влияет на частоту межэлектрон- ных переходов между поверхностными уровнями. Этот интересный вопрос исследовался в [8] теоретически и экспериментально при учете электростатического взаимодействия между ПЭ, образующими треуголь- ную решетку. В работе [9] при теоретическом опреде- лении закона дисперсии поперечных плазменных ко- лебаний в слое ПЭ было получено выражение для частоты деполяризационного сдвига, обусловленного электронными корреляциями, к частоте спектроскопи- ческого перехода между основным и первым возбуж- денным состояниями ПЭ. Как следует из результатов [8,9], межэлектронные корреляции мало сказываются на частоте спектроскопических переходов при концен- трациях ПЭ 810≤ см–2. В настоящей работе ограни- чимся одноэлектронным приближением. Во втором и третьем разделах работы рассмотрена ситуация расслоившейся пленки, причем во втором разделе методом решения уравнения Пуассона для по- тенциала поля точечного заряда над поверхностью жидкости установлен вид потенциальной энергии ПЭ над такой пленкой. В третьем разделе потенциальная энергия ПЭ вычислена в газовом приближении для поляризации среды точечным зарядом — как суммар- ная энергия взаимодействия электрона с атомами жид- кости и подложки, и на примере расслоившейся плен- ки показана практическая эквивалентность вычисле- ний с использованием обоих использованных прибли- жений. Это дало основание применить газовое прибли- жение для пленки с непрерывным распределением концентрации 3Не. В четвертом разделе с помощью вариационного метода получены общие выражения для энергии 1∆ (основного) и 2∆ (первого возбужден- ного) состояний. В пятом разделе вычислена энергети- ческая щель 21 2 1∆ = ∆ − ∆ для расслоившейся пленки. В шестом разделе аналогичные вычисления выполне- ны в предположении о непрерывном распределении концентрации 3Не, также проводится сопоставление полученных величин 21∆ с соответствующими значе- ниями в пределе расслоившейся пленки. В Заключении подводятся итоги работы. 2. Потенциальная энергия электрона над расслоившейся пленкой Основной проблемой при квантовомеханическом рассмотрении энергетических состояний электрона, расположенного над поверхностью жидкости в паровой фазе I в точке с координатами { , }zr , 0,z > является определение потенциальной энергией ПЭ за счет поля- ризационного взаимодействия с расположенным под ним полупространством. Здесь r — радиус-вектор в плоскости границы жидкость–пар, координата z соот- ветствует направлению, нормальному к этой плоскости. Рассматриваем ситуацию расслоившейся пленки тол- щиной 1 2D d d= + (рис. 1), где 1d и 2d — толщины жидких фаз II и III, обогащенной 3Не и представляющей собой раствор 3Не–4Не соответственно. Ниже фазы III расположена твердотельная подложка IV. Фазы имеют диэлектрические постоянные 1 (фаза I), 1ε (II), 2ε (III) и sε (IV) соответственно Заряд в точке { }, zr создает электростатическое по- ле в точке { }, z′ ′r , потенциал которого в виде ряда Фурье запишем в виде ( ) ( ) ( ), , , expz z z z iϕ − = ϕ  − ′ ′ ′ ′ ∑ q q r r q r r , (1) Рис. 1. Схематическое изображение расслоившейся пленки гелия на твердой подложке. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 47 Е.С. Соколова, С.С. Соколов причем должно удовлетворяться уравнение Пуассона ( , , ) 0z z∆ϕ − =′ ′r r при наличии соответствующих гра- ничных условий для 10, z d= −′ и D− . Наибольшее значение имеет потенциал поля в па- ровой фазе I, который представим в виде ( ) (1) (2) I I I, , ( – , , ) ( – , , )z z z z z zϕ − = ϕ + ϕ′ ′ ′ ′ ′ ′r r r r r r , где (1) I 2 2 ( , , ) ( ) ez z z z ϕ − =′ ′ − + −′ ′ r r r r есть потенциал поля точечного заряда в вакууме, а (2) I ( , , )z zϕ − ′ ′r r — добавка, обусловленная поляризаци- ей электроном окружающей среды. Потенциалом (2) I ( , , )z zϕ − ′ ′r r определяется сила изображения, дейст- вующая на электрон, расположенный в точке { , }zr : (2) , I , ( , , )im z z z e z z′ ′ = =′ ′ = − ∇ ϕ − ′ ′r r r F r r . Ниже приведем выражения для полученного нами при решении уравне- ния Пуассона фурье-образа потенциала I ( , , )z zϕ − ′ ′r r и его координатного представления (соответствующие вы- ражения для сред II, III и IV вынесены в Приложение): ( ) ( )( ) ( )( )I I I 1 2 ;ϕ = ϕ + ϕq q q (2) ( )( )I 1 exp ;q z zϕ = υ − − ′ q q ( )( ) ( )I 1 2 ( ) exp ; ( ) q q z z q Φ ϕ = −υ − + ′ ∆q q 0z >′ , где 2 /( )q e Sqυ = π , e — заряд электрона и S — пло- щадь поверхности, занимаемой электронным слоем. Функции, входящие в (2), имеют вид ( ) ( )(1) (2) 1 1 1 112 12( ) 1 ( ) 1 ( ) exp( 2 );q q q qdΦ = ε − Φ + ε + Φ − ( ) ( )(1) (2) 1 1 112 12( ) 1 ( ) 1 ( ) exp( 2 );q q q qd∆ = ε + Φ + ε − Φ − ( )( ) ( )( )(1) 2 2 1 2 2 1 212 ( ) exp( 2 );s sq qdΦ = ε + ε ε + ε + ε − ε ε − ε − ( )( ) ( )( )(2) 2 2 1 2 2 1 212 ( ) exp( 2 ).s sq qdΦ = ε + ε ε − ε + ε − ε ε + ε − В важном случае, когда вещество подложки — металл, соответствующее выражение для фурье-образа потенциала получается предельным переходом sε → ∞ : ____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 1 1(I) 1 1 1 2 2 1 1 cth cth cth 1 exp exp . cth cth cth 1q qd qd qd q z z q z z qd qd qd  ε ε − + ε ε − ϕ = υ − −  − − + ′ ′    ε ε + + ε ε +   q (3) Выражения (2) и (3) важны в проблеме вычисления закона дисперсии плазменных мод в слое ПЭ над поверхно- стью расслоившейся пленки, поскольку закон дисперсии этих колебания зависит от фурье-образа потенциальной энергии (I)V e= ϕq q парного взаимодействия поверхностных электронов, расположенных в среде I [9–13]. Координатная зависимость потенциала (2) I ( , , )z zϕ − ′ ′r r , вычисленная при подстановке (2) в (1), имеет вид ( ) ( ) ( ) 1 3 2 31 2 1 2 3 (2) 1 I 21 10 2 1 2 30 !( , , ) ( 1) ! ! ! k k k kk kn s n k k k n nz z e k k k ∞ + +++ = + + = ϕ − = − τ τ τ ×′ ′ ∑ ∑r r ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 21 2 221 2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 22 2 2 2 s s z z z z d z z d z z d d  τ τ τ τ ττ × + + +  − + β + − + β + + − + β + + − + β + + +′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′  r r r r r r r r . (4) _______________________________________________ Здесь введены обозначения ( ) ( ) ( )1 1 3 2 2 32 2 ;d k k d k kβ ζ = ζ + + + + ;j j j j j j ′ ′ ′ ε − ε τ = ε + ε 0 1 1 j j j ′ ′′ ′ ε − τ = ε + . При суммировании во внутренней сумме в (4) для каждого n берутся все возможные комбинации индек- сов 1k , 2k и 3k , которые удовлетворяют условию 1 2 3k k k n+ + = . Выражения (3), (4) и (П1)–(П6) содержат в качестве предельных случаев выражения для потенциалов элек- тростатического поля ПЭ над полубесконечной средой и над однородной пленкой. Предел ПЭ над полубесконеч- ной средой достигается, если 1d → ∞ (рис. 2(а)) или 1 2 s unε = ε = ε = ε (рис. 2(б)), а случай однородной пленки реализуется в предельных случаях, иллюстриро- ванных рис. 2(в)–2(е) (см. Приложение). Вычисляя силу изображения, действующую на ПЭ в направлении, нормальном свободной поверхности плен- ки (плоскость 0)z = и равную ( ) (2) imIim , ( , , )/ /z z z F e z z z U z = =′ ′ = − ∂ϕ − ∂ = −∂ ∂′ ′ ′ r r r r , приходим к следующему выражению для потенциальной энергии ПЭ, обусловленной поляризацией им ниже- лежащей среды: 48 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора 3Не–4Не ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 31 2 1 2 3 2 10 21 10 2 221 im 21 10 2 1 2 1 21 2 30 !( 1) . 2 2 2 2 2 2 2 2 2! ! ! k k k kk kn s s s n k k k n e nU z z d z d z d dk k k ∞ + ++ = + + =  τ τ τ τ ττ = − τ τ τ + + + β β + β + β + +   ∑ ∑ (5) _______________________________________________ В предельных случаях (см. рис. 2) выражение (5) переходит в известные выражения для потенциальной энергии сил изображения над жидким полупростран- ством 0z < или над пленкой гелия, находящейся при 0D z− < < и имеющей диэлектрическую постоянную fε и расположенной над твердой или жидкой подлож- кой при z D< − с диэлектрической постоянной subε [14–17]. Соответствующие выражения приведены в Приложении. Если в (5) ограничиться членами с 0n = и 1n = , то получаем упрощенное выражение, с высокой точно- стью совпадающее с (5), если 10 21, 1τ τ  : ( ) ( ) ( )2 2 10 1 1 2 1* im 1 , ,, ( ) sU z z z d z D Λ ε ε εΛ ε Λ ε ε − − − + +  , (6) ( ) 2 0 04j j e Λ ε = τ , ( ) ( ) 2 1 , 2 1 j j j j j j e ′ ′ ε Λ ε ε = τ ε + , ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 1 10 21 10 21 2, , 1 4s s e Λ ε ε ε = − τ − τ − τ τ τ . Условия 10 21, 1τ τ  выполняются, так как диэлек- трические постоянные 1 11ε = + δ и 2 21ε = + δ 1(δ  0,0428 1  ; 2 0,0572 1)δ   очень близки к едини- це. Следует также отметить, что при этом 2/( 1)j jε ε +  20,25(1 /4)j− δ совпадает с 1/4 с точностью до членов, квадратичных по jδ . В результате получаем ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 1 10 21 10 21 2, , 1 4s s e Λ ε ε ε = − τ − τ − τ τ τ  ( ) ( ) 22 2 2 2 1 22 2 , . 4 1 s s s ee ε τ τ = Λ ε ε ε +   (7) 3. Потенциальная энергия поверхностных электронов в газовом приближении В газовом приближении поляризации среды потенци- альную энергию электрона в точке { , }zr над расслоив- шейся пленкой (рис. 1) запишем как суммарную энергию взаимодействий электрона с частицами среды [17]: ____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) 1 1 02 2 1 1 2 22 2 22 2 2 2 2 2 ( ) , 2 d D g s s d D e dz dz dzU z d n n n z z z z z z − − − − −∞    ′ ′ ′ = − κ + κ + κ′         − + − − + − − + −′ ′ ′ ′ ′ ′        ∫ ∫ ∫ ∫r r r r r r r (8) _______________________________________________ где jκ и jn — атомные поляризации и средние объем- ные концентрации сред II, III и IV ( 1, 2, )j s= соответ- ственно, причем 1 2κ = κ , поскольку атомные поляриза- ции одинаковы у обоих изотопов гелия. Если использовать равенства [17] ( )2 0 11 1 2 n e Λ εκ = π и ( ) ( )2 2 2 1 1 1 2 1, 2 n n eκ − κ Λ ε ε = π , а также, по аналогии с ними, ( ) ( )2 2 2 1 2, 2 s s sn n eκ − κ Λ ε ε = π , энергию ПЭ за счет взаимодействия с веществами пленки и подложки запишем в виде ( ) ( ) ( )1 20 1 1 2 1 1 ,, ( ) s gU z z z d z D Λ ε εΛ ε Λ ε ε = − − − + + . (9) Из сравнения (9) с (6) и (7) заключаем, что ( )gU z = * im im( ) ( )U z U z=  , то есть энергия ПЭ, вычисленная в газовом приближении, практически совпадает с энер- гией поляризационного взаимодействия (5) со средой 0z < , полученной при вычислении сил изображения, действующих на электрон. Аналогично тому, как это было сделано в работе [7], используем газовое приближение и в случае диф- фузного распределения концентрации легкого изотопа в пленке гелия. Используем простую модель линейно- го изменения концентрации гелия в пленке: ( ) 12 1 1 2 , 0 ( ) , n zn n z n z n n z DD =′− ′  = − =′  = −′ . (10) В то же время для подложки ( ) constsn z n= =′ при z D< −′ . С учетом (10) получаем ( ) 2 0 1,2(diff ) 2 22 2 ( )( ) 2g D e n z dzU z d z z− κ ′ ′= − −′  − + −′ ′  ∫ ∫r r r Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 49 Е.С. Соколова, С.С. Соколов ( ) 2 2 22 22 D s sn e dzd z z − −∞ κ ′− =′  − + −′ ′  ∫ ∫r r r ( ) ( ) ( )1 20 1 1 2 1 ,, ln 1 sD z D z z D Λ ε εΛ ε Λ ε ε  = − − + −   + , (11) что отличается от (8) видом второго члена. Если толщина пленки бесконечна, ,D → ∞ то (11) переходит в diff 0 1( ) ( )/ .U z z−Λ ε В пределе 0D → из (1) получаем 0 1 1 2 1 1 2 diff ( ) ( , ) ( , ) ( ) sU z z Λ ε + Λ ε ε + Λ ε ε −  ( ) ( ) 2 1 2 1 1, , 1 4 1 s s s s e z z z Λ ε ε Λ ε ε  ε − −  ε +     , что соответствует электрону, находящемуся в паровой фазе над бесконечным полупространством 0z < , имеющим диэлектрическую постоянную sε . 4. Пробные волновые функции и энергии состояний поверхностных электронов После того, как вид потенциальной энергии ПЭ, обу- словленной его взаимодействием с пленкой гелия и подложкой, установлен, энергии основного 1j = и пер- вого возбужденного 2j = состояний для расслоившей- ся пленки запишем в виде 2 2 im2 ( ) 2j dj eE z U z j m dz ⊥∆ = − + +  . (12) В случае диффузного распределения концентрации вместо im ( )U z в (12) следует подставить diff ( )U z . При записи (13) учтено, что в потенциальную энергию ПЭ вносит свой вклад прижимающее электрическое поле E⊥ , неправленное перпендикулярно плоскости 0z = фазовой границы жидкость–пар. Для вычисления 1∆ и 2∆ используем вариационное приближение и выбираем пробные волновые функции в виде [7,9,18–20] ( )3/2 1 11 2 expz z= γ −γ , (13) ( ) ( ) 5/2 2 12 21/22 2 1 1 2 2 2 3 2 1 exp 3 z z z γ γ = − −γ  γ − γ γ + γ , (14) зависящие от вариационных параметров 1γ и 2γ . Здесь 12 1 2γ = γ + γ . Подставляя (13) и (14) в (12), получаем 2 2 (film)1 1 1 1 3 2 2 eE m ⊥γ ∆ = + + ∆ γ  , (15) ____________________________________________________ 2 2 2 2 2 2 (film)2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 22 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 7 5 2 2 6 2 eE m ⊥   γ γ − γ γ + γ γ − γ γ + γ ∆ = + + ∆   γγ − γ γ + γ γ − γ γ + γ     . (16) Выражения для энергий (film) 1∆ и (film) 2∆ заметно отличаются в зависимости от того, какая энергия, im ( )U z или diff ( )U z использована для их вычисления. В случае расслоившейся пленки ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 31 2 1 2 3 2 (film) 1 10 1 11 21 10 2 1 2 30 !( 1) 4 ! ! ! k k k kk kn s n k k k n e n F k k k ∞ + ++ = + + = ∆ = − γ − τ τ τ τ γ ξ +∑ ∑ ( ) ( ) ( )21 1 1 1 1 10 21 2 1 1 1 2 2 1 1 12 2 2s sF d F d F D + τ γ ξ + γ + τ τ τ γ ξ + γ + τ γ ξ + γ  , (17) Рис. 2. Различные предельные случаи для расслоившейся пленки. 50 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора 3Не–4Не ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 31 2 1 2 3 2 (film) 2 10 2 22 21 10 2 1 2 30 !( 1) 8 ! ! ! k k k kk kn s n k k k n e n F k k k ∞ + ++ = + + = ∆ = − γ − τ τ τ τ γ ξ +∑ ∑ ( ) ( ) ( )21 2 2 2 1 10 21 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2s sF d F d F D + τ γ ξ + γ + τ τ τ γ ξ + γ + τ γ ξ + γ  . (18) Если вместо энергии im ( )U z использовать фактически совпадающие с ней * im ( ) ( )gU z U z= , выражения (17) и (18) упрощаются, превращаясь в ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(film) 0 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 11 , 2 , 2sF d F D ∆ − Λ ε + Λ ε ε γ + Λ ε ε γ γ  , (19) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 (film) 1 1 2 2 2 0 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 22 2 2 1 1 2 2 2 3 , 2 , 2 2sF d F D   γ − γ γ + γ γ  ∆ − Λ ε + Λ ε ε γ + Λ ε ε γ   γ − γ γ + γ    . (20) Здесь введены обозначения: ( ) ( ) 2 22 2 2 12 1 2 1 1 2 2 2 12 12 2 1 1 2 2 1 1( ) 1 exp( )Ei( ), ( ) 2 3 6 ( ) 3 6 F x x x x x F x x x F x  γ = − − − = γ − γ γ − γ − + γ + γ   γ − γ γ + γ   , Ei( )x — интегральная показательная функция. В предельных случаях (рис. 2) выражения (15)–(20) переходят в соот- ветствующие выражения для энергий основного и первого возбужденного состояний над объемным гелием или одно- родной пленкой. Для непрерывного распределения концентрации (9) выражения (15) и (16) сохраняются, однако теперь ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(film) 1 2 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 11(diff ) , , , 2 2s F D f D D Λ ε ε  ∆ = −Λ ε γ − Λ ε ε − Λ ε ε γ γ − γ  , (21) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 (film) 1 1 2 2 0 1 1 1 1 2 1 2 22(diff ) 2 2 1 1 2 2 2 3 , , 2s F D   γ − γ γ + γ  ∆ = − Λ ε + Λ ε ε − Λ ε ε γ +    γ − γ γ + γ  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 12 12 2 1 2 2 2 3 222 2 2 21 1 2 2 6 , 2 2 2 23 f D f D f D D  Λ ε ε γ γ γ γ+ γ − γ + γ γ γ γ − γ γ + γ   , (22) _______________________________________________ где ( ) ( ) 2 1( ) ln 1 exp Ei 2 2C x xf x x x x x   = γ + − − − + −    , 2 2 1( ) ( ) 1 exp( )Ei( ) 6 xf x f x x x x x = − + + −  , 2 3 3 2 1( ) ( ) 1 exp( )Ei( ) 3 8 xf x f x x x x x x  = − + − − −    , 0,5772156649........Cγ = — постоянная Эйлера. В пределе D → ∞ энергии (film) 1(diff )∆ и (film) 2(diff )∆ пере- ходят в (film) 0 1 11(diff ) ( )∆ −Λ ε γ , 2 2 (film) 0 1 2 1 1 2 2 2(diff ) 2 2 1 1 2 2 ( ) 2 3 2  Λ ε γ γ − γ γ + γ ∆ −   γ − γ γ + γ   , (23) что приводит (15) и (16) к виду, соответствующему энергии состояний ПЭ над однородной жидкостью с диэлектрической постоянной 1ε [18–20]. Тот же ре- зультат сохраняется и в противоположном пределе 0D → , однако теперь в (23) следует заменить 0 1( )Λ ε на 0 1 1 1( ) ( , )sΛ ε + Λ ε ε , что практически совпадает с 0 ( )sΛ ε как для твердого неона, так и подложек с ди- электрической постоянной, заметно превышающей единицу. Данный результат означает, что при диффуз- ном распределении концентрации (10) в пределе нуле- вого D энергии (15) и (16) переходят в энергии со- стояний ПЭ над полубесконечной средой, имеющей диэлектрическую проницаемость твердой подложки. 5. Энергетическая щель 21∆ для расслоившейся пленки В этом разделе приведены результаты численного вычисления энергетической щели 21 2 1∆ = ∆ − ∆ , где 1∆ и 2∆ заданы в (17) и (18) или, что равнозначно, (19) и (20) соответственно. Параметры 1γ и 2γ определялись численно при решении уравнений 1 1/ 0∂∆ ∂γ = и 2 2/ 0∂∆ ∂γ = . Вычисления проведены для двух веществ подложки–твердого неона с диэлектрической постоян- Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 51 Е.С. Соколова, С.С. Соколов ной, достаточно близкой к единице ( 1,24),sε  и стекла с диэлектрической постоянной постоянной, заметно пре- вышающей единицу, 7,3sε  . В ходе вычислений мы считали толщину 1d верхней фазы заданной и опреде- ляли 21∆ как функцию полной толщины пленки 1 2D d d= + , начиная с 2 1/5d d= . Результаты вычислений для твердого неона приведены на рис. 3(а) и для стекла на рис. 3(б). Обращает на себя внимание уменьшение 21∆ с увеличением D . При веществе подложки твердом Ne имеем подложку со слабой поляризацией. В этом случае при общей тол- щине пленки D = 10–5–10–4 см, когда 2 1d d при вы- бранном 7 1 5 10d −= ⋅ см, влияние подложки на величину 21∆ незначительно, и энергетическая щель при 0E⊥ = должнао стремиться к своему значению 21 5,7∆  К над объемным гелием с диэлектрической постоянной 2ε . Вычисленное значение 21∆ при D = 10–5–10–4 см на рис. 3(а) близко к указанному значению, будучи немного меньше, 21 4,7∆  К. Вычисления дают практически то же значение энергетической щели для тех же D и при 610d −= см. То, что полученное значение энергетиче- ской щели 21∆ < 5,7 К, обусловлено наличием тонкого слоя толщиной 1d фазы с диэлектрической постоянной 1 2ε < ε над почти массивной жидкостью толщиной 2d . В результате величина 21∆ меньше значения этой вели- чины над однородной жидкостью с диэлектрической постоянной 2ε . С другой стороны, при уменьшении D влияние гелия на энергетический спектр ПЭ уменьшает- ся, и величина 21∆ возрастает, определяясь, при нуле- вом прижимающем поле, главным образом, поляризаци- онным взаимодействием электрона с веществом под- ложки. Так, для ПЭ над твердым неоном без гелиевого покрытия величина энергетической щели в пределе 0E⊥ = значительно больше, чем над гелием, достигая 21(0) 85∆  К при 0D = . Однако наличие прослойки гелия толщиной 1D d над массивным твердым неоном приводит к тому, что рассчитанная величина 21∆ при 75 10D −= ⋅ см оказывается меньше 21(0)∆ , но превос- ходит значение энергетической щели над объемным жидким гелием. Поведение 21( )D∆ для расслоившейся Рис. 3. Энергетическая щель ∆21 как функция толщины рассло- ившейся пленки D при толщине верхней жидкой фазы d1 = = 5·10–7 см. Вещество подложки — твердый неон (а) и стекло (б). Кривые нумерованы в порядке возрастания прижимающего электрического поля: E⊥ = 0 (1), 100 (2), 400 (3) и 1000 В/см (4). Рис. 4. Энергетическая щель ∆21 как функция толщины пленки D при диффузном распределении концентрации (10). Вещест- во подложки — твердый неон (а) и стекло (б). Кривые нуме- рованы в порядке возрастания прижимающего электрического поля: E⊥ = 0 (1), 100 (2), 400 (3) и 1000 В/см (4). 52 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора 3Не–4Не пленки над подложкой из стекла (рис. 3(б)) качественно такое же, как на рис. 3(а), а количественное различие вблизи 1~D d обусловлено тем, что в случае стекла 21(0) 4000∆ > К, что намного больше, чем для подлож- ки из твердого неона. При увеличении прижимающего электрического по- ля, которое приводит к «раздвиганию» энергетических уровней ПЭ [16–20], энергетическая щель при заданном D увеличивается по сравнению со своим значением для 0E⊥ = , сохраняя те же тенденции в зависимости от D , что и при нулевом E⊥ . Причем предельные значе- ния энергетической щели для D = 10–5–10–4 см при 100E⊥ ≥ В/см оказываются очень близкими к соответ- ствующим значениям 21∆ , рассчитанным для D → ∞ для обоих рассмотренных веществ подложки. На рис. 3(б) видно, что при 1~D d значения 21∆ для всех прижимающих полей почти сливаются. Это объяс- няется тем, что для подложки из стекла при малых тол- щинах слоя гелия основной вклад в энергию электрона вносит его поляризационное взаимодействие с вещест- вом подложки, причем вклад этого взаимодействия, пропорциональный 1 2( , )sΛ ε ε в (15) и (16), оказывается намного больше соответствующего вклада прижимаю- щего электрического поля в этих выражениях. В этих условиях зависимость 21∆ от E⊥ становится пренеб- режимо малой и незаметной на рис. 3(б). 6. Энергетическая щель при непрерывном распределении концентрации легкого изотопа В случае распределения концентрации (10) вычисле- ния энергий 1∆ и 2∆ , а также энергетической щели 21∆ проводились с использованием той же процедуры, что в предыдущем разделе, но по выражениям (21), (22). Результаты приведены на рис. 4(а) (подложка — твер- дый неон) и рис. 4(б) (подложка из стекла) для тех же значений прижимающего поля, что и на рис. 3. На рис. 4 видно, что энергетическая щель уменьшается с увели- чением толщины пленки D . С увеличением D до зна- чений 5 4~ 10 10D − −− см, когда фактически реализует- ся ситуация ПЭ над объемной жидкостью, а влияние поляризации подложки на энергии состояний ПЭ пре- небрежимо мало, для обеих подложек значения 21∆ при заданном E⊥ практически совпадают с соответст- вующими значениями для ПЭ над жидким 3Не с диэлек- трической постоянной 1ε . При уменьшении D до значений меньше 10–6 см на- блюдается резкое возрастание величины 21∆ . Причины такого поведения энергетической щели те же, что были изложены в предыдущем разделе в случае расслоив- шейся пленки при малой общей толщине пленки. В случае расслоившейся пленки мы строили зависи- мость 21 21 1 2( ) ( )D d d∆ = ∆ + при фиксированном 1d . При этом общая толщина пленки не могла быть меньше 1d , так что наличие слоя гелия с этой толщиной с ди- электрической постоянной 1ε уменьшало величину 21∆ по сравнению с ее значением над массивной подложкой из неона или стекла. Сейчас же, когда расслоения нет, значения 21( )D∆ при 0D → стремятся к приведенным в предыдущем разделе величинам 21(0)∆ при нулевом прижимающем поле и бóльших значениях конечного E⊥ , оказываясь выше, чем соответствующие значения на рис. 3 в пределе малых D. На рис. 3 и 4 видно, что поведение энергетической щели как функции полной толщины пленки качественно схожи, хотя значения 21( )D∆ при достаточно больших D несколько меньше для диффузного распределения концентрации. Более детальное сравнение результатов для 21( )D∆ , полученных в двух рассмотренных моде- лях (рис. 1 и уравнение (10)) пленки 3He–4He, проведено на рис. 5 и 6, причем на рис. 5(б) и 6(б) приведены ре- зультаты при малых значениях D. Сравнение проведено для подложки из твердого не- она при 0E⊥ = и 100E⊥ = В/см, для больших E⊥ за- висимости 21( )D∆ качественно те же. Соответствую- Рис. 5. Величина энергетической щели ∆21 в зависимости от толщины пленки D для непрерывного распределения концент- рации изотопов (10) и расслоившейся пленки с d1 = 10–6 см (2) и d1 = 5·10–7 см (3). Вещество подложки — твердый неон, E⊥ = = 0. Зависимость во всей исследованной области толщин плен- ки (а) и при малых D (б). Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 53 Е.С. Соколова, С.С. Соколов щие зависимости для подложки из стекла оказываются очень близкими и практически сливаются. Интересной особенностью рис. 5 и 6 является пересечение кривых 21( )D∆ , рассчитанных в разделах 5 и 6 соответственно. Это является следствием уже обсуждавшихся особенно- стей поведения 21( )D∆ при больших и малых D : если в пределе 0D → величина 21( )D∆ больше в модели (10), то, напротив, при D → ∞ 21( )D∆ оказывается больше для расслоившейся пленки на рис. 2(в) (пре- дельный случай рис. 1 при D → ∞ , но при фиксирован- ном d1). Из сравнения зависимостей, полученных в обе- их рассмотренных моделях пленки раствора 3Не–4Не, можно сделать вывод, что, хотя зависимости 21( )D∆ отличаются в этих моделях, различие оказывается дос- таточно малым и наиболее проявляется при толщинах пленки 610D −> см в пределе малых прижимающих полей. 7. Заключение В настоящей работе теоретически определен спектр электрона, локализованного над свободной поверхно- стью пленки раствора жидкого раствора 3Не–4Не, по- крывающей твердотельную подложку. Рассмотрены две возможные ситуации — расслоившейся пленки и плен- ки с непрерывным (диффузным) распределением кон- центрации изотопов. Потенциальная энергия электрона над расслоившейся пленкой раствора определена при решении уравнения Пуассона для электростатического поля, создаваемого зарядом. Кроме того, потенциальная энергия вычислена в газовом приближении и показано, что оба метода дают результаты, совпадающие с высо- кой точностью. Это позволило обобщить газовое при- ближение и на вычисление потенциальной энергии в случае, когда концентрация изотопов в зависимости от толщины пленки изменяется непрерывным образом. Энергии основного и первого возбужденного состояний поверхностного электрона вычислены с использованием вариационного метода, что позволило определить вели- чину энергетической щели между состояниями в зави- симости от толщины пленки для обеих рассмотренных моделей строения пленки. Сравнение зависимостей энергетической щели от толщины пленки показывает, что они отличаются для двух рассмотренных моделей пленки. Это, в принципе, позволяет предложить спек- троскопические исследования поверхностных электро- нов над пленкой раствора 3Не–4Не в качестве инстру- мента для получения сведений о характере распре- деления концентрации изотопов гелия в пленке, в до- полнение к нейтронографическим исследованиям в пленке. В то же время следует отметить, что различие между зависимостями 21( )D∆ в рассмотренных моде- лях пленки раствора 3Не–4Не выражено значительно слабее, чем для электронов над объемным раствором [7], и в случае пленки проявляется только для 610D −> см в рассмотренной линейной модели (10). Между тем сама адекватность этой модели пока не подтверждена независимыми нейтронными экспериментами. Таким образом, из сравнения результатов [7] и на- стоящей работы, можно сделать вывод о том, что спек- троскопические эксперименты для поверхностных электронов являются в случае электронов над жидким объемным изотопическим раствором гелия более ин- формативными для определения характера распреде- ления 3Не и 4Не, чем эксперименты с пленкой раствора на твердой подложке. Авторы выражают благодарность Ю.П. Монархе и В.Е. Сивоконю за обсуждение результатов работы. Приложение Фурье-образы потенциалов электростатического поля, создаваемого ПЭ, расположенным в точке { , }zr , в средах II, III и IV имеют вид ( )II (1) 12 2 ( ) exp ( ) q q z z q υ ϕ = Φ − −  −′ ∆ q q ( )(2) 112 ( ) exp 2 ,q qd q z z− Φ − − + ′  1 ' 0;d z− < < (П1) Рис. 6. То же, что на рис. 5, но для E⊥ = 100 B/см. 54 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора 3Не–4Не ( ){1(III) 2 4 exp ( ) s q z z q ε υ ϕ = ε + ε − −  −′ ∆ q q ( ) ( ) }2 exp 2s qD q z z − ε − ε − − + ′  1;D z d− < < −′ (П2) 1 2(IV) 8 exp ( ) q z z q ε ε υ ϕ = − − ′ ∆ q q , z D< −′ . (П3) Координатные зависимости потенциалов вычисля- ются по (1): ____________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 31 2 1 2 3 II 21 10 2 1 1 2 30 2 !( , , ) ( 1) 1 ! ! ! k k k kk kn s n k k k n e nz z k k k ∞ + ++ = + + = ϕ − = − τ τ τ ×′ ′ ε + ∑ ∑r r ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 221 2 2 2 22 2 2 2 2 1 1 2 1 , 2 2 2 2 s s z z z z d z z d z z d d  τ τ ττ × + − −  − + β − − + β − + − + β + + − + β + + +′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′  r r r r r r r r (П4) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 31 2 1 2 3 1 III 21 10 2 1 2 1 1 2 30 4 !( , , ) ( 1) 1 ! ! ! k k k kk kn s n k k k n e nz z k k k ∞ + ++ = + + = ε ϕ − = − τ τ τ ×′ ′ ε + ε + ε ∑ ∑r r ( ) ( ) 2 2 22 2 1 , 2 s z z z z D  τ × −  − + β − − + β + +′ ′ ′ ′  r r r r (П5) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 31 2 1 3 21 10 21 2 IV 2 21 2 1 2 1 2 30 8 !( , , ) ( 1) . 1 ! ! ! – k k k kk k n s s n k k k n e nz z k k k z z + ++∞ = + + = τ τ τε ε ϕ − = −′ ′ ε + ε + ε ε + ε + β − ′ ∑ ∑r r r r (П6) В предельных случаях полубесконечной среды (рис. 2(а) и 2(б)), а также однородной пленки (рис. 2(в)–2(е)) выражения сильно упрощаются: Для полубесконечной среды из (3), (4), (П1)–(П6) получаем ( ){ } ( ) ( ) ( )0 0 2 exp exp exp 1 q q j j q z z q z z z q z z z′ ′ υ ϕ = υ − −  − τ − +  θ + − −  θ −′ ′ ′ ′ ′     ε + q , (П7) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 1 2 1( , , ) ( ') ( ) 1 j j z z e z z z z z z z z ′ ′   τ  ϕ − = − θ + θ −′ ′ ′   ε +− + − − + + − + −′ ′ ′ ′ ′ ′    r r r r r r r r , (П8) где ( )xθ — ступенчатая функция, а индекс j ′ принимает значение 1 для ситуации, показанной на рис. 2(а), и j un=′ на рис. 2(б). В предельном случае однородной пленки (рис. 2(в)–2(е)) имеем { ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )sub sub sub sub 1 1 exp 2 exp exp ' ( ') 1 1 exp 2 f f f f f q f f f f f qd q z z q z z z qd ε − ε + ε + ε + ε − ε − ϕ = υ − −  − − +  θ +′    ε + ε + ε + ε − ε − ε −  q ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )sub sub sub sub exp exp 2 2 ( ) 1 1 exp 2 f f f q f f f f f f q z z qd q z z z z d qd   ε + ε − −  − ε − ε − − +′ ′   + υ θ − θ + +′ ′  ε + ε + ε + ε − ε − ε −   ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 sub sub exp 4 1 1 exp 2 q f f f f f f q z z z d qd  − − ′ + ε υ θ − −′  ε + ε + ε + ε − ε − ε −   , (П9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sub 0 sub,0 22 2 2 2 221sub 41( , , ) ( ) 1 2 n f f f ff nf f f z z e z z z z z z z d n − ∞ =  ε ε − ε −τ ττ ϕ = − − θ +′ ′ ′  − + − − + +′ ′ ′ ′ ε + ε + ε − + + +′ ′  ∑r - r r r r r r r Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 55 Е.С. Соколова, С.С. Соколов ( ) ( ) ( ) 01 sub, 02 2 221 2 1 1 ' \| \| 2 fn n f f nf fz z z z d n ∞ − =  τ+ + τ τ +ε + − + −′  − + − +′ ′  ∑ r r r r ( ) ( )22 1 ( ) \| \| 2 f f z z d z z d n  + θ − θ + +′ − + + +′ ′   r r ( )( ) ( ) ( ) ( )0 sub, 2 2 221sub 4 1 . 1 ( ) ( ) \| \| 2 n f ff f nf f f z d z z z z d n ∞ =  −τ τε  + + θ − −  ε + ε + ε − + −′ ′  − + + +′ ′   ∑ r r r r (П10) _______________________________________________ Приведем также предельные выражения для потен- циальной энергии ПЭ, обусловленной силами изобра- жения: ( )0 im ( ) j U z z ′Λ ε = − (П11) для рис. 2(а) и 2(б) и ( ) ( ) ( ) 1 0 0 sub, im 1 sub 1 ( ) , n f f f f fn U z z z nd − ∞ = Λ ε −τ τ = − − Λ ε ε +∑ (П12) для предельных случаев на рис. 2(в)–2(е). Диэлектри- ческая постоянная жидкого гелия в пленке fε и тол- щина пленки равны 1ε и 1d на рис. 2(в) и 2(г), 2ε и 2d на рис. 2(д), unε и D на рис. 2(е) соответственно. Диэлектрическая постоянная subε равна 2ε на рис. 2(в) и sε на рис. 2(г)–2(е). _______ 1. А.Ф. Андреев, ЖЭТФ 50, 1415 (1966). 2. D.O. Edwards and W.F. Saam, In: Progress in Low Temp. Phys., North-Holland Publ. Comp., VIIA, 302 (1978). 3. W.F. Saam, Phys. Rev. A 5, 335 (1972). 4. O. Kirichek, J. Phys.: Conference Series 150, 032042 (2009). 5. O.I. Kirichek, N.D. Vasilev, T.R. Charlton, C.J. Kinane, R.M. Dalgliesh, A. Ganshin, S. Langridge, and P.V.E. McClintock, J. Phys.: Conference Series 400, 012033 (2012). 6. C.J. Kinane, O. Kirichek, T.R. Charlton, and P.V.E. McClintock, ФНТ 42, 202 (2016) [Low Temp. Phys. 42, 152 (2016)]. 7. Ya.Yu. Bezsmolnyy, E.S. Sokolova, S.S. Sokolov, and N. Studart, Physica B: Condensed Matter 507, 41 (2017). 8. D.K. Lambert and P.L. Richards, Phys. Rev. Lett. 44, 1427 (1980). 9. S.S. Sokolov and N. Studart, J. Phys.: Condensed Matter 12, 9563 (2000). 10. Ю.П. Монарха, ФНТ 3, 1459 (1977) [Sov. J. Low Temp. Phys. 3, 702 (1977)]. 11. S.S. Sokolov and N. Studart, Phys. Rev. B 57, 704R (1998). 12. S.S. Sokolov and N. Studart, J. Low Temp. Phys. 126, 499 (2002). 13. S.S. Sokolov and N. Studart, Phys. Rev. B 68, 195403 (2003). 14. В.Б. Шикин, Ю.П. Монарха, ЖЭТФ 65, 751 (1973). 15. V.B. Shikin and Yu.P. Monarkha, J. Low Temp. Phys. 16, 193 (1974). 16. В.Б. Шикин, Ю.П. Монарха, Двумерные заряженные системы в гелии, Наука, Москва (1989). 17. Y. Monarkha and K. Kono, Two-dimensional Coulomb liquids and solids, Berlin, Springer-Verlag (2003). 18. Yu.P. Monarkha, S.S. Sokolov, аnd V.B. Shikin, Solid State Communs. 32, 611 (1981). 19. С.С. Соколов, ФНТ 11, 875 (1985) [Sov. J. Low Temp. Phys. 11, 481 (1985)]. 20. S.S. Sokolov, ФНТ 30, 271 (2004) [Low Temp. Phys. 30, 199 (2004)]. ___________________________ Енергетичний спектр поверхневих електронів над плівкою розчину 3Не – 4Не з неоднорідним розподілом ізотопів Е.С. Соколова, С.С. Соколов Теоретично з використанням варіаційного метода визначено енергетичний спектр поверхневих електронів, локалізованих над плівкою рідкого розчину 3Не–4Не, що покриває твердо- тільну підкладку. Розглянуто дві моделі просторового розподілу гелієвих ізотопів за висотою плівки. В одній з них передбачається, що плівка розшарувалась, у другій вважається безперервна лінійна зміна концентрації. Потенційну енергію електрона визначено методом рішення рівняння Пуассона для електростатичного потенціалу та у газовому наближенні, до того ж встановлено практичний збіг результатів обох методів для розшарованої плівки. Визначено залежність енергетичної щілини між основними та першим збудженим станами поверх- невих електронів залежно від товщини плівки. Проведено порівняння результатів для розглянутих моделей структури плівки. Обговорено можливість використання отриманих 56 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 https://doi.org/10.1103/PhysRevA.5.335 https://doi.org/10.1088/1742-6596/150/3/032042 https://doi.org/10.1088/1742-6596/400/1/012033 https://doi.org/10.1016/j.physb.2016.11.012 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.44.1427 https://doi.org/10.1088/0953-8984/12/46/304 Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора 3Не–4Не результатів при експериментальному дослідженні просторово- го ізотопічного розподілу в гелієвому розчині методом розсіювання нейтронів. Ключові слова: розчин 3Не–4Не, розшарування розчинів, плівка гелію, поверхневі електрони. Energy spectrum of surface electrons over the 3He–4He solution film with inhomogeneous isotope distribution E.S. Sokolova and S.S. Sokolov Theoretically, using the variational approximation, the energy spectrum of surface electrons localized above the film of the liq- uid solution of 3Не–4Не covering the solid-state substrate is de- termined. Two models of the spatial distribution of helium iso- topes along the height of the film are considered. In one of them it is assumed that the film is stratified, in the second one, contin- uous linear change of concentration is supposed. The potential energy of an electron is determined by the method of solving the Poisson equation for the electrostatic potential and in the gas approximation, and a practical coincidence of the results of both methods for the stratified film is established. The dependence of the energy gap between the ground and first excited states of surface electrons as a function of the thickness of the film is de- termined. The results for the considered models of the film struc- ture are compared. The possibility of using the obtained results for an experimental study of the spatial isotopic distribution in a helium solution by the neutron scattering method is discussed. Keywords: solution 3Не–4Не, stratification of solution, helium film, surface electrons. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 1 57 1. Введение 2. Потенциальная энергия электрона над расслоившейся пленкой 3. Потенциальная энергия поверхностных электронов в газовом приближении 4. Пробные волновые функции и энергии состояний поверхностных электронов 5. Энергетическая щель для расслоившейся пленки 6. Энергетическая щель при непрерывном распределении концентрации легкого изотопа 7. Заключение Приложение

Энергетический спектр поверхностных электронов над пленкой раствора ³Не–⁴Не с неоднородным распределением изотопов

Institution

Ähnliche Einträge