Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка
Встановлено асимптотичнi властивостi деяких типiв розв’язкiв одного класу iстотно нелiнiйних неавтономних диференцiальних рiвнянь другого порядку, а також знайдено необхiднi та достатнi умови їх iснування. We establish asymptotic properties of some solutions of a class of essentially nonlinear nonau...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2011
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175507 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / Л.И. Кусик // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 333-349. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859722063207464960 |
|---|---|
| author | Кусик, Л.И. |
| author_facet | Кусик, Л.И. |
| citation_txt | Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / Л.И. Кусик // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 333-349. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Встановлено асимптотичнi властивостi деяких типiв розв’язкiв одного класу iстотно нелiнiйних неавтономних диференцiальних рiвнянь другого порядку, а також знайдено необхiднi та достатнi умови їх iснування.
We establish asymptotic properties of some solutions of a class of essentially nonlinear nonautonomous second order differential equations, and find necessary and sufficient conditions for existence of the solutions.
|
| first_indexed | 2025-12-01T10:14:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ
ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Л. И. Кусик
Одес. нац. мор. ун-т
Украина, 65029, Одесса, ул. Мечникова, 34
We establish asymptotic properties of some solutions of a class of essentially nonlinear nonautonomous
second order differential equations, and find necessary and sufficient conditions for existence of the soluti-
ons.
Встановлено асимптотичнi властивостi деяких типiв розв’язкiв одного класу iстотно нелi-
нiйних неавтономних диференцiальних рiвнянь другого порядку, а також знайдено необхiднi та
достатнi умови їх iснування.
Рассматривается дифференциальное уравнение
y′′ = α0p(t)ϕ0(y)|y′|σ1ψ(t, y, y′), (1)
где α0 ∈ {−1, 1}, σ1 ∈ R \ {0}, p : [a, ω[−→]0,+∞[ (−∞ < a < ω ≤ +∞)1 — непрерывная
функция, ϕ0 : ∆Y0 −→ ]0,+∞[ — строго монотонная дважды непрерывно дифференци-
руемая функция, ψ : [a, ω[×D −→]0,+∞[ — непрерывная функция, D = ∆Y0 ×∆Y1 , ∆Yi
i = 0, 1, — односторонняя окрестность Yi, а каждое Yi, i ∈ {0, 1}, равно либо 0, либо ±∞.
При этом также предполагаем, что функции ϕ0 и ψ удовлетворяют условиям
lim
y−→Y0
y∈∆Y0
yϕ′0(y)
ϕ0(y)
= σ0, σ0 ∈ R \ {0}, lim sup
y−→Y0
y∈∆Y0
∣∣∣∣yϕ′′0(y)
ϕ′0(y)
∣∣∣∣ < +∞, (2)
lim
t↑ω
(y,z)→(Y0,Y1)
(y,z)∈D
ψ(t, y, z) = 1, (3)
а σ0 и σ1 таковы, что σ0 + σ1 6= 1.
Из условия (2) следует, что функция ϕ0 является правильно меняющейся (см. [1]) и
имеет место представление
ϕ0(y) = |y|σ0+o(1) при y → Y0 (y ∈ ∆Y0). (4)
1 В случае ω = +∞ считаем a > 0.
c© Л. И. Кусик, 2011
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3 333
334 Л. И. КУСИК
Определение 1. Решение y уравнения (1), заданное на некотором промежутке [t0, ω[⊂
⊂ [a, ω[, называется Pω(Y0, Y1, λ0)-решением, если для него выполнены условия
y(i)(t) ∈ ∆Yi при t ∈ [t0, ω[, lim
t↑ω
y(i)(t) = Yi, i = 0, 1, (5)
lim
t↑ω
(y′(t))2
y(t)y′′(t)
= λ0. (6)
Уравнение (1) при ψ(t, y, y′) ≡ 1, ϕ0(y) = |y|σ0sign y, σ0 6= 1, является обобщенным
уравнением Эмдена – Фаулера, свойства решений которого исследуются в [2 – 5]. Асимп-
тотические представления Pω(Y0, Y1, λ0)-решений при ψ(t, y, y′) ≡ 1 получены в [6 – 9].
Цель данной статьи — распространение результатов [3 – 9] на случай, когда в уравнении
(1) ψ(t, y, y′) 6≡ 1. При этом здесь ограничимся исследованием асимптотических свойств
Pω(Y0, Y1, λ0)-решений, для которых λ0 6= 0,±∞.
Очевидно, что каждоеPω(Y0, Y1, λ0)-решение уравнения (1) согласно (5) является стро-
го монотонным вместе со своей первой производной на [ty, ω[ ⊂ [t0, ω[. Кроме того, из
вида уравнения (1) ясно, что знак второй производной такого решения совпадает со зна-
ком α0. Поэтому в промежутке [ty, ω[ знак Pω(Y0, Y1, λ0)-решения в силу (6) такой же, как
и знак α0λ0. Таким образом, вышеизложенное влечет однозначность выбора стороны
окрестности Y0, в которой должна быть определена функция ϕ0 при изучении Pω(Y0, Y1,
λ0)-решений уравнения (1). Этот факт позволяет с помощью некоторой постоянной y0
такой, что y0 α0 λ0 > 0, конкретизировать вид односторонней окрестности ∆Y0 :
∆Y0 =
{
[y0, 0[, если α0λ0 < 0,
]0, y0], если α0λ0 > 0,
при Y0 = 0,
(7)
∆Y0 =
{
]−∞, y0], если α0λ0 < 0,
[y0 ,+∞ [, если α0λ0 > 0,
при Y0 = ±∞.
Далее рассмотрим два случая: λ0 ∈ R\{0, 1} и λ0 = 1.В первом случае дляPω(Y0, Y1, λ0)-
решения согласно [9] из условий (5), (6) следует соотношение
y′(t)
y(t)
∼ λ0
(λ0 − 1)πω(t)
при t ↑ ω, (8)
где
πω(t) =
{
t при ω = +∞,
t− ω при ω < +∞. (9)
Соотношение (8) позволяет установить знак производнойPω(Y0, Y1, λ0)-решения в окрест-
ности ω и поэтому вид окрестности ∆Y1 конкретизируем следующим образом:
∆Y1 =
{
[y1, 0[, если γ0 < 0,
]0, y1], если γ0 > 0,
при Y1 = 0,
(10)
∆Y1 =
{
]−∞, y1], если γ0 < 0,
[y1,+∞[, если γ0 > 0,
при Y1 = ±∞,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 335
где γ0 = α0sign ((λ0 − 1)πω(t)), t ∈ [a, ω[, y1 — постоянная, для которой выполнено нера-
венство γ0y1 > 0.
Далее, при λ0 ∈ R \ {0, 1} нам понадобятся свойства вспомогательной функции
Φ(y) =
y∫
Y ∗0
|z|
−σ1−1
2√
ϕ0(z)
dz,
где Y ∗0 ∈ {y0, Y0} и выбрано так, чтобы limy→Y0 Φ(y) был равен либо 0, либо ±∞, а имен-
но:
Y ∗0 =
{
Y0, если Y0 = 0,
y0, если Y0 = ±∞, при σ0 + σ1 − 1 > 0,
Y ∗0 =
{
y0, если Y0 = 0,
Y0, если Y0 = ±∞, при σ0 + σ1 − 1 < 0.
Функция Φ определена и является строго монотонной на промежутке (7). Легко про-
верить, что для нее справедливо асимптотическое представление
Φ(y) ∼ |y|
1−σ1
2 sign y
1−σ0−σ1
2
√
ϕ0(y)
при y → Y0. (11)
Обратная функция Φ−1 к Φ существует и определена
при Y ∗0 = Y0 на промежутке
{
[cϕ0 , 0[, если (1− σ0 − σ1)α0λ0 < 0,
]0, cϕ0 ], если (1− σ0 − σ1)α0λ0 > 0,
при Y ∗0 = y0 на промежутке
{
]−∞, 0], если (1− σ0 − σ1)α0λ0 < 0,
[0,+∞[, если (1− σ0 − σ1)α0λ0 > 0,
где cϕ0 =
∫ y0
Y ∗0
|z|
−σ1−1
2√
ϕ0(z)
dz.
Введем обозначения
I(t) =
t∫
A
√
p(s)|πω(s)|−σ1 ds, A =
a, если
ω∫
a
√
p(s)|πω(s)|−σ1ds = +∞,
ω, если
ω∫
a
√
p(s)|πω(s)|−σ1ds < +∞,
B = α0γ0 |λ0|
σ1+1
2 |λ0 − 1|
−σ1
2 sign (λ0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
336 Л. И. КУСИК
Теорема 1. Пусть λ0 ∈ R \ {0, 1}, а ∆Y0 , ∆Y1 выбраны, как в (7) и (10). Для сущест-
вования Pω(Y0, Y1, λ0)-решений уравнения (1) необходимо, а если выполнено одно из сле-
дующих двух условий:
λ0 6= σ1 − 1; λ0 = σ1 − 1 и λ0(σ0 + σ1 − 1) > 0, (12)
то и достаточно, чтобы
Y0 =
{
0 при (1− σ0 − σ1)I(t) < 0,
±∞ при (1− σ0 − σ1)I(t) > 0,
t ∈ ]a, ω[, (13)
Y1 =
{
0 при (λ0 − 1)πω(t) < 0,
±∞ при (λ0 − 1)πω(t) > 0,
t ∈ [a, ω[, (14)
lim
t↑ω
I ′(t)πω(t)
I(t)
=
λ0(1− σ0 − σ1)
2(λ0 − 1)
. (15)
Каждое Pω(Y0, Y1, λ0)-решение допускает асимптотические представления (8) и
|y(t)|
1−σ1
2 sign y(t)√
ϕ0(y(t))
∼ B (1− σ0 − σ1)
2
I(t) при t ↑ ω. (16)
Доказательство. Необходимость. Пусть y : [t0, ω[ → ∆Y0 является Pω(Y0, Y1, λ0)-ре-
шением уравнения (1), где λ0 ∈ R \ {0, 1}. Поскольку для любого t ∈ [t0, ω[ справедливо
равенство (
y(t)
y′(t)
)′
= 1− y(t)y′′(t)
(y′(t))2
,
то в силу (5), (6) при t ↑ ω выполнено (8).
Из уравнения (1) с учетом (3), (6) получим асимптотическое представление
(
y′(t)
y(t)
)2
∼ α0λ0p(t)ϕ0(y(t))
|y′(t)|σ1
y(t)
при t ↑ ω.
Отсюда в силу (8), (9) имеем соотношение
y′(t) sign y(t)
|y(t)|
σ1+1
2
√
ϕ0(y(t))
∼ γ0|λ0|
σ1+1
2 |λ0 − 1|
−σ1
2
√
p(t)|πω(t)|−σ1 при t ↑ ω. (17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 337
В силу (4), (5), (7) интегрирование (17) влечет выполнение условия (13).
Принимая во внимание (2), (13), (17) и применяя правило Лопиталя, получаем
lim
t↑ω
|y(t)|
1−σ1
2 sign y(t)√
ϕ0(y(t))I(t)
= lim
t↑ω
(
|y(t)|
1−σ1
2 sign y(t)√
ϕ0(y(t))
)′
I ′(t)
=
= lim
t↑ω
1
I ′(t)
(
1−σ1
2 |y(t)|
−1−σ1
2 y′(t)√
ϕ0(y(t))
− |y(t)|
1−σ1
2 sign y(t)
ϕ0(y(t))
ϕ′0(y(t))y′(t)
2
√
ϕ0(y(t))
)
=
= lim
t↑ω
|y(t)|
−1−σ1
2 y′(t)
I ′(t)
√
ϕ0(y(t))
(
1− σ1
2
− y(t)ϕ′0(y(t))
2ϕ0(y(t))
)
=
= γ0
1− σ0 − σ1
2
|λ0|
σ1+1
2 |λ0 − 1|
−σ1
2 sign y(t) =
B(1− σ0 − σ1)
2
.
Тем самым установлено (16).
Поскольку B 6= 0, то в силу (16), (17) имеет место представление
y′(t)
y(t)
=
(
1− σ0 − σ1
2
+ o(1)
)
I ′(t)
I(t)
при t ↑ ω.
Отсюда, принимая во внимание (8), получаем (15). Справедливость (14) непосредственно
следует из (8) и (10).
Достаточность. Пусть λ0 ∈ R \ {0, 1} и выполнены условия (12) – (16), а ∆Y0 , ∆Y1
выбраны, как в (7) и (10). Покажем, что уравнение (1) имеет хотя бы одно P (Y0, Y1, λ0)-
решение.
С помощью преобразования
Φ(y(t)) = B I(t)(1 + z1(x)),
y′(t)
y(t)
=
λ0
(λ0 − 1)πω(t)
(1 + z2(x)), (18)
где
x = β ln |πω(t)|, β =
{
1 при ω = +∞,
−1 при ω < +∞, (19)
приведем уравнение (1) к системе дифференциальных уравнений
z′1 = β
(
λ0
(λ0 − 1)B
F (x, z1)(1 + z2)−G(x)(1 + z1)
)
,
(20)
z′2 = β
(
λ0z
2
2 + z2(λ0 + 1) + 1
1− λ0
+
|1 + z2|σ1 L(x, z1, z2)
F 2(x, z1)
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
338 Л. И. КУСИК
в которой
F (x, z1) =
|Y (t(x), z1)|
1−σ1
2 signY (t(x), z1)√
ϕ0(Y (t(x), z1))I(t(x))
, G(x) =
I ′(t(x))πω(t(x))
I(t(x))
,
L(x, z1, z2) =
(λ0 − 1)
|λ0|
∣∣∣∣ λ0
λ0 − 1
∣∣∣∣σ1
G2(x)ψ
(
t(x), Y (t(x), z1), Y
(1)(t(x), z1, z2)
)
,
Y (t, z1) = Φ−1(B I(t)(1 + z1)), Y (1)(t, z1, z2) =
λ0Y (t, z1)
(λ0 − 1)πω(t)
(1 + z2),
а функция t : [b,+∞[ → [a, ω[ является обратной к (19), где b = β ln |πω(a)|.
Так как lim
t↑ω
Y (t, θ) = Y0 для фиксированного θ, то, учитывая (2), вид функций I, Φ,
согласно правилу Лопиталя получаем равенство
lim
t↑ω
|Y (t, θ)|
1−σ1
2 signY (t, θ)√
ϕ0(Y (t, θ))I(t)
= B(1 + θ)
1− σ0 − σ1
2
. (21)
Учитывая (11), (13), (14), выбираем x0 ≥ b настолько большим, чтобы Y (t(x), z1) ∈ ∆Y0 ,
Y (1)(t(x), z1, z2) ∈ ∆Y1 при x > x0 и |zi| ≤
1
2
, i = 1, 2.
Теперь систему (20) рассмотрим на множестве [x0,+∞[×D1×D2, где x0 = β ln |πω(t0)|,
Di =
{
zi : |zi| ≤
1
2
}
, i = 1, 2. Отметим, что на множестве [x0,+∞[×D1 функция F
отлична от нуля, непрерывна по x и дважды непрерывно дифференцируема по z1, причем
F ′z1(x, z1) = B
(
1− σ1
2
− Y (t(x), z1)ϕ
′
0(Y (t(x), z1))
ϕ0(Y (t(x), z1))
)
,
F ′′z1z1(x, z1) = − B2
F (x, z1)
Y (t(x), z1)ϕ
′
0(Y (t(x), z1))
ϕ0(Y (t(x), z1))
×
×
(
1 +
Y (t(x), z1)ϕ
′′
0(Y (t(x), z1))
ϕ′0(Y (t(x), z1))
− Y (t(x), z1)ϕ
′
0(Y (t(x), z1))
ϕ0(Y (t(x), z1))
)
.
В силу этих равенств, а также (2), (21)
F ′′z1z1(x, z1) ограничена на [x0,+∞[×D1 ×D2 (22)
и при x → +∞ справедливы соотношения
F ′z1(x, z1) →
(1− σ0 − σ1)B
2
равномерно по z1, |z1| ≤
1
2
,
(23)
F (x, θ) → (1− σ0 − σ1)(1 + θ)B
2
(
для любого фиксированного θ ∈
[
−1
2
,
1
2
])
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 339
Разлагая функции F (x, z1), 1/F 2(x, z1) при каждом фиксированном x ∈ [x0,+∞[ в ок-
рестности z1 = 0, а функцию |1 + z2|σ1 в окрестности z2 = 0 по формуле Тейлора с
остатком в форме Лагранжа, записываем систему (20) в виде
z′1 = β
(
λ0(1− σ0 − σ1)
2(λ0 − 1)
z2 +R11(x, z1, z2) +R21(x, z1, z2)
)
,
z′2 = β
(
−2
λ0 − 1
z1 +
λ0 + 1− σ1
1− λ0
z2 +R12(x, z1, z2) +R22(x, z1, z2)
)
,
где
R11(x, z1, z2) =
λ0
(λ0 − 1)B
F (x, 0)−G(x) +
(
λ0
(λ0 − 1)B
F ′z1(x, 0)−G(x)
)
z1+
+
(
λ0
(λ0 − 1)B
F (x, 0)− λ0(1− σ0 − σ1)
2(λ0 − 1)
)
z2,
R12(x, z1, z2) =
L(x, z1, z2)
F 2(x, 0)
− 1
1− λ0
+
(
2
λ0 − 1
−
2F ′z1(x, 0)L(x, z1, z2)
F 3(x, 0)
)
z1+
+
(
σ1L(x, z1, z2)
F 2(x, 0)
− σ1
λ0 − 1
)
z2,
R21(x, z1, z2) =
λ0
(λ0 − 1)B
(
F ′z1(x, 0)z1z2 +
1
2
F ′′z1z1(x, θ1)z
2
1(1 + z2)
)
,
R22(x, z1, z2) = L(x, z1, z2)
((
3(F ′z1(x, θ2))
2
F 4(x, θ2)
−
F ′′z1z1(x, θ2)
F 3(x, θ2)
)
z21+
+
σ1(σ1 − 1)(1 + θ3)
σ1−2
2F 2(x, 0)
z22 −
2σ1F
′
z1(x, 0)
F 3(x, 0)
z1z2+
+ σ1
(
3(F ′z1(x, θ2))
2
F 4(x, θ2)
−
F ′′z1z1(x, θ2)
F 3(x, θ2)
)
z21z2−
−
σ1(σ1 − 1)(1 + θ3)
σ1−2F ′z1(x, 0)
F 3(x, 0)
z1z
2
2+
+
1
2
σ1(σ1 − 1)(1 + θ3)
σ1−2
(
3(F ′z1(x, θ2))
2
F 4(x, θ2)
−
F ′′z1z1(x, θ2)
F 3(x, θ2)
)
z21z
2
2
)
+
λ0
1− λ0
z22 ,
θi ∈ [−1/2, 1/2] , i = 1, 2, 3.
Здесь согласно (2), (15), (22), (23) limx→+∞ R1i(x, z1, z2) = 0, i = 1, 2, равномерно по
(z1, z2) ∈ D1 ×D2 и lim |zi|→0
i=1,2
R2i(x, z1, z2)
|z1|+ |z2|
= 0 равномерно по x ∈ [x0,+∞[.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
340 Л. И. КУСИК
Характеристическое уравнение предельной матрицы коэффициентов
0
βλ0(1− σ0 − σ1)
2(λ0 − 1)
2β
1− λ0
β(λ0 + 1− σ1)
1− λ0
при линейной части системы имеет вид
ν2 − β(λ0 + 1− σ1)
1− λ0
ν +
λ0(1− σ0 − σ1)
(1− λ0)2
= 0.
Учитывая, что λ0 6= 0, λ0 6= 1, 1 − σ0 − σ1 6= 0 и имеет место (12), приходим к выводу
об отсутствии у данного уравнения корней с нулевой действительной частью. Используя
теорему 2.1 из [10], нетрудно показать, что система дифференциальных уравнений (20)
имеет хотя бы одно решение, стремящееся к нулю при x → +∞. Тогда из замен (18)
следует, что этому решению соответствует решение дифференциального уравнения (1),
удовлетворяющее соотношениям
Φ(y(t)) = B I(t)(1 + o(1)),
y′(t)
y(t)
=
λ0
(λ0 − 1)πω(t)
(1 + o(1)) при t ↑ ω,
первое из которых в силу (11) может быть представлено как
|y(t)|
1−σ1
2 sign y(t)√
ϕ0(y(t))
= B
1− σ0 − σ1
2
I(t)(1 + o(1)).
Более того, найденное решение является Pω(Y0, Y1, λ0)-решением. Выполнение условий
(5) при i = 0 следует из (7), (13), определения и свойств функции Φ, а при i = 1 — из (8),
(10), (14). Условие (6) следует из (1) с использованием (8), (15).
Теорема доказана.
Замечание 1. Из условий теоремы 1 следует, что уравнение (1) не имеет Pω(Y0, Y1, λ0)-
решений, если
Y0 = 0 и (1− σ0 − σ1) I(t) > 0 или Y0 ±∞ и (1− σ0 − σ1) I(t) < 0,
а также при
Y1 = 0 и (λ0 − 1)πω(t) > 0 или Y1 = ±∞ и (λ0 − 1)πω(t) < 0.
Замечание 2. Достаточные условия теоремы 1 не охватывают случай, когда λ0 = σ1−
−1 и λ0(σ0 + σ1 − 1) < 0. Накладывая дополнительные ограничения на функции p, ϕ0,
ψ и используя теорему 2.2 из [10], можно и в этом случае доказать существование хотя
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 341
бы одного Pω(Y0, Y1, λ0)-решения уравнения (1), для которого при t ↑ ω имеют место
асимптотические соотношения
|y(t)|
1−σ1
2 sign y(t)√
ϕ0(y(t))
=
B(1− σ0 − σ1)
2
I(t)
(
1 + o
(
1
ln |πω(t)|
))
,
y′(t)
y(t)
=
λ0
(λ0 − 1)πω(t)
(
1 + o
(
1
ln |πω(t)|
))
.
Теперь перейдем к изучению поведения Pω(Y0, Y1, λ0)-решений при t ↑ ω, если λ0 =
= 1. Прежде всего установим знак производной Pω(Y0, Y1, 1)-решений в окрестности ω, а
также выясним вид односторонней окрестности ∆Y1 .Для этого рассмотрим справедливое
для любого Pω(Y0, Y1, 1)-решения равенство(
|y′(t)|1−σ1signy′(t)
ϕ0(y(t))
)′
=
(1− σ1)|y′(t)|−σ1y′′(t)
ϕ0(y(t))
− y′(t)sign y′(t)|y′(t)|1−σ1ϕ′0(y(t))
ϕ2
0(y(t))
.
Отсюда с учетом (5), (6) и λ0 = 1 имеем(
|y′(t)|1−σ1sign y′(t)
ϕ0(y(t))
)′
=
|y′(t)|−σ1y′′(t)
ϕ0(y(t))
(
1− σ1 −
y(t)ϕ′0(y(t))
ϕ0(y(t))
(1 + o(1))
)
при t ↑ ω.
Из (1) в силу последнего представления, а также (2), (3) находим(
|y′(t)|1−σ1sign y′(t)
ϕ0(y(t))
)′
= α0(1− σ0 − σ1)p(t)(1 + o(1)) при t ↑ ω.
Интегрируя это соотношение на [t0, t], получаем
|y′(t)|1−σ1
ϕ0(y(t))
∼ α0γ1(1− σ0 − σ1)I1(t) при t ↑ ω, (24)
где
I1(t) =
t∫
A1
p(s) ds, A1 =
a, если
ω∫
a
p(s)ds = +∞,
ω, если
ω∫
a
p(s)ds < +∞,
(25)
γ1 = const, γ1I1(t) > 0 при t ∈ ]a, ω[.
Далее, используя (24), с помощью постоянной y1, для которой выполнено неравенство
γ1y1 > 0, конкретизируем вид односторонней окрестности ∆Y1 :
∆Y1 =
{
[y1, 0[, если γ1 < 0,
]0, y1], если γ1 > 0,
при Y1 = 0,
(26)
∆Y1 =
{
]−∞, y1], если γ1 < 0,
[y1,+∞[, если γ1 > 0,
при Y1 = ±∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
342 Л. И. КУСИК
Нам наряду с (25) понадобятся следующие обозначения:
I2(t) =
t∫
A2
|I1(s)|
1
1−σ1 ds, A2 =
b, если
ω∫
b
|I1(s)|
1
1−σ1 ds = +∞,
ω, если
ω∫
b
|I1(s)|
1
1−σ1 ds < +∞,
b ∈ ]a, ω[, σ1 6= 1,
K = γ1|1− σ0 − σ1|
1
1−σ1 , M =
1− σ1
1− σ0 − σ1
.
Теорема 2. Пусть σ1 6= 1 и ∆Y0 , ∆Y1 выбраны, как в (7) и (26). Для существования
Pω(Y0, Y1, 1)-решений уравнения (1) необходимо, а если выполнено одно из следующих
двух условий:
σ1 6= 2; σ1 = 2 и σ0 < −1, (27)
то и достаточно, чтобы
Yi =
{
0 при MI2(t) < 0,
±∞ при MI2(t) > 0,
i = 0, 1, t ∈ ]b, ω[, (28)
(1− σ1)I1(t)I2(t) > 0, t ∈ ]b, ω[, (29)
lim
t↑ω
p(t) I2(t)
I1(t)|I1(t)|
1
1−σ1
= 1− σ1. (30)
Для каждого Pω(Y0, Y1, 1)-решения справедливы при t ↑ ω асимптотические соотно-
шения
y(t)
(ϕ0(y(t)))
1
1−σ1
∼ K
M
I2(t), (31)
y′(t)
y(t)
∼ M
|I1(t)|
1
1−σ1
I2(t)
. (32)
Доказательство. Необходимость. Пусть y : [t0, ω[→ ∆Y0 — некоторое Pω(Y0, Y1, 1)-
решение уравнения (1) (σ1 6= 1). Поскольку λ0 = 1, для этого решения в силу (7)
α0 y0 > 0 и
y′′
y′
∼ y′
y
при t ↑ ω. (33)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 343
Из (24) вытекает представление
y′(t)
(ϕ0(y(t)))
1
1−σ1
∼ K |I1(t)|
1
1−σ1 при t ↑ ω, (34)
откуда следует (31). Действительно, согласно равенству(
y(t)
(ϕ0(y(t)))
1
1−σ1
)′
=
y′(t)
(ϕ0(y(t)))
1
1−σ1
− 1
1− σ1
y(t)ϕ′0(y(t))y′(t)
(ϕ0(y(t)))
1
1−σ1
+1
=
=
y′(t)
(ϕ0(y(t)))
1
1−σ1
(
1− 1
1− σ1
y(t)ϕ′0(y(t))
ϕ0(y(t))
)
имеет место соотношение
y(t)
(ϕ0(y(t)))
1
1−σ1
=
K
M
I2(t)(1 + o(1)) + C3 при t ↑ ω,
из которого следует (31). Используя (4), (31), получаем (28) при i = 0, а для i = 1 (28)
следует из (32), (33). Условия (31) и (34) влекут (32). Неравенство (29) следует из (24) и
(31), а предельное равенство (30) получаем из (1), (24), (31).
Достаточность. Пусть λ0 = 1, выполнены условия (27) – (30), ∆Y0 и ∆Y1 выбраны
как в (7) и (26). Покажем, что уравнение (1) имеет хотя бы одно P (Y0, Y1, 1)-решение,
удовлетворяющее при t ↑ ω асимптотическим представлениям (31), (32).
Введем вспомогательную функцию
Φ1(y) =
y∫
y∗0
dz
(ϕ0(z))
1
1−σ1
,
где
y∗0 = Y0, если Y0 = 0 и M > 0 или Y0 ±∞ и M < 0,
y∗0 = y0, если Y0 = 0 и M < 0 или Y0 ±∞ и M > 0.
Используя правило Лопиталя, легко убедиться в том, что
Φ1(y) ∼ M
y
(ϕ0(y))
1
1−σ1
при y → Y0, y ∈ ∆Y0 .
Обратная функция Φ−11 к Φ1 существует и определена
при y∗0 = Y0 на промежутке
{
[cϕ0 , 0[, если α0 = −1,
]0, cϕ0 ], если α0 = 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
344 Л. И. КУСИК
при y∗0 = y0 на промежутке
{
]−∞, 0], если α0 = −1,
[0,+∞[, если α0 = 1,
где cϕ0 =
∫ y0
y∗0
dz
(ϕ0(z))
1
1−σ1
.
Применяя преобразование
Φ1(y) = K I2(t)(1 + z1(x)),
y′(t)
y(t)
= M
|I1(t)|
1
1−σ1
I2(t)
(1 + z2(x)),
(35)
x = β ln |I2(t)|, β =
{
1 при A2 = ω,
−1 при A2 = b,
к уравнению (1), получаем систему дифференциальных уравнений
z′1 = β
(
−1− z1 +
M
K
F (x, z1)(1 + z2)
)
,
(36)
z′2 = β
((
1− G(x)
1− σ1
)
(1 + z2)−M(1 + z2)
2 +
|1 + z2|σ1 L(x, z1, z2)
|F (x, z1)|1−σ1
)
,
в которой
F (x, z1) =
Y (t(x), z1)
(ϕ0(Y (t(x), z1)))
1
1−σ1 I2(t(x))
, G(x) =
p(t(x)) I2(t(x))
I1(t(x)) |I1(t(x))|
1
1−σ1
,
L(x, z1, z2) =
sign(1− σ1)
M |M |−σ1
G(x)ψ
(
t(x), Y (t(x), z1), Y
(1)(t(x), z1, z2)
)
,
Y (t, z1) = Φ−11 (KI2(t)(1 + z1)), Y (1)(t, z1, z2) = MY (t, z1)
|I1(t)|
1
1−σ1
I2(t)
(1 + z2),
а функция t : [c,+∞[→ [a, ω[ (c = β ln |I2(a)|) обратная к x = β ln |I2(t)|.
Очевидно, что для фиксированного θ в силу (2), вида I2, Φ1 и lim
t↑ω
Y (t(x), θ) = Y0 верно
соотношение
lim
t↑ω
|Y (t(x), θ)|
1−σ1
2 signY (t, θ)
(ϕ0(Y (t, θ)))
1
1−σ1 I(t)
= (1 + θ)
K
M
. (37)
С учетом (28), (29) выберем x0 ≥ c настолько большим, чтобы Y (t(x), z1) ∈ ∆Y0 , Y
(1)(t(x),
z1, z2) ∈ ∆Y1 при x > x0 и |zi| ≤
1
2
, i = 1, 2.
Систему (36) рассмотрим на множестве [x0,+∞[×D1 ×D2, где x0 = β ln |I2(t)|, Di =
=
{
zi : |zi| ≤
1
2
}
, i = 1, 2. Отметим, что на множестве [x0,+∞[×D1 функция F отлична
от нуля, непрерывна и имеет частные производные до второго порядка включительно.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 345
Поскольку
F ′z1(x, z1) = K
(
1− 1
1− σ1
Y (t(x), z1)ϕ
′
0(Y (t(x), z1))
ϕ0(Y (t(x), z1))
)
,
F ′′z1z1(x, z1) = − K2
(1− σ1)F (x, z1)
Y (t(x), z1)ϕ
′
0(Y (t(x), z1))
ϕ0(Y (t(x), z1))
×
×
(
1 +
Y (t(x), z1)ϕ
′′
0(Y (t(x), z1))
ϕ′0(Y (t(x), z1))
− Y (t(x), z1)ϕ
′
0(Y (t(x), z1))
ϕ0(Y (t(x), z1))
)
,
приходим к выводу, что в силу (2), (37)
F ′′z1z1(x, z1) ограничена на [x0,+∞[×D1 ×D2 (38)
и при x → +∞ справедливы соотношения
F ′z1(x, z1) →
K
M
равномерно по z1, |z1| ≤
1
2
,
(39)
F (x, θ) → K(1 + θ)
M
(
для любого фиксированного θ ∈
[
−1
2
,
1
2
])
.
Разложим функцию
1
|F (x, z1)|1−σ1
при каждом фиксированном x ∈ [x0,+∞[ в окрестнос-
ти z1 = 0, а функцию |1 + z2|σ1 в окрестности z2 = 0 по формуле Тейлора с остатком в
форме Лагранжа и запишем систему (36) в виде
z′1 = β (−1− z1 +R11(x, z1, z2) +R21(x, z1, z2)) ,
z′2 = β (−Mz1 + (σ1 − 2)Mz2 +R12(x, z1, z2) +R22(x, z1, z2)) ,
где
R11(x, z1, z2) =
M
K
F (x, 0)− 1 + z1
(
M
K
F ′(x, 0)− 1
)
+ z2
(
M
K
F (x, 0)− 1
)
,
R21(x, z1, z2) =
Mz1
K
(
F ′(x, 0)z2 +
1
2
F ′′z1z1(x, θ1)z1(1 + z2)
)
,
R12(x, z1, z2) = 1−M − G(x)
1− σ1
+
L(x, z1, z2)
|F (x, 0)|1−σ1
− L(x, z1, z2)
F ′z1(x, 0)signF (x, 0)
|F (x, 0)|2−σ1
z1+
+Mz1 +
(
σ1L(x, z1, z2)
|F (x, 0)|1−σ1
− σ1M + 1− G(x)
1− σ1
)
z2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
346 Л. И. КУСИК
R22(x, z1, z2) = L(x, z1, z2)
(
σ1z2 +
σ1(σ1 − 1)
2
(1 + θ2)
σ1−2z22
)
×
×
(
(σ1 − 1)F ′z1(x, 0)signF (x, 0)
|F (x, 0)|2−σ1
z1 +
(σ1 − 1)
2
(
F ′′z1z1(x, θ3)signF (x, θ3)
|F (x, θ3)|2−σ1
z1+
+
(σ1 − 2)(F ′z1(x, θ3))
2
|F (x, θ3)|3−σ1
)
z21 −
σ1(σ1 − 1)F ′z1(x, 0)signF (x, 0)
|F (x, 0)|2−σ1
z1z2
)
−Mz22 ,
|θi| <
1
2
, i = 1, 2, 3.
Согласно (27) характеристическое уравнение ν2 − βM(σ1 − 2)ν + M = 0 предельной
матрицы коэффициентов при линейной части последней системы
(
0 β
−βM βM(σ1 − 2)
)
не имеет корней с нулевой действительной частью.
Кроме того, соотношения (38), (39) вместе с (30) влекут выполнение
lim
x→+∞
R1i(x, z1, z2) = 0, i = 1, 2, равномерно по zi, |zi| ≤
1
2
, i = 1, 2,
и
lim
|zi|→0
i=1,2,
R2i(x, z1, z2)
|z1|+ |z2|
= 0 равномерно по x ∈ [x0,+∞[.
Поэтому (см. [10]) система дифференциальных уравнений (36) имеет хотя бы одно реше-
ние, стремящееся к нулю при x → +∞, которому в силу замен (35) и свойств функции Φ1
соответствует решение уравнения (1), допускающее при t ↑ ω представления (31) и (32).
Условия (30) – (32) гарантируют выполнение условий (5), а также (6), в котором λ0 = 1.
Таким образом, найденное решение уравнения (1) является Pω(Y0, Y1, 1)-решением.
Теорема доказана.
Замечание 3. Из условия (28) и выбора ∆Yi , i = 0, 1, следует, что уравнение (1) не
имеет Pω(Y0, Y1, 1)-решений, если Y0 = Y1 = 0 и MI2(t) > 0 или Y0 = Y1 = ±∞ и
MI2(t) < 0.
Замечание 4. Если p ∈ C1([a, ω[; ]0,+∞[) и существует lim
t↑ω
p′(t) I1(t)
p2(t)
, то из (30) при
σ1 6= 1 следует, что
lim
t↑ω
p′(t) I1(t)
p2(t)
= 1. (40)
В связи с этим естественным дополнением к теореме 2 является следующая теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 347
Теорема 3. Пусть σ1 = 1, ∆Y0 , ∆Y1 выбраны, как в (7) и (26), p ∈ C1([a, ω[; ]0,+∞[) и
выполнено условие (40). Для существования Pω(Y0, Y1, 1)-решений уравнения (1) необхо-
димо, а если σ0 6= −1, то и достаточно, чтобы
Yi =
{
0 при σ0I1(t) > 0,
±∞ при σ0I1(t) < 0,
i = 0, 1, t ∈ ]a, ω[, (41)
α0σ0γ1I1(t) < 0, t ∈ ]a, ω[. (42)
Для каждого такого решения при t ↑ ω имеют место асимптотические представления
1
ϕ0(y(t))
∼ −α0σ0γ1 I1(t), (43)
y′(t)
y(t)ϕ0(y(t))
∼ α0γ1p(t). (44)
Доказательство. Необходимость. Пусть y : [t0, ω[→ ∆Y0 — некоторое Pω(Y0, Y1, 1)-
решение уравнения (1), где σ1 = 1. Поскольку λ0 = 1, из (1) с учетом (3), (33) получаем
представление
y′(t)
y(t)
∼ α0γ1p(t)ϕ0(y(t)) при t ↑ ω, откуда следует (44).
Введем функцию
Φ1(y) =
y∫
y∗0
dz
zϕ0(z)
,
где
y∗0 = Y0, если Y0 = 0 и σ0 < 0 или Y0 ±∞ и σ0 > 0,
y∗0 = y0, если Y0 = 0 и σ0 > 0 или Y0 ±∞ и σ0 < 0.
Очевидна эквивалентность
Φ1(y) ∼ − 1
σ0ϕ0(y)
при y → Y0, y ∈ ∆Y0 .
Поэтому из (44) вытекает соотношение Φ1(y(t)) ∼ α0γ1I1(t) при t ↑ ω, а следова-
тельно, выполнены условия (42), (43). Учитывая (4) и (43), получаем (41) при i = 0, а из
условий (33), (43), (44) вытекает (41) для i = 1.
Достаточность. Пусть выполнены условия (40) – (42), σ1 = 1, σ0 6= −1, ∆Y0 , ∆Y1
выбраны, как в (7) и (25). Покажем, что уравнение (1) имеет хотя бы одно Pω(Y0, Y1, 1)-
решение, для которого при t ↑ ω верны представления (43), (44).
Применяя к уравнению (1) преобразование
Φ1(y(t)) = α0γ1 I1(t)(1 + z1(x)),
y′(t)
y(t)ϕ0(y(t))
= α0γ1p(t)(1 + z2(x)), (45)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
348 Л. И. КУСИК
где
x = β ln |I1(t)|, β =
{
1 при A1 = ω,
−1 при A1 = a,
получаем систему дифференциальных уравнений
z′1 = β(−z1 + z2),
(46)
z′2 = β
(
1 + σ0
σ0
z2 +R12(x, z1, z2) +R22(x, z1, z2)
)
,
в которой
R12(x, z1, z2) = α0γ1ϕ0(Y (t(x), z1))I1(t(x))
(
ψ(t(x), Y (t(x), z1), Y
(1)(t(x), z1, z2))− 1−
− Y (t(x), z1)ϕ
′
0(Y (t(x), z1))
ϕ0(Y (t(x), z1))
)
− I1(t(x))p′(t(x))
p2(t(x))
+
+ z2
(
α0γ1ϕ0(Y (t(x), z1))I1(t(x))
(
ψ(t(x), Y (t(x), z1), Y
(1)(t(x), z1, z2))−
− 2
(
1 +
Y (t(x), z1)ϕ
′
0(Y (t(x), z1))
ϕ0(Y (t(x), z1))
))
− I1(t(x))p′(t(x))
p2(t(x))
− 1 + σ0
σ0
)
,
R22(x, z1, z2) = −
(
α0γ1ϕ0(Y (t(x), z1))I1(t(x))
(
1 +
Y (t(x), z1)ϕ
′
0(Y (t(x), z1))
ϕ0(Y (t(x), z1))
)
− 1 + σ0
σ0
)
z22 ,
Y (t, z1) = Φ−11 (α0γ1 I1(t)(1 + z1)), Y (1)(t, z1, z2) = α0γ1 Y (t, z1)ϕ0(Y (t, z1))(1 + z2),
функция t : [c,+∞[ → [a, ω[ (c = β ln |I1(a)|) обратная к x = β ln |I1(t)|, а функция Φ−11
обратная к Φ1.
С учетом (41), (42) выберем x0 ≥ b настолько большим, чтобы Y (t(x), z1) ∈ ∆Y0 ,
Y (1)(t(x), z1, z2) ∈ ∆Y1 при x ≥ x0 и |zi| ≤
1
2
, i = 1, 2.
Систему (46) рассмотрим на множестве [x0,+∞[×D1 ×D2, где x0 = β ln |I1(t0)|, Di =
=
{
zi : |zi| ≤
1
2
}
, i = 1, 2. Здесь согласно (2), (3), (40) limx→+∞R12(x, z1, z2) = 0 рав-
номерно по (z1, z2) ∈ D1 × D2 и lim |zi|→0
i=1,2
R22(x, z1, z2)
|z1|+ |z2|
= 0 равномерно по x ∈ [x0,+∞[.
Кроме того, в силу σ0 6= −1 уравнение ν2 − βν
σ0
− 1 + σ0
σ0
= 0 не имеет корней с нуле-
вой действительной частью, следовательно (см. [10]), существует хотя бы одно решение
системы дифференциальных уравнений (46), стремящееся к нулю при x → +∞. Этому
решению согласно заменам (45) и свойствам функции Φ1 соответствует решение уравне-
ния (1), допускающее при t ↑ ω представления (43) и (44).
Теорема доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА . . . 349
Замечание 5. При ω = +∞ условие (40) заведомо выполнено, если p(t) = ekt, k =
= const 6= 0, p(t) = ekttα, k = const 6= 0, α ∈ R и в других случаях.
Выводы. В данной работе результаты из [2 – 8] распространены на случай уравнений
вида (1), в которых ψ(t, y, y′) 6≡ 1. Здесь для такого класса уравнений получены необ-
ходимые и достаточные условия существования Pω(Y0, Y1, λ0)-решений при λ0 ∈ R \ {0}.
Кроме того, установлены асимптотические представления при t ↑ ω для всех таких реше-
ний и их производных первого порядка. Доказанные теоремы дают возможность описать
асимптотическое поведение Pω(Y0, Y1, λ0)-решений многих классов уравнений, которые
не охватываются результатами работ [2 – 8], в частности некоторых дифференциальных
уравнений второго порядка вида
y′′ =
n∑
i=1
αipi(t)ϕi(y)|y′|σi
n+m∑
i=n+1
αipi(t)ϕi(y)|y′|σi
,
где αi ∈ {−1, 1}, σi ∈ R \ {0}, i = 1, . . . , n + m, pi : [a, ω[−→]0,+∞[, i = 1, . . . , n + m, —
непрерывные функции и ϕi : ∆Y0 −→]0,+∞[, i = 1, . . . , n + m, — дважды непрерывно
дифференцируемые правильно меняющиеся функции при y → Y0.
1. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985. — 144 с.
2. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 430 с.
3. Костин А. В., Евтухов В. М. Асимптотика решений одного нелинейного дифференциального урав-
нения // Докл. АН СССР. — 1976. — 231, № 5. — С. 1059 – 1062.
4. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциаль-
ных уравнений второго порядка // Сообщ. АН ГССР. — 1982. — 106, № 3. — С. 473 – 476.
5. Евтухов В. М. Асимптотические свойства решений одного класса дифференциальных уравнений вто-
рого порядка // Math. Nachr. — 1984. — 115. — P. 215 – 236.
6. Evtukhov V. M., Kirillova L. A. Asymptotic representations of solutions of nonlinear second order differential
equations // Mem. Different. Equat. and Math. Phys. — 2003. — 30. — P. 153 – 158.
7. Кирилова Л. О. Асимптотичнi властивостi розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого по-
рядку, якi близькi до рiвнянь типу Емдена – Фаулера // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2004.
— Вип. 228 — С. 30 – 35.
8. Белозерова М. А. Асимптотическое поведение решений существенно нелинейных дифференциаль-
ных уравнений с нелинейностями, в некотором смысле близкими к степенным // Тез. докл. „Метод
функций Ляпунова и его приложения”. — Симферополь, 2006. — С. 23.
9. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифферен-
циальных уравнений : Дис. ... д-ра физ.- мат. наук. — Киев, 1998. — 294 с.
10. Евтухов В. М. Об исчезающих на бесконечности решениях вещественных неавтономных систем ква-
зилинейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 2003. — 39, № 4. — С. 433 –
444.
Получено 29.03.09,
после доработки — 09.05.10
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2011, т . 14, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175507 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T10:14:38Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кусик, Л.И. 2021-02-01T15:46:29Z 2021-02-01T15:46:29Z 2011 Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / Л.И. Кусик // Нелінійні коливання. — 2011. — Т. 14, № 3. — С. 333-349. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175507 517.925 Встановлено асимптотичнi властивостi деяких типiв розв’язкiв одного класу iстотно нелiнiйних неавтономних диференцiальних рiвнянь другого порядку, а також знайдено необхiднi та достатнi умови їх iснування. We establish asymptotic properties of some solutions of a class of essentially nonlinear nonautonomous second order differential equations, and find necessary and sufficient conditions for existence of the solutions. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка Асимптотичні представлення розв’язків одного класу нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку Asymptotic representations for solutions of one class of second order nonlinear differential equations Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка Кусик, Л.И. |
| title | Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_alt | Асимптотичні представлення розв’язків одного класу нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку Asymptotic representations for solutions of one class of second order nonlinear differential equations |
| title_full | Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_fullStr | Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full_unstemmed | Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_short | Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_sort | асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175507 |
| work_keys_str_mv | AT kusikli asimptotičeskiepredstavleniârešeniiodnogoklassanelineinyhdifferencialʹnyhuravneniivtorogoporâdka AT kusikli asimptotičnípredstavlennârozvâzkívodnogoklasunelíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdku AT kusikli asymptoticrepresentationsforsolutionsofoneclassofsecondordernonlineardifferentialequations |