Періодичні розв'язки квазілінійних матричних диференціальних рівнянь
З допомогою апарату теорiї узагальнено-обернених операторiв отримано теореми iснування (необхiдну та достатню умови) перiодичних розв’язкiв матричного диференцiального рiвняння Z˙ = AZ + ZB + Φ(t) + εf(t, Z). Вказанi умови сформульованi в термiнах жорданової структури матриць A i B. By virtue of the...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 1999 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175534 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Періодичні розв'язки квазілінійних матричних диференціальних рівнянь / С.А. Кривошея // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 209-216. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175534 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кривошея, С.А. 2021-02-01T16:53:01Z 2021-02-01T16:53:01Z 1999 Періодичні розв'язки квазілінійних матричних диференціальних рівнянь / С.А. Кривошея // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 209-216. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175534 517.9 З допомогою апарату теорiї узагальнено-обернених операторiв отримано теореми iснування (необхiдну та достатню умови) перiодичних розв’язкiв матричного диференцiального рiвняння Z˙ = AZ + ZB + Φ(t) + εf(t, Z). Вказанi умови сформульованi в термiнах жорданової структури матриць A i B. By virtue of the theory of generalized inverse operators technique we establish the existance theorems (the necessary and the sufficient conditions) for periodic solutions of matrix differential equation Z˙ = AZ + ZB + Φ(t) + εf(t, Z). These conditions are formulated in terms of the Jordan’s structure of matrices A and B. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Періодичні розв'язки квазілінійних матричних диференціальних рівнянь Periodic solutions of quasilinear matrix differential equations Периодические решения квазилинейных матричных дифференциальных уравнений Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Періодичні розв'язки квазілінійних матричних диференціальних рівнянь |
| spellingShingle |
Періодичні розв'язки квазілінійних матричних диференціальних рівнянь Кривошея, С.А. |
| title_short |
Періодичні розв'язки квазілінійних матричних диференціальних рівнянь |
| title_full |
Періодичні розв'язки квазілінійних матричних диференціальних рівнянь |
| title_fullStr |
Періодичні розв'язки квазілінійних матричних диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Періодичні розв'язки квазілінійних матричних диференціальних рівнянь |
| title_sort |
періодичні розв'язки квазілінійних матричних диференціальних рівнянь |
| author |
Кривошея, С.А. |
| author_facet |
Кривошея, С.А. |
| publishDate |
1999 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Periodic solutions of quasilinear matrix differential equations Периодические решения квазилинейных матричных дифференциальных уравнений |
| description |
З допомогою апарату теорiї узагальнено-обернених операторiв отримано теореми iснування (необхiдну та достатню умови) перiодичних розв’язкiв матричного диференцiального рiвняння Z˙ = AZ + ZB + Φ(t) + εf(t, Z). Вказанi умови сформульованi в термiнах жорданової структури матриць A i B.
By virtue of the theory of generalized inverse operators technique we establish the existance theorems (the necessary and the sufficient conditions) for periodic solutions of matrix differential equation Z˙ = AZ + ZB + Φ(t) + εf(t, Z). These conditions are formulated in terms of the Jordan’s structure of matrices A and B.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175534 |
| citation_txt |
Періодичні розв'язки квазілінійних матричних диференціальних рівнянь / С.А. Кривошея // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 209-216. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT krivošeâsa períodičnírozvâzkikvazílíníinihmatričnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT krivošeâsa periodicsolutionsofquasilinearmatrixdifferentialequations AT krivošeâsa periodičeskierešeniâkvazilineinyhmatričnyhdifferencialʹnyhuravnenii |
| first_indexed |
2025-11-24T16:49:16Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:49:16Z |
| _version_ |
1850487383174152192 |
| fulltext |
т. 2 •№ 2 • 1999
УДК 517.9
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ КВАЗIЛIНIЙНИХ
МАТРИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
С.А. Кривошея
Нац. ун-т iм. Т. Шевченка,
Україна, 252033, Київ, вул. Володимирська, 64
e-mail: ksa@hpserv.rpd.univ.kiev.ua
By virtue of the theory of generalized inverse operators technique we establish the existance theorems
(the necessary and the sufficient conditions) for periodic solutions of matrix differential equation Ż =
= AZ + ZB + Φ(t) + εf(t, Z). These conditions are formulated in terms of the Jordan’s structure of
matrices A and B.
З допомогою апарату теорiї узагальнено-обернених операторiв отримано теореми iснування
(необхiдну та достатню умови) перiодичних розв’язкiв матричного диференцiального рiвнян-
ня Ż = AZ + ZB + Φ(t) + εf(t, Z). Вказанi умови сформульованi в термiнах жорданової струк-
тури матриць A i B.
Розглянемо задачу знаходження ω-перiодичних розв’язкiв матричного диференцiального
рiвняння
Ż = AZ + ZB + Φ(t) + εf(t, Z), (1)
де Z = Z(t) невiдома (m×n)-вимiрна матриця; A, B сталi (m×m)- та (n×n)-вимiрнi
матрицi вiдповiдно; Φ(t) ω-перiодична, неперервна на [0, ω] (m × n)-вимiрна матриця;
f(t, Z) (m× n)-вимiрна матрична функцiя вигляду
f(t, Z) =
p∑
k=1
Ψ0k(t)ZΨ1k(t)Z . . .Ψk−1k(t)ZΨkk(t)
з ω-перiодичними, неперервними на [0, ω] матричними коефiцiєнтами Ψik, i = 0, 1, . . . , k;
k = 1, . . . , p, ω = const > 0; ε ≥ 0 малий параметр. Важливим частинним випадком
рiвняння (1) (m = n, p = 2) є матричне диференцiальне рiвняння Рiккатi, яке широко
використовується в багатьох задачах теорiї оптимального керування [1, 2].
Разом з рiвнянням (1) розглянемо перiодичну крайову умову
Z (0) = Z (ω) . (2)
1. Критерiй iснування перiодичних розв’язкiв породжуючого рiвняння (1) (ε = 0). Роз-
глянемо лiнiйний оператор Kt
τ , дiя якого на (m × n)-вимiрну матрицю Φ(t) з C[0,ω] визна-
чена формулою
Kt
τ [Φ] def= eA(t−τ)Φ(τ)eB(t−τ), τ, t ∈ [0, ω] . (3)
c© С.А. Кривошея, 1999 209
З допомогою оператора Kt
τ загальний розв’язок породжуючого рiвняння можна записати
у виглядi
Z = Kt
τ [M ] + Z̃
Z̃ =
t∫
0
Kt
τ [Φ] dτ
, (4)
де M довiльна стала (m× n)-вимiрна матриця.
Врахувавши крайовi умови (2), для матрицi M одержимо рiвняння типу Ляпунова
ÃM −MB̃ = D
à = eAω, B̃ = e−Bω, D = −Ã
ω∫
0
K0
τ [Φ] dτ
. (5)
Отже, породжуюче рiвняння (1) (ε = 0) має ω-перiодичний розв’язок тодi i тiльки тодi,
коли матричне рiвняння (5) розв’язне.
Вiдомо [3, с.199], що у випадку, коли матрицi à i B̃ не мають спiльних власних чисел
(некритичний випадок), матричне рiвняння (5) має єдиний розв’язок для довiльної мат-
рицi D i, отже, породжуюче рiвняння має єдиний ω-перiодичний розв’язок для довiльної
матрицi Φ(t). Критичний випадок (матрицi à i B̃ мають спiльнi власнi числа) дослiдже-
но в [4].
Нехай Ã0 = diag {Ip1(λ̃1), . . . , Ipu(λ̃u)}, B̃0 = diag {Iq1(µ̃1), . . . , Iqv(µ̃v)} жордано-
вi нормальнi форми матриць Ã i B̃: Ã = UA0U
−1, B̃ = V B̃0V
−1; Ipi(λ̃i) = λ̃iEpi + Hpi ,
Iqj (µ̃j) = µ̃jEqj + Hqj жордановi блоки;
u∑
i=1
pi = m,
v∑
j=1
qj = n, λ̃i = eλiω, µj = e−µjω; λi
i µj власнi числа матриць A i B вiдповiдно. Як вiдомо [3, с.159], кiлькiсть i вимiрнiсть
жорданових блокiв у матриць Ã i B̃ такi ж, як i у матриць A i B вiдповiдно.
Не обмежуючи загальностi, вважатимемо, що матричне рiвняння (5) має вигляд
LX def= Ã0X −XB̃0 = F , (6)
де L лiнiйний оператор; Cm×n → Cm×n, X = U−1MV , F = U−1DV .
Теорема 1 [4]. Матричне рiвняння (6) розв’язне тодi i тiльки тодi, коли виконується
умова
R [F ] = 0 , (7)
де блочний оператор R = (Rij) : Cm×n → Ker L∗ визначений рiвностями:
R [F ] = (Rij [Fij ]) ,
Rij [Fij ]
def=
0, λ̃i 6= µ̃j ;
rij−1∑
l=0
(
rij−l∑
k=1
fk+lk
)
ε̃
(l+1)
ij , pi ≤ qj , λ̃i = µ̃j ;
rij−1∑
l=0
(
rij−l∑
k=1
fkij+lk
)
ε̃
(l+1)
ij , qj < pi, kij = k + pi − qj , λ̃i = µ̃j ,
210 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
F = (Fij) блочна матриця, Fij (pi × qj)-вимiрна матриця-блок (i = 1, . . . , u; j =
= 1, . . . , v), fk+lk, fkij+lk елементи матрицi Fij .
При виконаннi умови (7) матричне рiвняння (6) має n0-параметричну сiм’ю розв’яз-
кiв вигляду
X =
n0∑
k=1
ckXk + L+F = X0C0 + L+F , (8)
де X1, . . . , Xn0 базис Ker L, c1, . . . , cn0 довiльнi скалярнi параметри,
X0
def= (X1, . . . , Xn0), C0
def= c⊗ En, c = col (c1, . . . , cn0), (9)
L+ псевдообернений оператор [5], L∗ спряжений оператор, ⊗ символ кронеке-
рiвського добутку, n0 = dim Ker L = dim Ker L∗ =
u∑
i=1
v∑
j=1
rij (rij = min(pi, qj) (λ̃i = µ̃j);
rij = 0 (λ̃i 6= µ̃j)).
Базиси Ker L i Ker L∗ утворюють системи блочних матриць вигляду
X =
0 . . . 0
. . . ε
(k)
ij . . .
0 . . . 0
, X̃ =
0 . . . 0
. . . ε̃
(k)
ij . . .
0 . . . 0
(10)
вiдповiдно, де
ε
(k)
ij =
Hk−1
pi , k = 1, . . . , pi; pi = qj ;
(0,Hk−1
pi ), k = 1, . . . , pi; pi < qj ;
col (Hk−1
qj , 0), k = 1, . . . , qj ; qj < pi,
ε̃
(k)
ij =
H∗
k−1
pi , k = 1, . . . , pi; pi = qj ;
(H∗
k−1
pi , 0), k = 1, . . . , pi; pi < qj ;
col (0,H∗
k−1
qj ), k = 1, . . . , qj ; qj < pi,
(11)
(pi × qj)-вимiрнi матрицi-блоки, λ̃i = µ̃j .
Зауваження 1. Побудувавши матрицю R оператора R в канонiчному базисi E11,
E21 . . . , Em1, E12 . . . , Emn простору Cm×n, критерiй розв’язностi матричного рiвняння (6)
можна записати в еквiвалентнiй векторно-матричнiй формi
RT [F ] = 0 , (12)
де T : Cm×n → Cmn лiнiйний оператор, дiя якого на матрицю F ∈ Cm×n визначена
формулою T [F ] def= F1 ⊕ . . . ⊕ Fn (F1, . . . , Fn стовпцi матрицi F , ⊕ символ прямої
суми).
З теореми 1 випливає необхiдна i достатня умова iснування ω-перiодичного розв’язку
породжуючого рiвняння як у некритичному, так i у критичному випадках.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 211
Теорема 2. Породжуюче рiвняння (1) (ε = 0) має ω-перiодичний розв’язок тодi i тiль-
ки тодi, коли виконується умова
R̃
à ω∫
0
K0
τ [Φ] dτ
= 0 , (13)
або (у векторно-матричнiй формi)
R̃T
à ω∫
0
K0
τ [Φ] dτ
= 0 , (14)
де R̃[ · ] def= R
[
U−1 · V
]
, а R̃ матриця оператора R̃ в базисiE11, . . . , Emn. При виконаннi
умови (13) (або (14)) породжуюче рiвняння має n0-параметричну сiм’ю ω-перiодичних
розв’язкiв вигляду
Z0(t, C0) = R̃ t
0[X0C0] + G [Φ], t ∈ [0, ω] , (15)
де G узагальнений оператор Грiна, дiя якого на матрицю Φ ∈ C[0,ω] визначена фор-
мулою
G[Φ] def=
t∫
0
Kt
τ [Φ]dτ + K̃ t
0
[
L+
(
U−1Ã
ω∫
0
K0
τ [Φ]dτV
)]
,
K̃ t
τ [ · ] def= K t
τ [U · V −1],
(16)
а матрицi X0, C0 = c⊗ En визначенi згiдно з (9) (11).
Зауваження. 2. З теореми 2 випливає, що у некритичному випадку (λ̃i 6= µ̃j ∀ i =
= 1, . . . , u; ∀ j = 1, . . . , v; n0 = 0, R̃ = 0) породжуюче рiвняння (1) (ε = 0) для довiльної
матрицi Φ(t) має єдиний ω-перiодичний розв’язок
Z0(t) = G [Φ] , t ∈ [0, ω], L+ = L−1 . (17)
3. Критичний випадок характеризується умовою
(λi + µj)ω ≡ 0 (mod 2πν), ν2 = −1; i = 1, . . . , u; j = 1, . . . , v.
2. Умови iснування перiодичних розв’язкiв рiвняння (1) ( ε > 0). Розглянемо споча-
тку задачу про iснування ω-перiодичного розв’язку рiвняння (1) Z = Z(t, ε) такого, що
Z(·, ε) ∈ C1
[0,ω], Z(t, ·) ∈ C[0,ε0], Z(t, 0) = Z0(t) у некритичному випадку.
У рiвняннi (1) виконаємо замiну Z(t, ε) = Z0(t) + Y (t, ε) (Y (t, 0) = 0). Вiдносно Y =
= Y (t, ε) дiстанемо задачу
Ẏ = AY + Y B + εf(t, Z0 + Y ), Y (0, ε) = Y (ω, ε). (18)
Застосовуючи до (18) теорему 2, у вiдповiдностi з (17) одержуємо, що задача (18) еквiва-
лентна операторному рiвнянню
Y = εG [f (t, Z0 + Y )] . (19)
212 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Рiвняння (19) є рiвнянням нерухомої точки оператора S[Y ] def= εG[f(t, Z0 +Y )], визначено-
го на замкненiй множинi
Θ0 =
{
Y = Y (t, ε) |Y (·, ε) ∈ C1
[0,ω], Y (t, ·) ∈ C[0,ε0], Y (t, 0) = 0,
||Y (t, ε)|| ≤ N0 = const}
повного простору (m × n)-вимiрних матриць Y (t, ε) з C1
[0,ω]. Неважко переконатися, що,
згiдно з теоремою Банаха, операторне рiвняння (19) має єдиний розв’язок при всiх ε ≤
≤ ε∗ ≤ ε0. Цей розв’язок можна знайти за допомогою збiжного на [0, ε∗] iтерацiйного
процесу
Y (t, ε) = lim
k→+∞
Yk, Yk+1 = εG[f(t, Z0 + Yk)],
ε ∈ [0, ε∗]; k = 0, 1, . . . ; Y0 = 0 .
(20)
Отже, справедлива така теорема.
Теорема 3. Матричне диференцiальне рiвняння (1) (ε > 0) у некритичному випадку
має єдиний ω-перiодичний розв’язок Z(t, ε). Цей розв’язок можна знайти за допомогою
iтерацiйної формули
Z(t, ε) = lim
k→+∞
Zk, Zk = Z0(t) + Yk, ε ∈ [0, ε∗], (21)
де Yk визначенi формулою (20).
Розглянемо тепер питання про iснування ω-перiодичних розв’язкiв Z(t, ε) рiвняння (1),
якi при ε = 0 перетворюються в один iз розв’язкiв Z0(t, Ĉ0) породжуючого рiвняння у
критичному випадку.
Теорема 4 (необхiдна умова). Нехай для матрицi Φ(t) виконується умова (13), а рiв-
няння (1) має ω-перiодичний розв’язок Z = Z(t, ε): Z(·, ε) ∈ C1
[0,ω], Z(t, ·) ∈ C[0,ε0],
Z(t, 0) = Z0(t, Ĉ0). Тодi матриця Ĉ0 задовольняє рiвняння
R̃
Ã]
ω∫
0
K0
τ
[
f(τ, Z0(τ, Ĉ0))
]
dτ
= 0 . (22)
Доведення. При всiх ε ∈ [0, ε0], t ∈ R маємо
Ż = AZ + ZB + Φ(t) + εf(t, Z), Z(t, ε) = Z(t+ ω, ε) . (23)
Застосувавши до функцiї Φ(t) + εf(t, Z) в (23) критерiй розв’язностi (13), дiстанемо
R̃
à ω∫
0
K0
τ [Φ(τ) + εf(τ, Z)] dτ
= 0 . (24)
Внаслiдок лiнiйностi оператора R̃ i того, що матриця Φ(t) задовольняє умову (13), з (24)
маємо
R̃
à ω∫
0
K0
τ [f(τ, Z)] dτ
= 0 . (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 213
Поклавши в (25) ε = 0, дiстанемо (22). (У вiдповiдностi з [5 7] рiвняння (22) називатиме-
мо рiвнянням для породжуючих амплiтуд.)
У рiвняннi (1) виконаємо замiну
Z(t, ε) = Z0(t, Ĉ0) + Y (t, ε), Y (t, 0) = 0, (26)
в якiй матриця Ĉ0 = ĉ⊗En задовольняє необхiдну умову (22). Вiдносно функцiї Y = Y (t, ε)
дiстанемо рiвняння
Ẏ = AY + Y B + εf
(
t, Z0(t, Ĉ0) + Y (t, ε)
)
. (27)
Видiливши у матричної функцiї f лiнiйну частину вiдносно Y i члени нульового сте-
пеня вiдносно ε, одержимо
f
(
t, Z0(t, Ĉ0) + Y (t, ε)
)
= f(t, Z0) + L0[Y ] + f1(t, Y ), (28)
де L0[Y ] лiнiйна частина, f1(t, Y ) нелiнiйна частина функцiї f , причому f1(t, 0) = 0.
Складемо операторну систему, еквiвалентну рiвнянню (27) на множинi матричних
функцiй
Y = Y (t, ε) : Y (·, ε) ∈ C1
[0,ω], Y (t, ·) ∈ C[0,ε0], Y (t, 0) = 0, Y (0, ε) = Y (ω, ε) .
Застосовуючи до рiвняння (27), в якому функцiя εf(t, Z0 + Y ) формально розглядається
як неоднорiднiсть, теорему 2, у вiдповiдностi з (14), (15) дiстанемо
Y = K̃t
0[X0C0] + Y (1)(t, ε) , (29)
R̃T
à ω∫
0
K0
τ
[
L0
[
K̃τ
0 [X0C0] + Y (1)(τ, ε)
]
+ f1(τ, Y )
]
dτ
= 0 , (30)
Y (1)(t, ε) = εG [f(τ, Z0) + L0[Y ] + f1(τ, Y )] . (31)
Враховуючи, що
X0C0 = X0 · (c ⊗ En) =
n0∑
k=1
ckXk, c = col (c1(ε), . . . , cn0(ε)) ,
ck = ck(ε) скаляри, ck(0) = 0, рiвняння (30) запишемо у виглядi лiнiйної алгебраїчної
системи вiдносно вектора c:
H0 c = q , (32)
де H0 = (h1, . . . , hn0) (mn× n0)-вимiрна матриця,
hk = R̃T
à ω∫
0
K0
τ
[
L0
[
K̃τ
0 [Xk]
]]
dτ
∈ Cmn , k = 1, . . . , n0,
q = −R̃T
à ω∫
0
K0
τ
[
L0[Y (1)(τ, ε)] + f1(τ, Y )
]
dτ
∈ Cmn .
214 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
Рiвняння (32) розв’язне тодi i тiльки тодi, коли виконується умова PH∗0 q = 0, де PH∗0
матриця-ортопроектор: Cmn → N(H∗0 ). Враховуючи структуру вектора q, можна зро-
бити висновок про те, що у випадку PH∗0 R̃ = 0 умова розв’язностi рiвняння (32) завжди
виконується. Припустимо, що
PH∗0 R̃ = 0, PH0 = 0 , (33)
де PH0 матриця-ортопроектор: Cmn → N(H0). При виконаннi умови (33) рiвняння (32)
однозначно розв’язне вiдносно c [5] i операторна система (29) (31) еквiвалентна системi
Y = K̃t
0[X0C0] + Y (1)(t, ε) , (34)
C0 = (H+
0 q) ⊗ En , (35)
Y (1)(t, ε) = εG [f(τ, Z0) + L0[Y ] + f1(τ, Y )] , (36)
де H+
0 (n0 ×mn)-вимiрна матриця, псевдообернена до H0.
НехайC(1,0)
m×n(t, ε) лiнiйний нормований простiр неперервно диференцiйовних по t на
[0, ω] i неперервних по ε на [0, ε0] (m × n)-вимiрних матриць Y (t, ε) таких, що Y (t, 0) = 0,
Y (0, ε) = Y (ω, ε), Cn0n×n(ε) лiнiйний нормований простiр неперервних по ε на [0, ε0]
(nn0 × n)-вимiрних матриць C0 = C0(ε) таких, що C0(0) = 0.
Увiвши до розгляду ((nn0 + 2m)× n)-вимiрну матрицю
W = W (t, ε) def= col
(
Y (t, ε), C0, Y
(1)(t, ε)
)
∈ Λ ,
де
Λ = C
(1,0)
m×n(t, ε)× Cnn0×n(ε)× C(1,0)
m×n(t, ε) ,
операторну систему (34) (36) запишемо у виглядi
W = L(1)[W ] + L(2)
[
F̃ (W, t, ε)
]
. (37)
Тут L(1), L(2) лiнiйнi обмеженi блочно-матричнi оператори:
L(1)[ · ] =
0 K̃t
0[X0· ] Im
0 0 L1[ · ]
0 0 0
, (38)
L(2)[ · ] = diag (0,L2[ · ],G[ · ]) , (39)
L1[ · ] = −
H+
0 R̃T
à ω∫
0
K0
τ [L0[ · ]] dτ
⊗ En , (40)
L2[ · ] =
(
H+
0 R̃T [ · ]
)
⊗ En , (41)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2 215
F̃ (W, t, ε) = col
0,−Ã
ω∫
0
K0
τ [f1(τ, Y )] dτ, ε
(
f(t, Z0)+
+L[Y ] + f1(t, Y )
))
.
Внаслiдок верхньотрикутної форми (38) блочно-матричного оператора L(1) iснує [7]
лiнiйний обмежений обернений оператор (I−L(1))−1, де I тотожний оператор: Λ→ Λ.
Тому систему (37) можна записати у виглядi
W = W̃ + L̃
[
F̃1(W, t, ε)
]
, (42)
де
W̃ = L̃ [col (0, 0, εf(t, Z0))] ,
F̃1(W, t, ε) = col
0,−Ã
ω∫
0
K0
τ [f1(τ, Y )] dτ, ε
(
L0[Y ] + f1(t, Y )
) ,
L̃ = (I− L(1))−1L(2) лiнiйний обмежений оператор Λ→ Λ.
Для розв’язання операторної системи (42) можна застосувати метод простих iтерацiй
[5, с. 189]. Збiжнiсть методу, а також необхiднi оцiнки похибок наближень можна встано-
вити з допомогою мажорант Ляпунова [7, с. 228]. Отже, справедливе таке твердження.
Теорема 5 (достатня умова).Нехай виконується умова (13) i породжуюче рiвняння
(1) (ε = 0) має n0-параметричну сiм’ю ω-перiодичних розв’язкiв (15). Тодi для кожного
розв’язку Ĉ0 = ĉ⊗En (ĉ ∈ Cn0) рiвняння для породжуючих амплiтуд (22) при виконаннi
умови (33) матричне рiвняння (1) має єдиний ω-перiодичний розв’язок Z(t, ε) (26), який
при ε = 0 перетворюється в розв’язок Z0(t, Ĉ0) породжуючого рiвняння. Цей розв’язок
можна знайти з допомогою iтерацiйного процесу
Wk+1 = W̃ + L̃
[
F̃1(Wk, t, ε)
]
, k = 0, 1, . . . ; W0 = 0 ,
збiжного при достатньо малих ε ∈ [0, ε∗∗].
1. Reid W.T. Riccati differential equations. New York, 1972. 124 p.
2. Jodar L., Navarro E. Analytic solution of Riccati equations occuring in open-loop Nash multiplayer di-
fferential games // Int. J. Math.@Math. Sci. 1992. 15, № 2. P. 359 366.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 575 с.
4. Бойчук О.А., Кривошея С.А. Критерiй розв’язностi матричних рiвнянь типу Ляпунова // Укр. мат.
журн. 1998. 50, № 8. С. 1022 1027.
5. Бойчук А.А., Журавлев В.Ф., Самойленко А.М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые
задачи // Пр. Iн-ту математики НАН України. 1995. Т. 13. 320 с.
6. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. 491 с.
7. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука,
1979. 432 с.
Одержано 20.01.99
216 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 2
|