Про застосування теорії G-секторіальних операторів до диференціальних рівнянь з частинними похідними
Показано, что несколько типов дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа приводятся к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве с G-секториальным операторным коэффициентом. We show that several kinds of parabolic type partial differential equations can be repres...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175588 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про застосування теорії G-секторіальних операторів до диференціальних рівнянь з частинними похідними / А.В. Чайковський // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 139-148. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175588 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Чайковський, А.В. 2021-02-01T19:05:28Z 2021-02-01T19:05:28Z 2012 Про застосування теорії G-секторіальних операторів до диференціальних рівнянь з частинними похідними / А.В. Чайковський // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 139-148. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175588 517.98 Показано, что несколько типов дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа приводятся к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве с G-секториальным операторным коэффициентом. We show that several kinds of parabolic type partial differential equations can be represented as differential equations in a Banach space with a G-sectorial operator coefficient. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про застосування теорії G-секторіальних операторів до диференціальних рівнянь з частинними похідними О применении теории G-секториальных операторов к дифференциальным уравнениям в частных производных On an application of the theory of G-sectorial operators to partial differential equations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про застосування теорії G-секторіальних операторів до диференціальних рівнянь з частинними похідними |
| spellingShingle |
Про застосування теорії G-секторіальних операторів до диференціальних рівнянь з частинними похідними Чайковський, А.В. |
| title_short |
Про застосування теорії G-секторіальних операторів до диференціальних рівнянь з частинними похідними |
| title_full |
Про застосування теорії G-секторіальних операторів до диференціальних рівнянь з частинними похідними |
| title_fullStr |
Про застосування теорії G-секторіальних операторів до диференціальних рівнянь з частинними похідними |
| title_full_unstemmed |
Про застосування теорії G-секторіальних операторів до диференціальних рівнянь з частинними похідними |
| title_sort |
про застосування теорії g-секторіальних операторів до диференціальних рівнянь з частинними похідними |
| author |
Чайковський, А.В. |
| author_facet |
Чайковський, А.В. |
| publishDate |
2012 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
О применении теории G-секториальных операторов к дифференциальным уравнениям в частных производных On an application of the theory of G-sectorial operators to partial differential equations |
| description |
Показано, что несколько типов дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа приводятся к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве с G-секториальным операторным коэффициентом.
We show that several kinds of parabolic type partial differential equations can be represented as differential equations in a Banach space with a G-sectorial operator coefficient.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175588 |
| citation_txt |
Про застосування теорії G-секторіальних операторів до диференціальних рівнянь з частинними похідними / А.В. Чайковський // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 1. — С. 139-148. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT čaikovsʹkiiav prozastosuvannâteoríígsektoríalʹnihoperatorívdodiferencíalʹnihrívnânʹzčastinnimipohídnimi AT čaikovsʹkiiav oprimeneniiteoriigsektorialʹnyhoperatorovkdifferencialʹnymuravneniâmvčastnyhproizvodnyh AT čaikovsʹkiiav onanapplicationofthetheoryofgsectorialoperatorstopartialdifferentialequations |
| first_indexed |
2025-11-26T06:54:58Z |
| last_indexed |
2025-11-26T06:54:58Z |
| _version_ |
1850616093519904768 |
| fulltext |
УДК 517.98
ПРО ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРIЇ G-СЕКТОРIАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ
ДО ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ
А. В. Чайковський
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 7
We show that several kinds of parabolic type partial differential equations can be represented as differential
equations in a Banach space with a G-sectorial operator coefficient.
Показано, что несколько типов дифференциальных уравнений в частных производных пара-
болического типа приводятся к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве с
G-секториальным операторным коэффициентом.
1. Вступ. Нехай (B, ‖ · ‖) — комплексний банахiв простiр, O — нульовий, I — одиничний
оператор у просторi B. Через D(A), σ(A), Rλ(A) позначимо вiдповiдно область визначе-
ння, спектр i резольвенту лiнiйного оператора A.
Велика кiлькiсть диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними параболiчного ти-
пу та їх систем зводяться до диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi вигляду
x′(t) +Ax(t) = y(t),
де t ∈ U (U — вiдрiзок, пiввiсь або вся дiйсна вiсь), y : U → B — вiдома функцiя, x : U →
→ B — невiдома, A : D(A) ⊂ B → B — операторний коефiцiєнт.
У багатьох випадках оператор A при цьому секторiальний. Нагадаємо, що лiнiйний
оператор A : D(B) ⊂ B → B називають секторiальним, якщо множина D(A) скрiзь
щiльна в B та iснують такi сталi a∈ R, ϕ ∈ (0, π/2), що для множини
Sa,ϕ := {z ∈ C | z 6= a, | arg(z − a)| < ϕ}
виконуються умови:
1) σ(A) ⊂ Sa,ϕ;
2) ∃C > 0 ∀λ∈ C\Sa,ϕ, λ 6= a : ‖Rλ(A)‖ ≤ C
|λ− a|
.
Теорiю диференцiальних рiвнянь з секторiальним операторним коефiцiєнтом та її за-
стосування викладено, наприклад, у [1 – 3]. В роботах [4 – 7] розглядаються оператори, для
яких справджується умова 1, а умову 2 замiнено на таку:
2′) ∃C > 0 ∃α ∈ (0, 1) ∀λ∈ C\Sa,ϕ, λ 6= a : ‖Rλ(A)‖ ≤ C
|λ− a|α
.
Загальну теорiю операторiв з рiзною швидкiстю спадання резольвенти поза деяким
сектором та її застосування до лiнiйних диференцiальних рiвнянь викладено в роботi [8].
Наведемо вiдповiднi означення.
Означення 1. Будемо говорити, що функцiя G : [0,+∞) → (0,+∞) належить класу
Ψ, якщо вона задовольняє наступнi умови:
c© А. В. Чайковський, 2012
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1 139
140 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
а) G не зростає на [0,+∞);
б) G(t) → 0, t → +∞;
в) функцiя 1/G лiпшицева на [0,+∞).
Разом з кожною функцiєю G ∈ Ψ будемо розглядати функцiю H(t) :=
1
t
G
(
1
t
)
,
t > 0.
Означення 2. Лiнiйний оператор T : D(T ) ⊂ B → B назвемоG-секторiальним, якщо
iснують такi сталi a∈ R i ϕ ∈
(
0,
π
2
)
, що для множини Sa,ϕ виконуються умови:
1) σ(T ) ⊂ Sa,ϕ;
2) ∃M > 0 ∀λ /∈ Sa,ϕ : ‖Rλ(T )‖ ≤ MG(|λ− a|).
Приклад 1. Кожен секторiальний оператор T є G-секторiальним, якщо покласти
G(t) = (t+ 1)−1, t ≥ 0.
У цiй статтi наведено кiлька типiв диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними
та їх систем, якi зводяться до диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi з G-секто-
рiальним операторним коефiцiєнтом A. Зокрема, розглянуто приклади рiвнянь, коли для
вiдповiдних операторiв не виконується умова 2′.
Наведенi методи є достатньо загальними i дають можливiсть розв’язати багато iнших
задач подiбного типу.
2. Система рiвнянь теплопровiдностi. Позначимо X := L2([0,+∞)). Нехай p1, p2, q1,
q2, r ∈ C2([0,+∞),R), r ∈ X, q1(s), q2(s) ≥ 1, s ≥ 0.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними
∂x1
∂t
(t, s) =
∂
∂s
(
p1(s)
∂x1
∂s
)
(t, s)− q1(s)x1(t, s)− r(s)x2(t, s) + u1(t, s),
∂x2
∂t
(t, s) =
∂
∂s
(
p2(s)
∂x2
∂s
)
(t, s)− q2(s)x2(t, s) + u2(t, s), t, s ≥ 0,
де u1, u2 — вiдомi функцiї, неперервнi за змiнною t, що належать простору L2([0,+∞)) за
змiнною s; x1, x2 — шуканi функцiї.
Цю систему можна записати у виглядi рiвняння
x′(t) = −Ax(t) + u(t), t ≥ 0,
де u(t) = (u1(t), u2(t)), t ≥ 0,— вiдома функцiя з класуC([0,+∞), X2), x(t) = (x1(t), x2(t)),
t ≥ 0, — шукана функцiя з класу C([0,+∞), X2)∩C1((0,+∞), X2), A : D(A) ⊂ X2 → X2
— лiнiйний оператор, визначений формулою
(Az)(s) =
(
−(p1z
′
1)
′(s) + q1(s)z1(s) + r(s)z2(s),−(p2z
′
2)
′(s) + q2(s)z2(s)
)
, s ≥ 0, z ∈ D(A),
D(A) =
{
(z1, z2)|zj(0) = 0, j = 1, 2, Az ∈ X2
}
.
Лема 1. Нехай p ∈ C1([0,+∞), [0,+∞)), q ∈ C2([0,+∞), [1,+∞)) i
lim
t→+∞
|(p(t)q′(t))′|q2(t) < 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
ПРО ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРIЇ G-СЕКТОРIАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 141
Лiнiйний оператор в L2([0,+∞))
(Tw)(s) = −(pw′)′ + qw, w ∈ D(T ) =
{
w|w(0) = 0, −(pw′)′ + qw ∈ L2([0,+∞))
}
,
є самоспряженим та невiд’ємним. При цьому σ(T ) ⊂ [1,+∞) i
‖(T − λI)−1‖ ≤ (max{|Imλ|, 1− Reλ})−1, λ 6∈ [1,+∞).
Крiм того,
∀ϕ ∈
(
0,
π
2
)
∃C = C(ϕ) > 0 ∀λ, |arg λ| ∈
(
ϕ,
π
2
)
∀w ∈ D(T ) : ‖qw‖ ≤ C‖(T − λI)w‖.
Якщо додатково функцiї pq′,
(pq′)′
q
обмеженi, то рiвняння
(T − λI)w = qu
має для довiльних λ, |argλ| ∈
(
0,
π
2
)
, u ∈ L2([0,+∞)) єдиний розв’язок w = wu ∈
∈ L2([0,+∞)), до того ж
∀ϕ ∈
(
0,
π
2
)
∃L = L(ϕ) > 0 ∀λ, |arg λ| ∈
(
ϕ,
π
2
)
∀u ∈ L2([0,+∞)) : ‖wu‖ ≤ L‖u‖.
Доведення. Самоспряженiсть оператора показано в [9, с. 458, 477]. Невiд’ємнiсть та
включення для спектра випливають з нерiвностi (Tz, z) ≥ ‖z‖2, z ∈ D(A), яка перевiря-
ється безпосередньо. Крiм того,
‖(T − λI)z‖ ‖z‖ ≥ |((T − λI)z, z)|,
((T − λI)z, z) =
+∞∫
0
(−(p(s)z′(s))′ + q(s)z(s)− λz(s))z(s) ds =
=
+∞∫
0
(p(s)z′(s))z′(s) ds+
+∞∫
0
(q(s)z(s)− λz(s))z(s) ds =
= ‖√pz′‖2 + ‖√qz‖2 − λ‖z‖2, z ∈ D(T ), λ∈ C.
Тому при λ 6∈ [1,+∞)
∀z ∈ D(T ) : ‖(T − λI)z‖ ≥ max{|Imλ|, 1− Reλ}‖z‖.
Нехай ϕ ∈
(
0,
π
2
)
є фiксованим, |arg λ| = ϕ, w ∈ D(T ). З результату [9, с. 707] ви-
пливає, що qw ∈ X. Розглянемо оператор D(T ) 3 w 7→ qw ∈ X, де D(T ) розглядається
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
142 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
як банахiв простiр з нормою ‖w‖D(T ) := ‖Tw‖, w ∈ D(T ). Цей оператор замкнений i
визначений на всьому просторi, а тому обмежений. Це означає, що
∃C1 > 0 ∀w ∈ D(T ) : ‖qw‖ ≤ C1‖Tw‖.
Тому
∀w ∈ D(T ) : ‖qw‖ ≤ C1(‖(T − λI)w‖+ |λ| ‖w‖) ≤
≤ C1(‖(T − λI)w‖+ ‖(T − λI)−1‖ |λ| ‖(T − λI)w‖) ≤
≤ C1‖(T − λI)w‖
(
1 +
1
sinϕ
)
.
Доведемо останнє твердження теореми. Нехай v = (T − λI)−1u, z = qv. З доведеної
частини леми випливає, що норми функцiй zv′ обмеженi вX незалежно вiд λ при |arg λ| ∈
∈
(
ϕ,
π
2
)
. Тодi
−(pz′)′ + qz − λz = −(p(v′q + vq′))′ + q2v − λqv =
= −p′(v′q + vq′)− p(v′′q + 2v′q′ + vq′′) + q2v − λqv = qu− v(pq′)′ − 2pv′q′.
Отже, можна покласти
wu = z + (T − λI)−1(v(pq′)′ + 2pv′q′).
Лему 1 доведено.
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1) lim
t→+∞
|(pj(t)q′j(t))′|q2j (t) < 1, j = 1, 2,
2) R := sup
s≥0
|r(s)|
q1(s)q2(s)
< +∞.
Покладемо
G(u) = sup
t∈[u,+∞)
inf
N ∈N
sup
s≥N
|r(s)|
q1(s)q2(s)
+
1
t+ 1
+
sup
s∈[0,N ]
|r(s)|
(t+ 1)2
, u ≥ 0.
Якщо G(u) → 0, u → +∞, то оператор A є G-секторiальним, до того ж a = 0, ϕ ∈
∈
(
0,
π
2
)
довiльне.
Доведення. Рiвняння
Ax− λx = u,
де u ∈ X2, λ∈ C, можна записати у виглядi системи
(A1 − λI)x1 + rx2 = u1,
(A2 − λI)x2 = u2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
ПРО ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРIЇ G-СЕКТОРIАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 143
де
(Ajw)(s) = −(pjw
′)′ + qjw,
w ∈ D(Aj) =
{
w|w(0) = 0, −(pjw
′)′ + qjw ∈ L2([0,+∞))
}
, j = 1, 2.
При λ 6∈ [1,+∞) за лемою 1 друге рiвняння системи має єдиний розв’язок, до того ж
‖q2x2‖ ≤ C‖u2‖.
На пiдставi другої частини леми перше рiвняння має єдиний розв’язок, причому
‖x1‖ ≤ C2R(‖u1‖+ ‖u2‖).
Безпосереднє оцiнювання також показує, що якщо виконується умоваL := sups≥0 |r(s)| <
< +∞, то
‖x1‖ ≤
C3
|λ|+ 1
(
‖u1‖+ L
‖u2‖
|λ|+ 1
)
.
Отриманi оцiнки для ‖x1‖ можна уточнити, якщо при деякому N > 0 функцiю r пода-
ти у виглядi суми функцiй r1(s) =
{
r(s), s ∈ [0, N ],
0, s > N,
та r2 = r − r1. Тодi
‖x1‖ ≤ C4
sup
s≥N
|r(s)|
q1(s)q2(s)
+
1
|λ|+ 1
+
sup
s∈[0,N ]
|r(s)|
(|λ|+ 1)2
(‖u1‖+ ‖u2‖).
Потрiбна оцiнка для x2 випливає з леми 1.
Перевiрка того, що функцiя G належить класу Ψ, аналогiчна доведенню теореми 1 з
роботи [8].
Теорему 1 доведено.
Наведемо приклад, який показує, що резольвента розглянутого в теоремi оператора
за межами вiдповiдного сектора може спадати повiльнiше за довiльну степеневу функ-
цiю.
Приклад 2. Якщо p1(s) = p2(s) = 1, q1(s) = q2(s) = s + 1, r(s) =
(s+ 1)2
ln(s+ 2)
, s ≥ 0, то
умови теореми виконано. Поклавши N = |λ| в означеннi функцiї G, отримаємо оцiнку
G(t) ≤ 2
ln(t+ 2)
+
1
t+ 1
, t ≥ 0.
Покажемо, що ця оцiнка дає правильну (з точнiстю до сталої) швидкiсть спадання
норми резольвенти. Нехай ω ∈ C2(R,R), ω(s) = 0, s 6∈ [−1, 1], ω(0) 6= 0. Покладемо
x1(s) = −r(s)ω(s− |λ|), x2(s) = (q2(s)− λ)ω(s− |λ|), s ≥ 0.
Тодi при фiксованому arg λ ∈
(
0,
π
2
)
маємо
u1(s) = (r(s)ω(s− |λ|))′′, u2(s) = −((q2(s)− λ)ω(s− |λ|))′′ + (q2(s)− λ)2ω(s− |λ|).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
144 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Бачимо, що iснують L1, L2 > 0 такi, що ‖u1‖ ≤ L2|λ|2, L1|λ|2 ≤ ‖u2‖ ≤ L2|λ|2. З iншого
боку,
∃L3 > 0 : ‖x1‖ ≥ L3
|λ|2
ln(2 + |λ|)
.
Тому
‖(A− λI)−1‖ ≥ L3
2L2
1
ln(2 + |λ|)
.
3. Система рiвнянь першого порядку. Нехай a, b, c, d — визначенi на [0,+∞) непе-
рервнi дiйснозначнi функцiї. Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь з частинними
похiдними
∂x1
∂t
(s, t) = a(s)x1(t, s) + b(s)x2(t, s) + u1(t, s),
∂x2
∂t
(s, t) = c(s)x1(t, s) + d(s)x2(t, s) + u2(t, s),
де u1, u2 ∈ C([0,+∞)2,C) — вiдомi функцiї, x1, x2 ∈ C([0,+∞)2,C)∩C1((0,+∞)×[0,+∞),
C) є шуканими.
Позначимо через Z простiр визначених на [0,+∞) неперервних обмежених комплекс-
нозначних функцiй з рiвномiрною нормою. Систему можна записати у виглядi рiвняння
x′(t) = −Ax(t) + u(t), t ≥ 0,
де u(t) = (u1(t), u2(t)), t ≥ 0,— вiдома функцiя з класуC([0,+∞), Z2), x(t) = (x1(t), x2(t)),
t ≥ 0, — шукана функцiя з класу C([0,+∞), Z2) ∩ C1((0,+∞), Z2), A : D(A) ⊂ Z2 → Z2
— лiнiйний оператор, визначений формулою
(Az)(s) = (a(s)z1(s) + b(s)z2(s), c(s)z1(s) + d(s)z2(s)), s ≥ 0, z ∈ D(A),
D(A) = {(z1, z2)|zj(0) = 0, j = 1, 2} .
Теорема 2. Нехай a(s) + d(s) ≥ 0, s ≥ 0, i
∃k > 0 : a(s)d(s) ≥ b(s)c(s) ≥ a(s)d(s)− k(a(s) + d(s))2, s ≥ 0.
Тодi iснує ϕ ∈
(
0,
π
2
)
таке, що оператор A є G-секторiальним зi сталою a = −1 в
означеннi, де
G(t) := sup
λ 6∈S−1,ϕ, |λ|≥t
sup
s≥0
|a(s)− λ|+ |d(s)− λ|+ |b(s)|+ |c(s)|
|λ2 − (a(s) + d(s))λ+ (a(s)d(s)− b(s)c(s))|
.
Доведення. Нехай λ1(s), λ2(s) — коренi рiвняння (a(s) − λ)(d(s) − λ) − b(s)c(s) = 0,
4(s) := (a(s)+d(s))2−4a(s)d(s)+4b(s)c(s) — його дискримiнант. Розглянемо два випадки:
1)4(s) ≥ 0, тодi λj(s)∈ R, 2λj ≥ a(s) + d(s)−
√
4(s) ≥ 0, j = 1, 2;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
ПРО ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРIЇ G-СЕКТОРIАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 145
2)4(s) < 0, тодi k >
1
4
i 2|Imλj(s)| =
√
−4(s) ≤
√
4k − 1(a(s)+d(s)) = 2
√
4k − 1Reλj(s),
j = 1, 2.
В обох випадках λj(s) ∈ S−1,ϕ, s ≥ 0, при деякому ϕ ∈
(
0,
π
2
)
.
При λ 6∈ S−1,ϕ маємо
((A− λI)−1z)(s) =
(
(d(s)− λ)z1(s)− b(s)z2(s)
(λ− λ1(s))(λ− λ2(s))
,
−c(s)z1(s) + (a(s)− λ)z2(s))
(λ− λ1(s))(λ− λ2(s))
)
, s ≥ 0.
Додавши оцiнки норм компонент цього вектора, отримаємо потрiбну рiвнiсть для функ-
цiї G.
Перевiрка того, що G належить Ψ, аналогiчна доведенню теореми 1 з роботи [8].
Теорему 2 доведено.
Приклад 3. Нехай a(s) = d(s) = (s+ 1)es, b(s) = e2s, c(s) = 0, s ≥ 0. Тодi умови леми
виконано i при Reλ > 1 маємо
sup
s≥0
|a(s)− λ|+ |d(s)− λ|+ |b(s)|+ |c(s)|
|λ2 − (a(s) + d(s))λ(s) + (a(s)d(s)− b(s)c(s))|
=
= sup
s≥0
2|(s+ 1)es − λ|+ e2s
|λ− (s+ 1)es|2
≤ sup
s≥0
2
|λ− (s+ 1)es|
+ sup
s≥0
e2s
|λ− (s+ 1)es|2
≤
≤ 2
|Imλ|
+
|λ|2
|λ− (1 + ln |λ|)|λ||2
≤ 2
|Imλ|
+
1
ln |λ|
.
Також ∃C > 0 ∀λ 6∈ S−1,ϕ, Reλ ≤ 1 : ‖(A− λI)−1‖ ≤ C
|λ|+ 1
.
З iншого боку, при Reλ > 1, вибираючи z1 ∈ C([0,+∞)), z1(s) = 0, |s − ln |λ|| > 1,
‖z1‖ = 1, z1(|λ|) = 1, i покладаючи z2(s) = z1(s)
λ− (s+ 1)es
e2s
, отримуємо
‖z‖ ≤ (ln |λ|+ 2)
|λ|
, ‖(A− λI)z‖ ≥ (|λ|(ln |λ|+ 1)− Reλ)2
|λ|2
,
тобто
∀ϕ ∈
(
0,
π
2
)
∃C1 = C1(ϕ) > 0, C2 = C2(ϕ) > 0 ∀λ, |arg λ| ∈
(
ϕ,
π
2
)
:
C1
ln(|λ|+ 2)
≤ ‖(A− λI)−1‖ ≤ C2
ln(|λ|+ 2)
.
4. Iнтегро-диференцiальне рiвняння. У цьому пунктi на прикладi деякого модельно-
го iнтегро-диференцiального рiвняння параболiчного типу показано, як теорiю G-секто-
рiальних операторiв можна застосувати для розв’язання подiбних рiвнянь.
Нехай g ∈ L2([0, 2π]), h ∈ C([0, 2π]).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
146 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
Розглянемо iнтегро-диференцiальне рiвняння
∂z
∂t
(t, s) = −∂
2z
∂s2
(t, s) +
2π∫
0
g(s− τ)h(s)
∂4z
∂τ4
(t, τ)dτ + y(t, s), t ≥ 0, s ∈ [0, 2π],
з крайовими умовами
∂kz
∂sk
(t, 0) =
∂kz
∂sk
(t, 2π), k = 0, 1, 2, 3,
де y — вiдома функцiя, яка неперервна за змiнною t i належить класу L2([0, 2π]) за змiн-
ною s, z — шукана функцiя.
Покладемо X0 := L2([0, 2π]). Рiвняння можна записати у виглядi
x′(t) = −Ax(t) + u(t), t ≥ 0,
де u(t) = y(t, ·), t ≥ 0, — вiдома функцiя з класу C([0,+∞), X0), x(t) = z(t, ·), t ≥ 0,
— шукана функцiя з класу C([0,+∞), X0) ∩ C1((0,+∞), X0), A : D(A) ⊂ X0 → X0 —
лiнiйний оператор, визначений формулою
(Az)(s) = −z′′(s) +
2π∫
0
g(s− τ)h(s)z′′′′(τ) dτ, s ≥ 0, z ∈ D(A),
D(A) =
{
z|z(j)(0) = z(j)(2π), j = 0, 1, 2, 3, Az ∈ X0
}
.
Наведемо одну з можливих достатнiх умов, яка гарантує, що оператор A є G-секто-
рiальним.
Теорема 3. Нехай h(s) = eis, g(s) =
∑
k∈Z g2k−1e
i(2k−1)s, s ∈ [0, 2π], g2k−1 ≥ 0, k∈ Z,
ϕ ∈
(
0,
π
2
)
довiльне. Тодi оператор A є G-секторiальним при a = 0, де
G(t) := sup
λ 6∈S0,ϕ,|λ|≥t
sup
m∈Z
m4g2m−1
|4m2 − λ|2
.
Доведення. Нехай v ∈ X0, λ 6∈ S0,ϕ. Розв’язок z ∈ X0 рiвняння (A− λI)z = v шукати-
мемо у виглядi
z(s) =
∑
k∈Z
zke
iks, s ∈ [0, 2π].
Тодi, поклавши g2m := 0, m∈ Z, отримаємо∑
k∈Z
(k2 − λ)zke
iks +
∑
k∈Z
k4gkzke
i(k+1)s =
∑
k∈Z
vke
iks.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
ПРО ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРIЇ G-СЕКТОРIАЛЬНИХ ОПЕРАТОРIВ . . . 147
При кожному k = 2m, m∈ Z, маємо систему
(k2 − λ)zk + (k − 1)4gk−1zk−1 = vk,
((k − 1)2 − λ)zk−1 = vk−1.
Отже, при k = 2m, m∈ Z, i λ 6∈ S0,ϕ
zk =
vk((k − 1)2 − λ)− (k − 1)4gk−1vk−1
((k − 1)2 − λ)(k2 − λ)
,
zk−1 =
vk−1
(k − 1)2 − λ
.
Звiдси випливає, що
∑
k∈Z |zk|2 < +∞ i
‖z‖ ≤ sup
n∈N
1
|λ− n2|
‖v‖+ sup
m∈Z
(2m− 1)4|g2m−1|
((2m− 1)2 − λ)(4m2 − λ)
‖v‖ ≤
≤ C ‖v‖ sup
m∈Z
m4g2m−1
|4m2 − λ|2
,
де стала C залежить лише вiд оператора A та кута ϕ.
Перевiрка того, що G належить Ψ, аналогiчна доведенню теореми 1 з роботи [8].
Теорему 3 доведено.
Приклад 4. Якщо
g2m−1 =
1√
|m|+ 1 ln(m2 + 2)
, m ∈ Z,
то з огляду на теорему можна покласти
G(t) =
1√
t+ 1 ln(t+ 2)
, t ≥ 0.
При цьому, як i в попереднiх прикладах, можна показати, що оператор не буде G-секто-
рiальним, якщо замiнити функцiю G на довiльну функцiю G1(t) = o(G(t)), t → +∞.
5. Висновки. Для кiлькох типiв диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними па-
раболiчного типу показано, що їх можна подати у виглядi лiнiйних диференцiальних рiв-
нянь першого порядку в банаховому просторi з G-секторiальним операторним коефiцi-
єнтом та застосувати вiдомi методи розв’язання.
1. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М.: Мир, 1985.
2. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.
3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.
4. Хилле Э., Филлипс Р. С. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: Мир, 1962.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
148 А. В. ЧАЙКОВСЬКИЙ
5. Сильченко Ю. Т., Соболевский П. Е. Разрешимость задачи Коши для эволюционного уравнения в ба-
наховом пространстве с неплотно заданным операторным коэффициентом, порождающим полугруп-
пу с особенностью // Сиб. мат. журн. — 1986. — 27, № 4. — С. 93 – 104.
6. Сильченко Ю. Т. Об одном классе полугрупп // Функцион. анализ и его прил. — 1999. — 33, № 4. —
С. 90 – 93.
7. Якубов C. М. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. — Баку, 1985.
8. Городний М. Ф., Чайковский А. В. Об одном обобщении понятия секториального оператора // Мат. сб.
— 2006. — 197, № 7. — С. 29 – 46.
9. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операто-
ры в гильбертовом пространстве. — М.: 1966.
Одержано 02.06.10,
пiсля доопрацювання — 05.03.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 1
|