Побудова розв'язків слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями
Установлены условия существования и построения решений слабонелинейных интегральных уравнений с ограничениями.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175597 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Побудова розв'язків слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями / А.Ю. Лучка, В.Ф. Мельничук // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 215-222. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175597 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1755972025-02-23T18:13:51Z Побудова розв'язків слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями Построение решений слабонелинейных интегральных уравнений с ограничениями A construction of solutions of weakly nonlinear integral equations with constraints Лучка, А.Ю. Мельничук, В.Ф. Установлены условия существования и построения решений слабонелинейных интегральных уравнений с ограничениями. We find conditions for existence and construction of solutions to weakly nonlinear integral equations with constraints. 2012 Article Побудова розв'язків слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями / А.Ю. Лучка, В.Ф. Мельничук // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 215-222. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175597 517.968 uk Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Установлены условия существования и построения решений слабонелинейных интегральных уравнений с ограничениями. |
| format |
Article |
| author |
Лучка, А.Ю. Мельничук, В.Ф. |
| spellingShingle |
Лучка, А.Ю. Мельничук, В.Ф. Побудова розв'язків слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями Нелінійні коливання |
| author_facet |
Лучка, А.Ю. Мельничук, В.Ф. |
| author_sort |
Лучка, А.Ю. |
| title |
Побудова розв'язків слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями |
| title_short |
Побудова розв'язків слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями |
| title_full |
Побудова розв'язків слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями |
| title_fullStr |
Побудова розв'язків слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями |
| title_full_unstemmed |
Побудова розв'язків слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями |
| title_sort |
побудова розв'язків слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175597 |
| citation_txt |
Побудова розв'язків слабконелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями / А.Ю. Лучка, В.Ф. Мельничук // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 2. — С. 215-222. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT lučkaaû pobudovarozvâzkívslabkonelíníjnihíntegralʹnihrívnânʹzobmežennâmi AT melʹničukvf pobudovarozvâzkívslabkonelíníjnihíntegralʹnihrívnânʹzobmežennâmi AT lučkaaû postroenierešenijslabonelinejnyhintegralʹnyhuravnenijsograničeniâmi AT melʹničukvf postroenierešenijslabonelinejnyhintegralʹnyhuravnenijsograničeniâmi AT lučkaaû aconstructionofsolutionsofweaklynonlinearintegralequationswithconstraints AT melʹničukvf aconstructionofsolutionsofweaklynonlinearintegralequationswithconstraints |
| first_indexed |
2025-11-24T06:45:22Z |
| last_indexed |
2025-11-24T06:45:22Z |
| _version_ |
1849653170546933760 |
| fulltext |
УДК 517.968
ПОБУДОВА РОЗВ’ЯЗКIВ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ
IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ
А. Ю. Лучка, В. Ф. Мельничук
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
We find conditions for existence and construction of solutions to weakly nonlinear integral equations with
constraints.
Установлены условия существования и построения решений слабонелинейных интегральных
уравнений с ограничениями.
У статтi [1] обґрунтовано застосування апроксимацiйно-iтеративного методу до слабко-
нелiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмеженнями та керуванням. У данiй статтi встанов-
лено умови сумiсностi та побудовано наближенi розв’язки вказаних задач, якi не мiстять
керування.
1. Об’єкт дослiдження. Розглянемо квазiлiнiйне iнтегральне рiвняння вигляду
x(t) = f(t) +
b∫
a
K(t, s)x(s) ds+ ε
b∫
a
H(t, s)F (s, x(s)) ds, t ∈ [a, b], (1)
i поставимо задачу знаходження його розв’язку x(t) iз класу L2([a, b]), який задовольняє
обмеження
b∫
a
S(t)x(t) dt = α+ ε
b∫
a
E(t, x(t)) dt. (2)
Обмежимось випадком, коли заданi величини задовольняють наступнi умови:
1) f ∈ L2([a, b]);
2) елементи (l × 1)-матрицi S(t) сумовнi з квадратом на вiдрiзку [a, b];
3) ядра K(t, s) та H(t, s) сумовнi з квадратом в областi [a, b]× [a, b];
4) ε ∈ R — невiд’ємний параметр i α ∈ Rl;
5) функцiї F : [a, b] × R → R та E : [a, b] × R → R задовольняють умову Лiпшиця за
другою змiнною.
Зазначимо, що до задачi (1), (2) зводяться крайовi задачi для слабконелiнiйних iнтегро-
диференцiальних рiвнянь з обмеженнями, методику дослiдження яких висвiтлено в низцi
праць (див., наприклад, [2 – 5]).
2. Пiдхiд до дослiдження задачi. Згiдно з методикою, розробленою в [2 – 5], поряд iз
c© А. Ю. Лучка, В. Ф. Мельничук, 2012
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2 215
216 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
задачею (1), (2) потрiбно дослiдити задачу
y(t) = f(t) + C(t)λ+
b∫
a
K(t, s)y(s) ds+ ε
b∫
a
H(t, s)F (s, y(s)) ds, t ∈ [a, b], (3)
b∫
a
S(t)y(t) dt = α+ ε
b∫
a
E(t, y(t)) dt (4)
i встановити зв’язок мiж обома задачами. Тут елементи (1 × l)-матрицi C(t) сумовнi з
квадратом на вiдрiзку [a, b] i заданi, функцiя y(t) iз класу L2([a, b]) та параметр λ ∈ Rl є
невiдомими.
Задачу (3), (4) можна звести до рiвносильного iнтегрального рiвняння способом, опи-
саним у [1]. Для цього розглядається допомiжна задача
y(t) = C(t)λ+
b∫
a
P (t)Q(s)y(s) ds+ z(t),
b∫
a
S(t)y(t) dt = β, (5)
в якiй (1 × n)-матриця P (t) та (n × 1)-матриця Q(s) iз сумовними з квадратом на [a, b]
елементами, z ∈ L2([a, b]) та β ∈ Rl є заданими.
Побудова розв’язку задачi (5), як вiдомо, зводиться до розв’язання системи лiнiйних
алгебраїчних рiвнянь
Λ11λ+ Λ12µ = d1, Λ21λ+ Λ22µ = d2, (6)
де матрицi
Λ11 =
b∫
a
S(t)C(t) dt, Λ12 =
b∫
a
S(t)P (t) dt,
Λ21 =
b∫
a
Q(t)C(t) dt, Λ22 =
b∫
a
Q(t)P (t) dt− I (7)
мають розмiрностi l × l, l × n, n× l та n× n вiдповiдно i
d1 = β −
b∫
a
S(t)z(t) dt, d2 = −
b∫
a
Q(t)z(t) dt, (8)
до того ж d1 ∈ Rl, d2 ∈ Rn, I — одинична матриця в Rn.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
ПОБУДОВА РОЗВ’ЯЗКIВ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 217
Припустимо, що матрицi P (t) та Q(s) пiдiбрано таким чином, що матриця
Λ =
(
Λ11 Λ12
Λ21 Λ22
)
(9)
невироджена. Тодi, як стверджується у лемi 1 iз [1], iснують функцiя R(t, s), матрицi D(t),
V (s) та ∆ розмiрностей 1×l, l×1 та l×l вiдповiдно, явнi вигляди яких вказано у зазначенiй
лемi, такi, що розв’язок задачi (5) визначається за формулами
λ = ∆β −
b∫
a
V (s)z(s) ds, (10)
y(t) = D(t)β + z(t)−
b∫
a
R(t, s)z(s) ds. (11)
Покладемо
z(t) = f(t) +
b∫
a
B(t, s)y(s) ds+ ε
b∫
a
H(t, s)F (s, y(s)) ds, (12)
β = α+ ε
b∫
a
E(t, y(t)) dt, (13)
де
B(t, s) = K(t, s)− P (t)Q(s). (14)
Тодi задача (3), (4) набере вигляду допомiжної задачi (5), єдиний розв’язок якої виража-
ється формулами (10), (11). Якщо в нього пiдставити вирази (12), (13) i виконати несклад-
нi перетворення, то отримаємо iнтегральне рiвняння
y(t) = g(t) +
b∫
a
M(t, s)y(s) ds+ ε
b∫
a
Ω(t, s, y(s)) ds, (15)
а формула (10) набере вигляду
λ = γ −
b∫
a
Φ(s)y(s) ds+ ε
b∫
a
Θ(s, y(s)) ds. (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
218 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
Зауважимо, що у формулах (15), (16)
g(t) = D(t)α+ f(t)−
b∫
a
R(t, ξ)f(ξ) dξ, γ = ∆α−
b∫
a
V (s)f(s) ds, (17)
M(t, s) = B(t, s)−
b∫
a
R(t, ξ)B(ξ, s)dξ, Φ(s) =
b∫
a
V (ξ)B(ξ, s) dξ, (18)
Ω(t, s, y(s)) = D(t)E(s, y(s)) +N(t, s)F (s, y(s)), (19)
N(t, s) = H(t, s)−
b∫
a
R(t, ξ)H(ξ, s) dξ, (20)
Θ(s, y(s)) = ∆E(s, y(s))−
b∫
a
V (ξ)H(ξ, s)F (s, y(s)) dξ. (21)
У роботi [1] доведено наступне твердження.
Теорема 1. Якщо матриця Λ (9) невироджена, то розв’язок задачi (3), (4) iснує тодi i
тiльки тодi, коли iснує розв’язок iнтегрального рiвняння (15). Задача (3), (4) i рiвняння
(15) одночасно мають єдинi розв’язки.
Лема 1. Будь-який розв’язок задачi (1), (2) задовольняє спiввiдношення
b∫
a
Φ(s)x∗(s) ds = γ + ε
b∫
a
Θ(s, x∗(s)) ds. (22)
Доведення. Нехай x∗(t) — розв’язок задачi (1), (2), тобто виконуються рiвностi
x∗(t) = f(t) +
b∫
a
K(t, s)x∗(s) ds+ ε
b∫
a
H(t, s)F (s, x∗(s)) ds, (23)
b∫
a
S(t)x∗(t) dt = α+ ε
b∫
a
E(t, x∗(t)) dt. (24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
ПОБУДОВА РОЗВ’ЯЗКIВ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 219
Врахувавши вираз (14), рiвнiсть (23) запишемо у виглядi
x∗(t) = f(t) +
b∫
a
B(t, s)x∗(s) ds+
b∫
a
P (t)Q(s)x∗(s) ds+ ε
b∫
a
H(t, s)F (s, x∗(s)) ds,
або, поклавши
z∗(t) = f(t) +
b∫
a
B(t, s)x∗(s) ds+ ε
b∫
a
H(t, s)F (s, x∗(s)) ds, (25)
β∗ = α+ ε
b∫
a
E(t, x∗(t)) dt, µ∗ =
b∫
a
Q(s)x∗(s) ds, (26)
у скороченому виглядi
x∗(t) = z∗(t) + P (t)µ∗. (27)
Розглянемо тепер систему (6), правi частини якої мають вигляд
d1 = β∗ −
b∫
a
S(t)z∗(t) dt, d2 = −
b∫
a
Q(t)z∗(t) dt, (28)
де функцiя z∗(t) визначається формулою (25). Оскiльки за припущенням матриця Λ, що
визначається формулою (9), невироджена, система (6) при вказанiй правiй частинi має
єдиний розв’язок. Зокрема, врахувавши формули (25), (10) та (16), отримаємо
λ = γ −
b∫
a
Φ(s)z∗(s) ds+ ε
b∫
a
Θ(s, z∗(s)) ds. (29)
З iншого боку, величини (28) iз урахуванням спiввiдношень (27) i (24), позначень (26)
та (7) мають вигляд
d1 = β∗ −
b∫
a
S(t)x∗(t) dt+
b∫
a
S(t)P (t) dtµ∗ = Λ12µ
∗,
d2 = −
b∫
a
Q(t)x∗(t) dt+
b∫
a
Q(t)P (t) dtµ∗ = −µ∗ + (Λ22 + I)µ∗ = Λ22µ
∗.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
220 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
Отже, система (6) набере вигляду
Λ11λ+ Λ12(µ− µ∗) = 0, Λ21λ+ Λ22(µ− µ∗) = 0,
єдиним розв’язком якої, очевидно, є
λ = 0, µ = µ∗. (30)
Тепер iз першої рiвностi (30) та виразу (29) очевидним чином випливає правильнiсть
рiвностi (22), а отже, i леми 1.
Теорема 2. Якщо матриця Λ невироджена, то розв’язок задачi (1), (2) iснує тодi i
тiльки тодi, коли iснує розв’язок y∗(t) iнтегрального рiвняння (15), який задовольняє
умову
γ −
b∫
a
Φ(s)y∗(s) ds+ ε
b∫
a
Θ(s, y∗(s)) ds = 0. (31)
Доведення. Нехай y∗(t) — розв’язок iнтегрального рiвняння (15) та виконується умова
(31). Тодi x∗(t) = y∗(t) — розв’язок задачi (1), (2). Справдi, згiдно з теоремою 1 iснує
розв’язок задачi (3), (4) (y(t), λ), до того ж y(t) = y∗(t),
λ = γ −
b∫
a
Φ(s)y∗(s) ds+ ε
b∫
a
Θ(s, y∗(s)) ds.
Враховуючи тепер умову (31), отримуємо λ = 0, тобто (y∗(t), 0) — розв’язок задачi (3),
(4). Отже, очевидно, x∗(t) = y∗(t) є розв’язком задачi (1), (2).
Навпаки, нехай x∗(t) — розв’язок задачi (1), (2). Тодi, очевидно, що (x∗(t), 0) є розв’яз-
ком задачi (3), (4), а згiдно з теоремою 1 x∗(t) буде розв’язком iнтегрального рiвняння
(15). Виконання умови (31) безпосередньо випливає iз леми 1.
Зауваження 1. Таким самим способом, як при доведеннi теореми 2 iз [1], можна вста-
новити, що задача (1), (2) має єдиний розв’язок лише тодi, коли iснує єдиний розв’язок
iнтегрального рiвняння (15), який задовольняє умову (31).
3. Побудова наближених розв’язкiв. Застосуємо до задачi (1), (2) апроксимацiйно-
iтеративний метод. Суть методу полягає в тому, що, маючи вже побудоване наближення
(yk−1(t), λk−1), знаходимо
zk(t) = f(t) +
b∫
a
B(t, s)yk−1(s) ds+ ε
b∫
a
H(t, s)F (s, yk−1(s)) ds, (32)
βk = α+ ε
b∫
a
E(t, yk−1(t)) dt (33)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
ПОБУДОВА РОЗВ’ЯЗКIВ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 221
i наступне наближення визначаємо iз задачi
yk(t) = C(t)λk +
b∫
a
P (t)Q(s)yk(s) ds+ zk(t), (34)
b∫
a
S(t)yk(t) dt = βk. (35)
Початкове наближення знаходимо iз задачi (34), (35) при k = 0 i довiльно заданих функцiї
z0(t) i векторi β0.
За умови, що матриця Λ, яка визначається формулою (9), невироджена, метод (32) –
(35) рiвнозначний методу послiдовних наближень щодо iнтегрального рiвняння (15).
Справдi, оскiльки задача (34), (35) має вигляд задачi (5), розв’язок якої зображується
формулами (10), (11), то, враховуючи їх, маємо
λk = ∆βk −
b∫
a
V (s)zk(s) ds,
yk(t) = D(t)βk + zk(t)−
b∫
a
R(t, s)zk(s) ds.
Пiдставивши тепер вирази (32), (33) в останнi рiвностi та використавши позначення (17) –
(21), отримаємо
yk(t) = g(t) +
b∫
a
M(t, s)yk−1(s) ds+ ε
b∫
a
Ω(t, s, yk−1(s)) ds, (36)
λk = γ −
b∫
a
Φ(s)yk−1(s) ds+ ε
b∫
a
Θ(s, yk−1(s)) ds. (37)
Отже, дослiдження апроксимацiйно-iтеративного методу (32) – (35) звелося до дослiд-
ження методу послiдовних наближень (36) щодо iнтегрального рiвняння (15), достатнi
умови збiжностi якого вiдомi. Зазначимо, що у випадку, коли матриця Λ (9) невироджена
та виконуються умови 1 – 5, у працi [1] встановлено достатнi умови збiжностi та оцiнки
похибки методу (32) – (35).
Теорема 3. Якщо виконуються достатнi умови iснування єдиного розв’язку y∗(t) iн-
тегрального рiвняння (15) i збiжностi до нього послiдовностi (36) та справджується
спiввiдношення
lim
k→∞
λk = 0, (38)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
222 А. Ю. ЛУЧКА, В. Ф. МЕЛЬНИЧУК
то iснує єдиний розв’язок x∗(t) задачi (1), (2) i послiдовнiсть {yk(t), k ≥ 0}, побудована
за апроксимацiйно-iтеративним методом (32) – (35), збiгається за нормою в L2([a, b])
до цього розв’язку.
Доведення. Оскiльки за умовою теореми маємо
lim
k→∞
yk(t) = y∗(t), (39)
то, виконавши граничний перехiд при k → ∞ у рiвностях (36), (37) iз урахуванням виразу
(39), отримаємо
lim
k→∞
yk(t) = y∗(t) = g(t) +
b∫
a
M(t, s)y∗(s) ds+ ε
b∫
a
Ω(t, s, y∗(s)) ds, (40)
lim
k→∞
λk = γ −
b∫
a
Φ(s)y∗(s) ds+ ε
b∫
a
Θ(s, y∗(s)) ds. (41)
Iз спiввiдношень (41) та (38) випливає, що розв’язок iнтегрального рiвняння (15) задо-
вольняє умову (31). Отже, за теоремою 2 задача (1), (2) сумiсна i згiдно iз зауваженням 1
її єдиним розв’язком є x∗(t) = y∗(t).
Зауваження 2. Iз аналiзу рiвностi (41) випливає, що умову (38) можна замiнити умо-
вою (31).
1. Лучка А. Ю., Мельничук В. Ф. Апроксимацiйно-iтеративний метод для слабконелiнiйних iнтегральних
рiвнянь з обмеженнями // Нелiнiйнi коливання. — 2012. — 15, № 1. — C. 89 – 111.
2. Лучка А. Ю. Методи дослiдження систем диференцiальних рiвнянь з обмеженнями // Диференцiальнi
рiвняння i нелiнiйнi коливання: Пр. Укр. мат. конгр. (Київ, 2002 р.). — 2002. — С. 43 – 59.
3. Лучка А. Ю., Нестеренко О. Б. Методи розв’язування крайових задач для слабконелiнiйних iнтегро-
диференцiальних рiвнянь з параметрами та обмеженнями // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 5. —
С. 672 – 679.
4. Лучка А. Ю., Ферук В. А. Модифiкований проекцiйно-iтеративний метод для систем квазiлiнiйних ди-
ференцiальних рiвнянь iз запiзненням та обмеженнями // Нелiнiйнi коливання. — 2004. — 7, № 2. —
С. 188 – 207.
5. Лучка А. Ю., Вознюк О. М. Iтерацiйний метод для iнтегральних рiвнянь з обмеженнями // Нелiнiйнi
коливання. — 2002. — 5, № 2. — С. 179 – 192.
Одержано 04.04.11,
пiсля доопрацювання — 22.09.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 2
|