Асимптотическое поведение решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Встановлено асимптотичнi зображення для одного класу розв’язкiв нелiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь, асимптотично близьких до циклiчних
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175631 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотическое поведение решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / В.М. Евтухов, М.А. Талимончак // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 213-227. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175631 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1756312025-02-09T14:11:09Z Асимптотическое поведение решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Асимптотична поведінка розв'язків нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь Asymptotic behavior of solutions to nonlinear systems of ordinary differential equations Евтухов, В.М. Талимончак, М.А. Встановлено асимптотичнi зображення для одного класу розв’язкiв нелiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь, асимптотично близьких до циклiчних For nonlinear systems of ordinary differential equations, we find asymptotic representations of a certain class of solutions that are asymptotically close to cyclic ones. 2014 Article Асимптотическое поведение решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / В.М. Евтухов, М.А. Талимончак // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 213-227. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175631 517.925.44 ru Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено асимптотичнi зображення для одного класу розв’язкiв нелiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь, асимптотично близьких до циклiчних |
| format |
Article |
| author |
Евтухов, В.М. Талимончак, М.А. |
| spellingShingle |
Евтухов, В.М. Талимончак, М.А. Асимптотическое поведение решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Нелінійні коливання |
| author_facet |
Евтухов, В.М. Талимончак, М.А. |
| author_sort |
Евтухов, В.М. |
| title |
Асимптотическое поведение решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_short |
Асимптотическое поведение решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_full |
Асимптотическое поведение решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_fullStr |
Асимптотическое поведение решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическое поведение решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| title_sort |
асимптотическое поведение решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175631 |
| citation_txt |
Асимптотическое поведение решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / В.М. Евтухов, М.А. Талимончак // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 2. — С. 213-227. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT evtuhovvm asimptotičeskoepovedenierešenijnelinejnyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT talimončakma asimptotičeskoepovedenierešenijnelinejnyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij AT evtuhovvm asimptotičnapovedínkarozvâzkívnelíníjnihsistemzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT talimončakma asimptotičnapovedínkarozvâzkívnelíníjnihsistemzvičajnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT evtuhovvm asymptoticbehaviorofsolutionstononlinearsystemsofordinarydifferentialequations AT talimončakma asymptoticbehaviorofsolutionstononlinearsystemsofordinarydifferentialequations |
| first_indexed |
2025-11-26T16:45:56Z |
| last_indexed |
2025-11-26T16:45:56Z |
| _version_ |
1849872151618781184 |
| fulltext |
УДК 517.925.44
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В. М. Евтухов, М. А. Талимончак
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
Украина, 65000, Одесса, ул. Дворянская, 2
For nonlinear systems of ordinary differential equations, we find asymptotic representations of a certain
class of solutions that are asymptotically close to cyclic ones.
Встановлено асимптотичнi зображення для одного класу розв’язкiв нелiнiйних систем звичай-
них диференцiальних рiвнянь, асимптотично близьких до циклiчних.
1. Постановка задачи и вспомогательные обозначения. Рассматривается система диффе-
ренциальных уравнений
y′i = fi(t, y1, . . . , yn), i = 1, n, (1.1)
где fi : [a, ω[×
n∏
i=1
∆Y 0
i
−→ R, i = 1, n, — непрерывные функции, −∞ < a < ω ≤ +∞1,
∆Y 0
i
, i ∈ {1, . . . , n}, — односторонняя окрестность Y 0
i , Y
0
i равно либо 0, либо ±∞.
Определение 1.1. Решение (yi)
n
i=1 системы (1.1), заданное на промежутке [t0, ω[⊂ [a, ω[,
будем называть Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решением, где −∞ ≤ Λi ≤ +∞, i = 1, n− 1, если для
него выполняются следующие условия:
yi(t) ∈ ∆Y 0
i
при t ∈ [t0, ω[, lim
t↑ω
yi(t) = Y 0
i , i = 1, n, (1.2)
lim
t↑ω
yi(t)y
′
i+1(t)
y′i(t)yi+1(t)
= Λi, i = 1, n− 1. (1.3)
Ранее в работах [1 – 5] исследовалась асимптотика Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решений для цик-
лической системы дифференциальных уравнений вида
y′i = αipi(t)ϕi+1(yi+1), i = 1, n
2
,
в которой αi ∈ {−1, 1} , i = 1, n, pi : [a, ω[→]0,+∞[, i = 1, n, — непрерывные функции,
ϕi : ∆Y 0
i
→]0; +∞[, i = 1, n, — непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворя-
ющие условиям
lim
yi→Y 0
i
yi∈∆
Y 0
i
yiϕ
′
i(yi)
ϕi(yi)
= σi, i = 1, n,
n∏
i=1
σi 6= 1.
1 Считаем, что a > 1 в случае ω = +∞ и a > ω − 1 в случае ω < +∞.
2 Здесь и далее для всех функций и параметров с индексом n+1 будем полагать их взаимно однозначное
соответствие с соответствующими величинами с индексом 1.
c© В. М. Евтухов, М. А. Талимончак, 2014
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2 213
214 В. М. ЕВТУХОВ, М. А. ТАЛИМОНЧАК
Целью настоящей работы является установление для системы дифференциальных
уравнений более общего вида (1.1) необходимых и достаточных условий существования
Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решений, а также асимптотических при t ↑ ω формул для таких реше-
ний в случае, когда Λi, i = 1, n− 1, — отличные от нуля вещественные постоянные.
В этом случае может быть определена отличная от нуля постоянная
Λn = lim
t↑ω
yn(t)y′1(t)
y′n(t)y1(t)
,
которая устанавливает связь между первой и n-й компонентамиPω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решения.
Для этой постоянной имеем
Λn = lim
t↑ω
yn(t)y′1(t)
y′n(t)y1(t)
= lim
t↑ω
[
yn(t)y′n−1(t)
y′n(t)yn−1(t)
. . .
y2(t)y′1(t)
y′2(t)y1(t)
]
=
1
Λ1 . . .Λn−1
. (1.4)
Положив
µi =
1, если Y 0
i = +∞,
либо Y 0
i = 0 и ∆Y 0
i
− правая окрестность 0,
−1, если Y 0
i = −∞,
либо Y 0
i = 0 и ∆Y 0
i
− левая окрестность 0,
заметим, что числа µi, i = 1, n, определяют знаки компонент Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решения
в некоторой левой окрестности ω.
Вопрос о существовании Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решений системы (1.1) в случае фиксиро-
ванных значений Λi ∈ R/{0}, i = 1, n− 1, а также об асимптотике таких решений при
t ↑ ω будем исследовать в случае, когда данная система является в некотором смысле
близкой к циклической с правильно меняющимися нелинейностями.
Определение 1.2. Будем говорить, что система дифференциальных уравнений (1.1)
удовлетворяет условию N(Λ1, . . . ,Λn−1), где Λi ∈ R/{0}, i = 1, n− 1, если для каждого
k ∈ {1, . . . , n} существуют число αk ∈ {−1, 1}, непрерывная функция pk : [a, ω[−→
−→]0,+∞[ и непрерывная правильно меняющаяся при yk+1 → Y 0
k+1 функция ϕk+1 :
∆Y 0
k+1
−→]0,+∞[ порядка σk+1 такие, что для любых функций yi : [a, ω[−→ ∆Y 0
i
, i =
= 1, n, удовлетворяющих условиям (1.2), (1.3), имеет место представление
fk(t, y1(t), . . . , yn(t)) = αkpk(t)ϕk+1(yk+1(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω. (1.5)
В силу определения правильно меняющейся функции (см. [6, с. 9, 10], гл. I. п. 1.1) каж-
дая из функций ϕi, i ∈ {1, . . . , n}, допускает представление вида
ϕi(z) = |z|σiLi(z), (1.6)
где Li : ∆Y 0
i
−→]0,+∞[ — непрерывная медленно меняющаяся при z → Y 0
i функция, т. е.
такая, что
lim
z→Y 0
i
z∈∆
Y 0
i
Li(λz)
Li(z)
= 1 для любого λ > 0. (1.7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 215
Известно (см. [6, с. 10 – 15], гл. I, п. 1.2), что предельное соотношение (1.7) выполняется
равномерно по λ на любом отрезке [c, d] ∈ ]0,+∞[ (свойство M1) и существует непрерыв-
но дифференцируемая медленно меняющаяся при z → Y 0
i функция Li0 : ∆Y 0
i
−→]0,+∞[
(свойство M2), удовлетворяющая условиям
lim
z→Y 0
i
z∈∆
Y 0
i
Li(z)
Li0(z)
= 1, lim
z→Y 0
i
z∈∆
Y 0
i
zL′i0(z)
Li0(z)
= 0. (1.8)
При этом функция
ϕi0(z) = |z|σiLi0(z) (1.9)
непрерывно дифференцируема на промежутке ∆Y 0
i
и такова, что
lim
z→Y 0
i
z∈∆
Y 0
i
ϕi(z)
ϕi0(z)
= 1, lim
z→Y 0
i
z∈∆
Y 0
i
zϕ′i0(z)
ϕi0(z)
= σi. (1.10)
Предполагая, что система (1.1) при некоторых Λi, i ∈ {1, . . . , n − 1}, удовлетворяет
условию N(Λ1, . . . ,Λn−1) и при этом порядки σk, k = 1, n, функций ϕk таковы, что
n∏
k=1
σk 6= 1, (1.11)
введем некоторые вспомогательные обозначения.
В силу (1.4)
∏n
i=1 Λi = 1. Отсюда согласно условию (1.11), хотя бы для одного значе-
ния i ∈ {1, . . . , n} выражение 1− Λiσi+1 отлично от нуля. Пусть
I = {i ∈ {1, . . . , n} : 1− Λiσi+1 6= 0}, Ī = {1, . . . , n}\I
и l — минимальный элемент множества I.
Учитывая выбор l, введем вспомогательные функции Ii, i = 1, n, и отличные от нуля
постоянные βi, i = 1, n, полагая
Ii(t) =
t∫
Ai
pi(τ) dτ при i ∈ I,
t∫
Ai
Il(τ)pi(τ) dτ при i ∈ Ī,
βi =
1− Λiσi+1 при i ∈ I,
βl
Λl . . .Λi−1
при i ∈ {l + 1, . . . , n}\I,
βl
Λl . . .ΛnΛ1 . . .Λi−1
при i ∈ {1, . . . , l − 1}\I,
где каждый из пределов интегрированияAi ∈ {ω, a} выбран так, чтобы соответствующий
ему интеграл Ii стремился либо к нулю, либо к∞ при t ↑ ω.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
216 В. М. ЕВТУХОВ, М. А. ТАЛИМОНЧАК
Кроме того, введем числа
A∗i =
{
1, если Ai = a,
−1, если Ai = ω,
i = 1, n. (1.12)
Тогда
sign Ii(t) =
A∗i при i ∈ I,
A∗iA
∗
l при i ∈ Ī,
t ∈]a, ω[.
Также, учитывая (1.2), замечаем, что в случае выполнения условия N(Λ1, . . . ,Λn−1)
для существования Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решений системы (1.1) необходимо выполнение при
i = 1, n неравенств
αiµi > 0 при Yi = ±∞, αiµi < 0 при Yi = 0. (1.13)
2. Основные результаты.
Теорема 2.1. Пусть Λi ∈ R \ {0}, i = 1, n− 1, система дифференциальных уравнений
(1.1) удовлетворяет условию N(Λ1, . . . ,Λn−1) и при этом порядки правильно меняю-
щихся функций ϕk, k = 1, n, в представлениях (1.5) таковы, что выполняются усло-
вия (1.11). Пусть, кроме того, l = min I. Тогда для существования Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-
решений системы (1.1) необходимо, а если алгебраическое относительно ρ уравнение
n∏
i=1
i−1∏
j=1
Λj + ρ
− n∏
i=1
σi i−1∏
j=1
Λj
= 0 (2.1)
не имеет корней с нулевой действительной частью, то и достаточно, чтобы для каж-
дого i ∈ {1, . . . , n}
lim
t↑ω
Ii(t)I
′
i+1(t)
I ′i(t)Ii+1(t)
= Λi
βi+1
βi
(2.2)
и выполнялись знаковые условия
A∗iβi > 0 при Yi = ±∞, A∗iβi < 0 при Yi = 0, (2.3)
sign [αiA
∗
iβi] = µi. (2.4)
Более того, каждое такое решение допускает при t ↑ ω асимптотические представле-
ния
yi(t)
ϕi+1(yi+1(t))
= αiβiIi(t)[1 + o(1)] при i ∈ I, (2.5)
yi(t)
ϕi+1(yi+1(t))
= αiβi
Ii(t)
Il(t)
[1 + o(1)] при i ∈ Ī, (2.6l)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 217
а также явные представления вида
yi(t) = µi|Ii(t)|
1
βi
+o(1)
, i = 1, n, при t ↑ ω, (2.7)
причем существует k-параметрическое семейство таких решений в случае, когда среди
корней алгебраического уравнения (2.1) имеется k корней (с учетом кратных), знаки
действительных частей которых противоположны знаку числа A∗l βl.
Замечание 2.1. Уравнение (2.1) заведомо не имеет корней с нулевой действительной
частью, если
∏n
i=1 |σi| < 1.
В самом деле, если бы уравнение (2.1) имело корень ρ0 = iγ, где γ ∈ R, то из (2.1)
с учетом того, что все Λj , j = 1, n− 1, — отличные от нуля вещественные постоянные,
получили бы неравенство
n∏
i=1
|σi|
i−1∏
j=1
|Λj | =
n∏
i=1
∣∣∣∣∣∣
i−1∏
j=1
Λj + ρ0
∣∣∣∣∣∣ ≥
i−1∏
j=1
|Λj | ,
откуда следует, что
∏n
i=1 |σi| ≥ 1. Значит, если
∏n
i=1 |σi| < 1, то уравнение (2.1) корней с
нулевой действительной частью не имеет.
Доказательство теоремы. Необходимость. Пусть yi : [t0, ω[→ ∆(Y 0
i ), i = 1, n, —
произвольное Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решение системы (1.1). Поскольку система (1.1) удовле-
творяет условию N(Λ1, . . . ,Λn−1), в силу определения 1.2 для каждого k ∈ {1, . . . , n} су-
ществуют число αk ∈ {−1, 1}, непрерывная функция pk : [a, ω[−→]0,+∞[ и непрерывная
правильно меняющаяся при yk+1 → Y 0
k+1 функция ϕk+1 : ∆Y 0
k+1
−→]0,+∞[ порядка σk+1
такие, что при любых k ∈ {1, . . . , n} выполняются соотношения (1.5). Поэтому в силу
(1.1) имеют место представления
y′i(t) = αipi(t)ϕi+1(yi+1(t))[1 + o(1)], i = 1, n, при t ↑ w,
откуда следует, что
y′i(t)
ϕi+1(yi+1(t))
= αipi(t)[1 + o(1)], i = 1, n, при t ↑ ω. (2.8)
Интегрируя каждое из этих соотношений при i ∈ I на промежутке от Bi до t, где Bi = ω,
если Ai = ω, и Bi = t0, если Ai = a, получаем
t∫
Bi
y′i(τ) dτ
ϕi+1(yi+1(τ))
= αiIi(t)[1 + o(1)], i ∈ I, при t ↑ ω. (2.9)
Сравним интеграл, стоящий слева, с функцией zi(t) =
yi(t)
ϕi+10(yi+1(t))
, i = 1, n, где ϕi+10 :
∆Yi+1 →]0,+∞[ — непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие услови-
ям (1.10).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
218 В. М. ЕВТУХОВ, М. А. ТАЛИМОНЧАК
Если Bi = t0, то в силу (2.9) limt↑ω
∫ t
Bi
y′i(τ) dτ
ϕi+1(yi+1(τ))
= ∞. Тогда по правилу Лопиталя
в форме Штольца и условий (1.3), (1.10) находим
lim
t↑ω
yi(t)
ϕi+10(yi+1(t))∫ t
Bi
y′i(τ) dτ
ϕi+1(yi+1(τ))
= lim
t↑ω
y′i(t)
ϕi+10(yi+1(t)) −
yi(t)ϕ
′
i+10(yi+1(t))y′i+1(t)
ϕ2
i+10(yi+1(t))
y′i(t)
ϕi+10(yi+1(t))
=
= 1− lim
t↑ω
yi+1(t)ϕ′i+10(yi+1(t))
ϕi+10(yi+1(t))
lim
t↑ω
yi(t)y
′
i+1(t)
y′i(t)yi+1(t)
=
= 1− Λiσi+1 = βi 6= 0 при i ∈ I. (2.10)
Если Bi = ω, то в силу (2.9) limt↑ω
∫ t
Bi
y′i(τ) dτ
ϕi+1(yi+1(τ))
= 0. Покажем, что в этом случае
для функции zi существует конечный или равный ±∞ предел при t ↑ ω. Поскольку
z′i(t) =
y′i(t)
ϕi+10(yi+1(t))
(
1−
yi(t)ϕ
′
i+10(yi+1(t))y′i+1(t)
ϕi+10(yi+1(t))y′i(t)
)
,
в силу первого из соотношений (1.10) и (2.8) производная функции zi сохраняет знак в не-
которой левой окрестности ω и, следовательно, для нее существует конечный или равный
±∞ предел при t ↑ ω. Покажем теперь, что этот limt↑ω zi(t) = 0. Допустим противное,
т. е.
lim
t↑ω
zi(t) =
{
либо отличной от нуля постоянной,
либо±∞. (2.11)
В силу (2.8) получаем соотношение
y′i(t)
yi(t)
=
αipi(t)
zi(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Отсюда, интегрируя его на промежутке от t0 до t, имеем
ln
|yi(t)|
|yi(t0)|
= αi
t∫
t0
pi(t)dt
zi(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Здесь
∫ ω
t0
pi(t) dt сходится, так как Bi = Ai = ω и в силу предположения limt↑ω
1
zi(t)
=
= const. Поэтому правая часть данного соотношения имеет конечный предел при t ↑ ω,
а левая — бесконечный предел при t ↑ ω в силу второго условия из (1.2). Тем самым по-
лучено противоречие. Значит, limt↑ω zi(t) = 0. Тогда, применяя правило Лопиталя, также
получаем (2.10).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 219
Таким образом, в обоих случаях имеет место соотношение
t∫
Bi
y′i(τ) dτ
ϕi+1(yi+1(τ))
=
yi(t)
βiϕi+10(yi+1(t))
[1 + o(1)], i ∈ I, при t ↑ ω.
Тогда в силу (2.9) и первого из соотношений (1.10) получим асимптотические представле-
ния (2.5). Далее из (2.5) и (2.8) следует, что при i ∈ I
y′i(t)
yi(t)
=
I ′i(t)
βiIi(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω. (2.12)
Теперь каждое из соотношений (2.8), в котором i ∈ Ī, умножим на Il(t) и проинтегрируем
на промежутке отBi до t, гдеBi выбираются таким же образом, как и выше. В результате
получим
t∫
Bi
y′i(τ)Il(τ) dτ
ϕi+1(yi+1(τ))
= αiIi(t)[1 + o(1)], i ∈ Ī, при t ↑ ω. (2.13)
Повторяя вышеизложенные рассуждения, с использованием правила Лопиталя в форме
Штольца и учетом условий (1.3), (1.10) и (2.12) имеем
lim
t↑ω
yi(t)Il(t)
ϕi+10(yi+1(t))∫ t
Bi
y′i(τ)Il(t) dτ
ϕi+1(yi+1(τ))
= lim
t↑ω
y′i(t)Il(t)
ϕi+10(yi+1(t)) +
yi(t)I
′
l(t)
ϕi+10(yi+1(t)) −
yi(t)Il(t)ϕ
′
i+10(yi+1(t))y′i+1(t)
ϕ2
i+10(yi+1(t))
y′i(t)Il(t)
ϕi+1(yi+1(t))
=
= 1 + lim
t↑ω
yi(t)I
′
l(t)
y′i(t)Il(t)
− lim
t↑ω
yi+1(t)ϕ′i+10(yi+1(t))
ϕi+10(yi+1(t))
lim
t↑ω
yi(t)y
′
i+1(t)
y′i(t)yi+1(t)
=
= 1 + βl lim
t↑ω
yi(t)y
′
l(t)
y′i(t)yl(t)
− σi+1Λi = 1− Λiσi+1+
+ βl lim
t↑ω
[
y′l(t)yl+1(t)
yl(t)y
′
l+1(t)
y′l+1(t)yl+2(t)
yl+1(t)y′l+2(t)
. . .
y′i−1(t)yi(t)
yi−1(t)y′i(t)
]
=
=
βl
ΛlΛl+1 . . .Λi−1
= βi 6= 0 при i ∈ {l + 1, . . . , n}\I
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
220 В. М. ЕВТУХОВ, М. А. ТАЛИМОНЧАК
и
lim
t↑ω
yi(t)Il(t)
ϕi+10(yi+1(t))∫ t
Bi
y′i(τ)Il(t) dτ
ϕi+1(yi+1(τ))
= lim
t↑ω
y′i(t)Il(t)
ϕi+10(yi+1(t)) +
yi(t)I
′
l(t)
ϕi+10(yi+1(t)) −
yi(t)Il(t)ϕ
′
i+10(yi+1(t))y′i+1(t)
ϕ2
i+10(yi+1(t))
y′i(t)Il(t)
ϕi+1(yi+1(t))
=
= 1 + lim
t↑ω
yi(t)I
′
l(t)
y′i(t)Il(t)
− lim
t↑ω
yi+1(t)ϕ′i+10(yi+1(t))
ϕi+10(yi+1(t))
lim
t↑ω
yi(t)y
′
i+1(t)
y′i(t)yi+1(t)
=
= 1 + βl lim
t↑ω
yi(t)y
′
l(t)
y′i(t)yl(t)
− σi+1Λi = 1− Λiσi+1+
+ βl lim
t↑ω
[
y′l(t)yl+1(t)
yl(t)y
′
l+1(t)
y′l+1(t)yl+2(t)
yl+1(t)y′l+2(t)
. . .
y′n(t)y1(t)
yn(t)y′1(t)
y′1(t)y2(t)
y1(t)y′2(t)
. . .
y′i−1(t)yi(t)
yi−1(t)y′i(t)
]
=
=
βl
ΛlΛl+1 . . .ΛnΛ1 . . .Λi−1
= βi 6= 0 при i ∈ {1, . . . , l − 1}\I.
Отсюда с учетом (2.13) и первого из соотношений (1.10) следует справедливость асимп-
тотических соотношений (2.6l), а тогда в силу (2.8) асимптотические соотношения (2.12)
имеют место и при i ∈ Ī.
Поскольку соотношения (2.12) имеют место при i = 1, n и рассматриваемое решение
удовлетворяет последнему предельному представлению из определенияPω(Λ1, . . . ,Λn−1)-
решения, для каждого i ∈ {1, . . . , n} выполняются условия (2.2).
Кроме того, из (2.12) следует представление Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решения в явном виде
yi(t) = µi|Ii(t)|
1
βi
+o(1)
, i = 1, n, при t ↑ ω,
откуда с учетом условия limt↑ω yi(t) = Y 0
i из определения Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решения и
определения числа A∗i вытекают знаковые условия (2.3).
Справедливость знаковых условий (2.4) непосредственно следует из (2.5), (2.6l), если
учесть знаки функций yi и Ii, i = 1, n, на промежутке [t0, ω[.
Достаточность. Предположим, что наряду с условиями (2.2) – (2.4) алгебраическое
уравнение (2.1) не имеет корней с нулевой действительной частью. Покажем, что в этом
случае система дифференциальных уравнений (1.1) имеет хотя бы одно Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-
решение, допускающее при t ↑ ω асимптотические представления (2.5), (2.6l), (2.7), и
выясним вопрос о количестве таких решений.
Для начала рассмотрим систему соотношений вида
yi
ϕi+10(yi+1)
= Qi(t)[1 + vi], i = 1, n, (2.14)
в которой
Qi(t) =
αiβiIi(t) при i ∈ I,
αiβi
Ii(t)
Il(t)
при i ∈ I
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 221
и ϕi+10 — непрерывно дифференцируемая правильно меняющаяся на промежутке ∆Y 0
i+1
функция, удовлетворяющая условиям (1.10) и существующая в силу свойстваM2 правиль-
но меняющихся функций. Точно таким же образом, как в работе [4], устанавливаем, что
она однозначно определяет заданные на множестве D0 = [t0, ω[×V0, где t0 ∈ [a, ω[ и
V0 = {v̄ ≡ (v1, . . . , vn) : |vi| ≤ 1/2, i = 1, n}, непрерывно дифференцируемые неявные
функции yi = Yi(t, v̄), i = 1, n, вида
Yi(t, v̄) = µi|Il(t)|
λi
βl
+zi(t,v̄)
, i = 1, n, (2.15)
где
λl = 1, λi =
i−1∏
j=1
Λj , i ∈ {1, n}\{l},
а функции zi, i = 1, n, таковы, что
|zi(t, v̄)| ≤ |Li|
2|βl|
, i = 1, n, при (t, v̄) ∈ D0
и
lim
t↑ω
zi(t, v̄) = 0 равномерно по v̄ ∈ V0.
Из (2.15) с учетом знаковых условий (2.3), (2.4) следует, что вектор-функция (Yi)
n
i=1 имеет
свойства
Yi(t) ∈ ∆Y 0
i
при t ∈ [t0, ω[,
lim
t↑ω
Yi(t, v̄) = Y 0
i равномерно по v̄ ∈ V0, i = 1, n. (2.16)
Покажем теперь, что
lim
t↑ω
(Yi(t, v̄))′t Ii(t)
Yi(t, v̄)I ′i(t)
=
1
β i
, i = 1, n, равномерно по v̄ ∈ V0. (2.17)
Из (2.14) находим
(Yi(t, v̄))′t
Yi(t, v̄)
=
Q′i(t)
Qi(t)
+
(Yi+1(t, v̄))′t ϕ
′
i+10(Yi+1(t, v̄))
ϕi+10(Yi+1(t, v̄))
, i = 1, n. (2.18)
Умножая (2.18) на
Ii(t)
I ′i(t)
, i = 1, n, получаем
(Yi(t, v̄))′t Ii(t)
Yi(t, v̄)I ′i(t)
=
Q′i(t)Ii(t)
Qi(t)I ′i(t)
+
+
Ii(t)I
′
i+1(t)
I ′i(t)Ii+1(t)
Yi+1(t, v̄)ϕ′i+10(Yi+1(t, v̄))
ϕi+10(Yi+1(t, v̄))
(Yi+1(t, v̄))′t Ii+1(t)
Yi+1(t, v̄)Ii+1(t)
, i = 1, n.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
222 В. М. ЕВТУХОВ, М. А. ТАЛИМОНЧАК
Разрешая эту систему алгебраических уравнений относительно
(Yk(t, v̄))′t Ik(t)
Yk(t, v̄)I ′k(t)
, k = 1, n,
имеем
(Yk(t, v̄))′t Ik(t)
Yk(t, v̄)I ′k(t)
=
n∑
i=k
Q′i(t)Ii(t)
Qi(t)I ′i(t)
i−1∏
j=k
Ij(t)I
′
j+1(t)
I ′j(t)Ij+1(t)
Yj+1(t, v̄)ϕ′j+10 (Yj+1(t, v̄))
ϕj+10 (Yj+1(t, v̄))
×
×
1 +
n∏
j=k
Ij(t)I
′
j+1(t)
I ′j(t)Ij+1(t)
Yj+1(t, v̄)ϕ′j+10 (Yj+1(t, v̄))
ϕj+10 (Yj+1(t, v̄))
×
×
k−1∑
i=1
Q′i(t)Ii(t)
Qi(t)I ′i(t)
i−1∏
j=1
Ij(t)I
′
j+1(t)
I ′j(t)Ij+1(t)
Yj+1(t, v̄)ϕ′j+10 (Yj+1(t, v̄))
ϕj+10 (Yj+1(t, v̄))
×
×
1−
n∏
j=1
Ij(t)I
′
j+1(t)
I ′j(t)Ij+1(t)
Yj+1(t, v̄)ϕ′j+10 (Yj+1(t, v̄))
ϕj+10 (Yj+1(t, v̄))
−1 , k = 1, n.
(2.19)
Здесь, согласно виду функций Qi, i = 1, n,
Q′i(t)
Qi(t)
=
I ′i(t)
Ii(t)
при i ∈ I,
I ′i(t)
Ii(t)
−
I ′l(t)
Il(t)
при i ∈ Ī
и поэтому
lim
t↑ω
Q′i(t)Ii(t)
Qi(t)I ′i(t)
=
1 при i ∈ I,
0 при i ∈ Ī.
(2.20)
Кроме того, в силу (2.16) и (1.10)
lim
t↑ω
Yi(t, v̄)ϕ′i0 (Yi(t, v̄))
ϕi0 (Yi(t, v̄))
= σi, i = 1, n, равномерно по v̄ ∈ V0. (2.21)
Тогда из (2.19) с учетом (2.2), (2.20), (2.21) и того факта, что Λiσi+1 = 1 при i ∈ Ī, полу-
чаем предельные соотношения (2.17).
Из (2.16), (2.17) видно, что вектор-функция (Yi(t, v̄))ni=1 удовлетворяет условиям (1.2),
(1.3). Теперь, применяя к системе дифференциальных уравнений (1.1) преобразование
yi(t) = Yi(t, v1(t), . . . , vn(t)), i = 1, n, (2.22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 223
и учитывая, что вектор-функция (Yi(t, v̄(t)))ni=1 при t ∈ [t0, ω[ и v̄ ∈ V0 является решением
системы уравнений
yi(t)
ϕi+10(yi+1(t))
= Qi(t)[1 + vi(t)], i = 1, n, (2.23)
имеем
fi(t, Y1(t, v̄(t)), . . . , Yn(t, v̄(t)))
ϕi+10(Yi+1(t, v̄(t)))
−
−
Yi(t, v̄(t))ϕ′i+10(Yi+1(t, v̄(t)))fi+1(t, Y1(t, v̄(t)), . . . , Yn(t, v̄(t)))
ϕ2
i+10(Yi+1(t, v̄(t)))
=
= Q′i(t)[1 + vi(t)] +Qi(t)v
′
i(t), i = 1, n. (2.24)
Поскольку функции fi, i = 1, n, удовлетворяют условиюN(Λ1, . . . ,Λn−1), а вектор-функция
(Yi(t, v̄(t)))ni=1 имеет свойства (1.2), (1.3), при t ↑ ω имеют место представления
fi(t, Y1(t, v̄(t)), . . . , Yn(t, v̄(t))) = αipi(t)ϕi+10(Yi+1(t, v̄(t)))[1 + ζi(t, v̄(t))], i = 1, n,
где limt↑ω ζi(t, v̄(t)) = 0 равномерно по v̄ ∈ V0. Тогда из (2.24) получаем
αipi(t)[1 + ζi(t, v̄(t))]− αi+1pi+1(t)
Qi(t)[1 + vi(t)]
Qi+1(t)[1 + vi+1(t)]
[σi+1 + δi+1(t, v̄(t))] =
= Q′i(t)[1 + vi(t)] +Qi(t)v
′
i(t), i = 1, n,
где limt↑ω δi+1(t, v̄(t)) = 0 равномерно по v̄ ∈ V0, oткуда следует, что
v′i(t) =
1
Qi(t)
[αipi(t)[1 + ζi(t, v̄(t))]−
− αi+1pi+1(t)
Qi(t)[1 + vi(t)]
Qi+1(t)[1 + vi+1(t)]
[σi+1 + δi+1(t, v̄(t))]−Q′i(t)[1 + vi(t)]
]
, i = 1, n.
После выделения линейных частей в данной системе получим систему дифференци-
альных уравнений вида
v′i =
I ′l(t)
βlIl(t)
[qi(t) + bii(t)vi + bii+1(t)vi+1 + Vi1(t, v̄) + Vi2(t, v̄)] , i = 1, n, (2.25)
где
qi(t) = hi(t)(1 + ζi(t, v̄))− σi+1hi+1(t)− gi(t),
hi(t) =
βl
βi
I ′i(t)Il(t)
Ii(t)I ′l(t)
, i = 1, n,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
224 В. М. ЕВТУХОВ, М. А. ТАЛИМОНЧАК
gi(t) =
βl
I ′i(t)Il(t)
Ii(t)I ′l(t)
при i ∈ I,
βl
(
I ′i(t)Il(t)
Ii(t)I ′l(t)
− 1
)
при i∈̄I,
bii(t) = −σi+1hi+1(t)− gi(t), bii+1(t) = σi+1hi+1(t),
Vi1(t, v̄) = −σi+1hi+1(t)
1 + vi
1 + vi+1
δi+1(t, v̄),
Vi2(t, v̄) = −σi+1hi+1(t)τi(v̄),
τi(v̄(t)) =
1 + vi(t)
1 + vi+1(t)
− 1− vi(t) + vi+1(t), i = 1, n,
и таковы, что
lim
|v1|+...+|vn|→0
∂τi(v̄(t))
∂vk(t)
= 0, i, k = 1, n.
В этой системе в силу условий (2.2)
lim
t↑ω
hi(t) = λi, lim
t↑ω
gi(t) = (1− Λiσi+1)λi, i = 1, n.
Поэтому с учетом условий (2.22), (2.23) имеем
lim
t↑ω
qi(t) = 0, i = 1, n,
lim
t↑ω
Vi1(t, v̄) = 0, i = 1, n, равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ V0,
lim
|v1|+...+|vn|→0
Vi2(t, v̄)
|v1|+ . . .+ |vn|
= 0, i = 1, n, равномерно по t ∈ [t0, ω[.
Кроме того, матрица B0, предельная для матрицы B(t), составленной из коэффициентов
при vk, k = 1, n, стоящих в правых частях в квадратных скобках уравнений системы,
имеет вид
B0 = lim
t↑ω
B(t) =
−λ1 σ2λ2 0 · · · 0 0
0 −λ2 σ3λ3 · · · 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 · · · −λn−1 σnλn
σ1λ1 0 0 · · · 0 −λn
.
Характеристическим уравнением det[B0 − νEn] = 0, где En — единичная матрица n-
го порядка, является уравнение вида (2.1). Поэтому матрица B0 не имеет собственных
значений с нулевой действительной частью.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 225
Тем самым показано, что для системы дифференциальных уравнений (2.25) выпол-
нены все условия теоремы 2.2 из работы [7]. Согласно этой теореме система дифферен-
циальных уравнений (2.25) имеет хотя бы одно решение {vi}ni=1 : [t1, ω[→ Rn, t1 ≥ t,
стремящееся к нулю при t ↑ ω, причем таких решений существует k-параметрическое
семейство, если среди корней характеристического уравнения (2.1) имеется k корней (с
учетом кратных), действительные части которых имеют знак, противоположный зна-
ку числа A∗l βl. Каждому такому решению системы (2.25) в силу замены (2.22), системы
соотношений (2.23), которой удовлетворяют функции Yi(t, v1(t), . . . , vn(t)), i = 1, n, и
условия N(Λ1, . . . ,Λn−1), которому удовлетворяет система (1.1), соответствует решение
(y1, . . . , yn) системы дифференциальных уравнений (1.1), допускающее асимптотические
представления
yi(t)
ϕi+1(yi+1(t))
= Qi(t)[1 + o(1)], i = 1, n, при t ↑ ω.
Остается лишь убедиться в том, что любое из указанных выше решений системы диф-
ференциальных уравнений (1.1) является Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решением.
Поскольку каждому из них соответствует решение (v1(t), . . . , vn(t)) системы (2.25),
стремящееся к нулю при t ↑ ω, в силу установленных ранее свойств функций Yi(t, v̄), i =
= 1, n, условия (1.2) заведомо выполняются. Кроме того, для данных решений системы
(1.1) с учетом (2.23) и (2.2) имеем
lim
t↑ω
y′i+1(t)yi(t)
yi+1(t)y′i(t)
=
βi
βi+1
lim
t↑ω
I ′i+1(t)Ii(t)
Ii+1(t)I ′i(t)
= Λi.
Значит, выполняется и условие (1.3) определения Pω(Y 0
1 , . . . , Y
0
n , λ1, . . . , λn)-решения.
Теорема доказана.
Теперь укажем условия, при которых асимптотические представления (2.5), (2.6l) мо-
гут быть уточнены.
Определение 2.1 (см. [8]). Будем говорить, что правильно меняющаяся функция по-
рядка σ вида
ϕ(z) = |z|σL(z)
удовлетворяет условию S, если для любой непрерывно дифференцируемой функции
l : ∆Y 0 −→]0,+∞[ такой, что
lim
z→Y 0
z∈∆
Y 0
z l′(z)
l(z)
= 0,
имеет место асимптотическое соотношение
ϕ(zl(z)) = L(z)[1 + o(1)] при z → Y 0 (z ∈ ∆Y 0). (2.26)
Условию S заведомо удовлетворяют функции ϕi, i ∈ {1, . . . , n}, для которых функция
Li имеет конечный предел при z → Y 0
i , а также функции вида
ϕi(z) = |z|σ| ln z|γ1 , ϕi(z) = |z|σ| ln z|γ1 | ln | ln z||γ2 ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
226 В. М. ЕВТУХОВ, М. А. ТАЛИМОНЧАК
где γ1, γ2 6= 0, и многие другие.
Замечание 2.2 (см. [9]). Если функция ϕi, i ∈ {1, . . . , n}, удовлетворяет условию S, а
функция yi : [t0, ω[−→ ∆Y 0 непрерывно дифференцируема и такая, что
lim
t↑ω
yi(t) = Y 0
i ,
y′i(t)
yi(t)
=
ξ′(t)
ξ(t)
[r + o(1)] при t ↑ ω,
где r — отличная от нуля вещественная постоянная, ξ — непрерывно дифференцируемая
в некоторой левой окрестности ω вещественная функция, для которой ξ′(t) 6= 0, то
Li(yi(t)) = Li (|ξ(t)|r) [1 + o(1)] при t ↑ ω,
так как в данном случае
yi(t) = z(t)l(z(t)), где z(t) = µ0|ξ(t)|r,
и
lim
z→Y0
z∈∆
Y 0
z l′(z)
l(z)
= lim
t↑ω
z(t) l′(z(t))
l(z(t))
= lim
t↑ω
z(t)
(
yi(t)
z(t)
)′(
yi(t)
z(t)
)
z′(t)
= lim
t↑ω
[
ξ(t)y′i(t)
rξ′(t)yi(t)
− 1
]
= 0.
Теорема 2.2. Пусть Λi ∈ R \ {0}, i = 1, n− 1, l = min I и все функции ϕi, i = 1, n,
удовлетворяют условию S. Тогда каждое Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решение (в случае их суще-
ствования) системы дифференциальных уравнений (1.1) допускает при t ↑ ω асимпто-
тические представления
yi(t) = µi
n∏
k=1
∣∣∣∣Qk(t)Lk+1
(
µk+1 |Ik+1(t)|
1
βk+1
)∣∣∣∣ρik [1 + o(1)], i = 1, n, (2.27)
где
Qk(t) =
αkβkIk(t) при k ∈ I,
αkβk
Ik(t)
Il(t)
при k ∈ I,
ρik =
∏n
j=i+1 σj
∏k
j=1 σj
1−
∏n
j=1 σj
при k = 1, i− 1,
∏k
j=i+1 σj
1−
∏n
j=1 σj
при k = i, n.
Доказательство. При доказательстве теоремы 2.1 было показано, что для существо-
вания Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решений системы дифференциальных уравнений (1.1) необходи-
мо, чтобы выполнялись условия (2.2) – (2.4) и каждое такое решение допускало при t ↑ ω
асимптотические представления (2.5), (2.6l). Кроме того, для таких решений было полу-
чено асимптотическое соотношение (2.12). В силу этого соотношения и замечания 2.2
Li(yi(t)) = Li
(
µi |Ii(t)|
1
βi
)
[1 + o(1)], i = 1, n, при t ↑ ω.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 227
Поэтому асимптотические представления (2.5), (2.6l) можно записать в виде
yi(t)
|yi+1(t)|σi+1
= Qi(t)Li+1
(
µi+1 |Ii+1(t)|
1
βi+1
)
[1 + o(1)], i = 1, n, при t ↑ ω.
Разрешая эту систему алгебраических уравнений относительно y1, . . . , yn, получаем асимп-
тотические представления (2.27).
Теорема доказана.
3. Выводы. В настоящей работе для системы дифференциальных уравнений (1.1) вве-
ден класс так называемых Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решений и исследован вопрос о наличии и
асимптотике таких решений в случае, когда Λi, i = 1, n− 1, — отличные от нуля ве-
щественные постоянные. При этом предполагалось (условие N(Λ1, . . . ,Λn−1)), что на ре-
шениях данного класса система (1.1) является асимптотически близкой к циклической
с правильно меняющимися нелинейностями. С использованием этого условия получены
необходимые и достаточные условия существования Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решений системы
(1.1), а также неявные асимптотические при t ↑ ω (ω ≤ +∞) формулы для компонент
таких решений. Явные асимптотические формулы для компонент данных решений уста-
новлены при предположении, что все нелинейности удовлетворяют условию S.
Поскольку в качестве ω может быть выбрано любое конечное число из промежутка
изменения переменной t, где определены правые части системы, результаты работы поз-
воляют описывать асимптотику не только правильных, но и различного типа непродол-
жаемых вправо сингулярных решений (см. [10, c. 238, 262]) системы (1.1).
1. Владова О. С. Асимптотичнi зображення розв’язкiв циклiчних систем диференцiальних рiвнянь з пра-
вильно мiнливими нелiнiйностями // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика i механiка. — 2010. — 15,
вип. 19. — С. 33 – 56.
2. Владова Е. С. Асимптотическое поведение решений нелинейных циклических систем обыкновенных
дифференциальных уравнений // Нелiнiйнi коливання. — 2011. — 14, № 3. — С. 299 – 317.
3. Евтухов В. М., Владова Е. С. Асимптотические представления решений существенно нелинейных
двумерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. — 2009. — 61,
№ 12. — С. 1597 – 1611.
4. Євтухов В. М., Владова О. С. Асимптотичнi зображення розв’язкiв iстотно нелiнiйних циклiчних сис-
тем звичайних диференцiальних рiвнянь // Диференц. рiвняння. — 2012. — 48, № 5. — C. 622 – 639.
5. Evtukhov V. M., Vladova O. S. On the asymptotics of solutions of nonlinear cyclic systems of ordinary di-
fferential equations in special cases // Mem. Different. Equat. Math. Phys. — 2011. — 54. — P. 1 – 25.
6. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985. — 144 с.
7. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений веще-
ственных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. —
2010. — 62, № 1. — С. 52 – 80.
8. Евтухов В. М., Белозерова М. А. Асимптотические представления решений существенно нелинейных
неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 3. —
С. 310 – 331.
9. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкно-
венных дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями // Дифференц.
уравнения. — 2011. — 47, № 5. — С. 628 – 650.
10. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений. —М.: Наука, 1990. — 430 c.
Получено 03.01.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 2
|