Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними сенсорами
Using the refined Timoshenko's hypotheses and similar hypotheses for electric field quantities, a thermomechanical model of thin-walled shells with distributed transversely isotropic sensors with regard for dissipative heating and physical nonlinearities is presented. Several types of electric...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1757 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними сенсорами / В.Г. Карнаухов, Я.О. Жук, Т.В. Карнаухова // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 70–75. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859708130096578560 |
|---|---|
| author | Карнаухов, В.Г. Жук, Я.О. Карнаухова, Т.В. |
| author_facet | Карнаухов, В.Г. Жук, Я.О. Карнаухова, Т.В. |
| citation_txt | Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними сенсорами / В.Г. Карнаухов, Я.О. Жук, Т.В. Карнаухова // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 70–75. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Using the refined Timoshenko's hypotheses and similar hypotheses for electric field quantities, a thermomechanical model of thin-walled shells with distributed transversely isotropic sensors with regard for dissipative heating and physical nonlinearities is presented. Several types of electric boundary conditions are considered, when electrodes on a sensor are short-circuited or open. The formulas for sensor's indices are obtained for different boundary conditions.
|
| first_indexed | 2025-12-01T04:16:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
2. Mel’niсk V.N., Karachun V.V. Influence of acoustiс radiation on the sensors of a gyrostabilization plat-
form // Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, No 10. – P. 122–128.
3. Mel’niсk V.N., Karachun V.V. Determining Gyroscopic Integrator Errors to Diffraction of Sound Waves //
Ibid. – No 3. – P. 328–336.
4. Черногор Л.Ф. Физические процессы в околоземной среде // Космiчна наука i технологiя. – 2003. –
9, № 2/3. – С. 13–33.
5. Фокс Вильямс Д. Е. Шум высокоскоростных ракет // Случайные колебания / Под ред. С. Крендела. –
Москва: Мир, 1967. – С. 45–49.
Надiйшло до редакцiї 13.10.2006Нацiональний технiчний унiверситет України
“Київський полiтехнiчний iнститут”
УДК 539.3
© 2007
В.Г. Карнаухов, Я. О. Жук, Т.В. Карнаухова
Уточнена термомеханiчна модель вимушених
гармонiчних коливань фiзично нелiнiйної оболонки
з розподiленими трансверсально-iзотропними сенсорами
(Представлено академiком НАН України В. Д. Кубенком)
Using the refined Timoshenko’s hypotheses and similar hypotheses for electric field quantities,
a thermomechanical model of thin-walled shells with distributed transversely isotropic sensors
with regard for dissipative heating and physical nonlinearities is presented. Several types of
electric boundary conditions are considered, when electrodes on a sensor are short-circuited or
open. The formulas for sensor’s indices are obtained for different boundary conditions.
В останнi роки для демпфiрування коливань тонкостiнних елементiв з пасивних (без п’єзо-
ефекту) матерiалiв почали iнтенсивно застосуватися активнi методи з використанням п’єзо-
електричних сенсорiв та актуаторiв [1, 2]. На ефективнiсть такого демпфiрування впливає
багато факторiв, зокрема температура дисипативного розiгрiву та фiзично нелiнiйна по-
ведiнка пасивних та п’єзоактивних матерiалiв. При досягненнi температурою точки Кюрi
п’єзоелемент перестає виконувати своє функцiональне призначення, тобто має мiсце спе-
цифiчний тип теплового руйнування п’єзоелемента. Для оцiнки впливу вказаних факторiв
на ефективнiсть активного демпфiрування та для розрахунку критичних механiчних на-
вантажень, якi викликають таке руйнування, потрiбно мати моделi композитних елементiв
з пасивними та п’єзоактивними шарами.
У данiй роботi наведено термомеханiчну теорiю оболонок з розподiленими п’єзоелект-
ричними сенсорами при моногармонiчному навантаженнi з урахуванням фiзичної нелiнiй-
ностi та дисипативного розiгрiву.
Для моделювання термомеханiчної поведiнки матерiалу використовується концепцiя
комплексних характеристик, коли рiвняння стану мають такий же вигляд, як i рiвнян-
ня стану лiнiйного пружного матерiалу з замiною пружних констант на комплекснi, якi
залежать вiд частоти, температури та амплiтуд деформацiй [3, 4–6]. Останнi досягнення
з цих питань для пасивних i п’єзоактивних матерiалiв подано в роботi [4]. Для побудови
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
моделi фiзично нелiнiйних оболонок з розподiленими сенсорами використано iтерацiйнi про-
цедури, якi зводять вихiдну нелiнiйну тривимiрну задачу термомеханiки до послiдовностi
тривимiрних лiнiйних задач механiки та теплопровiдностi з вiдомим джерелом тепла. Зве-
дення цих лiнiйних задач до двовимiрних для оболонок досягається за допомогою гiпотез
типу Тимошенка, доповнених вiдповiдними їм гiпотезами про розподiл електричних польо-
вих величин i температури по товщинi. Розглянуто рiзнi типи електричних граничних умов
i для цих типiв на кожнiй iтерацiї одержано формули для заряду, струму та рiзницi потенцi-
алiв, якi показує сенсор. Цi формули дозволяють дати оцiнку впливу фiзичної нелiнiйностi
i дисипативного розiгрiву на показники сенсорiв.
1. При демпфiруваннi коливань тонких оболонок за допомогою сенсорiв типовою струк-
турою по товщинi є така структура, коли середнiй пасивний iзотропний металiчний або
дiелектричний шар товщиною h0 лежить мiж верхнiм i нижнiм зовнiшнiми п’єзоактивними
трансверсально-iзотропними шарами з товщинами h1 та h2 вiдповiдно. Загальна товщина
такої композитної оболонки h = h0 + h1 + h2. При цьому мiж пасивним i п’єзоактивними
шарами можуть бути розмiщенi внутрiшнi електроди або вони можуть бути вiдсутнiми.
Вiдповiдно до концепцiї комплексних характеристик, визначальнi рiвняння для пасив-
ного матерiалу матимуть вигляд
σkm = 2µεkm + λεllδkm,
де комплекснi параметри Ламе λ, µ залежать вiд iнтенсивностi деформацiй або напружень
та температури [4–6]. Рiвняння енергiї в моногармонiчному наближеннi має вигляд звичай-
ного рiвняння теплопровiдностi [7] з джерелом тепла D = ω(σ′′ε′ − σ′ε′′)/2. Кiнематичнi
спiввiдношення, рiвняння руху, граничнi механiчнi та тепловi граничнi умови мають стан-
дартний вигляд [8]. Використовуючи цi спiввiдношення та нелiнiйнi визначальнi рiвняння,
матимемо складну нелiнiйну систему диференцiальних рiвнянь вiдносно змiщень i темпе-
ратури, яка описує термомеханiчний стан пасивного шару.
Для п’єзоактивних трансверсально-iзотропних поляризованих по товщинi шарiв рiвнян-
ня стану мають такий же вигляд як i рiвняння стану пружних матерiалiв [3] з замiною дiйс-
них характеристик на комплекснi, якi можуть залежати вiд частоти i температури [3, 7]. Кi-
нематичнi спiввiдношення, рiвняння руху, рiвняння енергiї, рiвняння електростатики, гра-
ничнi механiчнi, тепловi та електричнi умови наведено в роботах [3, 4, 9, 10]. З їх викорис-
танням одержимо складну нелiнiйну систему диференцiальних рiвнянь вiдносно змiщень,
температури та електричного потенцiалу, яка описує термоелектромеханiчний стан п’єзо-
електричних шарiв.
Для лiнеаризацiї вказаних вище нелiнiйних задач можна використати рiзного типу iте-
рацiйнi методи — метод послiдовних наближень, метод квазiлiнеаризацiї або метод змiнних
параметрiв [3, 5, 6]. Детально розглянемо останнiй метод. Вiдповiдно до цього методу, лiне-
аризацiя задачi на i-й iтерацiї досягається шляхом лiнеаризацiї визначальних рiвнянь для
пасивного та п’єзоактивних шарiв за формулами типу
λ = λ(ε′i−1, ε
′′
i−1, θi−1), µ = µ(ε′i−1, ε
′′
i−1, θi−1), D = D(ε′i−1, ε
′′
i−1, θi−1).
Тут ε′i−1, ε′′i−1, θi−1 — дiйснi та уявнi частини деформацiй та температура, розрахованi
на (i − 1)-й iтерацiї. Для прискорення збiжностi iтерацiйного процесу використовується
метод Ейткена–Стеффенсена [6]. Таким чином, на кожнiй iтерацiї матимемо тривимiрну
лiнеаризовану задачу механiки та теплопровiдностi з вiдомим джерелом тепла.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 71
Для зведення цих задач до двовимiрних застосуємо гiпотези типу Тимошенка для ме-
ханiчних польових величин, коли тангенцiальнi складовi вектора перемiщень змiнюються
по товщинi оболонки за лiнiйним законом, а для деформацiй зсуву задається деякий закон.
Для п’єзоактивних шарiв приймається гiпотеза, що тангенцiальнi складовi вектора iндукцiї
набагато меншi вiд нормальної складової. В результатi з рiвняння електростатики матиме-
мо, що нормальна складова iндукцiї постiйна по товщинi п’єзошару.
Згiдно з вказаним, змiщення змiнюються по товщинi оболонки за лiнiйним законом
uz
1 = u1 + ϕ1z; vz
1 = v1 + ϕ21z; uz
3 = u3. (1)
Тодi компоненти тензора деформацiй визначаються спiввiдношеннями, наведеними, на-
приклад, в роботi [8]. Рiвняння (1) доповнюються спiввiдношеннями
σ13 = f1(z)
0
σ13; σ23 = f1(z)
0
σ23.
Вирази для
0
σ13 i
0
σ23 знаходяться з варiацiйного принципу Рейснера, який дає
0
σi3 =
= (I1/I2i)εi3, де I1 =
∫
(h0)
f1(z) dz, I2i =
∫
(h0)
(f2
1 (z)/Gi3(z)) dz.
В результатi складовi рiвняння стану (зусилля, моменти, перерiзуючi сили), якi вносять-
ся шаром iз пасивного iзотропного матерiалу в загальнi рiвняння стану, на кожнiй iтерацiї
визначаються традицiйними спiввiдношеннями [8]:
T̃1 = C̃11ε1 + C̃12ε2 + K̃11κ1 + K̃12κ2, . . . ,
M̃1 = K̃11ε1 + K̃12ε2 + D̃11κ1 + D̃12κ2, . . . ,
Q̃1 = G̃13ε13, Q̃2 = G̃23ε23, G̃13 =
I2
1
I21
, G̃23 =
I2
1
I22
.
(2)
Визначальнi рiвняння для п’єзоактивного трансверсально-iзотропного шару представ-
лено в [3, 4, 9, 10]. Пiсля нехтування в них нормальною складовою тензора напружень σ33 та
тангенцiальними складовими вектора iндукцiї, виключення тангенцiальних складових век-
тора напруженостi електричного поля у рiвняннях стану спрощенi визначальнi рiвняння
набувають вигляду
k
σ11 =
k
B11(z)εz
11 +
k
B12(z)εz
22 −
k
γ31(z)
k
E3,
k
σ22 =
k
B12(z)εz
11 +
k
B22(z)εz
22 −
k
γ31(z)
k
E3,
k
σ12 =
k
B66(z)ε12,
k
σ13 =
k
B13(z)ε13,
k
σ23 =
k
B23(z)ε23,
k
D3 =
k
γ33(z)
k
E3 +
k
γ31(z)[(εz
11 + εz
22)].
(3)
Тут прийнято позначення, аналогiчнi роботам [3, 9]. Як видно з (3), рiвняння стану для
перерiзуючих сил матимуть такий же вигляд, як i для пасивних шарiв з модифiкованими
жорсткiсними характеристиками i “коефiцiєнтами зсуву” [11].
2. Розглянемо випадок, коли внутрiшнi електроди присутнi. Цей випадок завжди має
мiсце, якщо пасивний шар — металiчний. Тодi на внутрiшнiх електродах рiзниця потенцiалiв
дорiвнює нулю. Якщо ж пасивний шар виготовлено з дiелектрика, то вважатимемо, що на
внутрiшнiх електродах ця рiзниця також нульова.
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
Для верхнього та нижнього п’єзоактивних шарiв D3 = C1(α, β) та D3 = C2(α, β) вiдпо-
вiдно. Нехай внутрiшнi електроди коротко замкнутi. При цьому якщо на них рiзниця по-
тенцiалiв нульова, то одержанi нижче формули мають мiсце як для металiчного, так i для
дiелектричного середнього шару. Пiсля iнтегрування останнього з рiвнянь (3) по товщинi
верхнього та нижнього п’єзоактивних шарiв матимемо:
C1(α, β) =
v11
v10
(ε1 + ε2) +
w11
v10
(κ1 + κ2), C2(α, β) =
v21
v20
(ε1 + ε2) +
w21
v20
(κ1 + κ2). (4)
При цьому введенi в (4) величини vkl, wkl розраховуються за формулами типу v(11) =
=
∫
(h1)
(
1
γ(31)/
1
γ(33))dz, . . . . Для визначення величини заряду, який знiмається з електродiв,
проiнтегруємо (4) по площi електродiв. В результатi матимемо:
Q = −
1
2
∫∫
(S)
(
1
C +
2
C)AB dαdβ = −
1
2
∫∫
(S)
[(
v11
v10
+
v21
v20
)
ε1 +
(
v12
v10
+
v22
v20
)
ε2 +
+
(
w11
v10
+
w21
v20
)
κ1 +
(
w12
v10
+
w22
v20
)
κ2
]
AB dαdβ. (5)
Якщо верхнiй i нижнiй сенсори мають однаковi властивостi, за виключенням того, що
вони протилежно поляризованi, то заряд розраховується за формулою
Q = −
∫∫
(S)
[(
w11
v10
+
w21
v20
)
κ1 +
(
w12
v10
+
w22
v20
)
κ2
]
AB dαdβ. (6)
3. Розглянемо тепер випадок розiмкнутих електродiв. При цьому, за аналогiєю з вище-
викладеним, матимемо
C1(α, β) = −
V1
v10
+
v11
v10
(ε1 + ε2) +
w11
v10
(κ1 + κ2),
C2(α, β) =
V2
v20
+
v21
v20
(ε1 + ε2) +
w21
v20
(κ1 + κ2).
(7)
Пiдставляючи (6) в останнє з рiвнянь (3), визначимо напруженiсть електричного поля
в кожному з сенсорiв. Пiдставивши її в спрощенi вiдповiдно до вказаних гiпотез визначальнi
рiвняння для напружень (3) i проiнтегрувавши по товщинi сенсора, одержимо складовi
визначальних рiвнянь для п’єзоактивних шарiв
T (1,2) = C11,21ε1 + C12,22ε2 + K11,21κ1 + K12,22κ2 −
0
T (1,2),
M (1,2) = K11,21ε1 + K12,22ε2 + D′
11,21κ1 + D12,22κ2 −
0
M (1,2),
S = C66ε12 + K66κ12, H = K66ε12 + D66κ12.
(8)
Тут жорсткiснi характеристики визначаються iнтегралами по товщинi оболонки, пiдiнте-
гральнi вирази яких залежать вiд електромеханiчних характеристик пасивних i п’єзоактив-
них шарiв, Так, наприклад,
C11 =
∫
(h)
(
B11 +
γ2
31
γ33
)
dz −
v2
11
v10
−
v2
21
v20
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 73
При цьому
0
T (1,2) = −
v(11,12)
v10
V1 +
v(21,22)
v20
V2,
0
M (1,2) = −
w(11,12)
v10
V1 +
w(21,22)
v20
V2, (9)
де V1, V2 — невiдомi рiзницi потенцiалiв на верхньому та нижньому електродах вiдповiдно.
Вони визначаються з умови рiвностi нулю струму:
V1 =
1
v01
∫∫
(S)
[
v11
v10
(ε1 + ε2) +
w11
v10
(κ1 + κ2)
]
AB dαdβ,
V2 = −
1
v02
∫∫
(S)
[
v21
v20
(ε1 + ε2) +
w21
v20
(κ1 + κ2)
]
AB dαdβ.
(10)
Загальнi рiвняння стану одержуємо, пiдсумовуючи (2) i (8): T1 = T̃1 + T 1, . . . .
4. Розглянемо випадок, коли внутрiшнiй шар дiелектричний i внутрiшнi електроди вiд-
сутнi. Для цього випадку при коротко-замкнутих електродах матимемо такий вираз для
заряду:
Q =
∫∫
(S)
[
v11
v10
(ε1 + ε2) +
w11
v10
(κ1 + κ2)
]
AB dαdβ. (11)
Для розрахунку струму слiд взяти похiдну за часом вiд заряду. Для моногармонiчного
процесу I = iωQ(α, β).
Для розiмкнутих електродiв рiзниця потенцiалiв визначається з рiвностi нулевi струму,
так що
VS =
1∫
(S)
dS
v10
∫∫
(S)
[
v11
v10
(ε1 + ε2) +
w11
v10
(κ1 + κ2)
]
AB dαdS. (12)
Якщо сенсори мають однаковi властивостi, за виключенням того, що вони мають про-
тилежну поляризацiю, то у виразах (11), (12) пiд iнтегралами слiд залишити згиннi де-
формацiї.
До наведених вище рiвнянь потрiбно додати стандартнi рiвняння руху та механiчнi гра-
ничнi умови, наведенi, наприклад, в [8]. В них враховуються iнерцiя повороту. Для перiо-
дичних за часом процесiв необхiдно замiнити другi похiднi ∂2f/∂t2 на −ω2f . Кiнематичнi
спiввiдношення також представленi в [8]. Тому всi названi рiвняння не будемо наводити.
Для того щоб одержати двовимiрнi рiвняння енергiї для шаруватої оболонки, приймає-
мо, що нормальна складова теплового потоку змiнюється по товщинi за заданим законом,
наприклад, за степеневим. При цьому автоматично задовольняються умови неперервнос-
тi теплового потоку мiж шарами пластини. Iнтегруючи по z вираз q3 = −λ33(z)∂θ/∂z,
матимемо θ =
N∑
ν=0
Pν(z)θν , де θν(x, y, t) — невiдомi функцiї, а Pν(z) — функцiї розподiлу
температури по товщинi пакету шарiв.
Наведений вираз автоматично задовольняє умову неперервностi температури по пакету
шарiв. Двовимiрнi рiвняння енергiї для рiзних варiантiв розподiлу температури по товщинi
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
оболонки наведено в [3]. Найпростiший варiант маємо, коли q3 = 0 i температура постiйна
по товщинi оболонки. Для стацiонарного випадку вона визначається з рiвняння [5]:
k
AB
[
∂
∂α
(
B
∂
∂α
)
+
∂
∂β
(
B
∂
∂β
)]
θ −
2δθ − D
h
= 0, (13)
де прийнято позначення [3], а дисипативна функцiя D для пасивного шару розраховується
за формулою
D =
ω
2
[(T ′′
1 ε′1 − T ′
1ε
′′
1) + (T ′′
2 ε′2 − T ′
2ε
′′
2) + 2(S′′ε′′12 − S′ε′′12) + (M ′′
1 χ′
1 − M ′
1χ
′′
1) +
+ (M ′′
2 χ′
2 − M ′
2χ
′′
2)+ 2(H ′′
1 χ′
12 − H ′
1χ
′′
12)+ (Q′′
1ε
′
13 − Q′
1ε
′′
13)+ (Q′′
2ε
′
23 − Q′
2ε
′′
23)]. (14)
Представлена вище модель є теоретичною основою для дослiдження впливу фiзичної
нелiнiйностi та температури дисипативного розiгрiву на ефективнiсть роботи трансвер-
сально-iзотропних сенсорiв та на ефективнiсть активного демпфiрування оболонок за їх
допомогою.
1. Gabbert U., Tzou H. S. Smart Structures and Structronic Systems. – Dordrecht/Boston/London: Kluwer. –
2001. – 384 p.
2. Tzou H. S., Bergman L.A. Dynamics and control of distributed systems. – Cambridge: Cambridge Uni-
versity Press, 1998. – 400 p.
3. Карнаухов В. Г., Киричок И.Ф. Механика связанных полей в элементах конструкций. Электротер-
мовязкоупругость. Т. 4. – Киев: Наук. думка, 1988. – 320 с.
4. Карнаухов В. Г., Михайленко В. В. Нелинейная термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел
при моногармоническом нагружении. – Житомир: ЖГТУ, 2005. – 428 с.
5. Сенченков И.К., Жук Я.А., Карнаухов В. Г. Моделирование термомеханического поведения физи-
чески нелинейных материалов при моногармоническом нагружении // Прикл. механика. – 2004. –
40, № 9. – С. 3–34.
6. Термомеханика эластомерных элементов конструкций при циклическом нагружении / Потураев В.Н.,
Дырда В. И., Карнаухов В. Г. и др. / Под ред. Потураева В. Н. – Киев: Наук. думка, 1987. – 288 с.
7. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. – Киев: Наук. думка, 1970. – 307 с.
8. Луговой П.З., Мейш В.Ф., Штанцель Э.А. Нестационарная динамика неоднородных оболочечных
конструкций. – Киев: ИПЦ “Киев. ун-т”, 2005. – 536 с.
9. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций.
Электроупругость. Т. 5. – Киев: Наук. думка, 1989. – 290 с.
10. Жук Я.А., Сенченков И.К. Соотношения связанной динамической задачи термовязкопластично-
сти для тонкостенных оболочек с пьезоактивными слоями // Теорет. и прикл. механика. – 2001. –
Вып. 34. – С. 115–121.
11. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Методы расчета оболочек. Теория оболочек переменной жесткости.
Т. 4. – Киев: Наук. думка, 1981. – 544 с.
12. Бондарь А.Г., Рассказов А.О., Козлов В.И., Бондарский А. Г. Термоупругое равновесие многослой-
ных составных оболочек // Пробл. прочности. – 1989. – № 6. – С. 68–72.
Надiйшло до редакцiї 12.09.2006Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Нацiональний технiчний унiверситет України
“Київський полiтехнiчний iнститут”
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 75
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1757 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T04:16:49Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Карнаухов, В.Г. Жук, Я.О. Карнаухова, Т.В. 2008-09-02T17:11:46Z 2008-09-02T17:11:46Z 2007 Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними сенсорами / В.Г. Карнаухов, Я.О. Жук, Т.В. Карнаухова // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 70–75. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1757 539.3 Using the refined Timoshenko's hypotheses and similar hypotheses for electric field quantities, a thermomechanical model of thin-walled shells with distributed transversely isotropic sensors with regard for dissipative heating and physical nonlinearities is presented. Several types of electric boundary conditions are considered, when electrodes on a sensor are short-circuited or open. The formulas for sensor's indices are obtained for different boundary conditions. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними сенсорами Article published earlier |
| spellingShingle | Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними сенсорами Карнаухов, В.Г. Жук, Я.О. Карнаухова, Т.В. Механіка |
| title | Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними сенсорами |
| title_full | Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними сенсорами |
| title_fullStr | Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними сенсорами |
| title_full_unstemmed | Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними сенсорами |
| title_short | Уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними сенсорами |
| title_sort | уточнена термомеханічна модель вимушених гармонічних коливань фізично нелінійної оболонки з розподіленими трансверсально-ізотропними сенсорами |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1757 |
| work_keys_str_mv | AT karnauhovvg utočnenatermomehaníčnamodelʹvimušenihgarmoníčnihkolivanʹfízičnonelíníinoíobolonkizrozpodílenimitransversalʹnoízotropnimisensorami AT žukâo utočnenatermomehaníčnamodelʹvimušenihgarmoníčnihkolivanʹfízičnonelíníinoíobolonkizrozpodílenimitransversalʹnoízotropnimisensorami AT karnauhovatv utočnenatermomehaníčnamodelʹvimušenihgarmoníčnihkolivanʹfízičnonelíníinoíobolonkizrozpodílenimitransversalʹnoízotropnimisensorami |