Нелинейные волны стационарного профиля в пространственно неупорядоченных магнитных средах

Исследуется нелинейная эволюционная система уравнений гидродинамического типа, описывающая трехмерный многоподрешеточный магнетик. Получен явный вид функции плотности энергии для магнитных систем, в которых плотность энергии инвариантна относительно правых и левых спиновых вращении. Для квадратично-...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Физика низких температур
Дата:1997
Автор: Иванченко, Е.А.
Формат: Стаття
Мова:Російська
Опубліковано: Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 1997
Теми:
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175721
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Нелинейные волны стационарного профиля в пространственно неупорядоченных магнитных средах / Е.А. Иванченко // Физика низких температур. — 1997. — Т. 23, № 8. — С. 830-834. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859544336574709760
author Иванченко, Е.А.
author_facet Иванченко, Е.А.
citation_txt Нелинейные волны стационарного профиля в пространственно неупорядоченных магнитных средах / Е.А. Иванченко // Физика низких температур. — 1997. — Т. 23, № 8. — С. 830-834. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Физика низких температур
description Исследуется нелинейная эволюционная система уравнений гидродинамического типа, описывающая трехмерный многоподрешеточный магнетик. Получен явный вид функции плотности энергии для магнитных систем, в которых плотность энергии инвариантна относительно правых и левых спиновых вращении. Для квадратично-биквадратичнои зависимости плотности энергии (в терминах инвариантных функций Картана) в одномерном случае найдены точные решения для спиновой плотности в виде волн стационарного профиля, а также решения для магнонных полей, индуцирующих такие волны. Досліджується нелінійна еволюційна система рівнянь гідродинамічного типу, яка описує тривимірним багатопідгратковии магнетик. Одержано явний вигляд функції густини енергії для магнітних систем, в яких густина енергії інваріантна відносно правих та лівих спінових обертань. Для квадратично-біквадратичної залежності густини енергії (в термінах інваріантних функцій Картана) в одновимірному випадку знайдено точні розв’язки для спінової густини у вигляді хвиль стаціонарного профілю, а також розв’язки для магнонних полів, які формують такі хвилі. A nonlinear evolution system of hydrodynamic-type equations describing a three-dimensional multisublattice magnet is investigated. Explicit form of the energy density function for magnetic systems that have an invariant energy density relative to right and left spin rotations is obtained. For quadratic-biquadratic dependence of the energy density (in terms of Cartan’s invariant functions), exact solutions are obtained in the one-dimensional case for spin density in the form of stationary profile waves. Solutions for magnon fields that induce such waves are also obtained.
first_indexed 2025-11-26T00:36:13Z
format Article
fulltext ��������� �� ������ ��������������������������� ����!"�#��$#%�&'��(*)'�#+,$#)�&�-�.�)�&0/ 13254�68792;:<7>=?2A@CB<4�7>= DFEHG;I865BJ7CG;K�75BML�BONPK�BPQR6C4<SA@ NPK9B<DTECKUGJ75DTEV@92�7>75BO792UW8N5B;K<SVXPBJY�2;7<7>=[Z]\?GML^7>6CEV7>=_Z D�K�2UXPG<Z `Va�b�a^c9d�egf^h�ijf'k�l mjnporq sutpnuv wxt y�z�t{nu|#}ptpy~zgo ��t����g�u��n{�#w��usu�x���uq zg��qp��q��us���������tuq�}u�����uq zgq�tp���,q ��|���������x��n�q�tunp�~� ���������r� ��� ��nu��w��usx��� |�v#�r���unp�u����qr}��x���unu� � �¡�¢¤£�¥�¦¨§ª©�« ¬�­p®r¬�¯p«u°�±�¦ ² ³�´ ±�µ�¥�¶·±�¸u­�´ ¹�¥ º�»�¼u»�½�¾g¿ ÀuÁx»�Â{¿�Ã�Ä ¼�Å"ÆpÇ�È ¼xÉpÊ�à Ë�Ì Í^Î�ÇxÅ�²�¼�Är¾ÐÏÒÑ�Ñ�Ó^Ôu´¤Õ�¿rÀpÁ�Ä Ç�¿ Ç�²�Ç�²�¼�ÖpÀu»�ÉpÃgÌpÑ"×pÀu¾pÖp²{¾CÏØÑrÑ{Ó'Ôu´ Ù Á�Á�Ä�Ç�ÈrÂ#Ç�»xÁ�¾�×�Ç�Ä�à ×�Ç�Ú�×�¼�¾�ÛxÅ�ÀrÄ Ë�Ê�à Àp×�×�¼�¾�Áxà Áx»�Ç�Ü�¼�Â�Æ ¼uÅu×�Ç�×�à ÚÝÔ�ÃpÈ�Æ À{È Ã ×�¼xÜ�Ã�Þ�ÇxÁ�ÉpÀrÔ�Àj»xà ¿�¼�Õ�Àp¿�à Áxß�Å�¼uË�à�¼x¾ »�Æ Çxá Ü�ÇxÆ ×�ß�Ú_Ü�× ÀrÔØÀp¿�ÀuÈ Æ�Ç�â'Ç�»�ÀpÞu×�ß�ÚãÜ�¼uÔ�×�Ç�»�Ã�É ´Hä�ÀpÄpÂ�ÞuÇ�×J¾ Åp×�ß�ÚåÅuÃpÈåÎ�Â�× ÉpÊ�Ã�Ãå¿ Ä�Àu»x× ÀpÁx»�ÃåÛ�×�Ç�Æ�Ô�à ÃJÈ Ä�¾ Ü�¼�Ô�×�à »x× ß�áHÁ�Ã�Á�»xÇ�Ü�Õ�Å�ÉpÀp»xÀuÆ�ß�áF¿�Ä�Àp»�×�ÀpÁ�»�½gÛx× ÇxÆ Ô�Ã�ÃHÃ�× Åu¼uÆ�à ¼u×�»�×�¼gÀp»�×�ÀuÁ�Ã�»�Ç�Ä�½u× ÀÝ¿ ²�¼xÅpß�áFÃHÄ ÇxÅ�ß�áHÁx¿ Ã�×�ÀpÅuß�á Åu² ¼uà�Ç�×�à Ú�´�æ�Äp¾gÉpÅu¼xÈ#²�¼u»�à Þp×�Àp¢�ÖuÃ�ÉpÅu¼xÈ#²�¼u»�à Þp×�ÀpÚgç�¼uÅuà Áxà Ü�ÀpÁx»�Ãg¿ Ä�Àp»x× ÀpÁ�»xÃjÛx× Çx² Ô�Ã�ÃHèØÅ�»xÇ�²�Ü Ã�×�¼�á"Ã�×�Å�¼u²�à ¼u×�»�×�ß�á Î� ×�É�Ê Ã�ÚFé�¼u² »�¼u×�¼�ê�Å"ÀuÈ ×�ÀpÜ�Ç�²�× ÀrÜCÁxÄp Þr¼�Ç'× ¼uÚrÈ Ç�×�ß<»�ÀuÞp×�ß�Ç^² Çxâ�Ç�×�Ãp¾ÝÈ Äp¾HÁ�¿�à ×�ÀpÅuÀpÚÝ¿ Ä�Àu»�×�ÀpÁx»�Ã�ÅgÅuÃpÈ�Ç�ÅpÀuÄ�× Á�»�¼uÊ�à Àp×�¼u² ×�ÀuÔ�Àg¿�² ÀrÎ�Ã�Äp¾�Õ�¼"»�¼�É�ë�Ç'² Çxâ�Çx× Ã�¾gÈ�Ä�¾�Ü ¼uÔ�× Àr× ×�ß�áH¿ ÀpÄ�Ç�Ú�Õ Ã ×rÈ Â�Ê Ã�²r Ë�à�Ã�áH»�¼�ÉrÃ�Ç�ÅrÀ�Ä�×�ß^´ æ�ÀpÁxÄ�¦ È�ë�Â#ìu»�½uÁÒ¾í×�Ç�Ä�¦î×�¦¨Ú�×�¼?ÇuÅuÀ Ä�Ë�Ê�¦¨Ú�×�¼?Áuà Áu»xÇ�Ü�¼?Æ�¦îÅp×�¾#×�½3Ô�¦ È�Æ�ÀuÈ�Ã�× ¼pÜ�¦îÞ ×�À Ô�À3»xà ¿�Â�Õ<¾�É ¼ïÀ�¿�Ã�Á�Â�ì »�²�Ã�ÅpÃ�Ü�¦¨²�×�Ã�Ú;Öp¼rÔ�¼�»xÀp¿�¦ È�Ô�Æ�¼u»�É�ÀpÅpÃ�Ú;Ü�¼uÔ�×�Çx»�Ã�É�´Hð�È�Ç�Æ�ë�¼u×�À8¾ Åp×�Ã�Ú;ÅpÃ�Ô�Är¾ ÈñÎ,Â#×�É�Ê�¦¨òHÔ� Áu»xà ×�Ã;Çu×�Ç�Æ�Ô�¦óògÈ�Ä�¾ Ü�¼�Ô�×�¦î»�×�Ã�áUÁuÃ�Á�»xÇ�Ü�Õ�ÅT¾ É�Ã�áUÔ�Â#Áx»�Ã�×�¼FÇx×�Ç�Æ�Ô�¦¨ò^¦î×�Å�¼rÆ#¦ó¼u×�»�×�¼FÅ ¦ È#×�ÀpÁx×�ÀC¿�Æ�¼pÅuÃ�áU»�¼TÄ�¦¨ÅpÃ�áUÁx¿�¦¨×�ÀpÅpÃ�áUÀrÖpÇuÆ »x¼p× ½ ´ æ�Äp¾ïÉ År¼�È�Æ�¼u»�Ã�Þp×�Àr¢ôÖ�¦¤É�Åu¼uÈ�Æ ¼p»xà Þ�×�À ò�ç�¼uÄ�Ç�ë�×�ÀpÁx»�¦UÔ�Â�Á�»xÃ�×�Ã[Çx×�Ç�Æ�Ô�¦îò>è�Å_»�Çx²�Ü�¦¨×�¼uá?¦¨×�Åp¼uÆ�¦î¼�×�»x×�à áïÎ,Â#×�É�Ê�¦¨Ú é�¼uÆ�»�¼u×�¼�êgÅHÀuÈ#×�ÀrÅpÃ�Ü�¦¨Æ�×�ÀpÜ�ÂVÅpà ¿�¼xÈ�ÉpÂUç�×�¼pÚrÈ#Çu×�ÀF»�ÀrÞ ×�¦�Æ�ÀpçxÅ�õ ¾#çxÉ ÃTÈ�Ä�¾CÁ�¿�¦î×�ÀpÅpÀpò�Ô�Â�Á�»xÃ�×�ÃFÂCÅrà Ô�Ä�¾�Èö¦�á�ÅrÃ�Ä ½ Á�»x¼�Ê�¦îÀ ×�¼pÆ�×�ÀpÔ�À�¿�Æ�ÀrÎ�¦óÄ ËgÕ ¼g»�¼uÉ�À ë�Æ�Àpç�Å õ ¾�ç�É�ÃÝÈ#Ä�¾HÜ�¼uÔ�×�Àp×�×�Ã�á�¿�ÀrÄ�¦¨Å�Õ ¾�É#¦~Î�ÀrÆ�Ü�Â�Ë�»x½g»�¼pÉ�¦�á�ÅpÃ�Ä�¦�´ ÷�ø�ù�ú�©�ûuü ýôþuÿ�ý���� ����� ����� ���������������������������� ��!��"�#���$�%�������"�#&$���$�(' ) ��*��������,+.-/!�01�� ������,+2� ��� ) !�+ 3�4�5$6/5$798:5 ;=<9> >"?�@�A�B�C">�> D�E�>"C9F�G�H�I G$F�?�J�@�KML"B$C">�N G E:<�F�D�O <�P$C�D O$G$B$C�C�FQC9B�@RERFR<�SRL9F�A�B�C�C"H�ITD�<9B L"P(I�UVO P�W�>9I W"P$W XVC�F�Y�FRERF�L�<�B�Z2B O�F�A"C�H�B XVP�Y�C"B�O$>"W">,U D�G(B�<9I"O�B�W�@�A">�B[D F�D�O�F�S:C">�S\Y�B�]^>�S:_a`,U^D$E:>9C"F�G�H�B[D O�B�WR]:P > L"<�baUc>9D�E�F�]:d(?�@"B�O�D%S Y >9E"F�O B�?�PeF D$E�F"C�O$P$C:CRF�X C:P$<�@�Z.B�C9>:>fD�>�X�X�B�O <:>9>gD�F�D�O F�S:C">RSQD�O�P�O$>�D�O�>RA�B�D$W�F�Y�F <:P$G�C�F"G$B�D�>�Sih�j�Ulk�m%b�noPpF�D$C"F�G�P$C�>">rq�O F�NrY�>:ERF�O%B ?$HsG <:P�J�F�O�Bthu`/mvJ"H�]wE9<�B L9]:F�KMB�CcY >�L:<�F�L">�C"P$X�>"A�B�D�W�>�N E"F�L"I:F�L�U D E�F�X�F�xMd�y W�F�O F�<"F�Y�F @�L:P�]"F�D$d D�z{F"<�X�@�]:>:<RFRG�P�O�d|L:>:C9P�X}>9A�B�D$W">"B~@"<"P�G�C�B$C:>�S�L"]�S X}P�Y�C">"O$C"H�IvD�<9B�L�D FrD$E�F"C�O$P$C:C�F�C�P$<�@�Z2B C"C�F�NTD$>�X,X�_ B O <�>�B�N F$O�C�F�D >RO�B�]:d$C�F D E">9C�F�G$H�I G$<"P�x.B C9>"N�b �=>"C�B�N"C"H�BsL">"C�P�X�>RA�B�D W�>�B�@�<9P G$C�B�C">�S�E�F�]�@�A�B$C"H�G h1�/Ul��m�U�Pt@�A�B�OcCRB ]/>"C9B�N"C9F�N�L:>"C�P�XV>"W">�G�X�B�O�F�L�B z�B$C9F�X�B�CRF�]9F�Y�>9A�B D$W�>"I�]/P�Y <"P$C9KM>:P$C�F"G�E9<"F�G$B�L"B�C�G h���Ul��m�U=GTY P�XV>�]/d�O�FRCRFRG(F�Xsz{F�<�XVP�]^>�?�X�B���Gr<"P(J�F�O�B h��"m�b ��>�C"P$X�>"A�B�D�W�>9B E�B$<�B X�B$C:C9H�B"U F"E">9D$H�G�P$y.xM>�B C"B$<"P$G�C9F�G(B D$C9F�B.D F�D�O�F�S:C">"B{XVP�Y C�B�O�>�W�FRG2D F[D�E9F�C9O$P$C"C"F C:P$<�@�Z.B�C9C"F�N D$>�X�X�B O <�>�B$N�U�G�W�]/y�A"P$y{O G D�B�J$S E"]"F�O$C�F�D O�d�D$E:>9C:Pc� α( � ) (α = � U:�VU�� ) >�E:P$<9P$X�B�O$< E9F�<�S"L:W"Pe� F"<�O F�Y�F�C�P�]/d$C"@"y XVP�O�<">��9@�E�F"G$F�<"F�O�P   αβ(� ) (  "¡�  = j ) U¢C�P�J�F"<£D�W�F�J�FRW¤;�@"P$D�D�F�C�P�L"]�S W�F�O F"<"H�I¥>9X�B�B�O¦G�>�L   § α( ¨ ) U�� β( � ′)   = © αβγ � γ(� )δ( � − ¨ ′) U   § α( ¨ ) U   βγ(� ′)   = © αγρ   βρ( � )δ( � − � ′) U    ª αβ( � ) U   γρ(� ′)   = « b ¬ j�­ ®[D D�]"B�L"@�B X L:>:C9P�X}>�W�@ G L�]^>9C:C�F"G(F�]/C�F"G$F�X E�<�B L9B ]"B9U^W�F�Y�L:P[E"<9F�D�O�<"P$C9D�O�G(B�C"C�H�BoC�B�F�L"C"F�<"F�L:C�F�D O$> L:>"C�P�XV>�A�B D$W">�I E�B�<9B�X�B$C:C"H¯I X}P�]�H[U > @�A�O�B X G$F�?�X�F�KMC:H�B C"B�]:>�C�B�N�C"H¯B G$?$P$>�X�F�L�B$N9D O$G�>�S D$E:>"C9F�G�H�I G$F�]:C C"P F�D$C"F�G$B >9D$E�F�]:d$?�F"G�P$C:>�S W�F�C:�9B�E9�:>">°D$E�F"C�O�P$C�C�F�Y�F�C"P�<�@"Z.B$C�>�S�±³² ¬ `�­$_�D$>"X,XV_ B�O�<">�>´D$E�>"C"F�G�H�I\G�<9P$xMB$C">�N,U"F�O�C"F�D�>9O B�]:d�C�F³W�F�O�F�<9H�I F�J�X�B$C"C:H�B G$? P�>�X�F�L"B$N"D�O G�>�S S:G$]9S:y�O�D�S >�C"G�P$<�>"P$C9O�C"H�XV>}b¶µV@�L"B�X�D�AR>RO�P�O$d�U¥A�O�F·E�]�F�O$C�F�D�O�d q$C"B$<�Y�>:>¸S:G$]9S"B O%D�S\z�@"C�W��:>9B�N¹G(B ]:>9A">"C § U  �º ∇   >�]^>�U A�O F»O�F³K¼BMD�P(X�F�B9U^z{@RC�W"�">9B$N\G$B�]:>9AR>9C § U   U ½ ¾�¿1À/¿�Á:Â�Ã$Ä%Å�Æ�Ä$ÇÉÈ"Ê$Ë�Ì$Ì$Í ωα � (   ) = � k © αβγ   λγ∇ �   λβ ¬ ]"B�G�P�S\z�F�<"X�P���P$<"O P�C"P�­�� ε( � U § α(� ′) U   ( � ′)) = ε( � α(� ) º ωα � (   ) U   ) U�� = � U � U � � ¬ k9­;=F"D�W�F"]:d�W�@¥E�]9F"O�CRF"D�O d´q�C�B�<9Y�>"> F:J"X,B�C"C9H�I¥G�?�P�>RX�F:_ L"B�N9D�O G�>�N�>�C"G�P$<:>"P$C9O$C"PgF�O C9F�D$>"O�B�]:d�C�FrF�L:C�F"<�F�L:C�H�I E"F�G$F"<�F�O�F"G    α U ε   = « U ¬ `/­ Y�L"B ± α = ∫ � � � � α( � ) º O F ε( ��U   U ω � ) = ε( � ��U �   U � ω � ) = ε( � _ U ω__ � ) b ¬ �/­ � z¯F"<�X�@�]�B ¬ �/­ � ��E9<"F�>"? G(F�]:d�C"P�S¥F�<9O�F�Y�F"C"P$]:d�C"P%S X}P�O$<">��:P�� � _ ≡   � � ω__α � = Ï ⁄ Ì © αβγ   βλ∇ �   γλ � E:<9P$G�P%S z�F"<�XVP9b ®MD$E"F�]^d�?�@�S D$W�F�J"W�> ;=@"P�D�D F"C"P ¬ j�­$U @:<"P$G�C9B$C">�S L�G�>�KMB$C">RS L"]�S E�<�F�D�O$<"P�C�D�O$G$B$C"C"F C"B�@"E"F�<�S"L"F�A�B$C:C�F�Y�F X}P�Y�C�B O$>�W�P J�B�? @"A�B O$P L:>"D�D$>"E:P$��>"> X�F�KMC"F ?�P�E">9D�P�O$d~G�Y P�XV>�]^d�O�F�C9F�G(F"N z�F"<�X�B�� �. α =   § α U �    = − ∇ � ∂ωα � ε U   . αβ =      αβ º �    =   αρ � ρβγ ∂� γ ε U � = ∫ � � � ε( � ) ¬ ��­ � Y P�XV>�]/d�O F"C">�P$C[D$>"D�O B�X�H���O�F�A"W�P.F�?$C"P(A�P$B�O�A"P�D O$C9@Ry E:<�F">�?$G$F�L:C9@Ry E�F G�<"B�X�B$C�>,b � W�F�J�W">g;.@"P�D D�F"C"P»L�]"SQERB�<9B X,B�C�C"H¯I\� _ α ≡   αβ � β U ω__α � ≡   αβωβ � >"X�B$y�OoG�>"L    §_ α( � ) º �_ β( � ′)   = − � αβγ � _γ( � )δ( � − � ′) U    ω__ α � (� ) U ω__ β � (� ′)   = � º   §_ α( � ) º ω__ β � (� ′) �    = � ανβ ω__ν � ( � )δ(̈ − � ′) + + δαβ∇ �′ δ( � − � ′) � ¬ ��­ ;=F�q O�F�X�@ q�G(F�]:y.�">"F�C:C9H�B @"<�P$G�C�B$C:>�S ¬ �9­ G E"B$<�B�X�B$C"C�H�I §_ α U ω__ α � E�<">�C">"X�P�y¯O z{F�<�X�@ @:<"P$G�C9B$C">:N D F»D�G�SR? SRXV> �TP�@"<"B$<"P/���¯P$<RO�P$C�P¹h1�/U �"m!� § . _ α = −∇ � ∂ω__α � ε + � αβγ    � _ β∂ �_γ ε + ω__β � ∂ω__γ � ε   U ω__ . α � = −∇ � ∂�_α ε + © αβγ ω__ β � ∂"_γ ε º ∇ � ω__ α # − ∇ $ ω__ α � = © αβγ ω__ β % ω__γ # b ¬ ��­ � @"<"P$G�C9B�C9>�S"I ¬ ��­ ω__ α = Ï ⁄ Ì © αβγ (   .  �¡ )γβ � E�<"P$G�P%S z�F"<�XVP9U D$G�S"?�P$C�C"P�S D G�<�B�X�B�C�C�F"N E�<�F�>9?�G(F�L:CRFRN&� ω__ α ≡ − ∂�_ α ε b ®M? D�>RD O�B XVH @"<:P$G�C�B$C:>"N ¬ ��­ D�]"B�L"@�B O9U�A�O�F[]"F"W"P�]:d�C�F[D F�I^<"P$CRS:y�O�D�S E9]"F�O C"F�D O$d[q$C"B$<�Y�>:> ε >\W�F�X}ERFRCRB�C9O Hi>9X�E9@�]/d�D$P π # � ε . = − ∇� ∂ �_ α ε ∂ω__ α � ε U π . α = − ∇ �(')#*� º ¬ �"­ Y�L�B π # = §_ α ω__ α # � ' #*� = − δ # � (ε − � _ α∂ �_ α ε) + ω__ α # ∂ω__α � ε ¬ �"­ �tO�B�C9?�F"<\E�]�F�O$C�F�D�O�>\ERF�O%FRW9Po>9XVE�@�]^d�D$P�b ��>"D�O�B�X}P�@"<"P�G�C�B$C:>9N F�J�x.B�Y�F�E�F�]"F�K.B�C�>�S ¬ �"­ >9D D�]"B�L"F�G�P$]:P�D$d¹G\<"P�J�F�O�B¥h%j�j�m�b+�iC"P$D�O�F�S:x.B$Ng<"P�J�F�O�B E9F�]�@�A�B$C"H�z{F�<"X,@"]:H¼U¶F"E">9D�H�G�P$y=x¼>�B D�E9>:<"P�]/d$C�H�B G$F�]:C�H£D�E">�C�F"G$F�N�E�]�F�O$C"F�D O$>tG W"G�P�?$>�F�L"C"F�X�B�<"C9F�X >9?�F�O�<�F�E:CRF�X X�P$Y�C9B O�>:W�BgDg@�A�B�O�F�X J�>�W�G�P$L"<�P�O�>RARC9H�I G�WR]:P$L�F"G G�E9]"F�O�C�F�D�O >�q$C�B�<RY >">}b,��<"P�J�F�O�B h�j k9m¶G ]/P�Y <�P$C�KMB$G$F�X�E"F�L"I"F�L"BvL�]9S D ]9@"A�P�S W"G�P�L:<"P$O�>"A"C�F"N ?$P$G�>9D�>�X�F�D O$> E9]"F�O�C�F�D�O > q�C�B$<�Y >9> ¬ P$X,FR<9z=C9H�N XVP�Y C�B�O�>9W/­ C�P$N�L"B$C�H D�F�]/>�O�FRC9C:H�B <RB�Z.B$C�>�S�b nMB�]^>"C9B$N"C:P%S L:>�C"P�XV>:W�P XVC�F�Y�F"E�F�L"<"B$Z.B�O F�ARC9H�I C9B�W�F�]"]/>"C"B$P$<"C�H�I P$C9O >�z�B$<"<�F�X�P$Y�C"B�O >�W�F�G D X�F�L"@�]/>"<9F�G�P$C�C�F"N XVP�Y C">9O$C�F"N D O$<�@"W�O�@"<�F"N G E�<">�D�@"O�D�O�G�>:>¹G�CRB�Z[C�B�Y�F´X�P(Y C�>�O$C�F�Y�F³E"F�]"S >9? @�A"P�]:P(D�d G\h%j�`:m�b -/.�6:51032�7�465 7809.8: 7 .3;<:(2>=$7:51?A@#8"8 B�P%D�D%X/F$O <�>�X C�B�@�E�F�<�S�L�F$A$B C�C�H�N X�P%Y�C�B�O >�W�U @ W$F$O%F�<$F$Y�F E�]�F$O C�F$D�O�d q�C�B <�Y�>�> >�C�G$P <�>�P C�O�C�P F$O�C�F$D >�O�B%]Rd�C�F.]�B�G$H�I¦>[E�<�P�G$HVI[D�E�>�C�F�G$H�I´G$<�P�x{B C�>�N/b8� q�O�F$X D�]�@�A�P%B z�@�C�W��">(S E�]�F$O�C�F$D%O > q C�B�<�Y�>�> ε@�L�F�G�]�B�O�G�F�<(S�B�O E�B�<�B�F�E�<$B�L�B�]�B�C�C�F�N.D�>�D�O�B�X/B�@�<�P G�C�B C�>�N¼G A�P%D�O�C�H�I³E�<$F�>�? G%F$L�C�H�I\h�j « mC� © αβγ ( � _ β∂�_ γ ε + ω____ β % ∂ω__γ � ε) = � b ¬ j « ­ DMJ"x.B�Bo<"B$Z.B$C">9BMD�>9D�O B�X�H ¬ j « ­M>RX�B�B�OoG�>9L ε = E ( §_ α Ì º ω__ α F Ì U ω__ α G Ì U ω__ α H Ì U π F U π I U πH ) º ¬ j�j�­ Y�L�B E ��E:<RFR>R?�G(F�]/d$C:P%S�z{@RC�W��:>RSi@RW9P�?�P$C"C�H�I¢P$<9_ Y�@�X�B�CRO F�G�b\;�F�D$W�F�]:d�W�@ D�>9D�O�B XVP ¬ j « ­�>"C�G�P$<">�P$C"O�C:P F�O C9F�D$>"O�B ]�d�C�F»Y <9@"E"E�H�E9B�<RB D�O�P$C9F�G(F"W >9C"L�B$W�D�P � U^�9B$_ ]�B D�F�F�J�<9P$? C9F E�B$<�B$N"O$> W D$>�X�X�B�O$<">�A�B D$W">�X E9B�<�B�X�B�C9C:H�X{b�;.F�D�]�B�q�O F�Y�F L9]�S E"<"P�W�O$>9A�B�D�W">9I <"P(D A�B O�F"G X�F�KoCRF F�Y�<�P$C">"A">�O$d�D%S D ]9B L"@"y.xM>�X G�H�<�P�K.B�C�>�B�XrL�]9S E9]"F�O$C�F�D O > q�C9B�<RY >">J� ε = ε # + ε K U G³W�F�O�F�<�F�X LNM(OPM Ç#Ã�Ä MQO Ç MPRAS Æ!T U�Æ<V�à SXW V�Ê�Ë1Ì Ì�Í"Ê S ¿ZY\["ÊC]_^ ^([9Ë ε # = j k χ � _ α Ì + ρk ω__ α # Ì + � k π $Ì ¬ j%k�­ ��>�?�F�O$<�F"E"C�P%S¥> ε � = γk ( ω__ α F Ì ω__ αG Ì + ω__ α F Ì ω__ α H Ì + ω__ α I� ω__ α H Ì ) + + δk ω__ α � Ì ω__ α IÌ ω__ αH Ì + γ Ïk (πF Ì πG Ì + πF Ì πH Ì + πG Ì πH Ì ) + δ �k π� � πI Ì πH � ¬ j `/­ ��P$C�>�? F�O�<RFRE9C:P%SiA"P�D O$>vq�CRB�<9Y�>:> � χ � XVP�Y C9>"O$C"P%S G$F�D�E9<:>">9X�A">�G$F�D O$d�� ρ �eW�F�C9D O�P�C�O$P���K.B�D O$W�F�D�O$>�� � � U γ º δ U γ � U δ Ï �iz�B�C(F X�B�C(F�]�F�Y�>�A�B�D�W$>$B�W�F$C$D#O�P�C$O�H³D�G#S�?�>9b ��]9S >�?�F�O$<�F"E"C"F�NsW9G�P�L:<"P(O >9ARCRFR_aJ�>�W�G�P(LR<�P�O$>�A"C�F"N ?�P$G�>"D$>�X�F�D O >tE9]"F�O�CRF�D�O > q$C"B$<�Y�>:> F�O E9B$<�B X�B$C"C�H�I � _ α U ω__ α � ¬ j k�­�F�LRC9F�X�B$<"C�H�B=D$E">�C�F"G�H�B.G$F�?�J�@�KML�B�C�>�S FRE9>"D$H�G�P$y{O�D�S¹@R<�P$G�CRB�C�>�S"XV> � _ . α = − ∂F (ρω__ α F + � π � _ α) U ω__ . α F = − ∂F    §_ α χ + � π ω__ α F    + � χ © αβγ ω__ βF � _γ U π ≡ � _ α ω__ α F b ¬ j �/­ �5� o5$798:5 �3?�4�4�7:5$798�� ;�B$<�B$N"L9B XsWiC9P�I:F�KML"B$C">:ycO F�ARC9H�I�C�B�]^>9C"B$N"C�H�I <"B$Z.B$C">:N D O$P$�:>RFRC9P$<:C�F�Y�F E�<�F�z=>9]�S�U�O�b B9b WTD�]:@�A"P$y[U W�F�Y�L�P >9D�WRF�XVH�B z{@"C:W"�9>:> � _ α(� U ' ) U ω__ α F (� U ' )?�P$G�>"D%S"O�F�O�P$G$O�F�X,F�L"B ]�d�C�F"N E�B�<RB X�B$C:C�F"N � + © '¬ E:P$<"P�X�B�O�< © F"E"<�B�L"B�]"S"B�O G$F�?�X�F�KMC:H�B~D$W�F�<9F�D�O$> <:P�D$E"<9F�D�O�<"P$C9B$C">�S�G$F�? X�@"x.B$C:>"N°GpD�>�D�O�B X�B�­�b � q�O�F"N D�>9O @"P$��>">¹D$>"D�O�B X�P[@R<�P$G�CRB�C�>"N ¬ j��/­=E9<:>"C�>�XVP�B�OoG�>9L ( © �_ α + ρω__ α F + � π � _ α)′ = « U    © ω__ α F + §_ α χ + � π ω__ α F    ′ = j χ � αβγ ω__ βF � _γ U � ′ ≡ ��� � (� + ��� ) b ¬ j%��­ ®o?MD$>�D�O B�XVH ¬ j ��­=C9B$E�F�D�<�B�L"D�O G$B$C�C�F³D�]:B�L"@�B�O"U:A�O�F � �_ α + ρω__ α F + � π � _ α = � α U π = � α � _ α − © � _ α Ì ρ + � �_ α Ì U ¬ j%��­ Y�L"B � α ��WRF�C9D O P�C�O$H�>"C9O�B Y�<">�<�F"G�P$C">RS�b9��E�F�X�F�xMd�y @:<"P$G�C9B$C">:N ¬ j%��­\GTD$>�D O�B�X�B ¬ j ��­¹]�B Y�W�F�>�D$W�]:y{A">�O$d C"B$>�?$G$B�D O$C"H�B³z{@"C�W"�">�> ω__ α F bVnoP¹E�B$<:G(F�X�q�O�P$E9B´XVH E�<">�I�F�L:>9X W D�>RD O�B X�B O�<RB I F�J�H�W�C"F�G$B$C:C9H�I L:>"z.z{B$<�B�C��">�P�]^d$C�H�I\@"<"P�G�C�B$C:>9N � ( � ′δαβ + � α � β) � _ β′ = � αβγ � β � _γ U ¬ j �"­ G³W�F�O�F�<�F"N\G�G$B�L"B�C9HvF�J�F�?$C:P�A�B$C">RS � ′ = ρ − χ( © + � π) Ì U � α =    χ � ρ + � �_α Ì    Ï���Ì      � α − k ( © ρ + � � α � _ α) ρ + � �_α Ì � _ α      b ¬ j �"­ � >RD O�B X�@ ¬ j �"­r]�B Y�W�F E:<RB F�J�<9P$?�F"G�P�O$diW ]:>�C�B$N:CRFRN�U B�D ]/> C�P$N"O�> S:G�C:H�NtG�>RL L"]�S�E"<�F">�?$G$F�L"C:H�I � _ α′ U @�XVC"F�Ko>"G ¬ j �:­£D ]�B$G�P�C�PeX�P(O <:>9�"@,U·F�J"<"P�O�CR@:y XVP�O�<9>:��B � ′δαβ + � α � β � � _ α′ = j � ′ © αβγ � β � _γ º � ′ � + � ′ Ì � α Ì ≠ « � ¬ j �"­ � P�W�D�]"B�L�@�B�O�>�? ¬ j �"­�U G�B�]">�A�>�C�H � α � _ α > � _ α � C�B ? P�G >RD�S�O�F$O ERB <�B�X,B�C"C�F�N � + ��� b �VH E�F$]:C�>�G{X�P�D�Z�O�P�J�C�F$B E�<�B�F$J�<�P%?�F�G$P�C�>�B ξ = ( � + ��� ) � � α � �"! ρ − χ( © + � π) Ì m%U E�<�>�I�F$LR>�X\W.]:>�C�B N�C�F�N¼D�>�D�O�B�X/B�@�<�P�G CRB C9>�N$#VN�]�B <�P¯L�]�S E�<�P G�F�N»z�F�<�X�Hf� _ α � � � ξ � _ α = © αβγ % β � _γ º % α ≡ � α � � α � b ¬ k « ­ B�B$Z.B$C:>�B[D$>�D O�B�X}H ¬ k « ­=>9X�B�B O´G�>RL � _ α(ξ) = & αβ � _ β(ξ ' ) U ¬ k�j�­ Y�L�B�F�<�O F�Y�F"C"P�]/d$C:P%S�XVP�O$<">:�9P�E�F"G(F�<�F�O$P & (& ¡�( = j )<"P�G�C"P & αβ = )+*-, ξ δαβ + ( j − ).*/, ξ) % α % β − ,1032 ξ � αβγ % γ U ¬ k�k"­� _ β(ξ ' ) ��W�F�C9D O�P�C�O$Hi>"C9O�B Y�<">:<RF�G�P�C">RS�b 4 E�F�X,F�x.d$y�C�P$N�L�B C"C�F�Y�F <�B Z.B�C">�S L�]�S·E�<"P�G$F�N z�F�<�X�H ¬ k^j�­�X�F�K.C�FMF�E�<RB�L�B�]:>�O d{D E9>�CRF�G�@"yrE�]"F�O�C�F�D�O d � α =   βα §_ β b ¬ k�`:­ Do<�O�F�Y�F"C"P�]/d$C�P%S XVP�O�<9>:��P E9F�G(F"<�F�O$P   αβ@�L"F"G$]"B�O$G$F�<RS"B O E"B$<�B�F�E�<�B�L"B ]9B�C�C�F"N D$>"D�O�B�X�B @"<:P$G�C�B$C:>"NJ� ω__ α = j k � αβγ   βλ   . γλ U ω__αF = j k © αβγ   βλ∂F   γλ b ¬ k��:­ ;=<�>M<�B Z{B�C">�>.D >�D�O�B�X�H ¬ k��:­,F$O C�F$D >�O�B�]"d�C�F�X�P%O�<�>"��H   αβ >�D�E�F$]"d�?%@�B�X¹E�P�<�P�X/B%O <�>�?�P��">�yg@�Y�]"P�X�>5#VN�]�B <�P.h j��:mC� ^([!Y L M(OQM Ç1Ã�Ä M(O Ç M\R�S Æ<TAU%Æ!V�à SZW V�Ê�Ë Ì�Ì$Í�Ê S ¿ZY([�ÊP]_^   =      ).*/, ψ ).*/, ϕ − ����� θ � ��� ψ � ��� ϕ − , 0�2 ψ ) * , ϕ − ).*/, θ )+*-, ψ , 0 2 ϕ ,10 2 θ ,+0 2 ϕ ) * , θ , 0�2 ψ )+*�, ϕ + ) * , ψ ,.0 2 ϕ ����� θ )+*-, ψ � � � ϕ − ,+0 2 ψ ,10 2 ϕ − , 0�2 θ )+*�, ϕ ,1032 θ ,+0 2 ψ ,10 2 θ ).*/, ψ )/* , θ      ¬ k��"­ �fERB�<9B X,B�C�C"H¯I ψ U θ U ϕ D$>�D�O B�XVP ¬ k���­ E�<">"C�>�XVP�B�O=G�>9L ω__ Ï = − θ . )+*�, ψ − ϕ . � ��� θ , 0�2 ψ U ω__Ì = θ . , 0�2 ψ − ϕ . ,10 2 θ ) * , ψ U ω__ � = − ψ . − ϕ . ).*�, θ U ¬ k���­ ω__ Ï F = − θF )+*-, ψ − ϕF ,10 2 θ ,1032 ψ U ω__ Ì F = θ F , 032 ψ − ϕF ,10 2 θ ) * , ψ U ω__ � F = − ψ � − ϕF )+*-, θ b B�P$D�D X,F�O�<">RX D�]�@�A"P$N}U W�F�Y�L:P�� = ( « U « U − j ) U O"b B9b � � « > � __(ξ ' ) = ( � Ï U « U � � ) b��,F�ARCRF�B <�B$Z.B�C�>�B E"B$<�B�FRE9<�B L9B ]�B�C9C"F�N³D$>�D�O B�XVH ¬ k���­�]9B Y WRF¦C�P$N�O$> E9<"> ϕ = ϕ ' = )+*-2�,�� b;2<">°@:W�P$?�P�C"C�H�I�@�D�]:F�G�>RS"I�D$>�D�O B�XVP ¬ k���­¹Dp@"A�B�O�F�X ¬ j%��­(U ¬ k^j�­=E�<">�C">"X�P$B�Ooz{F�<�X�@ − θ . )+*�, ψ =    − j χ + � π �    � Ï )+*�, ξ U θ . ,10 2 ψ =    � χ − � π �    � � , 0 2 ξ U − ψ . = − � π � � ρ +    − j χ + � π � )  � � U θF )+*-, ψ = � � � ����� ξ U θ F ,.0 2 ψ = � � Ï , 0 2 ξ U ψF = − � � ρ + ��� � U � ≡ © + � π ρ b ¬ k���­ B�B$Z.B$C">9BML"]9S z{@"C:W���>:> ψ(� U ' ) F�A�B�G�>"L�C�F � ψ(� U ' ) =    − � � ρ + � � �   � + +    � π � � ρ −    − j χ + � π�   � �    ' + ψ ' U ¬ k���­ Y�L"B ψ ' � W�F"C�D�O�P$C9O�P9b ;=B$<�B�FRE9<�B L9B ]�B�C9C"F�D O$d L:>:z{z{B�<�B$C��:>"P�]/d$C9F�N�D$>�D�O B�XVH ¬ k���­ F�O�C9F�D$>"O%B ]/d$C"F z�@"C�W"�">�> θ(� º ' ) ]"B�Y W�Fp@�D O$<"P$CRS"B O�D%S E"<�>¶<"P$G(B�C9D�O G$B z�@"C�W"�">�N ξ(� º ' ) = ψ(� U � ) U�O"b B"b/E"<:> @�D�]"F"G�>�SRI − � � ρ + � � � = � Ï U � π � � ρ −    − j χ + � π �    � � = � � � ≡ ω Ï U � Ï ≡ � � � � ρ − χ( © + � π) � b ¬ k8�"­ � F�F�O�C�F"Z.B$C">RS ¬ k8�:­ E:<�B�L"D�O�P$G(]�S:y{O D�F�J�F"N E9B�<�B�F�E�<�B�L"B�]"B�C�C�@:y D�>RD O�B X�@ P�]�Y�B�J"<"P$>9A�B�D�W">9I @"<:P$G�C�B$C:>"NcF�O$C"F�D�>9O�B�]^d$C9F E:P$<9P$X�B�O$<"P © UgW�F�O�F"<"P%S�U W"P$W�G�>"L:CRF�UrD F�G$X�B�D O$C"P�U�E�F�D�WRF�]/d$W�@�X�F�K.B O J"H�O�d E9B�<�B$E">9D�P$C�P[G³G�>RL"B � Ì − � � � � ρ � − j χρ = « U    � Ì − � � � � ρ � − j χρ      χ � π � − j   = « b ¬ ` « ­ # O�P.D�>9D�O�B XVPM>RX�B�B�O�L:G�P=G(B�x2B D�O�G(B�C�C"H�I¹<�B�Z¼B$C">�S´L"]�S � >�U:D�]�B L�F"G�P�O�B ]�d�C�F,U:L"]9S � Ï > ω Ï � © ± = − � ρ � � � � +    j + � ρ ( � Ï� + � � Ì )  × ×    − � � � �k � � ±      � �Ì� � � Ì + ρ χ      Ï���Ì    º � Ï = � � ρ    � � � �k � � ±      � � Ì � � � � + ρ χ      Ï ��Ì    U ω Ï = − � � � �� �    � + � ρ � ��   � � + ρ � �    j + � ρ ( � ÏÌ + � � Ì )  � ÏÌ b ¬ `,j�­ ;.F�q�O F�X�@ C"P X}C9F�K¼B D�O G$B    � U ' � ξ ≠ � π� kQU � = « U ± � º ± � º������   z�@�C"W��">�S θ(� U � ) ]:>"C�B�N�C"P�E�F � U ' U"O�b BRb θ( � U � ) = � Ì � + ωÌ ' + θ' U � Ì = � � � �    � Ï + � � ρ    = � Ï ρ    − � � � �k � � ±      � � Ì � � � � + ρ χ      Ï���Ì    U ωÌ = � Ï � �    ω Ï − � π � � ρ    = � � � �� �    j + � ρ � � Ì    � Ì + + ρ � Ï    j + � ρ ( � ÏÌ + � � Ì )  � Ì � U ¬ `"k"­ LNM(OPM Ç#Ã�Ä MQO Ç MPRAS Æ!T U�Æ<V�à SXW V�Ê�Ë1Ì Ì�Í"Ê S ¿ZY\["ÊC]_^ ^([([ θ ' ��WRF�C9D O$P$C�O$P9b B�B�Z¼B$C">�S�L9]�S E:P$<9P�X�B�O$<�F"G ϕ U θ º ψ F�E:<�B�L"B�]�S:y{O X}P�O$<">��"@�ERFRG(F�<9F�O$P ¬ k��"­�>}UsG~D�F�F�O�G(B O�D�O�G�>">�D z�F"<�X�@�]"F"N ¬ k(`^­�U/E"]"F�O$C�F�D O�d[D�E�>"C�P � α � P$G�C"P� Ï = � � ,+0 2 ϕ ' ,.0 2 θ + � Ï )+*-, ϕ ' b � Ì = − � � ����� ϕ � ,+0 2 θ + � � � ��� ϕ ' U � � = � � )+*�, θ b ¬ `�`/­ # z.z{B�W�O$>:G�C�F�B�XVP�Y�C:>�O$C9F�B�E9F�]�B�� α U¦z{F�<"X�>:<�@"_ y=x2B BsG(F�]:C:H£D�O�P$��>"F�C:P$<9C"F�Y�F E:<RFRz{>"]RS·D$E:>"C9F�G(F"N E"]"F�O$C�F�D O�> � α UtF�E�<�B L9B ]�S"B�O D%S >9?�G�H�<�P�K.B�C�>�S � α ≡ ∂" α ε >\<"P$G�C"F � α± = j χ § α +    � � � � � ρ − � ρ ( � ÏÌ + � �Ì ) × ×    − � � � � ��� � ±      � � Ì � � � � + ρ χ      Ï � Ì       × ×    ª � α � � ρ − j ρ    − � � � �k � � ±      � � Ì � � � Ì + ρ χ      Ï � Ì    § α    b ¬ `��/­ � E�>"C"F�G�P%S¥E9]"F�O�C�F�D�O d[� α >�C�L"@"��>"<"@�B�O¦ERF�]9BoD[O F�N\K.B L"]^>9C"F�N�G(F�]/C"H >�A"P�D�O F�O F�N�b��=P�D�O�C9F�Bg<�B$Z.B�C�>�BgE:<9> θ = π� � U � __(ξ � ) = ( � º � Ì U � � ) U � = ( « U « U − � )E"F�]:@�A"P�B O�D%S P�C9P�]:F�Y >�A"C"F¹>�?�]"F�K=B$C�C�F�X�@ � � Ï = � � ,+0 2 ϕ U § � = − � � )+*-, ϕ U § � = � Ì º ϕ = � Ì � + ωÌ ' ¬ `R��­ E � > ?�P�X�B$C"B � Ï C"P � Ì G � Ì U ωÌ G¶z{F�<9X�@9]:P�I ¬ `�`/­$U ¬ `��/­(b � 4 ��0� ��5(7"8/5 ;�F�q�O P�E9C"F�B¥<�B$ZMB$C">9B\D�>RD O�B X @"<"P$G�C9B�C9>:NrE9B�<"G(F�Y�F E"F�<�S"L"W"P � I^P$<9P�W�O B$<"C�P%S F�D�F�J�B�C9C"F�D O$d Y P�XV>�]^d�O�F"C�F"G$F�Y�F z{FR<RX}P�]�>"?�X�P^b ;.F�q�O�F�X,@ C"P E:<�F�X,B KM@�O�F�A"C9F�Xvq O$P$E"B¹G�>�L¶<RB�Z¼B�C9>�S ¬ k�j�­´��B�]^>"WRF�X FRE9<"B�L�B ]/>�] G�H�J�F"< E9P�<"P�X�B�O�<">R?�P$��>:> ¬ k���­�U�A�O F @:E"<�F�D�O�>�]�F >9C"O�B�Y <">�<�F�G�P�C9>"B9b�;=<�>"G$B�L"B$C"C�H�B¥O�F�A"C"H�B C"B�]:>�C�B�N�C"H¯B�<�B$Z.B�C�>�S~L"]�S|G(F�]:C~D�O P��">9F�C�P$<"C9F�Y�F E:<�F"z{>"]�S Ge<:P�D�D X�F�O�<�B$C�C�F"N X�F�L"B�]:> S9G(]�S:y{O�D�S�U D F�Y�]^P�D$C9F ¬ `�`/­$U ¬ `"��­�U D�E">�<"P�]/d$C:H�XV>,b � W�]�P$L JR>9W"G�P�L � P$O >9A"C"H�IiD ]�P�Y P�B XVH�IiGrE"]"F�O C9F�D�O$>�q$C"B$<�Y�>�> ¬ j%k�­rG$F�?�<"P(D O�P$B�O�D�<9F�D�O F�XcER]:F�O�C�F�D�O�> C"P�A"P�]^d$C9F�Y�F <:P�D$E"<9B L�B�]:B$C">RS E�]:F�O�CRF�D�O$>�D$E">:C9P G D$>9D O�B�X�B > @�X�B�C�d$ZMP$B�O�D%S E�<"> @"G$B�]/>�A�B�C">�> W�F�C"D�O P�CRO�H ��KMB D�O W�F�D�O >�� ρ ¬ q O�F³D�]:B�L�@"B�Oo>�?´z�F"<�X�@�]^H ¬ `,j(­{L"]�S © ± >�z{F�<"X,@"]:H ¬ `"k"­ L"]RScA"P�D�O F�O�H ωÌ ­�UQC9F q�O�P ?$P$G�>9D�>�X�F�D O$d�D�F�L"B$<�Ko>RO D%S O F�]^d$W�F~G�A"P�D�O F�O�B ωÌD$E:>"<9P$]:d�C�F"N G$F�]/C"H�D$E:>"C9F�G(F"N E"]"F�O C9F�D�O$> ¬ `�`/­(U P G$F�]:C9F�G(F"N\G$B$W�O F"< � Ì C�B[?�P$G�>�D�>9OMF�O � b��G(O F�< E�<">�?$C�P�O B�]"B$C��[b��[b��iB�]�O�@"I:>�C�@,U��¼b �Mb ��F�G�P�]:B$G$@ > �.b �.b�;�B�]:B�O�XV>:CRD�W�F�X�@ ?�P D�O�>�X�@�]/>"<"@"y{xo>�B[F�J�D�@�K=L9B�C�>�S�b B�P(J�F�O P z.>"C:P$CRD�>�<�@�B O�D%S ��F�D @�L:P$<�D�O$G$B$C:C"H�X W�F�X}>9O�B�O F�X �=W"<9P$>:C"H E�F G$F�E�<�F�D�P(X C�P�@"W"> > O�B I:C9F�]�F�Y�>"N�b Ïp´���´���´��0¸u®p¸p§¨¹�� ¸u­�Õ���� G � #�� �! #" Õ�Ï'è�Ï�ÑpÓ ' ê�´Ì�´�$�´�$ö´&%�¸p§�'�(·³·¸u¯�¬pÕ*)��,+#-�.0/�. �Z#21 ��þ43�Õ�Ï65*7Ýè�Ï�ÑpÓ�Ïxê�´ � ´8��´89x´�: ¥�§¨²�¬�¶Ø¦î¯C¥u¯*'9÷�´�ù�´8:�¸uµ ¬�¯�� ¬�¶ª®�Õ;�<� G � �<=?>@/�� þ4A*A�Õ8BuÑ*Bè�Ï�Ñ ÓxÑ�ê�´7�´C��´C9�´D:�¥p§¨²�¬�¶Ø¦ ¯9¥u¯*'FE ´HGC´�úr¥@(اó¸#IjÕJ�C� G � �H=C>#/p�HK þ " Õ�Ì�Ï65*7è�Ï�Ñ ÍuÍ�ê�´5�´�E ´&GC´ úp¥#(اî¸0I"Õ���� G � �L=?>@/��&K # Õ�ÏpÏ�Í#7�èuÏ�Ñ*B ' ê�´Ó�´"æ^´!M�´!M�ÀrÄpÉpÀpÅ�ÕON�´�N�´QP<Ç�Ä »� árà ×�ÕQR ���u������qr�P��mTS8S8S,U��S���� qu����qp���,V#V�Õ�Ï67*BpÍ è�Ï�Ñ*B ' êu´Í�´�N�´ WV´XN�×rÈ Æ Ç�Ç�Å�Õ M,´�Ùg´ YݼuÆpÞpÇ�×�ÉpÀ�Õ �DZgm þ4[pÿ�Õ � ÑÝè�Ï�Ñ#B ' ê�´B�´�9�´�¡,´�\C]�«p¥p§¨¸#(·µ�¦ ¯�(·±#¦¨¦0¥�¯�'^%^´�¡�´,_�¸�§¨¸u­ ¦ ±�Õ�`?+*+p� ��� G � ��þ ü�Õ�ÓpÍè�Ï�Ñ*B ' ê�´Ñ�´ Y ´ a;´�é�ÀpÅx¼uÄpÇ�ÅxÁ�ÉpÃpÚ�Õ0º�´,M�´�ä�Ç�ÄrÇ�»�Ü�Ã�×�Á�ÉpÃ Ú Õ N�´cb^´ d<Ã�â�Érà ×�Õ�HZ!e [ " ÕöÌ07�5�è�Ï�ÑuÑ�Ïxêu´Ï ' ´�YU´�a;´�é�ÀuÅu¼�Ä�Ç�ÅuÁ�ÉpÃ�Ú Õ�º�´�M�´�ä�ÇxÄpÇ�»�Ü Ã ×�Á�ÉpÃ�Ú�Õgf�hiZ?þ�ÿuÿ�Õ,5pÑè�Ï�ÑpÑ#7�ê�´ÏpÏu´ j�´cN�´�Ù�Åu¼�×�Þ�Çx×pÉpÀ�Õ Zgm!f ÿ�Õ�Ï45#BÝè�Ï�ÑuÑ*7�ê�´Ï�Ì�´ ��´öø�´c9�­p¥u¯p¸r­�Õ�k . � #ml k;n � n2>�o�. 1C1 -�+ �&[*V�Õc7 � Í è�Ï�Ñ*B ' ê�´Ï � ´pN�´pb^´Vº�ÂpÉpÁx»�¼�×�Á�ÉpÃ Ú Õ q�´rN�´FÙ Å�¼x× ÀuÅ�Õ ets8f;Z þ�ÿ#A�ÕHÑ�Ï47è�Ï�ÑpÑ#5�ê�´Ï47�´Cu�´DupÀuÄ�½�È Á�»�ÇxÚp× Õ<v vpnp����q�}������{nu�C�����#n t{q#�un ÕCw�¼�Â�Ép¼ ÕCYÝÀpÁ�ÉrÅ�¼�Õè�Ï�Ñ Íx5�ê�´ y?zJ{,| } {L~&�8�&�����&��} z<{��J��� �;�2z&��} | ~p��� ��~&��} { � �&��� ~;���J} �czJ�2�g~;��~&���p���;{�~L�6} � ��~��g} � �Q� ���J� ���8{��;��~<{��cz ��µ�¬�¯�¸u¯#§ó¦¨¯p¬x¥�¶"¬�­p¸ §¨¹�³·¦¨¸u¯�(�«*(·³·¬�£ ¸X��³�µ ¬Ýµp«�'p¶Ø¸#'r«p¢ ¯�¥�£^¦ �g³�« ²�¬g¬4��¹p¥u³ ¦î¸u¯X(H'�¬4( ��¶Ø¦ ��¦ ¯�®�¥Ý³·µ�¶·¬�¬�¢m' ¦¨£�¬�¯�(ئ ¸u¯ ¥u§ £�¹�§¨³Ø¦ (·¹�� §ó¥�³ª³ ¦¡��¬H£�¥x®p¯�¬�³�¦ (�¦ ¯ ­p¬4(ª³Ø¦ ®p¥�³ª¬4' ´8� µ ¬H¬4¢�²#§ó¦ ��¦¨³ ¬�¯�¬�¶·®u«�'�¬�¯X(�¦ ³�«��ó¹ ¯���³Ø¦ ¸u¯F¦ (�¸*�p³·¥u¦¨¯p¬x'��ó¸u¶�£�¥�®p¯�¬�³Ø¦ �£( «¤(ª¢ ³·¬�£¥I�µ ¸#(·¬�¬�¯ ¬�¶·®{«¦'p¬�¯�(ئ¨³·¦¨¬4(T¥�¶·¬<¦ ¯ ­p¥x¶Ø¦ ¥u¯p³ I�¦ ³·µ ¶ª¬�¢ (·²�¬4��³�³ª¸9³·µp¬V¶Ø¦î®�µ�³�¥u¯*'�§¨¬@�ó³�(·²�¦ ¯<¶Ø¸u³·¥x³Ø¦ ¸u¯X(x´?§ ¸u¶H³ôµ�¬ ��¹p¥#'p¶�¥�³Ø¦ ��¢m�#¦ ��¹ ¥x' ¶ª¥�³Ø¦ ��' ¬�²�¬�¯�' ¬�¯���¬j¸���³·µ ¬"¬�¯�¬�¶·®u« 'p¬�¯r¢ (ئ ³ «Fè ¦ ¯�³ª¬�¶·£H(�¸X��¦ ¯�­p¥x¶Ø¦¨¥x¯ ³H%�¥�¶�³ô¥u¯�õ (C�ó¹�¯*��³·¦¨¸u¯�(�ê�¦ ¯Ý³ôµ�¬ ¸u¯�¬�¢2'�¦ £�¬�¯�(ئ ¸p¯r¥{§���¥@(·¬�³·µ�¬�¬4¢ ¥x��³8(·¸p§¨¹�³Ø¦ ¸u¯X(�¥x¶·¬£�¤¸u¹�¯X'�¦î¯ ³·µr¬¨�ó¸�¶ª£[¸*�QI�¥u­p¬4(g¸*�^³ªµ ¬p(·³�¥u³·¦¨¸u¯ ¥x¶�«9²p¶�¸*�ô¦¨§î¬ �¤¸r¶g³ôµ�¬ (·²�¦ ¯!'�¬�¯X(ئ ³ « ´ ^([X© L M(OQM Ç1Ã�Ä M(O Ç M\R�S Æ<TAU%Æ!V�à SZW V�Ê�Ë Ì�Ì$Í�Ê S ¿ZY([�ÊP]_^
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175721
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0132-6414
language Russian
last_indexed 2025-11-26T00:36:13Z
publishDate 1997
publisher Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
record_format dspace
spelling Иванченко, Е.А.
2021-02-02T17:17:07Z
2021-02-02T17:17:07Z
1997
Нелинейные волны стационарного профиля в пространственно неупорядоченных магнитных средах / Е.А. Иванченко // Физика низких температур. — 1997. — Т. 23, № 8. — С. 830-834. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
0132-6414
PACS: 75.10.-b
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175721
Исследуется нелинейная эволюционная система уравнений гидродинамического типа, описывающая трехмерный многоподрешеточный магнетик. Получен явный вид функции плотности энергии для магнитных систем, в которых плотность энергии инвариантна относительно правых и левых спиновых вращении. Для квадратично-биквадратичнои зависимости плотности энергии (в терминах инвариантных функций Картана) в одномерном случае найдены точные решения для спиновой плотности в виде волн стационарного профиля, а также решения для магнонных полей, индуцирующих такие волны.
Досліджується нелінійна еволюційна система рівнянь гідродинамічного типу, яка описує тривимірним багатопідгратковии магнетик. Одержано явний вигляд функції густини енергії для магнітних систем, в яких густина енергії інваріантна відносно правих та лівих спінових обертань. Для квадратично-біквадратичної залежності густини енергії (в термінах інваріантних функцій Картана) в одновимірному випадку знайдено точні розв’язки для спінової густини у вигляді хвиль стаціонарного профілю, а також розв’язки для магнонних полів, які формують такі хвилі.
A nonlinear evolution system of hydrodynamic-type equations describing a three-dimensional multisublattice magnet is investigated. Explicit form of the energy density function for magnetic systems that have an invariant energy density relative to right and left spin rotations is obtained. For quadratic-biquadratic dependence of the energy density (in terms of Cartan’s invariant functions), exact solutions are obtained in the one-dimensional case for spin density in the form of stationary profile waves. Solutions for magnon fields that induce such waves are also obtained.
Автор признателен А.А. Желтухину, А.С. Ковалеву и С.В. Пелетминскому за стимулирующие обсуждения. Работа финансируется Государственным комитетом Украины по вопросам науки и технологий.
ru
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
Физика низких температур
Низкотемпеpатуpный магнетизм
Нелинейные волны стационарного профиля в пространственно неупорядоченных магнитных средах
Nonlinear stationary profile waves in spatially disordered magnetic media
Article
published earlier
spellingShingle Нелинейные волны стационарного профиля в пространственно неупорядоченных магнитных средах
Иванченко, Е.А.
Низкотемпеpатуpный магнетизм
title Нелинейные волны стационарного профиля в пространственно неупорядоченных магнитных средах
title_alt Nonlinear stationary profile waves in spatially disordered magnetic media
title_full Нелинейные волны стационарного профиля в пространственно неупорядоченных магнитных средах
title_fullStr Нелинейные волны стационарного профиля в пространственно неупорядоченных магнитных средах
title_full_unstemmed Нелинейные волны стационарного профиля в пространственно неупорядоченных магнитных средах
title_short Нелинейные волны стационарного профиля в пространственно неупорядоченных магнитных средах
title_sort нелинейные волны стационарного профиля в пространственно неупорядоченных магнитных средах
topic Низкотемпеpатуpный магнетизм
topic_facet Низкотемпеpатуpный магнетизм
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175721
work_keys_str_mv AT ivančenkoea nelineinyevolnystacionarnogoprofilâvprostranstvennoneuporâdočennyhmagnitnyhsredah
AT ivančenkoea nonlinearstationaryprofilewavesinspatiallydisorderedmagneticmedia