О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа
Дослiджено структуру множини неперервно диференцiйовних при t ∈ R+ = [0, +∞) розв’язкiв одного класу нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь.
Gespeichert in:
| Datum: | 2002 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2002
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175799 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа / Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 58-65. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175799 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1757992025-02-23T18:44:58Z О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа Про структуру множини розв'язків одного класу систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу On the structure of the set of solutions of a certain class of systems of nonlinear differential-functional equations of neutral type Пелюх, Г.П. Дослiджено структуру множини неперервно диференцiйовних при t ∈ R+ = [0, +∞) розв’язкiв одного класу нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь. We study the structure of continuously differentiable solutions when t ∈ R+ = [0, +∞) for a system of nonlinear differential-functional equations. 2002 Article О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа / Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 58-65. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175799 517 . 929 ru Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Дослiджено структуру множини неперервно диференцiйовних при t ∈ R+ = [0, +∞) розв’язкiв одного класу нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь. |
| format |
Article |
| author |
Пелюх, Г.П. |
| spellingShingle |
Пелюх, Г.П. О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа Нелінійні коливання |
| author_facet |
Пелюх, Г.П. |
| author_sort |
Пелюх, Г.П. |
| title |
О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа |
| title_short |
О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа |
| title_full |
О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа |
| title_fullStr |
О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа |
| title_full_unstemmed |
О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа |
| title_sort |
о структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2002 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175799 |
| citation_txt |
О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа / Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 58-65. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT pelûhgp ostrukturemnožestvarešenijodnogoklassasistemnelinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijnejtralʹnogotipa AT pelûhgp prostrukturumnožinirozvâzkívodnogoklasusistemnelíníjnihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹnejtralʹnogotipu AT pelûhgp onthestructureofthesetofsolutionsofacertainclassofsystemsofnonlineardifferentialfunctionalequationsofneutraltype |
| first_indexed |
2025-11-24T11:47:07Z |
| last_indexed |
2025-11-24T11:47:07Z |
| _version_ |
1849672154335936512 |
| fulltext |
УДК 517 . 929
О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
Г. П. Пелюх
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
e-mail: pel@imath.kiev.ua
We study the structure of continuously differentiable solutions when t ∈ R+ = [0,+∞) for a system of
nonlinear differential-functional equations.
Дослiджено структуру множини неперервно диференцiйовних при t ∈ R+ = [0,+∞) розв’язкiв
одного класу нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь.
Рассмотрим систему нелинейных дифференциально-функциональных уравнений вида
x′(t+ 1) = x′(t) + F (t, x(t), x(f(t, x(t))), x′(ϕ(t))), (1)
где t ∈ R+ = [0,+∞), F : R+ × Rn × Rn × Rn → Rn, f : R+ × Rn → R+, ϕ : R+ →
→ R+. Частные случаи таких уравнений широко применяются во многих областях науки
и техники и при различных предположениях относительно функций F , f и ϕ исследова-
лись многими математиками (см., например, [1, 2]). В результате в настоящее время такие
уравнения достаточно хорошо исследованы [1 – 9]. Целью настоящей работы является
исследование структуры множества непрерывно дифференцируемых решений системы
уравнений (??), удовлетворяющих условию
lim
t→+∞
|x(t+ 1)− x(t)| = 0, (2)
где |x| = max
1≤i≤n
|xi|. При этом предполагаются выполненными следующие условия:
1) вектор-функция F (t, x, y, z) является непрерывной при t ∈ R+, x, y, z ∈ Rn,
F (t, 0, 0, 0) ≡ 0, и удовлетворяет соотношению
|F (t, x′, y′, z′)− F (t, x′′, y′′, z′′)| ≤ η(t)(|x′ − x′′|+ |y′ − y′′|+ |z′ − z′′|),
где η(t) — некоторая непрерывная и неотрицательная при t ∈ R+ функция, x′, y′, z′, y′′,
x′′, z′′ ∈ Rn;
2) функция f(t, x) является непрерывной, неотрицательной при всех t ∈ R+, x ∈ Rn и
удовлетворяет условию Липшица
|f(t, x)− f(t, y)| ≤ l|x− y|,
где l = const, t ∈ R+, x, y ∈ Rn;
c© Г. П. Пелюх, 2002
58 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
O СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ . . . 59
3) функция ϕ(t) является непрерывной и неотрицательной при t ∈ R+;
4) ряды
H1(t) =
∞∑
i=0
η(t+ i),
H2(t) =
∞∑
i=0
∞∫
t
η(τ + i)dτ
равномерно сходятся при всех t ∈ R+ и 4H1(t) ≤ θ1 < 1, 4H2(t) ≤ θ2 < 1.
Теорема 1. Пусть выполняются условия 1 – 4. Тогда для произвольного непрерыв-
но дифференцируемого и ограниченного при t ∈ R+ (вместе с первой производной)
решения задачи (1), (2) существует непрерывно дифференцируемая, 1-периодическая
вектор-функция ω(t) такая, что при t → +∞ выполняется соотношение
x(t) = ω(t) + o(1). (3)
Доказательство. Пусть γ(t) — некоторое непрерывно дифференцируемое и ограни-
ченное при t ∈ R+ (вместе с первой производной) решение задачи (1), (2). Тогда в силу
условий 1 – 4 имеем тождество
γ(t) = ω(t) +
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(ϕ(τ + i)))dτ,
где ω(t) = γ(t)−
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(ϕ(τ + i)))dτ .
Отсюда непосредственно вытекает, что соотношение (3) выполняется. Кроме того,
вектор-функция ω(t) является, очевидно, непрерывно дифференцируемой при всех t ∈
∈ R+. Остается, таким образом, доказать ее периодичность. Действительно, поскольку в
силу (2) имеем
γ(t+ 1) = γ(t)−
∞∫
t
F (τ, γ(τ), γ(f(τ, γ(τ))), γ′(ϕ(τ)))dτ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
60 Г.П. ПЕЛЮХ
то
ω(t+ 1) = γ(t+ 1)−
−
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + 1 + i, γ(τ + 1 + i), γ(f(τ + 1 + i, γ(τ + 1 + i))), γ′(ϕ(τ + 1 + i)))dτ =
= γ(t)−
∞∫
t
F (τ, γ(τ), γ(f(τ, γ(τ))), γ′(ϕ(τ)))dτ−
−
∞∑
i=1
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(ϕ(τ + i)))dτ =
= γ(t)−
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(ϕ(τ + i)))dτ = ω(t),
т.е. функция
ω(t) = γ(t)−
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(ϕ(τ + i)))dτ
является 1-периодической. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть выполняются условия 1 – 4. Тогда при достаточно малом l задача
(1) – (3) имеет единственное непрерывно дифференцируемое и ограниченное при t ∈ R+
(вместе с первой производной) решение.
Доказательство. Пусть x(t) — произвольное непрерывно дифференцируемое и огра-
ниченное при t ∈ R+ (вместе с первой производной) решение задачи (1) – (3). Тогда не-
трудно показать, что оно удовлетворяет системе уравнений
x(t) = ω(t) +
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, x(τ + i), x(f(τ + i, x(τ + i))), x′(ϕ(τ + i)))dτ. (4)
Верно и обратное утверждение: если x(t) — непрерывно дифференцируемое и ограни-
ченное при t ∈ R+ (вместе с первой производной) решение системы уравнений (??), то
оно является решением системы уравнений (??) (в этом легко убедиться непосредствен-
ной подстановкой (??) в (??)) и удовлетворяет условиям (??), (??).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
O СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ . . . 61
Таким образом, для доказательства теоремы 2 достаточно показать, что система урав-
нений (??) имеет единственное непрерывно дифференцируемое и ограниченное при t ∈
∈ R+ (вместе с первой производной) решение.
С помощью соотношений
x0(t) = ω(t), x′0(t) = ω′(t),
xm(t) = ω(t)+
+
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, xm−1(τ + i), xm−1(f(τ + i, xm−1(τ + i))), x′m−1(ϕ(τ + i)))dτ, (5)
x′m(t) = ω′(t)−
−
∞∑
i=0
F (t+ i, xm−1(t+ i), xm−1(f(t+ i, xm−1(t+ i))), x′m−1(ϕ(t+ i))),
m = 1, 2, . . . ,
определим последовательность вектор-функций xm(t), m = 0, 1, . . ., и их производных и
докажем, что она равномерно сходится к некоторому непрерывно дифференцируемому
и ограниченному при t ∈ R+ (вместе с первой производной) решению системы уравне-
ний (??).
Используя условия 1 – 4 и соотношения (5), можно по индукции показать, что вектор-
функции xm(t) непрерывно дифференцируемы при t ∈ R+ и для всех m ≥ 0 выполня-
ются неравенства
|xm(t)| ≤ M
1− θ
,
(6)
|x′m(t)| ≤ M
1− θ
,
где M = max{max
t
|ω(t)|,max
t
|ω′(t)|}, θ = max{θ1, θ2}.
Более того, докажем, что при всех t ∈ R+, m ≥ 1 и Ml ≤ 1− θ имеют место оценки
| xm(t)− xm−1(t) |≤ Mθm,
(7)
| x′m(t)− x′m−1(t) |≤ Mθm.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
62 Г.П. ПЕЛЮХ
Действительно, в силу (??) и условий 1 – 4 имеем
|x1(t)− x0(t)| ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
|F (τ + i, ω(τ + i), ω(f(τ + i, ω(τ + i))), ω′(ϕ(τ + i)))|dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η(τ + i)(|ω(τ)|+ |ω(f(τ + i, ω(τ)))|+ |ω′(ϕ(τ + i))|)dτ ≤
≤ 3MH1(t) ≤ Mθ1 ≤ Mθ,
|x′1(t)− x′0(t)| ≤
∞∑
i=0
|F (t+ i, ω(t+ i), ω(f(t+ i, ω(t+ i))), ω′(ϕ(t+ i)))| ≤
≤
∞∑
i=0
η(t+ i)(|ω(t)|+ |ω(f(t+ i, ω(t)))|+ |ω′(ϕ(t+ i))|) ≤
≤ 3MH2(t) ≤ Mθ2 ≤ Mθ,
т. е. оценки (7) выполняются при m = 1. Предположим, что оценки (7) доказаны для не-
которогоm ≥ 1, и покажем, что они не изменяются при переходе кm+1. Действительно,
принимая во внимание соотношения (5) – (7) и условия 1 – 4, получаем
|xm+1(t)− xm(t)| ≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η(τ + i)(|xm(τ + i)− xm−1(τ + i)|+
+ |xm(f(τ + i, xm(τ + i)))− xm−1(f(τ + i, xm−1(τ + i)))|+
+ |x′m(ϕ(τ + i))− x′m−1(ϕ(τ + i))|)dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η(τ + i)(|xm(τ + i)− xm−1(τ + i)|+
+ |xm(f(τ + i, xm(τ + i)))− xm(f(τ + i, xm−1(τ + i)))|+
+ |xm(f(τ + i, xm−1(τ + i)))− xm−1(f(τ + i, xm−1(τ + i)))|+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
O СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ . . . 63
+ |x′m(ϕ(τ + i))− x′m−1(ϕ(τ + i))|)dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η(τ + i)(Mθm +
M
1− θ
lMθm +Mθm +Mθm)dτ ≤
≤ Mθm4H1(t) ≤ Mθm+1,
|x′m+1(t)− x′m(t)| ≤
∞∑
i=0
η(t+ i)(|xm(t+ i)− xm−1(t+ i)|+
+ |xm(f(t+ i, xm(t+ i)))− xm(f(t+ i, xm−1(t+ i)))|+
+ |xm(f(t+ i, xm−1(t+ i)))− xm−1(f(t+ i, xm−1(t+ i)))|+
+ |x′m(ϕ(t+ i))− x′m−1(ϕ(t+ i))|) ≤
≤ Mθm4H2(t) ≤ Mθm+1.
Таким образом, оценки (7) выполняются при t ∈ R+ и всех m ≥ 1. Тогда из (7) непосред-
ственно вытекает, что последовательности вектор-функций xm(t), x′m(t), m = 0, 1, . . .,
равномерно сходятся при t ∈ R+. Более того, вектор-функция x(t) = lim
m→+∞
xm(t) явля-
ется непрерывно дифференцируемым при t ∈ R+ решением системы уравнений (4) (в
этом легко убедиться, если перейти в (5) к пределу при m → ∞) и удовлетворяет соотно-
шениям
| x(t) |≤ M
1− θ
, | x′(t) |≤ M
1− θ
.
Докажем теперь, что система уравнений (4) не имеет других непрерывно дифференци-
руемых и ограниченных при t ∈ R+ (вместе с первой производной) решений. В самом
деле, пусть система (4) имеет еще одно непрерывно дифференцируемое и ограниченное
при t ∈ R+ (вместе с первой производной) решение y(t). Тогда в силу условий 1 – 4 и (4)
получаем
|x(t)− y(t)| ≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η(τ + i)(|x(τ + i)− y(τ + i)|+
+ |x(f(τ + i, x(τ + i)))− x(f(τ + i, y(τ + i)))|+
+ |x(f(τ + i, y(τ + i)))− y(f(τ + i, y(τ + i)))|+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
64 Г.П. ПЕЛЮХ
+ |x′(ϕ(τ + i))− y′(ϕ(τ + i))|)dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η(τ + i)(|x(τ + i)− y(τ + i)|+
+
M
1− θ
l|x(τ + i)− y(τ + i)|+
+ |x(f(τ + i, y(τ + i)))− y(f(τ + i, y(τ + i)))|+
+ |x′(ϕ(τ + i))− y′(ϕ(τ + i))|)dτ ≤
≤ 4H1(t)||x(t)− y(t)|| ≤ θ1||x(t)− y(t)||,
|x′(t)− y′(t)| ≤
∞∑
i=0
η(t+ i)(|x(t+ i)− y(t+ i)|+
+
M
1− θ
l|x(t+ i)− y(t+ i)|+
+ |x(f(t+ i, y(t+ i)))− y(f(t+ i, y(t+ i)))|+
+ |x′(ϕ(t+ i))− y′(ϕ(t+ i))|) ≤
≤ 4H2(t)||x(t)− y(t)|| ≤ θ2||x(t)− y(t)||,
где ||x(t)− y(t)|| = max{supt |x(t)− y(t)|, supt |x′(t)− y′(t)|}.
Отсюда вытекает
||x(t)− y(t)|| ≤ θ||x(t)− y(t)||, (8)
и, следовательно, x(t) = y(t).Полученное противоречие завершает доказательство тео-
ремы 2.
1. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. — 548 с.
2. Хейл Дж. Теория дифференциально-функциональных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 548 с.
3. Driver R.D. Existence and continuous dependence of solutions of a neutral functional-differential equation
// Arch. Ration. Mech. and Anal. — 1965. — 19, N◦ 2. — P. 149 – 166.
4. Животовский Л.А. О существовании и единственности решений дифференциальных уравнений с за-
паздыванием, зависящим от решения и его производной// Дифференц. уравнения. — 1969. — 5, N◦ 5.
— C. 880 – 889.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
O СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ . . . 65
5. Kwapisz M. On the existence and uniqueness of solutions of certain integral-functional equation // Ann. Pol.
Math. — 1975. — 31, N◦ 1. — P. 23 – 41.
6. Блащак Н.I., Пелюх Г.П. Про iснування i єдинiсть перiодичних розв’язкiв систем нелiнiйних диферен-
цiально-функцiональних рiвнянь з лiнiйним вiдхиленням аргумента // Допов. НАН України. — 1997. —
N◦ 8. — C. 10 – 13.
7. Пелюх Г.П. О представлении решений нелинейных дифференциально- функциональных уравнений в
окрестности особых точек // Дифференц. уравнения. — 1986. — 22, N◦ 9. — С. 1628 – 1630.
8. Самойленко А.М., Пелюх Г.П. О периодических решениях систем нелинейных дифференциально-
функциональных уравнений нейтрального типа // Допов. НАН України. — 1994. — N◦ 3. — C. 19 – 21.
9. Самойленко А.М., Пелюх Г.П. Ограниченные на всей вещественной оси решения систем нелинейных
диференциально-функциональных уравнений и их свойства // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, N◦ 6. —
С. 737 – 747.
Получено 07.12.2001
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
|