Про достатні умови збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв'язування нелінійних рівнянь
Розглядається питання застосування колокацiйно-iтеративного методу до розв’язування нелiнiйних iнтегральних рiвнянь. Побудовано алгоритм методу та встановлено достатнi умови його збiжностi. The use of collocation-iteration method for solving nonlinear integral equations is considered. The algorithm...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2002 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2002
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175802 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про достатні умови збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв'язування нелінійних рівнянь / В.Б. Поселюжна // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 66-76. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860191210561339392 |
|---|---|
| author | Поселюжна, В.Б. |
| author_facet | Поселюжна, В.Б. |
| citation_txt | Про достатні умови збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв'язування нелінійних рівнянь / В.Б. Поселюжна // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 66-76. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Розглядається питання застосування колокацiйно-iтеративного методу до розв’язування нелiнiйних iнтегральних рiвнянь. Побудовано алгоритм методу та встановлено достатнi умови його збiжностi.
The use of collocation-iteration method for solving nonlinear integral equations is considered. The algorithm of the method is constructed and sufficient conditions for convergence are found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:06:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 927
ПРО ДОСТАТНI УМОВИ ЗБIЖНОСТI МОДИФIКОВАНОГО
КОЛОКАЦIЙНО-IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
НЕЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ
В. Б. Поселюжна
Тернопiл. акад. народ. госп-ва
Iн-т пiдприємництва i бiзнесу
Україна, 48500, Чорткiв, вул. С. Бандери, 46
The use of collocation-iteration method for solving nonlinear integral equations is considered. The algo-
rithm of the method is constructed and sufficient conditions for convergence are found.
Розглядається питання застосування колокацiйно-iтеративного методу до розв’язування не-
лiнiйних iнтегральних рiвнянь. Побудовано алгоритм методу та встановлено достатнi умови
його збiжностi.
Найбiльш поширеними аналiтичними методами розв’язування iнтегральних та диферен-
цiальних рiвнянь є iтерацiйнi та проекцiйнi методи. На основi синтезу цих методiв ви-
никли проекцiйно-iтеративнi методи. Загальну теорiю даних методiв та їх застосування
найбiльш повно викладено в роботах [1 – 3].
У данiй роботi пропонується варiант модифiкованого проекцiйно-iтеративного мето-
ду — колокацiйно-iтеративний метод для розв’язування нелiнiйних iнтегральних рiвнянь
та встановлюються достатнi умови його збiжностi.
Розглянемо iнтегральне рiвняння з малою нелiнiйнiстю вигляду
y(x) = f(x) +
b∫
a
K(x, t)y(t) dt+ λ
b∫
a
G(x, t)F (t, y(t)) dt, (1)
в якому:
1) функцiя f ∈ C [a, b];
2) лiнiйнi iнтегральнi оператори
(Ky)(x) :=
b∫
a
K(x, t)y(t) dt, (2)
(Gy)(x) :=
b∫
a
G(x, t)y(t) dt (3)
c© В. Б. Поселюжна, 2002
66 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПРО ДОСТАТНI УМОВИ ЗБIЖНОСТI МОДИФIКОВАНОГО КОЛОКАЦIЙНО- IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ . . . 67
вiдображають простiр C[a, b] в себе i
K2 =
b∫
a
b∫
a
|K(x, t)|2 dx dt < ∞, G2 =
b∫
a
b∫
a
|G(x, t)|2 dx dt < ∞;
3) функцiя F (t, y) — неперервна функцiя своїх аргументiв в областi {a < t < b,
−∞ < y < ∞} i задовольняє умову Лiпшиця, тобто
|F (t, y1)− F (t, y2)| < µ |y1 − y2| ∀ {y1, y2} ∈ R, (4)
де µ — деяка додатна стала; λ — малий параметр.
Застосуємо до рiвняння (1) модифiкований колокацiйно-iтеративний метод, згiдно з
яким наближенi розв’язки рiвняння (1) будуються за формулами
yk(x) = f(x) +
b∫
a
K(x, t)zk(t) dt+ λ
b∫
a
G(x, t)F (t, yk−1) dt, (5)
zk(x) = yk−1(x) + wk(x), (6)
wk(x) =
n∑
j=0
akjϕj(x). (7)
Невiдомi параметри akj , j = 0, n, в кожнiй iтерацiї визначаємо з умови
wk(xi) = yk(xi)− yk−1(xi), i = 0, n, (8)
де {ϕj(x)}nj=0 — система лiнiйно незалежних, неперервних на вiдрiзку [a, b] функцiй, {xi}ni=0
— вузли колокацiї.
Звичайним способом для визначення параметрiв akj , j = 0, n, отримаємо систему ал-
гебраїчних рiвнянь вигляду
n∑
j=0
akj
ϕj(xi)−
b∫
a
K(xi, t)ϕj(t) dt
= εk(xi), i = 0, n, (9)
в якiй
εk(x) = f(x) +
b∫
a
K(x, t)yk−1(t) dt+ λ
b∫
a
G(x, t)F (t, yk−1(t)) dt− yk−1(x). (10)
Якщо система (9) однозначно розв’язна, то наближенi розв’язки рiвняння (1) згiдно з
колокацiйно-iтеративним методом (5) – (8) будуються однозначно.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
68 В.Б. ПОСЕЛЮЖНА
Припустимо, не обмежуючи загальностi, що {ϕj(x)}— фундаментальна система фун-
кцiй на вiдрiзку [a, b]. Встановимо достатнi умови збiжностi методу (5) – (8).
Виконавши нескладнi перетворення на основi формул (7), (8) i врахувавши попереднє
зауваження, поправку wk(x) можна подати у виглядi
wk(x) =
b∫
a
Sn(x, t)∆k(t) dt, (11)
де
Sn(x, t) =
n∑
j=0
ϕj(x)δ(t− xj), (12)
∆k(x) = yk(x)− yk−1(x), (13)
δ(t− xj) — функцiя Дiрака.
Для визначення функцiї wk(x) на основi формул (5), (11) – (13) отримаємо iнтегральне
рiвняння з виродженим ядром
wk(x) = gk(x) +
b∫
a
Hn(x, t)wk(t) dt, (14)
де
gk(x) =
b∫
a
Sn(x, t)εk(t) dt, (15)
Hn(x, t) =
n∑
j=0
ϕj(x)K(xj , t). (16)
Iнтегральне рiвняння (14) рiвносильне системi рiвнянь (9). Алгоритм (5) – (8) рiвносиль-
ний таким спiввiдношенням:
∆k(x) =
b∫
a
Mn(x, t)vk−1(t) dt+ λ
b∫
a
En(x, t)∆Fk−1(t) dt,
vk(x) =
b∫
a
Ln(x, t)vk−1(t) dt+ λ
b∫
a
Dn(x, t)∆Fk−1(t) dt,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПРО ДОСТАТНI УМОВИ ЗБIЖНОСТI МОДИФIКОВАНОГО КОЛОКАЦIЙНО- IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ . . . 69
де
vk(x) = ∆k(x)− wk(x),
∆Fk−1(x) = F (x, yk−1(x))− F (x, yk−2(x)) ,
а ядра операторiв переходу обчислюються за формулами
Mn(x, t) = K(x, t) +
b∫
a
K(x, τ)Rn(τ, t) dτ, (17)
Ln(x, t) = Mn(x, t)−
b∫
a
Sn(x, τ)Mn(τ, t) dτ, (18)
En(x, t) = Gn(x, t) +
b∫
a
Mn(x, τ)Gn(τ, t) dτ, (19)
Dn(x, t) = En(x, t)−
b∫
a
Sn(x, τ)En(τ, t) dτ. (20)
Тут Rn(x, t) — резольвента ядра Hn(x, t), що задовольняє рiвняння
Rn(x, t) = Hn(x, t) +
b∫
a
Hn(x, τ)Rn(τ, t) dτ, (21)
Rn(x, t) = Hn(x, t) +
b∫
a
Rn(x, τ)Hn(τ, t) dτ. (22)
Розглянемо функцiю
E(x, t) = G(x, t) +
b∫
a
R(x, τ)G(τ, t) dτ, (23)
де R(x, t) — резольвента ядра K(x, t), i введемо такi позначення:
pn = ‖Mn‖ , qn = ‖Ln‖ , γn = ‖En‖ , ηn = ‖Dn‖ , γ∗ = ‖E‖ , (24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
70 В.Б. ПОСЕЛЮЖНА
rn = λµγn, ln = λµηn, An =
(
rn pn
ln qn
)
, (25)
в яких Mn, Ln, En, Dn, E — iнтегральнi оператори, ядра яких визначаються формулами
(17) – (20) та (23).
Теорема. Нехай одиниця — регулярне значення лiнiйного iнтегрального оператора
(2), система функцiй {ϕj(x)}nj=0 та вузли колокацiї пiдiбранi таким чином, що
lim
n→∞
b∫
a
b∫
a
|K(x, t)−H(x, t)|2 dx dt = 0, (26)
lim
n→∞
b∫
a
b∫
a
|G(x, t)−Gn(x, t)|2 dx dt = 0, (27)
де
Gn(x, t) =
n∑
j=0
ϕj(x)G(xj , t),
i λµγ∗ < 1. Тодi iснує такий номер n0, що для будь-якого n ≥ n0 система (9) однозначно
розв’язна i послiдовнiсть {yk(x)}, побудована згiдно з методом (5) – (8), збiгається до
єдиного розв’язку рiвняння (1).
Доведення. Спочатку покажемо, що рiвняння (14), а отже i система (9), має єдиний
розв’язок. Для цього скористаємось методикою, викладеною в [3], i розглянемо рiвняння
w(x) = g(x) +
b∫
a
Hn(x, t)w(t) dt. (28)
Рiвняння (28) рiвносильне рiвнянню
w(x)−
b∫
a
K(x, t)w(t) dt = g(x) +
b∫
a
(Hn(x, t)−K(x, t))w(t) dt. (29)
Нехай
r(x) = g(x) +
b∫
a
(Hn(x, t)−K(x, t))w(t) dt, (30)
тодi рiвняння (29) запишемо у бiльш компактному виглядi
w(x) = r(x) +
b∫
a
K(x, t)w(t) dt. (31)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПРО ДОСТАТНI УМОВИ ЗБIЖНОСТI МОДИФIКОВАНОГО КОЛОКАЦIЙНО- IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ . . . 71
Оскiльки одиниця — регулярне значення iнтегрального оператора (2), то рiвняння (31)
однозначно розв’язне i справедливе зображення
w(x) = r(x) +
b∫
a
R(x, t)r(t) dt, (32)
де R(x, t) — резольвента ядра K(x, t).
Пiдставивши спiввiдношення (30) у (32), отримаємо iнтегральне рiвняння для визна-
чення функцiї w(x)
w(x) = b(x) +
b∫
a
Nn(x, t)w(t) dt, (33)
в якому
b(x) = g(x) +
b∫
a
R(x, t)g(t) dt, (34)
Nn(x, t) = Hn(x, t)−K(x, t) +
b∫
a
R(x, τ) (Hn(τ, t)−K(τ, t)) dτ. (35)
Оцiнимо ядро Nn(x, t) за нормою простору L2[a, b]. Маємо
b∫
a
b∫
a
N2
n(x, t) dx dt
1/2
≤
b∫
a
b∫
a
|Hn(x, t)−K(x, t)|2 dx dt
1/2
+
+
b∫
a
b∫
a
R2(x, τ) dx dτ
1/2
b∫
a
b∫
a
|Hn(τ, t)−K(τ, t)|2 dτ dt
1/2
= (1 +R)δn, (36)
де
δn =
b∫
a
b∫
a
|Hn(x, t)−K(x, t)|2 dx dt
1/2
,
R =
b∫
a
b∫
a
R2(x, t) dx dt
1/2
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
72 В.Б. ПОСЕЛЮЖНА
В силу умови (26) δn → 0 при n → ∞.
Отже, iснує такий номер n1, що для будь-якого n ≥ n1 буде виконуватись нерiвнiсть
(1 +R)δn < 1.
Тодi при n ≥ n1 рiвняння (33), а отже, i рiвняння (28) однозначно розв’язнi, причому
розв’язок рiвняння (28) має вигляд
w(x) = g(x) +
b∫
a
Rn(x, t)g(t) dt. (37)
При цьому справедлива оцiнка
‖w‖ ≤ cn ‖g‖ , (38)
де
cn =
1 +R
1− (1 +R)δn
,
яка безпосередньо випливає iз (33) з урахуванням (34) та (36).
Оскiльки (14) i (28) мають лише рiзнi вiльнi члени, то рiвняння (14) має єдиний розв’я-
зок, i тим самим однозначно розв’язана i система (9).
В [3] встановлено, що умова ρ(An) < 1 забезпечує збiжнiсть колокацiйно-iтеративного
методу. З’ясуємо, при яких значеннях n дана умова буде виконуватись.
В [3] показано, що умова ρn = ρ(An) < 1 рiвносильна умовi
ρn = 0, 5
(
qn + rn +
√
(qn − rn)2 + 4pnln
)
< 1, (39)
де ρ(An) — спектральний радiус матрицi An. Покажемо, що при n → ∞ qn → ∞, pn →
→ p∗, ln → 0, rn → r∗. Iз спiввiдношень (16) – (18) маємо
b∫
a
Ln(x, t)v(t) dt =
b∫
a
(K(x, t)−Hn(x, t))un(t) dt, (40)
де
un = v(x) +
b∫
a
Rn(x, t)v(t) dt. (41)
Iз спiввiдношення (41) з урахуванням спiввiдношення (37) та оцiнки (38) отримуємо
‖un‖ ≤ cn ‖v‖ , n ≥ n1. (42)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПРО ДОСТАТНI УМОВИ ЗБIЖНОСТI МОДИФIКОВАНОГО КОЛОКАЦIЙНО- IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ . . . 73
Тодi на пiдставi (40), (42) знаходимо
‖Lnv‖ ≤
b∫
a
b∫
a
(K(x, t)−Hn(x, t))2 dx dt
1/2
‖un‖ = cnδn ‖v‖ . (43)
Оскiльки при n → ∞ δn → 0, а cn — обмежена, то qn → 0 при n → ∞.
Iз спiввiдношення (20) з урахуванням (17) – (19) отримуємо
b∫
a
Dn(x, t)v(t) dt =
b∫
a
(G(x, t)−Gn(x, t)) v(t) dt+
+
b∫
a
b∫
a
Ln(x, τ)Gn(τ, t)v(t) dt dτ. (44)
Тодi iз формул (44), (43) маємо
‖Dnv‖ ≤
b∫
a
b∫
a
(G(x, t)−Gn(x, t))2 dx dt
1/2
‖v‖ +
b∫
a
b∫
a
L2
n(x, τ) dx dτ
1/2
×
×
b∫
a
b∫
a
G2
n(τ, t) dτ dt
1/2
‖v‖ ≤ (gn + δncnmn) ‖v‖, (45)
gn =
b∫
a
b∫
a
(G(x, t)−Gn(x, t))2 dx dt
1/2
, (46)
mn =
b∫
a
b∫
a
G2
n(x, t) dx dt
1/2
. (47)
Покажемо, що при виконаннi умови (27) mn ≤ m ∀n ≥ n2.
Справдi, iз спiввiдношення (47) одержуємо
mn =
b∫
a
b∫
a
(Gn(x, t)−G(x, t) +G(x, t))2 dx dt
1/2
≤
≤
b∫
a
b∫
a
(Gn(x, t)−G(x, t))2 dx dt
1/2
+
b∫
a
b∫
a
G2(x, t) dx dt
1/2
= gn +G,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
74 В.Б. ПОСЕЛЮЖНА
де G — величина, що фiгурує в умовi 2. Оскiльки за умовою (27) gn → 0 при
n → ∞, то iснує n2 таке, що для будь-якого n ≥ n2 mn ≤ m. Тодi оцiнка (45) набере
вигляду
‖Dnv‖ ≤ (δn + δncnm) ‖v‖ ∀n ≥ max {n1, n2} .
Оскiльки при n → ∞ gn → 0, δn → 0, а cn — обмежена, то ηn → 0 при n → ∞.
Iз спiввiдношень (17), (41) та оцiнки (42) знаходимо
‖Mnv‖ ≤
b∫
a
b∫
a
K2(x, t) dx dt
1/2
‖un‖ ≤ Kcn ‖v‖ ∀n ≥ n1.
Якщо n → ∞, то pn → p∗.
На основi спiввiдношень (17), (19) отримуємо
b∫
a
En(x, t)v(t) dt =
b∫
a
G(x, t)v(t) dt+
b∫
a
b∫
a
K(x, τ)Gn(τ, t)v(t) dt dτ+
+
b∫
a
b∫
a
b∫
a
K(x, τ)Rn(τ, η)Gn(η, t)v(t) dt dη dτ. (48)
На пiдставi спiввiдношень (48), (23) та того факту [4], що резольвента R(x, t) ядра K(x, t)
задовольняє рiвняння
R(x, t) = K(x, t) +
b∫
a
K(x, τ)R(τ, t) dτ,
маємо
b∫
a
(En(x, t)− E(x, t)) v(t) dt =
b∫
a
K(x, t)zn(t) dt+
b∫
a
K(x, t)yn(t)v(t) dt, (49)
zn(x) =
b∫
a
(Gn(x, t)−G(x, t)) v(t) dt+
+
b∫
a
b∫
a
Rn(x, τ) (Gn(τ, t)−G(τ, t)) v(t) dt dτ, (50)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПРО ДОСТАТНI УМОВИ ЗБIЖНОСТI МОДИФIКОВАНОГО КОЛОКАЦIЙНО- IТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ . . . 75
yn(x) =
b∫
a
b∫
a
(Rn(x, τ)−R(x, τ))G(τ, t)v(t) dt dτ. (51)
Iз спiввiдношення (50) з урахуванням формули (37), вважаючи в нiй g(x) =
b∫
a
(Gn(x, t)−
−G(x, t))v(t) dt, оцiнки (38) i позначення (46) одержуємо
‖zn‖ ≤ cngn ‖v‖ . (52)
Спiввiдношення (51) подамо у виглядi
yn(x) =
b∫
a
Rn(x, t)h(t) dt−
b∫
a
R(x, t)h(t) dt,
де
h(x) =
b∫
a
G(x, t)v(t) dt. (53)
Тодi на основi спiввiдношень (21), (25) отримуємо
yn(x) =
b∫
a
K(x, t)yn(t) dt+
b∫
a
(Hn(x, t)−K(x, t))h(t) dt+
+
b∫
a
b∫
a
(Hn(x, τ)−K(x, τ))Rn(τ, t)h(t) dt dτ,
або
yn(x) =
b∫
a
K(x, t)yn(t) dt+
b∫
a
(Hn(x, t)−K(x, t)) kn(t) dt, (54)
kn(x) = h(x) +
b∫
a
Rn(x, t)h(t) dt. (55)
Iз спiввiдношення (54), як i при доведеннi оцiнки (38), маємо
‖yn‖ ≤ (1 +R)δn ‖kn‖ . (56)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
76 В.Б. ПОСЕЛЮЖНА
Iз спiввiдношення (55) з урахуванням формул (37), (38), (53) отримуємо
‖kn‖ ≤ cnG ‖v‖ . (57)
Пiдставляючи оцiнку (57) в (56), остаточно одержуємо
‖yn‖ ≤ (1 +R)Gδncn ‖v‖ . (58)
Тодi на основi спiввiдношення (49) i оцiнок (52), (58) отримуємо
‖(En − E) v‖ ≤ K (cngn + (1 +R)Gδncn) ‖v‖ .
Оскiльки за умовою теореми gn → 0, δn → 0, а cn — обмежена, то q∗n = cnK(gn+
+(1 +R)Gδn) → 0, n → ∞. Отже, при n → ∞ En(x, t) → E(x, t), iγn → γ∗.
Переходячи у спiввiдношеннi (39) до границi при n → ∞, з урахуванням позначень
(25) маємо limn→∞ ρn = r∗, r∗ = λµγ∗.
Оскiльки за умовою r∗ < 1, то, очевидно, iснує такий номер n0, що для будь-якого
n ≥ n0 ρn < 1, а отже, метод (5) – (8) збiгається. Теорему доведено.
1. Курпель Н.С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. — Киев: Наук.
думка, 1968. — 244 с.
2. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных урав-
нений. — Киев: Наук. думка, 1980. — 262 с.
3. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы. — Киев: Наук. думка, 1993. — 288 с.
4. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965. — 127 с.
Одержано 06.03.2001
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175802 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:06:35Z |
| publishDate | 2002 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Поселюжна, В.Б. 2021-02-02T19:44:30Z 2021-02-02T19:44:30Z 2002 Про достатні умови збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв'язування нелінійних рівнянь / В.Б. Поселюжна // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 66-76. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175802 517 . 927 Розглядається питання застосування колокацiйно-iтеративного методу до розв’язування нелiнiйних iнтегральних рiвнянь. Побудовано алгоритм методу та встановлено достатнi умови його збiжностi. The use of collocation-iteration method for solving nonlinear integral equations is considered. The algorithm of the method is constructed and sufficient conditions for convergence are found. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про достатні умови збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв'язування нелінійних рівнянь About sufficient convergence conditions of the collocation-iteration method for solving nonlinear equations О достаточных условиях сходимости модифицированного коллокационно-итеративного метода решения нелинейных уравнений Article published earlier |
| spellingShingle | Про достатні умови збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв'язування нелінійних рівнянь Поселюжна, В.Б. |
| title | Про достатні умови збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв'язування нелінійних рівнянь |
| title_alt | About sufficient convergence conditions of the collocation-iteration method for solving nonlinear equations О достаточных условиях сходимости модифицированного коллокационно-итеративного метода решения нелинейных уравнений |
| title_full | Про достатні умови збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв'язування нелінійних рівнянь |
| title_fullStr | Про достатні умови збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв'язування нелінійних рівнянь |
| title_full_unstemmed | Про достатні умови збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв'язування нелінійних рівнянь |
| title_short | Про достатні умови збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв'язування нелінійних рівнянь |
| title_sort | про достатні умови збіжності модифікованого колокаційно-ітеративного методу розв'язування нелінійних рівнянь |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175802 |
| work_keys_str_mv | AT poselûžnavb prodostatníumovizbížnostímodifíkovanogokolokacíinoíterativnogometodurozvâzuvannânelíníinihrívnânʹ AT poselûžnavb aboutsufficientconvergenceconditionsofthecollocationiterationmethodforsolvingnonlinearequations AT poselûžnavb odostatočnyhusloviâhshodimostimodificirovannogokollokacionnoiterativnogometodarešeniânelineinyhuravnenii |