Контрпримеры к гипотезе Любича о гладком отображении
Побудовані гладкі відображення Tk : X → X, k = 1,2, де X — компактна опукла підмножина R², для яких p(T'k (x)) < 1, k — 1,2,, для всіх х ∊ X і послідовності{Tⁿk x₀} n ≥ 1, k = 1,2, розбігаються для деяких х₀ ∊ Х....
Saved in:
| Date: | 1998 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
1998
|
| Series: | Нелінійні коливання |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175803 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Контрпримеры к гипотезе Любича о гладком отображении / В.Е. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 1998. — Т. 1, № 1. — С. 103-106. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175803 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1758032025-02-09T23:08:38Z Контрпримеры к гипотезе Любича о гладком отображении Контрприклади до гіпотези Любича про гладке відображення Counterexamples to Lyubich hypothesis on a smooth mapping Слюсарчук, В.Е. Побудовані гладкі відображення Tk : X → X, k = 1,2, де X — компактна опукла підмножина R², для яких p(T'k (x)) < 1, k — 1,2,, для всіх х ∊ X і послідовності{Tⁿk x₀} n ≥ 1, k = 1,2, розбігаються для деяких х₀ ∊ Х. We construct the differentable mappings Tk : X → X, k = 1,2, where X is compact convex supset R², such that p(T'k (x)) < 1, k — 1,2, for all x ∊ X and sequences {Tⁿk x₀} n ≥1, k = 1,2 diverge for some х₀ ∊ Х. 1998 Article Контрпримеры к гипотезе Любича о гладком отображении / В.Е. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 1998. — Т. 1, № 1. — С. 103-106. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175803 517.9 ru Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Побудовані гладкі відображення Tk : X → X, k = 1,2, де X — компактна опукла підмножина R², для яких p(T'k (x)) < 1, k — 1,2,, для всіх х ∊ X і послідовності{Tⁿk x₀} n ≥ 1, k = 1,2, розбігаються для деяких х₀ ∊ Х. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Е. |
| spellingShingle |
Слюсарчук, В.Е. Контрпримеры к гипотезе Любича о гладком отображении Нелінійні коливання |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Е. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Е. |
| title |
Контрпримеры к гипотезе Любича о гладком отображении |
| title_short |
Контрпримеры к гипотезе Любича о гладком отображении |
| title_full |
Контрпримеры к гипотезе Любича о гладком отображении |
| title_fullStr |
Контрпримеры к гипотезе Любича о гладком отображении |
| title_full_unstemmed |
Контрпримеры к гипотезе Любича о гладком отображении |
| title_sort |
контрпримеры к гипотезе любича о гладком отображении |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1998 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175803 |
| citation_txt |
Контрпримеры к гипотезе Любича о гладком отображении / В.Е. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 1998. — Т. 1, № 1. — С. 103-106. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukve kontrprimerykgipotezelûbičaogladkomotobraženii AT slûsarčukve kontrprikladidogípotezilûbičaprogladkevídobražennâ AT slûsarčukve counterexamplestolyubichhypothesisonasmoothmapping |
| first_indexed |
2025-12-01T14:59:52Z |
| last_indexed |
2025-12-01T14:59:52Z |
| _version_ |
1850318461917462528 |
| fulltext |
Нелінійні коливання 1 · 1998
УДК 517.9
К О Н ТРП РИ М ЕРЫ
К ГИПОТЕЗЕ Л Ю БИ Ч А О ГЛАДКОМ О ТО БРА Ж ЕН И И
В .Е . Слю сарчук
Укр. акад. водн. хоо-ва,
Украина, 266000, Ривнэ, у л. Соборная, 11
We construct the differentable mappings Tk : X —і X , k = 1,2, where X is compact convex supset R 2,
such that p(T'k (a;)) < 1, k — 1,2, for all x Є X and sequences {7^*а;о}п>і, k = 1,2 diverge for some
х0 ЄХ.
Побудовані гладкі відображення Tk : X —»· X , k = 1,2, де X — компактна опукла підмножина
R2, для яких р(Тк(х)) < 1, k = 1,2, для всіх х Є X і послідовності {Тк хо}п>ь А = 1,2,
розбігаються для деяких xq Є X.
Пусть X — выпуклый компакт в конечномерном банаховом пространстве Е , Т : X —>
—> X — непрерывно дифференцируемое отображение, Т '(х ) — производная отображения
Т в точке X Є X и р(Т '(х)) — ее спектральный радиус.
В [1, с. 35] выдвинута следующая ги п о т еза :
если шдх/э(Г'(а:)) < 1, то неподвижная точка отображения Т единственна и итераци
онный процесс £fc+ i = Txk, k = 0 ,1 ,..., сходится к ней при любом Хо Є X .
Приведем контрпримеры, опровергающие эту гипотезу.
К о н т р п р и м ер 1. В качестве Е возьмем пространство матриц-столбцов
Легко проверить, что для каждого δ Є [0,1] спектр матрицы SA + (1 - δ)В есть мно-
Ч:;>
где ®1 , Х2 Є R, с нормой ||х|| = \J x \ + х\-
Рассмотрим нильпотентные матрицы
- а - с : )
жество {iy/δ — δ2, —iy/ δ — δ2}. Поэтому
omax р(<Ы + ( ! - О Д =
0<5<] ( 1 )
Возьмем такое число μ Є (1 ,4 ), чтобы
• 4 η
μ Sm 2 = L ( 2)
© В.Е. Слюсарчук, 1998
На основании теоремы Больцано - Коши [2, с. 171] множество таких чисел непусто, по
скольку непрерывно дифференцируемая на [1, 4] функция f ( t ) = is in 4 ’—ψ · удовлетворяет
условиям /(1 ) = 1, /(4 ) = 0 и / '(1 ) > 0.
Определим отображение Т : Е -* Е равенством
Т(х) — Ст(х)х,
I
y/lItm(x)B , если ||®|| < μ”1;
y/jium(x)(v(x )A + w (x )B ), если μ”1 < ||®|| < 2μτη·
0 , если ||®|| > 2μτη,
/х -4 *11*11 , \ . 27г1п 11*11 / \ 1 , ч« т (* ) = S in 4 - li- ] i , l>(g) = Sin4 И w{x) = 1 - υ (χ ) .
2μm In μ
Это отображение, очевидно, является СД-отображением и для него выполняется со
отношение
т а х р (С т(х)) = < 1
для каждого т Є N (на основании (1)).
Пусть 7 Є {^ 2 'ι 1^· Поскольку множество {Ст(х) : т > 1, х Є Е } компактно,
то найдется такое число ε > 0, что если для матрицы М в некоторых т > 1 , х Є Е
выполняется неравенство \\М — С т (я)|| < ε, то р(М ) < 7 .
Из определения Г следует
lim sup ||Cm(x) — Г'(®)|| = 0.
т~*°° хеЕ
Поэтому
т а х р (Г , (®)) < 7 (3)
для достаточно большого т.
Предположим, что соотношение (3) выполняется при т = то.
Рассмотрим выпуклый компакт X = {х Є Е : ||х|| < 4дто°} и отображение Т при
m = m0. Тогда неподвижная и притягивающая точка отображения Т, при
надлежащая X , и итерационный процесс ®jt+i = Txk, к = 0, 1 ,..., сходится к 0 не для
каждого х0 Є X . Действительно, если
104 Нелінійні коливання, 1998, № -l
- с -
где
в котором
f cos2 i iM l, если fL · < ||х || < μ171·
tm(x) = 1 V”1 2
1 0 , если ||x|| < ‘γ - ,
то
“ = '· "+*(ϊ)
и согласно (2) жг = £(ь т.е. {χο ι^ ι} — цикл отображения Т : X —»■ X . Поэтому последо
вательность Xk+i = Т хк , к = 0, 1 ,..., нефундаментальна, если
Аналогично нефундаментальной является последовательность Xk+i = Т хк , к = 0, 1 ,...,
если
поскольку | д т ° ^ ^ , μ ™ 0 + 2 ^ ^ | — также цикл отображения Т : X -¥ X .
Заметим, что в общем случае число циклов отображения Т может быть больше про
извольного числа р Є Ν.
Это подтверждается примером отображения, рассмотренным в следующем контрпри
мере.
К о н т р п р и м ер 2. Рассмотрим последовательность натуральных чисел m j, m 2,...
..., mn,..., для которой
8μτη° < μ™1,
8дт і < μ”12,
(4)
8μηΐη < μτη”+1,
где т 0 и μ — те же числа, что и в предыдущем контпримере. Определим отображение
Т : Е —̂ Е с помощью равенств
Т(х) = Ст о (ж)ж, если 0 < ||ζ || < 4μτη°,
Т {х) = Стк(х)х, если 4μτη*~1 < ||ж|| < 4μ”1*, к > 1 .
Из (4) и определения Ст(х ) вытекает, что
\\Т(х)\\ = 0 , (5)
если 2дт * < ||ж|| < 4μτηΗ, к Є Ν, и отображение Т является (^-отображением. Согласно
(3 )
sup р(Т'(ж)) < 1,
хЄЕ
Нелінійні коливання, 1998, № -l 105
а согласно (5) выполняется включение
Т Sk С Sk
для каждого выпуклого компакта Sk = {ж Є Е : ||х|| < 4дт *}, к Є N.
Как и в предыдущем контрпримере, точка О =(0 0)является притягивающей для
отображения Т. Однако итерационный процесс χ η+χ = Τ χη, п = 0 ,1 ,..., сходится к 0 не
для каждого хо Є Е.
Нетрудно проверить, что о1) ’ ( - і ) } ’
к Є Ν , — циклы отображения Т.
Итак, приведенные примеры отображений Т опровергают рассмотренную гипотезу.
В заключение заметим, что рассмотренная гипотеза верна в случае выполнения сле
дующего дополнительного условия: величина
m ax ||Г , (Т ( х ) ) - Г ' ( х ) | |
х£Л
является достаточно малой (см. теорему 1 [3]).
1. Белицкий Г.Р., Любим Ю.И. Нормы матриц и их приложения. - Киев: Наук, думка, 1984. - 158 с.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3-х т. - М.: Наука,
1966. - Т. 1. - 608 с.
3. Слюсарчук В.Е. Нелинейные разностные уравнения с асимптотически устойчивыми решениями
//У кр. мат. журн. - 1997. - 49, Ν£ 7. - С. 970-980.
Получено 11.03.98
106 Нелінійні коливання, 1998, №-1
|