Про існування і асимптотику періодичного розв'язку виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратних елементарних дільників
Розглядається лiнiйна неоднорiдна сингулярно збурена система диференцiальних рiвнянь з ωперiодичними коефiцiєнтами i тотожно виродженою матрицею при похiднiй. Знайдено достатнi умови iснування i єдиностi ω-перiодичного розв’язку цiєї системи у випадку, коли головна в’язка матриць має кратний спектр....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2002 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2002
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175818 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про існування і асимптотику періодичного розв'язку виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратних елементарних дільників / В.П. Яковець, А.М. Акименко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 123-141. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175818 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Яковець, В.П. Акименко, А.М. 2021-02-02T19:48:22Z 2021-02-02T19:48:22Z 2002 Про існування і асимптотику періодичного розв'язку виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратних елементарних дільників / В.П. Яковець, А.М. Акименко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 123-141. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175818 517.9 Розглядається лiнiйна неоднорiдна сингулярно збурена система диференцiальних рiвнянь з ωперiодичними коефiцiєнтами i тотожно виродженою матрицею при похiднiй. Знайдено достатнi умови iснування i єдиностi ω-перiодичного розв’язку цiєї системи у випадку, коли головна в’язка матриць має кратний спектр. Побудовано асимптотику цього розв’язку. We considere an inhomogeneous singularly perturbed system of linear differential equations with ω-periodic coefficients and an identically degenerate matrix of the derivative. We find sufficient conditions for existence and uniqueness of an ω-periodic solution of this system in the case where the main pencil of matrices has multiple spectrum. We construct an asymptotics of this solution. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про існування і асимптотику періодичного розв'язку виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратних елементарних дільників On the existence and asymptotics of a periodic solution of a degenerate singularly perturbed system of differential equations in the case of multiple elementary divisors О существовании и асимптотике периодического решения вырожденной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений в случае кратных элементарных делителей Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про існування і асимптотику періодичного розв'язку виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратних елементарних дільників |
| spellingShingle |
Про існування і асимптотику періодичного розв'язку виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратних елементарних дільників Яковець, В.П. Акименко, А.М. |
| title_short |
Про існування і асимптотику періодичного розв'язку виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратних елементарних дільників |
| title_full |
Про існування і асимптотику періодичного розв'язку виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратних елементарних дільників |
| title_fullStr |
Про існування і асимптотику періодичного розв'язку виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратних елементарних дільників |
| title_full_unstemmed |
Про існування і асимптотику періодичного розв'язку виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратних елементарних дільників |
| title_sort |
про існування і асимптотику періодичного розв'язку виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратних елементарних дільників |
| author |
Яковець, В.П. Акименко, А.М. |
| author_facet |
Яковець, В.П. Акименко, А.М. |
| publishDate |
2002 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On the existence and asymptotics of a periodic solution of a degenerate singularly perturbed system of differential equations in the case of multiple elementary divisors О существовании и асимптотике периодического решения вырожденной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений в случае кратных элементарных делителей |
| description |
Розглядається лiнiйна неоднорiдна сингулярно збурена система диференцiальних рiвнянь з ωперiодичними коефiцiєнтами i тотожно виродженою матрицею при похiднiй. Знайдено достатнi умови iснування i єдиностi ω-перiодичного розв’язку цiєї системи у випадку, коли головна в’язка матриць має кратний спектр. Побудовано асимптотику цього розв’язку.
We considere an inhomogeneous singularly perturbed system of linear differential equations with ω-periodic coefficients and an identically degenerate matrix of the derivative. We find sufficient conditions for existence and uniqueness of an ω-periodic solution of this system in the case where the main pencil of matrices has multiple spectrum. We construct an asymptotics of this solution.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175818 |
| citation_txt |
Про існування і асимптотику періодичного розв'язку виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратних елементарних дільників / В.П. Яковець, А.М. Акименко // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 123-141. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT âkovecʹvp proísnuvannâíasimptotikuperíodičnogorozvâzkuvirodženoísingulârnozburenoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹuvipadkukratnihelementarnihdílʹnikív AT akimenkoam proísnuvannâíasimptotikuperíodičnogorozvâzkuvirodženoísingulârnozburenoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹuvipadkukratnihelementarnihdílʹnikív AT âkovecʹvp ontheexistenceandasymptoticsofaperiodicsolutionofadegeneratesingularlyperturbedsystemofdifferentialequationsinthecaseofmultipleelementarydivisors AT akimenkoam ontheexistenceandasymptoticsofaperiodicsolutionofadegeneratesingularlyperturbedsystemofdifferentialequationsinthecaseofmultipleelementarydivisors AT âkovecʹvp osuŝestvovaniiiasimptotikeperiodičeskogorešeniâvyroždennoisingulârnovozmuŝennoisistemydifferencialʹnyhuravneniivslučaekratnyhélementarnyhdelitelei AT akimenkoam osuŝestvovaniiiasimptotikeperiodičeskogorešeniâvyroždennoisingulârnovozmuŝennoisistemydifferencialʹnyhuravneniivslučaekratnyhélementarnyhdelitelei |
| first_indexed |
2025-11-27T00:49:05Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:49:05Z |
| _version_ |
1850784336904716288 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ПРО IСНУВАННЯ I АСИМПТОТИКУ ПЕРIОДИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ
ВИРОДЖЕНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ
СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
У ВИПАДКУ КРАТНИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДIЛЬНИКIВ
В. П. Яковець, А. М. Акименко
Нiжин. пед. ун-т
Україна, 16600, Нiжин Чернiгiвської обл., вул. Кропив’янського, 2
We considere an inhomogeneous singularly perturbed system of linear differential equations with ω-periodic
coefficients and an identically degenerate matrix of the derivative. We find sufficient conditions for existence
and uniqueness of an ω-periodic solution of this system in the case where the main pencil of matrices has
multiple spectrum. We construct an asymptotics of this solution.
Розглядається лiнiйна неоднорiдна сингулярно збурена система диференцiальних рiвнянь з ω-
перiодичними коефiцiєнтами i тотожно виродженою матрицею при похiднiй. Знайдено доста-
тнi умови iснування i єдиностi ω-перiодичного розв’язку цiєї системи у випадку, коли головна
в’язка матриць має кратний спектр. Побудовано асимптотику цього розв’язку.
Постановка задачi. Розглянемо систему лiнiйних диференцiальних рiвнянь
εhB(t)
dx
dt
= A(t, ε)x(t, ε) + f(t, ε), (1)
де A(t, ε), B(t) — квадратнi (n × n)-вимiрнi матрицi, x(t, ε), f(t, ε) — n-вимiрнi вектори,
ε > 0 — малий параметр.
Припустимо, що виконуються такi умови:
1) A(t, ε), B(t), f(t, ε) — ω-перiодичнi по t, ω > 0;
2) матриця A(t, ε) i вектор f(t, ε) допускають на R рiвномiрнi асимптотичнi розвинен-
ня за степенями ε:
A(t, ε) =
∞∑
k=0
εkAk(t), f(t, ε) =
∞∑
k=0
εkfk(t); (2)
3) коефiцiєнти розвинень Ak(t), fk(t) нескiнченно диференцiйовнi на R;
4) detB(t) = 0 ∀t ∈ R;
5) гранична в’язка матриць A0 − λB регулярна при всiх t ∈ R, тобто det(A0 − λB) 6= 0
[1, с. 313], i має „скiнченний” елементарний дiльник (λ−λ0(t))p кратностi p та „нескiнчен-
ний” кратностi q = n− p. Зазначимо, що згiдно з [1] „скiнченний” елементарний дiльник
(λ − λ0)p — це елементарний дiльник матрицi A0 вiдносно B, який вiдповiдає власному
значенню λ0, а „нескiнченний” елементарний дiльник є елементарним дiльником матри-
цi B вiдносно A0, який вiдповiдає нульовому власному значенню.
За виконання цих умов будемо дослiджувати питання про iснування ω-перiодичного
розв’язку системи (1) та побудову його асимптотики при ε → 0.
c© В. П. Яковець, А. М. Акименко, 2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 123
124 В.П. ЯКОВЕЦЬ, А.М. АКИМЕНКО
Аналогiчна задача для даного класу систем дослiджувалась у роботi [2], де передбача-
лось, що всi „скiнченнi” та „нескiнченнi” елементарнi дiльники граничної в’язки матриць
простi, що значно полегшувало дослiдження.
Наявнiсть кратних „скiнченних” i „нескiнченних” елементарних дiльникiв у граничної
в’язки матриць A0 − λB призводить до необхiдностi оперування з асимптотичними роз-
виненнями за дробовими степенями параметра ε, що значно ускладнює задачу i вимагає
подолання труднощiв принципового характеру. Це й здiйснюється в данiй роботi.
Деякi допомiжнi означення. З умови 5 випливає [3] (§1.5), що матриця A0(t) має на
R B-жорданiв ланцюжок векторiв довжини p, що складається з власного вектора φ1(t),
який вiдповiдає власному значенню λ0(t), та p − 1 B-приєднаних векторiв φ2(t), ..., φp(t),
якi при всiх t ∈ R задовольняють спiввiдношення
(A0 − λ0B)φ1 = 0,
(3)
(A0 − λ0B)φi = Bφi−1, i = 2, p,
а рiвняння (A0 − λ0B)z = Bφp не має розв’язку в жоднiй точцi множини R.
У свою чергу матриця B(t) має A0-жорданiв ланцюжок векторiв довжини q, що скла-
дається з власного вектора φ̃1(t), який вiдповiдає нульовому власному значенню та q − 1
A0-приєднаних векторiв φ̃2, . . . , φ̃q−1, якi задовольняють спiввiдношення
Bφ̃1 = 0,
(4)
Bφ̃j = A0φ̃j−1, j = 2, q.
Вектори, що утворюють отриманi ланцюжки, з спiввiдношень (3), (4) визначаються не-
однозначно. Цiєї неоднозначностi можна уникнути, якщо визначати їх за допомогою ре-
курентних формул
φ1 = φ, φi = HBφi−1, i = 2, p,
φ̃1 = φ̃, φ̃j = GA0φ̃j−1, j = 2, q,
де φ(t), φ̃(t) — деякi фiксованi власнi вектори вiдповiдно матрицiA0 вiдносноB та матрицi
B вiдносноA0, аH(t), G(t) — напiвоберненi матрицi до матриць (A0−λ0B) таB(t). Звiдси
φi = (HB)i−1φ, i = 2, p,
(5)
φ̃j = (GA0)
j−1φ̃, j = 2, q.
Зазначимо, що згiдно з [4 – 6] вектори φ, φ̃ i матрицi H(t), G(t) можна визначити так,
щоб вони були достатню кiлькiсть разiв диференцiйовнi i ω-перiодичнi, що ми й передба-
чатимемо в подальших викладках. Тодi такi ж властивостi матимуть i вектори (5).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПРО IСНУВАННЯ I АСИМПТОТИКУ ПЕРIОДИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ .. . 125
Позначимо через ψ(t) елемент нуль-простору матрицi (A0 − λ0B)∗, а через ψ̃(t) —
елемент нуль-простору матрицi B∗, якi визначимо так, щоб вони були ω-перiодичними i
достатньо гладкими. Оскiльки рiвняння
(A0 − λ0B)y = Bφp, Bz = A0φ̃q
не мають розв’язку, то
(B(HB)p−1φ, ψ) 6= 0, (A0(GA0)
q−1φ̃, ψ̃) 6= 0,
де символом (a, b) позначено скалярний добуток в унiтарному n-вимiрному просторi,
в якому розглядається система (1). Беручи до уваги, що вектори ψ(t) та ψ̃(t) визнача-
ються з точнiстю до скалярного множника, визначимо їх так, щоб виконувались рiвностi
(B(HB)p−1φ, ψ) = 1,
(6)
(A0(GA0)
q−1φ̃, ψ̃) = 1.
Крiм того, з (3), (4) знаходимо
(B(HB)i−1φ, ψ) = 0, i = 1, p− 1,
(7)
(A0(GA0)
j−1φ̃, ψ̃) = 0, j = 1, q − 1.
Побудова асимптотики матрицi монодромiї та мультиплiкаторiв. Згiдно з [3, 4] матри-
ця монодромiї для системи (1) має вигляд
Ω = Y ∗(0, ε)B(0)X(ω, ε)[Y ∗(0, ε)B(0)X(0, ε)]−1, (8)
де X(t, ε) — фундаментальна матриця [3] однорiдної системи
εhB(t)
dx
dt
= A(t, ε)x(t, ε), (9)
а Y (t, ε) — фундаментальна матриця спряженої з (9) системи
εh
dB∗y
dt
= −A∗(t, ε)y(t, ε). (10)
Розглянемо однорiдну систему диференцiальних рiвнянь (9). Згiдно з [3, 7] ця система
має p формальних лiнiйно незалежних розв’язкiв вигляду
xi(t, ε) = ui(t, ε)exp
ε−h t∫
0
λi(t, ε)dt
, i = 1, p, (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
126 В.П. ЯКОВЕЦЬ, А.М. АКИМЕНКО
де ui(t, ε) — n-вимiрнi вектори, а λi(t, ε) — скалярнi функцiї, якi зображуються формаль-
ними розвиненнями за степенями µ = p
√
ε:
ui(t, ε) = φ(t) +
∞∑
k=1
µku
(i)
k (t), i = 1, p,
(12)
λi(t, ε) = λ0(t) +
∞∑
k=1
µkλ
(i)
k (t), i = 1, p,
та q − 1 формальних лiнiйно незалежних розв’язкiв другої групи
x̃j (t, ε) = ũj(t, ε) exp
ν−(q−1)h−1 t∫
0
dt
ξj(t, ε)
, j = 1, q − 1, (13)
де ν = q−1
√
ε, та ũj(t, ε), ξ(t, ε) — розвинення в ряди за степенями ν:
ũj(t, ε) = φ̃(t) +
∞∑
k=1
νkũ
(j)
k (t), j = 1, q − 1,
(14)
ξj(t, ε) =
∞∑
k=0
νkξ
(j)
k (t), j = 1, q − 1.
Коефiцiєнти розвинень (12) визначаються iз системами алгебраїчних рiвнянь, якi утво-
рюються шляхом пiдстановки (11), (12) в систему (9). Прирiвнюючи коефiцiєнти при
однакових степенях параметра µ, маємо [3]
(A0 − λ0B)u
(s)
k (t) = b
(s)
k (t), s = 1, p, k = 1, 2, ..., (15)
де
b
(s)
k (t) =
k∑
i=1
P ki (λ(s))B(HB)i−1φ+
k−p−1∑
j=0
k−p−j∑
i=1
P k−p−ji (λ(s))(BH)ig
(s)
p+j + g
(s)
k (t),
(16)
k = 1, 2, ..., s = 1, p,
g
(s)
k (t) = −
[k/p]∑
i=1
Aiu
(s)
k−ip +B(u
(s)
k−hp)
′, k ≥ p, s = 1, p,
а символом P ki (λ(s)) позначено суму всiх можливих добуткiв i множникiв вигляду λ
(s)
j1
,
λ
(s)
j2
, ..., λ
(s)
ji
, сума iндексiв яких j1 + j2 + ...+ ji = k.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПРО IСНУВАННЯ I АСИМПТОТИКУ ПЕРIОДИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ .. . 127
Далi, використовуючи умову сумiсностi системи (15) — ортогональнiсть її правої ча-
стини до вектора ψ(t) та беручи до уваги (6), (7), знаходимо
(λ
(s)
1 )p = (Kφ,ψ), (17)
де K = A1 − δh,1B
d
dt
, звiдки
λ
(s)
1 = p
√
|(Kφ,ψ)|
(
cos
arg(Kφ,ψ) + 2π(s− 1)
p
+ i sin
arg(Kφ,ψ) + 2π(s− 1)
p
)
, (18)
s = 1, p,
якщо (Kφ,ψ) 6= 0 ∀t ∈ R.
З (14), (15) отримуємо рекурентну формулу для визначення значень λ(s)k :
λ
(s)
k+1 = −
c
(s)
k (t) + P̃ p+kp (λ(s))
p(λ
(s)
1 )p−1
, k = 1, 2, ..., (19)
де
c
(s)
k =
p+k∑
i=p+1
P p+ki (λ(s))(B(HB)i−1φ, ψ)+
+
k−1∑
j=0
k−j∑
i=1
P k−ji (λ(s))((BH)ig
(s)
p+j , ψ) + (g
(s)
p+k, ψ), (20)
а P̃ p+kp (λ(s)) — та частина виразу P p+kp (λ(s)), яка не мiстить λ(s)k+1.
Вектори u(s)k (t) визначаються за формулою
u
(s)
k = H(t)b
(s)
k (t), k = 1, 2, ... . (21)
Аналогiчно визначаються коефiцiєнти розвинень (14). Пiдставляючи (13), (14) у (9) i
прирiвнюючи коефiцiєнти при однакових степенях ν, одержуємо
Bũ
(s)
k = b̃
(s)
k (t), k = 1, 2, ..., s = 1, q − 1, (22)
звiдки
ũ
(s)
k = G(t)̃b
(s)
k (t), k = 1, 2, ..., s = 1, q − 1, (23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
128 В.П. ЯКОВЕЦЬ, А.М. АКИМЕНКО
де
b̃
(s)
k =
k∑
i=1
P k−ii (ξ(s))A0(GA0)
i−1φ̃+
+
k−q∑
j=0
k−q−j+1∑
i=1
P k−q−i−j+1
i (ξ(s))(A0G)ig̃
(s)
q+j−1 + g̃
(s)
k , (24)
g̃
(s)
k (t) =
k−q+1∑
j=0
[
k−j
q−1
]∑
i=1
ξ
(s)
j Aiũ
(s)
k−1−j−(q−1)i −
k−(q−1)h∑
i=0
ξ
(s)
i B(ũ
(s)
k−(q−1)h−i)
′, (25)
k = q − 1, q, ..., s = 1, q − 1.
Символ P ki (ξ(s)) має такий же змiст, що й символ P ki (λ(s)) [3].
Використовуючи умову сумiсностi системи (22) — ортогональнiсть вектора b̃(s)k до ве-
ктора ψ̃, знаходимо
(ξ
(s)
0 )q−1 = −(A1φ̃, ψ̃),
звiдки
ξ
(s)
0 =
q−1
√
|(A1φ̃, ψ̃)|
(
cos
arg(−A1φ̃, ψ̃) + 2π(s− 1)
q − 1
+
+ i sin
arg(−A1φ̃, ψ̃) + 2π(s− 1)
q − 1
)
, s = 1, q − 1, (26)
якщо (A1φ̃, ψ̃) 6= 0.
Для визначення значень ξ(s)k отримуємо рекурентну формулу
ξ
(s)
k = −
c̃
(s)
k (t) + P̃ q+kq (ξ(s))
q(A1φ̃, ψ̃)
, k = 1, 2, ..., (27)
де
c̃
(s)
k =
q+k∑
i=q+1
P q+k−ii (ξ(s))(A0(GA0)
i−1φ̃, ψ̃)+
+
k∑
j=0
k−j∑
i=1
P k−ji (ξ(s))((A0G)ig̃
(s)
q+j−1, ψ̃) + (g̃
(s)
q+k, ψ̃), (28)
s = 1, q − 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПРО IСНУВАННЯ I АСИМПТОТИКУ ПЕРIОДИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ .. . 129
а P̃ q+kq (ξ(s)) — та частина виразу P q+kq (ξ(s)), яка не мiстить ξ(s)k .
За допомогою рекурентних формул (18), (19), (21), (23), (26), (27) можна визначити
будь-якi коефiцiєнти розвинень (12), (14). У роботi [7] встановлено, що розв’язки (11),
(13) за виконання певних умов є асимптотичними розвиненнями точних лiнiйно незале-
жних розв’язкiв системи (9).
Розглянемо систему (10), спряжену з (9). Вона також має двi групи розв’язкiв, якi вiд-
повiдають „скiнченному” та „нескiнченному” елементарним дiльникам:
yi(t, ε) = vi(t, ε)exp
ε−h t∫
0
ηi(t, ε)dt
, i = 1, p, (29)
та
ỹj(t, ε) = ṽj(t, ε)exp
ν−(q−1)h−1 t∫
0
dt
ζj(t, ε)
, j = 1, q − 1, (30)
де
vi(t, ε) = ψ(t) +
∞∑
k=1
µkv
(i)
k (t), ηi(t, ε) = −λ0(t) +
∞∑
k=1
µkη
(i)
k (t), i = 1, p, (31)
ṽj(t, ε) = ψ̃(t) +
∞∑
k=1
νkṽ
(j)
k (t), ζj(t, ε) =
∞∑
k=0
νkζ
(j)
k (t), j = 1, q − 1. (32)
Коефiцiєнти розвинень (31), (32) знаходяться за формулами
v
(s)
k (t) = H∗b
(s)
k (t), k = 1, 2, ..., s = 1, p, (33)
де
b
(s)
k (t) =
k∑
i=1
(−1)iP ki (η(s))B∗(H∗B∗)i−1ψ+
+
k−p∑
j=0
k−p−j∑
i=1
(−1)p+jP k−p−ji (η(s))(B∗H∗)ig
(s)
p+j , (34)
g
(s)
k (t) = −
[k/p]∑
i=1
A∗i v
(s)
k−ip + (B∗v
(s)
k−hp)
′, k ≥ p, s = 1, p, (35)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
130 В.П. ЯКОВЕЦЬ, А.М. АКИМЕНКО
η
(s)
1 = p
√
|(K∗ψ, φ)|
(
cos
arg(−1)p(K∗ψ, φ) + 2π(s− 1)
p
+
+ i sin
arg(−1)p(K∗ψ, φ) + 2π(s− 1)
p
)
, s = 1, p. (36)
Тут K∗ = A∗1 + δh,1
d
dt
B∗,
η
(s)
k+1 = (−1)p
c
(s)
k (t) + P̃ p+kp (η(s))
p(η
(s)
1 )p−1
, (37)
c
(s)
k =
p+k∑
i=p+1
(−1)iP p+ki (η(s))(B∗(H∗B∗)i−1ψ, φ) +
k∑
j=1
k−j∑
i=1
P k−ji (η(s))((B∗H∗)ig
(s)
p+j , φ), (38)
ṽ
(s)
k (t) = G∗b̃
(s)
k (t), k = 1, 2, ..., s = 1, q − 1, (39)
b̃
(s)
k (t) =
k∑
i=1
(−1)iP ki (ζ(s))A∗0(G
∗A∗0)
i−1φ̃+
+
k−q∑
j=0
k−q−j+1∑
i=1
(−1)k−q−iP k−q−i−j+1
i (ζ(s))(A∗0G
∗)ig̃
(s)
q+j−1 + g̃
(s)
k ,
g̃
(s)
k (t) = −
k−q+1∑
j=0
[
k−j
q−1
]∑
i=1
ζ
(s)
j A∗i ṽ
(s)
k−1−j−i(q−1)+
+
k−(q−1)h−1∑
i=0
ζ
(s)
i (B∗ṽ
(s)
k−h(q−1)−i−1)
′, k ≥ q − 1, (40)
ζ
(s)
0 =
q−1
√
|(A∗1ψ̃, φ̃)|
(
cos
arg(−1)q(A∗1ψ̃, φ̃) + 2π(s− 1)
q − 1
+
+ i sin
arg(−1)q(A∗1ψ̃, φ̃) + 2π(s− 1)
q − 1
)
, s = 1, q − 1, (41)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПРО IСНУВАННЯ I АСИМПТОТИКУ ПЕРIОДИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ .. . 131
ζ
(s)
k = (−1)q+1 c̃
(s)
k (t) + P̃ q+kq (ζ(s))
q(A∗1ψ̃, φ̃)
, (42)
c̃
(s)
k =
q+k∑
i=q+1
(−1)iP q+k−ii (ζ(s))(A∗0(G
∗A∗0)
i−1ψ̃, φ̃)+
+
k∑
j=0
k−j∑
i=0
(−1)k−jP k−ji (ζ(s))((A∗0G
∗)ig̃
(s)
q+j−1, φ̃) + (g̃
(s)
q+k, ψ̃), s = 1, q − 1.
Зазначимо, що згiдно з (36)
(η
(s)
1 )p = (−1)p(K∗ψ, φ) = (−1)p((A∗1ψ, φ) + δh,1((B
∗ψ)′, φ)) =
= (−1)p((ψ,A1φ) + δh,1((ψ,B
′φ) + (ψ′, Bφ)) =
= (−1)p[(A1φ, ψ) + δh,1((B′φ, ψ) + (Bφ,ψ′))],
звiдки
(η
(s)
1 )p = (−1)p[(A1φ, ψ) + δh,1((B
′φ, ψ) + (Bφ,ψ′))].
У свою чергу згiдно з (17)
(λ
(s)
1 )p = (Kφ,ψ) = ((A1φ, ψ)− δh,1(Bφ′, ψ)).
Отже, якщо p парне, то
(λ
(s)
1 )p − (η
(s)
1 )p =(A1φ, ψ)− δh,1(Bφ′, ψ)− (A1φ, ψ)− δh,1((B′φ, ψ) + (Bφ,ψ′)) =
= − δh,1(Bφ,ψ)′ = 0,
тобто (λ
(s)
1 )p − (η
(s)
1 )p = 0. Якщо p непарне, то
(λ
(s)
1 )p + (η
(s)
1 )p = 0.
Цi рiвностi будуть виконуватись, якщо покласти
η
(s)
1 = −λ(s)1 , s = 1, p. (43)
Аналогiчно з (26), (41) маємо
(ξ
(s)
0 )q−1 = −(A1φ̃, ψ̃),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
132 В.П. ЯКОВЕЦЬ, А.М. АКИМЕНКО
(ζ
(s)
0 )q−1 = (−1)q(A∗1ψ̃, φ̃) = (−1)q(ψ̃, A1φ̃) = (−1)q(A1φ̃, ψ̃),
звiдки
(ζ
(s)
0 )q−1 = (−1)q(A1φ̃, ψ̃) = (−1)q−1(ξ
(s)
0 )q−1.
Остання рiвнiсть буде виконуватись, якщо покласти
ζ
(s)
0 = −ξ(s)0 , s = 1, q − 1. (44)
Розглянемо вирази, якi утворюються з (11), (13), (29), (30) шляхом обривання вiдпо-
вiдних розвинень (12), (14), (31), (32) на m-му членi:
x(i)m (t, ε) = u(i)m (t, ε)exp
(
ε−h
t∫
0
λ(i)m (t, ε)dt
)
, i = 1, p,
(45)
x̃(j)m (t, ε) = x̃(j)m (t, ε)exp
(
ν−(q−1)h−1
t∫
0
dt
ξ
(j)
m (t, ε)
)
, j = 1, q − 1,
де
u(i)m (t, ε) = φ(t) +
m∑
k=1
µku
(i)
k (t), λ(i)m (t, ε) = λ0(t) +
m∑
k=1
µkλ
(i)
k (t), i = 1, p, (46)
ũ(j)m (t, ε) = φ̃(t) +
m∑
k=1
νkũ
(j)
k (t), ξ(j)m (t, ε) =
m∑
k=0
νkξ
(j)
k (t), j = 1, q − 1, (47)
y(i)m (t, ε) = v(i)m (t, ε)exp(ε−h
t∫
0
ηi(t, ε)dt), i = 1, p,
(48)
ỹ(j)m (t, ε) = ṽ(j)m (t, ε)exp
(
ν−(q−1)h−1
t∫
0
dt
ζ
(j)
m (t, ε)
)
, j = 1, q − 1.
Тут
v(i)m (t, ε) = ψ(t) +
m∑
k=1
µkv
(i)
k (t), ηi(t, ε) = −λ0(t) +
m∑
k=1
µkη
(i)
k (t), i = 1, p, (49)
ṽ(j)m (t, ε) = ψ̃(t) +
m∑
k=1
νkṽ
(j)
k (t), ζ(j)m (t, ε) =
m∑
k=0
νkζ
(j)
k (t), j = 1, q − 1. (50)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПРО IСНУВАННЯ I АСИМПТОТИКУ ПЕРIОДИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ .. . 133
Складемо (n× n)-вимiрнi матрицi
Q(t, ε) = [Um(t, ε); φ̃(t)], P (t, ε) = [Vm(t, ε); ψ̃(t)]∗, (51)
де Um(t, ε), Vm(t, ε) — прямокутнi матрицi розмiрностi n × (n − 1), складенi з вектор-
стовпцiв (46), (47) та (49), (50):
Um(t, ε) = [u(1)m (t, ε), ..., u(p)m (t, ε), ũ(1)m (t, ε), ..., ũ(q−1)m (t, ε)],
Vm(t, ε) = [v(1)m (t, ε), ..., v(p)m (t, ε), ṽ(1)m (t, ε), ..., ṽ(q−1)m (t, ε)].
Неважко переконатися, що цi матрицi неособливi при досить малих ε > 0. Виконавши в
системi (9) замiну
x(t, ε) = Q(t, ε)z(t, ε) (52)
та помноживши її злiва на матрицю P (t, ε), дiстанемо
εhPBQ
dz
dt
= PLQz, (53)
де L(t, ε) = A(t, ε)− εhB(t)
d
dt
.
Згiдно з (51)
PBQ = [Vm(t, ε); ψ̃(t)]∗B(t)[Um(t, ε); φ̃(t)] =
(
V ∗mBUm V ∗mBφ̃
ψ̃∗BUm ψ̃∗Bφ̃
)
,
звiдки, враховуючи, що Bφ̃ = 0, B∗ψ̃ = 0, отримуємо
PBQ =
(
V ∗mBUm 0
0 0
)
.
Аналогiчно, розбиваючи на блоки матрицю PLQ, систему (53) записуємо у виглядi
εh
(
V ∗mBUm 0
0 0
)
dz
dt
=
(
V ∗mLUm V ∗mLφ̃
ψ̃∗LUm (Lφ̃, ψ̃)
)
z. (54)
Розглянемо матрицю V ∗mBUm. Враховуючи структуру матриць V ∗m, Um, маємо
V ∗mBUm =
=
(Bu
(1)
m , v
(1)
m ) . . . (Bu
(p)
m , v
(1)
m )
. . . I . . .
(Bu
(1)
m , v
(p)
m ) . . . (Bu
(p)
m , v
(p)
m )
(Bũ
(1)
m , v
(1)
m ) . . . (Bũ
(q−1)
m , v
(1)
m )
. . . II . . .
(Bũ
(1)
m , v
(p)
m ) . . . (Bũ
(q−1)
m , v
(p)
m )
(Bu
(1)
m , ṽ
(1)
m ) . . . (Bu
(p)
m , ṽ
(1)
m )
. . . III . . .
(Bu
(1)
m , ṽ
(q−1)
m ) . . . (Bu
(p)
m , ṽ
(q−1)
m )
(Bũ
(1)
m , ṽ
(1)
m ) . . . (Bũ
(q−1)
m , ṽ
(1)
m )
. . . IV . . .
(Bũ
(1)
m , ṽ
(q−1)
m ) . . . (Bũ
(q−1)
m , ṽ
(q−1)
m )
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
134 В.П. ЯКОВЕЦЬ, А.М. АКИМЕНКО
Отже, матриця V ∗mBUm розбивається на блоки, елементи кожного з яких визначаються
окремими формулами.
Розглянемо перший блок. Його елементи мають вигляд
(V ∗mBUm)ij = (Bu(j)m (t, ε), v(i)m (t, ε)), i, j = 1, p. (55)
Пiдставляючи в (55) вирази (46), (49) та вирази (16), (21), (33), (34) для векторiв u(j)k , v(i)k ,
k = 0,m, i беручи до уваги спiввiдношення (6), (7), дiстаємо
(V ∗mBUm)ij = µp−1
p−1∑
s=0
(−1)s(λ
(j)
1 )s(η
(i)
1 )p−1−s +O(µp), i, j = 1, p.
Звiдси, враховуючи (43), одержуємо
(V ∗mBUm)ij = µp−1(−1)p−1
p−1∑
s=0
(λ
(j)
1 )s(λ
(i)
1 )p−1−s +O(µp), i, j = 1, p.
Якщо i 6= j, то
p−1∑
s=0
(λ
(j)
1 )s(λ
(i)
1 )p−1−s =
(λ
(i)
1 )p − (λ
(j)
1 )p
λ
(i)
1 − λ
(j)
1
= 0,
оскiльки (λ
(i)
1 )p = (λ
(j)
1 )p = (Kφ,ψ).
Якщо ж i = j, то
p−1∑
s=0
(λ
(j)
1 )s(λ
(i)
1 )p−1−s = p(λ
(j)
1 )p−1.
Отже, елементи блоку I визначаються за формулами
(V ∗mBUm)ij =
O(µp) при i 6= j;
µp−1(−1)pp(λ
(i)
1 )p−1 +O(µp) при i = j, i = 1, p.
Розглянемо елементи четвертого блоку. Кожен елемент цього блоку можна подати у ви-
глядi
(V ∗mBUm)ij = (Bũ(j)m (t, ε), ṽ(i)m (t, ε)), i, j = 1, q − 1. (56)
Пiдставляючи в (56) вирази (47), (50) для ũ(j)m , ṽ(i)m та формули (23), (24), (32), (40) для ũ(j)k ,
ṽ
(i)
k , k = 0,m, маємо
(V ∗mBUm)ij = νq
q−1∑
s=1
(−1)s(ξ
(j)
0 )s(ζ
(i)
0 )q−s +O(νq+1), i, j = 1, q − 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПРО IСНУВАННЯ I АСИМПТОТИКУ ПЕРIОДИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ .. . 135
Враховуючи (44), знаходимо
(V ∗mBUm)ij = νq
q−1∑
s=1
(ξ
(j)
0 )s(ξ
(i)
0 )q−s +O(νq+1), i, j = 1, q − 1.
Якщо i 6= j, то
q−1∑
s=1
(ξ
(j)
0 )s(ξ
(i)
0 )q−s =
(ξ
(j)
0 )q+1 − (ξ
(i)
0 )q+1
ξ
(j)
0 − ξ
(i)
0
− [(ξ
(j)
0 )q + (ξ
(i)
0 )q] =
=ξq−10 (ξ
(j)
0 + ξ
(i)
0 )− ξq−10 (ξ
(j)
0 + ξ
(i)
0 ) = 0,
оскiльки (ξ
(i)
0 )q−1 = (ξ
(j)
0 )q−1 = (A1φ̃, ψ̃).
Якщо ж i = j, то
q−1∑
s=1
(ξ
(i)
0 )s(ξ
(i)
0 )q−s = (q − 1)(ξ
(i)
0 )q.
Отже елементи блоку IV мають вигляд
(V ∗mBUm)ij =
O(νq+1) при i 6= j;
νq(q − 1)(ξ
(i)
0 )q +O(νq+1) при i = j, i = 1, q − 1.
Розглянемо елементи блоку II, якi визначаються за формулою
(V ∗mBUm)ij = (Bũ(j)m (t, ε), v(i)m (t, ε)), j = 1, q − 1, i = 1, p.
Згiдно з (46), (49), (23), (24), (33), (34)
(Bũ(j)m , v(i)m ) =
q−1∑
k=1
p−1∑
s=0
νkµs
k∑
r=1
s∑
l=0
(−1)lP k−rr (ξ(j))P s1 (η(i))(Bφ̃j+1, ψi+1) +O(εν),
звiдки, беручи до уваги спiввiдношення [3, с. 35]
(Bφ̃j , ψi) = 0, i = 1, p, j = 1, q,
дiстаємо
(V ∗mBUm)ij = O(εν), i = 1, p, j = 1, q − 1.
Аналогiчний вираз одержуємо i для елементiв третього блоку.
Таким чином, матриця V ∗mBUm набирає вигляду
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
136 В.П. ЯКОВЕЦЬ, А.М. АКИМЕНКО
V ∗mBUm =
=
µp−1
p
(
λ
(1)
1
)p−1
. . . O(µ)
. . . I . . .
O(µ) . . . p
(
λ
(p)
1
)p−1
O(εν) . . . O(εν)
. . . II . . .
O(εν) . . . O(εν)
O(εν) . . . O(εν)
. . . III . . .
O(εν) . . . O(εν)
νq
(q − 1)
(
ξ
(1)
0
)q
. . . O(ν)
. . . IV . . .
O(ν) . . . (q − 1)
(
ξ
(q−1)
0
)q
.
Згiдно з (18), (26) визначник цiєї матрицi вiдмiнний вiд нуля при достатньо малих ε > 0.
Для спрощення подальших викладок введемо малий параметр ε̃, який дає можливiсть
пов’язати мiж собою параметри µ та ν, поклавши
ε̃ p(q−1) = ε. (57)
Тодi µ = ε̃ q−1, ν = ε̃ p. Матриця V ∗mBUm має полюс у точцi ε̃ = 0, порядок якого дорiвнює
pq.
Зазначимо, що згiдно з (7) (Lφ̃, ψ̃) = ((A(t, ε)−εhB(t))φ̃, ψ̃) = (A(t, ε)φ̃, ψ̃) = ε(A1φ̃, ψ̃)+
+O(ε2) i, отже, (Lφ̃, ψ̃) 6= 0 при досить малих ε > 0, а в точцi ε = 0 має полюс порядку 1,
який з урахуванням (57) для ε̃ дорiвнює p(q − 1).
Помноживши систему рiвнянь (54) на матрицю
diag{(V ∗mBUm)−1, (Lφ̃, ψ̃)−1},
дiстанемо
εh
(
En−1 0
0 0
)
dz
dt
=
(V ∗mBUm)−1V ∗mLUm (V ∗mBUm)−1V ∗mLφ̃
(Lφ̃, ψ̃)−1ψ̃∗LUm 1
z. (58)
Позначимо
z = col[z1; z2],
де z1 — (n − 1)-вимiрний вектор, координатами якого є першi n − 1 координат вектора
z(t, ε); z2 — остання n-та координата цього вектора. Система рiвнянь (58) розпадається
на два рiвняння:
εh
dz1
dt
= ((V ∗mBUm)−1V ∗mLUm)z1 + ((V ∗mBUm)−1V ∗mLφ)z2,
(59)
0 = ((Lφ̃, ψ̃)−1ψ̃∗LUm)z1 + z2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПРО IСНУВАННЯ I АСИМПТОТИКУ ПЕРIОДИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ .. . 137
Оскiльки
Lu(i)m (t, ε) = λ(i)m (t, ε)B(t)u(i)m (t, ε) +O(µm+1), i = 1, p,
B(t)ũ(j)m (t, ε) = ξ(j)m (t, ε)Lũ(j)m (t, ε) +O(νm+1), j = 1, q − 1,
маємо
L(t, ε)Um(t, ε) = B(t)Um(t, ε)Sm(t, ε) + ε̃m+1C1(t, ε),
де
Sm(t, ε) = diag {s(1)m (t, ε); . . . ; s(n−1)m (t, ε)} = diag {Λm(t, ε); Ξm(t, ε)},
Λm(t, ε) = {λ(1)m ;λ(2)m ; . . . ;λ(p)m },
Ξm(t, ε) = {(νξ(1)m )−1; (νξ(2)m )−1; . . . ; (νξ(q−1)m )−1},
а C1(t, ε) — деяка n × (n − 1)-вимiрна матриця, рiвномiрно обмежена на [0;ω]. Беручи до
уваги (57), отримуємо
(V ∗mBUm)−1V ∗mLUm = Sm(t, ε) + ε̃ m+1−pqC2(t, ε),
(Lφ̃, ψ̃)−1ψ̃∗LUm = −ε̃ m+1−p(q−1)c(t, ε).
Тут C2(t, ε) — (n− 1)× (n− 1)-вимiрна матриця, c(t, ε) — вектор-рядок, складений з n− 1
координат.
Пiсля перетворень система (59) набере вигляду
εh
dz1
dt
= [Sm + ε̃ m+1−pqC2(t, ε)]z1 + (V ∗mBUm)−1V ∗mLφz2,
z2 = ε̃ m+1−p(q−1)c(t, ε)z1.
Пiдставляючи друге рiвняння в перше, отримуємо
εh
dz1
dt
= [Sm + ε̃ m+1−pqD(t, ε)]z1, (60)
де D(t, ε) — квадратна матриця (n− 1)-го порядку, рiвномiрно обмежена на [0;ω].
Припустимо тепер, що функцiї Re[s
(j)
m (t, ε)− s(i)m (t, ε)] не змiнюють знак на [0;ω], де
s(j)m (t, ε) = λ(j)m (t, ε), j = 1, p,
s(j)m (t, ε) = (νξ(j−p)m (t, ε))−1, j = p+ 1, n− 1.
Виконуючи в системi (60) замiну
z = exp
ε−h t∫
0
sm(j)(t, ε)dt
wj , j = 1, n− 1, (61)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
138 В.П. ЯКОВЕЦЬ, А.М. АКИМЕНКО
маємо
εh
dwj
dt
= (Sm(t, ε)− s(j)m (t, ε)En−1)wj + ε̃ m+1−pqD(t, ε)wj , (62)
де En−1 — одинична матриця (n− 1)-го порядку. Позначаючи
Kj(t, τ, ε) = exp
ε−h t∫
τ
(Sm(s, ε)− s(j)m (s, ε)En−1)ds
,
вiд системи (62) переходимо до системи iнтегральних рiвнянь
wj(t, ε) = ej + ε̃ m+1−h′−pq
t∫
α
Kj(t, τ, ε)D(τ, ε)wj(τ, ε)dτ, j = 1, n− 1, (63)
у яких h′ = p(q − 1)h, ej — (n − 1)-вимiрний вектор, j-та координата якого дорiвнює 1, а
решта — нулi, α = col[α1, α2, . . . , αn−1], причому
αi =
0, Re [s
(i)
m − s(j)m ] ≤ 0;
ω, Re [s
(i)
m − s(j)m ] > 0.
Так само, як i в [2], можна довести, що розв’язок системи (63) задовольняє систему (62) i
що система iнтегральних рiвнянь (63) має сумiсний розв’язок. Його можна знайти мето-
дом послiдовних наближень, поклавши
w
(0)
j (t, ε) = 0,
w
(k)
j (t, ε) = ej + ε̃ m+1−h′−pq
t∫
α
Kj(t, τ, ε)D(τ, ε)w
(k−1)
j (τ, ε)dτ, k = 1, 2, . . . . (64)
Переходячи в (64) до границi при k → ∞ i беручи до уваги обмеженiсть наближень
w
(k)
j (t, ε), дiстаємо
wj(t, ε) = ej + ε̃ m+1−h′−pqdj(t, ε),
де dj(t, ε) — деяка рiвномiрно обмежена вектор-функцiя. Тодi згiдно з (61) матимемо такi
асимптотичнi формули для n− 1 лiнiйно незалежних розв’язкiв системи (60):
z
(j)
1 (t, ε) = (ej + ε̃ m+1−h′−pqdj(t, ε)) exp
ε̃ −h′ t∫
0
s(j)m (τ, ε)dτ
, j = 1, n− 1.
У свою чергу з (60) одержимо
z
(j)
2 (t, ε) = ε̃ m+1−p(q−1)c(t, ε)z
(j)
1 (t, ε), j = 1, n− 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ПРО IСНУВАННЯ I АСИМПТОТИКУ ПЕРIОДИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ .. . 139
Склавши з вектор-стовпцiв zj(t, ε) = col[z
(j)
1 (t, ε), z
(j)
2 (t, ε)], j = 1, n− 1, прямокутну ма-
трицю розмiрностi (n − 1) × n i врахувавши (51), (52), отримаємо асимптотичний вираз
для фундаментальної матрицi системи (9):
X(t, ε) = [Um(t, ε) +O(ε̃ m+1−h′−pq)]exp
ε̃ −h′ t∫
0
Sm(τ, ε)dτ
. (65)
Дослiдивши аналогiчним чином спряжену систему (10), знайдемо вiдповiдну асимпто-
тичну формулу i для її фундаментальної матрицi:
Y (t, ε) = [Vm(t, ε) +O(ε̃ m+1−h′−pq)]exp
−ε̃ −h′ t∫
0
Sm(τ, ε)dτ
. (66)
Розглянемо тепер матрицю монодромiї (8). Припустимо, що
Re [λ(i)m (t, ε)] ≤ 0, i = 1, p, Re [ξ(j)m (t, ε)] ≤ 0, j = 1, q − 1.
Пiдставляючи у (8) вирази (65), (66) i використовуючи властивiсть оберненої матрицi:
якщо матриця A обмежена, то [A+O(εk)]−1 = A−1 +O(εk) , отримуємо
Ω = (V ∗m(0, ε) +O(ε̃ m+1−h′−pq))B(0)(Um(ω, ε)+
+O(ε̃ m+1−h′−pq))
exp
ε̃ −h′ ω∫
0
Sm(t, ε)dt
×
× ((V ∗m(0, ε) +O(ε̃ m+1−h′−pq))B(0)(Um(0, ε) +O(ε̃ m+1−h′−pq)))−1.
Розкриваючи дужки та враховуючи, що Um(ω, ε) = Um(0, ε), маємо
Ω = V ∗mBUm
exp
ε̃ −h′ ω∫
0
Sm(t, ε)dt
+O(ε̃ m+1−h′−pq)
(V ∗mBUm)−1,
звiдки випливає, що Ω подiбна до матрицi exp
(
ε̃ −h
′
ω∫
0
Sm(t, ε)dt
)
+O(ε̃ m+1−h′−pq). Звiдси
знаходимо асимптотичнi формули для мультиплiкаторiв системи (9):
ρi = exp
ε̃ −h′ ω∫
0
s(i)m (t, ε)dt
+O(ε̃ m+1−h′−pq), i = 1, n− 1.
Основнi результати. Пiдсумовуючи наведенi дослiдження та використовуючи резуль-
тати роботи [3], одержуємо таку теорему.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
140 В.П. ЯКОВЕЦЬ, А.М. АКИМЕНКО
Теорема 1. Нехай
(A1φ, ψ)− δh,1(Bφ′, ψ) 6= 0 , (A1φ̃, ψ̃) 6= 0, ∀t ∈ [0;ω]
i для деякого натуральногоm > hp(q−1)+pq−1 та ε ∈ [0; ε0] виконуються такi умови:
1) функцiї
Re [s(j)m (t, ε)− s(i)m (t, ε)], i, j = 1, n− 1,
не змiнюють знак на [0, ω];
2) Re[λ
(i)
m (t, ε)] ≤ 0, i = 1, p, Re[ξ
(j)
m (t, ε)] ≤ 0, j = 1, q − 1.
Тодi якщо всi числа
αi =
ω∫
0
(s(i)m (t, ε))dt, i = 1, n− 1,
вiдмiннi вiд нуля при ε ∈ [0; ε0], то при досить малих ε система (9) не має ω-перiодичного
розв’язку, крiм тривiального, а неоднорiдна система (1) має єдиний ω-перiодичний розв’я-
зок.
Припустимо тепер, що виконуються всi умови теореми 1, i розглянемо питання про
побудову асимптотики ω-перiодичного розв’язку системи (1).
Справедлива така теорема.
Теорема 2. Якщо виконуються умови теореми 1 i власне значення λ0 в’язки матриць
A0(t)− λB(t) вiдмiнне вiд нуля при всiх t ∈ R, то система (1) має єдиний ω-перiодичний
розв’язок, який зображується у виглядi асимптотичного розвинення
x(t, ε) =
∞∑
k=0
εkxk(t). (67)
Доведення. Пiдставляючи (67) у систему (1) прирiвнюючи коефiцiєнти при однако-
вих степенях ε, дiстаємо
A0(t)xk = bk(t), k = 0, 1, 2, . . . ,
де
bk(t) = −fk −
k∑
i=1
Aixk−i +Bx′k−h, k = 0, 1, 2, . . . . (68)
Оскiльки detA0(t) 6= 0 ∀t ∈ R, а вираз (68) для вектора bk(t) мiстить тiльки тi xi(t),
iндекси яких меншi k, звiдси одержуємо таку рекурентну формулу для визначення коефi-
цiєнтiв розвинення (67):
xk = A−10 (t)bk(t), k = 0, 1, . . . . (69)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
Завдяки перiодичностi вектор-функцiй fk(t) та матричних функцiй Ak(t), B(t) всi кое-
фiцiєнти розвинення (67), якi визначаються за формулою (69), будуть ω-перiодичними.
Отже, розвинення (68) є формальним ω-перiодичним розв’язком системи (1).
За допомогою методiв, наведених у [7], можна показати, що виконання умови 2 теоре-
ми 1 забезпечує асимптотичний характер цього розв’язку. А саме, якщо x̃(t, ε) — точний
ω-перiодичний розв’язок системи (1), iснування якого стверджується в теоремi 1, а xm(t, ε)
— m-те наближення, яке утворюється з розвинення (67) шляхом його обривання на m-му
членi, то має мiсце асимптотична оцiнка
‖x̃(t, ε)− xm(t, ε)‖ ≤ cεm+1,
де c — деяка стала, що не залежить вiд ε. Теорему доведено.
1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
2. Яковець Ф.Р., Акименко А.М. Про перiодичнi розв’язки вироджених сингулярно збурених лiнiйних
систем диференцiальних рiвнянь// Наук. зап. НДПУ iм. М.В. Гоголя. Природничi та фiз.-мат. науки.
— 1998. — С. 154 – 169.
3. Самойленко А.М., Шкiль М.I., Яковець В.П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродження-
ми. — Київ: Вища шк., 2000. —294 с.
4. Яковець В.П. Деякi властивостi вироджених лiнiйних систем// Укр. мат. журн. —1997. —49, N◦ 9. —
C. 1278 – 1296.
5. Самойленко А.М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. — М.: Наука, 1987. –
304 с.
6. Sibuya Y. Some global properties of matrixes of functions of one variable// Math. Ann. — 1965. — 161, N◦ 1.
— P. 67 – 77.
7. Шкиль Н.И., Старун И.И., Яковець В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем диффе-
ренциальных уравнений с вырождениями. — Киев: Выща шк., 1991. —207 с.
Одержано 17.01.2001
|