Про регулярні лінійні розширення динамічних систем на торі
Розглядається система лінійних розширень динамічних систем на торі. Використовуючи апарат знакозмінних функцій Ляпунова, знайдено нові структури регулярних і слабко регулярних систем на торі. Linear extensions of dynamical systems on the torus are considered. By means o f sign-changing Lyapunov func...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 1998 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1998
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175819 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про регулярні лінійні розширення динамічних систем на торі / А.М. Самойленко, І.М. Грод // Нелінійні коливання. — 1998. — Т. 1, № 1. — С. 95-102. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175819 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Самойленко, А.М. Грод, І.М. 2021-02-02T19:48:33Z 2021-02-02T19:48:33Z 1998 Про регулярні лінійні розширення динамічних систем на торі / А.М. Самойленко, І.М. Грод // Нелінійні коливання. — 1998. — Т. 1, № 1. — С. 95-102. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175819 517.938 Розглядається система лінійних розширень динамічних систем на торі. Використовуючи апарат знакозмінних функцій Ляпунова, знайдено нові структури регулярних і слабко регулярних систем на торі. Linear extensions of dynamical systems on the torus are considered. By means o f sign-changing Lyapunov functions, new structures o f regular and weakly regular systems on the torus are found. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про регулярні лінійні розширення динамічних систем на торі On regular linear extensions of dynamical systems on torus О регулярных линейных расширениях динамических систем на торе Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про регулярні лінійні розширення динамічних систем на торі |
| spellingShingle |
Про регулярні лінійні розширення динамічних систем на торі Самойленко, А.М. Грод, І.М. |
| title_short |
Про регулярні лінійні розширення динамічних систем на торі |
| title_full |
Про регулярні лінійні розширення динамічних систем на торі |
| title_fullStr |
Про регулярні лінійні розширення динамічних систем на торі |
| title_full_unstemmed |
Про регулярні лінійні розширення динамічних систем на торі |
| title_sort |
про регулярні лінійні розширення динамічних систем на торі |
| author |
Самойленко, А.М. Грод, І.М. |
| author_facet |
Самойленко, А.М. Грод, І.М. |
| publishDate |
1998 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On regular linear extensions of dynamical systems on torus О регулярных линейных расширениях динамических систем на торе |
| description |
Розглядається система лінійних розширень динамічних систем на торі. Використовуючи апарат знакозмінних функцій Ляпунова, знайдено нові структури регулярних і слабко регулярних систем на торі.
Linear extensions of dynamical systems on the torus are considered. By means o f sign-changing Lyapunov functions, new structures o f regular and weakly regular systems on the torus are found.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175819 |
| citation_txt |
Про регулярні лінійні розширення динамічних систем на торі / А.М. Самойленко, І.М. Грод // Нелінійні коливання. — 1998. — Т. 1, № 1. — С. 95-102. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT samoilenkoam proregulârnílíníinírozširennâdinamíčnihsistemnatorí AT grodím proregulârnílíníinírozširennâdinamíčnihsistemnatorí AT samoilenkoam onregularlinearextensionsofdynamicalsystemsontorus AT grodím onregularlinearextensionsofdynamicalsystemsontorus AT samoilenkoam oregulârnyhlineinyhrasšireniâhdinamičeskihsistemnatore AT grodím oregulârnyhlineinyhrasšireniâhdinamičeskihsistemnatore |
| first_indexed |
2025-11-27T02:36:16Z |
| last_indexed |
2025-11-27T02:36:16Z |
| _version_ |
1850791750718717952 |
| fulltext |
1 · 1998
УД К 517.938
ПРО РЕГУЛЯРНІ ЛІНІЙНІ РОЗШИРЕННЯ
ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ НА ТОРІ
А.М. Самойленко
Ін-т математики НАН України,
Україна, 252601, Київ 4, вуя. Терещенківська, З
e-mail: imath2@mail.kar.net
І.М. Грод
Терноп. лед. ун-т,
Україна, 282009, Тернопіль, вуя. Винниченка, 10
Linear extensions o f dynamical systems on the torus are considered. By means o f sign-changing Lya
punov functions, new structures o f regular and weakly regular systems on the torus are found.
Розглядається система лінійних розширень динамічних систем на торі. Використовуючи апа
рат знакозмінних функцій Ляпунова, знайдено нові структури регулярних і слабко регулярних
систем на торі.
Розглянемо систему диференціальних рівнянь
л = а М ’ Έ = α(ψ)χ' (1)
Ψ Є Тт — ш-вимірний тор, X Є Rn, α(φ) Є Сщр(Т т ), А(<р) Є C ° (T m), яку ще називають
лінійним розширенням динамічної системи на торі. Через ψί(φ) позначають розв’язок
системи = а(сэ) з початковою умовою </?t(</j)lt=0 = φ, а через Ωιτ (φ) — матрицант
dt
лінійної системи
(]т
- = Α (φι(φ ))χ, (2)
нормований у точці t = т: Щ. = Іп — η-вимірна одинична матриця. Нагадаємо [1], що
система (1) має функцію Гріна G o { τ ,ψ) , якщо існує неперервна η X η-вимірна матрична
функція С(ір), 2л--періодична по кожній змінній ψ], j = 1 ,m, тобто С(у?) Є С ° (Т т ) така,
що функція
(ЯРЛ<р)С(<рт(<р)), т< 0;
Ο ο {τ ,ψ )= \ (3)
[η °τ {φ )[0 (φ τ ( φ ) ) - Ι η], т > 0;
задовольняє оцінку
||G0(r ,^ )| | < A e - ^ l (4)
з додатними сталими К, у, незалежними від ψ Є Т т і т Є R. При цьому будемо до
тримуватись таких позначень: під нормою ||G|| матриці G розуміємо операторну норму
© А.М. Самойленко, І.М. Грод, 1998
mailto:imath2@mail.kar.net
||(?|| = max ||G:e||, ||y||2 = {у, у), (y ,x) = Σ х іУі — звичайний скалярний добуток в Rn,
||5||о = шах ||5(у?)||. Відмітимо, що виконання оцінки (3) еквівалентне виконанню таких
φ€Τ т
оцінок:
\\&0{φ)Ο{φτ {φ))\\< Ке~^\, t > 0,
(5)
\ m v > ) [^ A < p ) ) - in]\\<Ke^\t t < 0.
Будемо говорити, що система (1) регулярна, якщо вона має єдину функцію Гріна (3) з
оцінкою (4). Якщо відомо, що система (1) має хоча б одну функцію Гріна (3) з оцінкою
(4), то кажуть, що вона слабко регулярна. У випадку, коли система (1) має не менше двох
різних функцій Гріна (3) з оцінкою (4), ї ї називають строго слабко регулярною.
Як відомо [2], для того, щоб система (1) була слабко регулярною, необхідно і досить,
щоб існувала квадратична форма
V(<p,x) = (S(<p)y,y) (6)
з неперервно диференційовною матрицею коефіцієнтів 5 (ψ) Є C l {Т т ), похідна якої до
датно визначена вздовж розв’язків спряженої системи
й = “ и · Έ = ~ А' М у · (7)
тобто
d f “(v>) " s < ^ » - т т * · * ) > ї й 2·
При цьому система (1) буде регулярною в тому і тільки в тому випадку, коли det 5(<р) ф 0,
а строго слабко регулярною — коли при деякому значенні ψ = φο det5(y?o) = 0.
Відомо також, що кожну слабко регулярну систему (1) завжди можна доповнити до
регулярної наступним чином:
Έ = α Μ ' Έ = α (ψ )χ ' Έ = χ ~ Α' (ψ )ν' (8)
оскільки похідна невиродженої квадратичної форми
Υ{φ ,χ ) = (x,y ) + (S(<p)y,y)
вздовж розв’язків цієї системи додатна. Це наводить на думку, що існують інші матриці
Ρ(φ ), більш загальної структури, такі, що система
άφ „ . dx .
- = α (ν ), Έ = Ρ Μ *
є регулярною.
Мета запропонованої роботи — знайти нові структури регулярних і слабко регуляр
них лінійних розширень динамічних систем на торі. Для цього розглянемо квадратичну
форму
Vaiß(xu х2, хз) = а (||лі||2 - ||ζ2||2 - Ікз||2) + 2/3 «® і, х2) + <х-і, ®з) + (®і, х з » . (Ю)
96 Нелінійні коливання, 1998, №-1
де хі Є Rn, і = 1 ,3 , ск, /3 — додатні сталі.
Розглянемо випадок, коли а і ß відмінні від нуля. Не обмежуючи загальності у виборі
структур, можна припустити, що а = 1, ß = 1, тобто
vhi{xuх2,хз) = ( i k i l l 2 - I N H 2 - I N H 2 ) + 2 ( Ν , χ2) + ( χ 2 , хз) + (χι,хз)) = (Jx, χ), ( п )
Де
( In In In \
J = In -In In
[ln In - In j
Обчисливши похідну від (11) вздовж розв’язків системи (9), одержимо
VuOn, * 2 , *з) = {JP(<p)x, х) + (Jx, Ρ(φ)χ) = (JP(<p) + P*(<p)Jx, Ρ(ψ)χ) · (13)
За припущенням ця квадратична форма повинна бути знаковизначеною, а тому прирів
няємо ї ї до наперед заданої форми 2(Β(φ)χ,χ) з заданою симетричною матрицею
Β(φ) = diag {Β χ(φ), Β2(φ), Β3(φ)}, (14)
де Β{(φ) — додатно визначені матриці. В результаті отримаємо рівність
JP(<p) + P*(<p)J = 2B(<p), (15)
звідки випливає
JP(<p) = M(<p) + B(<p),
де 3n X Зп-вимірна матриця Μ (φ ) має властивість
Μ*(φ) = — Μ (φ) Vv? є T m.
Отже,
( °
-Α \2{φ)
Μ(φ ) = мм о ~ М з(<р )
ИізМ Мз(ч>) 0 )
Тут A{j(<p) Є C ° (T m) — довільні п х η-вимірні матриці.
Далі, знайшовши обернену матрицю J -1 до матриці (12):
( 0 In In \
In -In 0
КIn 0 - I n )
з урахуванням вигляду матриць із рівностей (14) і (18) дістанемо
(16)
(17)
(18)
(19)
Нелінійні коливання, 1998, №-1 97
Ρ{φ) = 1 - ι {Μ {φ) + Β{φ)) =
/ 0 І п І п \ ( Β ι { φ ) - α \2{ψ)
In - I n 0 Α ι 2{ψ ) Β 2{ψ ) - A -h i v ) »
U 0 - i j ^ 4 і з ( у > ) Α23 {ψ ) Β 3 ( φ ) )
̂Α 12( φ ) + Α ι 3 ( φ ) Β 2 { φ ) + Α 23( φ ) - A h ( < p ) + Β 3 ( φ ) Ν
Β ι ( φ ) - Α 12{ψ ) ~ Α * 2 ( ν ’ ) - Β 2{ψ ) ~ Α \ 3{ψ ) + Α*23{ φ )
\ Β ι { φ ) - Α 13(ψ ) — Α Ί 2{ φ ) ■- α 23{ψ ) ~ Α * 3 { φ ) - - Β 3( ψ ) )
(20)
(21)
Отже, якщо матриця Ρ{φ ) в системі (9) буде мати вигляд (21), то похідна квадратичної
форми (11) вздовж розв’язків системи (9)
й і(¥>.*іі*2 ,*з) = 2 Σ(Βί{φ)χί,Χί)· (22)
Враховуючи наведені вище міркування, можна сформулювати наступне твердження.
Теорем а 1. Нехай система (9) така, що матриця Ρ{ψ) має вигляд (21), де три
симетричні матриці В,(у>) Є С ° (Т ТО) додатно визначені, тобто
(Ві(<р)х, х) > ßi\\x\\2 Vx Є Rn, ßi > 0 , г = 173, (23)
a Aij(ip) — довільні матриці з простору С ° (Т т ). Тоді система (9) має єдину функцію
Гріна - Самойленка задачі про інваріантні тори (буде регулярною).
Зауваження. Теорема справедлива і тоді, коли Ρ{φ) має вигляд
( Βχ{φ) -Α \ 2{ψ) —-4Тз (^ ) >
Ρ (φ ) = - Α 12(φ) - Β 2{φ) Α*2Ά{ψ)
\ - Л і з М ~Α 23 {φ) ~Β3{φ) )
В цьому можна переконатись, якщо розглянути квадратичну форму Vo,i(®i, ^21 ^з) і
повторити міркування, наведені при доведенні теореми 1.
Т еорем а 2. Нехай у структурі (21) матриці Ρ (φ ) симетричні матриці В\{φ),
Β3(φ) — додатно визначені, тобто виконана нерівність (23) при і = 1,2, а симетрична
матриця Β2 (φ) така, що (Β 2 (ψ)χ, х) > 0, тобто може бути і нульовою. Крім цього
припустимо також, що система
^ = <■(*>), ^ = і (Α 12(ν ) + Β ,(ψ ))χ (24)
е слабко регулярною. Тоді система (9) буде регулярною.
Доведення. Оскільки властивість слабкої регулярності еквівалентна існуванню η X п-
вимірної матриці 5(у>) Є С ^Т™ ) такої, що
( - Л12 - в; ) - 1( - - B2)s] X , ї ) > ЦіЦ2. (25)
98 Нелінійні коливання, 1998, №-1
_ 1
“ 2
а
PW) = \
розглянемо квадратичну форму
νρ(φ, Хі, х2, Хз) = Р [2 « ї ї , х 2) + (Х2, Хз) + (хі, Хз)) + ||®і||2 - ІкгІІ2 - ||яз||2] +
+ (S (v> )*2, * 2) = pVu (x i, х2, ®3) + (S(ip)x, х) = p(Jx, х) + (S{<p)x, х) (26)
і покажемо, що похідна ї ї вздовж розв’язків системи (9) при достатньо великих додат
них значеннях параметра р 3> 0 буде додатно визначеною. Для цього введемо наступні
позначення:
W[S] = ^ α (φ ) + S((p)P(<p) + P*(<p)S(<p), (27)
Рз = diag {0, In, 0 } — 3η х Зп-вимірна матриця проектування,
І З п - Р з = Р2 , S = d ia g {0 ,S (v > ),0 }, ß = min {ßu ß2}· (28)
Тоді нерівність (25) набирає вигляду
<ИД^Р3х ,Р 3х>>||Рзя||2, (29)
а похідну квадратичної форми (26) вздовж розв’язків системи (9) записуємо так:
Ϋρ(φ, х) = {W\pJ + 3(у>)]*, х) = p(W [J]x, х) + (W [S ]x , *>,
а
νρ(φ, х) = 2р ^ < β ( ^ ) ί * , · , Xi^J + (W ß ](P 2 + Рз)х, (P 2 + Рз)х). (ЗО)
Звідси, враховуючи (23), (29), маємо
ν ,(φ ,χ ) > 2ріЩР2х\\7 - |№ ||„||Ρ2χ||2 - 2\\W[S]||„||P2*|| ||P3x|| + ||P3x||2 =
= ( 2Pß - ЦИ^ИІІо) ЦР2ХІІ2 - 2||Ж[5]|[„||Р2х|| ||P3x|| + ||P3x||2. (31)
Далі, зауваживши, що останній вираз можна розглядати як квадратичну форму
Φ (σι, σ2) = (2pß - \\W ||0) σ\ - 2\\W \\0σχσ2 + σ22, (32)
де σ\ = 11P2 a: 11, 02 = ||P3x||, переконуємось, що для отриманої квадратичної форми спра
ведлива оцінка
Ф К * 2 ) > (2pß-\\W\\0 -2\\W\\l) (2pß — \\W ||о + І )-1 (σ2 + σ\). (33)
Тому, враховуючи (31), маємо
%(ч>, * 1, * 2, *з) = (w \p j + 5)χ, X) > 7(р) (Надії2 + н а д і3) > Ί- ψ IWI2,
Л Є 7 (р )= (2ρ/3-||»Ί|ο— 2Ц1УЦ2) (2р/5-||И '||„+1)-‘ .
А це дозволяє стверджувати справедливість теореми 2.
Нелінійні коливання, 1998, №-1 99
У випадку, коли дві матриці Β\(φ), Β2{φ) можуть перетворюватися в нульові, тобто
виконується тільки одна строга нерівність
(Β ι ( φ , χ ) > β 1\\χ\\2, ßi > 0 , (34)
оЛ
І
'н
'
ё
= 1,2, V x G iT , (34')
справедливе наступне твердження.
Теорем а 3. Нехай три симетричні матриці Β{(φ) Є С °(Т т ), і = 1, 2, 3, задоволь
няють умови (34), (34') і система рівнянь
^ = \ [Иі2(¥>) + Β*{ψ)) х2 + (Α 13(φ) - Α23(φ)) х3] ,
~di = a{iP)' dx2 1 (35)
~fa = 2 + Л 2з(<^)) *2 + Міз(¥>) + Вз{ф)) * з ] ,
і = (х2,%з) Є R2n, є слабко регулярною. Тоді система (9) буде регулярною.
Доведення. Оскільки система (35) слабко регулярна, то існує квадратична форма
ν(φ , х2, х3) = (S(<p) х ,х ) з неперервно диференційовною 2п х 2п-вимірною симетричною
матрицею коефіцієнтів, яка має додатно визначену похідну вздовж розв’язків системи,
спряженої до системи (35), тобто виконується нерівність
( [ ( | ^ « М - S i* - Ä s j j І ,ή > ||f||> (36)
при всіх X = ( — ) Є R2n. Матриця Α(φ) розміру 2п х 2п відповідає системі (35), тобто
\хз )
( М г{Ф ) + Щ(ч>) Α ι3(ψ) - А2з{т ) \
λ{ψ ) =
V Μ 2{φ) + ^2з(^ ) Αγ3{ψ) + Β3{ψ) /
Зауважимо, що — Α*(φ) є блоком матриці Ρ (ψ ) вигляду (21) (нагадаємо, що матриці Д ,
і = 1,3, — симетричні за попереднім припущенням). Тому, використовуючи позначення
(27), (28), умову (36) запишемо у вигляді
(w [ І ] Ρ χ ,Ρ χ ̂ > \\Рх\\\
Р = diag {0, / „ }, X = colon {х\,х2, т з },
S = diag {0 ,5 } .
Тепер, як і при доведенні теореми 3, переконуємось, що похідна квадратичної форми
νρ(φ, т і, х2, х3) = р [2 «® і, *з ) + ( * 2. *з ) + <*і, * з » + ІІ^іЦ2-
-\\χΐ \\2 - ||*з||2] + (S{<p)xi,X2)
100 Нелінійні коливання, 1998, №-1
вздовж розв’язків системи (9) при досить великих параметрах р > 0 буде додатно визна
ченою, а тому регулярною.
Продемонструємо одержані результати на прикладі системи
άφ
^ = S m ^
^7 -̂ = (μ sin τηφ + λι cos φ)χι + (1 + Аг cos φ)χ·χ + (A2 cos φ + 1)хз,
dt
= (1 — μ sin τηφ)χι + ( -μ sin τηφ — l)a?2 + (—Ai cos«/? — Агсов^хз,
= (1 - Ai cos(^)a;i — (Агсов^ + μ sin τηφ) + (—Ai c o s ^ )^ .
Ця система має єдину функцію Гріна [1] за умови λ ι < 0 і при будь-яких фіксованих
значеннях μ Є R, т Є Ζ. Оскільки для неї виконуються всі умови теореми 2, то
V = р(х \ - х і - х і + х іх2 + хіхз + Х2Х3) - (cos φ)χ$.
Розглянемо багатовимірний випадок. Для цього матрицю J запишемо у вигляді
/ / „ In In · · · In \
J =
In -In In
\ In In In
При цьому обернена матриця
In
- In )
/ (2 — к)Іп Іп In ■■• In \
1 In -In 0 · ' • 0
2
\ In 0 0 ·■ • - I n )
Аналогічно викладеному вище матриці Β(φ) і Μ(φ) подаємо у вигляді
Μ(φ ) =
(37)
(38)
ά\Άξ,{Β1{φ),Β2(φ ), . ·
' 0 -Α χ^φ )
■ ,Bk+i(<p)},
-Α \2{φ) · · · ~А\к{ч>) >
(39)
Αη(φ ) 0 —A2i(t ) ~ A*2k-i(v)
Αη(φ) Α21(φ) 0 (40)
\^u(<P) А2к-!{<р) Азк-2 І<р) ■■■ о І
Нелінійні коливання, 1998, №-1 101
а матрицю Ρ (φ ) розміру (к + 1)η X (к + 1) визначаємо так:
Ρ{ψ) = J 1 ( % ) + % ) ) ,
де матриці J -1 , Β{ψ), Μ (φ ) визначені згідно з (38) - (40). Отже,
Ρ{ψ) =
г - № - Е М і
j =2
Οι{φ) C2(<p) Ch{<p )
- Αη {φ) - A lΛφ) - Β2(φ) ~Α\2{ψ) +Α*21{φ) ·· ■ -Α\Η{φ) +Α*2Η_λ{φ)
Βι{ψ) - Αγ2{φ) -Α*η {ψ) - Α 21(φ) -Α\2{φ) - Βζ {φ) ·· ■ ~Α\Η{φ) + A%k_2{<p)
Βι{φ) - A ik(<p) -Α\ι{φ) - A2k-i(<p) -Α\2(,ψ)-Α3Η- 2(ψ) ·· ■ -A*lk{<p)-Bk+i{<p)
\ /
(41)
Сі{ф) = (2 - к)Аи{Ф) + Д 'М - Σ Л * .-0 -і)(^ ) + Σ Μ+υ(φ), і = 2, к.
j = 2 j= l
По аналогії з доведенням теорем 1 і 2 неважко довести наступні твердження.
Т еорем а 4. Нехай у системі (9) матриця Ρ{ψ) має вигляд (41), де всі матриці
Β{(φ) Є С ° (Т т ) додатно визначені, тобто
(Bi{t)x, х) > ßi\\x\\2 Vz Є й п, і = 1,к + 1, ßi - const > 0,
а довільні матричні функції Α^(φ) Є С °(Т т ). Тоді система рівнянь вигляду (9), х Є
Є Ä n(fc+1), з матрицею (41) буде регулярною.
Теорем а 5. Нехай k матриць Β{(φ) є додатно визначеними, тобто
{Β{{ψ )χ ,χ )> ßi\\x\\2 V z G Ä " , /3,->0, г = ІД ,
a Bk+i{<p) така, що (В к+і{<р)х, х) > 0, тобто може бути і нульовою. Крім цього при
пустимо також, що наступна система
^ = «(¥>)> ^ = к(<р) + Вк{(р))х
є слабко регулярною. Тоді система (9), де Ρ (φ ) має вигляд (41), буде регулярною.
1. Самойленко А.М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. - М.: Наука, 1987. -
302 с.
2. Митропольский Ю .А., Самойленко А.М ., Кулик В.Л. Исследование дихотомии линейных систем диф
ференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова. - Киев: Наук, думка, 1990. - 272 с.
Одержано 15.05.98
102 Нелінійні коливання, 1998, №-1
|