Дослідження стохастичних коливних систем з тороїдальним многовидом
Для нелiнiйної стохастичної системи типу Iто з iнварiантним тороїдальним многовидом встановлено умови його стiйкостi та ергодичну властивiсть його розв’язкiв в околi многовиду. For a nonlinear stochastic Ito type system with an invariant toroidal manifold, we obtain conditions for stability of the...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2002 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2002
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175826 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Дослідження стохастичних коливних систем з тороїдальним многовидом / О.М. Станжицький // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 107-116. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175826 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Станжицький, О.М. 2021-02-02T19:50:28Z 2021-02-02T19:50:28Z 2002 Дослідження стохастичних коливних систем з тороїдальним многовидом / О.М. Станжицький // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 107-116. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175826 517.9 Для нелiнiйної стохастичної системи типу Iто з iнварiантним тороїдальним многовидом встановлено умови його стiйкостi та ергодичну властивiсть його розв’язкiв в околi многовиду. For a nonlinear stochastic Ito type system with an invariant toroidal manifold, we obtain conditions for stability of the manifold and find ergodic properties of solutions in a neighbourhood of the manifold. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Дослідження стохастичних коливних систем з тороїдальним многовидом Investigation of stochastic oscillation systems with toroidal manifold Исследование стохастических колебательных систем с тороидальным многообразием Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Дослідження стохастичних коливних систем з тороїдальним многовидом |
| spellingShingle |
Дослідження стохастичних коливних систем з тороїдальним многовидом Станжицький, О.М. |
| title_short |
Дослідження стохастичних коливних систем з тороїдальним многовидом |
| title_full |
Дослідження стохастичних коливних систем з тороїдальним многовидом |
| title_fullStr |
Дослідження стохастичних коливних систем з тороїдальним многовидом |
| title_full_unstemmed |
Дослідження стохастичних коливних систем з тороїдальним многовидом |
| title_sort |
дослідження стохастичних коливних систем з тороїдальним многовидом |
| author |
Станжицький, О.М. |
| author_facet |
Станжицький, О.М. |
| publishDate |
2002 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Investigation of stochastic oscillation systems with toroidal manifold Исследование стохастических колебательных систем с тороидальным многообразием |
| description |
Для нелiнiйної стохастичної системи типу Iто з iнварiантним тороїдальним многовидом встановлено умови його стiйкостi та ергодичну властивiсть його розв’язкiв в околi многовиду.
For a nonlinear stochastic Ito type system with an invariant toroidal manifold, we obtain conditions for
stability of the manifold and find ergodic properties of solutions in a neighbourhood of the manifold.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175826 |
| citation_txt |
Дослідження стохастичних коливних систем з тороїдальним многовидом / О.М. Станжицький // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 1. — С. 107-116. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT stanžicʹkiiom doslídžennâstohastičnihkolivnihsistemztoroídalʹnimmnogovidom AT stanžicʹkiiom investigationofstochasticoscillationsystemswithtoroidalmanifold AT stanžicʹkiiom issledovaniestohastičeskihkolebatelʹnyhsistemstoroidalʹnymmnogoobraziem |
| first_indexed |
2025-11-24T11:40:20Z |
| last_indexed |
2025-11-24T11:40:20Z |
| _version_ |
1850845889858371584 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ДОСЛIДЖЕННЯ СТОХАСТИЧНИХ КОЛИВНИХ СИСТЕМ
З ТОРОЇДАЛЬНИМ МНОГОВИДОМ
О. М. Станжицький
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
For a nonlinear stochastic Ito type system with an invariant toroidal manifold, we obtain conditions for
stability of the manifold and find ergodic properties of solutions in a neighbourhood of the manifold.
Для нелiнiйної стохастичної системи типу Iто з iнварiантним тороїдальним многовидом вста-
новлено умови його стiйкостi та ергодичну властивiсть його розв’язкiв в околi многовиду.
Розглянемо систему стохастичних диференцiальних рiвнянь Iто
dϕ = a(ϕ)dt, dx = (P (ϕ)x+A(ϕ, x))dt+
r∑
i=1
bi(ϕ, x)dWi(t), (1)
де t ≥ 0, x ∈ Rn, ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm) ∈ Rm, функцiї a(ϕ), P (ϕ), A(ϕ, x), bi(ϕ, x) неперервнi
за сукупнiстю своїх змiнних, 2π-перiодичнi по ϕi, i = 1,m, причому a(ϕ) лiпшицева по ϕ,
а A, bi лiпшицевi по x ∈ Rn з константою L,
A(ϕ, 0) = bi(ϕ, 0) = 0, (2)
Wi(t), i = 1,m, — незалежнi в сукупностi одновимiрнi вiнеровi процеси, заданi на деякому
ймовiрнiсному просторi (Ω, F,P).
При таких припущеннях точку ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm) можна iнтерпретувати як точку наm-
вимiрному торi =m, а перше рiвняння з (1) — як динамiчну систему на торi =m з потоком
траєкторiй ϕt(ϕ), що є розв’язком першого рiвняння з (1) з початковими даними ϕ0(ϕ) =
= ϕ, при цьому ϕt(ϕ)+2π = ϕt(ϕ). З умови (2) випливає, що система (1) має iнварiантний
тороїдальний многовид
x = 0, ϕ ∈ =m.
Таким чином, систему (1) можна iнтерпретувати як таку, що описує процес, отрима-
ний випадковими збуреннями вздовж нормальної складової детермiнованого коливного
процесу на торi =m.
Поряд з системою (1) розглянемо детермiновану систему
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= P (ϕ)x,
що називається лiнiйним розширенням динамiчної системи на торi =m.
c© О. М. Станжицький, 2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1 107
108 О.М. СТАНЖИЦЬКИЙ
Позначимо через Ωt
τ (ϕ) матрицант системи
dx
dt
= P (ϕt(ϕ))x. (3)
Згiдно з [1, с. 121] вiн задовольняє рiвнiсть
Ωt
τ (ϕθ(ϕ)) = Ωt+θ
τ+θ(ϕ).
Нехай для Ωt
0(ϕ) виконується умова
||Ωt
0(ϕ)|| ≤ K exp{−γt} (4)
при t ≥ 0, ϕ ∈ =m i деяких додатних сталих K i γ.
Позначимо через x(t, ϕ, x0) = Ωt
0(ϕ)x0 загальний розв’язок системи (3). Тодi маємо
оцiнки
|x(t, ϕ, x0)| = |Ωt
τ (ϕ)Ωτ
0(ϕ)x0| = |Ωt−τ+τ
τ (ϕ)x(τ, ϕ, x0)| ≤
≤ ||Ωt−τ
0 (ϕτ (ϕ))|||x(τ, ϕ, x0)| ≤ K exp{−γ(t− τ)}|x(τ, ϕ, x0)|,
справедливi для всiх t ≥ τ ≥ 0 i довiльногоϕ ∈ =m, з яких для матрицанта Ωt
τ (ϕ) випливає
оцiнка
||Ωt
τ (ϕ)|| ≤ K exp{−γ(t− τ)}. (5)
Наступна теорема вказує на зв’язок мiж стiйкiстю системи (3) та системи (1) i є тео-
ремою про стiйкiсть за першим наближенням для системи (1).
Не втрачаючи загальностi, але спрощуючи викладки, в подальшому будемо вважати,
що в системi (1) є один скалярний вiнерiв процес i вона має вигляд
dϕ = a(ϕ)dt, dx = (P (ϕ)x+A(ϕ, x))dt+B(ϕ, x)dW (t). (6)
Теорема 1. Якщо матрицант системи (3) задовольняє оцiнку (4), а константаLта-
ка, що
L <
γ
K(1 + γ)
1
2
,
то розв’язок xt(ϕ, x0) системи
dx = (P (ϕt(ϕ))x+A(ϕt(ϕ), x))dt+B(ϕt(ϕ), x)dW (t) (7)
є експоненцiально стiйким у середньому квадратичному в цiлому.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ДОСЛIДЖЕННЯ СТОХАСТИЧНИХ КОЛИВНИХ СИСТЕМ З ТОРОЇДАЛЬНИМ МНОГОВИДОМ 109
Доведення. Покажемо, що для xt(ϕ, x0) справедливе зображення
xt(ϕ, x0) = Ωt
0(ϕ)x0 +
t∫
0
Ωt
τ (ϕ)A(ϕτ (ϕ), xτ (ϕ, x0)) dτ+
+
t∫
0
Ωt
τ (ϕ)B(ϕτ (ϕ), xτ (ϕ, x0)) dW (τ). (8)
Дiйсно, iз [2, с. 264] випливає, що випадковий процес
η(t) =
t∫
0
Ωt
τ (ϕ)B(ϕτ (ϕ), xτ (ϕ, x0)) dW (τ)
має стохастичний диференцiал
dη(t) =
t∫
0
∂
∂t
Ωt
τ (ϕ)B(ϕτ (ϕ), xτ (ϕ, x0)) dW (τ)
dt+
+ Ωt
t(ϕ)B(ϕt(ϕ), xτ (ϕ, x0))dW (t).
Отже, використовуючи властивостi фундаментальної матрицi та беручи в (8) стохасти-
чний диференцiал, отримуємо
dxt(ϕ, x0) = P (ϕt(ϕ))Ωt
0x0dt+
+ P (ϕt(ϕ))
t∫
0
Ωt
τ (ϕ)A(ϕτ (ϕ), xτ (ϕ, x0)) dτdt+
+ P (ϕt(ϕ))
t∫
0
Ωt
τ (ϕ)B(ϕτ (ϕ), xτ (ϕ, x0)) dW (τ)dt+
+A(ϕt(ϕ), xt(ϕ, x0))dt+B(ϕt(ϕ), xt(ϕ, x0))dW (t),
звiдки i випливає (8).
Оцiнимо M |xt(ϕ, x0)|2. Для цього насамперед зауважимо, що з умов на A i B маємо
оцiнку
|A(ϕ, x)| ≤ L|x|, |B(ϕ, x)| ≤ L|x|
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
110 О.М. СТАНЖИЦЬКИЙ
для x ∈ Rn, ϕ ∈ =m, L — стала Лiпшиця. Тодi з (8) одержуємо
M |xt(ϕ, x0)|2 ≤ 3
(
||Ωt
0(ϕ)||2|x0|2+
+ M
(∣∣∣∣∣
t∫
0
Ωt
τ (ϕ)A(ϕτ (ϕ), xτ (ϕ, x0)) dτ
∣∣∣∣∣
)2
+
+
t∫
0
||Ωt
τ (ϕ)||2M |B(ϕτ (ϕ), xτ (ϕ, x0))|2 dt
)
≤
≤ 3
(
K2 exp{−2γt}|x0|2+
+ M
(∣∣∣∣∣
t∫
0
K exp{−2γ(t− τ)}|A(ϕτ (ϕ), xτ (ϕ, x0))
∣∣∣∣∣ dt
)2
+
+
t∫
0
K2 exp{−2γ(t− τ)}L2M |xτ (ϕ, x0)|2 dτ
)
. (9)
Оцiнимо в (9) другий доданок, використавши нерiвнiсть Кошi – Буняковського:
M
(∣∣∣∣∣
t∫
0
K exp{−2γ(t− τ)}|A(ϕτ (ϕ), xτ (ϕ, x0))
∣∣∣∣∣ dt
)2
≤
≤ M
( t∫
0
K exp
{
−1
2
γ(t− τ)
}
L exp
{
−1
2
γ(t− τ)
}
|xτ (ϕ, x0)| dτ
)2
≤
≤ K2L2
t∫
0
exp{−γ(t− τ)} dτ
t∫
0
exp{−γ(t− τ)}M |xτ (ϕ, x0)|2 dτ. (10)
Пiдставляючи (10) в (9), отримуємо нерiвнiсть
M |xt(ϕ, x0)|2 ≤ 3
(
K2 exp{−2γt}|x0|2+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ДОСЛIДЖЕННЯ СТОХАСТИЧНИХ КОЛИВНИХ СИСТЕМ З ТОРОЇДАЛЬНИМ МНОГОВИДОМ 111
+
K2L2
γ
t∫
0
exp{−2γ(t− τ)}M |xτ (ϕ, x0)|2 dτ+
+K2L2
t∫
0
exp{−2γ(t− τ)}M |xτ (ϕ, x0)|2 dτ
)
.
Домножаючи останню нерiвнiсть на exp{γt}, маємо
exp{γt}M |xt(ϕ, x0)|2 ≤ 3K2|x0|2+
+
(
K2L2
γ
+K2L2
) t∫
0
exp{γτ}M |xτ (ϕ, x0)|2 dτ.
Звiдси, використовуючи нерiвнiсть Гронуолла – Беллмана, отримуємо нерiвнiсть
exp{γt}M |xt(ϕ, x0)|2 ≤ 3K2|x0|2 exp
{(
K2L2
γ
+K2L2
)
t
}
або остаточно
M |xt(ϕ, x0)|2 ≤ C exp
{(
K2L2
γ
+K2L2 − γ
)
t
}
|x0|2,
яка з урахуванням умов теореми приводить до оцiнки
M |xt(ϕ, x0)|2 ≤ C exp{−γ1t}|x0|2.
Проводячи аналогiчнi мiркування на iнтервалi [τ, t] при 0 ≤ τ ≤ t i використовуючи
оцiнку (5), отримуємо оцiнку для довiльного розв’язку xt(ϕ, x0):
M |xt(ϕ, x0)|2 ≤ C exp{−γ1(t− τ)}M |xτ (ϕ, x0)|2
для деяких не залежних вiд x0, ϕ, τ, t додатних сталих C i γ1. Теорему доведено.
Доведена теорема встановлює, що при виконаннi оцiнки (4) iнварiантний тор x =
= 0, ϕ ∈ =m системи (6) є експоненцiально стiйким у середньому квадратичному в
цiлому.
При виконаннi умов теореми 1 iз роботи [3] має мiсце експоненцiальна стiйкiсть в
цiлому з iмовiрнiстю 1 розв’язкiв системи (7). Бiльш точно справедливий такий наслiдок.
Наслiдок 1. В умовах теореми 1 розв’язки xt(ϕ, x0) з iмовiрнiстю 1 допускають з
якогось, взагалi кажучи, випадкового, але скiнченного, моменту часу оцiнку
|xt(ϕ, x0)| ≤ C exp{−αt}|x0| (11)
для деякої додатної константи α.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
112 О.М. СТАНЖИЦЬКИЙ
Таким чином, даний наслiдок стверджує, що iнварiантний тор x = 0, ϕ ∈ =m системи
(6) не тiльки стiйкий у середньому квадратичному, але й усi iншi розв’язки з iмовiрнiстю
1 притягуються до нього за експоненцiальним законом, що свiдчить про експоненцiальну
стiйкiсть з iмовiрнiстю 1 тора x = 0, ϕ ∈ =m системи (6).
Нехай тепер обмотка тора =m є квазiперiодичною, тобто перше рiвняння в системi
(1) має вигляд
dϕ = νdt,
де ν = (ν1, . . . , νm) — вектор частот, тобто сукупнiсть m додатних чисел, що задовольня-
ють умову лiнiйної незалежностi над цiлими числами:
(k, ν) =
m∑
i=1
kiνi 6= 0 ∀ k ∈ Zm \ {0}.
За цих умов доведемо теорему ергодичного характеру про поведiнку розв’язкiв системи
(1) чи (6).
Теорема 2. При виконаннi умов теореми 1 у випадку квазiперiодичної обмотки для
довiльної функцiї F (x, ϕ), неперервної при x ∈ Rn, ϕ ∈ =m i перiодичної по ϕi з перiодом
2π, i довiльного розв’язку (xt(ϕ, x), ϕt(ϕ)) системи (6) з iмовiрнiстю 1 має мiсце граничне
спiввiдношення
lim
T→∞
1
T
T∫
0
F (xt(ϕ, x0), ϕt(ϕ)) dt = F0 =
= (2π)−m
2π∫
0
. . .
2π∫
0
F (0, ϕ) dϕ1 . . . dϕm. (12)
Доведення. Вiзьмемо довiльний розв’язок системи (6) i розглянемо його траєкто-
рiю (xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ)). На пiдставi наслiдку 1 можна стверджувати, що iснує T0(ω) та-
кий, починаючи з якого xt(ϕ, x0, ω) задовольняє оцiнку (11) при t ≥ T0(ω) i нерiвнiсть
|xt(ϕ, x0, ω)| ≤ δ для деякого фiксованого δ > 0 i майже всiх ω ∈ Ω. Проапроксимуємо
функцiю F при |x| ≤ δ многочленом по x так, що
|F (x, ϕ)− P (x, ϕ, ε)| ≤ ε
для довiльного x : |x| ≤ δ, ϕ ∈ =m i довiльного ε > 0. Звiдси випливає оцiнка
1
T
∣∣∣∣∣
T∫
T0(ω)
[
F (xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ))− P (xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ), ε)
]
dt
∣∣∣∣∣ ≤ ε (13)
для довiльного T ≥ T0(ω).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ДОСЛIДЖЕННЯ СТОХАСТИЧНИХ КОЛИВНИХ СИСТЕМ З ТОРОЇДАЛЬНИМ МНОГОВИДОМ 113
Але оскiльки похiдна по x вiд P (x, ϕ, ε) також є полiномом по x, то
max
|x|≤δ,ϕ∈=m
∣∣∣∣∣∂P (x, ϕ, ε)
∂x
∣∣∣∣∣ = L(ε) < ∞.
Тому iз нерiвностi (11) отримуємо
1
T
T∫
T0(ω)
[
P (xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ), ε)− P (0, ϕt(ϕ), ε)
]
dt ≤
≤ 1
T
T∫
T0(ω)
L(ε)|xt(ϕ, x0, ω)| dt ≤
≤ L(ε)
T
T∫
T0(ω)
C exp{αt}|x0| dt ≤
L(ε)C|x0|
αT
. (14)
Проапроксимуємо функцiю P (0, ϕ, ε) тригонометричним полiномом Q(ϕ, ε) так, що
|P (0, ϕ, ε)−Q(ϕ, ε)| ≤ ε
для довiльного ϕ ∈ =m. Звiдси маємо
1
T
T∫
T0(ω)
|P (0, ϕt(ϕ), ε)−Q(ϕt(ϕ), ε)| dt ≤ ε, (15)
але
Q(ϕ, ε) =
∑
||k||≤N
Qk(ε) exp{i(k, ν)},
де N = N(ε) — досить велике додатне число, Qk(ε) — коефiцiєнти Фур’є функцiї Q(ϕ, ε).
I оскiльки обмотка тора квазiперiодична, то ϕt(ϕ) = νt+ ϕ, а тому
1
T
T∫
0
Q(νt+ ϕ, ε) dt = Qε0 +
1
T
T∫
0
∑
1≤||k||≤N
Qk(ε) exp{i(k, ν)t} exp{i(k, ϕ)} dt,
де
Q0(ε) =
1
(2π)m
2π∫
0
. . .
2π∫
0
Q(ϕ, ε) dϕ1 . . . dϕm
— середнє значення Q(ϕ, ε).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
114 О.М. СТАНЖИЦЬКИЙ
Оцiнимо останнiй доданок:
1
T
∣∣∣∣∣
T∫
0
∑
1≤||k||≤N
Qk(ε) exp{i(k, ν)t} exp{i(k, ϕ)} dt
∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
T
R(ε)
∑
1≤||k||≤N
∣∣∣∣∣
T∫
0
exp{i(k, ν)t} dt
∣∣∣∣∣ =
=
1
T
R(ε)
∑
1≤||k||≤N
∣∣∣∣∣exp{i(k, ν)T} − 1
i(k, ν)
∣∣∣∣∣.
Згiдно з умовою (k, ν) 6= 0 (mod 2π), тому з останньої оцiнки маємо
1
T
∣∣∣∣∣∣
T∫
0
Q(νt+ ϕ, ε) dt−Q0(ε)
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1
T
R1(ε). (16)
Очевидне також виконання нерiвностей
|F0 −Q0| ≤ |F0 − P0|+ |P0 −Q0| ≤ 2ε, (17)
де P0 — середнє значення полiнома P (0, ϕ). Але
∣∣∣∣∣ 1
T
T∫
0
F (xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ)) dt− F0
∣∣∣∣∣ ≤
≤ 1
T
∣∣∣∣∣
T0(ω)∫
0
F (xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ) dt
∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣ 1
T
T∫
T0(ω)
F (xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ) dt− F0
∣∣∣∣∣. (18)
Перший доданок у (18) прямує до нуля при T → ∞, оскiльки iнтеграл в силу неперервно-
стi F, xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ) є обмеженим, а тому при досить великих T
1
T
∣∣∣∣∣∣∣
T0(ω)∫
0
F (xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ)) dt
∣∣∣∣∣∣∣ ≤ ε. (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
ДОСЛIДЖЕННЯ СТОХАСТИЧНИХ КОЛИВНИХ СИСТЕМ З ТОРОЇДАЛЬНИМ МНОГОВИДОМ 115
Iз нерiвностей (13) – (17) для другого доданка в (18) випливає оцiнка∣∣∣∣∣ 1
T
T∫
T0(ω)
F (xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ)) dt− F0
∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣ 1
T
T∫
T0(ω)
[F (xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ))− P (xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ), ε)] dt
∣∣∣∣∣+
+
1
T
∣∣∣∣∣
T∫
T0(ω)
[P (xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ), ε)− P (0, ϕt(ϕ), ε)] dt
∣∣∣∣∣+
+
1
T
∣∣∣∣∣
T∫
T0(ω)
[P (0, ϕt(ϕ), ε)−Q(ϕt(ϕ), ε)]
∣∣∣∣∣dt+
+
1
T
∣∣∣∣∣
T∫
0
Q(νt+ ϕ, ε) dt−Q0(ε)
∣∣∣∣∣+
1
T
∣∣∣∣∣
T0(ω)∫
0
Q(νt+ ϕ, ε) dt
∣∣∣∣∣+
+ |Q0(ε)− F0| ≤ ε+
L(ε)C|x0|
αT
+ ε+
1
T
R1(ε) + 2ε+
+
1
T
∣∣∣∣∣
T0(ω)∫
0
Q(νt+ ϕ, ε) dt
∣∣∣∣∣.
Виберемо T настiльки великим, щоб виконувалась оцiнка (19) i оцiнка
L(εC|x0|)
αT
+
1
T
R1(ε) +
1
T
∣∣∣∣∣
T0(ω)∫
0
Q(νt+ ϕ, ε) dt
∣∣∣∣∣ ≤ ε.
Тодi при T ≥ T1 ≥ T0(ω) маємо оцiнку ( T1 вибрано з наведеної вище умови)∣∣∣∣∣ 1
T
T∫
0
F (xt(ϕ, x0, ω), ϕt(ϕ)) dt− F0
∣∣∣∣∣ ≤ 5ε.
Остання нерiвнiсть i доводить теорему.
У випадку довiльної обмотки тора, тобто, коли система має вигляд (6), можна отри-
мати як очевидний наслiдок з даної теореми такий результат.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
116 О.М. СТАНЖИЦЬКИЙ
Наслiдок 2. При виконаннi умов теореми 1 для довiльної неперервної на Rn функцiї
F (x) i довiльного розв’язку xt(ϕ, x0) системи (7) з iмовiрнiстю 1 має мiсце граничне спiв-
вiдношення
lim
T→∞
1
T
T∫
0
F (xt(ϕ, x0)) dt = F (0).
Теорему 2 можна переформулювати в термiнах ергодичної мiри.
Дiйсно, на торi =m розглянемо мiру µ(dϕ) = dϕ1 . . . dϕm, ϕi ∈ [0, 2π], i = 1,m, за
якою побудуємо ймовiрнiсну мiру σ(A) = µ(A)/(2π)m, де A — борелева множина з тору
=m. Дану мiру можна розглядати як мiру в декартовому добутку Rn×=m, зосереджену
на торi =m. Вона, звичайно, є сингулярною вiдносно мiри Лебега в просторi Rn×=m. Тодi
для довiльної неперервної на Rn×=m i перiодичної по ϕ функцiї F (x, ϕ) маємо∫
Rn×=m
F (x, ϕ)σ(dxdϕ) =
1
(2π)m
∫
=m
F (0, ϕ) dϕ1 . . . dϕm.
Iз останньої формули випливає, що рiвнiсть (12) можна переписати у виглядi
lim
T→∞
1
T
T∫
0
F (xt(ϕ, x0, ), ϕt(ϕ0)) dt =
∫
Rn×=m
F (x, ϕ)σ(dxdϕ)
з iмовiрнiстю 1, де σ — ергодична мiра, зосереджена на торi =m.
Питанням ергодичних властивостей розв’язкiв стохастичних рiвнянь Iто присвячено
багато робiт (див., наприклад, монографiї [4, 5]). Однак у цих роботах суттєвим є неви-
родженiсть матрицi дифузiї в деякiй обмеженiй областi i скiнченнiсть середнього часу
повернення розв’язку в цю область (умова В в [4, с. 153]), або те, що розв’язок не має
iнварiантних замкнених множин, вiдмiнних вiд усього простору (незвiднiсть процесу [5,
с. 153]).
У розглядуванiй ситуацiї цi умови, очевидно, не виконуються, оскiльки система (1)
має iнварiантний многовид x = 0, ϕ ∈ =m, на якому дифузiя вироджена ( на многовидi
система перетворюється в детермiновану).
1. Самойленко А.М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. — М.: Наука, 1987.
— 302 с.
2. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения функционально-дифференциальных уравнений. — Рига: Зина-
тне, 1989. — 441 с.
3. Kozin F. On almost sure asymptotic sample properties of diffusion processes defined by stochastic differential
equations //J. Math. Kyoto Univ. — 1965.— 4, N◦ 3. — P. 515 – 528.
4. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайном возмущении их
параметров. — М.: Наука, 1969. — 367 с.
5. Скороход А.В. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений. —
Kиев: Наук. думка, 1987. — 328 c.
Одержано 27.06.2001
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 1
|