Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте

На основе неравновесной техники Келдыша в атомном представлении изучен эффект индуцирования различной заселенности магнитных состояний спинового димера, взаимодействующего с транспортируемыми через устройство электронами, в нулевом магнитном поле. Для нахождения чисел заполнения квантовых состояни...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2019
Hauptverfasser:	Вальков, В.В., Аксенов, С.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2019
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	Спеціальний випуск. «XXII Уральська міжнародна зимова школа з фізики напівпровідників» (20–23 лютого, 2018)
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175846
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте / В.В. Вальков, С.В. Аксенов // Физика низких температур. — 2019. — Т. 45, № 2. — С. 192-203. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175846
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1758462025-02-23T18:16:00Z Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте Ренорміровки заселеності триплетних станів спінового димера в нульовому магнітному полі при квантовому транспорті Renormalization of triplet populations of spin dimer in zero magnetic field with quantum transport Вальков, В.В. Аксенов, С.В. Спеціальний випуск. «XXII Уральська міжнародна зимова школа з фізики напівпровідників» (20–23 лютого, 2018) На основе неравновесной техники Келдыша в атомном представлении изучен эффект индуцирования различной заселенности магнитных состояний спинового димера, взаимодействующего с транспортируемыми через устройство электронами, в нулевом магнитном поле. Для нахождения чисел заполнения квантовых состояний устройства в условиях сильной неравновесности методом неравновесной диаграммной техники для операторов Хаббарда получена и решена система кинетических уравнений. Численный анализ этих уравнений позволил выявить неравновесные ренормировки при учете сильных спинфермионных корреляций. На підставі нерівноважної техніки Кєлдиша в атомному підході вивчено ефект індукування різної заселеності магнітних станів спінового димера, який взаємодіє з електронами, що транспортуються через пристрій, у нульовому магнітному полі. Для знаходження чисел заповнення квантових станів пристрою в умовах сильної нерівноважності методом нерівноважної діаграмної техніки для операторів Хаббарда отримано та вирішено систему кінетичних рівнянь. Чисельний аналіз цих рівнянь дозволив виявити нерівноважні ренормування з урахуванням сильних спін-ферміонних кореляцій. Based on the non-equilibrium Keldysh technique in the atomic representation, the effect of different population of magnetic states of a spin dimer interacting with electrons transported through such a device in zero magnetic field has been studied. To find the filling numbers of the quantum states of the device under strong non-equilibrium conditions, a system of kinetic equations has been obtained and solved using the nonequilibrium diagram technique for the Hubbard operators. Numerical analysis of these equations revealed non-equilibrium renormalizations due to strong spin-fermion correlations. Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных исследований Президиума РАН №32 «Наноструктуры: физика, химия, биология, основы технологий», Российского фонда фундаментальных исследований (гранты #16-02-00073, #18-32-00443), Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда науки в рамках научных проектов: «Связанные майорановские фермионы в наноматериалах с сильными электронными корреляциями и квантовый транспорт электронов в устройствах на их основе» (№ 17-42-240441), «Проявление кулоновских взаимодействий и эффектов ограниченной геометрии в свойствах топологических краевых состояний наноструктур со спин-орбитальным взаимодействием» (№ 18-42-243017). С.А. выражает благодарность гранту Президента РФ МК-3722.2018.2. 2019 Article Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте / В.В. Вальков, С.В. Аксенов // Физика низких температур. — 2019. — Т. 45, № 2. — С. 192-203. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0132-6414 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175846 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Спеціальний випуск. «XXII Уральська міжнародна зимова школа з фізики напівпровідників» (20–23 лютого, 2018) Спеціальний випуск. «XXII Уральська міжнародна зимова школа з фізики напівпровідників» (20–23 лютого, 2018)
spellingShingle	Спеціальний випуск. «XXII Уральська міжнародна зимова школа з фізики напівпровідників» (20–23 лютого, 2018) Спеціальний випуск. «XXII Уральська міжнародна зимова школа з фізики напівпровідників» (20–23 лютого, 2018) Вальков, В.В. Аксенов, С.В. Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте Физика низких температур
description	На основе неравновесной техники Келдыша в атомном представлении изучен эффект индуцирования различной заселенности магнитных состояний спинового димера, взаимодействующего с транспортируемыми через устройство электронами, в нулевом магнитном поле. Для нахождения чисел заполнения квантовых состояний устройства в условиях сильной неравновесности методом неравновесной диаграммной техники для операторов Хаббарда получена и решена система кинетических уравнений. Численный анализ этих уравнений позволил выявить неравновесные ренормировки при учете сильных спинфермионных корреляций.
format	Article
author	Вальков, В.В. Аксенов, С.В.
author_facet	Вальков, В.В. Аксенов, С.В.
author_sort	Вальков, В.В.
title	Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте
title_short	Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте
title_full	Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте
title_fullStr	Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте
title_full_unstemmed	Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте
title_sort	ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2019
topic_facet	Спеціальний випуск. «XXII Уральська міжнародна зимова школа з фізики напівпровідників» (20–23 лютого, 2018)
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175846
citation_txt	Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте / В.В. Вальков, С.В. Аксенов // Физика низких температур. — 2019. — Т. 45, № 2. — С. 192-203. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT valʹkovvv renormirovkizaselennostejtripletnyhsostoânijspinovogodimeravnulevommagnitnompoleprikvantovomtransporte AT aksenovsv renormirovkizaselennostejtripletnyhsostoânijspinovogodimeravnulevommagnitnompoleprikvantovomtransporte AT valʹkovvv renormírovkizaselenostítripletnihstanívspínovogodimeravnulʹovomumagnítnomupolíprikvantovomutransportí AT aksenovsv renormírovkizaselenostítripletnihstanívspínovogodimeravnulʹovomumagnítnomupolíprikvantovomutransportí AT valʹkovvv renormalizationoftripletpopulationsofspindimerinzeromagneticfieldwithquantumtransport AT aksenovsv renormalizationoftripletpopulationsofspindimerinzeromagneticfieldwithquantumtransport
first_indexed	2025-11-24T06:45:34Z
last_indexed	2025-11-24T06:45:34Z
_version_	1849653182181933056
fulltext	Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 2, c. 192–203 Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте В.В. Вальков, С.В. Аксенов Институт физики им. Л.В. Киренского ФИЦ КНЦ СО РАН, г. Красноярск, 660036, Россия E-mail: vvv@iph.krasn.ru, asv86@iph.krasn.ru Статья поступила в редакцию 12 октября 2018 г., опубликована онлайн 20 декабря 2018 г. На основе неравновесной техники Келдыша в атомном представлении изучен эффект индуцирования различной заселенности магнитных состояний спинового димера, взаимодействующего с транспорти- руемыми через устройство электронами, в нулевом магнитном поле. Для нахождения чисел заполнения квантовых состояний устройства в условиях сильной неравновесности методом неравновесной диа- граммной техники для операторов Хаббарда получена и решена система кинетических уравнений. Чис- ленный анализ этих уравнений позволил выявить неравновесные ренормировки при учете сильных спин- фермионных корреляций. Ключевые слова: неравновесный квантовый транспорт, спиновый димер, кинетическое уравнение, атомное представление, неупругое рассеяние. 1. Введение В последнее время активно проводятся исследова- ния, направленные на отыскание эффективных методов управления квантовым транспортом электронов через структуры атомного масштаба с помощью внешних по- лей. Перспективными представляются системы, со- держащие внутренние степени свободы, которые могут участвовать в процессах переноса заряда. Основной мотив применения таких систем связан с тем, что из- менение состояния подсистемы внутренних степеней свободы за счет целенаправленного воздействия может повлиять на интенсивность квантового транспорта и, тем самым, модифицировать вольт-амперную характе- ристику атомной структуры. Примером подобной системы может служить уст- ройство, содержащее примесные магнитные ионы. Электроны, находящиеся в таком устройстве, за счет ( )s d f− -обменного взаимодействия влияют на состоя- ния магнитных ионов. Поэтому электронный транс- порт сопровождается процессами неупругого рассея- ния, которые могут существенно менять транспортные характеристики устройства. Этот вывод имеет важное значение для практики, поскольку открывает широкие возможности управления электронным транспортом за счет воздействия внешних полей на внутренние степе- ни свободы [1,2]. Вычисление вольт-амперных характеристик уст- ройств с внутренними степенями свободы — значи- тельная проблема, так как гамильтониан, учитывающий взаимодействия между подсистемами, является недиа- гональным в обычном представлении фермиевских и бозевских операторов вторичного квантования. Поэто- му ряд теории возмущений при обычном подходе со- держит большое число затравочных амплитуд рассея- ния, что существенно затрудняет суммирование диаграммных рядов. Вместе с тем необходимо подчеркнуть важность уче- та таких процессов рассеяния, поскольку они индуци- руют переходы устройства в возбужденные состояния. В результате протекание туннельного тока сопровож- дается перераспределением заселенностей энергетиче- ских состояний устройства. При этом итоговое распре- деление занятости этих уровней может существенно отличаться от исходного равновесного [3]. В настоя- щей работе на примере устройства с примесными маг- нитными ионами, формирующими спиновый димер, рассмотрены неравновесные ренормировки состояний магнитной подсистемы, индуцированные электриче- ским током. © В.В. Вальков, С.В. Аксенов, 2019 Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле Следует отметить, что, в целом, управление спино- выми состояниями систем атомного масштаба является одной из важных проблем в таких областях, как кван- товые вычисления и приложения в области хранения информации [4]. Кроме того, этот аспект существен при анализе фундаментальных процессов и явлений. Один из них — это эффект Кондо, свойства которого, в частности, в значительной мере зависят от величины спинового момента основного состояния системы, взаимодействующей с металлическими контактами [5]. В отсутствие магнитного поля ранее было рассмотрено несколько механизмов, позволяющих влиять на спино- вые состояния нульмерных объектов. В квантовых точках такой контроль может осуществляться за счет изменения формы запирающего потенциала, создавае- мого электродами затвора. В результате при четном числе электронов в точке возможно наблюдение смены основного состояния с синглетного на триплетное [6]. Известно, что в структурах со спином > 1/ 2S вырож- денность 2 1S + состояний может быть снята созданием магнитной анизотропии. В свою очередь, она может быть индуцирована растяжением молекулы [7], спин- орбитальным взаимодействием [8] или влиянием ее окружения [9]. В настоящей работе мы продемонстри- руем, что процессы неравновесного неупругого транс- порта способны вызывать неодинаковую вероятность реализации спиновых состояний структуры, что можно интерпретировать как действие эффективной магнит- ной анизотропии. Чтобы описать данный эффект, была получена и решена система кинетических уравнений для чисел заполнения устройства, включающего спи- новый димер, и проведен ее численный анализ. 2. Модель устройства со спиновым димером Для изучения неравновесных характеристик под- системы спинового димера, находящегося в устройстве и подверженного воздействию протекающих электро- нов, рассмотрим наиболее существенные взаимодейст- вия, реализующиеся в такой системе, показанном на рис. 1. Связь левого контакта с устройством осуществ- ляется посредством туннелирования электрона из крайнего узла контакта на первый узел в состояние с энергией dσξ . Туннельная связь с правым контактом осуществляется аналогично, но с той лишь разницей, что в процессе туннелирования участвует второй узел устройства. В устройстве присутствует подсистема двух взаимодействующих между собой локализован- ных спинов. Тогда ( )s d f− -обменная связь локализо- ванных спинов с транспортируемыми электронами приводит к возбуждению димера и модификации его характеристик. Реализация такой системы может быть достигнута посредством адсорбирования молекуляр- ных структур в область между контактами. Другая возможность связана с созданием устройства при уча- стии переходных ионов с незаполненной d - или f - оболочкой. Между локализованными спинами действует гейзен- берговское обменное взаимодействие. Ниже предпола- гается, что это взаимодействие антиферромагнитного типа. Если на устройстве нет электронов, то спиновый димер находится в синглетном состоянии. Уровень энергии триплетного терма отделен от синглетного тер- ма на величину обменной энергии I . Из-за ( )s d f− -обменного взаимодействия электрон, попавший на узел устройства из контакта, сильно кор- релирует с состоянием одного из локализованных спи- нов. Это приводит к тому, что при туннелировании электрона в устройство из контакта, магнитное состоя- ние устройства, вообще говоря, будет изменяться. Это происходит из-за того, что процессы транспорта элек- тронов через устройство будут сопровождаться возбуж- дениями магнитных степеней свободы. Таким образом, транспорт электронов будет происходить при сущест- венном влиянии процессов неупругого рассеяния элек- тронов на внутренних степенях свободы устройства. Для решения вопроса об учете влияния процессов не- упругого рассеяния электронов на характеристики элек- тронного транспорта устройства воспользуемся методом неравновесных функций Грина, которые построим на основе атомного представления. С этой целью неравно- весные функции Грина определяются через операторы Хаббарда. При этом будет показано, что теорию возму- щений можно переформулировать так, что только про- цессы туннелирования будут определять матрицу рас- сеяния на контуре Келдыша. Изучение неравновесных свойств спинового димера проведем в рамках гамильтониана 0 ˆ ˆ ˆ ˆ= .H H T V+ + (1) Первое слагаемое 0 ˆ ˆ ˆ ˆ= L R DH H H H+ + (2) соответствует левому и правому контактам ˆ ˆ= , = ,L Lk k k R Rp p p k p H c c H d d+ + σ σ σ σ σ σ σ σ ξ ξ∑ ∑ (3) Рис. 1. Модель устройства с двумя узлами и двумя примес- ными спинами. Левый контакт (tL) туннельно связан с пер- вым узлом устройства, а правый контакт со вторым узлом (tR). Электрон, попадая на узел устройства (на рисунке на первый узел), посредством ( )s d f− -обменной связи корре- лирует с примесным спином. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 2 193 В.В. Вальков, С.В. Аксенов а также устройству, которое описывается посредством гамильтониана 2 =1 ˆ =D d l l l l l H a a Un n+ σ σ σ ↑ ↓ σ   ξ + +     ∑ ∑ ( )1 2 2 1 12 1 2dt a a a a U n n+ + σ σ σ σ σ + + + +∑ ( ){ } ( ) 2 1 2 =1 .z l l B l l A g HS I+ − µ +∑ S S Sσ (4) Туннельная связь между контактами и устройством описывается оператором 1 2 ˆ ˆ ˆ= h.c. = h.c.L R Lk k Rp p k p T T T t c a t d a+ + σ σ σ σ σ σ + + + +∑ ∑ (5) Оператор V̂ учитывает приложенную к системе раз- ность потенциалов. Принимая во внимание неизмен- ность потенциала в контактах и в устройстве, а также связывая начало отсчета потенциала с левым контактом, получим 2 =1 ˆ = ( / 2) ( ) .l l p p l p V eV a a eV d d+ + σ σ σ σ σ σ +∑∑ ∑ (6) Выше были использованы обозначения: ( )k pc dσ σ — оператор уничтожения электрона в левом (правом) контакте с волновым вектором ( )k p и проекцией спина σ ; =Lk Lk e Bg Hσξ ε − µ σ −µ, =Rp Rp e Bg Hσξ ε −σ µ −µ — одноэлектронные энергии в левом и правом контакте соответственно, отсчитанные от уровня химпотенциала µ и учитывающие расщепление энергии по проекции спина электрона = 1/ 2σ ± в магнитном поле; eg — электронный g-фактор в контактах, Bµ — магнетон Бора. В дальнейшем предполагается, что контакты представ- ляют собой однозонные парамагнитные металлы. Вхо- дящие в гамильтониан устройства параметры имеют сле- дующий физический смысл: =d d e Bg Hσξ ε − µ σ −µ — отсчитанная от химпотенциала спин-зависящая энергия электрона, находящегося на одном из узлов устройства, во внешнем магнитном поле H ; dε — затравочная од- ноэлектронная энергия; =l l ln a a+ σ σ σ — оператор числа электронов на узле устройства с номером l и проекцией спина σ; ( ) l la a+ σ σ — оператор рождения (уничтоже- ния) электрона в устройстве на узле l с проекцией спина σ ; параметр U характеризует хаббардовское отталкива- ние двух электронов с противоположными проекциями спинов, находящимися на одном узле. =l l ln n n↑ ↓+ — оператор полного числа электронов на узле устройства с номером l . Параметр 12U определяет интенсивность кулоновского взаимодействия электронов, находящихся на первом и втором узле устройства. Действие магнит- ного поля на энергетическую структуру подсистемы ло- кализованных спинов с эффективным g-фактором опи- сывается посредством предпоследнего слагаемого в (4). Взаимосвязь между спиновой степенью свободы транс- портируемого электрона и локализованными спинами устройства, осуществляемая через механизм ( )s d f− - обменной связи, характеризуется параметром A , при этом lS является векторным оператором локализованно- го спина устройства, а lσ — векторным оператором спина транспортируемого электрона. Как известно, ска- лярное произведение Sσ содержит операторные слагае- мые, соответствующие учету спин-флип процессов, ко- гда происходит одновременное изменение проекций у примесных спинов и у электрона. 3. Процессы туннелирования в атомном представлении для устройства Наличие внутренних степеней свободы устройства приводит к тому, что электрон, находящийся внутри него, будет взаимодействовать как с зарядовыми, так и со спиновыми степенями свободы. Присутствие боль- шого числа различных затравочных амплитуд рассеяния приводит не только к значительному усложнению ряда теории возмущений, но и к проблеме вычисления явного вида фермиевских и спиновых операторов в представ- лении взаимодействия. Это связано с неэквидистантной структурой спектра фермиевских (или спиновых) воз- буждений оператора ˆ DH . Поэтому непосредственное применение диаграммной техники в терминах операто- ров вторичного квантования становится невозможным из-за отсутствия теоремы Вика для средних от произве- дения таких операторов. Выход из этого затруднения связан с построением атомного представления и записью в нем гамильто- ниана устройства, а также оператора туннелирования. С этой целью введем функции \| nΨ 〉 , являющиеся ре- шением уравнения Шредингера для устройства ˆ \| = \| , = 1,2,..., .D n n n DH E n NΨ 〉 Ψ 〉 (7) Набор функций 1 1\| , \| ,...,\| ND Ψ 〉 Ψ 〉 Ψ 〉 можно рассмат- ривать как базис гильбертова пространства, в котором действуют операторы, относящиеся к устройству. Вве- дем операторы Хаббарда [10,11] =\| \|, , = 1,2,..., ,nm n m DX n m NΨ 〉〈Ψ (8) действующие в гильбертовом пространстве устройст- ва. В частности, действие этих операторов на базисные состояния определяется простым образом: \| = \|nm p mp nX Ψ 〉 δ Ψ 〉 . Первое преимущество этого представления связано с тем, что переход к нему приводит к диагональной форме гамильтониана DH : =1 = . ND nn D n n H E X∑ (9) 194 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 2 Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле Вторая важная особенность атомного представления связана с тем, что явный вид операторов Хаббарда в представлении взаимодействия 0 0( ) = ( ) ( )nm nmX t U t X U t+ легко вычисляется. При этом возникает обычная вре- менная зависимость по экспоненциальному закону [10]: ( )( ) ( )( ) = exp exp .nm nm nm n mX t i E E t X i Et X− ≡ α Здесь использована удобная для дальнейшего изложе- ния форма записи: под E понимается DN -мерный век- тор 1 2( , ,..., ) DNE E E , а под α — DN -мерный вектор, i -я компонента которого определяется разностью двух сим- волов Кронекера: ( , ) =i in imn mα δ − δ . Тогда скалярное произведение = n mE E E Eαα − ≡ , если = ( , )i n mα α , т.е. если α соответствует переходу между состояниями mΨ и nΨ . Простота временной зависимости операторов Хаб- барда в представлении взаимодействия открывает оче- видный путь построения теории возмущений с приме- нением диаграммной техники для этих операторов, поскольку для них существует теорема Вика. Введение матричных элементов операторов унич- тожения электрона с проекцией спина σ на первом и на втором узлах, ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ( , ) = \| \| , ( , ) \| \| , n m n m n m a n m a σ σ σ σ σ σ γ 〈Ψ Ψ 〉 ≡ γ α γ = 〈Ψ Ψ 〉 ≡ γ α (10) позволяет в компактном виде выразить фермиевские операторы через операторы Хаббарда 1 1 2 2= ( ) , = ( ) , ( ).a X a X nmα α σ σ σ σ α α γ α γ α α ≡ α∑ ∑ (11) Здесь и в дальнейшем, для краткости, использована запись суммирования по индексу α, подразумевающая в действительности суммирование по паре индексов n и m атомных состояний устройства. При использовании атомного представления опера- тор туннелирования, входящий в матрицу рассеяния, приобретает удобный для построения теории возму- щений вид, когда в явной форме присутствуют опера- торы перехода между атомными состояниями: 1 , ˆ ( ) = ( ) ( ) ( ) ( )I Lk k k T t t t c t X t+ α σ σ σ α γ α +∑ 2 , ( ) ( ) ( ) ( ) h.c.Rp p p t t d t X t+ α σ σ σ α + γ α +∑ (12) Для рассматриваемого нами устройства полное чис- ло состояний \| , = 1,2,...,m Dm NΨ 〉 равно 64. В режиме сильных корреляций параметр хаббардовского оттал- кивания U и величина межузельного кулоновского взаимодействия 12U значительно превосходят значения других энергетических параметров системы. Это по- зволяет ограничиться только такими состояниями уст- ройства, которые содержат не более одного транспор- тируемого электрона. Таких состояний 20. Для их описания введем операторы рождения 1 2,f f+ + σ σ и уничтожения 1 2,f fσ σ локализованных фер- мионов с проекцией спина σ на первом и втором узлах устройства. Тогда сектор гильбертова пространства гамильто- ниана устройства, не содержащий транспортируемых электронов, соответствует состояниям димерной сис- темы. Синглетное состояние устройства записывается в виде ( ) 11 2 1 2 1\|1 = \| 0 , = 3 / 4, 2 f f f f E I+ + + + ↑ ↓ ↓ ↑ 〉 − 〉 − (13) где \| 0〉 — вакуумное состояние. Три триплетных со- стояний этого сектора определяются выражениями ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1\| 2 = \| 0 , 2 \| 3 = \| 0 , \| 4 = \| 0 f f f f f f f f + + + + ↑ ↓ ↓ ↑ + + + + ↑ ↑ ↓ ↓ 〉 + 〉 〉 〉 〉 〉 (14) и имеют энергию 2 = / 4E I . Среди 16 состояний одно- электронного сектора восемь состояний соответствуют четным и нечетным состояниям с суммарным спином = 3 / 2tS . Четыре четных состояния представим в виде, позволяющем просто вычислять параметры представ- ления 1 2 1 2 ˆ \| 5 = \| 3 , \| 6 = \| 5 , 2 3 ˆ \| 7 = \| 8 , \| 8 = \| 4 , 3 2 t t a a S a aS + + − ↑ ↑ + ++ ↓ ↓ + 〉 〉 〉 〉 + 〉 〉 〉 〉 (15) где ( )2 =1 ˆ = ,t j jj j jS f f a a− + + ↑ ↑↓ ↓ +∑ ( )2 =1 ˆ =t j jj j jS f f a a+ + + ↓ ↓↑ ↑ +∑ . Четыре нечетных состояния c = 3 / 2tS определяют- ся выражениями 1 2 1 2 ˆ \| 9 = \| 3 , \|10 = \| 9 , 2 3 ˆ \|11 = \|12 , \|12 = \| 4 . 3 2 t t a a S a aS + + − ↑ ↑ + ++ ↓ ↓ − 〉 〉 〉 〉 − 〉 〉 〉 〉 (16) В соответствии с правилом сложения моментов в квантовой механике среди одноэлектронных состояний устройства есть дублетные термы. Два четных ( )g и два нечетных состояния ( )u , с проекцией суммарного спина = 1/ 2z tS , относящихся к четным дублетным и нечетным дублетным термам, запишем в виде Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 2 195 В.В. Вальков, С.В. Аксенов ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 \|1/ 2, 1/ 2 = \| 0 \| 0 , \|1 / 2, 1/ 2 = \| 0 \| 0 . g g gg u u uu C f f a f f a C a a f f C f f a f f a C a a f f ± + + + + + + ± + + + + σ σ σ σ σ± ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ σ ± + + + + + + ± + + + + ± σ σ σ σ σ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ σ 〉 + 〉 + + 〉 〉 − 〉 + − 〉 ∑ ∑ (17) Тогда оставшиеся восемь состояний нумеруются следующим образом: ˆ ˆ\|13 =\|1/ 2, 1/ 2 , \|14 = \|13 , \|15 =\|1/ 2, 1/ 2 , \|16 = \|15 ,g g t tS S− − + −〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 (18) ˆ ˆ\|17 =\|1/ 2, 1/ 2 , \|18 = \|17 , \|19 =\|1/ 2, 1/ 2 , \| 20 = \|19 .u u t tS S− − + −〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 〉 (19) При записи выражений (17) использовались обозначения ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1= , = , = , = , 2 2 2 1 1 1= , = , = , = , 2 2 2 g g g gg g g g gg g g g g u u u uu u u u uu u u u u b a c C C C Z a b c Z Z Z b a c C C C Z a b c Z Z Z ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±↑ ↓ ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±↑ ↓ ± ± + + ± ± + + (20) где ( )( ) ( )( ) ( )= 2 , = 2 2 , = ,g g g d g d g d g ga A I t b I t I t c A A± ± ±ν ν + ν ν      ( )( ) ( )( ) ( )= 2 , = 2 2 , = ,u u u d u d u d u ua A I t b I t I t c A A± ± ±ν ν ± − ν ± ν    (21) ( ) ( ) ( ) ( )2 2= 2 2 , = 2 2 .g d d u d dA I t A I t A I t A I tν − − + + ν − + + − Тогда в рамках принятой нумерации одноэлектронных состояний их энергии записываются как ( ) ( ) ( )5 9 13 15 17 19= , = , = . 4 4 2 4 2 g u d d d d A I A I A IE t E E ν ν+ + + ξ + ± ξ − ± ξ − ± (22) Учитывая явный вид базисных функций устройства, нетрудно показать, что параметры представления операто- ра 1a ↑ через операторы Хаббарда определяются следующим образом: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 13,5 = 3,9 = , 2,6 = 2,10 = , 4,7 = 4,11 = , 2 3 6↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑γ γ γ γ γ γ ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1,13 15 = , 1,17 19 = , 2 2 2,13 15 = , 2,17 19 = , 2 2 g g u u gg uu C C C C C C + − + − + − + − ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ + − + − ↑ ↑ − − γ γ γ − γ − (23) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 14,14 16 = 2 2,13 15 , 4,18 20 = 2 2,17 19 .↑ ↑ ↑ ↑γ γ γ γ Для рассматриваемого нами устройства 2 1\| ( ) \|=\| ( ) \|↑ ↑γ α γ α , причем, для половины переходов 2 1( ) = ( )↑ ↑γ α −γ α . Эти свойства параметров представления будут использованы в дальнейшем при нахождении тока и кинетических уравнений. Параметры 1,2 ( )↓γ α вычисляются аналогично. ______________________________________________ 4. Электронный ток и кинетические уравнения Выражение для тока в левом контакте J следует из его определения ˆ ˆ= , = ,L L k k k J eN N c c+ σ σ σ ∑ (24) где ˆ LN — оператор числа электронов в левом контак- те. Тогда, пользуясь правилами квантовой механики, получаем 1 1 1 1 ˆ ˆ= , = .L L Lk k ie ieJ N T t c a a c+ + σ σ σ σ σ   − − −    ∑   (25) 196 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 2 Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле Абсолютная величина заряда электрона обозначена через e. Усреднение проводится с матрицей плотности ( )tρ [12,13], удовлетворяющей уравнению ˆ( ) / = , ( ) .i t t H t ∂ρ ∂ ρ  (26) Вычисление возникающих в теории средних прове- дем с помощью неравновесных функций Грина. Нахо- ждение этих функций связано с применением теории возмущений по методу Келдыша [14]. С этой целью вначале перейдем к матрице плотности ( )tρv [15], та- кой что ( )ˆ ˆ ˆ ˆ( ) = ( ) , = exp / .t U t U U itV+ρ ρ v v v v (27) Новое уравнение движения для ( )tρv ˆ( ) / = ( ), ( )i t t H t t ∂ρ ∂ ρ  v v v (28) определяется гамильтонианом 0 ˆ ˆ ˆ( ) = ( )H t H T t+v v , в котором оператор туннелирования 1 2 ˆ ( ) = ( ) ( ) h.c.Lk k Rp p k p T t t t c a t t d a+ + σ σ σ σ σ σ + +∑ ∑v (29) имеет явную временную зависимость, определяемую функциями ( ) = exp( / 2 ), ( ) = exp( / 2 ).Lk Lk Rp Rpt t t iteV t t t iteV−   Дальнейшее преобразование связано с переходом к представлению взаимодействия: ( )0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) = ( ) , = exp / .It U t U U itH+ρ ρ v (30) В этом представлении ток определяется выражением * 1 1= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,Lk k Lk kI Ik ieJ t t c t a t t t a t c t+ + σ σ σ σ σ  − −  ∑  (31) в котором знак I у угловых скобок означает, что сред- нее вычисляется с матрицей плотности, удовлетво- ряющей уравнению ˆ( ) / = ( ), ( ) .I I Ii t t T t t ∂ρ ∂ ρ  (32) Здесь оператор туннелирования берется в представле- нии взаимодействия 1 2 ˆ ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h.c.I Lk k Rp p k p T t t t c t a t t t d t a t+ + σ σ σ σ σ σ + +∑ ∑ (33) В этом представлении временная зависимость опера- торов вторичного квантования определяется обычным образом. При этом для операторов контактов 0 0 ˆ ˆ( ) = = exp( / )k k k Lkc t U c U c it+ σ σ σ σ− ξ  временная зависимость хорошо известна. Явная зави- симость от времени операторов устройства в представ- лении взаимодействия 1 0 1 0 ˆ ˆ( ) =a t U a U+ σ σ не имеет про- стого представления. Это усложняет развитие теории на основе использования операторов вторичного кван- тования для описания взаимодействий в устройстве. Поэтому в дальнейшем для преодоления отмеченной трудности используем атомное представление. Для применения метода Келдыша введем эволюци- онный оператор ( , )S t −∞ , позволяющий установить связь между ( )I tρ и 0ρ 0 0( ) = ( , ) ( , ), = ( ).I It S t S t+ρ −∞ ρ −∞ ρ ρ −∞ (34) Поскольку оператор ( , )S t −∞ удовлетворяет уравнению ˆ( , ) / = ( ) ( , ),Ii S t t T t S t∂ −∞ ∂ −∞ (35) то его можно представить через T-упорядоченную экс- поненту ˆ( , ) = exp ( ) . t t I iS t T T t dt −∞    −∞ −     ∫  (36) Оператор ( , )S t −∞ решает поставленную задачу, по- скольку 1 1 0 ( ) ( ) = ( , ) ( ) ( ) ( , ) .k kI c t a t S t c t a t S t+ + + σ σ σ σ−∞ −∞ (37) Если в среднее, находящееся в правой части этого уравнения, вставить единичный оператор 1( , )S− ∞ −∞ × ( , )S× ∞ −∞ , то получим 1 1 1 0 ( ) ( ) = ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) .k kI c t a t S S t c t a t S t+ − + σ σ σ σ∞ −∞ ∞ −∞ (38) Введение контура Келдыша C [13,14,16,17] позволяет записать рассматриваемые средние в удобном для вы- числения виде: 1 1 0 ( ) ( ) = ( ) ( ) ,k C k CI c t a t T c t a t S+ + σ σ σ σ (39) где CT — оператор хронологического упорядочения по времени на контуре Келдыша C , а матрица рассеяния CS ˆ= exp ( )C C I C iS T T d    − τ τ     ∫  (40) определяется через оператор туннелирования, в кото- ром область изменения временного аргумента принад- лежит тому же контуру. В представлении операторов Хаббарда для устрой- ства выражение для тока 1 1 , = ( ) ( ) ( ) ( )Lk Ik ieJ t t c t X t+ α σ σ σ α − γ α −∑  * 1( ) ( ) ( )Lk I t t X t c t−α σ −  (41) Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 2 197 В.В. Вальков, С.В. Аксенов приобретает структуру, позволяющую использовать диа- граммную форму теории возмущений, в которой только оператор туннелирования играет роль возмущения. Для формулировки такой теории введем неравновесные функции Грина, построенные на фермиевских операто- рах, на операторах Хаббарда, а также смешанные функ- ции, содержащие произведение фермиевского оператора и оператора Хаббарда ( ) ( ) ( ) 0 , = ,ab Lk C k a k bG i T c c+σ σ σ′ ′τ τ − τ τ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , 0 , = , , = , ab C a b C ab k C k a b C D i T X X S R i T c X S α −β α β −α σ α σ ′ ′τ τ − τ τ ′ ′τ τ − τ τ (42) ( ) ( ) ( ), 0 , = ,ab k C a k b CR i T X c Sα + α σ σ′ ′τ τ − τ τ где индексы , = , a b + − обозначают ветвь контура Кел- дыша, на которой изменяются времена aτ и b′τ соот- ветственно. В результате формула для тока принимает следую- щий вид: { /2 1 , , = ( ) e ( , )ieVt Lk Lk k eJ t R t t++ σ σ α σ α γ α + δ −∑  }/2 ,e ( , ) , 0.ieVt LkR t t− ++ α σ− + δ δ → + (43) Записывая диаграммный ряд для смешанных функций (см. детали в работах [18,19]), можно показать, что электронный ток зависит от фурье-образов неравно- весных затравочных функций Грина левого контакта ( ) ( )/ (2 )ab L R kG eVσ ω±  и полных функций Грина уст- ройства ( ), abDα β ω , ___________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1= , 2 2Lk Lk Lk k e eV eVJ d t G D G D h +∞ −+ +− +− −+ σ σ σ αβ σ αβ σ αβ−∞     ω γ α γ β ω+ ω − ω+ ω         ∑∑ ∫   (44) где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 = , , = 2 , 2 1 , Lk Lk Lk Lk Lk Lk Lk Lk Lk Lk Lk Lk Lk Lk Lk Lk n n n n G G i i i i G in G i n ++ −−σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ +− −+ σ σ σ σ σ σ − − ω + ω = − − ω−ξ − δ ω− ξ + δ ω− ξ + δ ω− ξ − δ ω π δ ω−ξ ω = π − δ ω−ξ (45) 1 = 1 exp .Lk Lkn T − σ σ  ε −µ  +     Фурье-образы неравновесных затравочных функций Грина правого контакта ( )ab RpG σ ω , а также соответствующая функция Ферми–Дирака определяются аналогично. Неравновесные функции Грина устройства, ( ) =abDαβ ′τ − τ 0 ( ) ( )C a b Ci T X X Sα −β ′= − τ τ  , находятся из решения уравнения Дайсона (см. детали в работах [18,19]), получаемо- го на основе ренормированной матрицы рассеяния, 1 2 1 2 1 2= exp ( ) ( ) ( ) ,C C C C S T i d d V X X−α β αβ αβ   − τ τ τ − τ τ τ     ∑∫ ∫  (46) где ( ) ( )1 2 1 22 22 21 2 1 1 1 2 2 2 1 2( ) = ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) e ( ). eV eVi i Lk Lk Rp Rp k p V t G t G τ −τ − τ −τ αβ σ σ σ σ σ σ σ σ τ − τ γ α γ β τ − τ + γ α γ β τ − τ∑ ∑ (47) Таким образом, после проведения ряда математических преобразований получаем окончательное общее выра- жение, описывающее электронный ток через устройство атомного масштаба, [ ] 2 12 1 2 2 1 ( / 2) = 4 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( / 2) L eVeJ d n eV n h eV σ+∞ σσ −∞  ω− ω Γ ω Γ ω ω− − ω ∆ ω−∑ ∫ (48) где ( ) ( )1 2 112 11 2 2 1 2 ( ) = ( ) ( ) / , = , = , ( ) = ( ), ( ) = ( ). n m Lk Lk Rp Rp k p L b b N N E t t eV σ α σ α α α ασ α σ σ ω γ α γ α ω + ω ω+ Γ ω π δ ω−ξ Γ ω π δ ω− − ξ ∑ ∑ ∑ (49) 198 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 2 Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле В дальнейшем воспользуемся приближенным описанием контактов как широкозонных металлов. Тогда 1,2 = constΓ , а знаменатель в выражении (48) может быть представлен в виде 22 2 22 1 2 11 12 11( ) = 1 ( ) ( ) ( ) ,L L Lσ σ σ σ        ∆ ω −Γ Γ ω − ω +Γ ω          (50) где 1 2=Γ Γ +Γ . Из выражений (48)–(50) следует, что ток зависит от чисел заполнения состояний устройства, ( = 1,2,.... )m DN m N , которые могут быть найдены из решения системы кинетических уравнений следующего об- щего вида: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2= = , 2 mm m b KdN X D d i α σ α+− αα σ α σ γ α ωω ≡ ω ω π π ω ∆ ω ∑∫ ∫ (51) где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 11 12 12 12 1 2= , = sign .K n n n n L Lσ σ σ σ α σ σ Γ + Γ + Γ Γ Γ +Γ −Θ α Θ α γ α γ α    (52) ______________________________________________ 5. Транспортные свойства устройства с димерной молекулой В предыдущем параграфе было приведено кинети- ческое уравнение (51), которое в общем виде выражает зависимость чисел заполнения состояний системы спиновый димер + электрон от интенсивностей пере- ходов между этими состояниями, температуры, харак- теристик контактов и напряжения смещения. Для упрощения процедуры вычисления интеграла, стоящего в правой части уравнения (51), сделаем ряд замечаний. Из вида параметров представления (23) следует, что 1 ( )σγ α и 2 ( )σγ α могут отличаться только знаком. Следовательно, функция ( )Kα ω не зависит от корневого вектора α. Далее, пусть имеется p перехо- дов из N , для которых 12 ( ) = 1σΘ α + . Тогда, избавляясь от затравочных полюсов в исходном кинетическом уравнении (51), получим два варианта записи послед- него в зависимости от типа перехода α: ___________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 1 2 0 2 2 2 1 2 1 1 2 0 1) = , = , 2) = , = , m m b K N d b K N d α σ α σ σ σσ α σ α σ σ σσ γ α Π ω ω γ α γ α ω π ∆ ω γ α Π ω ω γ α −γ α ω π ∆ ω ∑∫ ∑∫ (53) где ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 1 1 2 1 =1 = 1 =1 = 4 , N p N N N p b b b − σ α σ α β σ β α σ α α β − + α      ∆ Π − Γ Γ γ α Π γ β Π +Γ γ α Π        ∑ ∑ ∑ (54) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 =1 = 1 = , = / , = / , N p N N p − ν ν α α αα ν ν − + Π ω ω ≡ Π Π Π Π ω Π Π ω∏ ∏ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 11 2 1 21 2 =1 1 = 2 . N p N N p K n n n n b − α σ α α − +    Γ + Γ Π + Γ Γ Γ +Γ γ α Π     ∑ ______________________________________________ Из вида уравнений (53) и определений (54) следует, что в случае туннельной связи молекулы с контактами и низких температур, 1,2 , T EαΓ  , основной вклад в интегралы в правых частях уравнений находится в ок- рестности энергии перехода α, = Eαω − . Принимая во внимание этот факт, перепишем линейные пропагато- ры 11,12Lσ в следующем виде: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 11 12 11 12 : / , E E b L B E E ν σ σσ σ αα ν αν ≠ν α γ ν γ ν ≈ ω + −∑ (55) Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 2 199 В.В. Вальков, С.В. Аксенов где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 2 1 211 12 = .B b bσ α σ β σσ σα β γ α γ α + γ β γ β∑ Заметим, что при выводе (55) было учтено наличие в системе переходов с одинаковой энергией. В результа- те во множителях ( )11 12Bσ α суммирование идет по кор- невым векторам β, отвечающим условию =E Eβ α . Подставляя выражения (55) в кинетическое уравнение, получим ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 2 22 ,m b n nN d α σ σσ α α γ α Γ + Γ ≈ ω π ω + κ ∑∫ (56) где ( )( ) ( )2 22 2 1 2 11 1 2 12= 2B Bσ σ σ α α ακ Γ + Γ + Γ Γ . Решение уравнения (56) имеет вид ( )2 2 1 1 / 2 arctg 2m b E eV N α σ α σ σ α α   γ α −ΓΓ≈ + +   πκ κ   2 / 2 arctg . E eVα σ α  +Γ +   π κ   (57) Действуя аналогичным образом, находим уравнение для nN , ( )2 2 1 1 / 2 arctg 2n b E eV N α σ α σ σ α α   γ α −ΓΓ≈ − −   πκ κ   2 / 2 arctg . E eVα σ α  +Γ −   π κ   (58) При этом решения системы кинетических уравнений должны удовлетворять условию полноты, т.е. 20 =1 = 1.i i N∑ Как видно из формул (48) и (49), суммарный элек- тронный ток формируется вкладами от различных пе- реходов, , =J Jαβ α β ∑ . В режиме туннельной связи и низ- ких температур диагональные компоненты Jαα , а также недиагональные Jαβ, для которых =E Eα β , яв- ляются определяющими: ___________________________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 1 1 2 2 2 1 1 1 2 12 12 / 2 / 2 4 arctg arctg , / 2 / 2 4 arctg arctg . b E eV E eV J e h b b E eV E eV J e h α σ α α αα σ σ σ α α α α β σ σσ σ α α αβ σ σ σ α α α     γ α + − ≈ Γ Γ −       κ κ κ          γ α γ β + − ≈ Γ Γ Θ α Θ β −       κ κ κ      (59) Соответствующие вклады в дифференциальную проводимость, /J V∂ ∂ , имеют вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 0 1 2 1 2 22 2 2 2 0 1 2 12 12 1 1 2 22 2 1 12 , / 2 / 2 1 12 , / 2 / 2 G G b E eV E eV G G b b E eV E eV αα α σ σ σ α α α α σ σ αβ α β σ σ σ σ α α α α     ≈ Γ Γ γ α +   + + κ − + κ       ≈ Γ Γ Θ α Θ β γ α γ β +   + + κ − + κ   (60) где 2 0 = /G e h — квант проводимости. Из формулы (60) видно, что максимальные значения этих вкладов реали- зуются при = 2eV Eα± . В случае симметричного транспортного режима ( 1 2= = / 2Γ Γ Γ ) они равны ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 4 11 12 1max 0 2 2 2 11 12 2 22 2 2 11 12 12 12 1 1max 0 2 2 2 11 12 1 , 4 1 . 4 B B b G G EB B B Bb b G G EB B σ σ α α α σ αα σ σ αα α σ σ σ σ α α α β σ σ αβ σ σ αα α   Γ +  γ α   ≈ +   +       Γ +  Θ α Θ β γ α γ β   ≈ +   +     (61) ______________________________________________ 200 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 2 Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле Остановимся на примере, когда в системе реализу- ется лишь небольшое число переходов. При этом бу- дем придерживаться следующего соотношения между энергетическими параметрами: , dt t A I  . Таким образом, меняя поле на затворе, можно контролиро- вать вид основного состояния устройства — c элек- троном или без электрона. При расчетах все энерге- тические величины измеряются в единицах t . В частности, = 0µ . Дополнительно будем рассматри- вать симметричное соединение устройства с контак- тами. Следовательно, имеет место равенство ( ) ( )2 2 11 12= / 2B Bσ σ σ α α ακ Γ + . Предположим, что к устройству приложено такое поле затвора, что в нем отсутствует электрон при = 0.V Тогда синглетное состояние \|1〉 является основным. Выше по энергии располагаются вырожденные одно- электронные уровни, которым отвечают волновые функции \|19,20〉 . Далее следуют триплетные состояния димера \| 2 , \| 3 , \| 4〉 〉 〉, когда электрон в устройстве снова отсутствует. В результате возможны по три перехода для =σ ↑ и =σ ↓ между следующими парами состояний устройства: (1, 19), (2, 19), (4, 20) и (1, 20), (2, 20), (3, 19) соответственно. Поскольку в отсутствие магнитного поля переходы для электронов с противоположной проекцией спина эквивалентны, то в дальнейшем бу- дем анализировать кинетические уравнения для пере- ходов с =σ ↑. Кроме того, поскольку интенсивности переходов пропорциональны ( )2 iσγ α ( = 1, 2i ) и исходя из (23), ( ) ( )2 21,19 = 1,20i i↑ ↑ γ γ , ( ) ( )2 24,20 = 3,19i i↑ ↑ γ γ , то предположим, что 3 4=N N и 19 20=N N . Для после- дующего обсуждения важно, что энергии переходов в триплетные состояния димера одинаковы, 2,19 4,20= .E E Одновременно с этим ( ) ( )2 24,20 = 2 2,19i i↑ ↑ γ γ . Тогда получаем ( ) ( ) ( ) ( )2 1,191,19 11 1,19 12 1= = 1,19B B b↑ ↑ ↑ γ , а также ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 2,192,19 11 4,20 11 2,19 12 4,20 12= = = =B B B B b↑ ↑ ↑ ↑− − + ( ) ) ( )2 4,20 12 2,19b ↑ + γ . В результате кинетические урав- нения (57) и (58) приобретают следующий вид: ( )2 2 1 11 11 / 211 arctg 2 m b E eV N B B α ↑ α ↑ ↑ α α   γ α −  ≈ + +  π Γ   11 / 21 arctg , E eV B α ↑ α  +  +  π Γ   (62) ( )2 2 1 11 11 / 211 arctg 2 n b E eV N B B α ↑ α ↑ ↑ α α   γ α −  ≈ − −  π Γ   11 / 21 arctg . E eV B α ↑ α  +  −  π Γ   (63) Поскольку 11 1B↑ αΓ  , то из уравнений (62) и (63) сле- дует, что ( ) 11 / 21 1arctg sign / 2 2 E eV E eV B α α↑ α  ±  → ±  π Γ  . Кроме того, условие полноты приводит к дополни- тельной связи 1 2 4 192 2 = 1N N N N+ + + . Рассмотрим решение системы кинетических урав- нений для трех случаев: I — 1,19 2,19/ 2 <\| \|,eV E E (сла- бое напряжение); II — 1,19 2,19 \| \|< / 2 <E eV E (проме- жуточное напряжение); III — 1,19 2,19 / 2 >\| \|,eV E E (сильное напряжение). При слабом напряжении реше- ние уравнений (62) и (63) дает 2 4 19= = = 0N N N , т.е. из условия полноты следует, что заселено только синг- летное состояние димера, 1 = 1N . В режиме промежу- точного напряжения уравнение (62), записанное для = (1,19)α , приводит к соотношению 1 19=N N . В свою очередь, уравнение (63) в случаях = (2,19)α и = (4,20)α имеет следствием 2 = 0N и 4 = 0N соответ- ственно. В результате получаем 1 19 20= = = 1/ 3N N N . В режиме сильных напряжений также получаем равен- ство 1 19=N N . Следовательно, (2,19) (4,20)2 = 1b b+ . Это позволяет записать два уравнения ( )22 19N N+ − 22 = 0N− и ( )24 19 4 = 0N N N+ − . Решение этих урав- нений с учетом условия полноты дает 2 1 19 2 2 3 4 19 19 7= 2 3, = = 2 , 2 1 1= = 1 4 . 2 2 N N N N N N N N N − − − − − (64) На рис. 2(a) приведена зависимость чисел заполнения состояний системы от энергии электрического поля ис- ток–сток. Величины iN существенно отличаются в трех различных областях eV : I, II и III. В частности, в облас- ти III, согласно (64), наблюдается неодинаковая засе- ленность триплетных уровней димера (сравните пунк- тирную и штрихпунктирную кривые). На рис. 2(б) представлена ВАХ для того же набора параметров. Кривая тока имеет два скачка между областями I, II и II, III соответственно. Каждая из этих ступенек сигна- лизирует о включении в транспорт новых, ранее не заселенных состояний. Это видно из сопоставления рис. 2(a) и 2(б). Из формул (59) следует, что высота ступенек существенно зависит от ( )2 1σγ α . В частности, значительная разница высот скачков на рис. 2(б) объ- ясняется тем, что ( )2 1 2,19 , ↑ γ ( ) ( )2 2 1 14,20 1,19 ↑ ↑ γ γ . Подчеркнем, что переходы между различными возбу- жденными состояниями системы проявляются в транс- портных характеристиках лишь в том случае, если при самосогласованном решении системы кинетических уравнений учитывается неравновесная заселенность уровней. В противоположной ситуации в ВАХ наблю- даются только ступеньки, соответствующие переходам из основного состояния (см. пунктирную кривую на рис. 2(б)). Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 2 201 В.В. Вальков, С.В. Аксенов Если условно предположить, что 2 (4,20) =i↑γ 2 (2,19)i↑= γ , тогда из (63) вытекает равенство 2 22 =N N− 4 42N N= − . Пользуясь условием полноты, можно показать, что единственно возможным решением сис- темы кинетических уравнений в таком случае является 2 3 4= = = 1/18N N N и 1 19 20= = = 5 /18N N N . Таким образом, если напряжение исток–сток достаточно сильное для активации переходов в триплетные со- стояния димера, то заселенность состояний с проекци- ей спина = 0zS и = 1zS ± неодинакова вследствие отличия интенсивностей переходов. Следует заметить, что в случае, если переход α не- вырожден по энергии, то при > 2 \| \|eV Eα уравнения (62) и (63) приводят к равенству =n mN N , поскольку ( )2 11 1=B bσ α α σγ α . Следовательно, при включении маг- нитного поля и высоких напряжениях, когда все воз- можные переходы будут активированы, расщепление заселенностей триплетных состояний димера, подобное эффекту от создания легкоосной магнитной анизотро- пии, должно исчезнуть [18]. При этом величина магнит- ного поля не может быть сколь угодно малой, так как приближенная запись линейных пропагаторов в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 211 12 1 1 2 : / E E L b b E E σ α σ ασ ν σ σ ν αν ≠ν α ≈ γ α γ α ω + γ ν γ ν + −∑ возможна, только если \| \| , E E Tν α− Γ . Таким образом, из представленных результатов следует, что в неравновесном режиме имеется возмож- ность управлять спиновыми состояниями димерной молекулы без приложения внешнего магнитного поля. 6. Заключение Представлены результаты решения задачи о влия- нии протекающего через устройство тока на состояние примесной подсистемы. В качестве такой подсистемы выступают два примесных магнитных иона. Между спиновыми моментами этих ионов действует обменное взаимодействие антиферромагнитной природы. При протекании в системе тока электроны, взаимо- действуя с магнитными примесными ионами, индуци- руют переходы в возбужденные состояния спинового димера. Наличие таких процессов приводит к значи- тельному усложнению описания электронного транс- порта через рассмотренную систему. С другой сторо- ны, наличие внутренних степеней свободы позволяет управлять электронным транспортом посредством воз- действия на примесную подсистему. Последний аспект имеет важное практическое значение. Существенным является и обратный эффект, когда протекающий ток способен изменять магнитные харак- теристики примесной подсистемы. В работе на конкрет- ном примере проанализировано изменение заселенности состояний спинового димера за счет транспортируемых электронов. Особенность эффекта связана с тем, что такое изменение происходит в нулевом магнитном поле. Для описания отмеченного явления в работе на ос- нове современных методов исследования неравновес- ных процессов развита теория электронного транспор- та через систему с произвольной неэквидистантностью уровней энергии устройства, обусловленной присутст- вием нескольких взаимодействий между его внутрен- ними степенями свободы. Активную роль в решении отмеченной задачи сыг- рало введение атомного представления для гамильто- ниана устройства на основе операторов Хаббарда. Та- кой подход обеспечил возможность точного учета всех взаимодействий в устройстве и записи соответствую- щего гамильтониана в диагональном виде. При этом в качестве возмущения выступает только оператор тун- нелирования. Рис. 2. Зависимость чисел заполнения состояний системы димер + электрон (a) и тока (б) от энергии электрического поля смещения. Вставка: скачок тока, вызванный активацией переходов в одноэлектронные состояния системы. Парамет- ры: = 1dt , = 1,145dξ , = 0,3A , = 0, 02I . 202 Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 2 Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле Применение неравновесной диаграммной техники для операторов Хаббарда в сочетании с методом Кел- дыша позволило получить общее выражение для тока, а также кинетические уравнения в случае, когда левый и правый контакты туннельно связаны с разными уз- лами устройства. Поскольку при этом использовались функции Грина, найденные с учетом процессов много- кратного рассеяния электронов, то полученная система кинетических уравнений пригодна для описания слу- чая сильной ренормировки чисел заполнения вследст- вие взаимодействия транспортируемых частиц с внут- ренними спиновыми степенями свободы устройства. Это позволило описать эффект расщепления триплет- ных состояний спинового димера в нулевом магнит- ном поле. Работа выполнена при поддержке Программы фун- даментальных исследований Президиума РАН №32 «Наноструктуры: физика, химия, биология, основы тех- нологий», Российского фонда фундаментальных иссле- дований (гранты #16-02-00073, #18-32-00443), Прави- тельства Красноярского края, Красноярского краевого фонда науки в рамках научных проектов: «Связанные майорановские фермионы в наноматериалах с силь- ными электронными корреляциями и квантовый транспорт электронов в устройствах на их основе» (№ 17-42-240441), «Проявление кулоновских взаи- модействий и эффектов ограниченной геометрии в свойствах топологических краевых состояний нано- структур со спин-орбитальным взаимодействием» (№ 18-42-243017). С.А. выражает благодарность гран- ту Президента РФ МК-3722.2018.2. _______ 1. H. Ueba, T. Mii, and S.G. Tikhodeev, Surf. Science 601, 5220 (2007). 2. П.И. Арсеев, Н.С. Маслова, УФН 180, 1197 (2010). 3. S. Loth, K. von Bergmann, M. Ternes, A.F. Otte, C.P. Lutz, and A.J. Heinrich, Nature Phys. 6, 340 (2010). 4. L. Bogani and W. Wernsdorfer, Nat. Mater. 7, 179 (2008). 5. O. Ujsaghy and A. Zawadowski, J. Phys. Soc. Jpn. 74, 80 (2005). 6. A. Kogan, G. Granger, M.A. Kastner, D. Goldhaber-Gordon, and H. Shtrikman, Phys. Rev. B 67, 113309 (2003). 7. J.J. Parks, A.R. Champagne, T.A. Costi, W.W. Shum, A.N. Pasupathy, E. Neuscamman, S. Flores-Torres, P.S. Cornaglia, A.A. Aligia, C.A. Balseiro, G.K.-L. Chan, H.D. Abruña, and D.C. Ralph, Science 328, 1370 (2010). 8. D. Ganyushin and F. Neese, J. Chem. Phys. 125, 024103 (2006). 9. N. Tsukahara, K. Noto, M. Ohara, S. Shiraki, N. Takagi, Ya. Takata, J. Miyawaki, M. Taguchi, A. Chainani, S. Shin, and M. Kawai, Phys. Rev. Lett. 102, 167203 (2009). 10. Р.О. Зайцев, ЖЭТФ 68, 207 (1975); там же 70, 1100 (1976). 11. Н.М. Плакида, Л. Антон, С. Адам, Г. Адам, ЖЭТФ 124, 367 (2003). 12. Д.Н. Зубарев, Неравновесная статистическая термо- динамика, Наука, Москва (1971). 13. Д.Н. Зубарев, В.Г. Морозов, Г. Репке, Статистическая механика неравновесных процессов, Физматлит, Москва (2002). 14. Л.В. Келдыш, ЖЭТФ 47, 1515 (1964). 15. D. Rogovin and D.J. Scalapino, Ann. Phys. (N.Y.) 86, 1 (1974). 16. Р.О. Зайцев, Введение в современную кинетическую теорию: Курс лекций, КомКнига, Москва (2006). 17. П.И. Арсеев, УФН 185, 1271 (2015). 18. В.В. Вальков, С.В. Аксенов, Е.А. Уланов, ЖЭТФ 146, 144 (2014). 19. В.В. Вальков, С.В. Аксенов, ТМФ 194, 277 (2018). ___________________________ Ренорміровки заселеності триплетних станів спінового димера в нульовому магнітному полі при квантовому транспорті В.В. Вальков, С.В. Аксьонов На підставі нерівноважної техніки Кєлдиша в атомному підході вивчено ефект індукування різної заселеності магніт- них станів спінового димера, який взаємодіє з електронами, що транспортуються через пристрій, у нульовому магнітному полі. Для знаходження чисел заповнення квантових станів пристрою в умовах сильної нерівноважності методом нерів- новажної діаграмної техніки для операторів Хаббарда отри- мано та вирішено систему кінетичних рівнянь. Чисельний аналіз цих рівнянь дозволив виявити нерівноважні ренорму- вання з урахуванням сильних спін-ферміонних кореляцій. Ключові слова: нерівноважний квантовий транспорт, спіно- вий димер, кінетичне рівняння, атомне уявлення, непружне розсіяння. Renormalization of triplet populations of spin dimer in zero magnetic field with quantum transport V.V. Val’kov and S.V. Aksenov Based on the non-equilibrium Keldysh technique in the atom- ic representation, the effect of different population of magnetic states of a spin dimer interacting with electrons transported through such a device in zero magnetic field has been studied. To find the filling numbers of the quantum states of the device under strong non-equilibrium conditions, a system of kinetic equations has been obtained and solved using the nonequilibrium diagram technique for the Hubbard operators. Numerical analysis of these equations revealed non-equilibrium renormalizations due to strong spin-fermion correlations. Keywords: nonequilibrium quantum transport, spin dimer, kinetic equation, atomic representation, inelastic scattering. Low Temperature Physics/Фізика низьких температур, 2019, т. 45, № 2 203 https://doi.org/10.1016/j.susc.2007.04.195 https://doi.org/10.3367/UFNr.0180.201011d.1197 https://doi.org/10.1038/NPHYS1616 https://doi.org/10.1038/nmat2133 https://doi.org/10.1143/JPSJ.74.80 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.67.113309 https://doi.org/10.1126/science.1186874 https://doi.org/10.1063/1.2213976 https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.102.167203 https://doi.org/10.1016/0003-4916(74)90430-8 https://doi.org/10.3367/UFNr.0185.201512b.1271 https://doi.org/10.7868/S0044451014070165 https://doi.org/10.4213/tmf9396 1. Введение 2. Модель устройства со спиновым димером 3. Процессы туннелирования в атомном представлении для устройства 4. Электронный ток и кинетические уравнения 5. Транспортные свойства устройства с димерной молекулой 6. Заключение

Ренормировки заселенностей триплетных состояний спинового димера в нулевом магнитном поле при квантовом транспорте

Institution

Ähnliche Einträge