Представление решений краевых задач для уравнения Шрёдингера в пространстве Гильберта
Знайдено необхiдну й достатню умови iснування узагальнених розв’язкiв рiвняння Шрьодiнгера у гiльбертовому просторi. Встановлено умови нормальної та узагальненої розв’язностi. Розв’язки наведено з використанням узагальненого оператора Грiна....
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175858 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Представление решений краевых задач для уравнения Шрёдингера в пространстве Гильберта / А.А. Покутний // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 1. — С. 102-111. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175858 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1758582025-02-23T17:04:08Z Представление решений краевых задач для уравнения Шрёдингера в пространстве Гильберта Представлення розв'язків крайових задач для рівняння Шредінгера у просторі Гільберта A representation of solutions of boundary-value problems for a Schrödinger equation on a Hilbert space Покутный, А.А. Знайдено необхiдну й достатню умови iснування узагальнених розв’язкiв рiвняння Шрьодiнгера у гiльбертовому просторi. Встановлено умови нормальної та узагальненої розв’язностi. Розв’язки наведено з використанням узагальненого оператора Грiна. We find the necessary and sufficient conditions for existence of generalized solutions to a Schrödinger equation on a Hilbert space, as well as conditions for normalized and generalized solvability of such problems. The solutions are given in terms of a generalized Green’s function. 2014 Article Представление решений краевых задач для уравнения Шрёдингера в пространстве Гильберта / А.А. Покутний // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 1. — С. 102-111. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175858 517.956, 517.958 ru Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Знайдено необхiдну й достатню умови iснування узагальнених розв’язкiв рiвняння Шрьодiнгера у гiльбертовому просторi. Встановлено умови нормальної та узагальненої розв’язностi. Розв’язки наведено з використанням узагальненого оператора Грiна. |
| format |
Article |
| author |
Покутный, А.А. |
| spellingShingle |
Покутный, А.А. Представление решений краевых задач для уравнения Шрёдингера в пространстве Гильберта Нелінійні коливання |
| author_facet |
Покутный, А.А. |
| author_sort |
Покутный, А.А. |
| title |
Представление решений краевых задач для уравнения Шрёдингера в пространстве Гильберта |
| title_short |
Представление решений краевых задач для уравнения Шрёдингера в пространстве Гильберта |
| title_full |
Представление решений краевых задач для уравнения Шрёдингера в пространстве Гильберта |
| title_fullStr |
Представление решений краевых задач для уравнения Шрёдингера в пространстве Гильберта |
| title_full_unstemmed |
Представление решений краевых задач для уравнения Шрёдингера в пространстве Гильберта |
| title_sort |
представление решений краевых задач для уравнения шрёдингера в пространстве гильберта |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175858 |
| citation_txt |
Представление решений краевых задач для уравнения Шрёдингера в пространстве Гильберта / А.А. Покутний // Нелінійні коливання. — 2014. — Т. 17, № 1. — С. 102-111. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT pokutnyjaa predstavlenierešenijkraevyhzadačdlâuravneniâšrëdingeravprostranstvegilʹberta AT pokutnyjaa predstavlennârozvâzkívkrajovihzadačdlârívnânnâšredíngerauprostorígílʹberta AT pokutnyjaa arepresentationofsolutionsofboundaryvalueproblemsforaschrodingerequationonahilbertspace |
| first_indexed |
2025-11-24T02:53:07Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:53:07Z |
| _version_ |
1849638558204166144 |
| fulltext |
УДК 517.956, 517.958
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
А. А. Покутный
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
е-mail: lenasas@gmail.com
We find the necessary and sufficient conditions for existence of generalized solutions to a Schrödinger
equation on a Hilbert space, as well as conditions for normalized and generalized solvability of such
problems. The solutions are given in terms of a generalized Green’s function.
Знайдено необхiдну й достатню умови iснування узагальнених розв’язкiв рiвняння Шрьодiн-
гера у гiльбертовому просторi. Встановлено умови нормальної та узагальненої розв’язностi.
Розв’язки наведено з використанням узагальненого оператора Грiна.
Введение. Краевые задачи для нелинейного уравнения Шредингера часто возникают в
квантовой механике, нелинейной оптике, теории сверхпроводимости и других областях
физики и техники. Их изучение представляет как теоретический, так и практический ин-
терес. Так, свободное уравнение Шредингера, а также уравнение Клейна – Гордона, ко-
торое можно записать в виде матричного уравнения Шредингера, исследовались в рабо-
те [1], расщепленная система нелинейных уравнений, а также уравнение Шредингера с
чисто мнимыми коэффициентами — в [2], нелинейное уравнение диффузии Колмогоро-
ва – Петровского – Пискунова исследовалось в [3], магнитный оператор Шредингера —
в [4, 5].
С развитием квантового функционального анализа все более популярными стано-
вятся так называемые квантовые нелинейные уравнения Шредингера. Они получаются
из классических стандартной процедурой квантования [6]. Поскольку охватить все мно-
жество работ и результатов относительно уравнения Шредингера невозможно, опишем
идеи и методы, которые положены в основу предложенного в работе подхода.
Данная работа посвящена вопросу существования, а также конструктивному постро-
ению решений краевых задач для слабонелинейного нестационарного уравнения Шре-
дингера в гильбертовом пространстве. Исследование зависящего от времени уравнения
важно потому, что в ряде случаев приходится расчитывать изменение квантовой систе-
мы в таких случаях, когда внешний потенциал включается, а затем выключается через
короткое время, или когда включается периодический потенциал. Наибольший интерес
представляет критический (резонансный) случай, когда нарушается единственность ре-
шений. В таком случае традиционные методы, основанные на теоремах о неподвижных
точках, непосредственно не могут быть использованы. Резонансы нарушают простоту
динамического движения. Предложенная модель уравнения Шредингера охватывает до-
вольно широкий класс как дифференциальных уравнений в частных производных, так и
абстрактных уравнений, которые могут быть связаны с необратимыми процессами [7].
Предложенный подход дает возможность взглянуть на некоторые свойства краевых за-
дач для уравнения Шредингера с единой позиции.
c© А. А. Покутный, 2014
102 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА . . . 103
Постановка задачи. В гильбертовом пространстве H рассматривается слабонелиней-
ное дифференциальное уравнение Шредингера
dϕ(t, ε)
dt
= −iH(t)ϕ(t, ε) + εZ(ϕ(t, ε), t, ε) + f(t), t ∈ J, (1)
с операторным краевым условием вида
lϕ(·, ε) = α+ εJ (ϕ(·, ε), ε), (2)
где для каждого t ∈ J ⊂ R (J — конечный отрезок) неограниченный оператор H(t) име-
ет вид H(t) = H0 +V (t). Здесь H0 = H∗0 — самосопряженный оператор с плотной облас-
тью определения D = D(H0) ⊂ H, отображение t → V (t) сильно непрерывное. Опе-
ратор l предполагается линейным и ограниченным, действующим из гильбертового про-
странства H в гильбертовое пространство H1, α — произвольный элемент пространства
H1. Ищется такое решение ϕ(t, ε) краевой задачи (1), (2), которое обращается в одно из
решений порождающей краевой задачи
dϕ0(t)
dt
= −iH(t)ϕ0(t) + f(t), t ∈ J, (3)
lϕ0(·) = α, (4)
при ε = 0. Операторы-функции Z(ϕ(t, ε), t, ε),J (ϕ(t, ε), ε) удовлетворяют следующим
ограничениям в окрестности порождающего решения ϕ0(t) по совокупности перемен-
ных:
Z(·, ·, ·) ∈ C1[‖ϕ− ϕ0‖ ≤ q]× C(J,H)× C[0, ε0],
J (·, ·) ∈ C1[‖ϕ− ϕ0‖ ≤ q]× C[0, ε0],
где q — некоторая положительная постоянная. Работа посвящена получению необходи-
мых и достаточных условий существования решений краевой задачи (1), (2) и постро-
ению итеративной процедуры, сходящейся к точным решениям, а также установлению
связи между необходимым и достаточным условиями.
Для краевой задачи (3), (4) будет показано каким образом можно ввести различные
виды решений, чтобы можно было гарантировать ее разрешимость при произвольных
неоднородностях (относительно различных классов обобщенных решений см. [8]). Эти
решения строятся с помощью обобщенного оператора Грина и имеют один и тот же вид
для всех типов решений.
Линейный случай. Установим ряд утверждений, касающихся разрешимости краевой
задачи (3), (4). Определим, как и в [9], операторнозначную функцию
Ṽ (t) = eitH0V (t)e−itH0 .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
104 А. А. ПОКУТНЫЙ
В этом случае для Ṽ (t) справедливо представление Дайсона [9, с. 311] и можно опреде-
лить эволюционный оператор Ũ(t, s).ЕслиU(t, s) = e−itH0Ũ(t, s)eisH0 , тоψs(t) =U(t, s)ψ —
слабое решение однородного уравнения
dϕ0(t)
dt
= −iH(t)ϕ0(t) (5)
с условием ψs(s) = ψ в том смысле, что для произвольного η ∈ D функция (η, ψs(t))
является дифференцируемой и
d
dt
(η, ψs(t)) = −i(H0η, ψs(t))− i(V (t)η, ψs(t)), t, s ∈ J.
Для простоты изложения будем предполагать, что областьD плотна вH.ОператорU(t, s)
является линейным ограниченным при фиксированных t, s и, так как область D плотна в
H, ее можно расширить на все пространствоH по непрерывности, что и предполагается в
дальнейшем. Расширение эволюционного оператора на все пространство будем обозна-
чать таким же образом. Будем также предполагать, что вектор-функция f(t) действует
из J в гильбертовое пространство H, причем f(t) принадлежит C(J,H) — банахову про-
странству непрерывных на J функций со значениями в гильбертовом пространстве H.
Отметим [9], что любое слабое решение уравнения (3) можно представить в виде
ϕ0(t, s) = U(t, s)ϕ0(s, s) +
t∫
s
U(t, τ)f(τ)dτ (6)
(равенство в общем случае подразумевается в слабом смысле).
Подставив выражение (6) в краевое условие (4), получим следующее уравнение отно-
сительно элемента ϕ0(s, s) ∈ H:
Qϕ0(s, s) = α− `
·∫
s
U(·, τ)f(τ)dτ, (7)
гдеQ = `U(·, s) — оператор, полученный подстановкой эволюционного оператораU(t, s)
в краевое условие (4). Для удобства дальнейшего изложения обозначим ϕ = ϕ0(s, s),
g = α− `
∫ ·
s
U(·, τ)f(τ)dτ. Тогда операторное уравнение (7) примет вид
Qϕ = g. (8)
Уравнение (8) можно сделать разрешимым в определенном смысле при произвольных
неоднородностях в правой части таким же образом, как и уравнение Хилла в статье [10].
Для полноты изложения приведем соответствующие конструкции. В силу того, что опе-
раторQ является линейным и ограниченным, справедливы следующие разложения в пря-
мые суммы:
H = N(Q)⊕X, H1 = R(Q)⊕ Y.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА . . . 105
Здесь X = N(Q)⊥, Y = R(Q)
⊥
. В силу представления существуют операторы ортого-
нального проектирования PN(Q), PX и P
R(Q)
, PY на соответствующие подпространства.
Будем обозначать через H2 фактор-пространство пространства H по ядру N(Q) (H2 =
= H/N(Q)). Тогда существуют непрерывная биекция p : X → H2 и проекция j : H →
→ H2. Тройка (H,H2, j) является локально тривиальным расслоением с типичным слоем
PN(L)H. Определим теперь оператор
Q = P
R(Q)
Lj−1p : X → R(Q) ⊂ R(Q).
Нетрудно убедиться, что определенный таким образом оператор является линейным,
инъективным и непрерывным. Воспользовавшись теперь процессом пополнения [8] по
норме ‖x‖X = ‖Qx‖F , где F = R(Q), получим новое пространство X и расширенный
оператор Q. Тогда
Q : X → R(Q), X ⊂ X,
и так построенный оператор будет осуществлять гомеоморфизм между X и R(Q). Рас-
смотрим расширенный оператор Q = QPX : H → H2,
H = N(Q)⊕X, H1 = R(Q)⊕ Y.
Ясно, что Qx = Qx, x ∈ H, и оператор Q будет нормально разрешимым. Следовательно,
существует псевдообратный по Муру – Пенроузу к Q оператор Q
+
, который будем на-
зывать обобщенным псевдообратным к оператору Q. Используем его при исследовании
уравнения (8). Выделим три типа его решений.
1. Классические решения. Если оператор Q нормально разрешимый, то [11] элемент
g принадлежит R(Q) тогда и только тогда, когда PN(Q∗)g = 0. В этом случае существует
псевдообратный по Муру – Пенроузу оператор Q+ и множество решений (8) может быть
представлено в виде
ϕ = Q+g + PN(Q)c для всех c ∈ H.
2. Сильные обобщенные решения. Рассмотрим случай, когда множество значений опе-
ратора Q не является замкнутым. В этом случае существует расширенный оператор Q и
условие обобщенной разрешимости уравнения (8) имеет вид
PN(Q
∗
)g = 0,
а соответствующим обобщенным решением будем называть произвольный элемент из
множества {Q+
g + PN(Q)c, c ∈ H}.
Замечание 1. Если g ∈ R(Q), то обобщенное решение, определенное выше, будет
классическим.
3. Обобщенные квазирешения. Рассмотрим случай, когда g /∈ R(Q). Для элемента g
это равносильно выполнению условия PN(Q
∗
)g 6= 0. В этом случае сильные обобщенные
решения не существуют, но существуют такие элементы из X, которые являются реше-
ниями вариационной задачи inf ‖Qϕ − g‖H1 , где Q = QXPX и инфимум берется по всем
элементам ϕ ∈ X. Множество этих элементов имеет вид {Q+
g + PN(Q)c, c ∈ H}. Будем
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
106 А. А. ПОКУТНЫЙ
называть их обобщенными квазирешениями по аналогии с обычными квазирешениями
[11] (см. также [8] относительно обобщенных экстремальных элементов). В силу изло-
женного справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Краевая задача (3), (4), определенная в гильбертовых пространствах,
является всюду разрешимой.
1. Существуют сильные обобщенные решения тогда и только тогда, когда
PN(Q
∗
)α− PN(Q
∗
)`
·∫
s
U(·, τ)f(τ)dτ = 0; (9)
если α− `
∫ ·
s
U(·, τ)f(τ)dτ ∈ R(Q), то решения будут классическими обобщенными.
2. Существуют обобщенные квазирешения тогда и только тогда, когда
PN(Q
∗
)α− PN(Q
∗
)`
·∫
s
U(·, τ)f(τ)dτ 6= 0. (10)
3. Обобщенные решения краевой задачи (3), (4) имеют вид
ϕ0(t, s, c) = U(t, s)PN(Q)c+ U(t, s)Q
+
α+ (G[f ])(t, s), (11)
где
(G[f ])(t, s) =
t∫
s
U(t, τ)f(τ)dτ − U(t, s)Q
+
`
·∫
s
U(·, τ)f(τ)dτ
— обобщенный оператор Грина краевой задачи (3), (4), c — произвольный элемент
пространстваH.
Замечание 2. Во всех случаях обобщенные решения имеют одинаковое представ-
ление, но в них вкладывается разный смысл.
Нелинейный случай. Основной результат. Сначала найдем необходимое условие су-
ществования сильного обобщенного решения ϕ(t, s, ε) краевой задачи (1), (2), которое
при ε = 0 обращается в порождающее решение ϕ0(t, s, c) вида (11). При этом будем
предполагать, что краевая задача (3), (4) также имеет сильные обобщенные решения,
т. е. выполняется условие (9).
Теорема 2 (необходимое условие). Пусть краевая задача (1), (2) имеет сильное обоб-
щенное решение ϕ(t, s, ε), которое при ε = 0 обращается в порождающее решение
ϕ0(t, c
0) (11) с элементом c = c0. Тогда элемент c0 ∈ H должен удовлетворять опе-
раторному уравнению для порождающих констант
F (c) = PN(Q
∗
)
J (ϕ0(·, s, c), 0)− l
·∫
s
U(·, τ)Z(ϕ0(τ, s, c), τ, 0)dτ
= 0. (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА . . . 107
Доказательство. Если краевая задача (1), (2) имеет сильные обобщенные решения,
то согласно теореме 1 должно выполняться условие
PN(Q
∗
)
α+ εJ (ϕ(·, s, ε), ε)− l
·∫
s
U(·, τ)(f(τ) + εZ(ϕ(τ, s, ε), τ, ε))dτ
= 0. (13)
Поскольку выполнено условие (9), после упрощения условие (13) можно записать в виде
PN(Q
∗
)
J (ϕ(·, s, ε), ε)− l
·∫
s
U(·, τ)Z(ϕ(τ, ε), τ, ε)dτ
= 0.
Переходя к пределу в этом равенстве, при ε = 0 получаем операторное уравнение (12).
Замечание 3. Теорема 2 справедлива и в случае, когда нелинейные операторы функ-
ции Z(ϕ(t, ε), t, ε), J(ϕ(t, s, ε), ε) непрерывны в окрестности порождающего решения.
Для получения достаточного условия существования решения выполним замену пе-
ременных в краевой задаче (1), (2) вида
ϕ(t, s, ε) = ϕ0(t, s, c
0) + ψ(t, s, ε),
где ϕ0(t, s, c
0) — порождающее решение (11) с элементом c0, который удовлетворяет
операторному уравнению для порождающих констант (12). В новых переменных будем
искать сильное обобщенное решение краевой задачи
dψ(t, ε)
dt
= −iH(t)ψ(t, ε) + εZ(ϕ0(t, s, c
0) + ψ(t, ε), t, ε), (14)
lψ(·, ε) = εJ (ϕ0(·, s, c0) + ψ(·, ε), ε), (15)
которое при ε = 0 обращается в нулевое решение. Разрешимость краевой задачи (14),
(15) эквивалентна разрешимости краевой задачи (1), (2). Используя непрерывную диф-
ференцируемость нелинейностей в окрестности порождающего решения, выделим ли-
нейную часть по ψ и члены нулевого порядка по ε. Тогда имеют место следующие разло-
жения:
Z(ϕ0(t, s, c
0) + ψ(t, s, ε), t, ε) = Z(ϕ0(t, s, c
0), t, 0) +A1(t)ψ(t, s, ε) +R(ψ(t, s, ε), t, ε),
J (ϕ0(·, s, c0) + ψ(·, s, ε), ε) = J (ϕ0(·, s, c0), ε) + lψ(·, s, ε) +R1(ψ(·, s, ε), ε),
где
A1(t) = A1(t, c
0) = Z(1)
ϕ (v, t, ε)|v=ϕ0(t,s,c0),ε=0, l = J (1)(ϕ0, 0)
— производные Фреше в точке ϕ = ϕ0(t, s, c
0), ε = 0, а для членов более высокого по-
рядкаR(ψ, t, ε),R1(ψ, ε) выполнены соотношения
R(0, t, 0) = 0, R(1)
ψ (0, t, 0) = 0, R1(0, 0) = 0, R(1)
1ψ (0, 0) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
108 А. А. ПОКУТНЫЙ
Таким образом, учитывая замену, будем рассматривать краевую задачу
dψ(t, ε)
dt
= −iH(t)ψ(t, ε) + ε{Z(ϕ0(t, s, c
0), t, 0) +A1(t)ψ(t, ε) +R(ψ(t, ε), t, ε)}, (16)
lψ(·, ε) = ε{J (ϕ0(·, s, c0), 0) + lψ(·, ε) +R1(ψ(·, ε), ε)}, (17)
которая имеет сильное обобщенное решение
ψ(t, s, c) = U(t, s)PN(Q)c+ ψ(t, s, ε), c ∈ H,
ψ(t, s, ε) = εU(t, s)Q
+{J (ϕ0(·, s, c0), 0) + lψ(·, s, ε) +R1(ψ(·, s, ε), ε)}+
+ εG[Z(ϕ0(·, s, c0), ·, 0) +A1(·)ψ(·, s, ε) +R(ψ(·, s, ε), ·, ε)](t, s)
при выполнении условия
PN(Q
∗
){J (ϕ0(·, s, c0), 0) + lψ(·, s, ε) +R1(ψ(·, s, ε), ε)}−
− PN(Q
∗
)l
·∫
s
U(·, τ){Z(ϕ0(τ, s, c
0), τ, 0) +A1(τ)ψ(τ, s, ε) +R(ψ(τ, s, ε), τ, ε)}dτ = 0.
Подставляя в линейную часть последнего выражения вместо ψ(t, s, ε) выражение
U(t, s)PN(Q)c+ ψ(t, s, ε)
и учитывая уравнение (12), получаем операторное уравнение относительно c ∈
∈ H :
B0c = PN(Q
∗
)l
·∫
s
U(·, τ){A1(τ)ψ(τ, s, ε) +R(ψ(τ, s, ε), τ, ε)}dτ−
− PN(Q
∗
){lψ(·, s, ε) +R1(ψ(·, s, ε), ε)}, (18)
где оператор B0 определяется следующим образом:
B0 = PN(Q
∗
)l
U(·, s)−
·∫
s
U(·, τ)A1(τ)U(τ, s)dτ
PN(Q).
Для сильной обобщенной разрешимости уравнения (18), согласно изложенному выше,
необходимо и достаточно выполнения условия
PN(B
∗
0)
{
PN(Q
∗
)l
·∫
s
U(·, τ)
{
A1(τ)ψ(τ, s, ε) +R(ψ(τ, s, ε), τ, ε)
}
dτ−
− PN(Q
∗
)
{
lψ(·, s, ε) +R1(ψ(·, s, ε), ε)
}}
= 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА . . . 109
которое будет заведомо выполняться, если PN(B
∗
0)
PN(Q
∗
) = 0. Решая (18) относительно
c, приходим к операторной системе
ψ(t, s, c) = U(t, s)PN(Q)c+ ψ(t, s, ε),
c = B
+
0
{
PN(Q
∗
)l
·∫
s
U(·, τ)
{
A1(τ)ψ(τ, s, ε) +R(ψ(τ, s, ε), τ, ε)
}
dτ−
− PN(Q
∗
)
{
lψ(·, s, ε) +R1(ψ(·, s, ε), ε)
}}
, (19)
ψ(t, s, ε) = εU(t, s)Q
+J (ϕ0(·, s, c0) + ψ(·, s, ε), ε) + εG[Z(ϕ0(·, s, c0) + ψ(·, s, ε), ·, ε)](t, s).
Введем вспомогательный вектор u = (ψ, c, ψ)T ∈ H × H × H (T обозначает операцию
транспонирования). Тогда операторную систему (19) можно записать в виде
u =
0 U(t, s)PN(Q) I
0 0 L1
0 0 0
u+
0
g1
g2
,
где
L1ψ = B+
0 PN(Q
∗
)l
·∫
s
U(·, τ)A1(τ)ψ(τ, s, ε)dτ − ψ(·, s, ε)
,
g1 = B+
0 PN(Q
∗
)
l
·∫
s
R(ψ(τ, s, ε), τ, ε)dτ −R1(ψ(·, s, ε), ε)
,
g2 = εU(t, s)Q
+J (ϕ0(·, s, c0) + ψ(·, s, ε), ε) + εG[Z(ϕ0(·, s, c0) + ψ(·, s, ε), ·, ε)](t, s).
В свою очередь эта операторная система эквивалентна следующей:
Lu = g, (20)
где
L =
I −U(t, s)PN(Q) −I
0 I −L1
0 0 I
, g =
0
g1
g2
.
ОператорL имеет ограниченный обратныйL−1.Действительно, операторL−1 можно
записать в явном виде
L−1 =
I −U(t, s)PN(Q) −U(t, s)PN(Q)L1 + I
0 I L1
0 0 I
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
110 А. А. ПОКУТНЫЙ
То, что так определенный оператор удовлетворяет равенству LL−1 = L−1L = I, про-
веряется непосредственной подстановкой. Ограниченность доказывается так же, как и в
[12]. Систему (20) можно записать в виде
u = L−1S(ε)u.
Для достаточно малого ε оператор S(ε) будет сжимающим. Тогда из принципа сжима-
ющих отображений будет следовать, что операторная система (20) имеет единственную
неподвижную точку, которая и дает ограниченное решение краевой задачи (1), (2). Таким
образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть для оператора B0 выполняется условие PN(B
∗
0)
PN(Q
∗
) = 0.
Тогда для произвольного элемента c = c0 ∈ H, удовлетворяющего уравнению для
порождающих констант, существует, по крайней мере, одно сильное обобщенное ре-
шение краевой задачи (1), (2). Это решение может быть найдено с помощью итераци-
онного процесса
ψk+1(t, s, ε) = εU(t, s)Q
+J (ϕ0(·, s, c0)+ψk(·, s, ε), ε)+εG[Z(ϕ0(·, s, c0) + ψk(·, s, ε), ·, ε)](t, s),
ck = B
+
0
{
PN(Q
∗
)l
·∫
s
U(·, τ){A1(τ)ψk(τ, s, ε) +R(ψk(τ, s, ε), τ, ε)}dτ−
− PN(Q
∗
){lψk(·, s, ε) +R1(ψk(·, s, ε), ε)}
}
,
ψk+1(t, s, c) = U(t, s)PN(Q)c+ ψk+1(t, s, ε),
ϕk(t, s, ε) = ϕ0(t, s, c
0)+ψk(t, s, ε), k = 0, 1, 2, . . . , ψ0(t, s, ε) = 0, ϕ(t, s, ε) = lim
k→∞
ϕk(t, s, ε).
Докажем следствие (вытекающее из теорем 1, 2), устанавливающее связь между не-
обходимым и достаточным условиями.
Следствие. Пусть оператор F (c) имеет производную Фреше F 1(c) для каждого эле-
мента c0 гильбертового пространства H, удовлетворяющего уравнению (12) для по-
рождающих констант. Если F 1(c) имеет ограниченный обратный, то краевая задача
(1), (2) имеет единственное решение для каждого c0.
Доказательство. Из теоремы о суперпозиции дифференцируемых отображений в гиль-
бертовом пространстве следует представление
F (1)(c)[h] = PN(Q
∗
)
{
J (1)(v, ε)|v=ϕ0,ε=0[ϕ
(1)
0 (·, s, c)[h]]−
− l
·∫
s
U(·, τ)Z(1)(v, τ, ε)|v=ϕ0,ε=0[ϕ
(1)
0 (τ, s, c)[h]]dτ
}
= B0[h].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА . . . 111
В силу обратимости оператора F (1)(c) оператор B0 также обратим. Благодаря этому
уравнение (12) имеет единственное решение для каждой константы c = c0, а тогда и
краевая задача (1), (2) также имеет единственное решение.
1. Копылова Е. А. Дисперсионные оценки для уравнений Шредингера и Клейна – Гордона // Успехи мат.
наук. — 2010. — 65, вып. 1(391). — С. 97 – 144.
2. Махмудов Н. М. Разрешимость краевых задач для уравнения Шредингера с чисто мнимым коэффи-
циентом // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. — 2011. — 11, вып. 1. — С. 31 – 38.
3. Murray J. D. Mathematical biology: I. An introduction. — Springer-Verlag, 2002. — 576 p.
4. Гарифулин Р. Н. Авторезонансное возбуждение солитона нелинейного уравнения Шредингера // Тру-
ды Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2012. — 18, № 2. — С. 62 – 66.
5. Алиев А. Р., Эйвазов Э. Х. Резольвентное уравнение одномерного магнитного оператора Шредингера
на всей оси // Сиб. мат. журн. — 2012. — 53, № 6. — С. 1201 – 1208.
6. Славнов Н. А. Введение в теорию квантовых интегрируемых систем. Квантовое нелинейное уравне-
ние Шредингера // Лекц. курсы НОЦ. — 2011. — 18. — С. 3 – 118.
7. Пригожин И. От существующего к возникающему. — М.: Наука, 1985. — 328 с.
8. Ляшко С. И., Номировский Д. А., Петунин Ю. И., Семенов В. В. Двадцатая проблема Гильберта. Обоб-
щенные решения операторных уравнений. — M.: Диалектика, 2009. — 185 с.
9. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: в 4 т. — Т.2: Гармонический анализ.
Самосопряженность. — М.: Мир, 1978. — 395 с.
10. Покутный А. А. Периодические решения уравнения Хилла // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16,
№ 1. — С. 111 – 117.
11. Pokutnyi A. A. Bounded solutions of linear and weakly nonlinear differential equations in a Banach space
with an unbounded operator in the linear part // Different. Equat. — 2012. — 48, № 6. — P. 803 – 813.
12. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized-inverse operators and Fredholm boundary value problems. —
Utrecht, Boston: VSP, 2004. — 317 p.
Получено 17.10.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2014, т . 17, N◦ 1
|