Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку iз розривною нелінійністю
Исследуются периодические решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с разрывной нелинейностью. Для уравнений, имеющих хаотические решения, найдено значение пространственной энтропии относительно периодических решений....
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Series: | Нелінійні коливання |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175869 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку iз розривною нелінійністю / I.Л. Нижник, А.О. Краснєєва // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 381-389. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175869 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1758692025-02-09T13:16:25Z Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку iз розривною нелінійністю Периодические решения дифференциальных уравнений второго порядка с разрывной нелинейностью Periodic solutions of second order differential equations with discontinuous nonlinearity Нижник, I.Л. Краснєєва, А.О. Исследуются периодические решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с разрывной нелинейностью. Для уравнений, имеющих хаотические решения, найдено значение пространственной энтропии относительно периодических решений. We study periodic solutions of second order differential equations with discontinuous nonlinearity. For equations that have chaotic solutions, we find the value of the spatial entropy with respect to periodic solutions. Автори вдячнi академiку А. М. Самойленку за постановку задачi i увагу до роботи. 2012 Article Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку iз розривною нелінійністю / I.Л. Нижник, А.О. Краснєєва // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 381-389. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175869 517.9 uk Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Исследуются периодические решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с разрывной нелинейностью. Для уравнений, имеющих хаотические решения, найдено значение пространственной энтропии относительно периодических решений. |
| format |
Article |
| author |
Нижник, I.Л. Краснєєва, А.О. |
| spellingShingle |
Нижник, I.Л. Краснєєва, А.О. Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку iз розривною нелінійністю Нелінійні коливання |
| author_facet |
Нижник, I.Л. Краснєєва, А.О. |
| author_sort |
Нижник, I.Л. |
| title |
Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку iз розривною нелінійністю |
| title_short |
Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку iз розривною нелінійністю |
| title_full |
Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку iз розривною нелінійністю |
| title_fullStr |
Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку iз розривною нелінійністю |
| title_full_unstemmed |
Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку iз розривною нелінійністю |
| title_sort |
періодичні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку iз розривною нелінійністю |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175869 |
| citation_txt |
Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку iз розривною нелінійністю / I.Л. Нижник, А.О. Краснєєва // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 381-389. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT nižnikil períodičnírozvâzkidiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdkuizrozrivnoûnelíníjnístû AT krasnêêvaao períodičnírozvâzkidiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdkuizrozrivnoûnelíníjnístû AT nižnikil periodičeskierešeniâdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasrazryvnojnelinejnostʹû AT krasnêêvaao periodičeskierešeniâdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkasrazryvnojnelinejnostʹû AT nižnikil periodicsolutionsofsecondorderdifferentialequationswithdiscontinuousnonlinearity AT krasnêêvaao periodicsolutionsofsecondorderdifferentialequationswithdiscontinuousnonlinearity |
| first_indexed |
2025-11-26T02:22:59Z |
| last_indexed |
2025-11-26T02:22:59Z |
| _version_ |
1849817863944142848 |
| fulltext |
УДК 517.9
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
ДРУГОГО ПОРЯДКУ IЗ РОЗРИВНОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ
I. Л. Нижник, А. О. Краснєєва
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, ул. Терещенкiвська, 3
We study periodic solutions of second order differential equations with discontinuous nonlinearity. For
equations that have chaotic solutions, we find the value of the spatial entropy with respect to periodic
solutions.
Исследуются периодические решения однородных дифференциальных уравнений второго по-
рядка с разрывной нелинейностью. Для уравнений, имеющих хаотические решения, найдено зна-
чение пространственной энтропии относительно периодических решений.
1. Вступ. Диференцiальнi рiвняння з розривною нелiнiйнiстю вiдiграють важливу роль в
теорiї диференцiальних рiвнянь [1 – 3], оскiльки вони виникають у рiзних роздiлах фiзики,
механiки, технiки [4 – 6]. Такi рiвняння описують рiзнi типи нелiнiйних коливань. У зв’язку
з цим важливим i актуальним є дослiдження коливних та, зокрема, перiодичних розв’язкiв
таких рiвнянь, їх ефективна побудова.
У данiй роботi дослiджуються перiодичнi розв’язки диференцiального рiвняння дру-
гого порядку iз розривною нелiнiйнiстю
y
′′
+Ay
′
+By = Csign y, (1)
де A, B, C — сталi, C 6= 0.
Вивчення рiвняння (1) потребує насамперед уточнення поняття розв’язку. Найбiльш
загальне означення розв’язкiв диференцiальних рiвнянь iз розривною нелiнiйнiстю по-
в’язане з iнтерпретацiєю цього рiвняння як диференцiального включення [3]. Рiвнян-
ню (1) вiдповiдає диференцiальне включення, якщо у правiй частинi рiвняння (1) вва-
жати sign 0 = [−1, 1]. Проте, оскiльки рiвняння (1) однорiдне (функцiя, тотожно рiвна
нулю, є його розв’язком), для нього можна навести еквiвалентне, бiльш просте означен-
ня розв’язку, аналогiчне введеному в [9].
Означення 1. Пiд розв’язком рiвняння (1) будемо розумiти неперервно диференцi-
йовну функцiю y(x), яка поза своїми нулями є класичним розв’язком рiвняння (1).
2. Класифiкацiя рiвнянь. Виконавши у рiвняннi (1) замiну x → αx, y → ky, можна
обмежитись розглядом таких випадкiв:
y
′′
= sign y, (2)
y
′′
= −sign y (3)
c© I. Л. Нижник, А. О. Краснєєва, 2012
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3 381
382 I. Л. НИЖНИК, А. О. КРАСНЄЄВА
при умовi A = 0, B = 0,
y
′′ − y′
= sign y, (4)
y
′′ − y′
= −sign y (5)
при умовi A 6= 0, B = 0,
y
′′
+ y = sign y, (6)
y
′′
+ y = −sign y, (7)
y
′′ − y = sign y, (8)
y
′′ − y = −sign y (9)
при умовi A = 0,
y
′′ − 2y
′
+ (1− β2)y = sign y, β ≥ 0, β 6= 1, (10)
y
′′ − 2y
′
+ (1− β2)y = −sign y, β ≥ 0, β 6= 1, (11)
y
′′ − 2y
′
+ (1 + β2)y = sign y, β > 0, (12)
y
′′ − 2y
′
+ (1 + β2)y = −sign y, β > 0, (13)
при умовi A 6= 0, B 6= 0.
Легко бачити, що якщо y(x) — розв’язок рiвняння (1), то ±y(x + a), де a — стала, є
розв’язками рiвняння (1). Цi розв’язки називатимемо еквiвалентними.
3. Коливнi розв’язки.
Теорема 1. Рiвняння (2), (4), (8), (10) не мають коливних розв’язкiв, тобто розв’язкiв
не менш нiж з двома нулями, мiж якими цi розв’язки вiдмiннi вiд тотожного нуля.
Доведення. Нехай y(x) — коливний розв’язок одного iз рiвнянь (2), (4), (8), (10). Оскiль-
ки функцiя y(x) є неперервною i мiж своїми двома нулями вiдмiнною вiд тотожного нуля,
то iснує скiнченний iнтервал (α, β), на якому y(x) набуває значень одного знака, а на кiн-
цях iнтервалу дорiвнює нулю y(α) = y(β) = 0. З огляду на те, що у розв’язкiв рiвнянь
(1) можна мiняти знак i робити зсув по x, не порушуючи загальностi можна вважати, що
iнтервал (α, β) = (0, ε) i розв’язок y(x) > 0 при x ∈ (0, ε), а y(0) = y(ε) = 0.
Для рiвняння (2) такi розв’язки мають вигляд
y(x) =
1
2
x2 + C1x, C1 ≥ 0,
i є додатними на пiвосi (0,∞).
Для рiвняння (4) такi розв’язки мають вигляд
y(x) = −x+ C1(expx− 1), C1 ≥ 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 383
i є додатними на пiвосi (0,∞).
Для рiвняння (8) такi розв’язки мають вигляд
y(x) = −1 + coshx+ C1sinhx, C1 ≥ 0,
i є додатними на пiвосi (0,∞).
Для рiвняння (10) такi розв’язки мають вигляд
y(x) =
1− expx+ C1x expx, C1 ≥ 1, β = 0,
1
1− β2
(1− expxcosh (βx) + C2 exp(x)sinh (βx)), C2 ≥
1
β
, β < 1,
1
β2 − 1
(
−1 + exp((1− β)x)+
+C3(exp((1 + β)x)− exp((1− β)x))
)
, C3 ≥
β − 1
2β
, β > 1,
i є додатними на пiвосi (0,∞).
Тому y(ε) > 0, що суперечить припущенню iснування коливних розв’язкiв.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Рiвняння (5), (11), (12), (13) мають коливнi розв’язки, проте не мають
перiодичних розв’язкiв.
Доведення. Нехай y(x) — розв’язок рiвнянь (5), (11), (12), (13) такий, що y(0) = 0,
y(l) = 0 i y(x) > 0 при 0 < x < l.
Для рiвняння (5) такий розв’язок має вигляд
y(x) = x+
l
el − 1
(1− ex). (14)
Для рiвняння (11) розв’язок має вигляд
y(x) =
1
1− β2
(
− 1 + exp((1 + β)x)+
+
exp(−l)− exp(βl)
2sinh (βl)
(exp((1 + β)x)− exp((1− β)x))
)
, 0 < β < 1,
−1 + expx+
exp(−l)− 1
l
x exp x, β = 0,
1
β2 − 1
(
1− exp((1 + β)x)+
+
exp(βl)− exp(−l)
2sinh (βl)
(exp((1 + β)x)− exp((1− β)x))
)
, β > 1.
(15)
Для рiвняння (12) розв’язок має вигляд
y(x) =
1
1 + β2
[
1− expx cosβx+
cosβl − exp(−l)
sinβl
expx sinβx
]
, π < βl < 2π. (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
384 I. Л. НИЖНИК, А. О. КРАСНЄЄВА
Для рiвняння (13) розв’язок має вигляд
y(x) =
1
1 + β2
[
−1 + expx cosβx+
exp(−l)− cosβl
sinβl
expx sinβx
]
, βl < π. (17)
Легко бачити, що z = y
′
(l) + y
′
(0) має вигляд
z = 2− l
cosh l
2
sinh l
2
(18)
для розв’язку (14),
z =
2
1− β2
(
1− β sinh l
sinh (βl)
)
(19)
для розв’язку (15),
z =
2
1 + β2
(
1− β sinh l
sinβl
)
, 0 < βl < π, (20)
для розв’язку (16),
z =
2
1 + β2
(
β
sinh l
sinβl
− 1
)
, π < βl < 2π, (21)
для розв’язку (17).
Формули (18) – (21) показують, що похiдна на правому кiнцi iнтервалу (0, l) за моду-
лем бiльша за похiдну на лiвому кiнцi. Тому при послiдовному переходi через iнтервали
знакосталостi розв’язкiв похiдна на їхнiх кiнцях весь час зростає. Це означає, що коливнi
розв’язки рiвнянь (5), (11) – (13) не можуть бути перiодичними.
Теорему 2 доведено.
На рис. 1 зображено коливний розв’язок y(x) = x+
l(1− ex)
el − 1
, l = 0, 5, рiвняння (5) на
iнтервалi [0, l] та його продовження.
Рис. 1. Коливний розв’язок рiвняння (5).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 385
Рис. 2. Перiодичний розв’язок (22) рiвняння (3),
L = 2.
4. Перiодичнi розв’язки.
Теорема 3. Рiвняння (3), (6), (7), (9) мають перiодичнi розв’язки, якi можна зобрази-
ти в явному виглядi.
Доведення. У випадку рiвняння (3) розв’язок, що набуває додатних значень на iнтер-
валi (0, l), а на кiнцях iнтервалу дорiвнює нулю, має вигляд
y(x) =
1
2
x(l − x).
Тому 2l-перiодичнi розв’язки мають вигляд кускiв парабол (рис. 2)
y(x) =
(−1)k
2
(x− kl)((k + 1)l − x), kl ≤ x ≤ (k + 1)l, k ∈ Z. (22)
Для рiвняння (3) перiодичнi розв’язки iснують для довiльного перiоду L = 2l > 0.
У випадку рiвняння (9) маємо тривiальнi розв’язки±1, 0, перiодичнi розв’язки iснують
при довiльному L = 2l > 0 i мають вигляд (рис. 3)
y(x) = 1−
cosh (x− l
2)
cosh l
2
, 0 ≤ x ≤ l, (23)
y(x) = −y(x− l), l ≤ x ≤ 2l = L.
У випадку рiвняння (7) маємо тривiальнi розв’язки ±1, 0, нетривiальнi перiодичнi з
простими нулями розв’язки iснують при 0 < l < π, L = 2l i мають вигляд (рис. 4)
y(x) = −1 +
cos(x− l
2)
cos l
2
, 0 ≤ x ≤ l, (24)
y(x+ l) = −y(x), l ≤ x ≤ 2l = L.
У випадку рiвняння (6) маємо тривiальнi розв’язки ±1, 0, а розв’язки, що набувають
додатних заначень, мають вигляд y(x) = 1+C1 cos(x−θ), 0 ≤ C1 < 1, i є 2π-перiодичними.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
386 I. Л. НИЖНИК, А. О. КРАСНЄЄВА
Рис. 3. Перiодичний розв’язок (23) рiвняння (9),
L = 30.
Рис. 4. Перiодичний розв’язок (24) рiвняння (7),
L = 6.
Рис. 5. Перiодичний розв’язок (25) рiвняння (6),
L = 12.
Нетривiальнi перiодичнi з простими нулями розв’язки iснують при π < l < 2π, L = 2l i
мають вигляд (рис. 5)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 387
Рис. 6. Перiодичний розв’язок рiвняння (6),
L = 35.
y(x) = 1−
cos(x− l
2)
cos l
2
, 0 ≤ x ≤ l, (25)
y(x+ l) = −y(x), l ≤ x ≤ 2l = L.
Розв’язок y(x) = 1− cosx, x ∈ [0, 2π], разом з його похiдною дорiвнюють нулю на кiн-
цях iнтервалу. Тому кожний набiр неперетинних пiдiнтервалiв Ik довжини 2π, на кожному
з яких розв’язок з точнiстю до знака та зсуву по x має вигляд 1 − cosx i дорiвнює нулю
зовнi всiх Ik, породжує розв’язок рiвняння (6) (рис. 6).
У випадку рiвнянь (6) перiодичнi розв’язки з iзольованими нулями є двох видiв: iз прос-
тими нулями вигляду (25) та з двократними нулями на перiодi L = 2Nπ, де N — цiле
число, i мають вигляд ±(1− cosx) на iнтервалах [2(k − 1)π, 2kπ], k − 1, 2, . . . , N.
5. Хаотичнi розв’язки. Ентропiя. Наведемо означення ентропiї для рiвняння (1) по
аналогiї з даним у роботах [8, 9].
Нехай S(L) — число всiх нееквiвалентних перiодичних розв’язкiв рiвняння (1) з iзо-
льованими нулями з найменшим перiодом L.
Означення 2. Число
η = lim
L→∞
1
L
ln S(L), (26)
називатимемо просторовою ентропiєю рiвняння (1) вiдносно перiодичних розв’язкiв.
Теорема 4. Просторова ентропiя рiвняння y
′′
+ y = sign y вiдносно перiодичних
розв’язкiв визначається числом
η =
ln 2
2π
. (27)
Доведення. Нехай L = 2Nπ, де N — цiле число. Розiб’ємо iнтервал [0, L] на N послi-
довних iнтервалiв довжини 2π. На кожному iз них розв’язок має вигляд ±(1− cosx), тому
число S(L) всiх нееквiвалентних розв’язкiв має оцiнку
S(L) ≤ 2N .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
388 I. Л. НИЖНИК, А. О. КРАСНЄЄВА
З iншого боку, змiна знака i зсуви на 2π приводять до еквiвалентних розв’язкiв. Тому
S(L) ≥ 1
2N
2N .
Отже, ентропiя, з одного боку, має оцiнку
η ≤ lim
N→∞
ln 2N
2Nπ
=
ln 2
2π
,
а з iншого —
η ≥ lim
N→∞
ln( 1
2N 2N )
2Nπ
=
ln 2
2π
.
Додатнiсть просторової ентропiї показує, що рiвняння y
′′
+ y = sign y може мати „ха-
отичнi” розв’язки [7 – 9].
По аналогiї з означенням, даним у роботах [8, 9], наведемо наступне строге означення
хаотичного розв’язку.
Означення 3. Будемо казати, що диференцiальне рiвняння має хаотичнi розв’язки,
якщо iснують число d > 0 i iнтервал I = [a, b], b > a, такi, що для довiльної послi-
довностi аргументiв xk, xk+1 − xk ≥ d i довiльної послiдовностi значень yk ∈ I iснує
розв’язок диференцiального рiвняння такий, що
y(xk) = yk. (28)
Iншими словами, iснує розв’язок диференцiального рiвняння, графiк якого проходить
через наперед задану послiдовнiсть точок Ak(xk, yk), абсциси яких xk вiдрiзняються не
менш нiж на d, а ординати yk належать iнтервалу I.
Теорема 5. Диференцiальне рiвняння y
′′
+ y = sign y має хаотичнi розв’язки в сенсi
означення 3.
Доведення. Покладемо d = 4π, I = [−2, 2]. Нехай задано точки Ak(xk, yk), де xk+1 −
−xk ≥ 4π, yk ∈ [−2, 2]. Побудуємо розв’язки yk(x) рiвняння рiвняння y
′′
+ y = sign y,
якi задовольняють початковi умови yk(xk) = yk y
′(xk) =
√
1− (|yk| − 1)2. Розв’язки yk(x)
мають вигляд yk(x) = sign yk[1−cos(x−ak)], де числа ak визначаються iз рiвностi cos(xk−
−ak) = 1 − |yk|. Розв’язки yk(x) однозначно визначенi на iнтервалах Ik довжини 2π, що
мiстять точку xk, i дорiвнюють нулю разом iз похiдною на кiнцях iнтервалiв Ik. Оскiльки
за умовою xk+1−xk ≥ d = 4π, то iнтервали Ik не перетинаються. Розв’язок y(x) рiвняння
y
′′
+ y = sign y, який збiгається з yk(x) на iнтервалах Ik i дорiвнює тотожному нулю зовнi
всiх Ik, буде задовольняти означення 3.
Зауваження. Як випливає з теорем 1 – 5, рiвняння вигляду (1) мають хаотичнi розв’яз-
ки лише у випадку, коли рiвняння (1) зводяться до вигляду y
′′
+ y = sign y.
Автори вдячнi академiку А. М. Самойленку за постановку задачi i увагу до роботи.
1. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные то-
ры. — М.: Наука, 1987.
2. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ . . . 389
3. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
4. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз, 1959.
5. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. — М.: Наука,
1987.
6. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Хаотические и стохастические колебания. — М.: Наука, 1987.
7. Robinson C. Dynamical systems; stability, symbolic dynamics, and chaos // Stud. Adv. Math. — Boca Raton,
FL: CRC Press, 1999.
8. Albeverio S., Nizhnik I. Spatial chaos in a fourth-order nonlinear parabolic equation // Phys. Lett. A. — 2001.
— 288. — P. 299 – 304.
9. Самойленко А. М., Нижник I. Л. Обмеженi розв’язки рiвняння четвертого порядку з модельною бi-
стiйкою нелiнiйнiстю // Укр. мат. вiсн. — 2009. — 6, № 3. — C. 400 – 424.
Отримано 13.12.10,
пiсля доопрацювання — 21.12.11
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
|