О существовании и связности глобального аттрактора для решений трехмерной системы Бенарда, удовлетворяющих системе энергетических неравенств
Доведено iснування та зв’язнiсть глобального атрактора для багатозначного напiвпотоку, породженого слабкими розв’язками тривимiрної системи Бенарда, що задовольняють систему енергетичних нерiвностей....
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Series: | Нелінійні коливання |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175872 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О существовании и связности глобального аттрактора для решений трехмерной системы Бенарда, удовлетворяющих системе энергетических неравенств / О.В. Капустян, А.В. Паньков, Х. Валеро // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 354-366. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175872 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1758722025-02-09T22:34:31Z О существовании и связности глобального аттрактора для решений трехмерной системы Бенарда, удовлетворяющих системе энергетических неравенств Про існування та зв'язність глобального атрактора для розв’язків тривимірної системи Бенарда, що задовольняють систему енергетичних нерівностей On existence and connectedness of a global attractor for the solutions of a Bénard system that satisfy a system of energy inequalities Капустян, О.В. Паньков, А.В. Валеро, Х. Доведено iснування та зв’язнiсть глобального атрактора для багатозначного напiвпотоку, породженого слабкими розв’язками тривимiрної системи Бенарда, що задовольняють систему енергетичних нерiвностей. We prove existence and connectedness of a global attractor for a multivalued semiflow generated by the weak solutions of a three dimensional Benard system that satisfy a system of energy inequalities. 2012 Article О существовании и связности глобального аттрактора для решений трехмерной системы Бенарда, удовлетворяющих системе энергетических неравенств / О.В. Капустян, А.В. Паньков, Х. Валеро // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 354-366. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175872 517.9 ru Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Доведено iснування та зв’язнiсть глобального атрактора для багатозначного напiвпотоку, породженого слабкими розв’язками тривимiрної системи Бенарда, що задовольняють систему енергетичних нерiвностей. |
| format |
Article |
| author |
Капустян, О.В. Паньков, А.В. Валеро, Х. |
| spellingShingle |
Капустян, О.В. Паньков, А.В. Валеро, Х. О существовании и связности глобального аттрактора для решений трехмерной системы Бенарда, удовлетворяющих системе энергетических неравенств Нелінійні коливання |
| author_facet |
Капустян, О.В. Паньков, А.В. Валеро, Х. |
| author_sort |
Капустян, О.В. |
| title |
О существовании и связности глобального аттрактора для решений трехмерной системы Бенарда, удовлетворяющих системе энергетических неравенств |
| title_short |
О существовании и связности глобального аттрактора для решений трехмерной системы Бенарда, удовлетворяющих системе энергетических неравенств |
| title_full |
О существовании и связности глобального аттрактора для решений трехмерной системы Бенарда, удовлетворяющих системе энергетических неравенств |
| title_fullStr |
О существовании и связности глобального аттрактора для решений трехмерной системы Бенарда, удовлетворяющих системе энергетических неравенств |
| title_full_unstemmed |
О существовании и связности глобального аттрактора для решений трехмерной системы Бенарда, удовлетворяющих системе энергетических неравенств |
| title_sort |
о существовании и связности глобального аттрактора для решений трехмерной системы бенарда, удовлетворяющих системе энергетических неравенств |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175872 |
| citation_txt |
О существовании и связности глобального аттрактора для решений трехмерной системы Бенарда, удовлетворяющих системе энергетических неравенств / О.В. Капустян, А.В. Паньков, Х. Валеро // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 354-366. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT kapustânov osuŝestvovaniiisvâznostiglobalʹnogoattraktoradlârešeniitrehmernoisistemybenardaudovletvorâûŝihsistemeénergetičeskihneravenstv AT panʹkovav osuŝestvovaniiisvâznostiglobalʹnogoattraktoradlârešeniitrehmernoisistemybenardaudovletvorâûŝihsistemeénergetičeskihneravenstv AT valeroh osuŝestvovaniiisvâznostiglobalʹnogoattraktoradlârešeniitrehmernoisistemybenardaudovletvorâûŝihsistemeénergetičeskihneravenstv AT kapustânov proísnuvannâtazvâznístʹglobalʹnogoatraktoradlârozvâzkívtrivimírnoísistemibenardaŝozadovolʹnâûtʹsistemuenergetičnihnerívnostei AT panʹkovav proísnuvannâtazvâznístʹglobalʹnogoatraktoradlârozvâzkívtrivimírnoísistemibenardaŝozadovolʹnâûtʹsistemuenergetičnihnerívnostei AT valeroh proísnuvannâtazvâznístʹglobalʹnogoatraktoradlârozvâzkívtrivimírnoísistemibenardaŝozadovolʹnâûtʹsistemuenergetičnihnerívnostei AT kapustânov onexistenceandconnectednessofaglobalattractorforthesolutionsofabenardsystemthatsatisfyasystemofenergyinequalities AT panʹkovav onexistenceandconnectednessofaglobalattractorforthesolutionsofabenardsystemthatsatisfyasystemofenergyinequalities AT valeroh onexistenceandconnectednessofaglobalattractorforthesolutionsofabenardsystemthatsatisfyasystemofenergyinequalities |
| first_indexed |
2025-12-01T11:10:26Z |
| last_indexed |
2025-12-01T11:10:26Z |
| _version_ |
1850304026579566592 |
| fulltext |
УДК 517.9
О СУЩЕСТВОВАНИИ И СВЯЗНОСТИ ГЛОБАЛЬНОГО АТТРАКТОРА
ДЛЯ РЕШЕНИЙ ТРЕХМЕРНОЙ СИСТЕМЫ БЕНАРДА,
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ СИСТЕМЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
О. В. Капустян, А. В. Паньков
Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко
Украина, 03680, Киев, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 7
e-mail: alexkap@univ.kiev.ua
coldflame@ukr.net
Х. Валеро
Университет Мигуеля Эрнандеса
Аликанте, Испания
e-mail:jralero@umh.es
We prove existence and connectedness of a global attractor for a multivalued semiflow generated by the
weak solutions of a three dimensional Bénard system that satisfy a system of energy inequalities.
Доведено iснування та зв’язнiсть глобального атрактора для багатозначного напiвпотоку,
породженого слабкими розв’язками тривимiрної системи Бенарда, що задовольняють систему
енергетичних нерiвностей.
Введение. Трехмерная система Бенарда является известной моделью в гидродинамике,
которая описывает скорость, давление и температуру вязкой несжимаемой жидкости
[1 – 3]. Известные на сегодня результаты о ее глобальной разрешимости не гарантиру-
ют единственности решений задачи Коши, поэтому для описания динамики этой систе-
мы естественно использовать теорию многозначных полупотоков [4 – 6]. Существова-
ние глобального аттрактора в слабой топологии фазового пространства для полупото-
ка, порожденного всеми слабыми решениями, было доказано в [6]. В [7] на слабых ре-
шениях, полученных как пределы решений аппроксимационных задач, был построен m-
полупоток, для которого в круге диссипативности доказано существование глобального
аттрактора в топологии пространства Hw × L2(Ω). В данной работе для более широкого
класса слабых решений установлено энергетическое неравенство в пространстве L4(Ω),
с помощью которого для соответствующего m-полупотока доказано существование и
связность глобального аттрактора в пространстве Hw × L2(Ω).
Постановка задачи. В ограниченной области Ω ⊂ R3 с гладкой границей рассматри-
ваем задачу
∂u
∂t
− ν M u+ (uO)u+ ξω = f − Op,
div u = 0, (1)
u|∂Ω = 0,
c© О. В. Капустян, А. В. Паньков, Х. Валеро, 2012
354 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
О СУЩЕСТВОВАНИИ И СВЯЗНОСТИ ГЛОБАЛЬНОГО АТТРАКТОРА . . . 355
∂ω
∂t
− M ω + (uO)ω = g,
(2)
ω|∂Ω = 0,
где ν > 0, ξ ∈ R3 — константы; f : Ω → R3, g : Ω → R — заданные функции; uO =
=
∑3
i=1 ui
∂
∂xi
.
Будем рассматривать стандартные функциональные пространства [1 – 3]
H = cl(L2(Ω))3
{
u ∈ (C∞0 (Ω))3 | div u = 0
}
, V = cl(H1
0 (Ω))3
{
u ∈ (C∞0 (Ω))3 | div u = 0
}
с нормами ‖ · ‖, ‖ · ‖1 и скалярными произведениями (·, ·), (·, ·)1. Так же будем обозначать
нормы и скалярные произведения в пространствах L2(Ω), H1
0 (Ω) соответственно.
Использовав трилинейные формы
b(u, v, z) =
∫
Ω
3∑
i,j=1
ui
∂vj
∂xi
zj dx, c(u, ω, η) =
∫
Ω
3∑
i=1
ui
∂ω
∂xi
η dx,
сформулируем слабую постановку задачи (1), (2) на (0, T ) [1 – 3, 6]: найти ϕ = {u, ω} из
класса
WT = (L2(0, T ;V ) ∩ L∞(0, T ;H))× (L2(0, T ;H1
0 (Ω)) ∩ L∞(0, T ;L2(Ω)))
такую, что для всех v ∈ V, η ∈ H1
0 (Ω) выполнены равенства
d
dt
(u, v) + ν(u, v)1 + b(u, u, v) + (ξω, v) = (f, v),
d
dt
(ω, η) + (ω, η)1 + c(u, ω, η) = (g, η)
в смысле скалярных распределений на (0, T ).
Известно [3, 6], что для f ∈ H, g ∈ L2(Ω) и для любых ϕ0 = {u0, ω0} ∈ X := H ×
×L2(Ω), T > 0 существует хотя бы одно решение ϕ = {u, ω} задачи (1), (2) в приведенном
выше смысле, которое удовлетворяет условию ϕ(0) = ϕ0, причем ϕ ∈ C([0, T ];Xω) и
имеют место энергетические неравенства в фазовом пространстве X.
Цель данной работы заключается в том, чтобы при дополнительном условии g ∈
∈ L4(Ω) выделить класс решений задачи (1), (2), удовлетворяющих энергетическому не-
равенству в пространстве L4(Ω) по второй компоненте фазового вектора, и доказать, что
такие решения порождают многозначный полупоток, для которого существует связный
глобальный аттрактор в топологии пространства Hω × L2(Ω).
Основные результаты. Пусть (Y, ρ) — полное метрическое пространство, P (Y ), β(Y )
— совокупность всех непустых и непустых ограниченных подмножеств Y.
Определение 1 [4, 8]. Отображение G : R+ × Y 7→ P (Y ) — m-полупоток, если:
1) G(0, y) = y ∀y ∈ Y,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
356 О. В. КАПУСТЯН, А. В. ПАНЬКОВ, Х. ВАЛЕРО
2) G(t+ s, y) ⊆ G(t, G(s, y)) ∀t, s ≥ 0 ∀y ∈ Y.
Определение 2 [4, 8]. Компакт Θ ⊂ Y — глобальный аттрактор m-полупотока G,
если:
1) Θ ⊆ G(t,Θ) ∀t ≥ 0,
2) ∀B ∈ β(Y ) dist (G(t, B), A) → 0, t → ∞, где dist (K,L) = sup
x∈K
inf
y∈L
ρ(x, y) — полу-
метрика Хаусдорфа.
Лемма 1. Если m-полупоток G удовлетворяет свойствам:
1) ∃B0 ∈ β(Y ) ∀B ∈ β(Y ) ∃T = T (B) ∀t ≥ T : G(t, B) ⊂ B0,
2) ∀t > 0 G(t, ·) имеет замкнутый график,
3) ∀t > 0 ∀B ∈ β(Y ) G(t, B) — предкомпакт,
то существует глобальный аттрактор Θ. Если, кроме того,
4) существует B1 ∈ β(Y ) связное и такое, что Θ ⊂ B1,
5) ∀t > 0 ∀x ∈ B1 G(t, x) — связное множество,
то Θ — связное множество.
Доказательство. Существование глобального аттрактора Θ при выполнении усло-
вий 1 – 3 следует из теоремы 2.17 [8]. Покажем, что для любого t > 0 отображение
x 7→ G(t, x) полунепрерывно сверху. Поскольку в силу условий 2, 3 множество G(t, x)
компактно, рассуждая от противного, имеем существование x0 ∈ Y, ε > 0, δn ↘ 0,
xn ∈ Oδn(x0), yn ∈ G(t, xn) таких, что yn 6∈ Oε(G(t, x0)). В силу условия 3 последова-
тельность {yn} предкомпактна, т. е. по подпоследовательности yn → y0 6∈ Oε(G(t, x0)). С
другой стороны, в силу условия 2 y0 принадлежит G(t, x0). Получили противоречие.
Теперь пусть множество Θ не связно. Тогда существуют открытые множества A1, A2
такие, что Θ ∩ A1 6= ∅, Θ ∩ A2 6= ∅, Θ ⊂ A1 ∪ A2, A1 ∩ A2 = ∅. В силу полунепре-
рывности сверху G(t, ·) и связности G(t, x) множество G(t, B1) связно. Тогда из вложений
Θ ⊂ G(t,Θ) ⊂ G(t, B1) имеем G(t, B1) ∩ A1 6= ∅, G(t, B1) ∩ A2 6= ∅, G(t, B1) 6⊂ A1 ∪ A2
∀t > 0 Возьмем tn ↗ +∞. Тогда существуют ξn ∈ G(tn, B1) такие, что ξn 6∈ A1 ∪ A2.
Однако для достаточно больших n ≥ 1 ξn ∈ G(tn, B1) ⊂ G(1, B0) и из условия 3 по под-
последовательности ξn → ξ 6∈ A1 ∪ A2. С другой стороны, из определения аттрактора ξ
принадлежит Θ. Полученное противоречие доказывает лемму.
Для задачи (1), (2) обозначим через A1 : V → V ∗, A2 : H1
0 (Ω) → H−1(Ω) линей-
ные операторы, порожденные формами 〈A1u, v〉 = (u, v)1, 〈A2ω, η〉 = (ω, η)1, λ1 > 0
— минимальные среди собственных значений операторов A1, A2, {ψj}∞j=1 ⊂ D(A1) =
= (H2(Ω))3 ∩ V — собственные функции оператора A1, которые образуют ортонорми-
рованный базис в H, Hm — подпространство, порожденное {ψj}mj=1, Pm : H → Hm —
соответствующий ортопроeктор.
Теорема 1. Пусть f ∈ H, g ∈ L4(Ω). Тогда для любых ϕ0 = {u0, ω0} ∈ X и T > 0
существует хотя бы одно решение задачи (1), (2) на (0, T ) ϕ(·) = {u(·), ω(·)}, ϕ(0) = ϕ0
такое, что ω ∈ C((0, T ];L2(Ω))∩C((0, T ];L4
ω(Ω)), и выполнены энергетические неравен-
ства
∀t ≥ s, для п. в. s > 0 и для s = 0 :
Vf (u, ω)(t) :=
1
2
‖u(t)‖2 + ν
t∫
0
‖u(p)‖21 dp+
t∫
0
(ξω, u) dp−
t∫
0
(f, u)dp ≤ Vf (u, ω)(s), (3)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
О СУЩЕСТВОВАНИИ И СВЯЗНОСТИ ГЛОБАЛЬНОГО АТТРАКТОРА . . . 357
Ψ(u, ω)(t) :=
(
‖u(t)‖2 − 2
ν2λ2
1
‖f‖2
)
eνλ1t − 2|ξ|2
νλ1
t∫
0
‖ω(p)‖2eνλ1p dp ≤ Ψ(u, ω)(s), (4)
∀t ≥ s ≥ 0 :
Vg(ω)(t) :=
1
2
‖ω(t)‖2 +
t∫
0
‖ω(p)‖21 dp−
t∫
0
(g, ω(p)) dp ≤ Vg(ω)(s), (5)
F (ω)(t) :=
(
‖ω(t)‖2 − ‖g‖
2
λ2
1
)
eλ1t ≤ F (ω)(s). (6)
Для этого решения при t ≥ s для п. в. s > 0 также имеет место энергетическое нера-
венство
‖ω(t)‖4L4 ≤ ‖ω(s)‖4L4e
3(t−s) +
1
3
‖g‖4L4(e3(t−s) − 1). (7)
Если же ω0 ∈ L4(Ω), то ω ∈ C([0, T ];L4
ω(Ω)) и (7) имеет место и для s = 0.
Доказательство. Рассмотрим для каждого m ≥ 1 вспомогательную задачу относи-
тельно неизвестных функций um(t, x) =
∑m
i=1 gimψi(x), ωm(t, x) :
dum
dt
+ νA1u
m + PmB(um, um) + Pm(ξωm) = Pmf,
um(0) = um0 ∈ Hm,
dωm
dt
+A2ω
m + C(um, ωm) = g,
ωm(0) = ωm0 ∈ H1
0 (Ω),
где um0 → u0 в H, ωm0 → ω0 в L2(Ω), элементы B(u, v) ∈ V ∗, C(u, ω) ∈ H−1(Ω) определя-
ются равенствами
〈B(u, v), z〉 = b(u, v, z) ∀z ∈ V,
〈C(u, ω), η〉 = c(u, ω, η) ∀η ∈ H1
0 (Ω).
С помощью галеркинских аппроксимаций [6], [7] (лемма 1) можно показать, что для
любых m ≥ 1 и T > 0 существует единственное решение этой задачи Коши ϕm =
= {um, ωm} ∈ WT , которое при t ≥ s ≥ 0 удовлетворяет (3) – (6). Кроме этого, согласно
лемме 9 [6]
dωm
dt
∈ L2(0, T ;H−1(Ω)) и при t ≥ s ≥ 0 функция ωm удовлетворяет (7).
Оценки (3) – (6) позволяют воспользоваться леммой о компактности [9, 10] для троек
пространств
L2(0, T ;V ) ⊂ L2(0, T ;H) ⊂ L
4
3 (0, T ;V ∗),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
358 О. В. КАПУСТЯН, А. В. ПАНЬКОВ, Х. ВАЛЕРО
L2(0, T ;H1
0 (Ω)) ⊂ L2(0, T ;L2(Ω)) ⊂ L
4
3 (0, T ;H−1(Ω))
и получить, что по подпоследовательности
ϕm → ϕ слабо в L2(0, T ;V )× L2(0, T ;H1
0 (Ω)),
ϕm → ϕ в L2(0, T ;X), (8)
ϕm(t) → ϕ(t) в X для п. в. t ∈ (0, T ) и слабо для любого t ∈ [0, T ],
где ϕ = {u, ω} ∈ WT , ϕ(0) = ϕ0 — решение задачи (1), (2) на (0, T ). Из (8) имеем, что ϕ
удовлетворяет (3) – (6) при t ≥ s для п. в. s > 0 и для s = 0.
Теперь пусть ε > 0 любое. Поскольку ωm0 → ω0 в L2(Ω), из (5) следует, что для s = 0
существует константа K > 0, не зависящая от ε, m, такая, что
ε∫
0
‖ωm(t)‖21 dt ≤ K. (9)
Тогда существует θmε ∈ (0, ε) такое, что ‖ωm(θmε )‖21 ≤
K
ε
, и из непрерывности вложения
H1
0 (Ω) ⊂ L4(Ω) и (7) имеем
∃ C(ε) > 0 ∀t ∈ [ε, T ] : ‖ωm(t)‖4L4 ≤ C(ε)e3T .
Последовательность {ωm} ограничена в L∞(ε, T ;L4(Ω)). Используя компактное вложе-
ние H1
0 (Ω) ⊂ L4(Ω) и лемму о компактности для тройки пространств
L2(ε, T ;H1
0 (Ω)) ⊂ L2(ε, T ;L4(Ω)) ⊂ L
4
3 (ε, T ;H−1(Ω)),
убеждаемся, что по подпоследовательности ωm(t) → ω(t) в L4(Ω) для п. в. t ∈ (ε, T ) и
слабо для любого t ∈ [ε, T ]. Переходя к границе при m → ∞ в (7), в силу произвольности
ε > 0 имеем выполнение (7) для функции ω(·) при любом t ≥ s для п. в. s > 0, а также
вложение ω ∈ C((0, T ];L4
ω(Ω)) [1] (лемма 3.3).
Из неравенства Гельдера получаем
|c(u, ω, η)| ≤ d‖u‖1 ‖ω‖L4‖ η‖1.
ТогдаC(u, ω) ∈ L2(ε, T ;H−1(Ω)), следовательно,
dω
dt
∈ L2(ε, T ;H−1(Ω)) и из леммы 3.2 [1]
в силу произвольности ε > 0 следует, что ω принадлежит C((0, T ];L2(Ω)). Отсюда имеем
выполнение (5), (6) для t ≥ s > 0.
Если же ω0 принадлежит L4(Ω), то последовательность {ωm0 } можно выбрать так, что
ωm0 → ω0 в L4(Ω). Тогда неравенство (7) будет выполняться и для s = 0, откуда в силу
ω ∈ C([0, T ];L2
w(Ω)) непосредственно следует вложение ω ∈ C([0, T ];L4
ω(Ω)).
Теорема доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
О СУЩЕСТВОВАНИИ И СВЯЗНОСТИ ГЛОБАЛЬНОГО АТТРАКТОРА . . . 359
Доказанная теорема, в частности, позволяет говорить о разрешимости задачи (1), (2)
на [0, +∞). Теперь для каждого R ≥ R0 =
‖g‖
λ1
возьмем
α(R) =
√
2
ν2λ2
1
(|ξ|2R2 + ‖f‖2), BR = {{u, ω} ∈ X | ‖u‖ ≤ α(R), ‖ω‖ ≤ R}.
Поскольку BR — ограниченное, замкнутое, выпуклое подмножество гильбертового про-
странстваX, можно рассматриватьBR как полное метрическое пространство с метрикой
ρ, сходимость по которой эквивалентна сходимости в Hw × L2(Ω).
Определим класс K решений задачи (1), (2), удовлетворяющих неравенству (3) при
t ≥ s для п. в. s > 0, неравенству (5) при t ≥ s > 0, неравенству (7) при t ≥ s для п. в.
s > 0.
Аналогично теореме 1 можно показать, что для любых T > 0 и {u, ω} ∈ K справедли-
во ω ∈ C((0, T ];L2(Ω)) ∩ C((0, T ];L4
ω(Ω)). Далее в теореме 2 будет доказано, что любое
ϕ ∈ K удовлетворяет неравенству (4) при t ≥ s для п. в. s > 0 и неравенству (6) при
t ≥ s > 0.
Обозначим
GR : [0,+∞)×BR 7→ P (BR),
GR(t, ϕ0) = {ϕ(t) | ϕ(·) ∈ K, ϕ(0) = ϕ0, ϕ(t) ∈ BR ∀t ≥ 0}. (10)
В силу теоремы 1 для любого ϕ0 ∈ BR GR(t, ϕ0) 6= ∅, так как взяв то решение, которое
гарантирует теорема 1, имеем для него выполнение (4), (6) при t ≥ s, для п. в. s и для
s = 0, из чего следует, что ϕ(t) ∈ BR ∀t ≥ 0.
Теорема 2. Пусть f ∈ H, g ∈ L4(Ω). Тогда формула (10) определяет m-полупоток,
который имеет в фазовом пространстве BR глобальный аттрактор Θ, не зависящий
от параметра R > R0 и являющийся ограниченным множеством в H × L4(Ω).
Доказательство. То, что GR — m-полупоток, доказывается аналогично лемме 19 [6].
Проверим выполнение условий леммы 1. Условие 1 выполняется в силу вложения
GR(t, BR) ⊂ BR ∀t ≥ 0.
Пусть ξn ∈ GR(t, ηn), где ηn ∈ BR, ηn → η слабо в X. Тогда ξn = ϕn(t) = {un(t), ωn(t)},
последовательность {ϕn} в силу (3), (5) и вложения ϕn(t) ∈ BR ∀t ≥ 0 ограничена в WT
для T > t.Тогда последовательность
{
dϕn
dt
}
ограничена вL
4
3 (0, T ;V ∗)×L
4
3 (0, T ;H1
0 (Ω)) и
из леммы о компактности имеем, что по подпоследовательности ϕn → ϕ в смысле (8), где
ϕ(·) = {u(·), ω(·)}— решение задачи (1), (2) на (0, T ), ϕ(0) = η, в частности ϕn(t) → ϕ(t)
слабо в X для любого t ≥ 0 и сильно для п. в. t > 0. Как и при доказательстве теоремы 1,
имеем, что ϕ(·) удовлетворяет (3), (5) при t ≥ s для п. в. s > 0. В частности, из (5)
в силу неравенства ‖ωn(t)‖ ≤ R ∀t ≥ 0 получаем для ωn оценку (9). Тогда функция ω
удовлетворяет (7) при t ≥ s для п. в. s > 0 и ω ∈ C((0, T ];L2(Ω)∩C((0, T ];L4
ω(Ω))). Таким
образом, ϕ ∈ K и ξn → ϕ(t) ∈ GR(t, η) в X. В частности, выполнен пункт 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
360 О. В. КАПУСТЯН, А. В. ПАНЬКОВ, Х. ВАЛЕРО
Для выполнения пункта 3 леммы 1 осталось показать, что по крайней мере по подпо-
следовательности для t > 0 ωn(t) → ω(t) в L2(Ω). В силу (5) при t ≥ s ≥ ε > 0
Jn(t) :=
1
2
‖ωn(t)‖2 −
t∫
0
(g, ωn(p)) dp ≤ Jn(s),
(11)
J(t) :=
1
2
‖ω(t)‖2 −
t∫
0
(g, ω(p)) dp ≤ J(s).
Таким образом, на [ε, T ] функции Jn(·), J(·) непрерывны, монотонно невозрастаю-
щие и Jn(t) → J(t) п. в. Тогда [8] (лемма 3.12) Jn(t) → J(t) ∀t ∈ (ε, T ), и поскольку
ωn → ω в L2(0, T ;L2(Ω)), существует limn→∞ ‖ωn(t)‖ = ‖ω(t)‖, что вместе со слабой схо-
димостью гарантирует ωn(t) → ω(t) в L2(Ω). Тогда в силу леммы 1 m-полупоток G име-
ет глобальный аттрактор ΘR в BR. Покажем, что он не зависит от параметра R. Пусть
ϕ(·) = {u(·), ω(·)} — решение задачи (1), (2), которое удовлетворяет (3), (5), ϕ(t) ∈ BR
∀t ≥ 0. Докажем, что ϕ удовлетворяет (4), (6). Из (5) имеем, что при t ≥ s > 0
‖ω(t)‖2 + λ1
t∫
s
‖ω(p)‖2 dp ≤ ‖ω(s)‖2 +
1
λ1
‖g‖2(t− s). (12)
Используем следующий результат.
Лемма 2 [5]. Для функции κ ∈ L1
loc(0,+∞) следующие условия эквивалентны:
1) κ(t) ≤ κ(s) для п. в. t ≥ s,
2) κ′ ≤ 0 в D′(0,+∞).
Из (12) имеем, что непрерывная на (0,+∞) функция l(t) = ‖ω(t)‖2− 1
λ2
1
‖g‖2 ∀t ≥ s >
> 0 удовлетворяет неравенству
l(t) + λ1
t∫
0
l(p) dp ≤ l(s) + λ1
s∫
0
l(p) dp.
Отсюда согласно лемме 2 l′ + λ1l ≤ 0 в D′(0,+∞), а следовательно [8] (лемма 5.17),
(leλ1t)′ ≤ 0 в D′(0,+∞).
Тогда из леммы 2 для п. в. t ≥ s
l(t)eλ1t ≤ l(s)eλ1s. (13)
Из (13) и непрерывности l получаем (6).
Аналогично из (3) при t ≥ s для п. в. s > 0 имеем
‖u(t)‖2 + νλ1
t∫
s
‖u(p)‖2 dp ≤ ‖u(s)‖2 +
2|ξ|2
νλ1
t∫
s
‖ω(p)‖2 dp+
2
νλ1
‖f‖2(t− s). (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
О СУЩЕСТВОВАНИИ И СВЯЗНОСТИ ГЛОБАЛЬНОГО АТТРАКТОРА . . . 361
Из (14) полунепрерывная снизу на (0,+∞) функция
m(t) = ‖u(t)‖2 − 2
ν2λ2
1
‖f‖2
удовлетворяет при t ≥ s для п. в. s > 0 неравенству
m(t) + νλ1
t∫
0
‖m(p)‖2 dp− 2|ξ|2
νλ1
t∫
s
‖ω(p)‖2 dp ≤ m(s) + νλ1
s∫
0
‖m(p)‖2 dp.
Тогда в силу леммы 2
m′ + νλ1m ≤
2|ξ|2
νλ1
‖ω‖2 в D′(0,+∞),
а следовательно [8] (лемма 5.17),meνλ1t − t∫
0
2|ξ|2
νλ1
eνλ1p‖ω(p)‖2 dp
′ ≤ 0 в D′(0,+∞).
Из леммы 2 для п. в t ≥ s Ψ(u, ω)(t) ≤ Ψ(u, ω)(s), и в силу полунепрерывности снизу
Ψ имеем (4). Из оценок (4), (6) выводим
∀ε > 0 ∀R > R0 ∃T = T (R, ε) ∀t ≥ T : GR(t, BR) ⊂ BR0+ε. (15)
Тогда из вложения ΘR ⊂ GR(t, BR) имеем, что для любого R > R0 ΘR ⊂ BR0 . Рассмот-
рим ξ = ϕ(t) = {u(t), ω(t)} ∈ GR(t, BR0).В силу (15) ∀ε > 0 ∀R > R0 ∃T = T (R, ε) ∀t ≥ T
∀r ≥ t
2
: ‖u(r)‖ ≤ α(R0 + ε), ‖ω(r)‖ ≤ R0 + ε. Тогда
∀t ≥ T : ξ ∈ GR0+ε
(
t
2
, ϕ
(
t
2
))
⊂ GR0+ε
(
t
2
, BR0+ε
)
.
Поскольку для любого t ≥ 0 ΘR ⊂ GR(t,ΘR) ⊂ GR(t, BR0), то ΘR ⊂ GR0+ε
(
t
2
, BR0+ε
)
и, таким образом,
ΘR ⊂ ΘR0+ε ∀ε > 0. (16)
Так как для R0 < R1 < R2 ΘR1 ⊂ ΘR2 , из (16) окончательно имеем
∀R > R0 : ΘR = Θ :=
⋂
ε>0
ΘR0+ε.
Докажем ограниченность Θ в H ×L4(Ω). Поскольку для любого R > R0 Θ ⊂ GR(1,Θ) ⊂
⊂ GR(1, BR), достаточно показать ограниченность в H × L4(Ω) множества GR(1, BR).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
362 О. В. КАПУСТЯН, А. В. ПАНЬКОВ, Х. ВАЛЕРО
Пусть ξ ∈ GR(1, BR). Тогда ξ = ϕ(1) = {u(1), ω(1)}, ϕ ∈ K, ϕ(t) ∈ BR ∀t ≥ 0 и в силу (5)
ω удовлетворяет оценке
1
2∫
0
‖ω(p)‖21dp ≤
1
2λ1
‖g‖2 +R2.
Далее из (7) имеем
‖ω(1)‖4L4 ≤ C2
(
1
λ1
‖g‖2 + 2R2
)2
e3 +
1
3
‖g‖4l4e
3,
где C > 0 — константа из неравенства ‖ω‖L4 ≤ C‖ω‖1. Из этой оценки следует искомая
ограниченность Θ в H × L4(Ω).
Теорема доказана.
Теперь покажем, что полученный в теореме 2 аттрактор является связным множеством
в Hw × L2(Ω). Для этого рассмотрим задачу [11 – 13]
∂u
∂t
− ν M u+ FN (‖u‖1)(uO)u+ ξω = f − Op,
div u = 0, (17)
u|∂Ω = 0,
∂ω
∂t
− M ω + (uO)ω = g,
(18)
ω|∂Ω = 0,
где FN (r) = min
{
1,
N
r
}
. Слабая разрешимость (17), (18) определяется аналогично (1),
(2) с заменой формы b(u, v, z) на форму bN (u, v, z) = FN (‖v‖1)b(u, v, z) = 〈BN (u, v), z〉,
где элемент BN (u, v) ∈ V ∗ удовлетворяет оценке [13]
‖BN (u, v)‖V ∗ ≤ CN‖u‖1. (19)
Благодаря этому аналогично [13] (теорема 7) устанавливается глобальная разрешимость
(17), (18) для f ∈ H , g ∈ L2(Ω) и для любых ϕ0 = {u0, ω0} ∈ X := H × L2(Ω), причем в
силу (19) для любого решения ϕ = {u, ω} задачи (17), (18) имеем u ∈ C([0, T ];H).Если же
g ∈ L4(Ω), то для задачи (17), (18) справедлива теорема 1, причем энергетические нера-
венства (3) – (6) выполнены при t ≥ s ≥ 0 с константами, не зависящими от параметраN.
Лемма 3. Для f ∈ H, g ∈ L4(Ω) и для любых ϕ0 = {u0, ω0} ∈ V ×H1
0 (Ω) задача (17),
(18) имеет единственное слабое решение ϕ = {u, ω} с ϕ(0) = ϕ0, причем
u ∈ C([0, T ];V )∩L2(0, T ;D(A1)), ω ∈ C([0, T ];L2(Ω))∩L∞(0, T ;H1
0 (Ω))∩L2(0, T ;D(A2)).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
О СУЩЕСТВОВАНИИ И СВЯЗНОСТИ ГЛОБАЛЬНОГО АТТРАКТОРА . . . 363
Доказательство. Фиксируя ω ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) в правой части (17), из [13] (теорема 7)
имеем u ∈ C([0, T ];V ) ∩ L2(0, T ;D(A1)) и при t ≥ s ≥ 0 выполнена оценка
‖u(t)‖21 + ν
t∫
s
‖A1u‖2 dp ≤ ‖u(s)‖21 +
4
ν
‖f‖2(t− s) +
4|ξ|
ν
t∫
s
‖ω‖2 dp+ CN
t∫
s
‖u‖21 dp. (20)
Из неравенства
|c(u, ω, η)| ≤ d‖u‖1‖ω‖1‖η‖1
выводим C(u, ω) ∈ L2(0, T ;H−1(Ω)), откуда
dω
dt
∈ L2(0, T ;H−1(Ω)), ω ∈ C([0, T ];L2(Ω)).
Поскольку при фиксированном u ∈ L2(0, T ;V ) задача (18) имеет единственное решение,
соответствующее начальной функции ω0, с помощью галеркинских аппроксимаций по-
лучаем, что ω ∈ L∞(0, T ;H1
0 (Ω)) ∩ L2(0, T ;D(A2)) и при t ≥ s ≥ 0 выполнена оценка
‖ω(t)‖21 +
t∫
s
‖A2ω‖2 dp ≤ ‖ω(s)‖21 + C‖g‖2(t− s) + C
t∫
s
‖u‖41‖ω‖21 dp. (21)
Докажем единственность. Пусть ϕ1 = {u1, ω1}, ϕ2 = {u2, ω2}— решения задачи (17),
(18) такие, что ϕ1(0) = ϕ2(0) = ϕ0. Тогда для u = u1 − u2, ω = ω1 − ω2 имеем
1
2
d
dt
‖u‖2 + ν‖u‖21 − FN (‖u1‖1)b(u, u, u1)+
+ (FN (‖u1‖1 − FN (‖u2‖1))b(u2, u2, u) + (ξω, u) = 0, (22)
1
2
d
dt
‖ω‖2 + ‖ω‖21 − c(u, ω, ω1) = 0. (23)
Используя неравенства [13]
|c(u, ω, ω1)| ≤ d1‖u‖1‖ω1‖
1
2
1 ‖A2ω1‖
1
2 ‖ω‖ ≤ ν
4
‖u‖21 + C(‖ω1‖21 + ‖A2ω1‖2)‖ω‖2, (24)
FN (‖u1‖1)|b(u, u, u1)| ≤ |b(u, u, u1)| ≤ d2‖u‖‖u‖1‖A1u1‖ ≤
ν
4
‖u‖21 + C‖A1u1‖2‖u‖2, (25)
|FN (‖u1‖1)− FN (‖u2‖1)||b(u2, u2, u)| ≤ d3
‖u1 − u2‖1
‖u2‖1
‖u2‖
3
2
1 ‖A1u2‖
1
2 ‖u‖ ≤
≤ ν
4
‖u‖21 + C(‖u2‖21 + ‖A1u2‖2)‖u‖2, (26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
364 О. В. КАПУСТЯН, А. В. ПАНЬКОВ, Х. ВАЛЕРО
из (22), (23) получаем
d
dt
(‖u‖2 + ‖ω‖2) + δ(‖u‖21 + ‖ω‖21) ≤
≤ C(‖ω1‖21 + ‖u2‖21 + ‖A2ω1‖2 + ‖A1u1‖2 + ‖A1u2‖2)(‖u‖2 + ‖ω‖2). (27)
Неравенство (27) вместе с (20), (21) в силу леммы Гронуолла гарантирует равенства u =
= 0, ω = 0.
Лемма доказана.
Теорема 3. Пусть f ∈ H, g ∈ L4(Ω). Тогда глобальный аттрактор Θ, существова-
ние которого гарантируется теоремой 2, является связным множеством вHw×L2(Ω).
Доказательство. В силу теоремы 2 для некоторого R > R0
Θ ⊂ B1 := {{u, ω} ∈ X | ‖u‖ ≤ α(R), ‖ω‖ ≤ R, ‖ω‖L4 ≤ R}
иB1 — связное множество в пространствеBR. Тогда в силу леммы 1 достаточно показать
связность в пространстве BR множества GR(t, ϕ0) ∀t > 0 ∀ϕ0 ∈ B1. Пусть это не так.
Поскольку из доказательства теоремы 2 следует, что GR(t, ϕ0) — компакт в BR, если при
некоторых τ > 0, ϕ0 ∈ B1 множество GR(τ, ϕ0) не является связным, то существуют
компакты Γ1, Γ2 в BR, их окрестности U1, U2 и решения ϕi(τ) ∈ GR(τ, ϕ0), i = 1, 2, такие,
что GR(τ, ϕ0) = Γ1 ∪ Γ2, U1 ∩ U2 = ∅, ϕi(τ) ∈ Ui, i = 1, 2. Для γ ≥ 0, N ≥ 1 положим
ψNi (t, γ) =
{
ϕi(t), если t ∈ [0, γ],
{ϕNi (t)}, если t ≥ γ,
(28)
где ϕNi — решение задачи (17), (18) с начальными данными ϕNi (γ) = ϕi(γ) ∈ H × L4(Ω),
которое удовлетворяет (3) – (6) при t ≥ s ≥ γ и (7) при t ≥ s для п. в. s > γ и для s = γ.
Тогда легко показать, что каждая из функций ψNi (·, γ) удовлетворяет (3) – (7) на [0,+∞)
в том же смысле, что и ϕi, и при этом для любого t ≥ 0 ψNi (t, γ) ⊂ BR. Покажем, что для
каждого i = 1, 2 отображение
[0,+∞) 3 γ 7→ ψNi (t, γ) ⊂ BR (29)
полунепрерывно сверху вHw×L2(Ω) и связнозначно вH×L2(Ω) (а тогда и вHw×L2(Ω)).
Для упрощения записи опустим индекс i. Пусть γ ↘ γ0. Если t ≤ γ0 < γ, то ψN (t, γ) =
= ϕ(t) = ψN (t, γ0). Если t > γ > γ0, то, рассуждая от противного, убеждаемся в сущест-
вовании ε > 0, γj ↘ γ0, ξj = {uj(t), ωj(t)} ∈ ψN (t, γj) таких, что distBR
(ξj , ψ
N (t, γ0)) ≥
≥ ε.Положим uj(t) = uj(t+γj−γ0), ωj(t) = ωj(t+γj−γ0), uj(γ0) = u(γj), ωj(γ0) = ω(γj).
Рассмотрим последовательность ϕj = {uj , ωj} решений задачи (17), (18) при t ≥ γ0,
ϕj(γ0) = ϕ(γj) → ϕ(γ0) слабо в X в силу вложения ϕ ∈ C([0, T ];Xw). Поскольку {ϕj}
удовлетворяют (3) – (6) при t ≥ s ≥ γ0 и (7) при t ≥ s для п. в. s > γ0 и для s = γ0,
рассуждая, как и при доказательстве теоремы 2, приходим к тому, что по подпоследо-
вательности ϕj → ϕ в смысле (8), где ϕ = {u, ω} — решение задачи (17), (18) при
t ≥ γ0, ϕ(γ0) = ϕ(γ0) ∈ H × L4(Ω), которое удовлетворяет (3) – (7) при t ≥ s для п.
в. s > γ0. При этом ω ∈ C((γ0, T ];L2(Ω)), ωj(t) → ω(t) в L2(Ω) ∀ t ∈ (γ0, T ], а в силу (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
О СУЩЕСТВОВАНИИ И СВЯЗНОСТИ ГЛОБАЛЬНОГО АТТРАКТОРА . . . 365
u ∈ C([γ0, T ];H). Таким образом, ϕ удовлетворяет (3), (4) при t ≥ s ≥ γ0 и (5), (6) при
t ≥ s > γ0.
Далее, при фиксированном u ∈ L2(γ0, T ;V ) задача (18) имеет единственное решение,
соответствующее начальным данным γ0 ≥ 0, ω(γ0) ∈ L4(Ω). Тогда с помощью галеркин-
ских аппроксимаций ωm для задачи (18) при фиксированном u ∈ L2(γ0, T ;V ) и с началь-
ными данными ωm(γ0) → ω(γ0) в L2(Ω) легко устанавливается, что ω удовлетворяет (5),
(6) при t ≥ s ≥ γ0. Теперь пусть um ∈ C1([γ0, T ];V ), um → u в L2(γ0, T ;V ) и рассмотрим
для каждого m ≥ 1 задачу
dωm
dt
+A2ω
m + C(um, ωm) = g, t ∈ (γ0, T ),
(30)
ωm(γ0) = ωm0 ∈ H1
0 (Ω), ωm0 → ω(γ0) в L4(Ω).
Тогда из [6] (лемма 9) при t ≥ γ0 выполняется
‖ωm(t)‖4L4 ≤ ‖ωm(γ0)‖4L4 e
3(t−γ0) +
1
3
‖g‖4L4(e3(t−γ0) − 1),
и переходя к пределу, убеждаемся, что ω удовлетворяет (7) и для s = γ0. Таким образом,
{uj(t), ωj(t)} → {u(t), ω(t)} ∈ ψN (t, γ0) в BR.
Получили противоречие. Аналогично при γ ↗ γ0. Теперь докажем для каждого τ > 0
связность в H × L2(Ω) множества GNR (τ, ϕ0) — пучка решений задачи (17), (18) с началь-
ными данными ϕ0 ∈ BR ∩ (H × L4(Ω)), которые удовлетворяют (3) – (6) при t ≥ s ≥ 0 и
(7) при t ≥ s для п. в. s > 0 и для s = 0. Рассуждая от противного, получаем существова-
ние ϕi(τ) ∈ GNR (τ, ϕ0), i = 1, 2, таких, что ϕi(τ) ∈ Vi, где V1 ∩V2 = ∅, GNR (τ, ϕ0) ⊂ V1 ∪V2.
Выберем εk → 0+ так, что ϕi(εk) ∈ V ×H1
0 (Ω), и для ρ ∈ [0, 1] обозначим через ϕk(·, ρ) =
= {uk(·, ρ), ωk(·, ρ)} единственное в силу леммы 3 решение задачи (17), (18) с начальными
данными ϕk0 = ρϕ1(εk) + (1−ρ)ϕ2(εk). Тогда ϕk(t, 0) = ϕ2(t+ εk), ϕk(t, 1) = ϕ1(t+ εk), т. е.
ϕk(τ − εk, 0) ∈ V2, ϕk(τ − εk, 1) ∈ V1. Применяя неравенство (27), выводим, что отобра-
жение
[0, 1] 3 ρ 7→ ϕk(·, ρ) ∈ C([0, T ];H × L2(Ω))
непрерывно. Тогда существует ρk ∈ [0, 1] такое, что ϕk(τ − εk, ρk) 6∈ V1 ∪ V2. Поскольку
ϕk0 → ϕ0 слабо в X, аналогично предыдущим рассуждениям (с γ0 = 0) получаем, что
ϕk(·, ρk) → ϕ(·) в смысле (8), где ϕ(τ) ∈ GNR (τ, ϕ0). Используя функции Jk, J из (11),
аналогично [11] (лемма 3.1) можно показать, что для любого δ > 0 ϕk(·, ρk) → ϕ(·) в
C([δ, T ];H × L2(Ω)). Тогда ϕk(τ − εk, ρk) → ϕ(τ) в H × L2(Ω). Получили противоречие.
Далее аналогично [11, с. 1499] устанавливается, что для одного из индексов i = 1 либо
i = 2 (и в дальнейшем индекс i будем опускать) существуют последовательность γN → γ0
и функции из (28)
ψN (t) =
{
ϕ(t), если t ∈ [0, γN ],
ϕN (t), если t ≥ γN ,
(31)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
366 О. В. КАПУСТЯН, А. В. ПАНЬКОВ, Х. ВАЛЕРО
такие, что ψN (τ) 6∈ U1 ∪ U2.
Воспользовавшись для последовательности {ψN = {uN , ωN}} леммой о компактнос-
ти, получим, что при N → ∞ по подпоследовательности ψN → ψ = {u, ω} в смысле
(8). Поскольку ωN → ω слабо в L2(0, T ;H1
0 (Ω)), аналогично [11, с. 1501, 1502] имеем, что
u — решение задачи (1) с правой частью f − ξω, u(0) = u0, ψ
N (τ) → ψ(τ) слабо в H.
При этом ψ удовлетворяет (3) – (6) при t ≥ s для п. в. s > 0 и для s = 0. Поскольку для
функции η ∈ H1
0 (Ω) имеем c(uN , ωN , η) → c(u, ω, η) в L1(0, T ) [6, с. 462], то ψ = {u, ω}
— решение задачи (1), (2), ψ(0) = ϕ0. Повторяя предыдущие рассуждения, выводим, что
ω принадлежит C((0, T ];L2(Ω)) и ψ ∈ K. Таким образом, ψ(τ) ∈ GR(τ, ϕ0). Используя
функции JN , J из (11), получаем, что ωN (τ) → ω(τ) в L2(Ω), т. е. ψ(τ) 6∈ U1 ∪ U2, что
противоречит вложению ψ(τ) ∈ GR(τ, ϕ0).
Теорема доказана.
1. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. — New York: Springer, 1988. —
645 p.
2. Birnir B., Svanstedt N. Existence theory and strong attractors for the Rayleigh – Benard problem with a large
aspect ratio // DCDS. — 2004. — 10. — P. 53 – 74.
3. Norman D. E. Chemically reacting fluid flows: weak solutions and global attractors // J. Different. Equat. —
1999. — 152. — P. 75 – 135.
4. Мельник В. С. Многозначная динамика нелинейных бесконечномерных систем. — Киев, 1994. — 60 c.
— (Препринт / НАН Украины; Ин-т кибернетики, № 94-17).
5. Ball J. M. Continuity properties and attractors of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations // J.
Nonlinear Sci. — 1997. — 7, № 5. — P. 475 – 502.
6. Kapustyan O. V., Melnik V. S., Valero J. A weak attractors and properties of solutions for the three-dimensional
Bernard problem // DCDS. — 2007. — 18. — P. 449 – 481.
7. Kapustyan O. V., Pankov A. V., Valero J. On global attractors of multivalued semiflows generated by the 3D
Benard system // Set-Valued and Variational Analysis. — 2012. — 20, № 3. — P. 445 – 465.
8. Kapustyan O. V., Mel’nik V. S., Valero J., Yasinsky V. V. Global attractors of multi-valued dynamical systems
and evolution equations without uniqueness. — Kyiv: Naukova Dumka, 2008. — 215 p.
9. Chepyzhov V. V., Vishik M. I. Attractors for equations of mathematical physics. — Providence: AMS, 2002.
— 361 p.
10. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972. — 587 с.
11. Kloeden P. E., Valero J. The weak connectedness of the attainability set of weak solutions of the 3D Navier –
Stokes equations // Proc. Roy. Soc. London A. — 2007. — 463. — P. 1491 – 1508.
12. Kloeden P. E., Valero J. The Kneser property of the weak solutions of the three- dimensional Navier – Stokes
equations // DCDS. — 2010. — 28. — P. 161 – 179.
13. Caraballo T., Kloeden P. E., Real J. Unique strong solution and V-attractors of a three-dimensional system of
globally modified Navier-Stokes equations // Adv. Nonlinear Stud. — 2006. — 6. — P. 411 – 436.
Получено 20.02.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
|