Про структуру множини неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в околi стану рiвноваги
Построено представление общего непрерывного решения широкого класса систем нелинейных разностных уравнений в окрестности состояния равновесия и исследована его структура. We construct a representation for a general continuous solution to a broad class of nonlinear difference systems in a neighborhoo...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175876 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про структуру множини неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в околi стану рiвноваги / А.А. Акбергенов, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 291-301. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860250795255005184 |
|---|---|
| author | Акбергенов, А.А. Пелюх, Г.П. |
| author_facet | Акбергенов, А.А. Пелюх, Г.П. |
| citation_txt | Про структуру множини неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в околi стану рiвноваги / А.А. Акбергенов, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 291-301. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Построено представление общего непрерывного решения широкого класса систем нелинейных разностных уравнений в окрестности состояния равновесия и исследована его структура.
We construct a representation for a general continuous solution to a broad class of nonlinear difference systems in a neighborhood of an equilibrium. We also study the structure of the equilibrium.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:43:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ
НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ В ОКОЛI СТАНУ РIВНОВАГИ
А. А. Акбергенов, Г. П. Пелюх
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
We construct a representation for a general continuous solution to a broad class of nonlinear difference
systems in a neighborhood of an equilibrium. We also study the structure of the equilibrium.
Построено представление общего непрерывного решения широкого класса систем нелинейных
разностных уравнений в окрестности состояния равновесия и исследована его структура.
Рiзницевi рiвняння вигляду
x(t+ 1) = A(t)x(t) + f(t, x(t)), (1)
де t ∈ R, A(t) — дiйсна (n × n)-матриця, f : R × Rn → Rn, були основним об’єктом
дослiдження у багатьох роботах (див. [1 – 8] i наведену в них бiблiографiю). При цьому
найактивнiше вивчалися системи рiвнянь, в яких матриця A була сталою. Серед отрима-
них тут результатiв особливої уваги заслуговують тi, що стосуються побудови загального
розв’язку таких систем рiвнянь в околi їх стану рiвноваги i дослiдження його структури
[3 – 8]. Внаслiдок цього природно виникло ряд питань про побудову загального неперерв-
ного розв’язку системи (1) i дослiдження його структури у випадку, коли матриця A не
є сталою. Саме цi питання вивчаються в данiй роботi для системи рiвнянь (1) у випадку,
коли A(t) є неперервною N -перiодичною (N — цiле додатне число) матрицею такою,
що det A(t) 6= 0 при всiх t ∈ R, а вектор-функцiя f(t, x) є неперервною за всiма своїми
змiнними i N -перiодичною по t.
Згiдно з результатами [9] iснує неперервна при t ∈ R замiна змiнних
x(t) = C(t)y(t),
де C(t) — неособлива, N — перiодична (n × n)-матриця, що зводить систему рiвнянь (1)
до вигляду
y(t+ 1) = B(t)y(t) + f̄(t, y(t)), (2)
де B(t) = C−1(t + 1)A(t)C(t) — неперервна 1-перiодична матриця, для якої виконується
умова det B(t) 6= 0, f̄(t, y(t)) = C−1(t+ 1)f(t, C(t)y(t)).
Позначимо через λi(t), i = 1, 2, . . . , n, коренi рiвняння
det (B(t)− λ(t)E) = 0,
де E — одинична (n × n)-матриця. Неважко показати, що λi(t), i = 1, . . . , n, є неперерв-
ними при t ∈ R 1-перiодичними функцiями. Далi будемо припускати, що функцiї λi(t),
i = 1, 2, . . . , n, задовольняють наступнi умови:
c© А. А. Акбергенов, Г. П. Пелюх, 2012
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3 291
292 А. А. АКБЕРГЕНОВ, Г. П. ПЕЛЮХ
1) λi(t) 6= λj(t), i 6= j, 0 < |λi(t)| < 1, i, j = 1, 2, . . . , n, t ∈ [0, 1);
2) для довiльного набору (i1, . . . , in) цiлих невiд’ємних чисел
(∑n
j=1 ij ≥ 2
)
при t ∈ R
виконуються нерiвностi
λi(t) 6= λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t), i = 1, 2, . . . , n.
Згiдно з умовою 1 iснує неособлива замiна змiнних
y(t) = C̃(t)ỹ(t), (3)
де C̃(t) — неперервна при t ∈ R неособлива 1-перiодична матриця, яка має неперервну
1-перiодичну обернену матрицю C̃−1(t), що зводить систему рiвнянь (2) до вигляду
ỹ(t+ 1) = Λ(t)ỹ(t) + f̃(t, ỹ(t)). (4)
Тут
Λ(t) = C̃−1(t)B(t)C̃(t) = diag (λ1(t), . . . , λn(t)),
f̃(t, ỹ(t)) = C̃−1(t)f̄(t, C̃(t)ỹ(t)).
Вiдносно вектор-функцiї f̃(t, ỹ) будемо припускати виконаними наступнi умови:
3) вектор-функцiя f̃(t, ỹ) розкладається в ряд
f̃(t, ỹ(t)) =
∞∑
|i|=2
f̃i(t)ỹ
i(t),
де f̃i(t) — N -перiодичнi вектор-функцiї, i = (i1, . . . , in) — вектор, компонентами якого є
невiд’ємнi цiлi числа, |i| = i1 + . . . + in, ỹ
i = ỹi11 ỹ
i2
2 . . . ỹ
in
n , та пiдсумовування виконується
за всiма i, для яких |i| ≥ 2;
4) |f̃ij(t)| ≤ Fij при всiх t ∈ R та |i| ≥ 2, j = 1, 2, . . . , n, де Fij = const > 0;
5) ряд F (ỹ) =
∑∞
|i|=2 Fiỹ
i(t), Fi = (Fi1, . . . , Fin), збiгається при |ỹ| = max1≤j≤n |ỹj | < ρ,
ρ > 0.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 1. Якщо виконуються умови 1 – 5, то iснує замiна змiнних
ỹ(t) = γ(t, z(t)) = z(t) +
∞∑
|i|=2
γi(t)z
i(t), (5)
де γi(t), |i| = 2, 3, . . . , — вектор-функцiї, що задовольняють при t ∈ R умови |γij(t)| ≤
≤ Γij , |i| = 2, 3, . . . , j = 1, . . . , n, Γij = const > 0, Γi = (Γi1, . . . ,Γin),та ряд z+
∑∞
|i|=2 Γiz
i
збiгається при |z| < ρ1 < ρ, що зводить систему рiвнянь (4) до лiнiйного вигляду
z(t+ 1) = Λ(t)z(t). (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 293
Доведення. Для доведення iснування замiни змiнних (5), що зводить систему (4) до
вигляду (6), достатньо показати, що коефiцiєнти γi(t), |i| = 2, 3, . . . , можна пiдiбрати так,
що ряд (5) буде розв’язком системи рiвнянь
γ(t+ 1,Λ(t)z(t)) = Λ(t)γ(t, z(t)) + f̃(t, γ(t, z(t))). (7)
Пiдставляючи ряд (5) в (7), отримуємо
Λ(t)z(t) +
∞∑
|i|=2
γi(t+ 1)(Λ(t)z(t))i = Λ(t)z(t) + Λ(t)
∞∑
|i|=2
γi(t)z
i(t)+
+
∞∑
|i|=2
f̃i(t)
z(t) +
∞∑
|j|=2
γj(t)z
j(t)
i
.
Зрiвнюючи коефiцiєнти при однакових степенях zi, i = 2, 3, . . . , одержуємо
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)γi(t+ 1) = Λ(t)γi(t) + Pi(t), |i| = 2, 3, . . . , (8)
де Pi(t) = (Pi1(t), Pi2(t), . . . , Pin(t)), Pij(t) — деякi многочлени вiдносно компонент
f̃2j(t), . . . , f̃ij(t), γ2j(t), . . . , γi−1j(t), j = 1, . . . , n, векторiв f̃2(t), . . . , f̃i(t), γ2(t) . . . , γi−1(t)
з додатними коефiцiєнтами, до того ж Pi(t) = f̃i(t), |i| = 2. Спiввiдношення (8) — це
послiдовнiсть лiнiйних рiзницевих рiвнянь вiдносно векторних функцiй γi(t).
Покажемо тепер, що iснують неперервнi N -перiодичнi вектор-функцiї γi(t), |i| ≥ 2,
що задовольняють систему рiвнянь (8). Запишемо систему (8) у виглядi
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)γij(t+ 1) = λj(t)γij(t) + Pij(t), |i| = 2, 3, . . . , j = 1, . . . , n. (9)
При розв’язаннi системи рiвнянь (9) можливi два випадки:
a) |αij(t)| < 1 ∀t ∈ [0, 1),
б) |αij(t)| > 1 ∀t ∈ [0, 1), де αij(t) = λ−1j (t)λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t), |i| = 2, 3, . . . , j =
= 1, . . . , n.
Оскiльки векторiв i, для яких |αij(t)| > 1, може бути лише скiнченна кiлькiсть, то
можна вказати додатну сталу β таку, що λ−1∗ (1 − α∗)−1 ≤ β у випадку а) та λ−1∗ α∗N−1 ×
×(α∗−1)−1 ≤ β у випадку б), де
λ∗ = min
{
min
t
{|λi(t)|, i = 1, . . . , n}
}
,
α∗ = max
{
max
t
{|αij(t)|, |i| = 2, 3, . . . , j = 1, . . . , n}
}
,
α∗ = min
{
min
t
{|αij(t)|, |i| = 2, 3, . . . , j = 1, . . . , n}
}
,
β = max{λ−1∗ (1− α∗)−1, λ−1∗ α∗N−1(α∗−1)−1},
|i| = 2, 3, . . . , j = 1, . . . , n.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
294 А. А. АКБЕРГЕНОВ, Г. П. ПЕЛЮХ
Розглянемо спочатку випадок а) i побудуємо неперервнiN -перiодичнi вектор-функцiї
γi(t), |i| = 2, 3, . . . . Розв’язок системи рiвнянь (9) при |i| = 2 будемо шукати у виглядi
многочлена
γij(t) =
N−1∑
k=0
Cijk (t)f̃ij(t+ k), (10)
де Cijk (t), k = 0, . . . , N − 1, |i| = 2, j = 1, . . . , n, — деякi неперервнi N -перiодичнi функцiї.
Пiдставивши (10) в (9), матимемо
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)
N−1∑
k=0
Cijk (t+ 1)f̃ij(t+ k + 1) = λj(t)
N−1∑
k=0
Cijk (t)f̃ij(t+ k) + f̃ij(t). (11)
Звiдси випливає, що якщо функцiї Cijk (t), k = 0, . . . , N − 1, |i| = 2, j = 1, . . . , n, задоволь-
няють послiдовнiсть рiвнянь
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)Cij0 (t+ 1) = λj(t)C
ij
1 (t),
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)Cij1 (t+ 1) = λj(t)C
ij
2 (t),
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)Cij2 (t+ 1) = λj(t)C
ij
3 (t), (12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)CijN−1(t+ 1) = λj(t)C
ij
0 (t) + 1,
то многочлен (10) задовольняє систему рiвнянь (9).
Беручи до уваги умови теореми та спiввiдношення (12), послiдовно знаходимо
Cij1 (t) = αij(t)C
ij
0 (t+ 1),
Cij2 (t) = αij(t)C
ij
1 (t+ 1) = [αij(t)]
2Cij0 (t+ 2),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (13)
CijN−1(t) = [αij(t)]
N−1Cij0 (t+N − 1),
Cij0 (t) = αij(t)C
ij
N−1(t+ 1)− λ−1j (t) = [αij(t)]
NCij0 (t)− λ−1j (t).
Iз (13) безпосередньо отримуємо
Cij0 (t) = −
[
1− [αij(t)]
N
]−1
λ−1j (t),
Cij1 (t) = −αij(t)
[
1− [αij(t)]
N
]−1
λ−1j (t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 295
Cij2 (t) = −α2
ij(t)
[
1− [αij(t)]
N
]−1
λ−1j (t), (14)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CijN−1(t) = −[αij(t)]
N−1 [1− [αij(t)]
N
]−1
λ−1j (t).
Отже, розв’язок γi(t) при |i| = 2 системи (9) матиме вигляд
γij(t) = −
N−1∑
k=0
[αij(t)]
k
[
1− [αij(t)]
N
]−1
λ−1j (t)f̃ij(t+ k). (15)
Використовуючи умови теореми, умову а) та (14), можна отримати оцiнки
|γij(t)| =
∣∣∣∣∣−
N−1∑
k=0
[αij(t)]
k
[
1− [αij(t)]
N
]−1
λ−1j (t)f̃ij(t+ k)
∣∣∣∣∣ ≤
≤
|λ−1j (t)|
1− |αij(t)|
N−1∑
k=0
|f̃ij(t+ k)| ≤ λ−1∗
1− α∗
N−1∑
k=0
|f̃ij(t+ k)| ≤
≤ βNFij = Γij , |i| = 2, j = 1, . . . , n. (16)
Розглядаючи послiдовно системи (9) при |i| = 3, 4, . . . , аналогiчно можна довести iсну-
вання неперервних N -перiодичних розв’язкiв системи (9) у випадках |i| = 3, 4, . . . . Бiльш
цього, розв’язки даної системи при |i| = 3, 4, . . . визначаються спiввiдношеннями
γij(t) = −
N−1∑
k=0
[αij(t)]
k
[
1− [αij(t)]
N
]−1
λ−1j (t)Pij(t+ k), (17)
деPij(t) — деякi многочлени вiдносно компонент векторiв f̃2(t), . . . , f̃i(t), γ2(t), . . . , γi−1(t).
Використовуючи умову 4 i (16), (17), методом математичної iндукцiї отримуємо
|γij(t)| ≤ βPij (F2j , . . . , Fij ,Γ2j , . . . ,Γi−1j) = Γij , |i| = 2, 3 . . . , j = 1, . . . , n. (18)
Розглянемо тепер випадок б). Необхiдно зауважити, що векторiв i, для яких викону-
ється дана умова, може бути лише скiнченна кiлькiсть, тобто знайдеться таке m, що для
|i| > m вже матимемо випадок а).
Неперервнi N -перiодичнi функцiї γij(t) при |i| = 2 у випадку б) будемо шукати у ви-
глядi многочлена
γij(t) =
N∑
k=1
Cijk (t)f̃ij(t− k), (19)
де Cijk (t), k = 1, . . . , N, |i| = 2, j = 1, . . . , n, — деякi, поки що не визначенi, неперервнi
N -перiодичнi функцiї. Для цього пiдставимо (19) у систему (9). В результатi отримаємо
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
296 А. А. АКБЕРГЕНОВ, Г. П. ПЕЛЮХ
спiввiдношення
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)
N∑
k=1
Cijk (t+ 1)f̃ij(t− k + 1) =
= λj(t)
N∑
k=1
Cijk (t)f̃ij(t− k) + f̃ij(t). (20)
Iз (20) випливає, що якщо виконуються рiвностi
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)Cij1 (t+ 1) = λj(t)C
ij
N (t) + 1,
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)Cij2 (t+ 1) = λj(t)C
ij
1 (t),
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)Cij3 (t+ 1) = λj(t)C
ij
2 (t),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)CijN−1(t+ 1) = λj(t)C
ij
N−2(t),
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)CijN (t+ 1) = λj(t)C
ij
N−1(t),
то многочлен (19) є розв’язком системи (9). Беручи до уваги отриманi спiввiдношення,
послiдовно знаходимо
CijN−1(t) = αij(t)C
ij
N (t+ 1),
CijN−2(t) = αij(t)C
ij
N−1(t+ 1) = [αij(t)]
2CijN (t+ 2),
CijN−3(t) = αij(t)C
ij
N−2(t+ 1) = [αij(t)]
3CijN (t+ 3),
(21)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cij1 (t) = αij(t)C
ij
2 (t+ 1) = [αij(t)]
N−1CijN (t+N − 1),
[αij(t)]
NCijN (t+N) = CijN (t) + λ−1j (t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 297
Iз останнiх спiввiдношень отримуємо
CijN (t) =
λ−1j (t)
[αij(t)]N − 1
,
Cij1 (t) =
λ−1j (t) [αij(t)]
N−1
[αij(t)]N − 1
,
Cij2 (t) =
λ−1j (t) [αij(t)]
N−2
[αij(t)]N − 1
, (22)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CijN−1(t) =
λ−1j (t) [αij(t)]
[αij(t)]N − 1
.
Отже, многочлен (19), коефiцiєнти якого визначаються за допомогою спiввiдношень
(22), є розв’язком системи рiвнянь (9) i має вигляд
γij(t) =
N∑
k=1
λ−1j (t) [αij(t)]
N−k
[αij(t)]N − 1
f̃ij(t− k). (23)
Використовуючи умови теореми, умову б) та (22), маємо
|γij(t)| =
∣∣∣∣∣
N∑
k=1
λ−1j (t) [αij(t)]
N−k
[αij(t)]N − 1
f̃ij(t− k)
∣∣∣∣∣ ≤
≤
|λ−1j (t) [αij(t)]
N−1|
|αij(t)− 1|
N∑
k=1
|f̃ij(t− k)| ≤
≤ λ−1∗ α∗N−1
α∗ − 1
N∑
k=1
|f̃ij(t− k)| ≤ βNFij = Γij , |i| = 2, j = 1, . . . , n, (24)
Розглядаючи послiдовно системи (9) при |i| = 3, 4, . . . ,m, аналогiчно можна довести
iснування неперервних N -перiодичних розв’язкiв системи (9) у випадках |i| = 3, 4, . . . ,m.
Бiльш цього, розв’язки даної системи при |i| = 3, 4, . . . ,m визначаються спiввiдношенням
γij(t) =
N∑
k=1
λ−1j (t) [αij(t)]
N−k
[αij(t)]N − 1
Pij(t− k), (25)
де Pi(t) = (Pi1(t), Pi2(t), . . . , Pin(t)), Pij(t) — деякi многочлени вiдносно компонент векто-
рiв f̃2(t), . . . , f̃i(t), γ2(t), . . . , γi−1(t).
Використовуючи умову 4 i (24), (25), методом математичної iндукцiї отримуємо
|γij(t)| ≤ βPij (F2j , . . . , Fij ,Γ2j , . . . ,Γi−1j) = Γij , |i| = 2, 3, . . . , j = 1, . . . , n. (26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
298 А. А. АКБЕРГЕНОВ, Г. П. ПЕЛЮХ
Тепер покажемо, що ряд (5), який є формальним розв’язком системи рiвнянь (7), рiв-
номiрно збiгається при |z| < ρ1 < ρ. Для цього розглянемо систему рiвнянь
χ(z)− z − βF (χ(z)) = 0, (27)
де ряд F (ỹ) =
∑∞
|i|=2 Fiỹ
i(t) збiгається при |ỹ| < ρ, ρ > 0.
Згiдно з умовою 5 система (27) має формальний розв’язок у виглядi ряду
χ(z) = z +
∞∑
|i|=2
χiz
i, (28)
де коефiцiєнти χi визначаються єдиним чином формулами
χij = βPij (F2j , . . . , Fij , χ2j , . . . , χi−1j) , |i| ≥ 2, j = 1, . . . , n. (29)
Тут Pi(t) = (Pi1(t), Pi2(t), . . . , Pin(t)), Pij(t) — деякi многочлени вiдносно компонент
векторiв f̃2(t), . . . , f̃i(t), γ2(t), . . . , γi−1(t), до того ж Pij(t) = Fij(t) при |i| = 2, j = 1, . . . , n.
З iншого боку, оскiльки
∂F
∂χ
∣∣∣∣
χ=0
= 0, то система рiвнянь (27) має єдиний голоморфний
розв’язок, що задовольняє умову χ(0) = 0. Звiдси випливає, що степеневий ряд, в який
розкладається цей розв’язок, спiвпадає з рядом (28). Отже, ряд (28) збiгається при доста-
тньо малих |z| < ρ1 < ρ.
Оскiльки безпосередньо з (29) випливає χij = Γij , |i| ≥ 2, j = 1, . . . , n, то згiдно з (18),
(26) ряд (5) також рiвномiрно збiгається при |z| < ρ1 < ρ.
Теорему доведено.
Таким чином, при виконаннi умов 1 – 5 за допомогою перетворення (5) дослiдження
системи рiвнянь (4) зводиться до дослiдження лiнiйної системи (6), загальний розв’язок
якої при t ∈ R+ має вигляд
yi(t) = |λi|tωi(t), i = 1, . . . , n,
де ωi(t) — довiльнi 1-перiодичнi при t ∈ R+ функцiї, що задовольняють умову
ωi(t+ 1) = ωi(t)signλi.
Розглянемо тепер систему рiзницевих рiвнянь (4) у випадку, коли функцiї λi(t), i =
= 1, 2, . . . , n, не задовольняють умову 2. Далi, використовуючи умову 1, будемо вважати,
що |λ1(t)| ≥ |λ2(t)| ≥ . . . ≥ |λn(t)|. Тодi для функцiй λi(t), i = 1, 2, . . . , n, можливi лише
спiввiдношення
λi(t) = λj11 (t)λj22 (t) . . . λ
ji−1
i−1 (t), i = 2, 3, . . . , n. (30)
Легко помiтити, що векторiв j = (j1, . . . , ji−1), що задовольняють умову (30), буде скiн-
ченна кiлькiсть. Зазначимо, що в такому випадку не iснує аналiтичного перетворення
вигляду (5), що зводить систему рiвнянь (4) до лiнiйного вигляду, але має мiсце наступна
теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 299
Теорема 2. Нехай виконуються умови 1, 3 – 5 i (30). Тодi iснує перетворення вигляду
(5), що зводить систему рiвнянь (4) до трикутного вигляду
zi(t+ 1) = λi(t)zi(t) +
k∑
j1+...+ji−1=2
f∗j1...ji−1
(t)zj11 (t) zj22 (t) . . . z
ji−1
i−1 (t), i = 1, . . . , n, (31)
де k — найбiльша довжина (|j| = j1 + . . .+ ji−1) векторiв j = (j1, . . . , ji−1), що задоволь-
няють умову (30), f∗j1...ji−1
(t) — деякi неперервнi N -перiодичнi функцiї.
Доведення. Запишемо систему рiвнянь (31) у векторнiй формi z(t + 1) = Λ(t)z(t) +
+
∑k
|j|=2 f
∗
j (t)zj(t) i покажемо, що iснує формальна замiна змiнних у виглядi ряду (5), яка
зводить систему (4) до вигляду (31). Для цього достатньо показати, що iснує формальний
розв’язок у виглядi (5) системи рiвнянь
γ
t+ 1,Λ(t)z(t) +
k∑
|j|=2
f∗j (t)zj(t)
= Λ(t)γ(t, z(t)) + f̃(t, γ(t, z(t))). (32)
Дiйсно, пiдставляючи (5) в (32) та беручи до уваги умову 3, маємо
Λ(t)z(t) +
k∑
|i|=2
f∗i (t)zi(t) +
∞∑
|i|=2
γi(t+ 1)
Λ(t)z(t) +
k∑
|j|=2
f∗j (t)zj(t)
i
=
= Λ(t)z(t) + Λ(t)
∞∑
|i|=2
γi(t)z
i(t)+
+
∞∑
|i|=2
f̃i(t)
z(t) +
∞∑
|j|=2
γj(t)z
j(t)
i
. (33)
Зрiвнюючи в (33) коефiцiєнти при вiдповiдних степенях zi, i = 2, 3, . . . , отримуємо рiвнян-
ня для визначення векторiв γi(t), |i| ≥ 2:
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)γij(t+ 1) = λj(t)γij(t) + Pij(t)
(34)
при λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t) 6= λj(t),
λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t)γij(t+ 1) + f∗ij(t) = λj(t)γij(t) + Pij(t)
(35)
при λi11 (t)λi22 (t) . . . λinn (t) = λj(t), |i| = 2, 3, . . . , j = 1, . . . , n,
де Pij(t) — многочлени вiдносно γl(t), γl(t + 1), |l| < |i|, з коефiцiєнтами, що залежать
вiд t.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
300 А. А. АКБЕРГЕНОВ, Г. П. ПЕЛЮХ
Рiвняння (34) нiчим не вiдрiзняються вiд рiвнянь (9), тому iснує послiдовнiсть непе-
рервних N -перiодичних функцiй γij(t), |i| = 2, 3, . . . , j = 1, . . . , n, що задовольняють (34),
(18) та (26). Якщо в (35) покласти f∗ij(t) = Pij(t), то в якостi γij(t) можна вибрати довiльну
1-перiодичну функцiю. Для простоти будемо припускати γij(t) ≡ 0.
Таким чином, iснує формальний розв’язок системи (32) у виглядi ряду (5). Доведемо
рiвномiрну збiжнiсть побудованого ряду.
Нехай supt
∣∣∣f∗ij(t)∣∣∣ ≤ f̃∗ij , 2 ≤ |i| ≤ k, j = 1, . . . , n, де f̃∗ij = const > 0, f̃∗i =
(
f̃∗i1, . . . , f̃
∗
in
)
(f̃∗ij = 0 при всiх 2 ≤ |i| ≤ k, j = 1, . . . , n, для яких не виконується умова (30)).
Розглянемо систему рiвнянь
χ(z) = χ
λ∗z +
k∑
|j|=2
f̃∗j z
j
+ βF (χ(z)) + (1− λ∗) z, (36)
де λ∗ = max {maxt{|λi(t)|, i = 1, . . . , n}} , та покажемо, що вона має розв’язок у виглядi
ряду
χ(z) = z +
∞∑
|i|=2
χiz
i. (37)
Дiйсно, пiдставляючи (37) у рiвняння (36), отримуємо
z +
∞∑
|i|=2
χiz
i = λ∗z +
k∑
|j|=2
f̃∗j z
j +
∞∑
|i|=2
χi
λ∗z +
k∑
|j|=2
f̃∗j z
j
i
+
+ β
∞∑
|i|=2
Fi
z +
∞∑
|j|=2
χjz
j
i
+ (1− λ∗) z.
Звiдси випливає
χij = λ∗|i|χij + βP̄ij , |i| = 2, 3, . . . , j = 1, . . . , n, (38)
де P̄ij — деякi многочлени вiдносно χl, |l| < |i|, що мажорують многочлени Pij , тобто
якщоAij(t)γij(t) — деякий доданок многочлена Pij , Āij(t)χij — вiдповiдний йому доданок
многочлена P̄ij , то supt |Aij(t)| ≤ Āij , до того ж P̄ij = Fij , |i| = 2, j = 1, . . . , n.
Таким чином, коефiцiєнти χi, |i| = 2, 3, . . . , визначаються єдиним чином формулами
χij = β
(
1− λ∗|i|
)−1
P̄ij , |i| = 2, 3, . . . , j = 1, . . . , n. (39)
Беручи до уваги (18), (26), (34) та (39), послiдовно знаходимо |γij(t)| ≤ χij , |i| =
= 2, 3, . . . , j = 1, . . . , n. Звiдси випливає, що для доведення збiжностi ряду (5) достатньо
довести збiжнiсть ряду (37). Згiдно з результатами [1], система рiвнянь (36) має єдиний
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 301
аналiтичний в деякiй областi |z| < ρ1 < ρ розв’язок. Звiдси випливає, що ряд (37) також
рiвномiрно збiгається в областi |z| < ρ1 < ρ.
Теорему доведено.
1. Kuczma M., Choczewski B., Ger R. Iterative functional equations. — CUP, 1990.
2. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. — Киев: Наук. думка,
1974. — 192 с.
3. Harris W. A. (Jr.), Sibuya Y. General solution of nonlinear difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. —
1965. — № 115. — P. 62 – 75.
4. Takano K. General solution of a nonlinear difference equation of Briot – Bouquet type // Funkc. ekvacioj. —
1971. — 13, № 3. — P. 179 – 198.
5. Takano K. Solution containing arbitrary periodic functions of systems of nonlinear difference equations //
Funkc. ekvacioj. — 1973. — 13, № 2. — P. 137 – 164.
6. Пелюх Г. П. Представление решений разностных уравнений с непрерывным аргументом // Диффе-
ренц. уравнения. — 1996. — 32, № 2. — С. 304 – 312.
7. Пелюх Г. П. О структуре общего решения систем нелинейных разностных уравнений // Укр. мат. журн.
— 1999. — 51, № 10. — С. 1368 – 1378.
8. Пелюх Г. П. Общее решение систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом //
Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 7. — С. 936 – 953.
9. Пелюх Г. П. К теории линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Докл.
АН РАН. — 1994. — 336, № 4. — С. 451 – 452.
Одержано 13.09.11,
пiсля доопрацювання — 06.01.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-175876 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:43:18Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Акбергенов, А.А. Пелюх, Г.П. 2021-02-02T20:12:05Z 2021-02-02T20:12:05Z 2012 Про структуру множини неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в околi стану рiвноваги / А.А. Акбергенов, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 3. — С. 291-301. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175876 517.929 Построено представление общего непрерывного решения широкого класса систем нелинейных разностных уравнений в окрестности состояния равновесия и исследована его структура. We construct a representation for a general continuous solution to a broad class of nonlinear difference systems in a neighborhood of an equilibrium. We also study the structure of the equilibrium. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про структуру множини неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в околi стану рiвноваги О структуре множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений в окрестности состояния равновесия On structure of the set of continuous solutions of nonlinear difference systems in a neighborhood of an equilibrium Article published earlier |
| spellingShingle | Про структуру множини неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в околi стану рiвноваги Акбергенов, А.А. Пелюх, Г.П. |
| title | Про структуру множини неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в околi стану рiвноваги |
| title_alt | О структуре множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений в окрестности состояния равновесия On structure of the set of continuous solutions of nonlinear difference systems in a neighborhood of an equilibrium |
| title_full | Про структуру множини неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в околi стану рiвноваги |
| title_fullStr | Про структуру множини неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в околi стану рiвноваги |
| title_full_unstemmed | Про структуру множини неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в околi стану рiвноваги |
| title_short | Про структуру множини неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в околi стану рiвноваги |
| title_sort | про структуру множини неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь в околi стану рiвноваги |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/175876 |
| work_keys_str_mv | AT akbergenovaa prostrukturumnožinineperervnihrozvâzkivsistemneliniinihriznicevihrivnânʹvokolistanurivnovagi AT pelûhgp prostrukturumnožinineperervnihrozvâzkivsistemneliniinihriznicevihrivnânʹvokolistanurivnovagi AT akbergenovaa ostrukturemnožestvanepreryvnyhrešeniisistemnelineinyhraznostnyhuravneniivokrestnostisostoâniâravnovesiâ AT pelûhgp ostrukturemnožestvanepreryvnyhrešeniisistemnelineinyhraznostnyhuravneniivokrestnostisostoâniâravnovesiâ AT akbergenovaa onstructureofthesetofcontinuoussolutionsofnonlineardifferencesystemsinaneighborhoodofanequilibrium AT pelûhgp onstructureofthesetofcontinuoussolutionsofnonlineardifferencesystemsinaneighborhoodofanequilibrium |