Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле

На основе уравнений динамики кристаллической решетки изучены сдвиговые волны, локализованные вблизи плоской границы раздела двух ГЦК кристаллов. Основное внимание обращено на особенности локализованных волн, обусловленные дискретностью кристаллической решетки, а потому не проявляющиеся в континуальн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	1996
Автори:	Косевич, А.М., Сыркин, Е.С., Тутов, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 1996
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Структурные свойства при низких температурах
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176001
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле / А.М. Косевич, Е.С. Сыркин, А.В. Тутов // Физика низких температур. — 1996. — Т. 22, № 7. — С. 804-813. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176001
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1760012025-02-09T17:16:55Z Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле Acoustic shear waves localized near a planar defect in fcc crystal Косевич, А.М. Сыркин, Е.С. Тутов, А.В. Структурные свойства при низких температурах На основе уравнений динамики кристаллической решетки изучены сдвиговые волны, локализованные вблизи плоской границы раздела двух ГЦК кристаллов. Основное внимание обращено на особенности локализованных волн, обусловленные дискретностью кристаллической решетки, а потому не проявляющиеся в континуальной теории упругости. При обсуждении качественной стороны вопроса используются простейшие модели плоского дефекта в глубине кристалла. Показано, что рассматриваемая краевая -задача имеет собственные решения (моды) двух типов — симметричные и антисимметричные волны, локализованные вблизи дефекта; исследованы частотные интервалы их существования. Эти моды различаются фазой колебаний атомных плоскостей, близлежащих к дефекту. Проанализированы характеристики локализованных волн обоих типов как в низко-, так и в высокочастотной области для всех длин волн. На підставі рівнянь динаміки кристалевої гратки вивчено -зсувані хвилі, локалізовані поблизу плоского дефекту, що розмежує два однакові ГЦК кристали. Основну увагу спрямовано на особливості локалізованих хвиль, що обумовлено дискретністю кристалевої гратки, а через те не проявлено у континуальної теорії пружності. При обміркуванні якісної сторони питання використовуються найпростіші моделі плоского дефекту у глибині кристала. Показано, що розглянута крайова -задача має власні рішення (моди) двох типів — симетричні та антисиметричні хвилі, що локалізовані поблизу дефекту; досліджено частотні інтервали їх існування. Ці моди різняться фазою коливань прилеглих до дефекту атомних площин. Проаналізовано характеристики локалізованих хвиль обох типів як у низько-, так і у височастотній області для усіх довжин хвиль. Shear waves localized near the planar defect separating two identical fcc crystals are studied using the equations of the crystal lattice dynamics. Most attention has been concentrated on the peculiarities of the localized waves which appear due to the lattice discreeteness and, hence, do not show up in the elasticity theory. The simplest models of the planar defect in the bulk are used for the discussion of the problem in principle. It is shown that the boundary problem under consideration has the eigen solutions (modes) of two types (symmetrical and antisymmetrical) localized near the planar defect waves, and the frequency intervals of their existence are analyzed. These modes differ by the phases of vibrations of the atom planes on the opposite sides of the defect. The characteristics of the localized waves of both types are analyzed both in the low- and high-frequency ranges for all the wave lengths. Работа выполнена при поддержке грантами U21200 Международного научного общества и 21247/93 INTAS, а также грантами 042032 и 052128 ШЕР. 1996 Article Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле / А.М. Косевич, Е.С. Сыркин, А.В. Тутов // Физика низких температур. — 1996. — Т. 22, № 7. — С. 804-813. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0132-6414 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176001 ru Физика низких температур application/pdf Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Структурные свойства при низких температурах Структурные свойства при низких температурах
spellingShingle	Структурные свойства при низких температурах Структурные свойства при низких температурах Косевич, А.М. Сыркин, Е.С. Тутов, А.В. Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле Физика низких температур
description	На основе уравнений динамики кристаллической решетки изучены сдвиговые волны, локализованные вблизи плоской границы раздела двух ГЦК кристаллов. Основное внимание обращено на особенности локализованных волн, обусловленные дискретностью кристаллической решетки, а потому не проявляющиеся в континуальной теории упругости. При обсуждении качественной стороны вопроса используются простейшие модели плоского дефекта в глубине кристалла. Показано, что рассматриваемая краевая -задача имеет собственные решения (моды) двух типов — симметричные и антисимметричные волны, локализованные вблизи дефекта; исследованы частотные интервалы их существования. Эти моды различаются фазой колебаний атомных плоскостей, близлежащих к дефекту. Проанализированы характеристики локализованных волн обоих типов как в низко-, так и в высокочастотной области для всех длин волн.
format	Article
author	Косевич, А.М. Сыркин, Е.С. Тутов, А.В.
author_facet	Косевич, А.М. Сыркин, Е.С. Тутов, А.В.
author_sort	Косевич, А.М.
title	Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле
title_short	Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле
title_full	Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле
title_fullStr	Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле
title_full_unstemmed	Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле
title_sort	акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в гцк кристалле
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	1996
topic_facet	Структурные свойства при низких температурах
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176001
citation_txt	Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле / А.М. Косевич, Е.С. Сыркин, А.В. Тутов // Физика низких температур. — 1996. — Т. 22, № 7. — С. 804-813. — Бібліогр.: 29 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT kosevičam akustičeskiesdvigovyevolnylokalizovannyevbliziploskogodefektavgckkristalle AT syrkines akustičeskiesdvigovyevolnylokalizovannyevbliziploskogodefektavgckkristalle AT tutovav akustičeskiesdvigovyevolnylokalizovannyevbliziploskogodefektavgckkristalle AT kosevičam acousticshearwaveslocalizednearaplanardefectinfcccrystal AT syrkines acousticshearwaveslocalizednearaplanardefectinfcccrystal AT tutovav acousticshearwaveslocalizednearaplanardefectinfcccrystal
first_indexed	2025-11-28T12:23:21Z
last_indexed	2025-11-28T12:23:21Z
_version_	1850036831984287744
fulltext	Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 1996, ò. 22, ¹ 7, c. 804–813 Àêóñòè÷åñêèå ñäâèãîâûå âîëíû, ëîêàëèçîâàííûå âáëèçè ïëîñêîãî äåôåêòà â ÃÖÊ êðèñòàëëå À. Ì. Êîñåâè÷, Å. Ñ. Ñûðêèí, À. Â. Òóòîâ Физико-технический институт низких температур им. Б. И. Веркина НАН Украины, Украина, 310164, г. Харьков, пр. Ленина, 47 E-mail: tutov@ilt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 21 ноября 1995 г., после переработки 3 января 1996 г. На основе уравнений динамики кристаллической решетки изучены сдвиговые волны, локализованные вблизи плоской границы раздела двух ГЦК кристаллов. Основное внимание обращено на особенности локали- зованных волн, обусловленные дискретностью кристаллической решетки, а потому не проявляющиеся в кон- тинуальной теории упругости. При обсуждении качественной стороны вопроса используются простейшие модели плоского дефекта в глубине кристалла. Показано, что рассматриваемая краевая задача имеет собствен- ные решения (моды) двух типов — симметричные и антисимметричные волны, локализованные вблизи дефек- та; исследованы частотные интервалы их существования. Эти моды различаются фазой колебаний атомных плоскостей, близлежащих к дефекту. Проанализированы характеристики локализованных волн обоих типов как в низко-, так и в высокочастотной области для всех длин волн. На пiдставi рiвнянь динамiки кристалевої гратки вивчено зcуванi хвилi, локалiзованi поблизу плоского дефекту, що розмежує два однаковi ГЦК кристали. Основну увагу спрямовано на особливостi локалiзованих хвиль, що обумовлено дискретнiстю кристалевої гратки, а через те не проявлено у континуальної теорiї пружностi. При обмiркуваннi якiсної сторони питання використовуються найпростiшi моделi плоского дефек- ту у глибинi кристала. Показано, що pозглянута крайова задача має власнi рiшення (моди) двох типiв — симетричнi та антисиметричнi хвилi, що локалiзованi поблизу дефекту; дослiджено частотнi iнтеpвали їх iснування. Цi моди рiзняться фазою коливань прилеглих до дефекту атомних площин. Проаналiзовано харак- теристики локалiзованих хвиль обох типiв як у низько-, так i у височастотнiй областi для усiх довжин хвиль. Введение Исследования распространения упругих волн в средах, содержащих дефекты и неоднородности, имеют богатую историю, однако они актуальны и в настоящее время, о чем свидетельствуют моногра- фии [1,2]. Характеристики упругих волн в кристал- ле дают информацию о таких процессах, как рост кристалла, образование дефектов типа дефекта упаковки и зон Гинье—Престона, а также о явлени- ях, связанных с наличием границ раздела, когда число приповерхностных атомов есть величина та- кого же порядка, как и число атомов в объеме крис- талла [3–9]. Среди большого числа упругих поверхностных волн особый интерес представляет изучение в упру- гих средах поверхностных волн нерэлеевской поля- ризации — чисто сдвиговых волн с горизонтальной поляризацией (SH-волны). Такие волны обладают весьма любопытными свойствами [10–14]. В рамках линейной и локальной теории упругости изотроп- ных сред они отсутствуют на свободной поверхнос- ти. Но при изменении свойств среды или поверх- ности SH-вo′ лны могут стать локализованными. Так, при наличии на поверхности тонкой пленки (волны Лява [15]) или адсорбированного монослоя, в пьезокристаллах [16,17], при учете нелинейности в изотропной среде [18] и т.д., эти волны становятся поверхностными, причем в длинноволновом преде- ле они являются глубоко проникающими. Такие глу- боко проникающие поверхностные волны являются чрезвычайно чувствительными к приповерхност- ным искажениям [19], что необходимо учитывать в их практическом применении. В настоящей работе исследуются чисто сдвиго- вые поверхностные волны, которые локализованы вблизи плоского дефекта, являющегося границей раздела двух ГЦК кристаллов. Уравнение движения атомов кристалла с про- стой решеткой в рамках гармонического прибли- жения имеет следующий вид: m ∂2ui(n) ∂t2 = − ∑ n′ Φik(n − n′)uk(n′) , (1) где m — масса атома; uk(n) — k-я проекция смеще- ния атома из положения равновесия в кристалле с номер-вектором n (n1 , n2 , n3); Φ ik(n) — матрица си- © À. Ì. Êîñåâè÷, Å. Ñ. Ñûðêèí, À. Â. Òóòîâ, 1996 ловых постоянных, которая учитывает симметрию кристалла и подчиняется ряду соотношений [20], обеспечивающих трансляционную и вращательную инвариантности энергии кристалла. Основные эле- менты матрицы Φik(n) кристалла ГЦК с учетом только центрального взаимодействия между бли- жайшими соседями имеют вид [20] Φik(0) = 8αδik , (2) Φik(n0) = − αni 0nk 0 , (3) где α — силовая константа, а n0 — один из номер- векторов, соединяющих ближайших соседей в кристалле: (±1, ±1, 0), (0, ±1, ±1), (±1, 0, ±1). Выберем следующую геометрию задачи. Пусть плоскость дефекта совпадает с плоскостью (001) кристалла (плоскостью z = 0), а исследуемая сдви- говая волна горизонтальной поляризации распро- страняется вдоль направления [1, 1, 0] в указанной плоскости, т.e. kx = ky = k, где (kx , ky) — двумерный волновой вектор. При таком направлении распро- странения волны смещение атомов в на- правлении [1, –1, 0] описывается отдельным урав- нением и имеет следующие временную и координатную зависимости: un = u(n3) exp (ikj nj) exp (−iωt) , (4) где подразумевается суммирование по j = 1, 2; ω — частота колебаний; u(n3) определяет зависимость амплитуды волны от координаты z, перпендику- лярной плоскости дефекта. Представим амплитуду волны u(n) в объеме в виде (вместо n3 впредь будем писать n) u(n) =    Aqn , Bq−n , n = 1, 2, ˆ , n = −1, −2, ˆ , (5) причем для существования локализованных вблизи границы раздела волн необходимо, чтобы \|q\| < 1 (6) (здесь А и В — смещения погpаничных слоев). Ус- ловие (6) указывает на уменьшение амплитуды волны в глубину кристалла при удалении от плос- кости дефекта. 1. Колебания вблизи пассивной границы раздела При анализе упругих колебаний вблизи любого дефекта в кристалле на основе динамики кристал- лической решетки, явно учитывающей дискрет- ность кристаллической структуры, неизбежно должны пpинимается во внимание конечные разме- ры дефекта, которые не могут быть меньше меж- атомных размеров. Это обстоятельство приводит к тому, что локализованные вблизи дефекта колеба- ния приобретают особенности, которые не могут быть исследованы при континуальном описании упругих колебаний в рамках теории упругости. В частности, при изучении плоского дефекта в крис- талле возможны такого типа колебания, когда про- тивоположные берега плоского дефекта колеблют- ся в противофазе. Нам представляется, что подобные особенности обусловлены дискретнос- тью кристалла и конечными размерами дефекта, а не конкретной структурой дефекта. В связи с этим мы хотели бы продемонстрировать отмеченные особенности локализованных колебаний на приме- ре предельно простой модели плоского дефекта. В такой простейшей модели плоский дефект может быть рассмотрен как когерентный контакт двух кристаллических полупространств, связанных меж- атомным взаимодействием, отличающимся от меж- атомного взаимодействия каждого из полупро- Рис. 1. Закон дисперсии SH-волн, локализованных вблизи пас- сивной границы раздела в случаях ε = 1 (1), 0,5 (2), 0 (3), −0,5 (4), –1 (5), –1,5 (6). Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 1996, ò. 22, ¹ 7 805 странств. В длинноволновом приближении эта мо- дель приводит к ситуации, изученной ранее [3–6]. Пусть константа взаимодействия между атомами в плоскостях на противоположных берегах границы раздела (обозначим ее β) отлична от силовой кон- станты α внутри кристаллов. Предположим, что граница раздела проходит между двумя соседними атомными плоскостями nz = const. Тогда для удоб- ства записи дальнейших формул будем нумеровать атомные плоскости, начиная с n = 1 для nz > 0 и с n = −1 для nz < 0. Использовав соотношения (1)–(6), получаем систему граничных условий на дефекте в следующем виде:    λA = A(4 − 2ε − 2q cos k) − 2B(1 − ε) cos k , λB = B(4 − 2ε − 2q cos k) − 2A(1 − ε) cos k , (7) где λ ≡ mω2/(4α), и закон дисперсии (зависимость частоты от волнового вектора) имеет вид λ = 4 − 2  q + 1q    cos k . (8) В (7) введена величина ε = 1 − β/α, характеризую- щая относительное изменение силового взаимодей- ствия вблизи границы раздела. Усиление (ослабле- ние) связи между двумя плоскостями в дефектной области соответствует ε < 0 (ε > 0). Дисперсионное соотношение, определяющее характеристики лока- лизованных волн, является условием разрешимости системы линейных алгебраических уравнений (7) относительно смещений A, B и имеет вид    ε − cos k q    2 = (1 − ε)2 cos2 k . (9) Существуют два решения уравнения (9) относи- тельно неизвестной величины q: qs = cos k cos k + ε(1 − cos k) , (10) qa = cos k ε(1 + cos k) − cos k . (11) Решение (10) соответствует симметричным отно- сительно плоскости дефекта колебаниям, когда смещения близлежащих к плоскости дефекта слоев совпадают, т.е. A = B. Решение (11) соответствует антисимметричным относительно плоскости де- фекта колебаниям, когда смещения слоев кристал- ла, образующих дефект (монослои n = −1 и n = 1), разного знака, т.е. A = −B. Колебания (10), (11) могут отвечать квадратам частот, лежащих как ниже, так и выше сплошного спектра квадратов частот объемных колебаний. Случай полного разрыва силовых связей атом- ных монослоев n = −1 и n = 1 соответствует значе- нию параметра ε = 1 и означает свободную поверх- ность (001) ГЦК кристалла. Сдвиговые поверхностные волны на свободной поверхности ГЦК кристалла рассматривались ранее неодно- кратно [11,12,21,22]. Их закон дисперсии естествен- но следует из (8) и (11) при ε = 1 и имеет вид q = qs = cos k , (12) λ = λs = 2 sin2 k . (13) Отщепление локальной частоты от нижней грани- цы сплошного спектра объемных колебаний крис- талла имеет вид λmin − λ = 2(1 − q)2 (14) и в длинноволновом пределе λmin − λ ~ k4. Такое слабое отщепление локальной частоты от зоны объемных колебаний кристалла не позволяет опи- сать поверхностные SH-волны в рамках локальной теории упругости и является причиной чрезвычай- но глубокого проникновения длинноволновых ко- лебаний в глубь кристалла. Нижняя и верхняя границы частот сплошного спектра объемных колебаний вдоль направления k(k, k, 0) определяются зависимостью (8) при q = ±1 и имеют вид λmin = 4(1 − cos k) , (15) λmax = 4(1 + cos k) . (16) В случае 0 < ε < 1 (ослабление межатомной связи) колебания типа (10), отвечающие частотам ниже сплошного спектра, существуют при любых Рис. 2. Схематическое изображение моноатомной плоской про- слойки в кристалле. А. М. Косевич, Е. С. Сыркин, А. В. Тутов 806 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 1996, ò. 22, ¹ 7 значениях k. При этом смещения в близлежащих к дефекту слоях совпадают: A = B (симметричные ко- лебания). Колебания типа (11) с частотами ниже гpаницы сплошного спектра отвечают антисиммет- ричным модам A = −B и имеют место при значени- ях волнового вектора k > k0 H , где cos k0 H = ε 2 + ε . (17) Отщепление локальных частот от зоны сплошного спектра частот объемных колебаний для волн типа (10) определяeтся формулой λ = λmin − 2ε2(1 − cos k)2 cos k + ε(1 − cos k) , (18) а для колебания типа (11) λ = λmin − 2(2 cos k − ε(1 + cos k))2 ε(1 + cos k) − cos k . (19) При этом q > 0, и амплитуда колебаний монотонно убывает в глубь кристалла с ростом n. Колебания типа (19) существуют при k > k0 H и имеют точку окончания кpивых при λS H = 8/(2 + ε). Вблизи этой точки кривая, описываемая выражением (19), при- ближается к границе зоны объемных колебаний по следующему закону: λS H − λ = T(k − k0 H)4 , (20) где T = 16 ε2 (1 − ε)(2 − ε) . (21) Случай отсутствия дефекта силового взаимодей- ствия ε = 0 соответствует кривым 3 на рис. 1, совпа- дающим с границами сплошного спектра объем- ных колебаний (15), (16). В случае ε < 0 (усиления межатомной связи) коле- бания отвечают частотам выше гpаницы сплошно- го спектра. Антисимметричные колебания типа (11) существуют при любых значениях k. Колеба- ния типа (10) с частотами выше гpаницы сплошно- го спектра отвечают симметричным модам A = B и имеют место при значениях волнового вектора k > k0 B , где cos k0 B = \|ε\|/(2 + \|ε\|). Отщепление локаль- ных частот от зоны сплошного спектра частот объ- емных колебаний для волн типа (10) определяeтся формулой λ = λmax + 2ε2(1 + cos k)2 cos k − ε(1 + cos k) , (22) а для мод типа (11)Рис. 3. Дисперсионные зависимости SH-волн, локализованных вблизи тяжелой моноатомной прослойки в ГЦК кристалле в случае неотрицательных ε: ε = 1 (а); 0 < ε < 1 (б); ε = 0 (в). à á â Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 1996, ò. 22, ¹ 7 807 λ = λmax + 2(2 cos k + ε(1 − cos k))2 ε(cos k − 1) − cos k . (23) При этом q < 0, и амплитуда колебания немонотон- но убывает с ростом n в глубь кристалла (ос- циллируя). Точки окончания кривых на границе зоны объемных колебаний соответствуют λS B = = 8(1 + \|ε\|)/(2 + \|ε\|), а приближение кривой (23) к верхней границе сплошного спектра — формулой λ − λS B = T(k − k0 B)4 . (24) При уменьшении ε от предельного значения ε = 1 до значения ε = 0 дисперсионные кривые низкочас- тотных поверхностных волн, отвечающих как сим- метричным, так и антисимметричным колебаниям, приближаются к нижней границе сплошного спект- ра (16). В предельно длинноволновой области при фикси- рованном значении параметра ε существуют лишь симметричные колебания. Легко оценить отщепле- ние локальной частоты симметричных низкочас- тотных колебаний и относительное изменение фа- зовой скорости ∆υph = υph − υph (0) локализованной волны в длинноволновом пределе: Рис. 4. Закон дисперсии SH-волн, локализованных вблизи тяжелой моноатомной прослойки в ГЦК кристалле при ε < 0: 0 < \|ε\| < η/(η + 2) (а); η/(η + 2) < \|ε\| < η (б); η < \|ε\| (в). à á â А. М. Косевич, Е. С. Сыркин, А. В. Тутов 808 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 1996, ò. 22, ¹ 7 ωS = 2 √2α/m k(1 − (k2/24)[1 + 6ε]) , (25) ∆υph/υph (0) = − 34 ε2k2 , k → 0 . (26) Здесь υph — фазовая скорость волны, локализован- ной вблизи дефекта, а υph (0) — фазовая скорость объемной волны с минимальной частотой сплош- ного спектра (15) в длинноволновой области. В ко- ротковолновом пределе k = π/2 кривые двух типов колебаний смыкаются и описывают в этой точке колебания, локализованные в одном атомном слое. Однако к этой точке дисперсионные кривые двух типов колебаний с частотами ниже сплошного спектра подходят по-разному: λ = 2(2 − ε) ± 2(1 − ε)[k − π/2] , k → π/2. (27) При ε = +0 кривые дисперсионной зависимости объемных колебаний совпадают с нижней грани- цей сплошного спектра колебаний кристалла. Области значений параметра ε < 0 отвечают вы- сокочастотные колебаний. Для высокочастотных колебаний в длинноволновом случае величина от- щепления частоты поверхностной волны от верх- ней границы сплошного спектра равна λ − λmax = 4ε2 1 + 2\|ε\|   1 + 12 k2 \|ε\| 1 + 2\|ε\|    . (28) По-прежнему в окрестности точки k = π/2 колеба- ния двух типов описываются следующими форму- лами: λ = 2(2 + \|ε\|) ± 2(1 + \|ε\|)[k − π/2] , k → π/2 , (29) где знак «+» соответствует симметричным (10), а «–» — антисимметричным (11) колебаниям. Зная величину относительного изменения фазо- вой скорости сдвиговой поверхностной волны (26), можно оценить изменение силового взаимодейст- вия на плоском дефекте ε с помощью акустических методов измерения [23]. 2. Локализованные колебания вблизи моноатомной плоской прослойки Интересным случаем плоского дефекта является планарный дефект в глубине кристалла, образован- ный монослоем чужеродных атомов, не нарушаю- щих общую симметрию ГЦК кристалла, но изменя- ющих силовое взаимодействие вблизи дефекта. Моделью такого дефекта служит «сэндвич» из двух полупространств ГЦК кристалла с прослойкой чу- жеродных атомов (см. рис. 2). На рисунке M — масса чужеродного атома, m — масса объемного атома, постоянная β характеризует связь чужеродно- го слоя с берегами кристалла, α — силовое взаимо- действие внутри кристалла. В длинноволновом приближении такой дефект может описываться мо- делью, предложенной в [24–29]. Система гранич- ных условий, описывающих дефект, имеет вид        λA1 = 2A1(2 − ε − q cos k) − 2B1(1 − ε) cos k , M m λB1 = 4B1(1 − ε) − 2A1(1 − ε) cos k − 2C1(1 − ε) cos k , λC1 = 2C1(2 − ε − q cos k) − 2B1(1 − ε) cos k , (30) где A1 , B1 и C1 — амплитуды колебаний границы верхнего кристалла, промежуточного примесного монослоя и границы нижнего кристалла соответст- венно; ε = 1 − β/α. Из (30) и (8) получаем дисперси- онное соотношение для локализованных волн, свя- зывающее величину q с волновым числом k: {cos k − qε}{−εaq3 cos k + q2[b + c cos2 k] − − qd cos k + a cos2 k} = 0 , (31) где a = 1 − η , b = 2ε(ε + η) , c = 1 + η − 2(1 − ε)2 , d = 3ε + η(2 + ε) , η = M − m m . Закон дисперсии (31) описывает три независимые ветви колебаний. Одно решение записывается в явном виде q = 1 ε cos k (32) и приводит к закону дисперсии λ = 4 − 2ε  1 + 1 ε2 cos2 k  . (33) Закон дисперсии (33) соответствует противофаз- ным колебаниям полупространств n > 0 и n < 0 при неподвижном дефектном слое: B1 = 0, A1 = = −C1 . Естественно считать β > 0, тогда ε < 1, и в зависи- мости от величины β параметр ε может быть как положительным, так и отрицательным. Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 1996, ò. 22, ¹ 7 809 В случае ε = 1, что соответствует разрыву связи между полупространствами n > 0 и n < 0, кривая за- кона дисперсии (33) совпадает с графиком закона дисперсии поверхностной волны (см. (12), (13)) (рис. 3,а). При значении параметра ε в интервале 0 < ε < 1 антисимметричные колебания (33) существуют при конечных значениях волновых чисел k > k0, где cos k0 = ε, a λ = λ0 = 4(1 − ε) соответственно. Форму- ла (33) дает квадраты частот, лежащих ниже грани- цы сплошного спектра (15), но выше значений λ0 . График закона дисперсии локализованных волн (кривая 3 на рис. 3,б) на границе зоны Бриллюэна k = π/2 имеет максимум λ = 2(2 − ε). При значении параметра ε в интервале −1 < ε < 0, что соответствует ослаблению связи вблизи де- фектного слоя, колебания (33) хаpактеpизуются частотами, превышающими частоты сплошного спектра (16), и существуют при k > k1, где cos k1 = \|ε\|. На границе зоны Бриллюэна k = π/2 кри- вая закона дисперсии (33) имеет минимум λ = 2(2 + \|ε\|). Параметр убывания локализованных волн q отрицателен (−1 < q < 0) при ε < 0, и убыва- ние амплитуды волны от дефекта в глубь кристалла происходит с осцилляциями. Графики закона дис- персии для разных значений ε изображены кривой 2 на рис. 4,а, 4,б. В случае ε < −1 локализованные колебания высо- кочастотны и возможны при любых k. Минималь- ные из допустимых частот (кривая 2 на рис. 3,в) соответствуют k = π/2, а максимальные частоты до- стигаются при k = 0. При значениях параметра ε в интервале −1 < ε < 1 кривая антисимметричных ко- лебаний стремится к точке k0 по закону λ = 4(1 − ε) + 1 2ε (k − k0) 4 (34) и приближается к границе зоны Бриллюэна k = π/2 по следующему закону: λ = 2(2 − ε) − 2 ε   k − π2    2 . (35) Закон дисперсии локализованных колебаний других типов описывается уравнением [cos k − qε][2q(1− ε) + Mm (q2 cos k − 2q + cos k)] − − 2q2(1 − ε)2 cos 2 k = 0 . (36) Уравнение (36) определяет две ветви локализован- ных колебаний с \|q\| < 1, симметричных относитель- но дефектной плоскости (третье решение не удовле- творяет условию (6) и нами не рассматривается). Возможны два независимых типа колебаний: де- фектный слой смещается в одном направлении с близлежащими атомными слоями (симметричные синфазные колебания) либо в противофазе с бли- жайшими атомными слоями (симметричные проти- вофазные колебания). Симметричные противофаз- ные колебания должны обладать более высокими частотами, чем симметричные синфазные колеба- ния. На примере тяжелой примесной прослойки (M > m) подробно рассмотрим особенности зако- нов дисперсии, отвечающих локализованным коле- баниям. В случае 0 < ε < 1 симметричные противофазные колебания существуют для достаточно больших значений волновых чисел k > k1 H , где cos k1 H = ε M/m − (1 − ε) M/m − (1 − ε)2 , (37) и частоты — ниже границы сплошного спектра (15). Из соотношения (37) следует, что для тяжелого примесного слоя (M > m) справедливо cos k1 H − cos k0 = = ε(1 − ε)2 (M/m − 1) + 1 − (1 − ε)2 > 0 , (38) а потому k1 H < k0 для положительных значений параметра ε. При значении параметра ε близком к единице выражение для характеристик локализо- ванной волны можно записать в явном виде. В этом случае локализованные колебания приобретают следующие характеристики (ε = 1 − ξ, ξ << 1): q = (1 + ξ) cos k , λ = λ0 s + 2ξ sin2 k , (39) где λ0 s = 2 sin2 k. Локализованные колебания (39) возможны для волновых чисел k > k1 H, где k1 H ≈ √2ξ . Минимально возможным значениям k соответству- ют минимальные частоты локализованных колеба- ний λ = 4(1 − cos √2ξ). На границе зоны Бриллюэна кpивая, соответствующая закону дисперсии λ(k), имеет максимум λ = 2(1 + ξ) и проходит ближе к границе сплошного спектра (15), чем кривая по за- кону дисперсии поверхностной волны (13). Этот закон дисперсии (38) пpоиллюстpиpован кривой 2 на рис. 3,б. Таким образом, ветвь закона дисперсии (31), отвечающая антисимметричным колебаниям (33) (кривая 3 на рис. 3,б), проходит ближе к грани- це сплошного спектра (15) и существует для бo′ льших волновых чисел, чем ветвь симметричных противофазных колебаний (кривая 2 на рис. 3,б). Эти кривые совпадают на границе зоны Бриллюэна k = π/2 в точке А. М. Косевич, Е. С. Сыркин, А. В. Тутов 810 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 1996, ò. 22, ¹ 7 λ0 = 2(2 − ε) . (40) В случае ε = 0 колебания обоих типов возможны только на границе зоны Бриллюэна k = π/2 с часто- той λ0 = 4 (рис. 3,в). В случае отрицательных значений ε, что соответ- ствует усилению связи вблизи дефектного слоя, симметричные противофазные колебания (кри- вая 3, рис. 4,а) обладают частотами, лежащими выше верхней границы сплошного спектра объем- ных колебаний кристалла (16). При значениях −1 < (1 − M/m)/(1 + M/m) < ε < 0 такие колебания возможны для достаточно больших волновых чисел k > k1 B, где cos k1 B = \|ε\| M/m − (1 + \|ε\|) M/m − (1 + \|ε\|)2 (41) и cos k1 B > cos k0 (k0 > k1 B). Ветвь симметричных противофазных колебаний (кривая 3, рис. 4,а, 4,б, 4,в) лежит выше других вет- вей локализованных колебаний при ε < 0. Для зна- чений \|ε\| > \|ε\|kp = (M/m − 1)/(M/m + 1) симметричные противофазные колебания существуют для любых волновых чисел (кривые 3 на рис. 4,б, 4,в). При ε < 0 симметричные противофазные колеба- ния имеют максимальные частоты в длинноволно- вой области (k = 0) и минимальные частоты на гра- нице зоны Бриллюэна k = π/2. При значениях параметра (1 − M/m)(1 + + M/m)−1 < ε < 1 кривая симметричных противо- фазных колебаний стремится к точкам k1 H и k1 B по следующим законам: λ = 4 (M/m − 1)(1 − ε) M/m − (1 − ε)2 + GH 2 (k − k1 H)4, k → k1 H , (42) λ = 4 (M/m − 1)(1 + \|ε\|) M/m − (1 + \|ε\|)2 − GB 2(k − k1 B)4, k → k1 B , (43) где GH = 2αH(αH − 1) (1 − ε)[−1 + 2αH(1 − ε)] − M/m(αH − 1) , αH ≡ cos k1 H , (44) GB = 2αB(αB − 1) (1 − ε)[1 + 2αB(1 − ε)] − M/m(αB − 1) , αB ≡ cos k1 B . (45) Кривая, соответствующая закону дисперсии сим- метричных противофазных колебаний, стремится к границе зоны Бриллюэна по закону λ = 2(2 − ε) − 2 ε (k − π2) 2 , k → π/2 . (46) Теперь рассмотрим другую ветвь колебаний — симметричные синфазные колебания. Для значе- ний параметра 0 < ε < 1 кривая, соответствующая закону дисперсии (кривая 1 на рис. 3,б, 3,в), прохо- дит ниже границы сплошного спектра объемных колебаний кристалла (15) с наименьшей частотой λ = 0 при k = 0 и наибольшей частотой на границе зоны Бриллюэна: λ1 = 4 mM (1 − ε) . (47) Эта ветвь закона дисперсии действительно описы- вает симметричные синфазные колебания, посколь- ку, согласно второму уравнению системы (30), в случае симметричных колебаний (A1 = C1) имеем A1(1 − ε) cos k = 14 Mm (λ1 − λ)B1 . (48) Таким образом, движение дефектного слоя проис- ходит в одном направлении с движением близлежа- щих атомных слоев. При ε = 0 эта ветвь закона дисперсии описывает локализованные колебания вблизи тяжелого изото- пического монослоя (кривая 1 на рис. 3,в). Отщеп- ление локальной частоты от нижнего края сплош- ного спектра, а также относительная фазовая скорость локализованной вблизи изотоп-дефекта волны в длинноволновом пределе имеет вид λ − λmin = 12 η2k2 , (49) ∆υph υph min = η2k2 , (50) где υph min = 2√2α/m . В случае дефекта с прослойкой изотопа удвоенной массы (M = 2m) в этой модели существуют локализованные колебания с характе- ристиками, совпадающими с характеристиками по- верхностной волны (13). При (1 − M/m)/(1 + M/m) < ε < 0 В случае значений параметра (1− M/m) < ε < (1− M/m)/(1 + M/m) cинфазные симметричные колебания существуют для достаточно больших волновых чисел k > k1 H, где k1 H находится из соотношения (37), с частотами ниже границы сплошного спектра (15) и выше ми- нимальной частоты Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 1996, ò. 22, ¹ 7 811 λ = 4 (M/m − 1)(1 + \|ε\|) M/m − (1 + \|ε\|)2 . Максимально возможные частоты λ1 достигаются на границе зоны Бриллюэна (k = π/2) (кривая 1, рис. 4,б). В случае значений параметра ε < 1 − M/m сим- метричные синфазные колебания имеют частоты выше границы сплошного спектра (16) и существу- ют для достаточно больших волновых векторов k > k1 B, где k1 B определяется из соотношения (41) (кривая 1, рис. 4,в). Симметричные синфазные ко- лебания имеют минимальную частоту λ = 4 (M/m − 1)(1 + \|ε\|) (1 + \|ε\|)2 − (M/m − 1) при k = k1 B и максимальную частоту λ1 на границe зоны Бриллюэна при фиксированном значении параметра ε < 1 − M/m. При значениях параметра ε < −(M/m −1)(M/m + + 1)−1 кривая симметричных синфазных колебаний стремится к точкам k1 H и k1 B по законам λ = 4 (M/m − 1)(1 + \|ε\|) M/m − (1 + \|ε\|)2 + GH 2 (k − k1 H)4, k → k1 H ,(51) λ = 4 (M/m − 1)(1 + \|ε\|) M/m − (1 + \|ε\|)2 − GB 2(k − k1 B)4, k → k1 B . (52) Кривая закона дисперсии симметричных синфаз- ных колебаний стремится к границе зоны Бриллюэ- на k = π/2 по закону λ = 4 mM (1 − ε) + (k − π/2)2 (1 − m/M) + εm/M . (53) В заключение сравним результаты, полученные на микроскопическом уровне, с результатами фено- менологического исследования локализованных волн вблизи плоского дефекта [24–29]. Считая уп- ругие характеристики дефектного слоя слабо отли- чающимися от упругих характеристик кристалла, из уравнения (31), пользуясь теорией возмущений, оценим поправку κ = 1 − q к параметру затухания q (κ << 1) в длинноволновом пределе: κ = 12 k2  M − m M + 2 α − β α    , k → 0. (54) Согласно [29], поправка κ к параметру затухания сдвиговой поверхностной волны имеет вид κ = 12 k2      ρs − ρ ρs + µ − µs µ      , k → 0, (55) где ρ, ρs (µ, µs) — плотности (модули сдвига) мате- ринского кристалла и дефектного слоя соответст- венно. Сравнение результатов (54) и (55) позволяет предположить соответствие двух подходов описа- ния SH-волн, локализованных вблизи плоского де- фекта. Массы M и m в формуле (54) после усредне- ния по физически малому объему перейдут в плотности ρs и ρ, а силовые константы центрально- го взаимодействия в объеме α и дефектном слое β в пpедставленных модели и приближении соответст- вуют модулям сдвига µ и 1⁄2 (µ + µs) при описании SH-волн в рамках теории упругости. Работа выполнена при поддержке грантами U21200 Международного научного общества и 21247/93 INTAS, а также грантами 042032 и 052128 ISSEР. А. М. Косевич, Е. С. Сыркин, А. В. Тутов 812 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 1996, ò. 22, ¹ 7 1. S. L. Shinde and D. A. Rudman, Interfaces in HT c Supercon- ducting Systems, Springer-Verlag, New York (1994). 2. S. D. Bodar and M. K. Hunders, Interface Effects in Elastic Wave Scattering, Springer-Verlag, Heidelberg (1994). 3. А. М. Косевич, В. И. Хохлов, ФТТ 10, 56 (1968). 4. А. М. Косевич, В. И. Хохлов, ФТТ 12, 2570 (1970). 5. V. R. Velasco and B. Djafari-Rouhani, Phys. Rev. B26, 1929 (1982). 6. V. R. Velasco and F. Garcia-Moliner, Phys. Scr. 20, 111 (1979). 7. B. Djafari-Rouhani, L. Dobrzynski, V. R. Velasco, and F. Gar- cia-Moliner, Surface Science 110, 129 (1981). 8. B. Djafari-Rouhani, L. Dobrzynski, and P. Masri, Ann. Phys. Fr. 6, 259 (1981). 9. S. L. Cunningham, L. Dobrzynski, and A. A. Maradudin, Phys. Rev. B7, 4643 (1973). 10. G. P. Alldredge, Phys. Lett. A41, 281 (1972). 11. И. М. Гельфгат, ФТТ 22, 2815 (1980). 12. И. М. Гельфгат, Кpисталлогpафия 25, 838 (1980). 13. С. В. Биpюков, Ю. В. Гуляев, В. В. Кpылов, В. П. Плесский, Повеpхностные акустическое волны в неодноpодных сpедах, Наука, Москва (1990). 14. V. V. Krylov, Progr. Surf. Sci. 32, 39 (1990). 15. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоpия упpугости, Наука, Москва (1990). 16. Ю. В. Гуляев, Письма в ЖЭТФ 9, 63 (1969). 17. J. L. Bleustein, Appl. Phys. Lett. 13, 412 (1968). 18. V. G. Mozhaev, Phys. Lett. A139, 333 (1989). 19. Ю. А. Косевич, Е. С. Сыpкин, Письма в ЖТФ 13, 1439 (1987). 20. G. Leibfried, Gittertheorie der Mechanischen und Thermischen Eigenschaften der Kristalle, Springer, Berlin-Gottindhem- Heidelberg (1955). 21. И. М. Гельфгат, Е. С. Сыpкин, ФНТ 4, 141 (1978). 22. И. М. Гельфгат, Е. С. Сыpкин, ФНТ 3, 899 (1977). 23. А. М. Косевич, Е. С. Сыpкин, М. В. Воинова, Акуст. жуpн. 39, 944 (1993). 24. L. J. Pyrak-Nolte and N. G. W. Cook, Geophys. Res. Lett. 14, 1107 (1987). 25. L. J. Pyrak-Nolte, J. Xu, and G. M. Haley, Phys. Rev. Lett. 68, 3650 (1992). 26. Yu. A. Kosevich and E. S. Syrkin, J. Phys. C2, 5047 (1990). 27. Ю. А. Косевич, Е. С. Сыpкин, ФНТ 20, 660 (1994). 28. Yu. A. Kosevich and E. S. Syrkin, Phys. Lett. A122, 178 (1987). 29. A. M. Kosevich, Yu. A. Kosevich, and E. S. Syrkin, Progr. Surf. Sci. (1996) (in press). Acoustic shear waves localized near a planar defect in fcc crystal A. M. Kosevich, E. S. Syrkin, and A. V. Tutov Shear waves localized near the planar defect separating two identical fcc crystals are studied using the equations of the crystal lattice dynamics. Most attention has been con- centrated on the peculiarities of the localized waves which appear due to the lattice discreeteness and, hence, do not show up in the elasticity theory. The simplest models of the planar defect in the bulk are used for the discussion of the problem in principle. It is shown that the boundary problem under consideration has the eigen solutions (modes) of two types (symmetrical and antisymmetrical) localized near the planar defect waves, and the frequency intervals of their existence are analyzed. These modes differ by the phases of vibrations of the atom planes on the opposite sides of the defect. The characteristics of the localized waves of both types are analyzed both in the low- and high-frequency ranges for all the wave lengths. Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 1996, ò. 22, ¹ 7 813

Акустические сдвиговые волны, локализованные вблизи плоского дефекта в ГЦК кристалле

Репозитарії

Схожі ресурси