Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
Встановлено асимптотичнi формули для одного класу монотонних розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь n-го порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв з правильно змiнними нелiнiйностями. We find asymptotics formulas for a class of monotone solutions of order n nonautonomous differenti...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176017 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка / А.М. Клопот // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 447-465. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859912094155014144 |
|---|---|
| author | Клопот, А.М. |
| author_facet | Клопот, А.М. |
| citation_txt | Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка / А.М. Клопот // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 447-465. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Встановлено асимптотичнi формули для одного класу монотонних розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь n-го порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв з правильно змiнними нелiнiйностями.
We find asymptotics formulas for a class of monotone solutions of order n nonautonomous differential equations that contain a sum of terms with regularly changing nonlinearities in the right-hand side.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:02:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ n-ГО ПОРЯДКА
А. М. Клопот
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
Украина, 23454, Одесса, ул. Дворянская, 2
We find asymptotics formulas for a class of monotone solutions of order n nonautonomous differential
equations that contain a sum of terms with regularly changing nonlinearities in the right-hand side.
Встановлено асимптотичнi формули для одного класу монотонних розв’язкiв неавтономних
диференцiальних рiвнянь n-го порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв з правильно
змiнними нелiнiйностями.
1. Введение. Рассматривается дифференциальное уравнение
y(n) =
m∑
k=1
αkpk(t)[1 + rk(t)]ϕk(y), (1.1)
где αk ∈ {−1; 1}, k = 1, . . . ,m, pk : [a, ω[−→]0,+∞, k = 1, . . . ,m, — непрерывно диффе-
ренцируемые функции, rk : [a, ω[−→ R, k = 1, . . . ,m, — непрерывные функции, удовле-
творяющие условиям
lim
t↑ω
rk(t) = 0, k = 1, . . . ,m, (1.2)
ϕk : 4Y0 −→]0,+∞[, k = 1, . . . ,m, — правильно меняющиеся при y −→ Y0 функции
порядков σk, k = 1, . . . ,m, −∞ < a < ω ≤ +∞1, 4Y0 — односторонняя окрестность Y0,
Y0 равно либо 0, либо ±∞.
Свойства правильно меняющихся функций детально изложены в монографии [1]. В
частности, из определения правильно меняющейся функции следует, что
ϕk(y) = |y|σkLk(y), k = 1, . . . ,m, (1.3)
где Lk(y) — медленно меняющиеся функции при y −→ Y0, т. е.
lim
y→Y0
y∈∆Y0
Lk(λy)
Lk(y)
= 1 k = 1, . . . ,m, для любого λ > 0. (1.4)
Известно [1], что предельные соотношения (1.4) выполняются равномерно по λ на лю-
бом промежутке [c, d] ⊂]0,+∞[ (свойство M1) и существуют непрерывно дифференци-
руемые медленно меняющиеся при y −→ Y0 функции L1k :4Y0 −→]0,+∞[ (свойство M2)
1 Считаем, что a > 1 при ω = +∞ и ω − 1 < a < ω при ω < +∞.
c© А. М. Клопот, 2012
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 447
448 А. М. КЛОПОТ
такие, что
lim
y→Y0
y∈∆Y0
Lk(y)
L1k(y)
= 1, lim
y→Y0
y∈∆Y0
yL′1k(y)
L1k(y)
= 0, k = 1, . . . ,m. (1.5)
Примерами медленно меняющихся при y −→ Y0 функций являются | ln |y||γ1 , lnγ2 | ln |y||,
γ1, γ2 ∈ R, exp(| ln |y||γ3), 0 < γ3 < 1, exp
(
ln |y|
ln | ln |y||
)
, функции, имеющие отличный от
нуля конечный предел при y −→ Y0, и др.
При m = 1 и L1 ≡ 1 уравнение (1.1) является обобщенным уравнением типа Эмде-
на – Фаулера. Асимптотические свойства его решений детально исследованы в моногра-
фии [2], а также в работах [3 – 6] и др.
При m > 1 и Lk ≡ 1, k = 1,m, асимптотическое поведение некоторых классов моно-
тонных решений уравнения (1.1) изучалось в работах [3, 7].
В случае n = 2 и произвольных дважды непрерывно дифференцируемых медленно
меняющихся при y → Y0 функций Lk, k = 1,m, m > 1, уравнение (1.1) исследовалось
в работах [8, 9]. Здесь были установлены асимптотические при t ↑ ω представления для
всех возможных типов так называемых Пω(Y0, µ0)-решений.
Положим
πω(t) =
{
t, если ω = +∞,
t− ω, если ω < +∞,
и введем следующее определение.
Решение y : [t0, ω[−→ 4Y0 уравнения (0.1) будем называть Пω(Y0, µ0)-решением, где
−∞ ≤ µ0 ≤ +∞, если оно удовлетворяет следующим условиям:
y : [t0, ω[−→ 4Y0 , lim
t↑ω
y(t) = Y0, (1.6)
y(n−1)(t) 6= 0 при t ∈ [t0, ω[, lim
t↑ω
y(k)(t) =
{
либо 0,
либо ±∞, k = 1, . . . , n− 1, (1.7)
lim
t↑ω
πω(t)y(n)(t)
y(n−1)(t)
= µ0, причем lim
t↑ω
y(n)(t)y(n−2)(t)
[y(n−1)(t)]2
= 1, если µ0 = ±∞. (1.8)
Целью настоящей работы является распространение некоторых из результатов ра-
бот [8, 9] на общий случай n ≥ 2 и без дополнительных предположений о том, что Lk,
k = 1,m, — дважды непрерывно дифференцируемые функции.
2. Некоторые вспомогательные обозначения и априорные свойства Пω(Y0, µ0)-ре-
шений. Выберем число b ∈ ∆Y0 так, чтобы выполнялось неравенство
|b| < 1 при Y0 = 0, b > 1 (b < −1) при Y0 = +∞ (Y0 = −∞), (2.1)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 449
и положим
∆Y0(b) = [b, Y0[, если ∆Y0 — левая окрестность Y0,
∆Y0(b) =]Y0, b], если ∆Y0 — правая окрестность Y0.
Из определения Пω(Y0, µ0)-решения ясно, что каждое такое решение уравнения (1.1)
и все его производные до порядка n − 1 включительно отличны от нуля на некотором
промежутке [t1, ω[⊂ [t0, ω[, причем на этом промежутке первая производная данного ре-
шения положительна, если ∆Y0 — левая окрестность Y0, и отрицательна — в противном
случае. Учитывая этот факт и выбор b, вводим два числа
ν0 = sign b, ν1 =
{
1, если ∆Y0 — левая окрестность Y0,
−1, если ∆Y0 — правая окрестность Y0,
(2.2)
определяющие соответственно знаки Пω(Y0, µ0)-решения и его первой производной на
промежутке [t1, ω[.При этом заметим, что для Пω(Y0, µ0)-решения уравнения (1.1) выпол-
няются условия
ν0ν1 < 0, если Y0 = 0, и ν0ν1 > 0, если Y0 = ±∞.
Лемма 2.1. Если |µ0| < +∞, то для каждого Пω(Y0, µ0)-решения уравнения (1.1) име-
ют место предельные соотношения
lim
πω(t)y(k)(t)
y(k−1)(t)
= µ0 + n− k, k = 1, . . . , n. (2.3)
Если же µ0 = ±∞, то для каждого Пω(Y0, µ0)-решения уравнения (1.1)
lim
t↑ω
πω(t)y(k)(t)
y(k−1)(t)
→ ±∞, k = 1, . . . , n,
y′(t)
y(t)
∼ y′′(t)
y′(t)
∼ . . . ∼ y(n)(t)
y(n−1)(t)
при t ↑ ω. (2.4)
Доказательство. Пусть |µ0| < +∞ и y — произвольное Пω(Y0, µ0)-решение уравнения
(1.1). Покажем, используя метод математической индукции, что в этом случае имеют мес-
то асимптотические представления (2.3). При k = n утверждение верно в силу первого
из условий (1.8). Предположим, что оно верно при k = i ∈ {2, . . . , n − 1}, и докажем его
справедливость при k = i − 1. В силу определения Пω(Y0, µ0)-решения lim
t↑ω
y(i−2)(t) равен
либо 0 либо ±∞. Если lim
t↑ω
y(i−2)(t) = ±∞, то в силу правила Лопиталя в форме Штольца
lim
t↑ω
πω(t)y(i−1)(t)
y(i−2)(t)
= lim
t↑ω
(
1 +
πω(t)y(i)(t)
y(i−1)(t)
)
= µ0 + n− (i− 1). (2.5)
Если же lim
t↑ω
y(i−2)(t) = 0, то для применения правила Лопиталя следует предварительно
установить, что lim
t↑ω
πω(t)y(i−1)(t) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
450 А. М. КЛОПОТ
Положим
z(t) =
πω(t)y(i−1)(t)
y(i−2)(t)
.
Тогда
z′(t) =
y(i−1)(t)
y(i−2)(t)
+
πω(t)y(i)(t)
y(i−2)(t)
+
πω(t)y(i−1)(t)
(y(i−2)(t))2
y(i−1)(t) =
=
y(i−1)(t)
y(i−2)(t)
[
1 +
πω(t)y(i)(t)
y(i−1)(t)
− πω(t)y(i−1)(t)
y(i−2)(t)
]
.
Отсюда следует, что
z′(t) =
z(t)
πω(t)
[
1 +
πω(t)y(i)(t)
y(i−1)(t)
− z(t)
]
. (2.6)
Рассмотрим соответствующую этому соотношению функцию
f(t, c) =
c
πω(t)
[
1 +
πω(t)y(i)(t)
y(i−1)(t)
− c
]
.
Поскольку в силу предположения индукции при k = i имеет место предельное со-
отношение (2.3), функция f(t, c) при всех c ∈ R, кроме значений c = 0 и c = µ0 +n− i+1,
сохраняет знак в некоторой левой окрестности ω.Поэтому согласно лемме 2.1 из работы
[10] для функции z существует конечный или равный ±∞ предел при t ↑ ω. Покажем,
что этот предел не может быть бесконечным. В самом деле, если бы он был равен ±∞,
то из (2.6) получили бы соотношение
z′(t) =
−z2(t)
πω(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω,
т. е.
z′(t)
z2(t)
= − 1
πω(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Интегрируя это соотношение на промежутке от t0 до t, получаем
− 1
z(t)
+
1
z(t0)
= −
t∫
t0
1
πω(t)
[1 + o(1)] dt = − ln |πω(t)|[1 + o(1)].
Однако это невозможно, так как здесь левая часть имеет конечный предел при t ↑ ω, а
правая — бесконечный. Следовательно, lim
t↑ω
z(t) = const. В силу условия lim
t↑ω
y(i−2)(t) = 0
это возможно лишь в случае, когда lim
t↑ω
πω(t)y(i−1)(t) = 0. Значит, для вычисления lim
t↑ω
z(t)
можно использовать правило Лопиталя. Поэтому получим (2.5).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 451
Тем самым установлена справедливость предельного соотношения (2.3) при k = i− 1.
Тогда в силу метода математической индукции (2.3) справедливо при k = 1, . . . , n.
Пусть теперь µ0 = ±∞ и y — произвольное Пω(Y0,±∞)-решение уравнения (1.1).
С помощью метода математической индукции покажем, что
lim
t↑ω
y(k)(t)y(k−2)(t)
[y(k−1)(t)]2
= 1, k = 2, . . . , n. (2.7)
При k = n это предельное соотношение верно в силу условия (1.8). Теперь предположим,
что оно верно при k = i ∈ {3, . . . , n− 1}, и докажем его справедливость при k = i− 1.
Положим
z(t) =
y(i−1)(t)y(i−3)(t)
[y(i−2)(t)]2
.
Тогда
z′(t) =
y(i)(t)y(i−3)(t)
[y(i−2)(t)]2
+
y(i−1)(t)
y(i−2)(t)
− 2
[y(i−1)(t)]2y(i−3)(t)
[y(i−2)(t)]3
=
=
y(i−1)(t)
y(i−2)(t)
[
y(i)(t)y(i−3)(t)
y(i−1)y(i−2)(t)
+ 1− 2
y(i−1)(t)y(i−3)(t)
[y(i−2)(t)]2
]
=
=
y(i−1)(t)
y(i−2)(t)
[
y(i)(t)y(i−2)(t)
[y(i−2)(t)]2
y(i−3)(t)y(i)(t)
[y(i−2)(t)]2
+ 1− 2
y(i−1)(t)y(i−3)(t)
[y(i−2)(t)]2
]
.
Отсюда следует, что
z′(t) =
y(i−1)(t)
y(i−2)(t)
[
z(t)
y(i)(t)y(i−2)(t)
[y(i−2)(t)]2
+ 1− 2z(t)
]
. (2.8)
Рассмотрим соответствующую этому соотношению функцию
f(t, c) =
y(i−1)(t)
y(i−2)(t)
[
c
y(i)(t)y(i−2)(t)
[y(i−2)(t)]2
+ 1− 2c
]
.
Поскольку выполняется первое из условий (1.7) и в силу предположения индукции при
k = i имеет место предельное соотношение (2.7), здесь при всех c 6= 1 правая часть
сохраняет знак в некоторой левой окрестности ω.Поэтому согласно лемме 2.1 из работы
[10] существует конечный либо равный ±∞ предел функции z при t ↑ ω.
Сначала покажем, что этот предел не может быть равен постоянной, отличной от
единицы. В самом деле, если бы это было не так, то из (2.8) получили бы асимптотиче-
ское соотношение
z′(t) =
y(i−1)(t)
y(i−2)(t)
[c1 + o(1)] при t ↑ ω,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
452 А. М. КЛОПОТ
где c1 — отличная от нуля постоянная. Интегрируя это соотношение на промежутке от
t0 до t и учитывая, что в силу (1.8) lim
t↑ω
y(i−2)(t) равен либо нулю , либо ±∞, получаем
z(t)− z(t0) =
t∫
t0
y(i−1)(t)
y(i−2)(t)
[c1 + o(1)] dt = [c1 + o(1)] ln |y(i−2)(t)| −→ ±∞ при t ↑ ω.
Однако это невозможно, так как здесь левая часть стремится к постоянной при t ↑ ω.
Покажем теперь, что этот предел не может быть равен ±∞ при t ↑ ω. Если бы он
был равен ±∞, то из (2.8) получили бы соотношение
z′(t) =
y(i−2)(t)
y(i−3)(t)
z2(t)[1− 2 + o(1)] при t ↑ ω,
т. е.
z′(t)
z2(t)
= −y
(i−2)(t)
y(i−3)(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Интегрируя это соотношение на промежутке от t0 до t, получаем
− 1
z(t)
+
1
z(t1)
= −
t∫
t1
y(i−2)(t)
y(i−3)(t)
[1 + o(1)] dt = −[1 + o(1)] ln |y(i−3)(t)| при t ↑ ω.
Здесь выражение, стоящее в левой части, имеет конечный предел при t ↑ ω, а выражение
справа — бесконечный в силу условий (1.6), (1.7). Тем самым получили противоречие.
Значит, limt↑ω z(t) = 1. Поэтому согласно методу математической индукции имеют
место предельные соотношения (2.7). Из соотношений (2.7) следует, что
y(k)(t)
y(k−1)(t)
∼ y(k−1)(t)
y(k−2)(t)
, k = 2, . . . , n, при t ↑ ω,
и поэтому имеют место вторые из асимптотических соотношений (2.4). Из них в силу
первого из условий (1.8) (при µ0 = ±∞) следуют первые из условий (2.4).
Лемма доказана.
Лемма 2.2. Пусть |µ0| < +∞ и для некоторых i, j ∈ {1, . . . ,m} таких, что i 6= j,
выполняется условие
lim sup
t↑ω
|πω(t)|
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
]
< ν0 ν1|µ0 + n− 1|(σi − σj). (2.9)
Тогда для каждого Пω(Y0, µ0)-решения уравнения (1.1) имеет место предельное соотно-
шение
lim
t↑ω
pj(t)ϕj(y(t))
pi(t)ϕi(y(t))
= 0. (2.10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 453
Доказательство. Для данных i, j ∈ {1, . . . ,m} введем функцию
zij(t) =
pj(t)ϕ1j(y(t))
pi(t)ϕ1i(y(t))
, где ϕ1k(y) = |y|σkL1k(y), k = i, j.
Для этой функции
z′ij(t) =
zij(t)
|πω(t)|
[ |πω(t)|p′j(t)
pj(t)
− |πω(t)|p′i(t)
pi(t)
+
+
|πω(t)|y′(t)
y(t)
(
y(t)ϕ′1j(y(t))
ϕ1j(y(t))
− y(t)ϕ′1i(y(t))
ϕ1i(y(t))
)]
. (2.11)
Здесь согласно лемме 2.1 и в силу свойств функций ϕ1k, k = i, j,
lim
t↑ω
|πω(t)|y′(t)
y(t)
(
y(t)ϕ′1j(y(t))
ϕ1j(y(t))
− y(t)ϕ′1i(y(t))
ϕ1i(y(t))
)
= ν0ν1|µ0 + n− 1|(σj − σi).
Поэтому в силу условия (2.9) существуют числа ρ < 0 и t1 ∈ [t0, ω[ такие, что выполняет-
ся неравенство
|πω(t)|p′j(t)
pj(t)
− |πω(t)|p′i(t)
pi(t)
+
|πω(t)|y′(t)
y(t)
(
y(t)ϕ′1j(y(t))
ϕ1j(y(t))
− y(t)ϕ′1i(y(t))
ϕ1i(y(t))
)
<ρ при t1 ∈ [t0, ω[.
В силу этого неравенства из (2.11) получим
z′ij(t) ≤
ρzij(t)
|πω(t)|
при t ∈ [t1, ω[.
Отсюда следует, что
ln
∣∣∣∣ zij(t)zij(t1)
∣∣∣∣ ≤ ρ sign [πω(t)] ln
∣∣∣∣ πω(t)
πω(t1)
∣∣∣∣ при t ∈ [t1, ω[.
Здесь выражение, стоящее в правой части, стремится к−∞ при t ↑ ω и поэтому lim
t↑ω
zij(t) =
= 0. Согласно этому условию и асимптотическим соотношениям ϕ1k(y) ∼ ϕk(y), k = i, j,
при y → Y0 справедливо предельное соотношение (2.10).
Лемма доказана.
Замечание 2.1. Из доказательства леммы 2.2 ясно, что если вместо (2.9) выполняется
неравенство
lim inf
t↑ω
|πω(t)|
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
]
> ν0ν1|n− 1 + µ0|(σi − σj),
то для каждого Пω(Y0, µ0)-решения уравнения (1.1)
lim
t↑ω
pj(t)ϕj(y(t))
pi(t)ϕi(y(t))
= +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
454 А. М. КЛОПОТ
3. Основные результаты. Для того чтобы сформулировать основной результат, нам
понадобятся вспомогательные функции
Ii(t) =
t∫
Ai
pi(τ)πn−1ω (t) dτ, Φi(y) =
y∫
Bi
ds
ϕi(s)
, (3.1)
где
Ai =
a, если
ω∫
a
|πω(t)|n−1pi(τ) dτ = +∞,
ω, если
ω∫
a
|πω(t)|n−1pi(τ) dτ < +∞,
Bi =
b, если
∣∣∣∣∣∣
Y0∫
b
dy
ϕi(y)
∣∣∣∣∣∣ = +∞,
Y0, если
∣∣∣∣∣∣
Y0∫
b
dy
ϕi(y)
∣∣∣∣∣∣ < +∞.
Отметим необходимые для дальнейшего свойства функции Φi. Поскольку Φ′i(y) > 0 при
y ∈ ∆Y0(b), то Φi : ∆Y0(b) −→ ∆Z0(c), где
∆Z0(c) =
{
[c, Z0[, если ∆Y0(b) = [b, Y0[,
]Z0, c], если ∆Y0(b) =]Y0, b],
c =
b∫
Bi
ds
ϕi(s)
,
Z0 =
0, если Bi = Y0,
+∞, если Bi = b < Y0,
−∞, если Bi = b > Y0,
причем при σi 6= 1
lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
Φi(y) =
µ0
(1− σi)
lim
y→Y0
y∈∆Y0
(b)
|y|1−σi = Z0, (3.2)
и существует обратная непрерывно дифференцируемая возрастающая функция Φ−1i :
∆Z0(c) −→ ∆Y0(b) такая, что
lim
z→Z0
z∈∆Z0
(c)
Φ−1i (z) = Y0. (3.3)
В силу представления (1.2), свойств M1, M2 медленно меняющихся функций и правила
Лопиталя
lim
y→Y0
y∈∆Y0
y
Φi(y)ϕi(y)
= 1− σi. (3.4)
Теорема 3.1. Пусть µ0 ∈ R\{0,−1, . . . ,−n+ 1}, для некоторого i ∈ {1, . . . ,m} выпол-
няется неравенство σi 6= 1 и при всех j ∈ {1, . . . ,m} \ {i} выполняются условия (2.9).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 455
Тогда для существования Пω(Y0, µ0)-решений уравнения (1.1) необходимо, а если алге-
браическое относительно ρ уравнение
n∏
k=1
(a0k + ρ) = σi
n∏
k=1
a0k, (3.5)
где a0k = µ0 + n − k, k = 1, . . . , n, не имеет корней с нулевой действительной частью,
то и достаточно, чтобы
lim
t↑ω
πω(t)I ′i(t)
Ii(t)
= (1− σi)(µ0 + n− 1), ν0 lim
t↑ω
|πω(t)|(n−1)+µ0 = Y0 (3.6)
и выполнялись неравенства
ν0αiπ
n
ω(t)
n∏
k=1
a0k > 0, ν0ν1(µ0 + n− 1)πω(t) > 0 при t ∈]a, ω[. (3.7)
Более того, для каждого такого решения имеют место при t ↑ ω асимптотические
представления
y(t)
ϕi(y(t))
=
αiπ
n
ω(t)pi(t)∏n
k=1 a0k
[1 + o(1)], (3.8)
y(k)(t)
y(k−1)(t)
=
a0k
πω(t)
[1 + o(1)], k = 1, . . . , n− 1, (3.9)
причем если среди корней алгебраического уравнения (3.5) имеется l корней (с учетом
кратных), действительные части которых отрицательны, то при ω = +∞ решений с
такими представлениями существует l-параметрическое семейство, а при ω < +∞—
(n− l)-параметрическое семейство.
Замечание 3.1. Нетрудно проверить, что алгебраическое уравнение (3.5) заведомо не
имеет корней с нулевой действительной частью, если |σi| < 1.
Доказательство теоремы. Необходимость. Пусть µ0 ∈ R\{0,−1, . . . ,−n − 1} и y :
[t0, ω[−→ ∆Y0 — произвольное Пω(Y0, µ0)-решение уравнения (1.1). Тогда существует t1 ∈
∈ [t0, ω[ такое, что y(t) ∈ ∆Y0(b), sign y(t) = ν0 и sign y′(t) = ν1 при t ∈ [t1, ω[. Кроме того,
согласно лемме 2.2 имеют место асимптотические соотношения (2.10) и поэтому из (1.1)
следует, что
y(n)(t) = αipi(t)ϕi(y(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.10)
Поскольку µ0 ∈ R\{0,−1, . . . ,−n − 1}, с использованием леммы 2.1 и обозначения
a0k = µ0 + n− k, k = 1, n, находим
y(n)(t) =
y(n)(t)
y(n−1)(t)
y(n−1)(t)
y(n−2)(t)
. . .
y′′(t)
y′(t)
y′(t) =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
456 А. М. КЛОПОТ
=
1
πn−1ω (t)
πω(t)y(n)(t)
y(n−1)(t)
πω(t)y(n−1)(t)
y(n−2)(t)
. . .
πω(t)y′′(t)
y′(t)
y′(t) ∼
∼ 1
πn−1ω (t)
µ0(µ0 + 1) . . . (µ0 + n− 2)y′(t) =
∏n
k=2 a0k
πn−1ω (t)
y′(t) при t ↑ ω.
В силу этого асимптотического соотношения из (3.10) получаем
y′(t)
ϕi(y(t))
=
αiπ
n−1
ω (t)pi(t)∏n
k=2 a0k
[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.11)
Интегрируя это соотношение на промежутке от t1 до t, находим
y(t)∫
y(t1)
ds
ϕi(s)
dτ =
αi∏n
k=2 a0k
t∫
t1
pi(τ)πn−1ω (τ)[1 + o(1)] dτ,
откуда следует, что
Φi(y(t)) =
αi∏n
k=2 a0k
Ii(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Тогда в силу (3.4)
y(t)
ϕi(y(t))
=
αi(1− σi)∏n
k=2 a0k
Ii(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.12)
Из (3.11) и (3.12) следует, что
y′(t)
y(t)
=
πn−1ω (t)pi(t)
(1− σi)Ii(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
С другой стороны, согласно лемме 2.1 lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= a01. Поэтому
a01 =
πnω(t)pi(t)
(1− σ)Ii(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Отсюда следует, что
lim
t↑ω
πnω(t)pi(t)
Ii(t)
= a01(1− σi).
Значит, выполняется первое из условий (3.6) и в силу (3.12) имеет место при t ↑ ω асимп-
тотическое представление (3.8). Справедливость при t ↑ ω асимптотических соотноше-
ний (3.9) следует из леммы 2.1. Кроме того, из (3.8) и (3.9) с учетом того, что sign y(t) = ν0
и sign y′(t) = ν1 при t ∈ [t1, ω[, вытекают неравенства (3.7). Второе из условий (3.6) сле-
дует из (3.9) при k = 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 457
Достаточность. Пусть выполняются условия (3.6), (3.7) и алгебраическое уравне-
ние (3.5) не имеет корней с нулевой действительной частью. Покажем, что в этом случае
дифференциальное уравнение (1.1) имеет Pω(Y0, µ0)-решения, допускающие при t ↑ ω
асимптотические представления (3.8), (3.9), и выясним вопрос о количестве таких реше-
ний.
Уравнение (1.1) с помощью преобразования
Φi(y(t)) =
αiIi(t)∏n
k=2 a0k
[1 + v1(τ)],
y(k)(t)
y(k−1)(t)
=
a0k[1 + vk+1(τ)]
πω(t)
,
(3.13)
k = 1, n− 1, τ = β ln |πω(t)|,
где
β =
{
1, если ω = +∞,
−1, если ω < +∞,
сведем к системе дифференциальных уравнений
v′1 = β [H(τ, v1)(1 + v2)− q(τ)(1 + v1)] ,
v′k = β [−a0kvk + a0k+1vk+1 + Vk(vk, vk+1] , k = 2, n− 1, (3.14)
v′n = β
[
aonq(τ)G(τ, v1)
H(τ, v1)
n−1∏
k=2
(1 + vk)
−1 − a0n−1(1 + vn)2 + 1 + vn
]
,
в которой
q(τ(t)) =
πω(t)I ′i(t)
Ii(t)
, H(τ(t), v1) =
αiY (t, v1)
∏n
k=1 a0k
Ii(t)ϕi(Y (t, v1))
,
Y (t, v1) = Φ−1i
(
αiIi(t)∏n
k=2 a0k
(1 + v1)
)
,
G(τ(t), v1) =
1
αipi(t)ϕi(Y (t, v1))
m∑
k=1
αkpk(t)[1 + rk(t)]ϕk(Y (t, v1)),
Vk(vk, vk+1) = a0kvkvk+1 − a0k−1v2k.
Здесь
τ ′(t) > 0 при t ∈ [a, ω[, lim
t↑ω
τ(t) = +∞. (3.15)
Поэтому согласно первому из условий (3.6)
lim
τ→+∞
q(τ) = lim
t↑ω
πω(t)I ′i(t)
Ii(t)
= (1− σi)(µ0 + n− 1). (3.16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
458 А. М. КЛОПОТ
В силу условий (3.6), (3.7), (3.2) и (3.4)
αi∏n
k=2 a0k
lim
t↑ω
Ii(t) = Z0
и существует число t0 ∈ [a, ω[ такое, что
αiIi(t)∏n
k=2 a0k
(1 + v1) ∈ ∆Z0(c) при t ∈ [t0, ω[ и |v1| ≤
1
2
.
Поэтому
lim
t↑ω
Y (t, v1) = Y0 равномерно по |v1| ≤
1
2
(3.17)
и
Y (t, v1) ∈ ∆Y0(b) при t ∈ [t0, ω[ и |v1| ≤
1
2
.
Отсюда, в частности, ясно, что правые части системы дифференциальных уравнений
(3.14) определены и непрерывны на множестве Ω = [τ0,+∞[×Rn1
2
, где
τ0 = β ln |πω(t0)|, Rn1
2
=
{
(v1, . . . , vn) ∈ Rn : |vi| ≤
1
2
, i = 1, n
}
.
В силу (3.4) и (3.17)
lim
t↑ω
Y (t, v1)
Φi(Y (t, v1))ϕi(Y (t, v1))
= lim
y→Y0
y
Φi(y)ϕi(y)
= 1− σi равномерно по |v1| ≤
1
2
.
Значит,
Y (t, v1)
ϕi(Y (t, v1))
= Φi(Y (t, v1))[1− σi + ε(t, v1)] =
αiIi(t)∏n
k=2 a0k
(1 + v1)[1− σi + ε(t, v1)], (3.18)
где ε непрерывна на множестве [t0, ω[×R 1
2
и удовлетворяет условию
lim
t↑ω
ε(t, v1) = 0 равномерно по |v1| ≤
1
2
.
Отсюда следует, что для функции H имеют место представления
H(τ, v1) = a01(1 + v1)[1− σi + r1(τ, v1)],
1
H(τ, v1)
=
1
a01(1 + v1)
[
1
1− σi
+ r2(τ, v1)
]
,
(3.19)
где функции ri, i = 1, 2, непрерывны на [τ0,+∞[×R 1
2
и удовлетворяют условиям
lim
τ→+∞
ri(τ, v1) = 0 равномерно по v1 ∈ R 1
2
. (3.20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 459
В силу вида функции Y (t, v1) имеем
(Y (t, v1))
′
t =
αi∏n
k=2 a0k
(1 + v1)pi(t)π
(n−1)
ω (t)ϕi(Y (t, v1)).
Отсюда с учетом (3.18) следует, что
πω(t)[Y (t, v1)]
′
t
Y (t, v1)
=
pi(t)π
n
ω(t)
Ii(t)
1
1− σi + ε(t, v1)
.
Поэтому в силу первого из условий (3.6)
lim
t↑ω
πω(t)[Y (t, v1)]
′
t
Y (t, v1)
= µ0 + n− 1 равномерно по v1 ∈ R 1
2
. (3.21)
Учитывая теперь предельные соотношения (3.17) и (3.21), а также условия (2.9), ко-
торые выполняются при всех j 6= i, устанавливаем, повторяя рассуждения из доказатель-
ства леммы 2.2, что
lim
t↑ω
pj(t)ϕj (Y (t, v1))
pi(t)ϕi (Y (t, v1))
= 0 при j 6= i, j ∈ {1, . . . ,m}, равномерно по v1 ∈ R 1
2
.
Отсюда с учетом того, что
G(τ(t), v1) = 1 + ri(t) +
m∑
j=1
j 6=i
αjpj(1 + rj(t))ϕj(Y (t, v1))
αipiϕi(Y (t, v1))
,
и выполняются условия (1.2) и (3.15), имеем представление
G(τ, v1) = 1 + r3(τ, v1), где lim
τ→+∞
r3(τ, v1) = 0 равномерно по v1 ∈ R 1
2
. (3.22)
Используя теперь представления (3.19), (3.22) и условие (3.16), записываем систему
дифференциальных уравнений (3.14) в виде
v′1 = β [f1(τ, v1, v2) + (1− σi)a01v2 + V1(v1, v2)] ,
v′k = β [−a0kvk + a0k+1vk+1 + Vk(vk, vk+1)] , k = 2, n− 1, (3.23)
v′n = β
[
f2(τ, v1, . . . , vn)− a0n
n−1∑
n=1
vn + (1− 2a0n−1)vn + Vn(v1, . . . , vn)
]
,
где
f1(τ, v1, v2) = a01(1 + v1)(1 + v2)r1(τ, v1)− [q(τ)− (1− σi)(µ0 + n− 1)](1 + v1),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
460 А. М. КЛОПОТ
fn(τ, v1, . . . , vn) = [q(τ)− (1− σi)a01](1 + r3(τ, v1))×
×
[
1
1− σi
+ r2(τ, v1)
]
a0n
a01
∏n−1
k=1(1 + vk)
+
+ r3(τ, v1)[1 + (1− σi)r2(τ, v1)]
a0n∏n−1
k=1(1 + vk)
+
+ (1− σi)r2(τ, v1)
a0n∏n−1
k=1(1 + vk)
,
V1(v1, v2) = a01(1− σi)v1v2, Vn(v1, . . . , vn) =
a0n∏n−1
k=1(1 + vk)
− a0n+a0n
n−1∑
k=1
vk − a0n−1v2n.
В силу условий (3.16), (3.20) и (3.22)
lim
τ→+∞
f1(τ, v1) = 0 равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ R 1
2
,
lim
τ→+∞
fn(τ, v1, . . . , vn) = 0 равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ R 1
2
.
Кроме того,
lim
|v1|+...+|vn|→0
∂Vk(vk, vk+1)
∂vi
= 0, k = 1, n− 1, i = k, k + 1,
lim
|v1|+...+|vn|→0
∂Vn(v1, . . . , vn)
∂vi
= 0, i = 1, n.
Характеристическое уравнение det[A− ρE] = 0 матрицы
A =
0 a01(1− σ) 0 · · · 0 0
0 −a01 a02 · · · 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 · · · −a0n−2 a0n−1
−a0n −a0n −a0n · · · −a0n 1− 2a0n−1)
,
составленной из коэффициентов, стоящих в квадратных скобках при линейной части сис-
темы дифференциальных уравнений (3.23), имеет вид (3.5) и поэтому согласно условиям
теоремы не имеет корней с нулевой действительной частью.
Тем самым показано, что для системы (3.23) выполняются все условия теоремы 2.2 из
работы [11]. На основании этой теоремы система дифференциальных уравнений (2.23)
имеет хотя бы одно решение (vi)
n
i=1 : [τ1,+∞[−→ Rn, τ1 ≥ τ0, стремящееся к нулю при
τ → +∞, причем в случае, когда среди корней характеристического уравнения (3.5) име-
ется l корней (с учетом кратных), действительные части которых отрицательны, то при
β = 1 таких решений существует l-параметрическое семейство, а при β = −1 — (n − l)-
параметрическое. Каждому такому решению в силу замен (3.13) и предельного соотно-
шения (3.4) соответствует решение дифференциального уравнения (1.1), допускающее
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 461
при t ↑ ω асимптотические представления (3.8), (3.9), причем решений с такими пред-
ставлениями существует l-параметрическое семейство в случае, когда ω = +∞, и (n− l)-
параметрическое семейство в случае, когда ω < +∞.
Теорема доказана.
Укажем теперь условия, при которых асимптотические представления (3.8), (3.9) мо-
гут быть записаны в явном виде.
Определение 3.1 [12]. Будем говорить, что функция ϕk, k ∈ {1, . . . ,m}, удовлетво-
ряет условию S, если для любой непрерывно дифференцируемой функции l : ∆Y0 −→
−→]0,+∞[ такой, что
lim
z→Y0
z∈∆Y0
z l′(z)
l(z)
= 0,
имеет место асимптотическое соотношение
Lk(zl(z)) = Lk(z)[1 + o(1)] при z → Y0 (z ∈ ∆Y0).
Условию S заведомо удовлетворяют функции ϕk, для которых функция Lk имеет ко-
нечный предел при y → Y0, а также функции вида
ϕk(y) = |y|σk | ln y|γ1 , ϕk(y) = |y|σk | ln y|γ1 | ln | ln y||γ2 ,
где γ1, γ2 6= 0, и многие другие.
Замечание 3.2 [13]. Если функцияϕk удовлетворяет условию S, а функция y : [t0, ω[−→
−→ ∆Y0 непрерывно дифференцируемая и такая, что
lim
t↑ω
y(t) = Y0,
y′(t)
y(t)
=
ξ′(t)
ξ(t)
[r + o(1)] при t ↑ ω,
где r — отличная от нуля вещественная постоянная, ξ — непрерывно дифференцируемая
в некоторой левой окрестности ω вещественная функция, для которой ξ′(t) 6= 0, то
Lk(y(t)) = Lk (µ0|ξ(t)|r) [1 + o(1)] при t ↑ ω,
так как в данном случае
y(t) = z(t)l(z(t)), где z(t) = µ0|ξ(t)|r,
и
lim
z→Y0
z∈∆Y0
z l′(z)
l(z)
= lim
t↑ω
z(t) l′(z(t))
l(z(t))
= lim
t↑ω
z(t)
(
y(t)
z(t)
)′(
y(t)
z(t)
)
z′(t)
= lim
t↑ω
[
ξ(t)y′(t)
rξ′(t)y(t)
− 1
]
= 0.
Теорема 3.2. Пусть µ0 ∈ R\{0,−1, . . . ,−n−1} и для некоторого i ∈ {1, . . . ,m} выпол-
няется неравенство σi 6= 1, а при всех j ∈ {1, . . . ,m} \ {i}— условие (2.9). Пусть, кроме
того, функцияϕi удовлетворяют условию S.Тогда каждое Пω(Y0, µ0)-решение (в случае
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
462 А. М. КЛОПОТ
их существования) дифференциального уравнения (1.1) допускает при t ↑ ω асимпто-
тические представления
y(k−1)(t) =
ν0
∏k−1
j=1 aoj
πk−1ω (t)
∣∣∣∣∣πnω(t)pi(t)Li (ν0|πω(t)|a01)∏n
j=1 a0j
∣∣∣∣∣
1
1−σi
[1 + o(1)], k = 1, n, (3.24)
при t ↑ ω.
Доказательство. При установлении теоремы 3.1 было показано, что для существова-
ния Пω(Y0, µ0)-решений уравнения (1.1) необходимо, чтобы выполнялись условия (3.6),
(3.7) и каждое такое решение допускало при t ↑ ω асимптотические представления (3.8),
(3.9).
Поскольку функция ϕi удовлетворяет условию S и согласно (3.9)
y′(t)
y(t)
=
1
πω(t)
[a01 + o(1)] при t ↑ ω,
в силу (1.3) и замечания 3.2
ϕi(y(t)) = |y(t)|σiLi(y(t)) = |y(t)|σiLi (ν0|πω(t)|a01) [1 + o(1)] при t ↑ ω.
Поэтому асимптотическое представление (3.8) можно записать в виде
y(t)
|y(t)|σi
=
αiπ
n
ω(t)pi(t)∏n
j=1 a0j
Li(ν0|πω(t)|a01)[1 + o(1)] при t ↑ ω,
откуда следует, что
y(t) = ν0
∣∣∣∣∣πnω(t)pi(t)Li (ν0|πω(t)|a01)∏n
k=j a0j
∣∣∣∣∣
1
1−σi
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
В силу этого представления и (3.9) получим асимптотические представления (3.24).
Теорема доказана.
4. Пример уравнения с правильно меняющимися при t ↑ ω коэффициентами. Рассмот-
рим дифференциальное уравнение
y(n) =
m∑
k=1
αkqk(t)ϕk(y), (4.1)
в котором αk ∈ {−1, 1}, k = 1,m, qk : [a, ω[−→]0,+∞[, k = 1,m, — непрерывные пра-
вильно меняющиеся при t ↑ ω функции порядков γk, k = 1,m, и ϕk : ∆Y0 −→]0,+∞[
k = 1,m, — непрерывные правильно меняющиеся при y → Y0 функции порядков σk,
k = 1,m, −∞ < a < ω ≤ +∞, Y0 равно либо нулю, либо ±∞, ∆Y0 — односторонняя
окрестность Y0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 463
В силу свойств правильно меняющихся функций (см. [1, с. 15] гл. 1, § 2) существуют
непрерывно дифференцируемые правильно меняющиеся при t ↑ ω функции pk : [a, ω[−→
−→]0,+∞[, k = 1,m, такие, что
qk(t) ∼ pk(t) при t ↑ ω и lim
t↑ω
πω(t)p′k(t)
pk(t)
= γk, k = 1,m. (4.2)
Значит, уравнение (4.1) является уравнением вида (1.1) и при этом
lim sup
t↑ω
|πω(t)|
[
p′j(t)
pj(t)
− p′i(t)
pi(t)
]
= β(γj − γi) для любых i, j ∈ {1, . . . ,m},
где
β =
{
1, если ω = +∞,
−1, если ω < +∞.
Поэтому для |µ0| < +∞ и некоторого i ∈ {1, . . . ,m} такого, что σi 6= 1, условия (2.9)
примут вид
β(γj − γi) < ν0ν1|µ0 + n− 1|(σi − σj) при j ∈ {1, . . . ,m} \ {i}. (4.3)
В случае, когда µ0 ∈ R\{0,−1, . . . ,−n+1} и выполняются данные неравенства, для суще-
ствования Pω(Y0, µ0)-решений уравнения (4.1) необходимо, согласно теореме 3.1, чтобы
выполнялись условия (3.6), (3.7).
В силу (4.2)
lim
t↑ω
πω(t)I ′i(t)
Ii(t)
= n+ γi.
Значит, первое из условий (3.6) примет вид
n+ γi = (1− σi)(µ0 + n− 1),
откуда следует, что
µ0 =
1 + γi + σi(n− 1)
1− σi
. (4.4)
Кроме того, в силу второго из условий (3.7)
ν0ν1β(µ0 + n− 1) > 0.
Поэтому неравенства (4.3) можно представить в виде
β(γi − γj) < β(γi + n)
σi − σj
1− σi
при j ∈ {1, . . . ,m} \ {i}. (4.5)
Наконец, второе из условий (3.6) и первое из (3.7) в данном случае имеют вид
ν0 lim
t↑ω
|πω(t)|
n+γi
1−σi = Y0, αiν0
(
πω(t)
1− σi
)n n∏
k=1
[n+ γi + (1− σi)(k − 1)] > 0. (4.6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
464 А. М. КЛОПОТ
Тогда согласно теореме 3.1 имеет место следующее утверждение.
Следствие 4.1. Пусть для некоторого i ∈ {1, . . . ,m} такого, что σi 6= 1 и
n+ γi
1− σi
∈
∈ R \ {0, 1, . . . , n − 1}, выполняются неравенства (4.5) и условия (4.6). Тогда при значе-
нии µ0 из формулы (4.4) существуют Пω(Y0, µ0)-решения дифференциального уравне-
ния (4.1), причем для каждого из них имеют место при t ↑ ω асимптотические пред-
ставления
y(t)
ϕi(y(t))
=
αi [(1− σi)πω(t)]n qi(t)∏n
k=1[n+ γi + (1− σi)(k − 1)]
[1 + o(1)], (4.7)
y(k)(t)
y(k−1)(t)
=
n+ γk + (1− σi)(k − 1)
(1− σi)πω(t)
[1 + o(1)], k = 1, . . . , n− 1. (4.8)
Замечание 4.1. Если выполняются условия следствия 4.1 и функция ϕi удовлетворяет
условию S, то асимптотические представления (4.7) и (4.8) в силу теоремы 3.2 могут быть
записаны в явном виде
y(k−1)(t) =
ν0
∏k−1
j=1 [n+ γi + (1− σi)(j − 1)]
[(1− σi)πω(t)]k−1
×
×
∣∣∣∣∣∣∣∣
[(1− σi)πω(t)]nqi(t)Li
(
ν0|πω(t)|
n+γi
1−σi
)
∏n
j=1[n+ γi + (1− σi)(j − 1)]
∣∣∣∣∣∣∣∣
1
1−σi
[1 + o(1)], k = 1, n.
5. Выводы. В данной работе для дифференциального уравнения n-го порядка вида
(1.1) с правильно меняющимися при y → Y0 нелинейностями ϕi, i = 1,m, выделен до-
статочно широкий класс так называемых Пω(Y0, µ0)-решений и предложен при µ0 ∈
∈ R \ {0,−1, . . . ,−n+ 1} метод установления асимптотики при t ↑ ω таких решений и
их производных до порядка n − 1 включительно. Найденные представления имеют не-
явную форму записи. Указаны дополнительные условия на нелинейности, при выпол-
нении которых данные представления могут быть записаны в явном виде. Кроме того,
выяснен вопрос о существовании решений дифференциального уравнения (1.1) с полу-
ченной асимптотикой.
Следует также обратить внимание на то, что в силу произвольности выбора Y0 ∈
∈ {±∞; 0} и ω ≤ +∞ установленные результаты позволяют описывать асимптотику
не только правильных решений, стремящихся либо к нулю, либо к ±∞ при t ↑ ω, но и
различного типа сингулярных решений уравнения (1.1).
1. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985. — 144 с.
2. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990. — 430 c.
3. Костин А. В. Асимптотика пpавильных pешений нелинейных обыкновенных диффеpенциальных
ypавнений // Дифференц. ypавнения. — 1987. — 23, № 3. — С. 524 – 526.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 465
4. Евтухов В. М. Асимптотические свойства монотонных решений одного класса нелинейных диффе-
ренциальных уравнений n-го порядка // Докл. расш. зас. сем. Ин-та прикл. математики им. И. Н. Ве-
куа. — 1988. — 3, № 3. — С. 62 – 65.
5. Евтухов В. М. Асимптотические представления монотонных решений нелинейного дифференциаль-
ного уравнения типа Эмдена – Фаулера n-го порядка // Докл. АН России. — 1992. — 234, № 2. — С. 258 –
260.
6. Евтухов В. М. Об одном классе монотонных решений нелинейного дифференциального уравнения
n-го порядка типа Эмдена – Фаулера // Сообщ. АН Грузии. — 1992. — 145, № 2. — С. 269 – 273.
7. Evtukhov V. M., Shebanina E. V. Asymptotic behaviour of solutions of n-th order differential equations //
Mem. Different. Equat. Math. Phys. — 1998. — 13. — P. 150 – 153.
8. Евтухов В. М., Касьянова В. А. Асимптотическое поведение неограниченных решений существенно
нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. I // Укр. мат. журн. — 2005. — 57, № 3. —
С. 338 – 355.
9. Евтухов В. М., Касьянова В. А. Асимптотическое поведение неограниченных решений нелинейных
дифференциальных уравнений второго порядка. I // Укр. мат. журн. — 2006. — 58, № 7. — С. 901 – 921.
10. Евтухов В. М., Шинкаренко В. Н. Асимптотические представления решений двучленных неавтоном-
ных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с экспоненциальной нелинейностью //
Дифференц. уравнения. — 2008. — 44, № 3. — С. 308 – 322.
11. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений
вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. —
2010. — 62, № 1. — С. 52 – 80.
12. Евтухов В. М., Белозерова М. А. Асимптотические представления решений существенно нелинейных
неавтономних дифференциальных уравнений второго порядка // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 3. —
С. 310 – 331.
13. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкно-
венных дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями // Дифференц.
уравнения. — 2011. — 47, № 5. — С. 628 – 650.
Получено 04.07.11,
после доработки — 19.09.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176017 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:02:58Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Клопот, А.М. 2021-02-03T09:14:25Z 2021-02-03T09:14:25Z 2012 Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка / А.М. Клопот // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 447-465. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176017 517.925 Встановлено асимптотичнi формули для одного класу монотонних розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь n-го порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв з правильно змiнними нелiнiйностями. We find asymptotics formulas for a class of monotone solutions of order n nonautonomous differential equations that contain a sum of terms with regularly changing nonlinearities in the right-hand side. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка Про асимптотику розв’язків неавтономних звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку On asymptotics of solutions of order n nonautonomous ordinary differential equations Article published earlier |
| spellingShingle | Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка Клопот, А.М. |
| title | Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка |
| title_alt | Про асимптотику розв’язків неавтономних звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку On asymptotics of solutions of order n nonautonomous ordinary differential equations |
| title_full | Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка |
| title_fullStr | Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка |
| title_full_unstemmed | Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка |
| title_short | Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка |
| title_sort | об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176017 |
| work_keys_str_mv | AT klopotam obasimptotikerešeniineavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravneniingoporâdka AT klopotam proasimptotikurozvâzkívneavtonomnihzvičainihdiferencíalʹnihrívnânʹngoporâdku AT klopotam onasymptoticsofsolutionsofordernnonautonomousordinarydifferentialequations |