Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка

Встановлено асимптотичнi формули для одного класу монотонних розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь n-го порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв з правильно змiнними нелiнiйностями. We find asymptotics formulas for a class of monotone solutions of order n nonautonomous differenti...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Нелінійні коливання
Date:2012
Main Author: Клопот, А.М.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут математики НАН України 2012
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176017
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка / А.М. Клопот // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 447-465. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859912094155014144
author Клопот, А.М.
author_facet Клопот, А.М.
citation_txt Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка / А.М. Клопот // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 447-465. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Нелінійні коливання
description Встановлено асимптотичнi формули для одного класу монотонних розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь n-го порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв з правильно змiнними нелiнiйностями. We find asymptotics formulas for a class of monotone solutions of order n nonautonomous differential equations that contain a sum of terms with regularly changing nonlinearities in the right-hand side.
first_indexed 2025-12-07T16:02:58Z
format Article
fulltext УДК 517.925 ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ n-ГО ПОРЯДКА А. М. Клопот Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова Украина, 23454, Одесса, ул. Дворянская, 2 We find asymptotics formulas for a class of monotone solutions of order n nonautonomous differential equations that contain a sum of terms with regularly changing nonlinearities in the right-hand side. Встановлено асимптотичнi формули для одного класу монотонних розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь n-го порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв з правильно змiнними нелiнiйностями. 1. Введение. Рассматривается дифференциальное уравнение y(n) = m∑ k=1 αkpk(t)[1 + rk(t)]ϕk(y), (1.1) где αk ∈ {−1; 1}, k = 1, . . . ,m, pk : [a, ω[−→]0,+∞, k = 1, . . . ,m, — непрерывно диффе- ренцируемые функции, rk : [a, ω[−→ R, k = 1, . . . ,m, — непрерывные функции, удовле- творяющие условиям lim t↑ω rk(t) = 0, k = 1, . . . ,m, (1.2) ϕk : 4Y0 −→]0,+∞[, k = 1, . . . ,m, — правильно меняющиеся при y −→ Y0 функции порядков σk, k = 1, . . . ,m, −∞ < a < ω ≤ +∞1, 4Y0 — односторонняя окрестность Y0, Y0 равно либо 0, либо ±∞. Свойства правильно меняющихся функций детально изложены в монографии [1]. В частности, из определения правильно меняющейся функции следует, что ϕk(y) = |y|σkLk(y), k = 1, . . . ,m, (1.3) где Lk(y) — медленно меняющиеся функции при y −→ Y0, т. е. lim y→Y0 y∈∆Y0 Lk(λy) Lk(y) = 1 k = 1, . . . ,m, для любого λ > 0. (1.4) Известно [1], что предельные соотношения (1.4) выполняются равномерно по λ на лю- бом промежутке [c, d] ⊂]0,+∞[ (свойство M1) и существуют непрерывно дифференци- руемые медленно меняющиеся при y −→ Y0 функции L1k :4Y0 −→]0,+∞[ (свойство M2) 1 Считаем, что a > 1 при ω = +∞ и ω − 1 < a < ω при ω < +∞. c© А. М. Клопот, 2012 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 447 448 А. М. КЛОПОТ такие, что lim y→Y0 y∈∆Y0 Lk(y) L1k(y) = 1, lim y→Y0 y∈∆Y0 yL′1k(y) L1k(y) = 0, k = 1, . . . ,m. (1.5) Примерами медленно меняющихся при y −→ Y0 функций являются | ln |y||γ1 , lnγ2 | ln |y||, γ1, γ2 ∈ R, exp(| ln |y||γ3), 0 < γ3 < 1, exp ( ln |y| ln | ln |y|| ) , функции, имеющие отличный от нуля конечный предел при y −→ Y0, и др. При m = 1 и L1 ≡ 1 уравнение (1.1) является обобщенным уравнением типа Эмде- на – Фаулера. Асимптотические свойства его решений детально исследованы в моногра- фии [2], а также в работах [3 – 6] и др. При m > 1 и Lk ≡ 1, k = 1,m, асимптотическое поведение некоторых классов моно- тонных решений уравнения (1.1) изучалось в работах [3, 7]. В случае n = 2 и произвольных дважды непрерывно дифференцируемых медленно меняющихся при y → Y0 функций Lk, k = 1,m, m > 1, уравнение (1.1) исследовалось в работах [8, 9]. Здесь были установлены асимптотические при t ↑ ω представления для всех возможных типов так называемых Пω(Y0, µ0)-решений. Положим πω(t) = { t, если ω = +∞, t− ω, если ω < +∞, и введем следующее определение. Решение y : [t0, ω[−→ 4Y0 уравнения (0.1) будем называть Пω(Y0, µ0)-решением, где −∞ ≤ µ0 ≤ +∞, если оно удовлетворяет следующим условиям: y : [t0, ω[−→ 4Y0 , lim t↑ω y(t) = Y0, (1.6) y(n−1)(t) 6= 0 при t ∈ [t0, ω[, lim t↑ω y(k)(t) = { либо 0, либо ±∞, k = 1, . . . , n− 1, (1.7) lim t↑ω πω(t)y(n)(t) y(n−1)(t) = µ0, причем lim t↑ω y(n)(t)y(n−2)(t) [y(n−1)(t)]2 = 1, если µ0 = ±∞. (1.8) Целью настоящей работы является распространение некоторых из результатов ра- бот [8, 9] на общий случай n ≥ 2 и без дополнительных предположений о том, что Lk, k = 1,m, — дважды непрерывно дифференцируемые функции. 2. Некоторые вспомогательные обозначения и априорные свойства Пω(Y0, µ0)-ре- шений. Выберем число b ∈ ∆Y0 так, чтобы выполнялось неравенство |b| < 1 при Y0 = 0, b > 1 (b < −1) при Y0 = +∞ (Y0 = −∞), (2.1) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 449 и положим ∆Y0(b) = [b, Y0[, если ∆Y0 — левая окрестность Y0, ∆Y0(b) =]Y0, b], если ∆Y0 — правая окрестность Y0. Из определения Пω(Y0, µ0)-решения ясно, что каждое такое решение уравнения (1.1) и все его производные до порядка n − 1 включительно отличны от нуля на некотором промежутке [t1, ω[⊂ [t0, ω[, причем на этом промежутке первая производная данного ре- шения положительна, если ∆Y0 — левая окрестность Y0, и отрицательна — в противном случае. Учитывая этот факт и выбор b, вводим два числа ν0 = sign b, ν1 = { 1, если ∆Y0 — левая окрестность Y0, −1, если ∆Y0 — правая окрестность Y0, (2.2) определяющие соответственно знаки Пω(Y0, µ0)-решения и его первой производной на промежутке [t1, ω[.При этом заметим, что для Пω(Y0, µ0)-решения уравнения (1.1) выпол- няются условия ν0ν1 < 0, если Y0 = 0, и ν0ν1 > 0, если Y0 = ±∞. Лемма 2.1. Если |µ0| < +∞, то для каждого Пω(Y0, µ0)-решения уравнения (1.1) име- ют место предельные соотношения lim πω(t)y(k)(t) y(k−1)(t) = µ0 + n− k, k = 1, . . . , n. (2.3) Если же µ0 = ±∞, то для каждого Пω(Y0, µ0)-решения уравнения (1.1) lim t↑ω πω(t)y(k)(t) y(k−1)(t) → ±∞, k = 1, . . . , n, y′(t) y(t) ∼ y′′(t) y′(t) ∼ . . . ∼ y(n)(t) y(n−1)(t) при t ↑ ω. (2.4) Доказательство. Пусть |µ0| < +∞ и y — произвольное Пω(Y0, µ0)-решение уравнения (1.1). Покажем, используя метод математической индукции, что в этом случае имеют мес- то асимптотические представления (2.3). При k = n утверждение верно в силу первого из условий (1.8). Предположим, что оно верно при k = i ∈ {2, . . . , n − 1}, и докажем его справедливость при k = i − 1. В силу определения Пω(Y0, µ0)-решения lim t↑ω y(i−2)(t) равен либо 0 либо ±∞. Если lim t↑ω y(i−2)(t) = ±∞, то в силу правила Лопиталя в форме Штольца lim t↑ω πω(t)y(i−1)(t) y(i−2)(t) = lim t↑ω ( 1 + πω(t)y(i)(t) y(i−1)(t) ) = µ0 + n− (i− 1). (2.5) Если же lim t↑ω y(i−2)(t) = 0, то для применения правила Лопиталя следует предварительно установить, что lim t↑ω πω(t)y(i−1)(t) = 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 450 А. М. КЛОПОТ Положим z(t) = πω(t)y(i−1)(t) y(i−2)(t) . Тогда z′(t) = y(i−1)(t) y(i−2)(t) + πω(t)y(i)(t) y(i−2)(t) + πω(t)y(i−1)(t) (y(i−2)(t))2 y(i−1)(t) = = y(i−1)(t) y(i−2)(t) [ 1 + πω(t)y(i)(t) y(i−1)(t) − πω(t)y(i−1)(t) y(i−2)(t) ] . Отсюда следует, что z′(t) = z(t) πω(t) [ 1 + πω(t)y(i)(t) y(i−1)(t) − z(t) ] . (2.6) Рассмотрим соответствующую этому соотношению функцию f(t, c) = c πω(t) [ 1 + πω(t)y(i)(t) y(i−1)(t) − c ] . Поскольку в силу предположения индукции при k = i имеет место предельное со- отношение (2.3), функция f(t, c) при всех c ∈ R, кроме значений c = 0 и c = µ0 +n− i+1, сохраняет знак в некоторой левой окрестности ω.Поэтому согласно лемме 2.1 из работы [10] для функции z существует конечный или равный ±∞ предел при t ↑ ω. Покажем, что этот предел не может быть бесконечным. В самом деле, если бы он был равен ±∞, то из (2.6) получили бы соотношение z′(t) = −z2(t) πω(t) [1 + o(1)] при t ↑ ω, т. е. z′(t) z2(t) = − 1 πω(t) [1 + o(1)] при t ↑ ω. Интегрируя это соотношение на промежутке от t0 до t, получаем − 1 z(t) + 1 z(t0) = − t∫ t0 1 πω(t) [1 + o(1)] dt = − ln |πω(t)|[1 + o(1)]. Однако это невозможно, так как здесь левая часть имеет конечный предел при t ↑ ω, а правая — бесконечный. Следовательно, lim t↑ω z(t) = const. В силу условия lim t↑ω y(i−2)(t) = 0 это возможно лишь в случае, когда lim t↑ω πω(t)y(i−1)(t) = 0. Значит, для вычисления lim t↑ω z(t) можно использовать правило Лопиталя. Поэтому получим (2.5). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 451 Тем самым установлена справедливость предельного соотношения (2.3) при k = i− 1. Тогда в силу метода математической индукции (2.3) справедливо при k = 1, . . . , n. Пусть теперь µ0 = ±∞ и y — произвольное Пω(Y0,±∞)-решение уравнения (1.1). С помощью метода математической индукции покажем, что lim t↑ω y(k)(t)y(k−2)(t) [y(k−1)(t)]2 = 1, k = 2, . . . , n. (2.7) При k = n это предельное соотношение верно в силу условия (1.8). Теперь предположим, что оно верно при k = i ∈ {3, . . . , n− 1}, и докажем его справедливость при k = i− 1. Положим z(t) = y(i−1)(t)y(i−3)(t) [y(i−2)(t)]2 . Тогда z′(t) = y(i)(t)y(i−3)(t) [y(i−2)(t)]2 + y(i−1)(t) y(i−2)(t) − 2 [y(i−1)(t)]2y(i−3)(t) [y(i−2)(t)]3 = = y(i−1)(t) y(i−2)(t) [ y(i)(t)y(i−3)(t) y(i−1)y(i−2)(t) + 1− 2 y(i−1)(t)y(i−3)(t) [y(i−2)(t)]2 ] = = y(i−1)(t) y(i−2)(t) [ y(i)(t)y(i−2)(t) [y(i−2)(t)]2 y(i−3)(t)y(i)(t) [y(i−2)(t)]2 + 1− 2 y(i−1)(t)y(i−3)(t) [y(i−2)(t)]2 ] . Отсюда следует, что z′(t) = y(i−1)(t) y(i−2)(t) [ z(t) y(i)(t)y(i−2)(t) [y(i−2)(t)]2 + 1− 2z(t) ] . (2.8) Рассмотрим соответствующую этому соотношению функцию f(t, c) = y(i−1)(t) y(i−2)(t) [ c y(i)(t)y(i−2)(t) [y(i−2)(t)]2 + 1− 2c ] . Поскольку выполняется первое из условий (1.7) и в силу предположения индукции при k = i имеет место предельное соотношение (2.7), здесь при всех c 6= 1 правая часть сохраняет знак в некоторой левой окрестности ω.Поэтому согласно лемме 2.1 из работы [10] существует конечный либо равный ±∞ предел функции z при t ↑ ω. Сначала покажем, что этот предел не может быть равен постоянной, отличной от единицы. В самом деле, если бы это было не так, то из (2.8) получили бы асимптотиче- ское соотношение z′(t) = y(i−1)(t) y(i−2)(t) [c1 + o(1)] при t ↑ ω, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 452 А. М. КЛОПОТ где c1 — отличная от нуля постоянная. Интегрируя это соотношение на промежутке от t0 до t и учитывая, что в силу (1.8) lim t↑ω y(i−2)(t) равен либо нулю , либо ±∞, получаем z(t)− z(t0) = t∫ t0 y(i−1)(t) y(i−2)(t) [c1 + o(1)] dt = [c1 + o(1)] ln |y(i−2)(t)| −→ ±∞ при t ↑ ω. Однако это невозможно, так как здесь левая часть стремится к постоянной при t ↑ ω. Покажем теперь, что этот предел не может быть равен ±∞ при t ↑ ω. Если бы он был равен ±∞, то из (2.8) получили бы соотношение z′(t) = y(i−2)(t) y(i−3)(t) z2(t)[1− 2 + o(1)] при t ↑ ω, т. е. z′(t) z2(t) = −y (i−2)(t) y(i−3)(t) [1 + o(1)] при t ↑ ω. Интегрируя это соотношение на промежутке от t0 до t, получаем − 1 z(t) + 1 z(t1) = − t∫ t1 y(i−2)(t) y(i−3)(t) [1 + o(1)] dt = −[1 + o(1)] ln |y(i−3)(t)| при t ↑ ω. Здесь выражение, стоящее в левой части, имеет конечный предел при t ↑ ω, а выражение справа — бесконечный в силу условий (1.6), (1.7). Тем самым получили противоречие. Значит, limt↑ω z(t) = 1. Поэтому согласно методу математической индукции имеют место предельные соотношения (2.7). Из соотношений (2.7) следует, что y(k)(t) y(k−1)(t) ∼ y(k−1)(t) y(k−2)(t) , k = 2, . . . , n, при t ↑ ω, и поэтому имеют место вторые из асимптотических соотношений (2.4). Из них в силу первого из условий (1.8) (при µ0 = ±∞) следуют первые из условий (2.4). Лемма доказана. Лемма 2.2. Пусть |µ0| < +∞ и для некоторых i, j ∈ {1, . . . ,m} таких, что i 6= j, выполняется условие lim sup t↑ω |πω(t)| [ p′j(t) pj(t) − p′i(t) pi(t) ] < ν0 ν1|µ0 + n− 1|(σi − σj). (2.9) Тогда для каждого Пω(Y0, µ0)-решения уравнения (1.1) имеет место предельное соотно- шение lim t↑ω pj(t)ϕj(y(t)) pi(t)ϕi(y(t)) = 0. (2.10) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 453 Доказательство. Для данных i, j ∈ {1, . . . ,m} введем функцию zij(t) = pj(t)ϕ1j(y(t)) pi(t)ϕ1i(y(t)) , где ϕ1k(y) = |y|σkL1k(y), k = i, j. Для этой функции z′ij(t) = zij(t) |πω(t)| [ |πω(t)|p′j(t) pj(t) − |πω(t)|p′i(t) pi(t) + + |πω(t)|y′(t) y(t) ( y(t)ϕ′1j(y(t)) ϕ1j(y(t)) − y(t)ϕ′1i(y(t)) ϕ1i(y(t)) )] . (2.11) Здесь согласно лемме 2.1 и в силу свойств функций ϕ1k, k = i, j, lim t↑ω |πω(t)|y′(t) y(t) ( y(t)ϕ′1j(y(t)) ϕ1j(y(t)) − y(t)ϕ′1i(y(t)) ϕ1i(y(t)) ) = ν0ν1|µ0 + n− 1|(σj − σi). Поэтому в силу условия (2.9) существуют числа ρ < 0 и t1 ∈ [t0, ω[ такие, что выполняет- ся неравенство |πω(t)|p′j(t) pj(t) − |πω(t)|p′i(t) pi(t) + |πω(t)|y′(t) y(t) ( y(t)ϕ′1j(y(t)) ϕ1j(y(t)) − y(t)ϕ′1i(y(t)) ϕ1i(y(t)) ) <ρ при t1 ∈ [t0, ω[. В силу этого неравенства из (2.11) получим z′ij(t) ≤ ρzij(t) |πω(t)| при t ∈ [t1, ω[. Отсюда следует, что ln ∣∣∣∣ zij(t)zij(t1) ∣∣∣∣ ≤ ρ sign [πω(t)] ln ∣∣∣∣ πω(t) πω(t1) ∣∣∣∣ при t ∈ [t1, ω[. Здесь выражение, стоящее в правой части, стремится к−∞ при t ↑ ω и поэтому lim t↑ω zij(t) = = 0. Согласно этому условию и асимптотическим соотношениям ϕ1k(y) ∼ ϕk(y), k = i, j, при y → Y0 справедливо предельное соотношение (2.10). Лемма доказана. Замечание 2.1. Из доказательства леммы 2.2 ясно, что если вместо (2.9) выполняется неравенство lim inf t↑ω |πω(t)| [ p′j(t) pj(t) − p′i(t) pi(t) ] > ν0ν1|n− 1 + µ0|(σi − σj), то для каждого Пω(Y0, µ0)-решения уравнения (1.1) lim t↑ω pj(t)ϕj(y(t)) pi(t)ϕi(y(t)) = +∞. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 454 А. М. КЛОПОТ 3. Основные результаты. Для того чтобы сформулировать основной результат, нам понадобятся вспомогательные функции Ii(t) = t∫ Ai pi(τ)πn−1ω (t) dτ, Φi(y) = y∫ Bi ds ϕi(s) , (3.1) где Ai =  a, если ω∫ a |πω(t)|n−1pi(τ) dτ = +∞, ω, если ω∫ a |πω(t)|n−1pi(τ) dτ < +∞, Bi =  b, если ∣∣∣∣∣∣ Y0∫ b dy ϕi(y) ∣∣∣∣∣∣ = +∞, Y0, если ∣∣∣∣∣∣ Y0∫ b dy ϕi(y) ∣∣∣∣∣∣ < +∞. Отметим необходимые для дальнейшего свойства функции Φi. Поскольку Φ′i(y) > 0 при y ∈ ∆Y0(b), то Φi : ∆Y0(b) −→ ∆Z0(c), где ∆Z0(c) = { [c, Z0[, если ∆Y0(b) = [b, Y0[, ]Z0, c], если ∆Y0(b) =]Y0, b], c = b∫ Bi ds ϕi(s) , Z0 =  0, если Bi = Y0, +∞, если Bi = b < Y0, −∞, если Bi = b > Y0, причем при σi 6= 1 lim y→Y0 y∈∆Y0 (b) Φi(y) = µ0 (1− σi) lim y→Y0 y∈∆Y0 (b) |y|1−σi = Z0, (3.2) и существует обратная непрерывно дифференцируемая возрастающая функция Φ−1i : ∆Z0(c) −→ ∆Y0(b) такая, что lim z→Z0 z∈∆Z0 (c) Φ−1i (z) = Y0. (3.3) В силу представления (1.2), свойств M1, M2 медленно меняющихся функций и правила Лопиталя lim y→Y0 y∈∆Y0 y Φi(y)ϕi(y) = 1− σi. (3.4) Теорема 3.1. Пусть µ0 ∈ R\{0,−1, . . . ,−n+ 1}, для некоторого i ∈ {1, . . . ,m} выпол- няется неравенство σi 6= 1 и при всех j ∈ {1, . . . ,m} \ {i} выполняются условия (2.9). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 455 Тогда для существования Пω(Y0, µ0)-решений уравнения (1.1) необходимо, а если алге- браическое относительно ρ уравнение n∏ k=1 (a0k + ρ) = σi n∏ k=1 a0k, (3.5) где a0k = µ0 + n − k, k = 1, . . . , n, не имеет корней с нулевой действительной частью, то и достаточно, чтобы lim t↑ω πω(t)I ′i(t) Ii(t) = (1− σi)(µ0 + n− 1), ν0 lim t↑ω |πω(t)|(n−1)+µ0 = Y0 (3.6) и выполнялись неравенства ν0αiπ n ω(t) n∏ k=1 a0k > 0, ν0ν1(µ0 + n− 1)πω(t) > 0 при t ∈]a, ω[. (3.7) Более того, для каждого такого решения имеют место при t ↑ ω асимптотические представления y(t) ϕi(y(t)) = αiπ n ω(t)pi(t)∏n k=1 a0k [1 + o(1)], (3.8) y(k)(t) y(k−1)(t) = a0k πω(t) [1 + o(1)], k = 1, . . . , n− 1, (3.9) причем если среди корней алгебраического уравнения (3.5) имеется l корней (с учетом кратных), действительные части которых отрицательны, то при ω = +∞ решений с такими представлениями существует l-параметрическое семейство, а при ω < +∞— (n− l)-параметрическое семейство. Замечание 3.1. Нетрудно проверить, что алгебраическое уравнение (3.5) заведомо не имеет корней с нулевой действительной частью, если |σi| < 1. Доказательство теоремы. Необходимость. Пусть µ0 ∈ R\{0,−1, . . . ,−n − 1} и y : [t0, ω[−→ ∆Y0 — произвольное Пω(Y0, µ0)-решение уравнения (1.1). Тогда существует t1 ∈ ∈ [t0, ω[ такое, что y(t) ∈ ∆Y0(b), sign y(t) = ν0 и sign y′(t) = ν1 при t ∈ [t1, ω[. Кроме того, согласно лемме 2.2 имеют место асимптотические соотношения (2.10) и поэтому из (1.1) следует, что y(n)(t) = αipi(t)ϕi(y(t))[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.10) Поскольку µ0 ∈ R\{0,−1, . . . ,−n − 1}, с использованием леммы 2.1 и обозначения a0k = µ0 + n− k, k = 1, n, находим y(n)(t) = y(n)(t) y(n−1)(t) y(n−1)(t) y(n−2)(t) . . . y′′(t) y′(t) y′(t) = ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 456 А. М. КЛОПОТ = 1 πn−1ω (t) πω(t)y(n)(t) y(n−1)(t) πω(t)y(n−1)(t) y(n−2)(t) . . . πω(t)y′′(t) y′(t) y′(t) ∼ ∼ 1 πn−1ω (t) µ0(µ0 + 1) . . . (µ0 + n− 2)y′(t) = ∏n k=2 a0k πn−1ω (t) y′(t) при t ↑ ω. В силу этого асимптотического соотношения из (3.10) получаем y′(t) ϕi(y(t)) = αiπ n−1 ω (t)pi(t)∏n k=2 a0k [1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.11) Интегрируя это соотношение на промежутке от t1 до t, находим y(t)∫ y(t1) ds ϕi(s) dτ = αi∏n k=2 a0k t∫ t1 pi(τ)πn−1ω (τ)[1 + o(1)] dτ, откуда следует, что Φi(y(t)) = αi∏n k=2 a0k Ii(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. Тогда в силу (3.4) y(t) ϕi(y(t)) = αi(1− σi)∏n k=2 a0k Ii(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.12) Из (3.11) и (3.12) следует, что y′(t) y(t) = πn−1ω (t)pi(t) (1− σi)Ii(t) [1 + o(1)] при t ↑ ω. С другой стороны, согласно лемме 2.1 lim t↑ω πω(t)y′(t) y(t) = a01. Поэтому a01 = πnω(t)pi(t) (1− σ)Ii(t) [1 + o(1)] при t ↑ ω. Отсюда следует, что lim t↑ω πnω(t)pi(t) Ii(t) = a01(1− σi). Значит, выполняется первое из условий (3.6) и в силу (3.12) имеет место при t ↑ ω асимп- тотическое представление (3.8). Справедливость при t ↑ ω асимптотических соотноше- ний (3.9) следует из леммы 2.1. Кроме того, из (3.8) и (3.9) с учетом того, что sign y(t) = ν0 и sign y′(t) = ν1 при t ∈ [t1, ω[, вытекают неравенства (3.7). Второе из условий (3.6) сле- дует из (3.9) при k = 1. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 457 Достаточность. Пусть выполняются условия (3.6), (3.7) и алгебраическое уравне- ние (3.5) не имеет корней с нулевой действительной частью. Покажем, что в этом случае дифференциальное уравнение (1.1) имеет Pω(Y0, µ0)-решения, допускающие при t ↑ ω асимптотические представления (3.8), (3.9), и выясним вопрос о количестве таких реше- ний. Уравнение (1.1) с помощью преобразования Φi(y(t)) = αiIi(t)∏n k=2 a0k [1 + v1(τ)], y(k)(t) y(k−1)(t) = a0k[1 + vk+1(τ)] πω(t) , (3.13) k = 1, n− 1, τ = β ln |πω(t)|, где β = { 1, если ω = +∞, −1, если ω < +∞, сведем к системе дифференциальных уравнений v′1 = β [H(τ, v1)(1 + v2)− q(τ)(1 + v1)] , v′k = β [−a0kvk + a0k+1vk+1 + Vk(vk, vk+1] , k = 2, n− 1, (3.14) v′n = β [ aonq(τ)G(τ, v1) H(τ, v1) n−1∏ k=2 (1 + vk) −1 − a0n−1(1 + vn)2 + 1 + vn ] , в которой q(τ(t)) = πω(t)I ′i(t) Ii(t) , H(τ(t), v1) = αiY (t, v1) ∏n k=1 a0k Ii(t)ϕi(Y (t, v1)) , Y (t, v1) = Φ−1i ( αiIi(t)∏n k=2 a0k (1 + v1) ) , G(τ(t), v1) = 1 αipi(t)ϕi(Y (t, v1)) m∑ k=1 αkpk(t)[1 + rk(t)]ϕk(Y (t, v1)), Vk(vk, vk+1) = a0kvkvk+1 − a0k−1v2k. Здесь τ ′(t) > 0 при t ∈ [a, ω[, lim t↑ω τ(t) = +∞. (3.15) Поэтому согласно первому из условий (3.6) lim τ→+∞ q(τ) = lim t↑ω πω(t)I ′i(t) Ii(t) = (1− σi)(µ0 + n− 1). (3.16) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 458 А. М. КЛОПОТ В силу условий (3.6), (3.7), (3.2) и (3.4) αi∏n k=2 a0k lim t↑ω Ii(t) = Z0 и существует число t0 ∈ [a, ω[ такое, что αiIi(t)∏n k=2 a0k (1 + v1) ∈ ∆Z0(c) при t ∈ [t0, ω[ и |v1| ≤ 1 2 . Поэтому lim t↑ω Y (t, v1) = Y0 равномерно по |v1| ≤ 1 2 (3.17) и Y (t, v1) ∈ ∆Y0(b) при t ∈ [t0, ω[ и |v1| ≤ 1 2 . Отсюда, в частности, ясно, что правые части системы дифференциальных уравнений (3.14) определены и непрерывны на множестве Ω = [τ0,+∞[×Rn1 2 , где τ0 = β ln |πω(t0)|, Rn1 2 = { (v1, . . . , vn) ∈ Rn : |vi| ≤ 1 2 , i = 1, n } . В силу (3.4) и (3.17) lim t↑ω Y (t, v1) Φi(Y (t, v1))ϕi(Y (t, v1)) = lim y→Y0 y Φi(y)ϕi(y) = 1− σi равномерно по |v1| ≤ 1 2 . Значит, Y (t, v1) ϕi(Y (t, v1)) = Φi(Y (t, v1))[1− σi + ε(t, v1)] = αiIi(t)∏n k=2 a0k (1 + v1)[1− σi + ε(t, v1)], (3.18) где ε непрерывна на множестве [t0, ω[×R 1 2 и удовлетворяет условию lim t↑ω ε(t, v1) = 0 равномерно по |v1| ≤ 1 2 . Отсюда следует, что для функции H имеют место представления H(τ, v1) = a01(1 + v1)[1− σi + r1(τ, v1)], 1 H(τ, v1) = 1 a01(1 + v1) [ 1 1− σi + r2(τ, v1) ] , (3.19) где функции ri, i = 1, 2, непрерывны на [τ0,+∞[×R 1 2 и удовлетворяют условиям lim τ→+∞ ri(τ, v1) = 0 равномерно по v1 ∈ R 1 2 . (3.20) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 459 В силу вида функции Y (t, v1) имеем (Y (t, v1)) ′ t = αi∏n k=2 a0k (1 + v1)pi(t)π (n−1) ω (t)ϕi(Y (t, v1)). Отсюда с учетом (3.18) следует, что πω(t)[Y (t, v1)] ′ t Y (t, v1) = pi(t)π n ω(t) Ii(t) 1 1− σi + ε(t, v1) . Поэтому в силу первого из условий (3.6) lim t↑ω πω(t)[Y (t, v1)] ′ t Y (t, v1) = µ0 + n− 1 равномерно по v1 ∈ R 1 2 . (3.21) Учитывая теперь предельные соотношения (3.17) и (3.21), а также условия (2.9), ко- торые выполняются при всех j 6= i, устанавливаем, повторяя рассуждения из доказатель- ства леммы 2.2, что lim t↑ω pj(t)ϕj (Y (t, v1)) pi(t)ϕi (Y (t, v1)) = 0 при j 6= i, j ∈ {1, . . . ,m}, равномерно по v1 ∈ R 1 2 . Отсюда с учетом того, что G(τ(t), v1) = 1 + ri(t) + m∑ j=1 j 6=i αjpj(1 + rj(t))ϕj(Y (t, v1)) αipiϕi(Y (t, v1)) , и выполняются условия (1.2) и (3.15), имеем представление G(τ, v1) = 1 + r3(τ, v1), где lim τ→+∞ r3(τ, v1) = 0 равномерно по v1 ∈ R 1 2 . (3.22) Используя теперь представления (3.19), (3.22) и условие (3.16), записываем систему дифференциальных уравнений (3.14) в виде v′1 = β [f1(τ, v1, v2) + (1− σi)a01v2 + V1(v1, v2)] , v′k = β [−a0kvk + a0k+1vk+1 + Vk(vk, vk+1)] , k = 2, n− 1, (3.23) v′n = β [ f2(τ, v1, . . . , vn)− a0n n−1∑ n=1 vn + (1− 2a0n−1)vn + Vn(v1, . . . , vn) ] , где f1(τ, v1, v2) = a01(1 + v1)(1 + v2)r1(τ, v1)− [q(τ)− (1− σi)(µ0 + n− 1)](1 + v1), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 460 А. М. КЛОПОТ fn(τ, v1, . . . , vn) = [q(τ)− (1− σi)a01](1 + r3(τ, v1))× × [ 1 1− σi + r2(τ, v1) ] a0n a01 ∏n−1 k=1(1 + vk) + + r3(τ, v1)[1 + (1− σi)r2(τ, v1)] a0n∏n−1 k=1(1 + vk) + + (1− σi)r2(τ, v1) a0n∏n−1 k=1(1 + vk) , V1(v1, v2) = a01(1− σi)v1v2, Vn(v1, . . . , vn) = a0n∏n−1 k=1(1 + vk) − a0n+a0n n−1∑ k=1 vk − a0n−1v2n. В силу условий (3.16), (3.20) и (3.22) lim τ→+∞ f1(τ, v1) = 0 равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ R 1 2 , lim τ→+∞ fn(τ, v1, . . . , vn) = 0 равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ R 1 2 . Кроме того, lim |v1|+...+|vn|→0 ∂Vk(vk, vk+1) ∂vi = 0, k = 1, n− 1, i = k, k + 1, lim |v1|+...+|vn|→0 ∂Vn(v1, . . . , vn) ∂vi = 0, i = 1, n. Характеристическое уравнение det[A− ρE] = 0 матрицы A =  0 a01(1− σ) 0 · · · 0 0 0 −a01 a02 · · · 0 0 ... ... ... . . . ... ... 0 0 0 · · · −a0n−2 a0n−1 −a0n −a0n −a0n · · · −a0n 1− 2a0n−1)  , составленной из коэффициентов, стоящих в квадратных скобках при линейной части сис- темы дифференциальных уравнений (3.23), имеет вид (3.5) и поэтому согласно условиям теоремы не имеет корней с нулевой действительной частью. Тем самым показано, что для системы (3.23) выполняются все условия теоремы 2.2 из работы [11]. На основании этой теоремы система дифференциальных уравнений (2.23) имеет хотя бы одно решение (vi) n i=1 : [τ1,+∞[−→ Rn, τ1 ≥ τ0, стремящееся к нулю при τ → +∞, причем в случае, когда среди корней характеристического уравнения (3.5) име- ется l корней (с учетом кратных), действительные части которых отрицательны, то при β = 1 таких решений существует l-параметрическое семейство, а при β = −1 — (n − l)- параметрическое. Каждому такому решению в силу замен (3.13) и предельного соотно- шения (3.4) соответствует решение дифференциального уравнения (1.1), допускающее ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 461 при t ↑ ω асимптотические представления (3.8), (3.9), причем решений с такими пред- ставлениями существует l-параметрическое семейство в случае, когда ω = +∞, и (n− l)- параметрическое семейство в случае, когда ω < +∞. Теорема доказана. Укажем теперь условия, при которых асимптотические представления (3.8), (3.9) мо- гут быть записаны в явном виде. Определение 3.1 [12]. Будем говорить, что функция ϕk, k ∈ {1, . . . ,m}, удовлетво- ряет условию S, если для любой непрерывно дифференцируемой функции l : ∆Y0 −→ −→]0,+∞[ такой, что lim z→Y0 z∈∆Y0 z l′(z) l(z) = 0, имеет место асимптотическое соотношение Lk(zl(z)) = Lk(z)[1 + o(1)] при z → Y0 (z ∈ ∆Y0). Условию S заведомо удовлетворяют функции ϕk, для которых функция Lk имеет ко- нечный предел при y → Y0, а также функции вида ϕk(y) = |y|σk | ln y|γ1 , ϕk(y) = |y|σk | ln y|γ1 | ln | ln y||γ2 , где γ1, γ2 6= 0, и многие другие. Замечание 3.2 [13]. Если функцияϕk удовлетворяет условию S, а функция y : [t0, ω[−→ −→ ∆Y0 непрерывно дифференцируемая и такая, что lim t↑ω y(t) = Y0, y′(t) y(t) = ξ′(t) ξ(t) [r + o(1)] при t ↑ ω, где r — отличная от нуля вещественная постоянная, ξ — непрерывно дифференцируемая в некоторой левой окрестности ω вещественная функция, для которой ξ′(t) 6= 0, то Lk(y(t)) = Lk (µ0|ξ(t)|r) [1 + o(1)] при t ↑ ω, так как в данном случае y(t) = z(t)l(z(t)), где z(t) = µ0|ξ(t)|r, и lim z→Y0 z∈∆Y0 z l′(z) l(z) = lim t↑ω z(t) l′(z(t)) l(z(t)) = lim t↑ω z(t) ( y(t) z(t) )′( y(t) z(t) ) z′(t) = lim t↑ω [ ξ(t)y′(t) rξ′(t)y(t) − 1 ] = 0. Теорема 3.2. Пусть µ0 ∈ R\{0,−1, . . . ,−n−1} и для некоторого i ∈ {1, . . . ,m} выпол- няется неравенство σi 6= 1, а при всех j ∈ {1, . . . ,m} \ {i}— условие (2.9). Пусть, кроме того, функцияϕi удовлетворяют условию S.Тогда каждое Пω(Y0, µ0)-решение (в случае ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 462 А. М. КЛОПОТ их существования) дифференциального уравнения (1.1) допускает при t ↑ ω асимпто- тические представления y(k−1)(t) = ν0 ∏k−1 j=1 aoj πk−1ω (t) ∣∣∣∣∣πnω(t)pi(t)Li (ν0|πω(t)|a01)∏n j=1 a0j ∣∣∣∣∣ 1 1−σi [1 + o(1)], k = 1, n, (3.24) при t ↑ ω. Доказательство. При установлении теоремы 3.1 было показано, что для существова- ния Пω(Y0, µ0)-решений уравнения (1.1) необходимо, чтобы выполнялись условия (3.6), (3.7) и каждое такое решение допускало при t ↑ ω асимптотические представления (3.8), (3.9). Поскольку функция ϕi удовлетворяет условию S и согласно (3.9) y′(t) y(t) = 1 πω(t) [a01 + o(1)] при t ↑ ω, в силу (1.3) и замечания 3.2 ϕi(y(t)) = |y(t)|σiLi(y(t)) = |y(t)|σiLi (ν0|πω(t)|a01) [1 + o(1)] при t ↑ ω. Поэтому асимптотическое представление (3.8) можно записать в виде y(t) |y(t)|σi = αiπ n ω(t)pi(t)∏n j=1 a0j Li(ν0|πω(t)|a01)[1 + o(1)] при t ↑ ω, откуда следует, что y(t) = ν0 ∣∣∣∣∣πnω(t)pi(t)Li (ν0|πω(t)|a01)∏n k=j a0j ∣∣∣∣∣ 1 1−σi [1 + o(1)] при t ↑ ω. В силу этого представления и (3.9) получим асимптотические представления (3.24). Теорема доказана. 4. Пример уравнения с правильно меняющимися при t ↑ ω коэффициентами. Рассмот- рим дифференциальное уравнение y(n) = m∑ k=1 αkqk(t)ϕk(y), (4.1) в котором αk ∈ {−1, 1}, k = 1,m, qk : [a, ω[−→]0,+∞[, k = 1,m, — непрерывные пра- вильно меняющиеся при t ↑ ω функции порядков γk, k = 1,m, и ϕk : ∆Y0 −→]0,+∞[ k = 1,m, — непрерывные правильно меняющиеся при y → Y0 функции порядков σk, k = 1,m, −∞ < a < ω ≤ +∞, Y0 равно либо нулю, либо ±∞, ∆Y0 — односторонняя окрестность Y0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 463 В силу свойств правильно меняющихся функций (см. [1, с. 15] гл. 1, § 2) существуют непрерывно дифференцируемые правильно меняющиеся при t ↑ ω функции pk : [a, ω[−→ −→]0,+∞[, k = 1,m, такие, что qk(t) ∼ pk(t) при t ↑ ω и lim t↑ω πω(t)p′k(t) pk(t) = γk, k = 1,m. (4.2) Значит, уравнение (4.1) является уравнением вида (1.1) и при этом lim sup t↑ω |πω(t)| [ p′j(t) pj(t) − p′i(t) pi(t) ] = β(γj − γi) для любых i, j ∈ {1, . . . ,m}, где β = { 1, если ω = +∞, −1, если ω < +∞. Поэтому для |µ0| < +∞ и некоторого i ∈ {1, . . . ,m} такого, что σi 6= 1, условия (2.9) примут вид β(γj − γi) < ν0ν1|µ0 + n− 1|(σi − σj) при j ∈ {1, . . . ,m} \ {i}. (4.3) В случае, когда µ0 ∈ R\{0,−1, . . . ,−n+1} и выполняются данные неравенства, для суще- ствования Pω(Y0, µ0)-решений уравнения (4.1) необходимо, согласно теореме 3.1, чтобы выполнялись условия (3.6), (3.7). В силу (4.2) lim t↑ω πω(t)I ′i(t) Ii(t) = n+ γi. Значит, первое из условий (3.6) примет вид n+ γi = (1− σi)(µ0 + n− 1), откуда следует, что µ0 = 1 + γi + σi(n− 1) 1− σi . (4.4) Кроме того, в силу второго из условий (3.7) ν0ν1β(µ0 + n− 1) > 0. Поэтому неравенства (4.3) можно представить в виде β(γi − γj) < β(γi + n) σi − σj 1− σi при j ∈ {1, . . . ,m} \ {i}. (4.5) Наконец, второе из условий (3.6) и первое из (3.7) в данном случае имеют вид ν0 lim t↑ω |πω(t)| n+γi 1−σi = Y0, αiν0 ( πω(t) 1− σi )n n∏ k=1 [n+ γi + (1− σi)(k − 1)] > 0. (4.6) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 464 А. М. КЛОПОТ Тогда согласно теореме 3.1 имеет место следующее утверждение. Следствие 4.1. Пусть для некоторого i ∈ {1, . . . ,m} такого, что σi 6= 1 и n+ γi 1− σi ∈ ∈ R \ {0, 1, . . . , n − 1}, выполняются неравенства (4.5) и условия (4.6). Тогда при значе- нии µ0 из формулы (4.4) существуют Пω(Y0, µ0)-решения дифференциального уравне- ния (4.1), причем для каждого из них имеют место при t ↑ ω асимптотические пред- ставления y(t) ϕi(y(t)) = αi [(1− σi)πω(t)]n qi(t)∏n k=1[n+ γi + (1− σi)(k − 1)] [1 + o(1)], (4.7) y(k)(t) y(k−1)(t) = n+ γk + (1− σi)(k − 1) (1− σi)πω(t) [1 + o(1)], k = 1, . . . , n− 1. (4.8) Замечание 4.1. Если выполняются условия следствия 4.1 и функция ϕi удовлетворяет условию S, то асимптотические представления (4.7) и (4.8) в силу теоремы 3.2 могут быть записаны в явном виде y(k−1)(t) = ν0 ∏k−1 j=1 [n+ γi + (1− σi)(j − 1)] [(1− σi)πω(t)]k−1 × × ∣∣∣∣∣∣∣∣ [(1− σi)πω(t)]nqi(t)Li ( ν0|πω(t)| n+γi 1−σi ) ∏n j=1[n+ γi + (1− σi)(j − 1)] ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1−σi [1 + o(1)], k = 1, n. 5. Выводы. В данной работе для дифференциального уравнения n-го порядка вида (1.1) с правильно меняющимися при y → Y0 нелинейностями ϕi, i = 1,m, выделен до- статочно широкий класс так называемых Пω(Y0, µ0)-решений и предложен при µ0 ∈ ∈ R \ {0,−1, . . . ,−n+ 1} метод установления асимптотики при t ↑ ω таких решений и их производных до порядка n − 1 включительно. Найденные представления имеют не- явную форму записи. Указаны дополнительные условия на нелинейности, при выпол- нении которых данные представления могут быть записаны в явном виде. Кроме того, выяснен вопрос о существовании решений дифференциального уравнения (1.1) с полу- ченной асимптотикой. Следует также обратить внимание на то, что в силу произвольности выбора Y0 ∈ ∈ {±∞; 0} и ω ≤ +∞ установленные результаты позволяют описывать асимптотику не только правильных решений, стремящихся либо к нулю, либо к ±∞ при t ↑ ω, но и различного типа сингулярных решений уравнения (1.1). 1. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985. — 144 с. 2. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990. — 430 c. 3. Костин А. В. Асимптотика пpавильных pешений нелинейных обыкновенных диффеpенциальных ypавнений // Дифференц. ypавнения. — 1987. — 23, № 3. — С. 524 – 526. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4 ОБ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 465 4. Евтухов В. М. Асимптотические свойства монотонных решений одного класса нелинейных диффе- ренциальных уравнений n-го порядка // Докл. расш. зас. сем. Ин-та прикл. математики им. И. Н. Ве- куа. — 1988. — 3, № 3. — С. 62 – 65. 5. Евтухов В. М. Асимптотические представления монотонных решений нелинейного дифференциаль- ного уравнения типа Эмдена – Фаулера n-го порядка // Докл. АН России. — 1992. — 234, № 2. — С. 258 – 260. 6. Евтухов В. М. Об одном классе монотонных решений нелинейного дифференциального уравнения n-го порядка типа Эмдена – Фаулера // Сообщ. АН Грузии. — 1992. — 145, № 2. — С. 269 – 273. 7. Evtukhov V. M., Shebanina E. V. Asymptotic behaviour of solutions of n-th order differential equations // Mem. Different. Equat. Math. Phys. — 1998. — 13. — P. 150 – 153. 8. Евтухов В. М., Касьянова В. А. Асимптотическое поведение неограниченных решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. I // Укр. мат. журн. — 2005. — 57, № 3. — С. 338 – 355. 9. Евтухов В. М., Касьянова В. А. Асимптотическое поведение неограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. I // Укр. мат. журн. — 2006. — 58, № 7. — С. 901 – 921. 10. Евтухов В. М., Шинкаренко В. Н. Асимптотические представления решений двучленных неавтоном- ных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с экспоненциальной нелинейностью // Дифференц. уравнения. — 2008. — 44, № 3. — С. 308 – 322. 11. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. — 2010. — 62, № 1. — С. 52 – 80. 12. Евтухов В. М., Белозерова М. А. Асимптотические представления решений существенно нелинейных неавтономних дифференциальных уравнений второго порядка // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 3. — С. 310 – 331. 13. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкно- венных дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями // Дифференц. уравнения. — 2011. — 47, № 5. — С. 628 – 650. Получено 04.07.11, после доработки — 19.09.12 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176017
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 1562-3076
language Russian
last_indexed 2025-12-07T16:02:58Z
publishDate 2012
publisher Інститут математики НАН України
record_format dspace
spelling Клопот, А.М.
2021-02-03T09:14:25Z
2021-02-03T09:14:25Z
2012
Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка / А.М. Клопот // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 447-465. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
1562-3076
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176017
517.925
Встановлено асимптотичнi формули для одного класу монотонних розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь n-го порядку, що мiстять у правiй частинi суму доданкiв з правильно змiнними нелiнiйностями.
We find asymptotics formulas for a class of monotone solutions of order n nonautonomous differential equations that contain a sum of terms with regularly changing nonlinearities in the right-hand side.
ru
Інститут математики НАН України
Нелінійні коливання
Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
Про асимптотику розв’язків неавтономних звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку
On asymptotics of solutions of order n nonautonomous ordinary differential equations
Article
published earlier
spellingShingle Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
Клопот, А.М.
title Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
title_alt Про асимптотику розв’язків неавтономних звичайних диференціальних рівнянь n-го порядку
On asymptotics of solutions of order n nonautonomous ordinary differential equations
title_full Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
title_fullStr Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
title_full_unstemmed Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
title_short Об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
title_sort об асимптотике решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176017
work_keys_str_mv AT klopotam obasimptotikerešeniineavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravneniingoporâdka
AT klopotam proasimptotikurozvâzkívneavtonomnihzvičainihdiferencíalʹnihrívnânʹngoporâdku
AT klopotam onasymptoticsofsolutionsofordernnonautonomousordinarydifferentialequations