Нелiнiйнi рiзницевi рiвняння у просторах обмежених двостороннiх послiдовностей
Получены условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений. We obtain conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear difference equations.
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2012
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176019 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нелiнiйнi рiзницевi рiвняння у просторах обмежених двостороннiх послiдовностей / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 528-538. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859627417635651584 |
|---|---|
| author | Слюсарчук, В.Ю. |
| author_facet | Слюсарчук, В.Ю. |
| citation_txt | Нелiнiйнi рiзницевi рiвняння у просторах обмежених двостороннiх послiдовностей / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 528-538. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Получены условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений.
We obtain conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear difference equations.
|
| first_indexed | 2025-11-29T13:38:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.988.6
НЕЛIНIЙНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ
У ПРОСТОРАХ ОБМЕЖЕНИХ ДВОСТОРОННIХ
ПОСЛIДОВНОСТЕЙ
В. Ю. Слюсарчук
Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування
Україна, 33000, Рiвне, вул. Соборна, 11
e-mail: V.Ye.Slyusarchuk@NUWM.rv.ua
We obtain conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear difference equations.
Получены условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений.
1. Основнi функцiональнi простори i об’єкт дослiджень. Нехай Z — множина всiх цiлих
чисел, R — множина всiх дiйсних чисел, C — множина всiх комплексних чисел, En, n ∈
∈ Z, — довiльнi банаховi простори з нормами ‖ · ‖En , n ∈ Z, i нульовими векторами 0n,
n ∈ Z, вiдповiдно, lp, 1 ≤ p ≤ ∞, — банаховi простори двостороннiх послiдовностей
x = (xn)n∈Z, де xn ∈ En, n ∈ Z, з нульовим елементом 0 = (0n)n∈Z, для кожної з яких∑
n∈Z ‖xn‖
p
En
< ∞, якщо p ∈ [1,∞), i supn∈Z ‖xn‖En < ∞, якщо p = ∞, з нормою
‖x‖lp =
(∑
n∈Z
‖xn‖pEn
)1/p
, якщо p ∈ [1,∞),
sup
n∈Z
‖xn‖En , якщо p = ∞,
вiдповiдно, C0 — банаховий простiр двостороннiх послiдовностей x = (xn)n∈Z, xn ∈ En,
n ∈ Z, з нульовим елементом 0 = (0n)n∈Z, для кожної з яких limn→∞ ‖xn‖En = 0, i
нормою
‖x‖C0 = sup
n∈Z
‖xn‖En
(якщо всi простори En, n ∈ Z, збiгатимуться з деяким банаховим простором E, то про-
стори lp, 1 ≤ p ≤ ∞, i C0 позначатимемо через lp(Z, E), 1 ≤ p ≤ ∞, i c0(Z, E) вiдповiдно) i
L(X,Y ) — банаховий простiр лiнiйних неперервних операторiвA,що дiють iз банахового
простору X у банаховий простiр Y , з нормою
‖A‖L(X,Y ) = sup
‖x‖X=1
‖Ax‖Y .
Розглянемо рiзницеве рiвняння
xn = An−1xn−1 + Fn(xn−1) + hn, n ∈ Z, (1)
c© В. Ю. Слюсарчук, 2012
528 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
НЕЛIНIЙНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ У ПРОСТОРАХ ОБМЕЖЕНИХ ДВОСТОРОННIХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ 529
де h = (hn)n∈Z — елемент одного з просторiв lp, 1 ≤ p ≤ ∞, або C0, а вiдображення
An ∈ L(En, En+1) i Fn : En−1 → En, n ∈ Z, є такими, що
sup
n∈Z
‖An‖L(En,En+1) < ∞, (2)
i для кожного числа r > 0
sup
n∈Z, x∈En−1, ‖x‖En−1
≤r
‖Fn(x)‖En < ∞. (3)
Метою цiєї статтi є встановлення умов iснування розв’язкiв рiвняння (1) у просторах
lp, 1 ≤ p ≤ ∞, i C0 (у випадку h ∈ l∞ i нульових вiдображень Fn, n ∈ Z, це рiвняння
дослiджено в [1]).
При дослiдженнi рiвняння (1) будемо використовувати елементи теорiї c-неперервних
операторiв.
2. c-Неперервнi та c-цiлком неперервнi оператори. Розглянемо оператори Pm : l∞ →
→ C0, m ∈ N, i Qn : l∞ → En, n ∈ Z, що визначаються рiвностями
(Pmx)n =
{
xn, якщо |n| ≤ m,
0n, якщо |n| > m,
i
Qnx = xn.
Нехай X — простiр lp, 1 ≤ p ≤ ∞, або C0. Послiдовнiсть елементiв xk ∈ X, k ≥ 1,
називатимемо локально збiжною до x ∈ X при k → ∞ i позначатимемо
xk
loc, X−−−→ x при k → ∞,
якщо supk>1 ‖xk‖X < ∞ i limk→∞ ‖Pm(xk − x)‖X = 0 для кожного числа m ∈ N.
Оператор H : X −→ X називається c-неперервним, якщо для довiльних x ∈ X i xk ∈
∈ X, k ∈ N, для яких xk
loc, X−−−→ x при k → ∞, виконується спiввiдношення
Hxk
loc, X−−−→ Hx при k → ∞.
c-Неперервний оператор H : X −→ X називається c-цiлком неперервним, якщо для
кожного m ∈ N оператор PmH є цiлком неперервним.
Зазначимо, що c-неперервнi та c-цiлком неперервнi оператори можуть не бути вiд-
повiдно неперервними та цiлком неперервними i навпаки. Це ми покажемо у випадку
операторiв, що дiють у просторi c0(Z,R).
Приклад 1. Для ненульового елемента x ∈ c0(Z,R) позначимо через n0(x) найменше
натуральне число, для якого |x−n0(x)|+ |xn0(x)| 6= 0. Визначимо операторH : c0(Z,R) −→
−→ c0(Z,R) спiввiдношенням
(Hx)n =
{nxn} sinπ{nxn}, якщо x 6= 0 i n ∈ [−n0(x), n0(x)],
0, якщо x 6= 0 i n ∈ Z \ [−n0(x), n0(x)],
0, якщо x = 0 i n ∈ Z,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
530 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
де {nxn} означає дробову частину числа nxn. Розглянемо у просторi c0(Z,R) довiльнi еле-
менти xk = (xk,n)n∈Z, k ≥ 1, i a = (a)n∈Z, для яких xk
loc, c0(Z,R)−−−−−−−→ a при k → ∞. Завдяки
неперервностi функцiї {x} sinπ{x} на R справджується спiввiдношення
Hxk
loc, c0(Z,R)−−−−−−−→ Ha
при k → ∞. Тому операторH : c0(Z,R) −→ c0(Z,R) є c-неперервним i, отже, c-цiлком не-
перервним (кожний c-неперервний оператор A : c0(Z, E) −→ c0(Z, E) у випадку скiнчен-
новимiрного простору E є c-цiлком неперервним). Однак для цього оператора вiдсутня
неперервнiсть у точцi 0. Справдi, якщо
xk =
(
δk,n
2n
)
n∈Z
, k ≥ 1,
де
δk,n =
{
1, якщо k = n,
0n, якщо k 6= n,
то
lim
k→∞
‖xk‖c0(Z,R) = 0, (4)
(Hxk)n =
1
2
, якщо n = k,
0, якщо n 6= k,
(5)
H0 = 0
i тому
Hxk −H0 6→ 0 при k → ∞.
Iз (4) i (5) випливає, що для оператораH не виконується властивiсть повної неперерв-
ностi.
Приклад 2. Розглянемо оператор K : c0(Z,R) −→ c0(Z,R), що визначається за допо-
могою рiвностi
(Kx)n =
{
‖x‖c0(Z,R), якщо n = 0,
0, якщо n ∈ Z \ {0},
i елементи
xk =
{
1, якщо n = k,
0, якщо n 6= k,
k ∈ N,
простору c0(Z,R).
Очевидно, що оператор K є неперервним i цiлком неперервним на c0(Z,R). Однак
властивiсть c-неперервностi для K не виконується, оскiльки
xk
loc, c0(Z,R)−−−−−−−→ 0 при k → ∞,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
НЕЛIНIЙНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ У ПРОСТОРАХ ОБМЕЖЕНИХ ДВОСТОРОННIХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ 531
K0 = 0
i
(Kxk)0 = 1
для всiх k ∈ N
(
тому Kxk 6
loc, c0(Z,R)−−−−−−−→ 0 при k → ∞
)
. Отже, оператор K також не є
c-цiлком неперервним.
Зазначимо, що поняття c-неперервного оператора (на мовi ε, δ) та c-цiлком неперерв-
ного оператора введено до розгляду Е. Мухамадiєвим [2, 3]. Вивчення цих операторiв
було продовжено в [3 – 16] та iнших роботах.
3. Формулювання основних теорем. Розглянемо оператори D : l∞ → l∞ i F : l∞ →
→ l∞, що визначаються спiввiдношеннями
(Dx)n = xn −An−1xn−1, n ∈ Z, (6)
i
(Fx)n = Fn(xn−1), n ∈ Z. (7)
Також для кожного числа r > 0 розглянемо двосторонню числову послiдовнiсть
a(r) = (an(r))n∈Z,
де
an(r) = sup
x∈En−1, ‖x‖En−1
≤r
‖Fn(x)‖En .
Завдяки (2) i (3) лiнiйний оператор D є неперервним, оператор F є обмеженим (цей
оператор кожну обмежену множину вiдображає в обмежену множину) i a(r) є елементом
простору l∞(Z,R) для кожного r > 0.
Справджуються наступнi твердження.
Теорема 1. Нехай:
1) оператор D : l∞ → l∞ має обернений неперервний оператор;
2) оператор F : l∞ → l∞ є обмеженим i c-цiлком неперервним;
3) справджується нерiвнiсть
lim
r→+∞
sup
‖x‖l∞≤r
‖Fx‖l∞
r
<
1
‖D−1‖L(l∞,l∞)
. (8)
Тодi для кожного h = (hn)n∈Z ∈ l∞ рiвняння (4) має хоча б один розв’язок x =
= (xn)n∈Z ∈ l∞.
Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1.
Тодi:
1) якщо a(r) ∈ lp(Z,R) для кожного r > 0 i h ∈ lp, де p ∈ [1,∞), то рiвняння (1) має
хоча б один розв’язок x ∈ lp;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
532 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
2) якщо a(r) ∈ c0(Z,R) для кожного r > 0 i h ∈ C0, то рiвняння (1) має хоча б один
розв’язок x ∈ C0.
Зазначимо, що перша умова теореми 1 виконується тодi i тiльки тодi, коли рiвнян-
ня
xn = An−1xn−1, n ∈ Z, (9)
експоненцiально дихотомiчне на Z [1].
Нагадаємо, що для розв’язкiв рiвняння (9) має мiсце експоненцiальна дихотомiя на Z
(рiвняння e-дихотомiчне) [1], якщо для кожногоm ∈ Z простiрEm розпадається в пряму
суму замкнених пiдпросторiв Em = E+
m + E−m i виконуються наступнi умови:
а) проектори P+
m i P−m на пiдпростори E+
m i E−m вiдповiдно рiвномiрно обмеженi, тобто
sup
m∈Z
‖P+
m‖L(Em,Em) + sup
m∈Z
‖P−m‖L(Em,Em) < ∞;
б) для кожного z ∈ E+
m для розв’язку yn задачi
yn+1 = Anyn, n ≥ m,
ym = z,
виконується спiввiдношення ‖yn‖En ≤ N1q
n−m
1 ‖z‖Em , n ≥ m, з деякими N1 > 0 i q1 ∈
∈ (0, 1), що не залежать вiд n i m;
в) для кожного z ∈ E−m для розв’язку yn задачi
yn+1 = Anyn, n < m,
ym = z,
виконується спiввiдношення ‖yn‖En ≤ N2q
m−n
2 ‖z‖Em , n ≤ m, з деякими N2 > 0 i q2 ∈
∈ (0, 1), що не залежать вiд n i m.
Друга умова теореми 1 виконується, якщо вiдображення Fn : En−1 → En, n ∈ Z,
цiлком неперервнi або неперервнi i простори En, n ∈ Z, скiнченновимiрнi (тодi цi вiдо-
браження цiлком неперервнi) та задовольняють спiввiдношення (3) i навпаки.
Очевидно, що окремим випадком спiввiдношення (8) є спiввiдношення
lim
r→+∞
sup
‖x‖l∞≤r
‖Fx‖l∞
r
= 0.
4. Допомiжнi результати. Наведемо теореми про зображення оператора D−1, про iсну-
вання нерухомих точок у c-цiлком неперервних операторiв та про iнварiантнiсть прос-
торiв обмежених числових послiдовностей вiдносно лiнiйних c-неперервних автономних
операторiв, необхiднi для доведення теорем 1 i 2.
4.1. Зображення оператора D−1. У статтi [1] встановлено наступне твердження.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
НЕЛIНIЙНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ У ПРОСТОРАХ ОБМЕЖЕНИХ ДВОСТОРОННIХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ 533
Теорема 3. Оператор D має неперервний обернений D−1 тодi i тiльки тодi, коли
рiвняння (9) e-дихотомiчне на Z.
Експоненцiальна дихотомiя розв’язкiв рiвняння (9) дає змогу (див. [1]) увести до роз-
гляду функцiю
Gn,m =
{
Bn,m, якщо n ≥ m,
−Cn,m, якщо n < m,
де Bn,m i Cn,m — операторнi розв’язки вiдповiдно задач
Yn+1 = AnYn, n ≥ m,
Ym = P+
m ,
i
Zn+1 = AnZn, n < m,
Zm = P−m ,
що визначаються єдиним чином. Завдяки означенню e-дихотомiчностi рiвняння (9) та
теоремi Банаха – Штейнгауза [17] для Gn,m справджується спiввiдношення
‖Gn,m‖L(Em,En) ≤ Nq|n−m|, (n,m) ∈ Z× Z, (10)
де N = max{N1, N2} i q = max{q1, q2}. Тому можна розглянути лiнiйний неперервний
оператор G, що дiє у просторi l∞ i визначається рiвнiстю
(Gh)n =
∑
m∈Z
Gn,mhm, n ∈ Z.
Згiдно з [1] та теоремою 3 справджується наступне твердження.
Теорема 4. Якщо оператор D : l∞ → l∞ має неперервний обернений оператор D−1,
то D−1 = G i
(
D−1h
)
n
=
∑
m∈ZGn,mhm, n ∈ Z, для всiх h ∈ l∞.
4.2. Теорема про iснування нерухомих точок у c-цiлком неперервних операторiв. По-
значимо через B[0, r], r ∈ (0,+∞), замкнену кулю в l∞ радiуса r iз центром у точцi 0.
Справджується така теорема.
Теорема 5. Якщо для c-цiлком неперервного оператора A : B[0, r] −→ B[0, r] викону-
ється спiввiдношення AB[0, r] ⊂ B[0, r]∩X, де X — будь-який iз просторiв lp, 1 ≤ p ≤ ∞,
i C0, то оператор A має хоча б одну нерухому точку x∗ ∈ B[0, r] ∩ X.
Ця теорема є наслiдком твердження: кожний c-цiлком неперервний оператор A :
B[0, r] −→ B[0, r] має хоча б одну нерухому точку x∗ ∈ B[0, r], що є окремим випад-
ком бiльш загального твердження, отриманого автором у [18, с. 52, 53].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
534 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
4.3. Iнварiантнiсть просторiв обмежених числових послiдовностей вiдносно лiнiйних
c-неперервних автономних операторiв. Нехай K — множина R або C. Зафiксуємо до-
вiльний елемент a = (an)n∈Z ∈ l1(Z,K) i визначимо лiнiйний c-неперервний оператор
A : l∞(Z,K) → l∞(Z,K) за допомогою спiввiдношення
(Ax)n =
∑
m∈Z
an−mxm, n ∈ Z, (11)
де x = (xn)n∈Z ∈ l∞(Z,K). Очевидно, що спiввiдношення (11) можна подати у виглядi
(Ax)n =
∑
m∈Z
amxn−m, n ∈ Z. (12)
Справджуються наступнi два твердження.
Теорема 6. Якщо p ∈ [1,∞) i x ∈ lp(Z,K), то Ax ∈ lp(Z,K) i
‖Ax‖lp(Z,K) ≤ ‖a‖l1(Z,K)‖x‖lp(Z,K).
Доведення. Визначимо оператор зсуву Sm : l∞(Z,K) → l∞(Z,K) за допомогою фор-
мули
Smx = y = (yn)n∈Z,
де yn = xn+m. На пiдставi (12)
Ax =
∑
m∈Z
amS−mx.
Iз цiєї рiвностi, нерiвностi трикутника для векторiв банахового простору (див., наприк-
лад, [17]) та того, що ‖S−mx‖lp(Z,K) = ‖x‖lp(Z,K), випливає
‖Ax‖lp(Z,K) =
∥∥∥∥∥∑
m∈Z
amS−mx
∥∥∥∥∥
lp(Z,K)
≤
∑
m∈Z
|am|‖S−mx‖lp(Z,K) =
=
∑
m∈Z
|am|‖x‖lp(Z,K) = ‖a‖l1(Z,K)‖x‖lp(Z,K) < ∞.
Отже, теорему 6 доведено.
Теорема 7. Якщо x ∈ c0(Z,K), то Ax ∈ c0(Z,K).
Доведення. Використаємо спiввiдношення (12). Зафiксуємо довiльнi число ε > 0 i
елемент x ∈ c0(Z,K). Завдяки включенню a = (an)n∈Z ∈ l1(Z,K) iснує таке натуральне
число n0, що ∑
|m|>n0
|am| ≤
ε
‖x‖c0(Z,K)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
НЕЛIНIЙНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ У ПРОСТОРАХ ОБМЕЖЕНИХ ДВОСТОРОННIХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ 535
Тому ∣∣∣∣∣∣
∑
|m|>n0
amxn−m
∣∣∣∣∣∣ ≤ ε, n ∈ Z. (13)
Оскiльки lim|n|→+∞ xn−m = 0 для кожного m ∈ Z, то на пiдставi (13)
lim
|n|→+∞
∣∣∣∣∣∑
m∈Z
amxn−m
∣∣∣∣∣ ≤ lim
|n|→+∞
∣∣∣∣∣∣
∑
|m|6n0
amxn−m
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
∑
|m|>n0
amxn−m
∣∣∣∣∣∣
=
= lim
|n|→+∞
∣∣∣∣∣∣
∑
|m|>n0
amxn−m
∣∣∣∣∣∣ ≤ ε.
Iз довiльностi вибору числа ε > 0 випливає, що Ax ∈ c0(Z,K).
Теорему 7 доведено.
Зазначимо, що оператор A : l∞(Z,K) → l∞(Z,K) є автономним, оскiльки S−kASk =
= A для кожного k ∈ Z [19].
5. Доведення теореми 1. Зафiксуємо довiльний елемент h = (hn)n∈Z ∈ l∞ i подамо
рiвняння (1) у виглядi
Dx = Fx+ h, (14)
де D i F — оператори, що визначенi рiвностями (6) i (7). Завдяки першiй умовi теореми 1
кожний обмежений розв’язок рiвняння (14) є розв’язком рiвняння
x = D−1(Fx+ h)
i навпаки. Розглянемо оператор B : l∞ → l∞, що визначається спiввiдношенням
Bx = D−1(Fx+ h), x ∈ l∞, (15)
i замкнену кулю B[0, R] ⊂ l∞, де R — таке число, що виконуються нерiвностi
R >
∥∥D−1∥∥
L(l∞,l∞)
‖h‖l∞ (16)
i
sup
‖x‖l∞≤R
‖Fx‖l∞ ≤
R
‖D−1‖L(l∞,l∞)
− ‖h‖l∞ . (17)
Таке R iснує завдяки третiй умовi теореми.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
536 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Куля B[0, R] є iнварiантною по вiдношенню до оператора B. Справдi, якщо ‖x‖l∞) ≤
≤ R, то завдяки (15) – (17)
‖Bx‖l∞ =
∥∥D−1(Fx+ h)
∥∥
l∞
≤
∥∥D−1∥∥
L(l∞,l∞)
(‖Fx‖l∞ + ‖h‖l∞) ≤
≤
∥∥D−1∥∥
L(l∞,l∞)
((
R
‖D−1‖L(l∞,l∞)
− ‖h‖l∞
)
+ ‖h‖l∞
)
≤ R.
Далi покажемо, що оператор B є c-цiлком неперервним. Використаємо теорему 1.
Завдяки цiй теоремi та рiвностi (15) для кожного y = (yn)Z ∈ l∞
(By)n =
∑
m∈Z
Gn,m(Fm(ym−1) + hm), n ∈ Z.
Оскiльки оператори Gn,m, (n,m) ∈ Z × Z, неперервнi i задовольняють спiввiдношення
(10), де q ∈ (0, 1), а оператори Fm : Em−1 → Em, m ∈ Z, цiлком неперервнi на пiдставi
другої умови теореми, то оператор B є c-цiлком неперервним.
Таким чином, завдяки теоремi 2 оператор B має хоча б одну нерухому точку x∗ ∈
∈ B[0, R] i, отже, рiвняння (1) має розв’язок x∗ = (x∗n)n∈Z ∈ B[0, R].
На пiдставi довiльностi вибору h = (hn)n∈Z ∈ l∞ теорему 1 доведено.
Зауваження 1. У теоремах 1 i 2 оператор F може бути таким, що
lim
r→+∞
sup
‖x‖l∞≤r
‖Fx‖l∞
r
= ∞.
Це пiдтверджується наступним прикладом.
Приклад 3. Розглянемо числовi послiдовностi (αm)m≥1 i (βm)m≥1, де αm = m! i βm =
= αm+1. Також розглянемо неперервнi функцiї ϕm : R → R, m ≥ 1, для яких suppϕm =
= [αm, βm] (suppϕm — носiй функцiї ϕm) i maxx∈[αm,βm] |ϕm(x)| = m!
√
m для всiх m ≥ 1.
Визначимо цiлком неперервне вiдображення F : R → R за допомогою рiвностi F (x) =
=
∑∞
m=1 ϕm(x). Очевидно, що
max
|x|≤βm
|F (x)|
βm
=
m!
√
m
m! + 1
i
max
|x|≤αm+1
|F (x)|
αm+1
=
m!
√
m
(m+ 1)!
.
Iз цих спiввiдношень i рiвностi limm→∞
βm
αm
= 1 випливає, що
lim
r→+∞
max
|x|≤r
|F (x)|
r
= 0 i lim
r→+∞
max
|x|≤r
|F (x)|
r
= ∞. (18)
Далi розглянемо рiзницеве рiвняння
xn = F (xn−1) + hn, n ∈ Z,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
НЕЛIНIЙНI РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ У ПРОСТОРАХ ОБМЕЖЕНИХ ДВОСТОРОННIХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ 537
де h = (hn)n∈Z ∈ l∞(Z,R), та оператори D i F, що дiють у просторi l∞(Z,R) i визначаю-
ться формулами
Dx = x,
(19)
Fx = (F (xn−1))n∈Z.
Оператор D, як тотожний оператор, є оборотним, а оператор F є c-цiлком неперервним.
Завдяки (18) i (19) для F справджуються спiввiдношення
lim
r→+∞
max
‖x‖l∞(Z,R)≤r
‖Fx‖l∞(Z,R)
r
= 0 i lim
r→+∞
max
‖x‖l∞(Z,R)≤r
‖Fx‖l∞(Z,R)
r
= ∞.
Зауваження 2. У випадку простих рiзницевих рiвнянь виконання спiввiдношення (8) є
не лише достатньою, але i необхiдною умовою, щоб справджувалася теорема 1. Це пiд-
тверджується наступним прикладом.
Приклад 4. Для рiзницевого рiвняння
xn +
1
2
xn−1 + µxn−1 = hn, ∈ Z, (20)
де µ ∈ R, оператор (Dx)n = xn +
1
2
xn−1 є регулярним,
∥∥D−1∥∥
L(l∞(Z,R),l∞(Z,R)) = 2 i
спiввiдношення (8) має вигляд |µ| < 1/2. При µ = 1/2 рiвняння (20) не для кожної обме-
женої правої частини має обмежений розв’язок, оскiльки оператор (Sx)n = xn+ xn−1 не
є регулярним.
6. Доведення теореми 2. Нехай h = (hn)n∈Z — довiльний елемент простору X, де X —
або один iз просторiв lp, p ∈ [1,+∞), або C0.Оскiльки X ⊂ l∞, то за теоремою 1 рiзницеве
рiвняння (1) має розв’язок x∗ = (x∗n)n∈Z ∈ l∞. Розглянемо число r = ‖x∗‖l∞ i елемент
a(r) = (an)n∈Z ∈ l∞(Z,R), де an = sup‖x‖En−1
≤r ‖Fn(x)‖En . Згiдно з теоремою 4 для x∗
виконується спiввiдношення
x∗n =
∑
m∈Z
Gn,m(Fm(x
∗
m−1) + hm), n ∈ Z.
Тому завдяки (10)
0 ≤ ‖x∗n‖En ≤
∑
m∈Z
Nq|n−m|(am + ‖hm‖Em), n ∈ Z.
Звiдси, iз включення q = (Nq|n|)n∈Z ∈ l1(Z,R) та з теорем 6 i 7 випливає, що x∗ ∈ lp,
p ∈ [1,+∞), якщо a(r) ∈ lp(Z,R) i h ∈ lp, i x∗ ∈ C0, якщо a(r) ∈ c0(Z,R) i h ∈ C0.
Теорему 2 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
538 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
1. Слюсарчук В. Е. Об экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем // Укр. мат. журн. —
1983. — 35, № 1. — С. 368 – 378.
2. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси
функций // Мат. заметки. — 1972. — 11, № 3. — С. 269 – 274.
3. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных
уравнений // Мат. заметки. — 1981. — 30, № 3. — С. 443 – 460.
4. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов //
Мат. сб. — 1981. — 116(158), № 4(12). — С. 483 – 501.
5. Слюсарчук В. Е. Интегральное представление c-непрерывных линейных операторов // Докл.
АН УССР. Сер. А. — 1981. — № 8. — С. 34 – 37.
6. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат.
сб. — 1986. — 130(172), № 1(5). — C. 86 – 104.
7. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. — 1987. — 42, № 2. — С. 262 – 267.
8. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости равномерно c-непрерывных функ-
ционально-дифференциальных операторов // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 2. — С. 201 – 205.
9. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. — Воронеж: Изд-во Воронеж.
ун-та, 1990. — 168 с.
10. Слюсарчук В. Е. Метод локальной линейной аппроксимации в теории нелинейных дифференциаль-
но-функциональных уравнений // Мат. сб. — 2010. — 201, № 8. — С. 103 – 126.
11. Слюсарчук В. Ю. Експоненцiально дихотомiчнi рiзницевi рiвняння з нелiпшицевими збуреннями // Не-
лiнiйнi коливання. — 2011. — 14, № 4. — С. 536 – 555.
12. Слюсарчук В. Ю. Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних диференцiальних операторiв
слабко регулярними операторами // Укр. мат. журн. — 2011. — 63, № 12. — С. 1685 – 1698.
13. Слюсарчук В. Ю. Метод локального лiнiйного наближення нелiнiйних рiзницевих операторiв слабко
регулярними операторами // Нелiнiйнi коливання. — 2012. — 15, № 1. — С. 112 – 126.
14. Слюсарчук В. Е. Ограниченные и периодические решения нелинейных дифференциально-функцио-
нальных уравнений // Мат. сб. — 2012. — 203, № 5. — С. 135 – 160.
15. Слюсарчук В. Е. Метод c-непрерывных операторов в теории импульсных систем // Тез. докл. Всесоюз.
конф. по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. — Душанбе, 1987. —
С. 102 – 103.
16. Слюсарчук В. Е. Слабо нелинейные возмущения импульсных систем // Мат. физика и нелинейная ме-
ханика. — 1991. — Вып. 15(49). — С. 32 – 35.
17. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1968. — 496 с.
18. Слюсарчук В. Ю. Метод локальної лiнiйної апроксимацiї в теорiї нелiнiйних рiвнянь. — Рiвне: Нац.
ун-т вод. госп-ва та природокористування, 2011. — 342 с.
19. Слюсарчук В. Е. О представлении ограниченных решений линейных дискретных уравнений // Укр.
мат. журн. — 1987. — 39, № 2. — С. 210 – 215.
Одержано 17.05.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2012, т . 15, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176019 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T13:38:13Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Слюсарчук, В.Ю. 2021-02-03T09:19:48Z 2021-02-03T09:19:48Z 2012 Нелiнiйнi рiзницевi рiвняння у просторах обмежених двостороннiх послiдовностей / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2012. — Т. 15, № 4. — С. 528-538. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176019 517.988.6 Получены условия существования ограниченных решений нелинейных разностных уравнений. We obtain conditions for the existence of bounded solutions of nonlinear difference equations. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Нелiнiйнi рiзницевi рiвняння у просторах обмежених двостороннiх послiдовностей Нелинейные разностные уравнения в пространствах ограниченных двусторонних последовательностей Nonlinear difference equations in spaces of bounded two sided sequences Article published earlier |
| spellingShingle | Нелiнiйнi рiзницевi рiвняння у просторах обмежених двостороннiх послiдовностей Слюсарчук, В.Ю. |
| title | Нелiнiйнi рiзницевi рiвняння у просторах обмежених двостороннiх послiдовностей |
| title_alt | Нелинейные разностные уравнения в пространствах ограниченных двусторонних последовательностей Nonlinear difference equations in spaces of bounded two sided sequences |
| title_full | Нелiнiйнi рiзницевi рiвняння у просторах обмежених двостороннiх послiдовностей |
| title_fullStr | Нелiнiйнi рiзницевi рiвняння у просторах обмежених двостороннiх послiдовностей |
| title_full_unstemmed | Нелiнiйнi рiзницевi рiвняння у просторах обмежених двостороннiх послiдовностей |
| title_short | Нелiнiйнi рiзницевi рiвняння у просторах обмежених двостороннiх послiдовностей |
| title_sort | нелiнiйнi рiзницевi рiвняння у просторах обмежених двостороннiх послiдовностей |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176019 |
| work_keys_str_mv | AT slûsarčukvû neliniiniriznicevirivnânnâuprostorahobmeženihdvostoronnihposlidovnostei AT slûsarčukvû nelineinyeraznostnyeuravneniâvprostranstvahograničennyhdvustoronnihposledovatelʹnostei AT slûsarčukvû nonlineardifferenceequationsinspacesofboundedtwosidedsequences |