Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм композитных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью
The problem of the particularities of a multimode nonlinear deformation of the orthotropic cylindrical shells filled by a liquid on their free vibrations is considered. The main attention is paid to the analysis of the interaction of different forms (the modes) of a carrying shell on the realization...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1761 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм композитных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью / П.С. Ковальчук, Л.А. Крук // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 65-71. — Библиогр.: 10 назв. — рус. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859709964601262080 |
|---|---|
| author | Ковальчук, П.С. Крук, Л.А. |
| author_facet | Ковальчук, П.С. Крук, Л.А. |
| citation_txt | Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм композитных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью / П.С. Ковальчук, Л.А. Крук // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 65-71. — Библиогр.: 10 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | The problem of the particularities of a multimode nonlinear deformation of the orthotropic cylindrical shells filled by a liquid on their free vibrations is considered. The main attention is paid to the analysis of the interaction of different forms (the modes) of a carrying shell on the realization of internal resonances.
|
| first_indexed | 2025-12-01T04:48:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
1. Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича, В.М. Александрова. – Москва:
Физматгиз, 2001. – 670 с.
2. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. –
Москва: Наука, Физматгиз, 1995. – 352 с.
3. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наук. думка, 1978. –
308 с.
4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – Москва:
ГИФМЛ, 1961. – 524 с.
5. Кубенко В.Д. Удар затупленных тел о поверхность жидкости или упругой среды // Прикл. мех. –
2004. – 40, № 11. – С. 3–44.
6. Кубенко В.Д., Марченко Т.А. Осесимметричная задача соударения двух одинаковых тел враще-
ния // Там же. – № 7. – С. 70–80.
7. Кубенко В.Д., Марченко Т.А., Старовойтов Э.И. Об определении напряженого состояния плоского
упругого слоя при ударе тупым жестким телом о его поверхность // Доп. НАН України. – 2006. –
№ 8. – С. 47–56.
8. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. – Москва: ГИФМЛ, 1961. – 220 с.
Поступило в редакцию 20.07.2006Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 539.3
© 2007
П.С. Ковальчук, Л.А. Крук
Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм
композитных цилиндрических оболочек, заполненных
жидкостью
(Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко)
The problem of the particularities of a multimode nonlinear deformation of the orthotropic
cylindrical shells filled by a liquid on their free vibrations is considered. The main attention is
paid to the analysis of the interaction of different forms (the modes) of a carrying shell on the
realization of internal resonances.
Проблеме нелинейных колебаний тонких цилиндрических оболочек с учетом взаимодейст-
вия различных изгибных форм посвящены работы [1, 2 и др.]. В [3, 4] исследованы особен-
ности влияния жидкостного заполнителя (частичное заполнение) на процессы динамичес-
кого взаимодействия форм несущих оболочек.
В данной работе рассматривается задача о многомодовых нелинейных колебаниях ком-
позитных цилиндрических оболочек (ортотропная модель), полностью заполненных жид-
костью. Главное внимание уделяется изучению специфики взаимодействия в условиях ре-
зонансов сопряженных и несопряженных изгибных форм этих оболочек при свободных ко-
лебаниях совокупной системы оболочка — жидкость.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 65
1. Исходные динамические уравнения оболочки, несущей жидкость, выберем в смешан-
ной форме [5, 6]
1
h
[
D11
∂4w
∂x4
+ 2(D12 + 2D66)
∂4w
∂x2∂y2
+ D22
∂4w
∂y4
]
= L(w,Φ) +
1
R
∂2Φ
∂x2
−
Ph
h
− ρ
∂2w
∂t2
;
A22
∂4Φ
∂x4
+ (A66 + 2A12)
∂4Φ
∂x2∂y2
+ A11
∂4Φ
∂y4
= −
1
2
L(w,w) −
1
R
∂2w
∂x2
.
(1)
Здесь w — радиальный прогиб; Djk — жесткостные параметры оболочки, причем
Dii =
Eih
3
12(1 − µ1µ2)
(i = 1, 2); D66 =
Gh3
12
; D12 = D11µ2; (2)
Ajk — компоненты матрицы податливости ортотропного материала
Aii =
1
Ei
(i = 1, 2); A12 = −A11µ1; A66 =
1
G
; E1µ2 = E2µ1; (3)
Ph — гидродинамическое давление на оболочку со стороны жидкости; остальные обозна-
чения — общепринятые.
Динамический прогиб оболочки w с учетом различных форм аппроксимируем разло-
жением [2]
w = f1(t) cos s1y sin λx + f2(t) sin s1y sinλx + f3(t) cos s2y sin λx +
+ f4(t) sin s2y sin λx + f5(t) sin4 λx, (4)
удовлетворяющим условиям свободного опирания на торцах. Здесь sk = nk/R (k = 1, 2),
λ = mπ/l — параметры волнообразования в окружном и продольном направлениях соо-
тветственно (l — длина оболочки); fk(t) — некоторые функции времени. Давление жид-
кости Ph определим из соотношения [6] Ph = −ρ0∂ϕ/∂t, где ρ0 — плотность жидкости;
ϕ = ϕ(x, r, θ, t) — потенциал скоростей, который находим, решая краевую задачу [3, 7],
△ϕ = 0;
∂ϕ
∂r
∣
∣
∣
∣
r=0
< ∞;
∂ϕ
∂r
∣
∣
∣
∣
r=R
= −
∂w
∂t
; ϕ
∣
∣
x=0
= ϕ
∣
∣
x=l
= 0 (5)
(x, r, θ — цилиндрические координаты).
Подставляя функцию прогиба w (4) и функцию давления Ph в (1) и реализуя изве-
стную процедуру метода Бубнова–Галеркина, получим систему уравнений для нахождения
неизвестных обобщенных перемещений fk (k = 1, 5)
f̈j + ω2
j fj + kj1(f
2
1 + f2
2 )fj + kj2(f
2
3 + f2
4 )fj + kj3f5fj + kj4f
2
5 fj = 0;
f̈5 + ω2
5f5 + k51(f
2
1 + f2
2 ) + k52(f
2
3 + f2
4 ) + k53(f
2
1 + f2
2 )f5 + k54(f
2
3 + f2
4 )f5 = 0.
(6)
Здесь j = 1, 4; ωj — собственные частоты оболочки, причем
ω2
1 = ω2
2 =
1
ρm01
(
1
h
△D(λ, s1) +
λ4
R2△δ(λ, s1)
)
;
ω2
3 = ω2
4 =
1
ρm02
(
1
h
△D(λ, s2) +
λ4
R2△δ(λ, s2)
)
;
m0p = 1 +
ρ0
ρ
Inp
(λR)
λRI ′np
(λR)
,
(7)
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
где △D, △δ — операторы вида
△D(λ, sp) = D11λ
4 + 2(D12 + 2D66)λ
2s2
p + D22s
2
p;
△δ(λ, sp) = δ2λ
4 + 2δ3λ
2s4
p + δ1s
4
p
(8)
(p = 1, 2; δ1,2 = 1/E1,2; 2δ3 = 1/G − 2µ1/E1), частота ω5 отвечает осесимметричной форме
колебаний
ω2
5 =
64
35ρm05
(
8D11λ
4
h
+
35
64R2δ2
)
(9)
(m05 — параметр присоединенной массы; krq (r = 1, 5, q = 1, 4) — постоянные коэффициен-
ты, характеризующие геометрическую нелинейность оболочки).
Уравнения (6) являются исходными для исследования особенностей взаимодействия как
сопряженных (с одними и теми же параметрами волнообразования), так и несопряженных
(с различными параметрами s1, s2) форм деформирования оболочек, заполненных жид-
костью.
2. Эффекты взаимодействия форм оболочек наиболее существенно будут проявляться
при реализации в системе (6) внутренних резонансов вида ω1 ≈ kω3, k = 1, 2, 1/2 [1, 8].
Строго эти резонансы будут выполняться при равенстве
c0(ξ)η
3 + c1(ξ)η
2 + c2(ξ)η + c3(ξ) = 0, (10)
полученном на основании (7). Здесь обозначено
ξ =
l
R
; η =
h
R
; c0(ξ) = M1 − M2k
2; c1(ξ) = M1β2 − M2β1k
2;
c2(ξ) = M0(C2 − C1k
2); c3(ξ) = M0(C2β2 − C1k
2β1);
M1,2 = n4
1,2 + k1
(
mπ
ξ
)4
+ k2
(
mπ
ξ
)2
n2
1,2;
C1,2 = n4
1,2 + k1
(
mπ
ξ
)4
+ k3
(
mπ
ξ
)2
n2
1,2; M0 =
12(1 − µ1µ2)k1(mπ)4
C1C2ξ4
;
k1 =
E1
E2
; k2 = 2
(
µ2k1 +
2(1 − µ1µ2)
k4
)
; k3 = k4 −
2µ1
k1
; k4 =
E2
G
;
β1,2 =
ρ0
ρ
In1,2
(
mπ
ξ
)
mπI ′n1,2
(
mπ
ξ
) .
(11)
В качестве иллюстрации на рис. 1 показаны графические зависимости η = η(ξ), постро-
енные на основании уравнения (10) при m = 1; k = 1; k1 = 1,75; k2 = 1,054; k3 = 10,1;
k4 = 5,08; µ1 = 0,2; µ2 = 0,114; ρ = 1,65ρ0. Сплошные кривые соответствуют заполненной
жидкостью оболочке (ρ0 = 1 · 103 кг/м3), штриховые — этой же оболочке без жидкости.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 67
Рис. 1
Из полученных графиков следует, что практически каждая ортотропная оболочка с жид-
костью или без нее может иметь близкие собственные частоты (при определенных геомет-
рических размерах). При этом вероятность выполнения рассматриваемого основного внут-
реннего резонанса ω1 ≈ ω3 значительно выше для оболочек, полностью заполненных жид-
костью. Это обусловлено тем, что наличие жидкости не только “способствует” существенно-
му уменьшению собственных частот этой оболочки (как показали вычисления, в 2–4 раза),
но и обусловливает “сгущение” ее частотного спектра в зоне низких частот (по сравнению
со случаем, когда жидкость в ней отсутствует).
При наличии в системе (6) внутреннего резонанса ω1 ≈ ω3 ее решение в соответствии
с [9] и с учетом условия f5 ≪ fk (k = 1, 4) [1, 10] можно в первом приближении представить
в виде
f1 = u1 cos ωt + u2 sin ωt; f2 = u3 cos ωt + u4 sin ωt;
f3 = u5 cos ωt + u6 sin ωt; f4 = u7 cos ωt + u8 sin ωt;
f5 = −
1
ω2
5
[k51(f
2
1 + f2
2 ) + k52(f
2
3 + f2
4 )]; ω =
√
ω2
1
+ ω2
3
2
.
(12)
При этом неизвестные функции uk должны быть определены из системы связанных урав-
нений (при учете нелинейностей до третьей степени включительно)
du1
dτ
= M1u2 + T2K1u3 + T3K2u5 + T3K3u7;
du2
dτ
= −M1u1 + T2K1u4 + T3K2u6 + T3K3u8;
du3
dτ
= M1u4 − T2K1u1 + T3K4u5 + T3K5u7;
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
du4
dτ
= −M1u3 − T2K1u2 + T3K4u6 + T3K5u8;
du5
dτ
= M2u6 + T5K6u7 − T6K2u1 − T6K4u3;
(13)
du6
dτ
= −M2u5 + T5K6u8 − T6K2u2 − T6K4u4;
du7
dτ
= M2u8 − T5K6u5 − T6K3u1 − T6K5u3;
du8
dτ
= −M2u7 − T5K6u6 − T6K3u2 − T6K5u4.
Здесь введено “медленное время” τ = t/(2ω) и обозначено
M1 = ∆1 + T1A
2
1 + T1A
2
2; M2 = ∆2 + T4A
2
2 + T4A
2
1;
K1 = u1u4 − u2u3; K2 = u1u6 − u2u5; K3 = u1u8 − u2u7;
K4 = u3u6 − u4u5; K5 = u3u8 − u4u7; K6 = u5u8 − u6u7;
A2
1 =
1
2
4
∑
k=1
u2
k; A2
2 =
1
2
8
∑
i=5
u2
i ; ∆1 = ω2
1 − ω2; ∆2 = ω2
2 − ω2;
T1 = 3T2 =
3γ1
2
; T3 =
T1
3
=
γ2
3
; T4 = 3T5 =
3γ3
2
; T6 =
T4
3
=
γ4
2
.
(14)
Постоянные коэффициенты γ1–γ4 выражаются так:
γ1 = k11 −
k13k51
ω2
5
; γ2 = k12 −
k13k52
ω2
5
;
γ3 = k22 −
k23k52
ω2
5
; γ4 = k21 −
k23k51
ω2
5
.
(15)
3. Умножая поочередно каждое из уравнений (13) на u1, u2, . . . , u8 соответственно и сум-
мируя затем все эти уравнения, можно получить интеграл вида
u2
1
+ u2
2
+ u2
3
+ u2
4
γ2
+
u2
5
+ u2
6
+ u2
7
+ u2
8
γ4
= C0, (16)
где C0 — постоянная интегрирования. Из него следует, что приданная в начальный момент
времени τ = τ0 несущей оболочке энергия будет впоследствии (при τ > τ0) перераспреде-
ляться между всеми ее обобщенными координатами fk (k = 1, 4). Увеличение в процессе
колебаний одной из амплитуд uk будет сопровождаться соответствующим уменьшением
других амплитуд ui (i 6= k), и наоборот.
Два других интеграла системы (13) имеют вид
K1 = u1u4 − u2u3 = C1; K6 = u5u8 − u6u7 = C2 (C1,2 = const). (17)
Первый из них описывает особенности энергообмена между сопряженными формами
cos s1y sin λx и sin s1y sin λx, второй — между формами cos s2y sin λx и sin s2y sin λx. Не-
трудно показать, что если начальные условия uk = uk(0) (k = 1, 4) подобраны так, что
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 69
C1 = 0, то наложение сопряженных форм cos s1y sin λx и sin s1y sin λx обусловит дефор-
мирование оболочки по типу стоячая волна [1, 2]. Такой же результат будет иметь место
и при C2 = 0. В противном случае (при C1 6= 0 или C2 6= 0) взаимодействие и наложение
каждой из пар сопряженных форм приведет к реализации бегущей, распространяющейся
в окружном направлении, изгибной волны.
Представленные выше интегралы позволяют понизить порядок системы (13), из которой
получаем еще один, более общий, интеграл вида
T3(K
2
2 + K2
3 + K2
4 + K2
5 ) + N1A
2
1 + N2A
4
1 = C3 = const. (18)
Здесь обозначено
N1 =
4T3
γ2
(∆0 + 2T6C0(T4 − 3T3));
N2 =
4T3
γ2
2
(3T3(3T6 − T1) + T6(3T3 − T4)); ∆0 = ω2
1 − ω2
2.
(19)
Этот интеграл, в отличие от (16) и (17), описывает энергетическую связанность при ко-
лебаниях системы оболочка — жидкость между амплитудным параметром колебаний A1,
с одной стороны, и фазовыми сдвигами всех обобщенных координат fk (k = 1, 4) — с другой.
Эти сдвиги определяются функциями времени K1, K2, K3, K4. Физически они становятся
наглядными, если решение исходных уравнений (6) представить в традиционной форме [9]
fk = ak cos(ωt + ϑk) (20)
с использованием в качестве неизвестных величин амплитуд ak и фаз ϑk.
Таким образом, получен ряд аналитических соотношений, на основании которых могут
быть исследованы основные закономерности многомодовых колебаний заполненных жид-
костью композитных оболочек, имеющих близкие собственные частоты. Аналогичные со-
отношения могут быть получены и в случае кратных частот, когда ω1 ≈ 2ω3 или ω1 ≈ ω3/2.
4. Рассмотрим численный пример. Пусть заполненная водой (ρ0 = 1·103 кг/м3) оболочка
характеризуется параметрами
E1 = 2,15 · 109 Па; E2 = 1,23 · 109 Па; G = 0,21 · 109; µ1 = 0,19;
ρ = 1,65ρ0;
h
R
= 3,125 · 10−3;
l
R
= 2,495; R = 0,16 м.
(21)
Эта оболочка будет иметь две близкие собственные частоты (ω1 и ω3), отвечающие формам
с волновыми параметрами m = 1, n1 = 5 и m = 1, n2 = 7; ω1 = 60,42 рад/с; ω3 = 59,58 рад/с.
На рис. 2 приведены типичные, полученные путем численного интегрирования уравне-
ний (13) при различных начальных условиях для uk(τ) (0 6 τ 6 2π/ω), фазовые траектории
колебательных процессов, характеризующие специфику энергообмена между модами обо-
лочки, которым отвечают частоты ω1 и ω3. Здесь обозначено Ai = Ai/h, Ȧi = Ȧi/h (i = 1, 2).
Траектории 1 и 2 характеризуют соответственно зависимости Ȧ1 = Ȧ1(A1) и Ȧ2 = Ȧ2(A2).
Рис. 2, а построен при K1(0) = K6(0) = 0; рис. 2, б — при K1(0) = 0, K6(0) = 3/4 · h2;
рис. 2, в — при K1(0) = 3/4 · h2, K6(0) = 0; рис. 2, г — при K1(0) = K6(0) = 3/4 · h2.
Качественно иным будет характер взаимодействия форм для заполненной жидкостью
ортотропной оболочки при отсутствии внутренних резонансов. В этом случае уравнения
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Рис. 2
для определения функций u1–u4 не будут связаны с уравнениями для определения функций
u5–u8, поскольку в системе (13) постоянные параметры T3 = T6 = T1 = T4 = 0. Фазовые
траектории Ȧ1(A1) не будут зависеть от фазовых траекторий Ȧ2(A2).
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке ГФФИ Министерства образования
и науки Украины (проект Ф10/36–2005).
1. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Краснопольская Т.С. Нелинейное взаимодействие форм изгибных
колебаний цилиндрических оболочек. – Киев: Наук. думка, 1984. – 220 с.
2. Kubenko V.D., Kovalchuk P. S., Kruk L.A. Non-linear interaction of bending deformations of free oscil-
lating cylindrical shells // J. of Sound and Vibration. – 2003. – 265. – P. 245–268.
3. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Бояршина Л. Г. и др. Нелинейная динамика осесимметричных тел,
несущих жидкость. – Киев: Наук. думка, 1992. – 184 с.
4. Ковальчук П.С., Крук Л.А. О нелинейном энергообмене между собственными формами круговых
цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью, при их свободных колебаниях // Прикл. мех. –
2000. – 36, № 1. – С. 115–122.
5. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – Москва: Наука, 1974. – 448 с.
6. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости. – Москва: Наука, 1979. –
320 с.
7. Amabili M., Pellicano F., Vakakis A.F. Nonlinear vibrations and multiple resonances of fluid-filled circular
cylindrical shells. Part 1: Equations of motion and numerical results // J. of Vibration and Acoustics. –
2000. – 122. – P. 346–354.
8. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Крук Л.А. О многомодовых нелинейных колебаниях цилиндрических
оболочек, заполненных жидкостью // Прикл. мех. – 2003. – 39, № 1. – С. 85–94.
9. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. –
Москва: Наука, 1974. – 504 с.
10. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – Москва: Наука, 1972. – 432 c.
Поступило в редакцию 11.09.2006Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 71
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1761 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T04:48:11Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ковальчук, П.С. Крук, Л.А. 2008-09-02T17:13:24Z 2008-09-02T17:13:24Z 2007 Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм композитных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью / П.С. Ковальчук, Л.А. Крук // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 65-71. — Библиогр.: 10 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1761 539.3 The problem of the particularities of a multimode nonlinear deformation of the orthotropic cylindrical shells filled by a liquid on their free vibrations is considered. The main attention is paid to the analysis of the interaction of different forms (the modes) of a carrying shell on the realization of internal resonances. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм композитных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью Article published earlier |
| spellingShingle | Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм композитных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью Ковальчук, П.С. Крук, Л.А. Механіка |
| title | Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм композитных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью |
| title_full | Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм композитных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью |
| title_fullStr | Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм композитных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью |
| title_full_unstemmed | Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм композитных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью |
| title_short | Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм композитных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью |
| title_sort | анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм композитных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1761 |
| work_keys_str_mv | AT kovalʹčukps analiznelineinogovzaimodeistviâizgibnyhformkompozitnyhcilindričeskihoboločekzapolnennyhžidkostʹû AT krukla analiznelineinogovzaimodeistviâizgibnyhformkompozitnyhcilindričeskihoboločekzapolnennyhžidkostʹû |