Проекційно-ітеративний метод для диференціальних рівнянь з обмеженнями
Запропоновано та обґрунтовано новий варiант проекцiйно-iтеративного методу для диференцiальних рiвнянь з обмеженнями. We propose and substantiate a new projection-iterative method for differential equations with restrictions...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2002 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2002
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176102 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Проекційно-ітеративний метод для диференціальних рівнянь з обмеженнями / А.Ю. Лучка // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 465-488. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-176102 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лучка, А.Ю. 2021-02-03T16:39:59Z 2021-02-03T16:39:59Z 2002 Проекційно-ітеративний метод для диференціальних рівнянь з обмеженнями / А.Ю. Лучка // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 465-488. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176102 517.927 Запропоновано та обґрунтовано новий варiант проекцiйно-iтеративного методу для диференцiальних рiвнянь з обмеженнями. We propose and substantiate a new projection-iterative method for differential equations with restrictions uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Проекційно-ітеративний метод для диференціальних рівнянь з обмеженнями A projection-iterative method for differential equations with restrictions Проекционно-итеративный метод для дифференциальных уравнений с ограничениями Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Проекційно-ітеративний метод для диференціальних рівнянь з обмеженнями |
| spellingShingle |
Проекційно-ітеративний метод для диференціальних рівнянь з обмеженнями Лучка, А.Ю. |
| title_short |
Проекційно-ітеративний метод для диференціальних рівнянь з обмеженнями |
| title_full |
Проекційно-ітеративний метод для диференціальних рівнянь з обмеженнями |
| title_fullStr |
Проекційно-ітеративний метод для диференціальних рівнянь з обмеженнями |
| title_full_unstemmed |
Проекційно-ітеративний метод для диференціальних рівнянь з обмеженнями |
| title_sort |
проекційно-ітеративний метод для диференціальних рівнянь з обмеженнями |
| author |
Лучка, А.Ю. |
| author_facet |
Лучка, А.Ю. |
| publishDate |
2002 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
A projection-iterative method for differential equations with restrictions Проекционно-итеративный метод для дифференциальных уравнений с ограничениями |
| description |
Запропоновано та обґрунтовано новий варiант проекцiйно-iтеративного методу для диференцiальних рiвнянь з обмеженнями.
We propose and substantiate a new projection-iterative method for differential equations with restrictions
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/176102 |
| citation_txt |
Проекційно-ітеративний метод для диференціальних рівнянь з обмеженнями / А.Ю. Лучка // Нелінійні коливання. — 2002. — Т. 5, № 4. — С. 465-488. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT lučkaaû proekcíinoíterativniimetoddlâdiferencíalʹnihrívnânʹzobmežennâmi AT lučkaaû aprojectioniterativemethodfordifferentialequationswithrestrictions AT lučkaaû proekcionnoiterativnyimetoddlâdifferencialʹnyhuravneniisograničeniâmi |
| first_indexed |
2025-11-24T11:40:20Z |
| last_indexed |
2025-11-24T11:40:20Z |
| _version_ |
1850845897779314688 |
| fulltext |
УДК 517 .927
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД
ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ
А. Ю. Лучка
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул.Терещенкiвська, 3
We propose and substantiate a new projection-iterative method for differential equations with restrictions.
Запропоновано та обґрунтовано новий варiант проекцiйно-iтеративного методу для дифе-
ренцiальних рiвнянь з обмеженнями.
Проекцiйно-iтеративнi методи розв’язування широких класiв лiнiйних та нелiнiйних рiв-
нянь, зокрема iнтегральних, диференцiальних чи iнтегро-диференцiальних, досить повно
вивченi. Теорiї цих методiв та їх застосуванням присвячено низку наукових праць (див.,
наприклад, [1 – 3]).
Дослiдження диференцiальних рiвнянь та їх систем з параметрами чи iмпульсним впли-
вом [4 – 8] стимулювали створення нових пiдходiв до побудови методiв проекцiйно-iтера-
тивного типу.
Об’єктом дослiдження в данiй статтi є диференцiальне рiвняння
(Lx)(t) = f(t) (1)
з обмеженнями
Φi(x) = αi, i = 1, l, (2)
де t ∈ [0, T ], f ∈ C[0, T ],
(Lx)(t) :=
dmx
dtm
+ p1(t)
dm−1x
dtm−1
+ . . .+ pm(t)x, (3)
причому pν ∈ C[0, T ], ν = 1,m, {Φi, 1 ≤ i ≤ l}— система лiнiйних обмежених функцiо-
налiв, визначених на класi функцiй Cm[0, T ], i αi ∈ R, i = 1, l.
Задача (1), (2) вважається сумiсною, якщо iснує функцiя x ∈ Cm[0, T ], яка задоволь-
няє диференцiальне рiвняння (1) та обмеження (2); у противному разi задача несумiсна.
Для випадку, коли l ≥ m, у [9] висвiтлено методи встановлення умов сумiсностi задачi
(1), (2) та побудови її наближених розв’язкiв. Нижче до розглядуваної задачi застосовує-
ться новий варiант проекцiйно-iтеративного методу i дається його обґрунтування.
1. Суть методу. Введемо в розгляд диференцiальний вираз
(Ax)(t) :=
dmx
dtm
+ a1(t)
dm−1x
dtm−1
+ . . .+ am(t)x, (4)
c© А .Ю . Лучка, 2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4 465
466 А. Ю. ЛУЧКА
в якому неперервнi коефiцiєнти ai(t), i = 1,m, вибрано таким чином, щоб фундамен-
тальну систему рiвняння (Ax)(t) = 0 можна було побудувати в явному виглядi порiвняно
легко. Тодi диференцiальний вираз (3) можна зобразити у виглядi
(Lx)(t) = (Ax)(t)− (Bx)(t), (5)
де, очевидно,
(Bx)(t) := b1(t)
dm−1x
dtm−1
+ . . .+ bm(t)x, (6)
причому
bν(t) = aν(t)− pν(t), ν = 1,m. (7)
Суть нового варiанта проекцiйно-iтеративного методу полягає в тому, що наближенi
розв’язки задачi (1), (2) визначаються iз допомiжної задачi
(Axk)(t) = uk(t) + yk(t), Φi(xk) = αi, i = 1, l, (8)
T∫
0
ψν(t)((Lxk)(t)− f(t))dt = 0, ν = 1, r, (9)
в якiй
yk(t) = f(t) + (Bxk−1)(t), k ∈ N, (10)
uk(t) =
n∑
j=1
λjϕj(t). (11)
Початкове наближення x0(t) визначаємо iз задачi (8), (9) при k = 0 i заданiй функцiї
y0 ∈ C[0, T ].
Тут i в подальшому лiнiйно незалежнi система неперервних функцiй {ϕj(t), 1 ≤ j ≤
≤ n} та система сумовних функцiй {ψν(t), 1 ≤ ν ≤ r} заданi i m+ n = l + r.
Частинним випадком методу (8) – (11), коли немає обмежень (9), тобто r = 0, є iтера-
цiйний метод, дослiджений в [6 – 9], а початкове наближення x0(t) можна трактувати як
наближення, одержане за проекцiйним методом.
2. Допомiжна задача з керуванням. Для встановлення умов сумiсностi задачi (1), (2) i
обґрунтування методу (8) – (11) важливу роль вiдiграватиме допомiжна задача
(Az)(t) = u(t) + y(t), Φi(z) = αi, i = 1, l, (12)
T∫
0
ψν(t)((Lz)(t)− f(t))dt = 0, ν = 1, r, (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 467
в якiй диференцiальний вираз (Az)(t) визначається за формулою (4), y ∈ C[0, T ] — вiдома
функцiя i керування має вигляд
u(t) =
n∑
j=1
λjϕj(t), (14)
де λj ∈ R, j = 1, n, — шуканi параметри.
Щоб побудувати розв’язок вказаної задачi з керуванням, будемо вважати, що iснує
функцiя H(t, s), за допомогою якої частинний розв’язок рiвняння
(Av)(t) = y(t) (15)
можна знайти за формулою
v(t) =
T∫
0
H(t, s)y(s)ds. (16)
За такого припущення розв’язок задачi (12), (13) шукаємо у виглядi (14) та
z(t) = v(t) +
p∑
j=1
λjηj(t), (17)
де p = n+m, функцiя v(t) визначається за формулою (16) i {ηj(t), 1 ≤ j ≤ p}— система
лiнiйно незалежних розв’язкiв рiвнянь
(Aηj)(t) = ϕj(t), j = 1, n, (Aj)(t) = 0, j = n+ 1, p. (18)
На пiдставi спiввiдношень (15), (18) неважко впевнитись у тому, що функцiї z(t) та
u(t), якi визначаються формулами (17), (14), задовольняють рiвняння (12). Залишилось
визначити параметри λj , j = 1, p, таким чином, щоб виконувались обмеження. Для цього
пiдставимо зображення (17) в обмеження (12), (13) i виконаємо нескладнi перетворення.
В результатi отримаємо систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
p∑
j=1
cijλj = di, i = 1, p, (19)
в якiй
cij =
Φi(ηj), i = 1, l, j = 1, p;
T∫
0
ψν(t)(Lηj)(t)dt, i = l + ν, ν = 1, r, j = 1, p,
(20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
468 А. Ю. ЛУЧКА
di =
{
αi − Φi(v), i = 1, l;
εν , i = l + ν, ν = 1, r,
(21)
де
εν =
T∫
0
ψν(t)(f(t)− (Lv)(t))dt, ν = 1, r. (22)
Припустимо, що однорiдна допомiжна задача з керуванням
(Az)(t) = u(t), Φi(z) = 0, i = 1, l, (23)
T∫
0
ψν(t)(Lz)(t)dt = 0, ν = 1, r, (24)
має тiльки тривiальний розв’язок z(t) = 0, u(t) = 0. У цьому випадку, очевидно, система
лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (19) має єдиний розв’язок
λi =
p∑
j=1
βijdj , i = 1, p. (25)
Пiдставивши цей розв’язок у спiввiдношення (14), (17), отримаємо єдиний розв’язок до-
помiжної задачi (12), (13).
Лема 1. Якщо однорiдна задача (23), (24) має тiльки тривiальний розв’язок i справ-
джується спiввiдношення
Φi(v) =
T∫
0
Φi(H(·, s))y(s)ds, i = 1, l, ∀y ∈ C[0, T ], (26)
в якому функцiя v(t) зображається формулою (16), то iснують функцiї h(t), w(t) та
G(t, s), R(t, s) такi, що, по-перше, єдиний розв’язок неоднорiдної задачi (12), (13) зобра-
жається формулами
z(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)y(s)ds, (27)
u(t) = w(t) +
T∫
0
R(t, s)y(s)ds, (28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 469
i, по-друге, справджуються рiвностi
T∫
0
G(t, s)ϕj(s)ds = 0, ϕj(t) +
T∫
0
R(t, s)ϕj(s)ds = 0, j = 1, n, (29)
(Ah)(t) = w(t), Φi(h) = αi, i = 1, l, (30)
A T∫
0
G(·, s)y(s)ds
(t) = y(t) +
T∫
0
R(t, s)y(s)ds, (31)
Φi
T∫
0
G(·, s)y(s)ds
= 0, i = 1, l, ∀y ∈ C[0, T ]. (32)
Доведення. За умови леми задача (12), (13) має єдиний розв’язок, який, врахувавши
формули (17), (14), (25), (21) та (22), можна записати у виглядi
z(t) = v(t) +
p∑
i=1
p∑
j=1
βij(aj − bj)ηi(t), (33)
u(t) =
n∑
i=1
p∑
j=1
βij(aj − bj)ϕi(t), (34)
де
aj =
αj , j = 1, l;
T∫
0
ψν(t)f(t)dt, j = l + ν, ν = 1, r,
(35)
bj =
Φj(v), j = 1, l;
T∫
0
ψν(Lv)(t)dt, j = l + ν, ν = 1, r.
(36)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
470 А. Ю. ЛУЧКА
Використавши спiввiдношення (5), (15), (16), (6), будемо мати
(Lv)(t) = (Av)(t)− (Bv)(t) = y(t)−
B T∫
0
H(·, s)y(s)ds
(t) =
= y(t)−
T∫
0
(
b1(t)
∂m−1
∂tm−1
+ . . .+ bm(t)
)
H(t, s)y(s)ds,
або, ввiвши позначення
K(t, s) =
(
b1(t)
∂m−1
∂tm−1
+ . . .+ bm(t)
)
H(t, s), (37)
одержимо
(Lv)(t) = y(t)−
T∫
0
K(t, s)y(s)ds ∀y ∈ C[0, T ]. (38)
Нехай
Ψν(s) = ψν(s)−
T∫
0
ψν(t)K(t, s)dt, ν = 1, r, (39)
тодi за допомогою формул (38) та (39) легко отримати спiввiдношення
T∫
0
ψν(t)(Lv)(t)dt =
T∫
0
Ψν(s)y(s)ds, ν = 1, r. (40)
Тепер на пiдставi умови (26) та рiвностi (40) спiввiдношення (36) можна зобразити у ви-
глядi
bj =
T∫
0
ξj(s)y(s)ds, j = 1, p, (41)
де
ξj(s) =
{
Φj(H(·, s)), j = 1, l;
Ψν(s), j = l + ν, ν = 1, r,
систему функцiй {Ψν(s), 1 ≤ ν ≤ r} можна обчислити за допомогою формул (39), (37)
та (7).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 471
Оскiльки згiдно iз спiввiдношенням (41)
p∑
j=1
βijbj =
T∫
0
p∑
j=1
βijξj(s)y(s)ds, (42)
то, поклавши
σi =
p∑
j=1
βijaj , Γi(s) =
p∑
j=1
βijξj(s), (43)
формулам (33) та (34) можна надати вигляду
z(t) = v(t) +
p∑
i=1
σiηi(t)−
T∫
0
p∑
i=1
ηi(t)Γi(s)y(s)ds,
u(t) =
n∑
i=1
σiϕi(t)−
T∫
0
n∑
i=1
ϕi(t)Γi(s)y(s)ds,
або, ввiвши позначення
h(t) =
p∑
i=1
σiηi(t), w(t) =
n∑
i=1
σiϕi(t), (44)
G(t, s) = H(t, s)−
p∑
i=1
ηi(t)Γi(s), (45)
R(t, s) = −
n∑
i=1
ϕi(t)Γi(s), (46)
де H(t, s) — функцiя, що фiгурує у формулi (16), — вигляду (27) та (28).
Для встановлення правильностi важливих властивостей (29) розглянемо задачу
(Az)(t) = u(t) + ϕj(t), Φi(z) = 0, i = 1, l,
T∫
0
ψν(t)(Lz)(t)dt = 0, ν = 1, r, j = 1, n,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
472 А. Ю. ЛУЧКА
яка має очевидний розв’язок z(t) = 0, u(t) = −ϕj(t), а за умови леми цей розв’язок єдиний
i задається формулами (27), (28), в яких, як це безпосередньо випливає iз (35), (43) та (44),
h(t) = w(t) = 0, тобто
z(t) =
T∫
0
G(t, s)ϕj(s)ds, u(t) =
T∫
0
R(t, s)ϕj(s)ds.
Звiдси очевидним чином випливає правильнiсть рiвностей (29).
Далi, використовуючи формули (18), (44), (20), (43), (35) та властивiсть елементiв ма-
триць, даної та оберненої до неї, маємо
(Ah)(t) =
p∑
i=1
σi(Aηi)(t) =
n∑
i=1
σiϕi(t) = w(t),
Φi(h) =
p∑
ν=1
σνΦi(ην) =
p∑
j=1
p∑
ν=1
ciνβνjaj = αi, i = 1, l.
Отже, спiввiдношення (30) виконується.
Нарештi, оскiльки для будь-якої функцiї вигляду
z(t) =
T∫
0
G(t, s)y(s)ds ∀y ∈ C[0, T ] (47)
згiдно з формулами (45), (16) має мiсце зображення
z(t) = v(t)−
p∑
j=1
ηj(t)
T∫
0
Γj(s)y(s)ds, (48)
на пiдставi спiввiдношень (48), (15), (18), (46) та (36), (20), (43), (41) маємо
(Az)(t) = (Av)(t)−
p∑
j=1
(Aηj)(t)
T∫
0
Γj(s)y(s)ds =
= y(t)−
n∑
j=1
ϕj(t)
T∫
0
Γj(s)y(s)ds = y(t) +
T∫
0
R(t, s)y(s)ds,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 473
Φi(z) = Φi(v)−
p∑
ν=1
Φi(ην)
T∫
0
Γν(s)y(s)ds =
= bi −
p∑
j=1
(
p∑
ν=1
ciνβνj
) T∫
0
ξj(s)y(s)ds = bi −
T∫
0
ξi(s)y(s)ds = 0.
Звiдси, а також iз (47) випливає правильнiсть рiвностей (31) та (32).
Лема 2. Якщо однорiдна задача (23), (24) має тiльки тривiальний розв’язок, то для
довiльної функцiї x ∈ C[0, T ], яка задовольняє обмеження
Φi(x) = αi, i = 1, l,
T∫
0
ψν(t)((Lx)(t)− f(t))dt = 0, ν = 1, r, (49)
справджуються спiввiдношення
x(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)(Ax)(s)ds, (50)
w(t) +
T∫
0
R(t, s)(Ax)(s)ds = 0, (51)
де функцiї h(t) та w(t) визначаються формулами (44).
Доведення. Покладемо в задачi (12), (13) y(t) = (Ax)(t), в результатi чого матимемо
задачу
(Az)(t) = u(t) + (Ax)(t), (52)
Φi(z) = αi, i = 1, l,
T∫
0
ψν(t)((Lz)(t)− f(t))dt = 0, ν = 1, r. (53)
За умови леми задача (52), (53) має єдиний розв’язок, який з урахуванням формул (27),
(28), набирає вигляду
z(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)(Ax)(t)dt, (54)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
474 А. Ю. ЛУЧКА
u(t) = w(t) +
T∫
0
R(t, s)(Ax)(t)dt. (55)
Нехай v(t) = z(t)− x(t), тодi, по-перше, враховуючи обмеження (49), (53), маємо
Φi(v) = 0, i = 1, l,
T∫
0
ψν(t)(Lv)(t)dt = 0, ν = 1, r, (56)
i, по-друге, рiвняння (52) можна записати у виглядi
(Av)(t(= u(t). (57)
Але згiдно з умовою леми однорiдна задача (57), (56) має лише тривiальний розв’язок
v(t) = 0, u(t) = 0. Iз останнiх рiвностей i формул (54), (55) правильнiсть спiввiдношень
(50), (51) випливає очевидним чином.
3. Умови сумiсностi задачi. За допомогою лем 1 та 2 можна встановити умови сумi-
сностi задачi (1), (2). Для цього поряд iз дослiджуваною задачею розглянемо iнтегральне
рiвняння
y(t) = g(t) +
T∫
0
M(t, s)y(s)ds, (58)
в якому
g(t) = f(t) + (Bh)(t), (59)
T∫
0
M(t, s)y(s)ds =
B T∫
0
G(·, s)y(s)ds
(t). (60)
Його можна формально отримати на основi формул (27) i
y(t) = f(t) + (Bz)(t), (61)
де диференцiальний вираз має вигляд (6). Справдi, використовуючи формули (61), (27),
(59) та (60), маємо
y(t) = f(t) + (Bh)(t) +
B T∫
0
G(·, s)y(s)ds
(t) = g(t) +
T∫
0
M(t, s)y(s)ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 475
Теорема 1. Якщо iснує єдиний розв’язок допомiжної задачi з керуванням (12), (13), то
задача (1), (2) сумiсна лише тодi, коли виконується умова
w(t) +
T∫
0
R(t, s)y(s)ds = 0, (62)
в якiй y ∈ C[0, T ] — розв’язок iнтегрального рiвняння (58).
Доведення. Нехай задача (1), (2) сумiсна, тобто iснує функцiя x∗ ∈ Cm[0, T ] така, що
правильнi рiвностi
(Lx∗)(t) = f(t), Φi(x
?) = αi, i = 1, l. (63)
Оскiльки обмеження
T∫
0
ψν(t)((Lx∗)(t)− f(t))dt = 0, ν = 1, r,
справджуються очевидним чином, то виконуються всi умови леми 2, згiдно з якою пра-
вильнi спiввiдношення
x∗(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)(Ax∗)(s)ds, (64)
w(t) +
T∫
0
R(t, s)(Ax?)(s)ds = 0. (65)
Нехай
y∗(t) = (Ax∗)(t), (66)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
476 А. Ю. ЛУЧКА
тодi згiдно з формулами (59), (60), (66), (64), (5) та (63) маємо
g(t)+
T∫
0
M(t, s)y∗(s)ds− y∗(t) =
= f(t) + (Bh)(t) +
B T∫
0
G(·, s)y∗(s)ds
(t)− y∗(t) =
= f(t) + (Bh)(t) +
B T∫
0
G(·, s)(Ax?)(s)ds
(t)− (Ax∗)(t) =
= f(t) + (Bx∗)(t)− (Ax∗)(t) = f(t)− (Lx∗)(t) = 0.
Отже, функцiя y∗ ∈ C[0, T ], що визначається формулою (66), є розв’язком iнтегрального
рiвняння (58), причому цей розв’язок, як випливає iз рiвностi (65), задовольняє умову (62).
Нехай тепер iснує розв’язок y∗ ∈ C[0, T ] рiвняння (58), який задовольняє умову (62),
тобто правильнi рiвностi
y∗(t) = g(t) +
T∫
0
M(t, s)y∗(s)ds, (67)
w(t) +
T∫
0
R(t, s)y∗(s)ds = 0. (68)
Побудуємо функцiю
x∗(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)y∗(s)ds (69)
i встановимо, що вона є розв’язком задачi (1), (2). Для цього використаємо формули (30),
(32), за допомогою яких легко встановити, що виконуються обмеження (2), i формули
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 477
(5), (69), (59), (60), (30), (31), (67) та (68), на пiдставi яких маємо
f(t)− (Lx∗)(t) = f(t) + (Bx∗)(t)− (Ax∗)(t) =
= f(t) + (Bh)(t) +
B T∫
0
G(·, s)y∗(s)ds
(t)−
− (Ah)(t)−
A T∫
0
G(·, s)y∗(s)ds
(t) =
= g(t) +
T∫
0
M(t, s)y∗(s)ds− w(t)− y∗(t)−
T∫
0
R(t, s)y∗(s)ds = 0.
Отже, функцiя x∗ ∈ Cm[0, T ], що визначається формулою (69), дiйсно задовольняє рiвня-
ння (1) та обмеження (2), тобто задача (1), (2) сумiсна.
Висновок 1. Якщо виконується умова теореми 1, то однорiдна задача
(Lx)(t) = 0, Φi(x) = 0 i = 1, l,
має нетривiальний розв’язок тiльки тодi, коли iснує нетривiальний розв’язок однорiд-
ного рiвняння
y(t) =
T∫
0
M(t, s)y(s)ds,
який задовольняє умову
T∫
0
R(t, s)y(s)ds = 0.
Зауваження 1. Iз формул (21), (35), (36), (42) та (43) безпосередньо випливає, що
розв’язок рiвняння (19) можна зобразити у виглядi
λi = σi −
T∫
0
Γi(s)y(s)ds, i = 1, p. (70)
Зауваження 2. На основi аналiзу формул (44), (46) та (62) приходимо до висновку, що
умова сумiсностi задачi (1), (2) рiвносильна правильностi рiвностей
T∫
0
Γi(s)y
∗(s)ds = σi, i = 1, n, (71)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
478 А. Ю. ЛУЧКА
в яких y∗(t) — розв’язок iнтегрального рiвняння (58).
Зауваження 3. Функцiю v(t), що фiгурує в зображеннi (17) i є частинним розв’язком
рiвняння (15), iнколи доцiльно визначати таким чином, щоб вона задовольняла частину
або всi обмеження (2).
Приклад. Встановимо умови сумiсностi задачi
x′′ + (1− cos 2t)x = f(t), x(0) = x(2π) = 4, x′(0) + x′(2π) = 0. (72)
Для цього розглянемо допомiжну задачу
z′′ + z = u(t) + y(t), u(t) = λ1 + λ2t, (73)
z(0) = z(2π) = 4, z′(0) + z′(2π) = 0, (74)
2π∫
0
(z′′ + z − cos 2t · z)dt = 2πa, a =
1
2π
2π∫
0
f(s)ds, (75)
тобто задачу (12) – (14), у якiй m = 2, n = 2, l = 3, r = 1, ϕ1(t) = 1, ϕ2(t) = t, ψ1(t) = 1 i
(Az)(t) := z′′ + z, (Lz)(t) := z′′ + z − cos 2t · z. (76)
Невiдому функцiю z(t) задачi (73) – (75) шукатимемо у виглядi
z(t) = λ1η1(t) + λ2η2(t) + λ3η3(t) + λ4η4(t) + v(t), (77)
де покладемо
v(t) =
1
2
2π∫
0
sin |t− s| · y(s)ds, (78)
i, врахувавши формули (18) та (76), вiзьмемо
η1(t) = 1, η2(t) = t, η3(t) = cos t, η4(t) = sin t. (79)
Для визначення невiдомих параметрiв пiдставимо функцiю z(t), яка визначається форму-
лою (77), в обмеження (74), (75) i виконаємо вiдповiднi обчислення. В результатi отрима-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 479
ємо систему рiвнянь
λ1 + λ2 = 4− 1
2
2π∫
0
sin s · y(s)ds,
λ1 + 2πλ2 + λ3 = 4 +
1
2
2π∫
0
sin s · y(s)ds,
λ1 + λ4 = 0,
2πλ1 + 2π2λ2 = 2πa−
2π∫
0
Ψ1(s)y(s)ds,
де Ψ1(s) = 1− 1
3
cos s+
1
3
cos 2s, яка має єдиний розв’язок
λ1 = a− 1
2π
2π∫
0
(π sin s+ Ψ1(s))y(s)ds, λ2 =
1
2π
2π∫
0
sin s · y(s)ds, (80)
λ3 = 4− a+
1
2π
2π∫
0
Ψ1(s)y(s)ds, λ4 = − 1
2π
2π∫
0
sin s · y(s)ds. (81)
Якщо тепер пiдставити розв’язок (80), (81) у спiввiдношення (77) i виконати елемен-
тарнi перетворення з урахуванням явного вигляду функцiй (78) та (79), то отримаємо зо-
браження
z(t) = h(t) +
2π∫
0
G(t, s)y(s)ds, (82)
де h(t) = a+ (4− a) cos t i
G(t, s) =
1
2
sin |t− s|+ t− π − sin t
2π
sin s+
cos t− 1
2π
Ψ1(s). (83)
За теоремою 1 задача (72) буде сумiсною лише при таких функцiях f(t), при яких
iнтегральне рiвняння
y(t) = g(t) +
2π∫
0
cos 2t ·G(t, s)y(s)ds, (84)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
480 А. Ю. ЛУЧКА
яке отримується при пiдстановцi зображення функцiї z(t) (82) у спiввiдношення y(t) =
= f(t) + cos 2t · z, де
g(t) = f(t) + a cos 2t+ (4− a) cos 2t cos t, (85)
має розв’язок y∗(t), який згiдно iз зауваженням 2 справджує умови (71), тобто з урахува-
нням формул (70), (80) умови
2π∫
0
(3− cos s+ cos 2s)y∗(s)ds = 6πa,
2π∫
0
sin s · y∗(s)ds = 0. (86)
Так, якщо f(t) = 7 + cos 4t, то задача сумiсна. Справдi, у цьому випадку в обмеженнi (75)
a = 7 i h(t) = 7− 3 cos t, а згiдно з формулою (85)
g(t) = 7 + 7 cos 2t+ cos 4t− 3 cos 2t cos t.
При такому вiльному членi рiвняння (84) має розв’язок y∗(t) = 6+6 cos 2t. В цьому можна
впевнитись, якщо цю функцiю пiдставити в рiвняння (84) i виконати нескладнi обчислен-
ня з урахуванням зображення (83). Оскiльки
2π∫
0
(3− cos s+ cos 2s)(6 + 6 cos 2s)ds = 42π,
2π∫
0
sin s · (6 + 6 cos 2s)ds = 0
i a = 7, умови (86) виконуються. Отже, задача (72) сумiсна i її розв’язок можна знайти за
формулою
x∗(t) = h(t) +
2π∫
0
G(t, s)y∗(s)ds = 7− 3 cos t+
2π∫
0
G(t, s)(6 + 6 cos 2s)ds = 6− 2 cos 2t.
Якщо ж f(t) =
7
π
t+cos 4t, то, виконавши аналогiчнi обчислення, по-перше, отримаємо
також a = 7, h(t) = 7− 3 cos t, але тепер
g(t) =
7
π
t+ 7 cos 2t+ cos 4t− 3 cos 2t cos t,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 481
а по-друге, переконаємося в тому, що функцiя y(t) =
7
π
t−1+6 cos 2t— розв’язок рiвняння
(84). Оскiльки
2π∫
0
(3− cos s+ cos 2s)
(
7
π
s− 1 + 6 cos 2s
)
ds = 42π,
2π∫
0
sin s ·
(
7
π
s− 1 + 6 cos 2s
)
ds = −14,
то, очевидно, умови (86) не виконуються, а тому задача (72) несумiсна. Зазначимо, що для
цього випадку також
x(t) = h(t) +
2π∫
0
G(t, s)y(s)ds = 6− 2 cos 2t,
але ця функцiя хоча i задовольняє обмеження (74), (75), не є розв’язком рiвняння (72) при
f(t) =
7
π
t+ cos 4t.
4. Умови збiжностi методу. Встановимо умови збiжностi методу (8) – (11). Для цього
вiдмiтимо, що вказаний метод зводиться до методу послiдовних наближень
yk(t) = g(t) +
T∫
0
M(t, s)yk−1(s)ds (87)
для iнтегрального рiвняння (58). Справдi, за умови леми 1 задача (8), (9) має єдиний
розв’язок, який зображається формулами
xk(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)yk(s)ds, (88)
uk(t) = w(t) +
T∫
0
R(t, s)yk(s)ds. (89)
Якщо тепер пiдставити зображення (88), замiнивши в ньому iндекс k на k− 1, у спiввiдно-
шення (10) i врахувати позначення (59), (60), то отримаємо формулу (87).
Нехай
pk(t) =
T∫
0
P (t, s)yk(s)ds, (90)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
482 А. Ю. ЛУЧКА
де ядро оператора ортогонального проектування на пiдпростiр, породжений системою
лiнiйно незалежних функцiй {ϕj , 1 ≤ j ≤ n}, тобто функцiя pk(t), має вигляд
pk(t) =
n∑
j=1
ckjϕj(t), (91)
в якому невiдомi параметри визначаються з умови
T∫
0
ϕi(t)(yk(t)− pk(t))dt = 0, i = 1, n.
Тодi на пiдставi першої властивостi (29) та формул (60), (91) неважко помiтити, що
T∫
0
M(t, s)pk(s)ds = 0 ∀k ∈ N. (92)
Нехай тепер
vk(t) = yk(t)−
T∫
0
P (t, s)yk(s)ds, (93)
тодi, використавши рiвностi (90), (92), (93) з iндексом k − 1, спiввiдношенню (87) можна
надати вигляду
yk(t) = g(t) +
T∫
0
M(t, s)vk−1(s)ds. (94)
Якщо у формулу (93) пiдставити зображення (94), то остаточно отримаємо
vk(t) = q(t) +
T∫
0
S(t, s)vk−1(s)ds, (95)
де
q(t) = g(t)−
T∫
0
P (t, s)g(s)ds, (96)
S(t, s) = M(t, s)−
T∫
0
P (t, ξ)M(ξ, s)dξ. (97)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 483
Таким чином, питання збiжностi методу (8) – (11) звелось до питання збiжностi методу
послiдовних наближень для iнтегрального рiвняння
v(t) = q(t) +
T∫
0
S(t, s)v(s)ds, (98)
збiжнiсть якого, як вiдомо, залежить вiд величини спектрального радiуса оператора
(Sv)(t) :=
T∫
0
S(t, s)v(s)ds. (99)
Зауваження 4. Рiвняння (98) можна безпосередньо отримати iз рiвняння (58).
Для цього досить ввести функцiю
v(t) = y(t)−
T∫
0
P (t, s)y(s)ds, (100)
використати спiввiдношення
T∫
0
G(t, s)y(s)ds =
T∫
0
G(t, s)v(s)ds, (101)
яке випливає iз властивостi (29), врахувати той факт, що на пiдставi формул (60), (101)
рiвнiсть (58) запишеться у виглядi
y(t) = g(t) +
T∫
0
M(t, s)v(t)ds, (102)
пiдставити (102) у (100) та взяти до уваги позначення (96), (97).
Теорема 2. Якщо спектральний радiус оператора (99)
ρ(S) < 1 (103)
i виконується спiввiдношення
lim
k−→∞
uk(t) = 0, (104)
то iснує єдиний розв’язок x∗ ∈ Cm[0, T ] задачi (1), (2) i послiдовнiсть {xk(t), k ≥ 1},
побудована за методом (8) – (11), рiвномiрно збiгається до цього розв’язку.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
484 А. Ю. ЛУЧКА
Доведення. Вiдмiтимо, що, по-перше, за умов, накладених на коефiцiєнти операторiв
(3), (4), (6) та праву частину рiвняння (1), i властивостей функцiї G(t, s) рiвняння (58)
або (98) можна розглядати у просторi C[0, T ], а по-друге, за умови (103), як вiдомо, iснує
єдиний розв’язок v∗ ∈ C[0, T ] рiвняння (98) i послiдовнiсть {vk(t), k ≥ t}, побудована за
методом (95), рiвномiрно збiгається до цього розв’язку, тобто
lim
k−→∞
vk(t) = v∗(t). (105)
Виконавши граничний перехiд у рiвностях (94), (93) iз урахуванням (105), отримаємо
lim
k−→∞
yk(t)y
∗(t), y∗(t) = g(t) +
T∫
0
M(t, s)v∗(s)ds, (106)
v∗(t) = y∗(t)−
T∫
0
P (t, s)y∗(s)ds, (107)
а перейшовши до границi в рiвностях (87) – (89) i використавши (106), будемо мати
y∗(t) = g(t) +
T∫
0
M(t, s)y∗(s)ds, (108)
lim
k−→∞
xk(t) = x∗(t), x∗(t) = h(t) +
T∫
0
G(t, s)y∗(s)ds, (109)
lim
k−→∞
uk(t) = u∗(t), u∗(t) = w(t) +
T∫
0
R(t, s)y∗(s)ds. (110)
Оскiльки за умови (104) u∗(t) = 0, iз аналiзу спiввiдношень (108), (110) випливає, що y∗(t)
— розв’язок рiвняння (58) i справджується умова (62). Отже, згiдно з теоремою 1 задача
(1), (2) сумiсна i її розв’язком є функцiя x∗(t), яка визначається формулою (109).
За умови (103) задача (1), (2) має тiльки єдиний розв’язок. Справдi, якщо припустити
iснування крiм розв’язку x∗(t) розв’язку x(t) такого, що x(t) 6= x∗(t), то, поклавши z(t) =
= x∗(t)− x(t), ми отримали б, що однорiдна задача
(Lz)(t) = 0, Φi(z) = 0, i = 1, l,
має нетривiальний розв’язок. Отже, згiдно з висновком 1 однорiдне рiвняння
y(t) =
T∫
0
M(t, s)y(s)ds (111)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 485
також мало б нетривiальний розв’язок. Тодi, використавши формули (100), (101), (111),
(60), (97), ми прийшли б до висновку, що однорiдне рiвняння
v(t) =
T∫
0
S(t, s)v(s)ds
має нетривiальний розв’язок. Але цього не може бути за умови (103). Отже, розв’язок
задачi (1), (2) єдиний.
Зауваження 5. Спектральнi радiуси оператора S, що визначається формулою (99), та
оператора
(My)(t) :=
T∫
0
M(t, s)y(s)ds (112)
рiвнi, тобто правильна рiвнiсть
ρ(M) = ρ(S). (113)
Справдi, на основi формул (112), (92), (100), (97) та (99) неважко встановити, що
(Mn+1y)(t) = (MSnv)(t) ∀y ∈ C[0, T ]. (114)
Так, для n = 1 маємо
(M2y)(t) =
T∫
0
M(t, ξ)
T∫
0
M(ξ, s)y(s)dsdξ =
=
T∫
0
M(t, ξ)
T∫
0
M(ξ, s)v(s)ds−
T∫
0
P (ξ, η)
T∫
0
M(η, s)v(s)dsdη
dξ =
=
T∫
0
M(t, ξ)
T∫
0
S(ξ, s)v(s)dsdξ = (MSv)(t).
Продовжуючи цей процес далi, отримуємо рiвнiсть (114), на основi якої легко встановити
правильнiсть рiвностi (113).
Висновок 2. Якщо ρ(S) < 1 i задача (1), (2) сумiсна, то умова (104) теореми 2 вико-
нується.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
486 А. Ю. ЛУЧКА
Справдi, якщо вихiдна задача сумiсна, то згiдно з теоремою 1 iснує розв’язок y∗(t)
iнтегрального рiвняння (58) i справджується умова
w(t) +
T∫
0
R(t, s)y∗(s)ds = 0. (115)
Далi, за умови ρ(S) < 1 цей розв’язок єдиний, оскiльки згiдно з рiвнiстю (113) ρ(M) < 1,
i, як встановлено при доведеннi теореми 2, правильна рiвнiсть
lim
k−→∞
uk(t) = w(t) +
T∫
0
R(t, s)y∗(s)ds. (116)
Iз спiввiдношень (115) та (116) очевидним чином випливає
lim
k−→∞
uk(t) = 0.
Отже, умова (104) виконується.
Зауваження 6. Збiльшення числа координатних функцiй {ϕi(t), 1 ≤ i ≤ n} та {ψν(t),
1 ≤ ν ≤ n + m − l}, тобто число n, iстотно впливає на зменшення спектрального радiу-
са ρ(S).
5. Оцiнки похибки. Нехай для довiльної функцiї y ∈ C[0, T ] виконуються нерiвностi
∣∣∣∣∣∣
T∫
0
G(t, s)y(s)ds
∣∣∣∣∣∣
2
≤ β2(t)
T∫
0
|v(s)|2ds, (117)
T∫
0
∣∣∣∣∣∣
T∫
0
S(t, s)v(s)ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ q2
T∫
0
|v(s)|2ds, (118)
де функцiя v(t) має вигляд (100). Зазначимо, що з урахуванням спiввiдношення (101) вка-
занi нерiвностi будуть виконуватись, якщо в них покласти
β2(t) =
T∫
0
|G(t, s)|2ds, q2 =
T∫
0
T∫
0
|S(t, s)|2dtds.
Теорема 3. Якщо задача (1), (2) сумiсна i в нерiвностi (118) q < 1, то ця задача має
тiльки єдиний розв’язок x∗(t) i справедливi оцiнки похибки
|x∗(t)− xk(t)| ≤ β(t)qk‖v∗ − v0‖, (119)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
ПРОЕКЦIЙНО-IТЕРАТИВНИЙ МЕТОД ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ 487
|x•(t)− xk(t)| ≤
β(t)qk−ν
1− q
‖vν+1 − vν‖, 0 ≤ ν ≤ k − 1, (120)
де v∗(t) та vk(t) — точний та наближений, отриманий за методом (95), розв’язки рiв-
няння (98), xk(t) — функцiя, знайдена за методом (8) – (11), а ‖ · ‖— норма в L2[0, T ].
Доведення. Оскiльки рiвняння можна розглядати в просторi L2[0, T ], то, як вiдомо,
за умови q < 1 послiдовнiсть {vk(t), k ≥ 1}, побудована за методом (95), збiгається до
єдиного розв’язку v∗(t) рiвняння (98) i справедливi оцiнка
‖v∗ − vk‖ ≤ qk‖v∗ − v0‖, (121)
що характеризує швидкiсть збiжностi методу, та конструктивна оцiнка
‖v∗ − vk‖ ≤
qk−ν
1− q
‖vν+1 − vν‖, 0 ≤ ν ≤ k − 1. (122)
За умови теореми, очевидно, ρ(S) ≤ q < 1, отже, враховуючи висновок 2, бачимо, що
виконуються всi умови теореми 2, згiдно з якою iснує єдиний розв’язок x∗(t) задачi (1),
(2) i правильне спiввiдношення (109), на основi якого та формули (88) маємо
x∗(t)− xk(t) =
T∫
0
G(t, s)(y∗(s)− yk(s))ds. (123)
Використаємо тепер спiввiдношення (123), (93) та (107), за допомогою яких i нерiвностi
(117) отримаємо оцiнку
|x?(t)− xk(t)| ≤ β(t)‖v∗ − vk‖. (124)
Iз нерiвностей (124) та (121), (122) очевидним чином випливає правильнiсть оцiнок (119)
та (120).
Зауваження 7. За умови теореми 3 правильна оцiнка
|uk(t)| ≤ c(t)qk−1‖v∗ − v0‖, c(t) > 0, (125)
яка характеризує швидкiсть збiжностi послiдовностi {uk(t), k ≥ 1} до нуля.
Справдi, iз формул (89), (115) та (87), (108) легко отримати спiввiдношення
uk(t) =
T∫
0
R(t, ξ)
T∫
0
M(ξ, s)(yk−1(s)− y∗(s))dsdξ,
яке запишемо у виглядi
uk(t) =
T∫
0
W (t, s)(yk−1(s)− y∗(s))ds, (126)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
488 А. Ю. ЛУЧКА
де
W (t, s) =
T∫
0
R(t, ξ)M(ξ, s)dξ.
Нехай c(t) — функцiя така, що для довiльної функцiї y(t) справджується нерiвнiсть
∣∣∣∣∣∣
T∫
0
W (t, s)y(s)ds
∣∣∣∣∣∣
2
≤ c2(t)
T∫
0
|v(s)|2ds, (127)
де функцiя v(t) має вигляд (100). Тодi на пiдставi спiввiдношень (126), (127), (93) та (107)
маємо
|uk(t)| ≤ c(t)‖v∗ − vk−1‖,
або, пiдсиливши цю нерiвнiсть за допомогою оцiнки (121), отримаємо
|uk(t)| ≤ c(t)qk−1‖v∗ − v0‖.
Отже, оцiнка (125) правильна.
Зауваження 8. Запропонований метод без iстотних змiн можна застосувати до дифе-
ренцiальних рiвнянь з обмеженнями, коефiцiєнти яких належать простору Lp(0, T ), а та-
кож до iнтегральних, iнтегро-диференцiальних чи диференцiально-функцiональних рiв-
нянь та їх систем з обмеженнями.
1. Соколов Ю. Д. Метод осреднения функциональных поправок. — Киев: Наук. думка, 1967. — 336 с.
2. Курпель Н. С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. — Киев: Наук.
думка, 1968. — 224 с.
3. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы. — Киев: Наук. думка, 1993. — 288 с.
4. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Выща шк., 1987. — 288 с.
5. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 319 с.
6. Лучка А. Ю. Интегральные уравнения с ограничениями и методы их решения // Кибернетика и си-
стемный анализ. — 1996. — № 3. — С. 82 – 96.
7. Лучка А. Ю. Методи розв’язання рiвнянь з обмеженнями i проекцiйно-iтеративний метод Ю. Д. Соко-
лова // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 11. — С. 1501 – 1509.
8. Лучка А. Ю. Методи дослiдження систем диференцiальних рiвнянь з iмпульсним впливом // Там же. —
1998. — 50, № 2. — С. 189 – 194.
9. Лучка А. Ю. Диференцiальнi рiвняння з обмеженнями // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь:
Зб. наук. пр. — Чернiвцi: Прут, 2002. — Вип. 8. — С. 97 – 112.
Одержано 20.04.2002
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2002, т . 5, N◦ 4
|